Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Eindeutigkeit/Aufgabe

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    <title>Zahlentheorie/Formaler Aufbau/Induktion/Eindeutigkeit/Aufgabe</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Zeige, dass zwei Mengen {{math|term=  \N_1 |SZ=}} und {{math|term=  \N_2 |SZ=,}} die beide die 
{{
Definitionslink
|Dedekind-Peano-Axiome|
|SZ=
}}
erfüllen, zueinander isomorph sind. Man gebe also eine bijektive Abbildung {{mathl|term=  \N_1 \rightarrow \N_2 |SZ=}} an, die {{math|term=  0_1 |SZ=}} in {{math|term=  0_2 |SZ=}} überführt und die die Nachfolgeabbildungen respektiert.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Polynomring in zwei Variabeln/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe]] nach [[Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Multipliziere{{n Sie}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} [x,y] |SZ=}} die beiden Polynome
{{
Math/display|term=
x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und  }  x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2 
|SZ=.}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=2
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 4</title>
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      <contributor>
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      <text bytes="2367" sha1="ah2sbh5pi08tx6v8u3xh2s3c6nuragq" xml:space="preserve">{{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|4|

{{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout}}

{{
inputfaktbeweis
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt|Satz||
|ref1=
|ref2=|
}}

Man beachte, dass ein größter gemeinsamer Teiler, der nach dem Lemma von Bézout existiert, nicht eindeutig bestimmt ist. Denn ebenso ist mit {{math|term=g|SZ=}} auch das Negative {{math|term=-g|SZ=}} ein größter gemeinsamer Teiler. Häufig wählt man den Vertreter {{math|term=\geq 0|SZ=,}} um Eindeutigkeit zu erreichen, und spricht dann von dem {{Stichwort|größten gemeinsamer Teiler|msw=Größter gemeinsamer Teiler|SZ=}} der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=.}} Diese Zahl wird dann mit
{{
Math/display|term=
 \operatorname{ggT} \, (a_1 {{kommadots|}} a_n)
|SZ=
}}
bezeichnet. Wir besprechen nun, wie man algorithmisch zu vorgegebenen ganzen Zahlen den {{math|term= \operatorname{ggT} \, |SZ=}} finden kann.

{{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}}

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}}

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Gemeinsame Vielfache}}

Nachdem wir schon die gemeinsamen Teiler von ganzen Zahlen behandelt haben, wenden wir uns einem verwandten Begriff zu, der ebenfalls aus der Schule bekannt ist, nämlich dem des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von ganzen Zahlen. In der Schule wird dabei {{Anführung|kleinste}} in Bezug auf die {{math|term=\leq|SZ=-}}Ordnung verstanden. Wir benutzen einen äquivalenten Begriff, der sich besser auf eine weit allgemeinere Situation übertragen lässt.

{{
inputdefinition
|Teilbarkeitstheorie (Z)/gV und kgV/Definition||
}}

Wir werden gleich sehen, dass es stets ein kleinstes gemeinsames Vielfaches gibt, und dass dieses, wenn man es {{math|term= \geq 0 |SZ=}} wählt, auch eindeutig bestimmt ist. Man spricht dann einfach von {{Betonung|term=dem|SZ=}} kleinsten gemeinsamen Vielfachen, geschrieben {{mathl|term= \operatorname{ kgV} \, (  a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=.}} 

{{
inputfaktbeweis
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Durchschnitt von Untergruppen/Durch kgV erzeugt/Fakt|Satz||
|ref1=||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
|ref1=||
}}

{{Fußnotenliste|}} 

}}</text>
      <sha1>ah2sbh5pi08tx6v8u3xh2s3c6nuragq</sha1>
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    <title>Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Liste der Hauptsätze</title>
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      <timestamp>2026-07-17T08:00:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="16444" sha1="57jp34hdz3rwpjl6lsr1u3pptonq25c" xml:space="preserve">{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Satz|Lösbarkeit von Gleichungen|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppentheorie/Endlich/Ordnung/Verschieden/Fakt|Lemma|Elementordnung in endlicher Gruppe|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Durchschnitt von Untergruppen/Fakt|Lemma|Durchschnitt von Untergruppen|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|Division mit Rest ({{math|term=\Z|SZ=}})|
|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}}|
|ref1=Satz 3.1||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zyklische Gruppe/Untergruppe/Zyklisch/Fakt|Satz|Untergruppen von zyklischen Gruppen|
|ref1=Lemma 2.2|
|ref2=Satz 3.2|
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche zyklische Gruppe/Ordnung teilt Gruppenordnung/Fakt|Korollar|Ordnung und Gruppenordnung in zyklischer Gruppe|
|ref1=Lemma 3.3||
}}

{{
inputfaktklappe|Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt|Lemma|Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}} und größter gemeinsamer Teiler|
|ref1=Satz 3.2
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt|Satz|Lemma von Bézout ({{math|term=\Z|SZ=}})|
|ref1=Lemma 3.9
|ref2=Satz 3.2|
}}

{{inputfaktklappe
|Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz|Euklidischer Algorithmus ({{math|term=\Z|SZ=}})|
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Durchschnitt von Untergruppen/Durch kgV erzeugt/Fakt|Satz|Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}} und kleinstes gemeinsames Vielfaches|
|ref1=Satz 3.2||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt|Lemma|Inverses unter Gruppenhomomorphismus|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt|Lemma|{{math|term= \operatorname{Hom} \,(\Z,G) |SZ=}}|
|ref1=Potenzgesetze (Lemma 2.2)||
}}

{{
inputfaktklappe
|Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt|Lemma|Umkehrabbildung eines Isomorphismus|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Innerer Automorphismus/Ist Automorphismus/Fakt|Lemma|Innerer Automorphismus|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt|Lemma|Injektivität und Kern|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Äquivalenzklassen/Partition/Eigenschaften/Fakt|Lemma|Eigenschaften von Äquivalenzklassen|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt|Satz|Satz von Lagrange|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt|Korollar|Satz von Lagrange für ein Element|
|ref1=Lemma 2.3
|ref2=Satz 7.4|
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppenhomomorphismus/Kern/Normalteiler/Fakt|Lemma|Kern ist ...|
|ref1=Lemma 7.8(2)||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt|Satz|Restklassengruppe|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt|Satz|Der Satz vom induzierten Homomorphismus|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppenhomomorphismus/Surjektiv und Restklassengruppe/Fakt|Korollar|Surjektiver Gruppenhomomorphismus und Restklassengruppe|
|ref1=Satz 8.1
|ref2=Lemma 5.11
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppenhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Satz|Faktorisierung für Gruppenhomomorphismen|
|ref1=Korollar 8.2||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt|Satz|Isomorphiesatz für Restklassengruppen|
|ref1=Aufgabe 7.7
|ref2=Satz 8.1
|ref3=Korollar 8.2
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt|Lemma|Ordnung der Permutationsgruppe|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Permutation/Darstellung mit Transpositionen/Fakt|Lemma|Permutationen und Transpositionen|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt|Satz|Zyklendarstellung|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|Signum|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt|Lemma|Signum und Transpositionen|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Cayley/Fakt|Lemma|Lemma von Cayley|
|ref1=Lemma 5.12||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppentheorie/Cayley/Fakt|Satz|Satz von Cayley|
|ref1=Lemma 9.8||
}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt|Satz|Eigentliche Isometrie in der Ebene|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidische Ebene/Endliche Untergruppe/Eigentlich/Zyklisch/Fakt|Satz||

}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Äquivalente Halbachsen/Isomorphe Isotropiegruppen/Fakt|Lemma|Isotropiegruppen von äquivalenten Halbachsen|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Fakt|Lemma|Numerische Bedingung für endliche Symmetriegruppen|
|ref1=Lemma 11.1||
}}

{{
inputfaktklappe
|Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Numerische Eigenschaften/Möglichkeiten/Fakt|Lemma|Lösungen für Platongleichung|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Eigentliche Bewegungsgruppe/Endlich/Klasseneinteilung/Zugehöriger Gruppenhomomorphismus/Fakt|Lemma|Permutation der Halbachsen|
|ref2=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Symmetriegruppe/Klassifizierung/Fakt|Satz|Hauptsatz über endliche Symmetriegruppen im Raum|
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Binomi/Fakt|Satz|Binomischer Lehrsatz|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler und Kürzung/Fakt|Lemma|Kürzungsregel für Nichtnullteiler|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt|Satz|Ringhomomorphismen von {{math|term=\Z|SZ=}} nach {{math|term=R|SZ=}}  |
|ref1=Lemma 5.5|ref2=allgemeinen Distributivgesetz (Lemma 12.5)|
}}

{{
inputfaktklappe
|Integritätsbereich/Charakteristik ist Primzahl/Fakt|Lemma|Charakteristik eines Integritätsbereiches|
|ref1=Satz 13.7||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ring/Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring/Fakt|Satz|Ringhomomorphismus nach Endomorphismenring|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Körper/Genau zwei Ideale/Fakt|Lemma|Ideale in einem Körper|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt|Satz|Kern eines Ringhomomorphismus
}}

{{
inputfaktklappe
|Ringhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt|Satz|Homomorphiesatz für Ringe|
|Beweistext=
Aufgrund von Satz 8.1 gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
{{
Abbildung/display
|name=\tilde{\varphi}
|T|S
||
|SZ=,
}}
}}

{{
inputfaktklappe
|Ringhomomorphismus/Surjektiv und Restklassenring/Fakt|Korollar|Restklassenring und surjektiver Ringhomomorphismus|Beweistext=Aufgrund von Korollar 8.2 liegt ein natürlicher Gruppenisomorphismus vor, der wegen Satz 14.3 auch die Multiplikation respektiert, also ein Ringhomomorphismus ist.
}}

{{
inputfaktklappe
|Ringhomomorphismus/Kommutativ/Faktorisierung/Fakt|Satz|Faktorisierung für Ringhomomorphismen|
|Beweistext=Dies beruht auf Korollar 8.3 und Satz 14.3||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Isomorphiesatz für Restklassenringe/Fakt|Satz|Isomorphiesatz für Restklassenringe|
|Beweistext=Auch dies ergibt sich aus der Gruppensituation und Satz 14.3.
}}

{{
inputfaktklappe
|Z ist Hauptidealbereich/Fakt|Satz|Der Ring der ganzen Zahlen ist ...|
|ref1=Satz 3.2||
}}

{{
inputfaktklappe
|Restklassenringe von Z/Ringhomomorphismus/Fakt|Korollar|Die Restklassenringe von {{math|term=\Z|SZ=}}|
|Beweistext=Dies ist ein Spezialfall von Definition 14.2 und den sich daran anschließenden Überlegungen.
}}

{{
inputfaktklappe
|Restklassenringe (Z)/Teiler und Morphismus/Fakt|Korollar|Beziehung zwischen Restklassenringe von {{math|term=\Z|SZ=}} |
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt|Satz|Charakterisierung der Restklassenkörper von  {{math|term=\Z|SZ=}} |
|ref1=Lemma 13.9
|ref2=Satz 4.1
}}

{{inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt|Satz|Kleiner Fermat|ref1=Satz von Lagrange
}}


{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|Lemma von Euklid für Primzahlen|
|ref1=Satz 14.13||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|
|ref1=Satz 15.1||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Lemma|Teilbarkeit mit {{math|term=p|SZ=-}}Exponenten |
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar|KgV und ggT mit {{math|term=p|SZ=-}}Exponenten|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz|Chinesischer Restsatz|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Chinesischer Restsatz/Einheiten/Fakt|Korollar|Chinesischer Restsatz für Einheiten|
|ref1=Satz 15.8|ref2=Lemma 15.7|
}}

{{inputfaktklappe
|Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt|Satz|Einheiten modulo n
|ref1= Lemma von Bezout (Satz 4.1)
}}

{{inputfaktklappe
|Restklassenringe von Z/Einheiten/Euler/Fakt|Satz|Satz von Euler
|ref1=Satz von Lagrange }}

{{
inputfaktklappe
|Eulersche Funktion (Zahlentheorie)/Produktformel bei Primfaktorzerlegung/Vollständig/Fakt|Korollar|Eulersche Funktion für faktorisierte Zahl|
|ref1=Korollar 15.10|ref2=Lemma 15.15|
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Eine Variable/Einsetzungshomomorphismus/Fakt|Satz|Einsetzungshomomorphismus|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Eine Variable/Variablenwechsel/Fakt|Korollar|Variablenwechsel
|ref1=Satz 16.3|
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt|Satz|Division mit Rest in {{math|term=K[X]|SZ=}} |
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt|Satz|Polynomring in einer Variablen über einem Körper ist ...|
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt|Lemma|Prim und irreduzibel in Integritätsbereichen
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt|Satz|Lemma von Bezout (Hauptidealbereich)
}}

{{
inputfaktklappe
|Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma|Lemma von Euklid (Hauptidealbereich)
|ref1=Lemma 17.12
}}

{{
inputfaktklappe
|Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt|Satz|Prim und irreduzibel in Hauptidealbereichen|
}}

{{inputfaktklappe
|Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt|Lemma|Produktzerlegung in Hauptidealbereichen
}}

{{
inputfaktklappe
|Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt|Satz|Hauptidealbereich ist ...
|
}}

{{
inputfaktklappe
|Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Satz|Restklassenringe von Hauptidealbereichen
}}

{{
inputfaktklappe
|Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz|Chinesischer Restsatz|
|ref1=Satz 17.12 (Lemma von Bezout)||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma|Nullstellen und linearer Faktor|ref1=Satz 16.9
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar|Anzahl von Nullstellen|ref1=Lemma 18.8
}}

{{
inputfaktklappe
|Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt|Satz|Endliche multiplikative Untergruppen in einem Körper|
ref1=Korollar 18.10|ref2=Lemma 19.6
}}

{{
inputfaktklappe
|Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt|Satz|Einheitengruppe in Restklassenkörpern|
|ref1=Satz 19.7||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt|Lemma|Anzahl eines endlichen Körpers|
ref1=Lemma 13.9
}}

{{
inputfaktklappe
|Quotientenkörper/Universelle Eigenschaft/Fakt|Satz|Quotientenkörper|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt|Lemma|Primelement bei Polynomring|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Lemma von Gauß/Fakt|Lemma|Lemma von Gauß|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Polynomring/Über faktoriellem Ring/Ist faktoriell/Fakt|Satz|Satz von Gauß für Polynomringe|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Restklassenring von KX/Wichtigste Eigenschaften/Fakt|Proposition|Rechnen in einer Restklassenalgebra|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Algebraerweiterung über Körper/Minimalpolynom und Einsetzung/Fakt|Lemma|Minimalpolynom und Einsetzungshomomorphismus|
|ref1=Ringhomomorphismus|ref2=Satz 16.11|
}}

{{
inputfaktklappe
|Körpererweiterung/Algebraisches Element/Äquivalente Charakterisierung/Fakt|Satz|Charakterisierung von algebraischen Elementen|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Körpererweiterung/Algebraisches Element/Erzeugt Körper/Fakt|Satz|Erzeugte Algebra eines algebraischen Elementes|
|ref1=Satz 22.1||
}}

{{
inputfaktklappe
|Körpererweiterung/Algebraischer Abschluss/Ist Körper/Fakt|Satz|Algebraischer Abschluss ist ...|
|ref1=Satz 22.1|ref2=Satz 22.2|
}}

{{
inputfaktklappe
|Reelle endliche Körpererweiterung/Ist quadratisch und gleich C/Fakt|Satz|Endliche Erweiterungen von {{math|term=\R|SZ=}} |
|ref1=|ref2=Satz 21.12|
}}

{{
inputfaktklappe
|Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt|Satz|Eisenstein Irreduzibilitätskriterium|
|ref1=Lemma 22.12|ref2=Lemma 20.13|
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Körpererweiterungen von Q/Beliebiger Grad/Fakt|Korollar|Körpererweiterungen von {{math|term=\Q|SZ=}} |
|ref1=Satz 22.13|ref2=Satz 17.15|ref3=Satz 18.5|ref4=Proposition 21.3|
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt|Satz|Gradformel|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zerfällungskörper/Ist eindeutig/Fakt|Satz|Zerfällungskörper|
|ref1=Satz 18.5|ref2=Proposition 21.3|ref3=Lemma 23.4|ref4=Satz 23.1
}}

{{inputfaktklappe
|Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|Hauptsatz über endliche Körper|ref1=Lemma 23.2|
ref2=Lemma 23.9|ref3=Satz 23.6|ref4=Satz 7.4
}}

{{
inputfaktklappe
|Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt|Lemma|Wichtige Konstruktionen mit Zirkel und Lineal|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahlen bilden einen Unterkörper/Fakt|Satz|Konstruierbare Zahlen bilden ...|
|ref1=Lemma 26.7|ref2=Lemma 26.8||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zirkel und Lineal/Wurzelkonstruktion/Fakt|Lemma|Konstruktion der Quadratwurzel|
|ref1=Lemma 26.6(1)||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zirkel und Lineal/Quadratur des Rechtecks/Fakt|Korollar|Quadratur des Rechtecks|
|ref1=Lemma 26.8|ref2=Lemma 26.10|
}}

{{
inputfaktklappe
|Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt|Satz|Charakterisierung konatruierbarer Zahlen|
|ref1=Lemma 25.1|ref2=Lemma 22.10|ref3=Lemma 24.10
}}

{{
inputfaktklappe
|Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Ist algebraisch/Fakt|Korollar|Konstruierbare Zahlen sind ...|
|ref1=Satz 25.3|ref2=Satz 23.1|ref3=Satz 22.1|
}}

{{
inputfaktklappe
|Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt|Korollar|Minimalpolynom einer konstruierbaren Zahl
|ref1=Satz 25.3|ref2=Satz 23.1
}}

{{
inputfaktklappe
|Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt|Korollar|Würfelverdoppelung|
|ref1=Satz 22.13|ref2=Korollar 25.5|
}}


{{
inputfaktklappe
|Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt|Satz|Quadratur des Kreises|
|ref1=Korollar 25.4|ref2=Satz von Lindemann|
}}

{{
inputfaktklappe
|Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt|Lemma|Einheitswurzeln in {{math|term={{CC}}|SZ=}} |
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt|Lemma|Faktorzerlegung von {{math|term=X^n-1|SZ=}}|
|ref1=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt|Lemma|Koeffizienten der Kreisteilungspolynome|
|ref1=Lemma 26.11|ref2=Aufgabe 26.4|
}}

{{
inputfaktklappe
|Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt|Satz|Kreisteilungspolynome sind ...|
|ref1=Lemma 20.13|ref2=Aufgabe 26.|ref3=wegen dem kleinen Fermat (Satz 14.14)|ref4=Aufgabe 23.14 |
}}

{{
inputfaktklappe
|Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt|Korollar|Grad der Kreisteilungskörper|
|ref1=Satz 26.13|ref2=Satz 21.12|
}}

{{
inputfaktklappe
|Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt|Satz|Winkeldreiteilung|
|ref1=Korollar 27.4||
}}

{{inputfaktklappe
|Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt|Lemma|Exponentenlemma für Fermatsche Primzahlen}}

{{inputfaktklappe
|Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt|Satz|Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken|ref1=Satz 27.3|ref2=Korollar 15.16|ref3=Lemma 27.2
}}
&lt;noinclude&gt;
[[Kategorie:Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Hilfsstruktur]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>57jp34hdz3rwpjl6lsr1u3pptonq25c</sha1>
    </revision>
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    <title>Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
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Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Aus
{{
Relationskette 
| H
|| {{makl| a_1 {{kommadots}} a_k |}}  
| \subseteq | (t)
||
||
||
||
|SZ=
}}
folgt sofort
{{
Relationskette
| a_i \Z 
| \subseteq |t \Z
||
||
||
|SZ=
}}
für jedes
{{
Relationskette
| i
|| 1 {{kommadots}}  k
||
||
||
|SZ=,
}}
was gerade bedeutet, dass {{math|term= t |SZ=}} diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt {{math|term= t |SZ=}} ein gemeinsamer Teiler. Dann ist
{{
Relationskette
|a_i
| \in |t \Z
||
||
||
|SZ=
}}
und da
{{
Relationskette
| H
|| {{makl| a_1 {{kommadots}} a_k |}} 
||
||
||
|SZ=
}}
die kleinste Untergruppe ist, die alle {{math|term= a_i |SZ=}} enthält, muss
{{
Relationskette
| H
| \subseteq | t \Z
||
||
||
|SZ=
}}
gelten.

Aufgrund von
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt
|Refname=
{{{ref1|Fakt}}}
|SZ=
}}
wissen wir, dass es eine ganze Zahl {{math|term= d |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| H
|| \Z d
||
||
||
|SZ=
}}
gibt. Für einen anderen gemeinsamen Teiler {{math|term= t |SZ=}} der {{math|term= a_i |SZ=}} gilt
{{
Relationskette
| \Z d
|| H
| \subseteq| \Z t
||
||
|SZ=,
}}
sodass {{math|term= d |SZ=}} von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie= 
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107654</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
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Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Aus
{{
Relationskette 
| H
|| {{makl| a_1 {{kommadots}} a_k |}}  
| \subseteq | (t)
||
||
||
||
|SZ=
}}
folgt sofort
{{
Relationskette
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||
||
||
|SZ=
}}
für jedes
{{
Relationskette
| i
|| 1 {{kommadots}}  k
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||
||
|SZ=,
}}
was gerade bedeutet, dass {{math|term= t |SZ=}} diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt {{math|term= t |SZ=}} ein gemeinsamer Teiler. Dann ist
{{
Relationskette
|a_i
| \in | \Z t
||
||
||
|SZ=
}}
und da
{{
Relationskette
| H
|| {{makl| a_1 {{kommadots}} a_k |}} 
||
||
||
|SZ=
}}
die kleinste Untergruppe ist, die alle {{math|term= a_i |SZ=}} enthält, muss
{{
Relationskette
| H
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||
||
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}}
gelten.

Aufgrund von
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Faktlink
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Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt
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}}
wissen wir, dass es eine ganze Zahl {{math|term= d |SZ=}} mit
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Relationskette
| H
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||
||
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}}
gibt. Für einen anderen gemeinsamen Teiler {{math|term= t |SZ=}} der {{math|term= a_i |SZ=}} gilt
{{
Relationskette
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| \subseteq| \Z t
||
||
|SZ=,
}}
sodass {{math|term= d |SZ=}} von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.
|Abschluss=
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|Textart=Beweis 
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    <title>Erzeugte Untergruppe/77,91,143/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe</title>
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      <contributor>
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      </contributor>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Die Wasserspedition {{Anführung|Alles im Eimer}} verfügt über {{math|term= 77|SZ=-,}} {{math|term= 91|SZ=-}} und {{math|term= 143|SZ=-}}Liter-Eimer, die allerdings keine Markierungen haben. Sie erhält den Auftrag, insgesamt genau einen Liter Wasser von der Nordsee in die Ostsee zu transportieren. Wie kann sie den Auftrag erfüllen?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z)
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|Punkte=3
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Drehungen an Achsen des Achsenkreuzes/Erzeugte Gruppe/Aufgabe</title>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien {{math|term= \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 |SZ=}} Drehungen um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, die {{math|term= y|SZ=-}}Achse und die {{math|term= z|SZ=-}}Achse mit den Ordnungen {{math|term= \ell_1, \ell_2, \ell_3 |SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text= {{math|term= \varphi_1 |SZ=}} ist also eine Drehung um den Winkel {{math|term= 360/\ell_1 |SZ=}} Grad um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse, etc.|
|SZ=.
}}
Es sei
{{
Relationskette 
| 1 
| \leq | \ell_1 
| \leq | \ell_2 
| \leq | \ell_3
|| 
|| 
|SZ=.
}} 
Für welche Tupel {{math|term= ( \ell_1, \ell_2, \ell_3) |SZ=}} ist die von diesen drei Drehungen 
{{
Definitionslink
|erzeugte Gruppe|
|Definitionsseitenname=
Erzeugte Untergruppe zu Menge/Definition
|SZ=
}}
endlich?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen
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|Objektkategorie=
|Stichwort=Achsenkreuz
|Punkte=6
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Vorlage:Definitionswort</title>
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|wikicode={{#if:{{{Prämath|}}}|&lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/nowiki&gt;{{{Prämath|}}}&lt;nowiki&gt;&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt;-|}}&lt;nowiki&gt;&lt;em&gt;&lt;u&gt;&lt;/nowiki&gt;{{{1}}}&lt;nowiki&gt;&lt;/u&gt;&lt;/em&gt;&lt;/nowiki&gt;{{{SZ|}}}
|Definition={{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}&lt;em&gt;&lt;u&gt;{{{1}}}&lt;/u&gt;&lt;/em&gt;{{{SZ|}}}{{Verschlagworte:Definitionswort|{{{1|}}}|msw={{{msw|}}}}}
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    <title>Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe/Lösung</title>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Da {{math|term= x |SZ=}} eine Einheit ist, gibt es eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit {{math|term= nx=1 \mod p |SZ=.}} Damit durchlaufen die Vielfachen von {{math|term= x |SZ=}} die ganze Gruppe {{math|term= {{op:Zmod|p}} |SZ=,}} d.h. {{math|term= x |SZ=}} ist ein (additiver) Erzeuger dieser Gruppe. Damit ist die additive Ordnung von {{math|term= x |SZ=}} genau {{math|term= p |SZ=.}} Da die Einheitengruppe {{math|term= p-1 |SZ=}} Elemente besitzt, ist die multiplikative Ordnung von {{math|term= x |SZ=}} kleiner als {{math|term= p |SZ=.}} Damit sind die beiden Ordnungen teilerfremd.
|Textart=Lösung 
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    <title>Vorlage:Inputverfahren</title>
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  <page>
    <title>Gewöhnliche Differentialgleichungen/Getrennte Variablen/Textabschnitt</title>
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      <timestamp>2026-07-16T17:21:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="3415" sha1="ofq9vr025tdfwjhzbg28fifwz9mjyvu" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Definition||
}}

Eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen ist auf der Produktmenge
{{
Relationskette
|U
||I \times J
||
||
||
|SZ=
}}
definiert.{{{zusatz2|}}} Eine homogene lineare Differentialgleichung
{{
Relationskette
| y'
||g(t) y
||
||
||
|SZ=
}}
besitzt offenbar getrennte Variablen
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit
{{
Relationskette/k
|h(y)
|| y
||
||
||
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=,
}}
dagegen besitzt eine inhomogene lineare Differentialgleichung im Allgemeinen keine getrennten Variablen. Die Differentialgleichungen mit getrennten Variablen lassen sich durch Integrieren lösen. Wenn
{{
Relationskette
|h(y_0)
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist, so bestätigt man direkt die konstante Lösung
{{
Relationskette
| y(t)
|| y_0
||
||
||
|SZ=.
}}
Daher beschränken wir uns im Folgenden auf die Situation, dass {{math|term= h |SZ=}} keine Nullstelle besitzt. Die Grundidee ist dann, in der Gleichung
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| y'(t)|h(y(t))}} 
||g(t)
||
||
||
|SZ=
}}
die beiden Seiten zu integrieren, wobei man links die Substitutionsregel anwendet.

{{
inputfaktbeweis
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt|Satz||
||
}}

Wegen
{{
Relationskette/display
| {{makl| H+c |}}^{-1} (G(t)+d)
|| H^{-1}(G(t)+d-c)
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=wende {{mathlk|term=H+c|SZ=}} an|
|ISZ=|ESZ=
}}
genügt es, bei der Stammfunktion zu {{mathl|term=  g(t) |SZ=}} eine Konstante zuzulassen, um die allgemeine Lösung zu erhalten. Durch einen Übergang von {{math|term= G |SZ=}} nach {{mathl|term=  G+c |SZ=}} mit einer geeigneten Konstanten {{math|term= c |SZ=}} kann man auch erreichen, dass es ein 
{{
Zusatz/Klammer
|text=echtes|
|ISZ=|ESZ=
}}
Intervall {{math|term= I'|SZ=}} gibt mit
{{
Relationskette/display
|G(I')
| \subseteq| H(J)
||
||
||
|SZ=.
}}
Sowohl orts- als auch zeitunabhängige Differentialgleichungen kann man als Differentialgleichung mit getrennten Variablen auffassen. Für zeitunabhängige Differentialgleichungen erhält man den folgenden Lösungsansatz.

{{
inputfaktbeweis
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt|Korollar|zusatz1={{{zusatz21|}}}|
||
}}
Wenn im zeitunabhängigen Fall die Funktion {{math|term= h |SZ=}} Nullstellen besitzt, so muss man zuerst diese und die zugehörigen konstanten Lösungen bestimmen und dann den vorstehenden Satz auf die nullstellenfreien Teilintervalle des Definitionsbereiches anwenden.

{{
inputbeispiel
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist sin y/Beispiel||
}}

Nach diesen zeitunabhängigen Differentialgleichungen besprechen wir weitere Beispiele für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.
{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist g(t)y^2/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputbeispiel
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^3/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist -ty^3/Beispiel||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>ofq9vr025tdfwjhzbg28fifwz9mjyvu</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel</title>
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      <id>1107562</id>
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      <timestamp>2026-07-16T17:21:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel]] nach [[Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>1099921</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1308" sha1="89riy3p60m9panogrs6jnnkbddj2roc" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Wir betrachten die
{{
Definitionslink
|zeitunabhängige Differentialgleichung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
Relationskette/display
| y'
|| {{op:Bruch| 1 | y}} 
||
||
||
|SZ=
}}
für
{{
Relationskette
| y
| &gt; | 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Es ist also
{{
Relationskette
|h(y)
|| {{op:Bruch| 1 | y}} 
||
||
||
|SZ=
}}
und damit müssen wir nach
{{
Faktlink
||Faktseitenname=
Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/Als getrennte Variablen/Fakt
|SZ=
}}
{{math|term=  y |SZ=}} 
{{
Definitionslink
|integrieren|
|Kontext=R|
|SZ=,
}}
eine 
{{
Definitionslink
|Stammfunktion|
|Kontext=R|
|SZ=
}}
dazu ist
{{
Relationskette/display
|H(y)
|| {{op:Bruch| 1 | 2}} y^2
||
||
||
|SZ=.
}}
Die Umkehrfunktion berechnet sich aus dem Ansatz
{{
Relationskette
|z
|| {{op:Bruch| 1 | 2}} y^2 
||
||
||
|SZ=
}} 
zu
{{
Relationskette
| y
|| \sqrt{2z} 
|| H^{-1}(z)
||
||
|SZ=.
}}
Also haben die 
{{
Definitionslink
|Lösungskurven|
|Kontext=|
|SZ=
}}
die Gestalt
{{
Relationskette/display
| y(t)
|| \sqrt{2(t +c)} 
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
|c
| \in |\R
||
||
||
|SZ=.
}}
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>89riy3p60m9panogrs6jnnkbddj2roc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Vektorfelder/Lösungen/Skizziere/1 durch y und +-ty^3/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>34847</id>
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      <id>1107564</id>
      <parentid>1099475</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:22:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107564</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="868" sha1="t8bz7emtxvhecynofqn9k3s84bi3amv" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Skizziere die zugrunde liegenden
{{
Definitionslink
|Vektorfelder|
|Kontext=|
|SZ=
}}
der Differentialgleichungen
{{
Math/display|term=
y'= {{op:Bruch| 1 | y}} ,\, y' = ty^3 \text{ und } y' = -ty^3
|SZ=
}}
sowie die in
{{
Beispiellink
||Beispielseitenname=
Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel
|SZ=,
}}
{{
Beispiellink
||Beispielseitenname=
Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^3/Beispiel
|SZ=
}}
und
{{
Beispiellink
||Beispielseitenname=
Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist -ty^3/Beispiel
|SZ=
}}
angegebenen Lösungskurven.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>t8bz7emtxvhecynofqn9k3s84bi3amv</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Differentialgleichungen/Lösungen/1 durch y und +-ty^3/Bestätige durch Ableiten/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107565</origin>
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      <text bytes="892" sha1="cd6ft611whafwrol74z6sx45bb87xev" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bestätige{{n Sie}} die in
{{
Beispiellink
||Beispielseitenname=
Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel
|SZ=,
}}
{{
Beispiellink
||Beispielseitenname=
Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist ty^3/Beispiel
|SZ=
}}
und
{{
Beispiellink
||Beispielseitenname=
Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/y' ist -ty^3/Beispiel
|SZ=
}}
gefundenen Lösungskurven der
{{
Definitionslink
|Differentialgleichungen|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
Math/display|term=
y' = {{op:Bruch| 1 | y}} ,\, y' = ty^3 \text{ und } y' = -ty^3
|SZ=
}}
durch
{{
Definitionslink
|Ableiten|
|Kontext=R|
|SZ=.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>cd6ft611whafwrol74z6sx45bb87xev</sha1>
    </revision>
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    <title>Induktion/Wechselsumme der Quadrate/Aufgabe/Lösung</title>
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      <timestamp>2026-07-16T17:15:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107558</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1151" sha1="qd1vfjx7r4uclci8mjn71fh6p6emdcu" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Induktionsanfang. Für
{{
Relationskette
| n
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
kommt links nur der Summand zu
{{
Relationskette
| k
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
vor, und dieser ist
{{
Relationskette/display
| (-1)^0 1^2 
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Rechts steht ebenfalls
{{
Relationskette/display
|  (-1)^2 {{op:Bruch| 1 \cdot 2| 2}}
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}

Induktionsschluss. Die Aussage sei für {{math|term= n |SZ=}} bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für {{mathl|term= n+1 |SZ=.}} Es ist
{{
Relationskette/align
| \sum_{k {{=|}} 1}^{n+1} (-1)^{k-1} k^2
|| \sum_{k {{=|}} 1}^{n} (-1)^{k-1} k^2 + (-1)^n (n+1)^2
|| (-1)^{n+1} {{op:Bruch|n(n+1)| 2}} + (-1)^{n+2} (n+1)(n+1)
|| (-1)^{n+2} {{op:Bruch| -n(n+1)| 2}} + {{op:Bruch| (-1)^{n+2} 2 (n+1)(n+1)| 2}}
|| (-1)^{n+2} {{op:Bruch| -n(n+1)+ 2(n+1)(n+1)| 2}} 
|| (-1)^{n+2} {{op:Bruch|(n+1) (-n+2n+2)| 2}} 
|| (-1)^{n+2} {{op:Bruch|(n+1) (n+2)| 2}} 
|SZ=.
}}
Also gilt die Aussage für alle {{math|term= n |SZ=.}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>qd1vfjx7r4uclci8mjn71fh6p6emdcu</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Separable Körpererweiterung/Zwischenkörper/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>43645</id>
    <revision>
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      <parentid>1049568</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T15:53:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107514</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="614" sha1="no7qz3u9h13txwplod5i2row867bo78" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei 
{{
Relationskette
| K
| \subseteq | L 
||
|SZ=
}}
eine
{{
Definitionslink
|endliche|
|Kontext=Körpererweiterung|
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|separable Körpererweiterung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und
{{
mathbed|term=
M
||bedterm1=
K \subseteq M \subseteq L
||bedterm2=
|SZ=,
}}
ein Zwischenkörper. Zeige{{n Sie}}, dass auch
{{
Relationskette
| M
| \subseteq | L
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
ine separable Körpererweiterung ist.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=3
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>no7qz3u9h13txwplod5i2row867bo78</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>44502</id>
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      <timestamp>2026-07-16T17:45:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="46" sha1="7t5qwe2p9zzes5ta7nqz34e1akcvbl1" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|30|1|Kurs=|}}</text>
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    </revision>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
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      <timestamp>2026-07-16T17:46:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="45" sha1="q4gsfvum4hw7krdzse098edrc6a7vvq" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|30|3|Kurs=|}}</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>47974</id>
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      <id>1107566</id>
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      <timestamp>2026-07-16T17:23:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="49" sha1="8tw3sulrh02xkb37dba5sop7ppkbbvq" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|39|4|Kurs=|}}</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>50175</id>
    <revision>
      <id>1107567</id>
      <parentid>943261</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:23:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>943261</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="49" sha1="npv9vm49d10kgccfnkvij0wqx6pvsj2" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|30|4|Kurs=|}}</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Satz von Bézout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>54440</id>
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      <contributor>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Satz von Bézout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="49" sha1="bggv870l0jvp8jxevsy0mhrtqh0du1w" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|30|6|Kurs=|}}</text>
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    </revision>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>54441</id>
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      <contributor>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
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      <timestamp>2026-07-16T17:47:59Z</timestamp>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>322796</origin>
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      <text bytes="46" sha1="7t5qwe2p9zzes5ta7nqz34e1akcvbl1" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|30|1|Kurs=|}}</text>
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    <title>Algebraische Kurven/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe</title>
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      <timestamp>2026-07-16T17:46:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107592</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="418" sha1="eottf9805wfm4yhhueatutxh7rkzluq" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
{{Satzabfrage3{{{opt1|}}}
|Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt|
|Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt|
|Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt|
}}
|Textart=
|Kategorie=Theorie der algebraischen Kurven
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=3
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>eottf9805wfm4yhhueatutxh7rkzluq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>55706</id>
    <revision>
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      <parentid>1101781</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:41:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107545</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3719" sha1="1vjdsug0cr8i2ue4ea6tmlq9u8v7a4v" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Wir führen Induktion über die 
{{
Definitionslink
|gradlexikographische Ordnung|
|Kontext=Polynomring|
|SZ=.
}}
{{
Teilbeweis
|Teilziel=Zur Existenz.|Teilstrategie=
|Teilbeweis=
Es sei {{math|term=  F |SZ=}} ein symmetrisches Polynom.
Es sei {{mathl|term= X_1^{a_1 } \cdots X_n^{a_n } |SZ=}} das 
{{
Definitionslink
|Leitmonom|
|Kontext=|
|SZ=
}}
von {{math|term= F |SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit dem Koeffizienten
{{
Relationskette/k
| c
|\neq| 0 
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
|ISZ=|ESZ=
}}
Es ist
{{
Relationskette
| a_{i+1}
| \leq | a_i
|| 
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
für alle {{math|term= i |SZ=.}} Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die
{{
mathkor|term1=
 X_{i+1}
|und|term2=
 X_i
|SZ=
}}
vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in {{math|term= F |SZ=}} vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung.

Wir betrachten das Polynom
{{
Relationskette/display
| G
|| F - cE_1^{a_1-a_2 } E_2^{a_2-a_3 } \cdots E_{n-1}^{a_{n-1}-a_n } E_n^{a_n }
||
||
||
|SZ=.
}}
Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls {{mathl|term= X_1^{a_1 } \cdots X_n^{a_n } |SZ=}} als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in {{math|term= E_i |SZ=}} klar machen. Das Leitmonom von {{math|term= E_i |SZ=}} ist {{mathl|term= X_1\cdots X_i |SZ=}} und das Leitmonom von {{mathl|term= E^k_i |SZ=}} ist {{mathl|term= (X_1\cdots X_i)^k |SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=das Leitmonom ist multiplikativ, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Gradlexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom
{{
Relationskette/align/drucklinks
| X_1^{a_1-a_2 }\cdot(X_1X_2)^{a_2-a_3 } \cdots (X_1\cdots X_{n-1})^{a_{n-1} - a_n } \cdot (X_1\cdots X_n)^{a_n } 
|| X_1^{a_1 } X_2^{a_2 } \cdots X_{n-1}^{a_{n-1} } X_n^{a_n } 
||
||
||
|SZ=.
}}
In der Differenz {{math|term= G |SZ=}} verschwindet also dieses Monom, d.h. {{math|term= G |SZ=}} hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordnung. Da {{math|term= G |SZ=}} ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
|Teilabschluss=
}}
{{
Teilbeweis
|Teilziel=Zur Eindeutigkeit.|Teilstrategie=
|Teilbeweis=
Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome 
{{
Definitionslink
|algebraisch unabhängig|
|Kontext=|
|SZ=
}}
sind. Es sei also
{{
Relationskette/display
| H(E_1 {{kommadots|}}  E_n)
|| 0 
||
||
||
|SZ=,
}}
wobei
{{
Relationskette
| H
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
ein Polynom in den {{math|term= n |SZ=}} Variablen {{mathl|term= Y_1 {{kommadots|}} Y_n |SZ=}}  sei. Wir schreiben {{math|term= H |SZ=}} als Summe von Monomen der Form
{{
Math/display|term=
Y^{a_1-a_2 }_1 Y^{a_2-a_3 }_2\cdots Y^{a_n }_n
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| a_1
| \ge| \ldots
| \ge| a_n
|| 
|| 
|SZ=.
}} 
Es sei {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=}}  dasjenige Tupel mit
{{
Relationskette/display
| a_i
| \geq | a_{i+1} 
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die {{mathl|term= Y^{a_1-a_2 }_1 Y^{a_2-a_3 }_2\cdots Y^{a_n }_n |SZ=}} in {{math|term= H |SZ=}} vorkommt
{{
Zusatz/Klammer
|text=es werden also die {{math|term= a |SZ=}} verglichen, nicht die Differenzen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dann besitzt {{mathl|term= H(E_1 {{kommadots|}} E_n) |SZ=}} als Polynom in {{math|term= X |SZ=}} das Leitmonom {{mathl|term= X^{a_1 }_1\cdots X^{a_n }_n |SZ=}} und wäre nicht {{math|term= 0 |SZ=.}}
|Teilabschluss=
}}
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>1vjdsug0cr8i2ue4ea6tmlq9u8v7a4v</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>SU2C nach SO3R/Matrix/Determinante 1/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>59321</id>
    <revision>
      <id>1107522</id>
      <parentid>1099345</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T15:58:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107522</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="650" sha1="ed08d1yshwgnzctog9hxqdb86z13ceh" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien {{mathl|term= a,b,c,d |SZ=}} 
{{
Definitionslink
|reelle Zahlen|
|Kontext=|
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette/display
| a^2+b^2+c^2+d^2
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass die
{{
Definitionslink
|Determinante|
|Kontext=|
|SZ=
}}
der Matrix
{{
Math/display|term=
 {{op:Matrix33|a^2+b^2-c^2-d^2| 2(-ad+bc)| 2( ac+bd) | 2(ad+bc)|a^2-b^2+c^2-d^2| 2(-ab+cd)| 2(-ac+bd)| 2(ab+cd)|a^2-b^2-c^2+d^2|||||}}
|SZ=
}}
gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Determinantentheorie (R)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>ed08d1yshwgnzctog9hxqdb86z13ceh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblatt 2</title>
    <ns>106</ns>
    <id>61154</id>
    <revision>
      <id>1107646</id>
      <parentid>1069802</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:14:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107646</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2911" sha1="l30ss4sn8xgzrq0lc5ne3mxsb1bpiib" xml:space="preserve">{{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2014)/Arbeitsblattgestaltung|2|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Teilerdiagramm/25,30,36/Aufgabe||zusatz1={{
Zusatz/Klammer
|text=also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird|
|ISZ=|ESZ=
}}
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Gerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Für die folgende Aufgabe ist
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Division mit Rest/N/Addition und Multiplikation/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
hilfreich.
{{
inputaufgabe
|Dezimalsystem/Quersummentest/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Eine Verallgemeinerung dieses Quersummentests wird in der nächsten Aufgabe besprochen.
{{
inputaufgabe
|Modulare Arithmetik/Quersummentest/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quersummentest/15er System/EA09B4CA/7 teilt?/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/1728/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/111/usw/Aufgabe||
|zusatz=
(Vergleiche hierzu auch
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Primzahl/Nicht 2,5/Teilt 1...1/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.)
}}
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahl/Kleinstes Produkt +1 nicht prim/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahlen/Beliebige Lücken/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Darstellung der 1/Beispiele/Aufgabe||zusatz1=&amp;nbsp;
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne des 
{{
Faktlink
|Präwort=|Lemmas von Bézout|Faktseitenname=
Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Faktordivision/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Division mit Rest/Z/Potenz/Teilerfremd/Periodizität/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
Tipp: Verwende{{n Sie}}
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Division mit Rest/Z/Potenz/Periodizität/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
und betrachte{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= a^j-a^i|SZ=}} bei Division durch {{math|term=d|SZ=.}} Schließe dann mit
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Faktordivision/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

}}

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist. 
{{
inputaufgabe
|4n+1/441/Uneindeutige Zerlegung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Doppel-Primzahlzwilling/Nur eins/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppen (Z)/Flohsprünge/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zählen/Digitale Uhr/Karnevalsschritte/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die nächste Aufgabe bezieht sich auf
{{
Bemerkungslink
|Präwort=||Bemerkungsseitenname=
Primzahlzwillinge/Schranke 2013/Bemerkung
|Nr=
|SZ=.
}}
{{
inputaufgabe
|Primzahlzwilling/Wiederholung unterhalb 252/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>l30ss4sn8xgzrq0lc5ne3mxsb1bpiib</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Primzahlen/Unendlich viele/Fakt/Beweis2</title>
    <ns>0</ns>
    <id>61181</id>
    <revision>
      <id>1107501</id>
      <parentid>1042705</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:31:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107501</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1287" sha1="r73ri7mm33kzu3ob0w86eek0upiepct" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Angenommen{{{zusatz1|,}}} die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir, {{mathl|term= \{p_1, p_2 {{kommadots|}} p_r \} |SZ=}} sei eine vollständige Auflistung aller Primzahlen. Man betrachtet die natürliche Zahl 
{{
Relationskette/display
| N 
|| p_1 \cdot p_2\cdot p_3 {{cdots|}} p_r  + 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Da bei Division von {{math|term= N |SZ=}} durch {{math|term= p_i |SZ=}} immer der Rest {{math|term= 1 |SZ=}} übrigbleibt{{{zusatz2|,}}} ist diese Zahl durch keine der Primzahlen {{math|term= p_i |SZ=}} teilbar. Andererseits besitzt {{math|term= N |SZ=}} nach
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
eine Primfaktorzerlegung. Insbesondere gibt es eine Primzahl {{math|term= p |SZ=,}} die {{math|term= N |SZ=}} teilt
{{
Zusatz/Klammer
|text=dabei könnte
{{
Relationskette/k
| N
|| p
||
||
||
|SZ=
}}
sein|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Doch damit muss {{math|term= p|SZ=}} gleich einem der {{math|term= p_i |SZ=}} aus der Liste sein, und diese sind keine Teiler von {{math|term= N |SZ=.}} {{{zusatz3|}}}
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie= 
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>r73ri7mm33kzu3ob0w86eek0upiepct</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>61185</id>
    <revision>
      <id>1107649</id>
      <parentid>1106698</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:40:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107649</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2816" sha1="5s1zmy1y978v0zjqc5xb8mmzatks3cz" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
{{
Induktionsbeweis
|Strategie=
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über das Maximum von
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=,
}}
wobei wir ohne Einschränkung
{{
Relationskette
|a
| \leq |b
||
||
||
|SZ=
}}
wählen können.
|Anfang=
Wenn das Maximum {{math|term= 0 |SZ=}} ist, so sind beide Zahlen {{math|term= 0 |SZ=}} und somit nicht teilerfremd. Wenn das Maximum {{math|term= 1 |SZ=}} ist, so ist
{{
Relationskette
|b
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
und somit ergeben
{{
Relationskette
|r
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|s
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=.}}
|Schluss=
Es seien nun
{{
Relationskette
|a
| \leq |b
||
||
||
|SZ=
}}
teilerfremd,
{{
Relationskette
|b
| \geq | 2
||
||
||
|SZ=
}}
und die Aussage sei für alle Zahlenpaare, deren Maxima kleiner als {{math|term= b |SZ=}} sind, schon bewiesen. Dann ist
{{
Relationskette
|a
| &lt; | b
||
||
||
|SZ=,
}}
da bei
{{
Relationskette
|a
||b
||
||
||
|SZ=
}}
die beiden Zahlen nicht teilerfremd sind. Ebenso können wir
{{
Relationskette
|a
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ausschließen. Wir betrachten das Zahlenpaar {{mathl|term= (a,b-a) |SZ=}} und wollen darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Das Maximum dieses neuen Paares ist jedenfalls kleiner als {{math|term= b |SZ=.}} Allerdings müssen wir, damit die Induktionsvoraussetzung wirklich angewendet werden kann, wissen, dass auch
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b-a
|SZ=
}} 
teilerfremd sind.
{{
Widerspruchsbeweis
|Strategie=
Dazu führen wir einen Widerspruchsbeweis.
|Annahme=
Nehmen wir also an, dass
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b-a
|SZ=
}} 
nicht teilerfremd sind.
|Argumentation=
Dann gibt es eine natürliche Zahl
{{
Relationskette
|t
| \geq | 2
||
||
||
|SZ=,
}}
die sowohl
{{
mathkor|term1=
a
|als auch|term2=
b-a
|SZ=
}}
teilt. Dies bedeutet wiederum, dass es natürliche Zahlen {{mathl|term= m,n|SZ=}} mit
{{
mathkor|term1=
a=mt
|und|term2=
b-a =nt
|SZ=
}}
gibt. Doch dann ist
{{
Relationskette/display
|b
||(b-a)+a
|| nt +mt
|| (n+m)t
||
|SZ=
}}
ebenfalls ein Vielfaches von {{math|term= t |SZ=,}} 
|Widerspruch=
im Widerspruch zur Teilerfremdheit von
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=.
}}
|Zusammenfassung=
}}
|Zusammenfassung=&amp;nbsp;
Die Induktionsvoraussetzung ist also auf
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b-a
|SZ=
}}
anwendbar und somit gibt es ganze Zahlen {{mathl|term= r,s|SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
|ra+s(b-a)
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Dann ist aber auch
{{
Relationskette/display
| (r-s)a  +sb
|| ra +s(b-a)
|| 1
||
||
|SZ=
}}
und wir haben eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=}} mit
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
gefunden.
}}
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>5s1zmy1y978v0zjqc5xb8mmzatks3cz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>61247</id>
    <revision>
      <id>1107502</id>
      <parentid>992719</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:35:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107502</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1980" sha1="o1xmhq45dodgp7pe9pifu0u4hg5nv6s" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Die treibende Kraft der Mathematik ist es, Probleme zu lösen. Schwierige Probleme gibt es in allen Bereichen der Mathematik, besonders prägnant sind sie in der Zahlentheorie, da es dort eine Vielzahl von elementar formulierter, ungelöster Problemen gibt. Man spricht von {{Stichwort|offenen Problemen|msw=Offenes Problem |SZ=,}} oder, wenn man eine bestimmte Erwartung hat, von einer {{Stichwort|Vermutung |SZ=.}} Als Beispiel besprechen wir das Problem der Primzahlzwillinge, zu dem es vor einigen Jahren 
{{
Zusatz/Klammer
|text=2013|
|ISZ=|ESZ=
}}
einen wichtigen Fortschritt gab.

{{
inputdefinition
|Primzahlzwilling/Definition||
}}

Die ersten Beispiele für Primzahlzwillinge sind
{{
Math/display|term=
(3,5),\, (5,7), \, (11,13),\, (17,19),\, (29,31), \ldots
|SZ=.
}}
Übrigens ist {{mathl|term= 3, 5, 7 |SZ=}} der einzige Doppel-Primzahlzwilling
{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Unter einem Primzahldrilling versteht man eine Konfiguration, wo {{math|term= p, p+2, p+6 |SZ=}} oder {{math|term= p, p+4, p+6 |SZ=}} Primzahlen sind, wie beispielsweise {{math|term= 41, 43, 47 |SZ=}} 
|ISZ=.|ESZ=,
}}
siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Doppel-Primzahlzwilling/Nur eins/Aufgabe
|SZ=.
}}

{{
inputproblem
|Primzahlzwilling/Unendlich/Problem||
}}

Eine Lösung dieses Problems wäre ein mathematischer Satz, der entweder besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, oder dass es nur endlich viele Primzahlzwillinge gibt. D.h. das eine oder das andere müsste bewiesen werden. Bei schwierigen Problemen erwartet man nicht, dass jemand plötzlich einen Beweis hinschreibt, sondern dass eine neue und weit verzweigte Theorie entwickelt wird, mit der man letztlich einen Beweis geben kann.

{{
inputbemerkung
|Primzahlzwillinge/Schranke 2013/Bemerkung||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Primzahlzwillinge
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>o1xmhq45dodgp7pe9pifu0u4hg5nv6s</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis3</title>
    <ns>0</ns>
    <id>61297</id>
    <revision>
      <id>1107675</id>
      <parentid>1106645</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:37:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107675</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1245" sha1="5m5mnrhwydfbgd2059u5l57az3ztaie" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Wir setzen voraus, dass {{math|term= a |SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=andernfalls sind wir fertig|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dann müssen wir zeigen, dass {{math|term= b |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist. Unter der gegebenen Voraussetzung{{{zusatz1|}}} sind
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
p
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|teilerfremd|
|Kontext=Z|
|SZ=.
}}
Nach
{{
Faktlink
|Präwort=dem|Lemma von Bézout|Faktseitenname=
Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
gibt es ganze Zahlen {{mathl|term= r,s |SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
| ra +sp
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Da {{mathl|term= ab |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist, gibt es ein {{math|term= t |SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
|ab
||tp
||
||
||
|SZ=.
}}
Daher ist
{{
Relationskette/display
| b
|| b \cdot 1
|| b  (ra +sp) 
|| ab r  + bs  p 
|| t p r +bsp
|| p {{makl| tr +bs |}} 
|SZ=.
}}
Also ist {{math|term= b |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=.}}
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie= 
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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  </page>
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    <title>Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="49" sha1="npv9vm49d10kgccfnkvij0wqx6pvsj2" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|30|4|Kurs=|}}</text>
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    <title>Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endlich/Aufgabe</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107516</origin>
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      <text bytes="851" sha1="hz4npcjl8p2c4y6pvdsot1jrq8uwicp" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= M|SZ=}} ein nichtleerer
{{
Definitionslink
|vollständiger|
|Kontext=mr|
|SZ=
}} {{
Definitionslink
|metrischer Raum|
|SZ=
}}
und es seien
{{
Abbildung/display
|name=f,g
| M | M
||
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|starke Kontraktionen|
|SZ=.
}}
{{
Aufzählung2/a
|Zeige{{n Sie}}, dass die Verknüpfung {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} ebenfalls eine starke Kontraktion ist.
|Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel mit endlichem {{math|term= M|SZ=,}} dass der Fixpunkt von {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} weder mit dem Fixpunkt zu {{math|term= f|SZ=}} noch mit dem Fixpunkt zu {{math|term= g|SZ=}} übereinstimmen muss.
}} 
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Der Banachsche Fixpunktsatz
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=6
|p1=1
|p2=5
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endlich/Aufgabe/Lösung</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-07-16T15:55:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107517</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="1937" sha1="nbt76i4fzp4z8pbgph9u41o5rl15jb4" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
{{
Aufzählung2/a
|Es seien {{mathl|term= L_1,L_2 &lt; 1 |SZ=}} die Kontraktionsfaktoren zu
{{
mathkor|term1=
f
|bzw.|term2=
g
|SZ=.
}}
Dann ist für beliebige Punkte {{mathl|term= x,y\in M |SZ=}} 
{{
Relationskette/display
|d(g(f(x)), g(f(y)))
| \leq| L_2 d (f(x),f(y))
| \leq| L_2L_1 d(x,y)
||
||
|SZ=
}}
und somit kann man {{mathl|term=   L_1L_2 &lt; 1 |SZ=}} als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.
|Wir betrachten die drei Punkte
{{
Relationskette/display
|M
||\{0,2,3\}
| \subset |  \R
||
||
|SZ=
}}
mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von {{math|term= \R|SZ=}} ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung
{{
Math/display|term=
f =0
|SZ=
}}
und {{math|term= g |SZ=}} mit
{{
Math/display|term=
 g(0)=2, \, g(2)=g(3)=3
|SZ=.
}}
Die konstante Abbildung {{math|term= f |SZ=}} ist eine starke Kontraktion
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit Kontraktionsfaktor {{math|term= 0 |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
und {{math|term= g |SZ=}} ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor {{mathl|term=  {{op:Bruch| 1| 2}} |SZ=;}} es ist ja
{{
Relationskette/display
|d(g(0),g(2))
|| d(2,3)
|| 1
| \leq |  {{op:Bruch| 1| 2}} 2
|| {{op:Bruch| 1| 2}} d(0,2)
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
|d(g(0),g(3))
|| d(2,3)
|| 1
| \leq |  {{op:Bruch| 1| 2}} 3
|| {{op:Bruch| 1| 2}} d(0,3)
|SZ=,
}}
und
{{
Relationskette/display
|d(g(2),g(3))
|| d(3,3)
|| 0
| \leq |  {{op:Bruch| 1| 2}} 
|| {{op:Bruch| 1| 2}} d(2,3)
|SZ=.
}}
Der Fixpunkt von {{math|term= f |SZ=}} ist {{math|term= 0 |SZ=}} und der Fixpunkt von {{math|term= g |SZ=}} ist {{math|term= 3 |SZ=.}} Dagegen ist
{{
Relationskette/display
|(gf)(2)
|| g (f(2))
|| g (0)
|| 2
||
|SZ=,
}}
es ist also {{mathl|term= 2 \neq 0,3 |SZ=}} der Fixpunkt der Verknüpfung.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>nbt76i4fzp4z8pbgph9u41o5rl15jb4</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
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      <timestamp>2026-07-16T17:24:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>942464</origin>
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  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 8</title>
    <ns>106</ns>
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    <revision>
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      <timestamp>2026-07-17T07:13:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107645</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2945" sha1="9ey9uh4unvstga05tnbvfdbng0o20ry" xml:space="preserve">{{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblattgestaltung|8|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Darstellung der 1/Beispiele/Aufgabe||zusatz1=&amp;nbsp;
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne des 
{{
Faktlink
|Präwort=|Lemmas von Bézout|Faktseitenname=
Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppen (Z)/Flohsprünge/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Faktordivision/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Division mit Rest/Z/Potenz/Teilerfremd/Periodizität/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahl/Nicht_2,5/Teilt_1...1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Hauptidealbereich/kgV und ggT existieren/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Integritätsbereich/Irreduzibel nicht assoziert/ggT ist 1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Neilsche Parabel (direkt)/X^2 X^3/kgV existiert nicht/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Neilsche Parabel (direkt)/X^2 X^3/Teilerfremd, keine Darstellung der 1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/12733 und 3983/Darstellung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/X^3+2X^2+5X+2 und X^2+4X-3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Statt {{mathl|term= {{op:Zmod|p}}|SZ=}} für eine Primzahl {{math|term=p|SZ=}} schreiben wir gelegentlich auch {{mathl|term={\mathbb F}_p|SZ=.}} 
{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/ X^3+2X^2+X+2 und 2X^2+1/Aufgabe||
|zusatz=Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutative Ringtheorie/Beispiele für Nichthauptidealbereiche/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Zählen/Digitale Uhr/Karnevalsschritte/Aufgabe|p+|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppe/77,91,143/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Integritätsbereich/Irreduzibel und maximales Hauptideal/Aufgabe|p+|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/C/X^3+(2-i)X^2+4 und (3-i)X^2+5X-3/Aufgabe|p|
|zusatz=Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 5/X^4+3X^3+X^2+4X+2 und 2X^3+4X^2+X+3/Aufgabe|p|
|zusatz=Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Unterring/Ideal/Runterschneiden/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}
}}</text>
      <sha1>9ey9uh4unvstga05tnbvfdbng0o20ry</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Entkoppeltes Vektorfeld/Gradientenfeld/Direkt/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>72907</id>
    <revision>
      <id>1107617</id>
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      <timestamp>2026-07-17T06:40:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107617</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="816" sha1="6eu6ppovz8944n4q1kc8tob0h2p0u67" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
Abbildung/display
|name=F
|\R^n | \R^n
||
|SZ=
}}
ein stetiges 
{{
Definitionslink
|Vektorfeld|
|Kontext=|
|SZ=,
}}
wobei die {{math|term= i|SZ=-}}te Komponente nur von der {{math|term= i|SZ=-}}ten Variablen abhängen möge. Es sei
{{
Abbildung/display
|name= \gamma
| [a,b] | U
||
|SZ=
}}
ein
{{
Definitionslink
|stetig differenzierbarer Weg|
|Kontext=|
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass das 
{{
Definitionslink
|Wegintegral|
|Kontext=Feld|
|SZ=
}}
{{mathl|term= \int_\gamma F|SZ=}} nur von
{{
mathkor|term1=
\gamma(a)
|und|term2=
 \gamma(b)
|SZ=
}}
abhängt.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Gradientenfelder
|Kategorie2=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld)
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=4
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>6eu6ppovz8944n4q1kc8tob0h2p0u67</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endliche Menge/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
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    <revision>
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      <parentid>1049830</parentid>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107528</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="875" sha1="p9ip6rzmhz2qrpuuakgddzw71ekh7tq" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= M |SZ=}} ein nichtleerer
{{
Definitionslink
|vollständiger|
|Kontext=mr|
|SZ=
}} {{
Definitionslink
|metrischer Raum|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und es seien
{{
Abbildung/display
|name=f,g
| M | M
||
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|starke Kontraktionen|
|Kontext=|
|SZ=.
}}
{{
Aufzählung2/a
|Zeige{{n Sie}}, dass die Verknüpfung {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} ebenfalls eine starke Kontraktion ist.
|Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel mit {{math|term= M |SZ=}} endlich, dass der Fixpunkt von {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} weder mit dem Fixpunkt zu {{math|term= f |SZ=}} noch mit dem Fixpunkt zu {{math|term= g |SZ=}} übereinstimmen muss.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Der Banachsche Fixpunktsatz
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=6
|p1=1
|p2=5
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>p9ip6rzmhz2qrpuuakgddzw71ekh7tq</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Starke Kontraktion/Verknüpfung/Endliche Menge/Aufgabe/Lösung</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107529</origin>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
{{
Aufzählung2/a
|Es seien {{mathl|term= L_1,L_2 &lt; 1 |SZ=}} die Kontraktionsfaktoren zu
{{
mathkor|term1=
f
|bzw.|term2=
g
|SZ=.
}}
Dann ist für beliebige Punkte {{mathl|term= x,y\in M |SZ=}} 
{{
Relationskette/display
|d(g(f(x)), g(f(y)))
| \leq| L_2 d (f(x),f(y))
| \leq| L_2L_1 d(x,y)
||
||
|SZ=
}}
und somit kann man {{mathl|term=   L_1L_2 &lt; 1 |SZ=}} als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.
|Wir betrachten die drei Punkte
{{
Relationskette/display
| M
|| \{0,2,3\}
| \subset |  \R
||
||
|SZ=
}}
mit dem reellen Abstand. Dies ist als abgeschlossene Teilmenge von {{math|term= \R|SZ=}} ein vollständiger metrischer Raum. Wir betrachten die konstante Abbildung
{{
Math/display|term=
f =0
|SZ=
}}
und {{math|term= g |SZ=}} mit
{{
Math/display|term=
 g(0)=2, \, g(2)=g(3)=3
|SZ=.
}}
Die konstante Abbildung {{math|term= f |SZ=}} ist eine starke Kontraktion
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit Kontraktionsfaktor {{math|term= 0 |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
und {{math|term= g |SZ=}} ist eine starke Kontraktion mit Kontraktionsfaktor {{mathl|term=  {{op:Bruch| 1| 2}} |SZ=;}} es ist ja
{{
Relationskette/display
|d(g(0),g(2))
|| d(2,3)
|| 1
| \leq |  {{op:Bruch| 1| 2}} 2
|| {{op:Bruch| 1| 2}} d(0,2)
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
|d(g(0),g(3))
|| d(2,3)
|| 1
| \leq |  {{op:Bruch| 1| 2}} 3
|| {{op:Bruch| 1| 2}} d(0,3)
|SZ=,
}}
und
{{
Relationskette/display
|d(g(2),g(3))
|| d(3,3)
|| 0
| \leq |  {{op:Bruch| 1| 2}} 
|| {{op:Bruch| 1| 2}} d(2,3)
|SZ=.
}}
Der Fixpunkt von {{math|term= f |SZ=}} ist {{math|term= 0 |SZ=}} und der Fixpunkt von {{math|term= g |SZ=}} ist {{math|term= 3 |SZ=.}} Dagegen ist
{{
Relationskette/display
|(gf)(2)
|| g (f(2))
|| g (0)
|| 2
||
|SZ=,
}}
es ist also {{mathl|term= 2 \neq 0,3 |SZ=}} der Fixpunkt der Verknüpfung.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Starke Kontraktion/Verknüpfung/Aufgabe</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="892" sha1="297gya9drouso7sw67fszresccz06eq" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= M |SZ=}} ein nichtleerer
{{
Definitionslink
|vollständiger|
|Kontext=mr|
|SZ=
}} {{
Definitionslink
|metrischer Raum|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und es seien
{{
Abbildung/display
|name=f,g
| M | M
||
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|starke Kontraktionen|
|Kontext=|
|SZ=.
}}
{{
Aufzählung2/a
|Zeige{{n Sie}}, dass die Verknüpfung {{mathl|term= g \circ f|SZ=}} ebenfalls eine starke Kontraktion ist.
|Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel mit
{{
Relationskette
| M
|| \R
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
dass der Fixpunkt von {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} weder mit dem Fixpunkt zu {{math|term= f|SZ=}} noch mit dem Fixpunkt zu {{math|term= g |SZ=}} übereinstimmen muss.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Der Banachsche Fixpunktsatz
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=4
|p1=1
|p2=3
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>297gya9drouso7sw67fszresccz06eq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Starke Kontraktion/Verknüpfung/Aufgabe/Lösung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>74276</id>
    <revision>
      <id>1107521</id>
      <parentid>1095668</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T15:58:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107521</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1262" sha1="q6jboyd7313ydrktm1dtg3z8nh3lyka" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
{{
Aufzählung2/a
|Es seien {{mathl|term= L_1,L_2 &lt; 1 |SZ=}} die Kontraktionsfaktoren zu
{{
mathkor|term1=
f
|bzw.|term2=
g
|SZ=.
}}
Dann ist für beliebige Punkte {{mathl|term= x,y\in M |SZ=}} 
{{
Relationskette/display
|d(g(f(x)), g(f(y)))
| \leq| L_2 d (f(x),f(y))
| \leq| L_2L_1 d(x,y)
||
||
|SZ=
}}
und somit kann man {{mathl|term=   L_1L_2 &lt; 1 |SZ=}} als Kontraktionsfaktor für die Verknüpfung nehmen.
|Wir betrachten die Abbildung
{{
Abbildung/display
|name=f
| \R | \R
| x | {{op:Bruch| 1| 2}}x 
|SZ=,
}}
die stark kontrahierend ist und den Fixpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt, und die Abbildung
{{
Abbildung/display
|name=g
| \R | \R
| y | {{op:Bruch| 1| 2}} y +1
|SZ=,
}}
die ebenfalls stark kontrahierend ist und {{math|term= 2 |SZ=}} als Fixpunkt besitzt. Die Verknüpfung {{mathl|term=  g \circ f |SZ=}} ist
{{
Relationskette/display
| (g \circ f)(x)
|| g(f(x)
|| g {{makl|  {{op:Bruch| 1| 2}} x |}} 
|| {{op:Bruch| 1| 2}} {{makl| {{op:Bruch| 1| 2}} x  |}} +1
|| {{op:Bruch| 1| 4}} x +1
|SZ=.
}}
Hierbei ist {{mathl|term= {{op:Bruch| 4| 3}} |SZ=}} der Fixpunkt.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>q6jboyd7313ydrktm1dtg3z8nh3lyka</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 43</title>
    <ns>106</ns>
    <id>74705</id>
    <revision>
      <id>1107615</id>
      <parentid>1069925</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:40:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107615</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2807" sha1="lgek4bd50g1pvz249r482ds252ddrb1" xml:space="preserve">{{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|43|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomring in drei Variablen/Über Q/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|KXY/(X,Y)/Kein Hauptideal/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.
{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Bild/Zylinder/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Graph und Rotationsfläche/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Minkowski-Raum/Form ist 1/Zusammenhang/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Minkowski-Raum/Form ist 1/Einschränkung auf Beobachterraum/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbild
|Cusp|png| 250px {{!}} right {{!}} 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Satipatthana
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputaufgabe
|Neilsche Parabel/R/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbare Kurve/Neilsche Parabel/Minimaler Abstand zu (1,0)/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomiale ebene Kurven/(t^3-1,t^2-1)/Kurvengleichung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Parabel/Rotationskörper um Abszisse/Keine Quadrik/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|R^4/Minkowski-Form/Orthonormalbasis und orthogonal/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|R^2/Minkowski-Form/Orthonormalbasis und orthogonal/Bestimme/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Homogene Polynome/Bis zu drei Variablen/Wie viele Monome/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ebene_algebraische_Kurven/Kreisgleichung/Punkte_über_endlichen_Körpern/K_ist_F_2,_F_3,_F_5,_F_7/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/1/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kegelschnitt/Affine Ebene/Ist quadratisches Polynom/Realisierung aus Liste/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>lgek4bd50g1pvz249r482ds252ddrb1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Polynomring/Körper/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>78317</id>
    <revision>
      <id>1107578</id>
      <parentid>452107</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:36:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Polynomring/Körper/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>452107</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45" sha1="6ztubdtqi67mixu66h0q12pt5iuyeqm" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|26|4|Kurs=|}}</text>
      <sha1>6ztubdtqi67mixu66h0q12pt5iuyeqm</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesung 6</title>
    <ns>106</ns>
    <id>80083</id>
    <revision>
      <id>1107618</id>
      <parentid>1052644</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:41:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107618</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5322" sha1="4s7xx2fexf7g8srtf0tfsq8n4tm12he" xml:space="preserve">{{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung|6|

{{Seitenüberschrift|Prädikatenlogik}}

Mit der Aussagenlogik kann man keine gehaltvollen mathematischen Aussagen behandeln. Beispielsweise fehlt in ihr das Gleichheitszeichen, und man kann nicht über Variablen, die sich auf eine Grundmenge beziehen, quantifizieren. Dies führt zur Prädikatenlogik, der wir uns nun zuwenden, und mit der man einen Großteil der
{{
Zusatz/Klammer
|text=in einem gewissen Sinn die ganze|
|ISZ=|ESZ=
}}
Mathematik ausdrücken kann. Von der mathematischen Praxis her ist sie aber immer noch recht restriktiv. Wir erinnern kurz an den Abbildungsbegriff und den Relationsbegriff der Mathematik und setzen eine naive Mengenlehre und die natürlichen Zahlen {{Anführung|zum Zählen|}} voraus.

{{
inputdefinition
|Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Produktmenge/Zwei Mengen/Definition||
}}
Für uns ist insbesondere das {{math|term= n|SZ=-}}fache Produkt einer Menge {{math|term= M|SZ=}} mit sich selbst, also
{{
Relationskette/display
|M^n
||M \times M  {{timesdots|}} M
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit {{math|term= n|SZ=}} Faktoren|
|ISZ=|ESZ=
}}
wichtig.

{{
inputdefinition
|Theorie der Abbildungen/n-stellige Funktion/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Mengentheorie/Relation auf einer Menge/n-stellig/Definition||
}}
Eine {{math|term= n|SZ=-}}stellige Funktion kann auch als eine {{math|term=(n+1)|SZ=-}}stellige Relation aufgefasst werden, bei der es zu jedem {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term=(x_1 {{kommadots|}} x_n)|SZ=}} genau ein {{mathl|term= x_{n+1}|SZ=}} gibt derart, dass {{mathl|term=(x_1 {{kommadots|}} x_n,x_{n+1})|SZ=}} zur Relation gehört. Dieses {{mathl|term= x_{n+1}|SZ=}} ist dann der Funktionswert der zugehörigen Funktion an der Stelle {{mathl|term=(x_1 {{kommadots|}} x_n)|SZ=.}}

{{Zwischenüberschrift|Terme}}

{{:Zahlen/Terme/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{Zusatz/Fußnote|text=Zwei Mengen
{{
mathkor|term1=
L
|und|term2=
M
|SZ=
}}
heißen {{Definitionswort|disjunkt|SZ=,}} wenn ihr
{{
Definitionslink
|Durchschnitt|
|kon=|msw=|
|Definitionsseitenname=
/Definition
|Refname=
{{{def|}}}
|SZ=
}}
{{mathl|term= L \cap M= \emptyset|SZ=}} ist.}}  }}

Wir erklären noch, was die {{Stichwort|Variablenmenge eines Terms|SZ=}} ist. Diese ist stets eine Teilmenge der Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} und enthält diejenigen Variablen, die in dem Term irgendwo vorkommen. Die rekursive Definition lautet folgendermaßen.
{{
Aufzählung3
|Wenn {{mathl|term= t=x|SZ=}} eine Variable ist, so ist {{mathl|term= \operatorname{Var} (x) =\{x\}  |SZ=.}} 
|Wenn {{mathl|term= t=c|SZ=}} eine Konstante ist, so ist {{mathl|term= \operatorname{Var} (c) =\emptyset |SZ=.}}
|Wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol ist und wenn {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_n |SZ=}} Terme sind, so ist
{{mathl|term= \operatorname{Var} (f t_1 {{kommadots|}} t_n) =\operatorname{Var} (t_1) {{cupdots}} \operatorname{Var} (t_n) |SZ=.}}
}}

{{
inputbild
|Uni Freiburg - Philosophen 4|jpg|180px {{!}} right {{!}} 
|Zusname=Uni_Freiburg_-_Philosophen_4
|Text=[[w:Aristoteles|Aristoteles {{
Zusatz/Klammer
|text=384-322 v.C.|
|ISZ=|ESZ=
}}]]
gilt als Erfinder der Prädikatenlogik. Er verwendet in seiner Analytik Variablen, einstellige Prädikate, Quantoren und die logischen Junktoren.
|Autor=Cipri Adolf Bermann
|Benutzer=Michael Sch.
|Domäne=
|Lizenz=CC-BY-SA-2.5 
|Bemerkung=
}}
Nachdem wir die Terme zur Verfügung haben, fahren mit dem syntaktischen Aufbau der Ausdrücke in der Prädikatenlogik 
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit Identität|
|ISZ=|ESZ=
}}
fort. Um den Aufbau dieser formalen Sprache zu motivieren und das Verständnis der zunächst rein formalen Ausdrücke zu erleichtern, ist es hilfreich, an Bildungsweisen von mathematischen Aussagen zu erinnern. Der konsequente Aufbau der Syntax und der Semantik folgt in der nächsten Vorlesung.

{{Zwischenüberschrift|Relationen}}

Ein Term kann weder wahr noch falsch sein, und zwar unabhängig davon, ob man ihn einfach als ein nach gewissen formalen Regeln aufgebautes Symbolwort auffasst oder ihn in einer bestimmten Menge 
{{
Zusatz/Klammer
|text=etwa den natürlichen Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
interpretiert. Wahr oder falsch können nur Aussagen sein. Wichtig sind für uns zunächst die formalen Eigenschaften einer Aussage. In mathematischen Aussagen kommen häufig Terme zusammen mit einem Vergleichssymbol vor, z. B. in der
{{
Zusatz/Klammer
|text=wahren|
|ISZ=|ESZ=
}}
Gleichung
{{
Math/display|term=
2 \cdot (2+3) = 10
|SZ=
}}
oder der
{{
Zusatz/Klammer
|text=falschen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Abschätzung
{{
Math/display|term=
 2 \cdot (2+3) &lt; 10
|SZ=.
}}
Mit zwei Termen und dem Gleichheitszeichen oder Kleinerzeichen gelangt man also zu Aussagen, man spricht von zweistelligen Relationen
{{
Zusatz/Klammer
|text=in Logik und Grammatik auch von zweistelligen Prädikaten|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Der Wahrheitsgehalt hängt dabei von den zwei Eingaben ab. 

{{:Relationen/Prädikatenlogik/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Quantoren}}

{{:Prädikatenlogik/Quantoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Junktoren}}

{{:Prädikatenlogik/Junktoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>4s7xx2fexf7g8srtf0tfsq8n4tm12he</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Systemorientierte Organisationslehre</title>
    <ns>106</ns>
    <id>80515</id>
    <revision>
      <id>1107717</id>
      <parentid>1106175</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:56:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <origin>1107717</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29313" sha1="oc8ix0p6rs082gbp0zw1hl1qk8hbmj4" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Zielgruppe &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
Studierende im Studienangebot &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftliche&quot;, zu dem dieses Lehrmodul gehört.

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; HILFREICHE PODCASTS&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?''']
* [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]]
* [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Richtig Lesen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort
&lt;br&gt;
In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet:
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
==&lt;big&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;&lt;small&gt;auf Wunsch möglich&lt;/small&gt; '''Schneller Lesen können'''==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
--------------
&lt;/div&gt;
Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn:
# Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen.
# Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind.
# Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. 
# Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis.
# Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich.
# Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden.
# Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen.  

In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen.

'''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.'''


Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen:
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;besser lesen]]
&lt;/span&gt;
&lt;br&gt;

== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die gestellten Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <origin>1107718</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28791" sha1="58bhz473x1knw92678ffztyyivt4d18" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]]
* [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Richtig Lesen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort
&lt;br&gt;
In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet:
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
==&lt;big&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;&lt;small&gt;auf Wunsch möglich&lt;/small&gt; '''Schneller Lesen können'''==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
--------------
&lt;/div&gt;
Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn:
# Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen.
# Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind.
# Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. 
# Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis.
# Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich.
# Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden.
# Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen.  

In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen.

'''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.'''


Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen:
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;besser lesen]]
&lt;/span&gt;
&lt;br&gt;

== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die gestellten Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
      <sha1>58bhz473x1knw92678ffztyyivt4d18</sha1>
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    <revision>
      <id>1107719</id>
      <parentid>1107718</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:59:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <origin>1107719</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29081" sha1="cdg0j11khqobmmsqck7uisrkef45a0t" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]]
* [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort
&lt;br&gt;
In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet:
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
==&lt;big&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;&lt;small&gt;auf Wunsch möglich&lt;/small&gt; '''Schneller Lesen können'''==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
--------------
&lt;/div&gt;
Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn:
# Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen.
# Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind.
# Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. 
# Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis.
# Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich.
# Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden.
# Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen.  

In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen.

'''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.'''


Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen:
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;besser lesen]]
&lt;/span&gt;
&lt;br&gt;

== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die gestellten Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
      <sha1>cdg0j11khqobmmsqck7uisrkef45a0t</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107720</id>
      <parentid>1107719</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:59:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <origin>1107720</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28789" sha1="llpksdmv497uzhlknn9gill1nws7r4p" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort
&lt;br&gt;
In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet:
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
==&lt;big&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;&lt;small&gt;auf Wunsch möglich&lt;/small&gt; '''Schneller Lesen können'''==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
--------------
&lt;/div&gt;
Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn:
# Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen.
# Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind.
# Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. 
# Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis.
# Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich.
# Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden.
# Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen.  

In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen.

'''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.'''


Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen:
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;besser lesen]]
&lt;/span&gt;
&lt;br&gt;

== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die gestellten Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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    <revision>
      <id>1107721</id>
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      <timestamp>2026-07-17T11:00:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* Worum geht es bei der Thematik? */</comment>
      <origin>1107721</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28199" sha1="cogbjy7ookaguccpbobkja8kx4fn717" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
==&lt;big&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;&lt;small&gt;auf Wunsch möglich&lt;/small&gt; '''Schneller Lesen können'''==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
--------------
&lt;/div&gt;
Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn:
# Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen.
# Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind.
# Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. 
# Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis.
# Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich.
# Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden.
# Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen.  

In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen.

'''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.'''


Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen:
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;besser lesen]]
&lt;/span&gt;
&lt;br&gt;

== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die gestellten Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
      <sha1>cogbjy7ookaguccpbobkja8kx4fn717</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107722</id>
      <parentid>1107721</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:00:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* auf Wunsch möglich Schneller Lesen können */</comment>
      <origin>1107722</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25006" sha1="1j177be7s5ykajxpbghv96hne9b6pqm" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die gestellten Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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      <timestamp>2026-07-17T11:01:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens */</comment>
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      <text bytes="25006" sha1="l1d51ftf7oaypsqahgmvo02tlfb7i27" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die gestellten Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
      <sha1>l1d51ftf7oaypsqahgmvo02tlfb7i27</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107724</id>
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      <timestamp>2026-07-17T11:02:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens */</comment>
      <origin>1107724</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24964" sha1="1qwxnrjifjukb3z0u8blzbo129p1pt3" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
      <sha1>1qwxnrjifjukb3z0u8blzbo129p1pt3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107727</id>
      <parentid>1107724</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:04:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* Das persönliche Kurslogbuch */</comment>
      <origin>1107727</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24964" sha1="3s1itzcmemyj6mlb8o4w2oxl6d9h94n" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''14.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780547&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''03.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780540 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
      <sha1>3s1itzcmemyj6mlb8o4w2oxl6d9h94n</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107730</id>
      <parentid>1107727</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:06:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* Das persönliche Kurslogbuch */</comment>
      <origin>1107730</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24965" sha1="ih31cd4ncx23owoxhmou9ezdtd6m4io" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835376 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835401 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780550&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780543 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/*  benotete Prüfungsleistung */</comment>
      <origin>1107732</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24966" sha1="ooicz3p0266aqe89suj1i5k805cxz89" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835376 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835401 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780548&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=780541 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835379 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835404 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/*  Was ist zu tun? */</comment>
      <origin>1107733</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24966" sha1="qrcqsztvv3fdibgw4un901wh04tgym3" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835376 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835401 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835377&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835402 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835379 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835404 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


==Quellen==

[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
      <sha1>qrcqsztvv3fdibgw4un901wh04tgym3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107734</id>
      <parentid>1107733</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:10:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* Quellen */</comment>
      <origin>1107734</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24955" sha1="ibxewftjkkbss578z0c82cwdjezhvr1" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; &lt;big&gt;[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage]  &lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt;  [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835376 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835401 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835377&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835402 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835379 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835404 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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      <timestamp>2026-07-17T11:11:22Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Falko Wilms</username>
        <id>8588</id>
      </contributor>
      <comment>/* Lehrender */</comment>
      <origin>1107736</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24854" sha1="0gm6mmohpio9swggdx7c5vkx6qgrq8s" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;
--------------
&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
&lt;br&gt;&lt;br&gt;

==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835376 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835401 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835377&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835402 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835379 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835404 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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        <username>Falko Wilms</username>
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      <text bytes="24830" sha1="icwojjx23h0hbl2vjxmn0a1aaqdhdoj" xml:space="preserve">&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:100%;float:right;&quot;&gt;

&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;
[[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|&lt;center&gt;[http://www.fhv.at  URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg  youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]&lt;/center&gt;]]

&lt;/div&gt;


__NOTOC__
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:130%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Wintersemester 2026/27&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span style=&quot;font-size:180%;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''(systemorientierte) Organisationslehre'''&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;
&lt;center&gt;&lt;span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;&quot;&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%;&gt;&lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses &quot;Einführung in die Betriebswirtschaftslehre&quot;&lt;/span&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;

&lt;br clear=&quot;all&quot;;&gt;
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:25%;float:right;&quot;&gt;

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt; Hilfreiche Unterlagen &lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write''']
* [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30''']
* [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]]
* [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen''']
* [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf  '''Lerntagebuch''']
* [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf  '''Goldkörnchen''']

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Selbststudium&lt;/big&gt;'''&lt;/div&gt;
* [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']]
* [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf   '''wiss. Arbeiten an der FHV''']
* [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Einsatz von KI-Tools''']]

&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;hilfreiches Material'''&lt;/div&gt;
* [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen]
* [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen]
* [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Lexika'''&lt;/div&gt;
* [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon]
* [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24]
* [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon]
* [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar]

&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Suchmaschinen'''&lt;/div&gt;
'''Semantische Suchmaschinen''':
* [http://www.semager.de/  SEMAGER]
* [http://www.mnemo.org//  MNEMOMAP]
* [http://www.wolframalpha.com/   WOLFRAM ALPHA]
* [http://www.yippy.com  YIPPI]

'''Pfadunabhängige Suchmaschinen'''
* [http://www.ixquick.com  IXQUICK]
* [https://www.ecosia.org ECOSIA]
--------------
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Vorsicht vor FAKE NEWS&lt;/big&gt;&lt;/div&gt;
*[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]'''
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

__TOC__
==Lehrender==
&lt;big&gt;'''Dr. Falko Wilms'''&lt;/big&gt; &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''|'''&lt;/big&gt; [mailto:falko.wilms@fhv.at klick &amp; mail] &lt;big&gt;
&lt;br&gt;

==Worum geht es bei der Thematik?==
Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung.
Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten.
An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''&lt;big&gt;Erkenntnisse aus der Forschung&lt;/big&gt;'''==
*  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''Forschungslage'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018).
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bewirken handschriftliche Notizen  bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Studie'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!&lt;br&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI:
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails.
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; dieser &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''Arbeit'''] &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. &lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:'''
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden.
# &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. &lt;br&gt;

==Anwesenheitspflicht==
Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: 
* In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche  Anwesenheitspflicht nicht. 
* Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt.
* Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''bearbeitete Themen'''&lt;/big&gt;==

:&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Thematik''' &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;'''=&gt; podcast zum Thema'''
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Worum es geht] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Was Wertschöpfung ist] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Modelltheorie] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;small&gt; &lt;= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung&lt;/small&gt;&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Systemdenken] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Organisation aus Sicht des Systemdenkens] 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;SGMM 2015]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Grundlegende Begriffe]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Aufbau-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Ablauf-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Prozess-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; grundlegende Logiken]&lt;/span&gt;
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt; =&gt; Primär- &amp; Sekundär-Organisation]
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 &lt;span style=&quot;color:grey;&quot;&gt;=&gt; Neue Organisations-Modelle]
&lt;br&gt;
== Siehe auch ==
{|style=&quot;width:90%&quot;
|-style=&quot;vertical-align:top;&quot;
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft)  Organisation (Wirtschaft)]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation]
|
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System  Soziales System]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie  Systemtheorie]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29  Systemdenken]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation  Virtuelle Organisation]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft]
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung]
|}

.

==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:20%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;'''Selbsteinschätzung'''&lt;/div&gt;
&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Um Ihre Fortschritte einzuschätzen, sollten Sie 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;die Fragen bearbeiten 
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Ursachen für Abweichungen erkunden
--------
&lt;/span&gt;
&lt;/div&gt;
{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
|&lt;center&gt;&lt;big&gt;'''Einzelne Themenstellungen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;||&lt;center&gt;&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Fragbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Antwortbogen'''&lt;/big&gt;&lt;/center&gt;
|- 
|Worum geht es?||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]&lt;/center&gt;  
|-  
|Systemdenken||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Das SGMM||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Logiken von O.-Stukturend||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Aufbauorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Ablauforganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]&lt;/center&gt;   
|-  
|Prozessorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]&lt;/center&gt; 
|-  
|Primär- &amp; Sekundärorganisation||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|Neue Ansätze||&lt;center&gt;[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]&lt;/center&gt;|| &lt;center&gt; &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt;[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]&lt;/center&gt;    
|-  
|}

==Das persönliche Kurslogbuch==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:28%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''&lt;span style=&quot;color:white;&quot;&gt;Persönliches Kurslogbuch'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Das persönliche Kurslogbuch]
* [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Beispielhafte Musterseite]
-----
* [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template meines Kurslogbuchs]
* [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx  &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Template eines Logbucheintrages]
--------------
&lt;/div&gt;

Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; Führen eines Kurslogbuches&lt;/span&gt;] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.&lt;br&gt;
Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.&lt;br&gt;
Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit.

&lt;big&gt;'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835376 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835401 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''Was ist zu tun?'''&lt;/big&gt;==
&lt;div id=&quot;toc&quot; style=&quot;width:30%;float:right;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center&quot;&gt;'''Nugget-Charts erstellen'''&lt;/div&gt;
* [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf  &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;'''richtig zitieren'''&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Sinn des Nugget-Charts&lt;/span&gt;]
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Das Nugget-Chart'''&lt;/span&gt;]
* [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']]
* [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Arbeitsblatt zum Chart'''&lt;/span&gt;]
* [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; '''Template zur Verschriftlichung'''&lt;/span&gt;]
--------------
&lt;/div&gt;

&lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs:
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;5er-Gruppen bilden
* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst!
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung
:* &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt;ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist

Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen.
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835377&lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835402 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner''']&lt;br&gt;
hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden.
&lt;br&gt;

==&lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;&lt;big&gt; '''benotete Prüfungsleistung'''&lt;/big&gt;==
Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;diesem '''Template'''] &lt;/span&gt; ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. 

* Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. 
* Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt; '''hier'''&lt;/span&gt;] zu finden. 
* Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf &lt;span style=&quot;color:red;&quot;&gt;Verschritlichung eines Nugget-Charts]. &lt;/span&gt;&lt;br&gt;.

&lt;big&gt;'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''&lt;/big&gt;
* &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; für die vollzeitlich Studierenden am '''19.01.2027 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835379 &lt;span style=&quot;color:green;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''] 
* &lt;span style=&quot;color:brown;&quot;&gt; für die nebenberuflich Studierenden am '''10.12.2026 um 23:59 Uhr''' =&gt; in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&amp;ref_id=835404 &lt;span style=&quot;color:blue;&quot;&gt; diesen '''ILIAS-Ordner'''].
&lt;br&gt;

== Fachliteratur ==
* International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt
* Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt
* Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb.  Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
* Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl
Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden.


[[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]]
[[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]]
[[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]]</text>
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    <title>Polynomring in drei Variablen/Über Q/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Polynomring in drei Variabeln/Über Q/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe]] nach [[Polynomring in drei Variablen/Über Q/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Multipliziere{{n Sie}} in {{mathl|term= \Q[x,y,z]}} die beiden Polynome
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Math/display|term=
x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und  } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y
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}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Polynomringe in drei Variablen über einem Körper
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Liste der Hauptsätze</title>
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|Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||
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|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Satz||
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|Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt|||
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|Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|||
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|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Lemma||
|ref||
}}

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|Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz||
||
}}

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|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Fakt|Lemma||
|ref=||
}}

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|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
||
}}

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|Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt|Lemma||
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|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma||
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|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz||
||
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|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma||
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|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma||
||
}}

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|Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt|Lemma||
||
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{{
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|Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
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|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz||zusatz1=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term=p_i|SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term=N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge|
|ISZ=|ESZ=
}}
falsch gewesen sein.
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1=
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}|
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
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|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
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|Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Dezimalbrüche/Ring/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
||
}}

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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|Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||
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|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Satz||
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|Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt|||
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}}

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|Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|||
||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Multiplikation/Fakt|Lemma||
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|Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz||
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{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Fakt|Lemma||
|ref=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz||zusatz1=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term=p_i|SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term=N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge|
|ISZ=|ESZ=
}}
falsch gewesen sein.
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1=
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}|
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Dezimalbrüche/Ring/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
||
}}

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <comment>Änderung [[Special:Diff/1107641|1107641]] von [[Special:Contributions/Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[User talk:Bocardodarapti|Diskussion]]) rückgängig gemacht.</comment>
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|Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt|||
||
}}

{{
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|Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|||
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}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Lemma||
|ref||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutigkeit der Multiplikation/Fakt|Lemma||
|ref=||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz||zusatz1=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term=p_i|SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term=N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge|
|ISZ=|ESZ=
}}
falsch gewesen sein.
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1=
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}|
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
||
}}

{{
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|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
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||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Dezimalbrüche/Ring/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
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|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
||
}}

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Natürliche Zahlen/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
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      <text bytes="4898" sha1="tlpbtjqoue5g8nubc9d8710c8lbufhv" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition||
}}
Beispielsweise sind {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} die Teiler von {{math|term= 10 |SZ=}} und {{mathl|term= 1,3,9,27,81 |SZ=}} die Teiler von {{mathl|term= 81 |SZ=.}} Eine Zerlegung
{{
Relationskette/display
|n
||st
||
||
||
|SZ=
}}
nennt man auch eine {{Stichwort|Faktorzerlegung|SZ=}} von {{math|term= n |SZ=.}} Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist und
{{
Relationskette/display
|a
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=,
}}
so ist die Zahl {{math|term= c |SZ=}} mit
{{
Relationskette
|b
||ac
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Faktlink
|Präwort=nach der|Kürzungsregel|Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
eindeutig bestimmt. Man nennt diese Zahl den {{Stichwort|Gegenteiler|SZ=}} oder den {{Stichwort|komplementären Teiler|msw=Komplementärer Teiler|SZ=}} und schreibt dafür {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Da wir im Moment die rationalen Zahlen noch nicht zur Verfügung haben, ist dies nur dann eine erlaubte Schreibweise, wenn die Teilerbeziehung vorliegt und
{{
Relationskette
| a
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=so wie die Schreibweise {{mathlk|term= a-b |SZ=}} bisher nur erlaubt ist, wenn
{{
Relationskette
| b
| \leq | a
||
||
||
|SZ=
}}
ist|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es ist also {{math|term= 0 |SZ=}} ein Teiler der {{math|term= 0 |SZ=,}} der Ausdruck {{mathl|term= 0/0 |SZ=}} ist aber nicht definiert{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Orte können miteinander verbunden sein oder nicht. Man kann von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gelangen, wenn es einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt. Aber nur, wenn es genau einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt, kann man von {{Betonung|dem}} Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} sprechen|
|ISZ=.|ESZ=.
}}
Wenn
{{
Relationskette
| a
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so nennt man die Bestimmung des eindeutig bestimmten {{math|term= c |SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
| b
|| ac
||
||
||
|SZ=
}}
Teilen. Man sagt, dass man {{math|term= b |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} teilt mit dem Ergebnis {{math|term= c |SZ=.}}

{{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt|Lemma||}}

Wenn man also alle Teiler einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} finden möchte, so muss man einfach die Zahlen 
{{
Relationskette/display
| a
| \leq | n
||
||
||
|SZ=
}}
der Reihe nach durchgehen und ihre Vielfachen
{{
Math/display|term=
1a =a, 2a, 3a, \ldots 
|SZ=
}}
durchgehen, bis die Zahl {{math|term= n |SZ=}} auftaucht
{{
Zusatz/Klammer
|text=in welchem Fall {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler ist|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder eine Zahl {{math|term= &gt;n |SZ=}} auftaucht
{{
Zusatz/Klammer
|text=dann liegt kein Teiler vor|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Übrigens muss man nicht die Zahlen bis {{math|term= n |SZ=}} durchprobieren, sondern lediglich bis zur ersten Zahl {{math|term= r |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| r^2
| \geq | n
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=man muss also nur bis zur Größenordnung der Quadratwurzel aus {{math|term= n |SZ=}} gehen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dann muss man aber für jeden Teiler
{{
Relationskette/display
| t
| \leq | r
||
||
||
|SZ=
}} 
auch den Gegenteiler mitanführen, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Teilerauflistung/Quadratwurzelschranke/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
Für {{mathl|term= 105 |SZ=}} muss man maximal bis {{math|term= 11 |SZ=}} gehen. Es ergeben sich die Zerlegungen
{{
Relationskette/display
| 105
|| 1 \cdot 105
|| 3 \cdot 35
|| 5 \cdot 21
|| 7 \cdot 15
|SZ=
}}
und die Teiler sind somit {{mathl|term= 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 |SZ=.}} 

Eine durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl, also ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=,}} heißt {{Stichwort|gerade|msw=Gerade Zahl|SZ=,}} eine nicht durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl heißt {{Stichwort|ungerade|msw=Ungerade Zahl|SZ=.}}
Für einige Zahlen gibt es einfache Tests, ob sie ein Teiler einer gewissen Zahl sind, die allerdings auf dem Dezimalsystem beruhen. Eine weitere wichtige Möglichkeit ist die Division mit Rest. Auch der dritte Teil des folgenden Lemmas hilft: Wenn {{math|term= a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so sind sämtliche Vielfache von {{math|term= a |SZ=}} ebenfalls kein Teiler von {{math|term= n |SZ=.}} 

{{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||}}
 
{{
inputbild
|Verband_Teiler30|png| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=SirJective
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputbeispiel
|Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Variante 2/Beispiel||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>tlpbtjqoue5g8nubc9d8710c8lbufhv</sha1>
    </revision>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107499</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4899" sha1="8tq2w351lcdfv6gh8k6c8m2qdtrqv44" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition||
}}
Beispielsweise sind {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} die Teiler von {{math|term= 10 |SZ=}} und {{mathl|term= 1,3,9,27,81 |SZ=}} die Teiler von {{mathl|term= 81 |SZ=.}} Eine Zerlegung
{{
Relationskette/display
|n
||st
||
||
||
|SZ=
}}
nennt man auch eine {{Stichwort|Faktorzerlegung|SZ=}} von {{math|term= n |SZ=.}} Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist und
{{
Relationskette/display
|a
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=,
}}
so ist die Zahl {{math|term= c |SZ=}} mit
{{
Relationskette
|b
||ac
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Faktlink
|Präwort=nach der|Kürzungsregel|Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
eindeutig bestimmt. Man nennt diese Zahl den {{Stichwort|Gegenteiler|SZ=}} oder den {{Stichwort|komplementären Teiler|msw=Komplementärer Teiler|SZ=}} und schreibt dafür {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Da wir im Moment die rationalen Zahlen noch nicht zur Verfügung haben, ist dies nur dann eine erlaubte Schreibweise, wenn die Teilerbeziehung vorliegt und
{{
Relationskette
| a
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=so wie die Schreibweise {{mathlk|term= a-b |SZ=}} bisher nur erlaubt ist, wenn
{{
Relationskette
| b
| \leq | a
||
||
||
|SZ=
}}
ist|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es ist also {{math|term= 0 |SZ=}} ein Teiler der {{math|term= 0 |SZ=,}} der Ausdruck {{mathl|term= 0/0 |SZ=}} ist aber nicht definiert{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Orte können miteinander verbunden sein oder nicht. Man kann von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gelangen, wenn es einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt. Aber nur, wenn es genau einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt, kann man von {{Betonung|dem}} Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} sprechen|
|ISZ=.|ESZ=.
}}
Wenn
{{
Relationskette
| a
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so nennt man die Bestimmung des eindeutig bestimmten {{math|term= c |SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
| b
|| ac
||
||
||
|SZ=
}}
Teilen. Man sagt, dass man {{math|term= b |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} teilt mit dem Ergebnis {{math|term= c |SZ=.}}

{{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt|Lemma||}}

Wenn man also alle Teiler einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} finden möchte, so muss man einfach die Zahlen 
{{
Relationskette/display
| a
| \leq | n
||
||
||
|SZ=
}}
der Reihe nach durchgehen und ihre Vielfachen
{{
Math/display|term=
1a =a, 2a, 3a, \ldots 
|SZ=
}}
durchgehen, bis die Zahl {{math|term= n |SZ=}} auftaucht
{{
Zusatz/Klammer
|text=in welchem Fall {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler ist|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder eine Zahl {{math|term= &gt;n |SZ=}} auftaucht
{{
Zusatz/Klammer
|text=dann liegt kein Teiler vor|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Übrigens muss man nicht die Zahlen bis {{math|term= n |SZ=}} durchprobieren, sondern lediglich bis zur ersten Zahl {{math|term= r |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| r^2
| \geq | n
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=man muss also nur bis zur Größenordnung der Quadratwurzel aus {{math|term= n |SZ=}} gehen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dann muss man aber für jeden Teiler
{{
Relationskette/display
| t
| \leq | r
||
||
||
|SZ=
}} 
auch den Gegenteiler mitanführen, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Teilerauflistung/Quadratwurzelschranke/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
Für {{mathl|term= 105 |SZ=}} muss man maximal bis {{math|term= 11 |SZ=}} gehen. Es ergeben sich die Zerlegungen
{{
Relationskette/display
| 105
|| 1 \cdot 105
|| 3 \cdot 35
|| 5 \cdot 21
|| 7 \cdot 15
|SZ=
}}
und die Teiler sind somit {{mathl|term= 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 |SZ=.}} 

Eine durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl, also ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=,}} heißt {{Stichwort|gerade|msw=Gerade Zahl|SZ=,}} eine nicht durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl heißt {{Stichwort|ungerade|msw=Ungerade Zahl|SZ=.}}
Für einige Zahlen gibt es einfache Tests, ob sie ein Teiler einer gewissen Zahl sind, die allerdings auf dem Dezimalsystem beruhen. Eine weitere wichtige Möglichkeit ist die Division mit Rest. Auch der dritte Teil des folgenden Lemmas hilft: Wenn {{math|term= a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so sind sämtliche Vielfache von {{math|term= a |SZ=}} ebenfalls keine Teiler von {{math|term= n |SZ=.}} 

{{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||}}
 
{{
inputbild
|Verband_Teiler30|png| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=SirJective
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputbeispiel
|Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Variante 2/Beispiel||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>8tq2w351lcdfv6gh8k6c8m2qdtrqv44</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Terme/Natürliche Zahlen/Variablen/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83144</id>
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      <id>1107621</id>
      <parentid>1103371</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:44:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107621</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11490" sha1="ozi4ko2k00l6g7n348wmshtirl8167g" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Unter einem
{{
Zusatz/Klammer
|text=arithmetischen|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{Anführung|Term}} versteht man einen {{Anführung|zahlähnlichen}} Ausdruck, der sich aus {{Anführung|Zahlen}} und {{Anführung|Variablen}} mit Hilfe der Verknüpfungssymbole
{{
mathkor|term1=
+
|und|term2=
\cdot
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=eventuell mit
{{
mathkor|term1=
-
|und|term2=
:
|SZ=
}}
oder daraus abgeleiteten Operationen wie Potenzen|
|ISZ=|ESZ=,
}}
mit weiteren Funktionssymbolen
{{
Zusatz/Klammer
|text=wie die Fakultät, Wurzel, abstrakte Funktionssymbole wie {{math|term= f |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
und mit Klammern {{Anführung|korrekt}} bilden lässt. Eine Variable ist typischerweise ein Buchstabe {{mathl|term= x,y,z,a,b,c|SZ=,}} in den man eine echte Zahl
{{
Zusatz/Klammer
|text=zumeist aus einem fixierten Zahlenbereich|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder auch einen anderen Term {{Stichwort|einsetzen|SZ=}} kann{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Laufvariablen kann man nicht durch andere Terme ersetzen, nur durch eine andere Laufvariable umbenennen. Eine Laufvariable kommt beispielsweise im Term {{math|term= \sum_{i {{=}}1 }^n i |SZ=}} vor, hier ist {{math|term= i |SZ=}} eine Laufvariable und {{math|term= n |SZ=}} eine echte Variable. Andererseits bezeichnet der Buchstabe {{math|term= \pi|SZ=}} die Kreiszahl und ist keine Variable|
|ISZ=.|ESZ=.
}}
Mit zahlenähnlich ist gemeint, dass wirklich eine Zahl entsteht, wenn man alle Variablen durch Zahlen ersetzt. Terme sind auch die Ausdrücke, die auf einer Seite einer Gleichung
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder Ungleichung|
|ISZ=|ESZ=
}}
stehen können. Beispielsweise sind
{{
Math/display|term=
3 \cdot (4+5),\, x, \, 2x+7, \, {{op:Bruch| 3| 7}} ,  \, 4x^3-y,\, (a+b)^2,\, a^2+2ab+b^2,  \, 0 \cdot 1, \,n!, \, {{op:Binomialkoeffizient|n|k}}, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\,  \sum_{i = 1}^n a_i,\, f(x)
|SZ=
}}
Terme. Dagegen sind
{{
Math/display|term=
3 \cdot (4+5)), \, 2x+7=0, \,  \sqrt{\,\,\, }
|SZ=
}}
keine Terme.

Wichtig ist, dass man Terme nur dann als gleich ansieht, wenn es sich um dieselbe Zeichenreihe handelt. Das {{Anführung|Ausrechnen}} oder {{Anführung|Vereinfachen}} von Termen verändert den Term, aber nicht die dadurch gegebene Zahl. Beispielsweise sind {{mathl|term= 3+5 |SZ=}} und {{math|term= 8 |SZ=}} oder
{{
mathkor|term1=
 (a+b)^2
|und|term2=
 a^2+2ab+b^2
|SZ=
}}
verschiedene Terme. Gleichheit zwischen diesen beiden letzten Ausdrücken gilt nur bei einer bestimmten Interpretation, wenn man
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
als natürliche Zahlen oder als Elemente eines kommutativen Halbringes interpretiert
{{
Zusatz/Klammer
|text=erste binomische Formel|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Eine wichtige Funktion von Termen ist ihr Auftreten in Gleichungen. Gleichungen sind durch das Vorkommen des Gleichheitszeichens {{Anführung|{{math|term= \!=|SZ=}}|}} charakterisiert, wodurch eine Gleichung in zwei Hälften unterteilt wird{{
Zusatz/{{{zusatz2|}}}
|text=Eine Gleichungskette wie
{{
Relationskette
| 5(4+3)
|| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
|| 20 +15
|| 35
||
|SZ=
}}
ist einfach eine abkürzende Schreibweise für die drei Einzelgleichungen
{{
Relationskette
| 5(4+3)
|| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
||
|| 
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette
| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
|| 20 +15
|| 
||
|SZ=
}}
{{
Relationskette
| 20 +15
|| 35
||
|SZ=
}}
|
|ISZ=.|ESZ=,
}}
in diesen Hälften stehen Terme. Gleichungen sind Aussagen, die prinzipiell wahr oder falsch sein können. Gleichungen und Terme treten in der Mathematik in unterschiedlicher Bedeutung auf, die sich häufig vom Kontext her erkennen lassen. Wir listen die wesentlichen Gleichungstypen auf.

1) Identitäten von Elementen

Das sind Gleichungen der Form
{{
Relationskette
| 2+4
|| 6
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| 3 \cdot 7
|| 21
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| 4!
|| 24
||
||
||
|SZ=,
}}
die besagen, das zwei irgendwie gegebene Elemente einer Menge gleich sind. 
{{
mathkor|term1=
2+4
|und|term2=
6
|SZ=
}}
sind unterschiedliche Terme, haben aber denselben Zahlwert. In solchen Gleichungen kommen keine Variablen vor. Häufig werden solche Gleichungen verwendet, um etwas auszurechnen, also einen komplizierten Ausdruck in eine einfache Standardform zu bringen. Dazu gehören die Rechnungen in {{math|term= \N|SZ=,}} etwa im Dezimalsystem.

2) Allgemeine Termidentitäten (Formeln, Rechengesetze)

Diese drücken eine allgemeine Gleichung zwischen Termen aus, in denen Variablen vorkommen, und die Gleichheit bedeutet, dass für jede sinnvolle Ersetzung der Variablen durch Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=die gewisse Bedingungen erfüllen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Gleichheit gilt. Beispiele dazu sind
{{
Relationskette/display
|a(b+c)
|| ab + ac
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette/display
|(a+b)^2
||a^2+ 2ab + b^2
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette/display
|a^2+b^2
||c^2
||
||
||
|SZ=.
}}
Sie drücken eine Gesetzmäßigkeit aus, die unter bestimmten Bedingungen gilt, beispielsweise wenn {{math|term= a,b |SZ=}} Elemente eines kommutativen Halbringes sind oder wenn {{math|term= a,b |SZ=}} Kathetenlängen und {{math|term= c |SZ=}} die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Charakteristisch für solche Gleichungen ist, dass in ihnen Variablen vorkommen und dass, wenn man für die Variablen simultan
{{
Zusatz/Klammer
|text=also an jeder Stelle, wo die Variable steht|
|ISZ=|ESZ=
}}
Elemente, die die Bedingung erfüllen, einsetzt, eine wahre Elementgleichung entsteht. Eine solche Identität repräsentiert also eine Vielzahl an einzelnen Elementgleichungen. Aus dem Distributivgesetz entsteht beispielsweise durch Einsetzen die spezielle Identität
{{
Relationskette
| 3 \cdot (5 +4)
|| 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4
||
||
||
|SZ=.
}}

3) Definitionsgleichungen

Das sind Gleichungen, durch die eine abkürzende Schreibweise für einen komplexeren Ausdruck eingeführt wird. Beispiele sind
{{
Math/display|term=
a^3 =a \cdot a \cdot a,\, n! =n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1, \,  {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} = {{op:Bruch|n!|(n-k)! k!}}  , \, P = 4x^2 +7x -5
|SZ=.
}}
Hierbei schreibt man häufig {{math|term= {{defeq}} |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=gelesen: ist definitionsgemäß gleich|
|ISZ=|ESZ=
}}
statt {{math|term= =|SZ=,}} wobei der Doppelpunkt auf der Seite des einzuführenden Ausdrucks steht.

4) Gleichungen als Bedingung

Damit sind Gleichungen wie
{{
Math/display|term=
  7-2+5=x,\, 7=N(x),\,  x+3=5,\, 4x= 9,\, 2x+7=0,\, 5x^2-3x+4 = 0,\, x=y ,\, y=f(x),\, x^2+y^2 =1
|SZ=
}}
gemeint. In diesen kommen 
{{
Zusatz/Klammer
|text=in aller Regel|
|ISZ=|ESZ=
}}
Variablen vor, es wird aber nicht eine allgemeingültige Formel zum Ausdruck gebracht, sondern es wird eine Bedingung an die auftretenden Variablen formuliert. D.h. es werden die Elemente gesucht, die die Gleichungen erfüllen, die man also für die Variablen einsetzen kann, damit eine wahre Elementidentität entsteht. Gleichungen in diesem Sinne definieren die Aufgabenstellung, nach Lösungen zu suchen. Eine {{Stichwort|Lösung|SZ=}} ist ein Element {{math|term= a |SZ=}} aus der gegebenen Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=bzw. ein Tupel wie
{{
Relationskette/k
| (a,b)
| \in|  M \times M
||
||
||
|SZ=,
}}
falls es mehrere Variablen gibt|
|ISZ=|ESZ=,
}}
das die Eigenschaft besitzt, dass wenn man {{math|term= x |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} ersetzt, eine wahre Elementidentität entsteht. Die {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder {{Stichwort|Erfüllungsmenge|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
besteht aus allen Lösungen, sie kann leer sein, aus einem Element oder aus vielen Elementen bestehen. Bei Gleichungen wie
{{
Relationskette
| 7-2+5 
|| x
||
||
||
|SZ=,
}}
was manchmal auch als
{{
Relationskette
| 7-2+5 
||?
||
||
||
|SZ=
}}
formuliert wird, ist das Lösen einer Gleichung einfach das Ausrechnen der einen Seite.

5) Funktionale Gleichungen

Eine Gleichung der Form
{{
Relationskette
| y
||f(x)
||
||
||
|SZ=
}}
nennt man auch {{Stichwort|Funktionsgleichung|SZ=.}} Dabei steht {{math|term= f(x) |SZ=}} für einen komplexen Term, in dem die Variable {{math|term= x |SZ=}} vorkommt
{{
Zusatz/Klammer
|text=funktionaler Ausdruck|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Man kann sie als eine Definitionsgleichung auffassen, insofern {{math|term= y |SZ=}} eine abkürzende Schreibweise für den komplexen Term ist, aber auch als Bedingungsgleichung, insofern nach den Paaren {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Bei dieser Interpretation ist die Lösungsmenge einfach der Graph der Funktion {{math|term= f |SZ=.}} Eine solche Funktionsgleichung hat aber auch noch den zusätzlichen Aspekt, dass sie eine Größenbeziehung bzw. eine Größenberechnung beschreibt. Aus der variablen Größe {{math|term= x |SZ=}} wird gemäß der Funktionsvorschrift {{mathl|term= f(x) |SZ=}} die variable Größe {{math|term= y |SZ=}} berechnet. Zwischen physikalischen oder sonstigen Größen kann beispielsweise ein linearer
{{
Zusatz/Klammer
|text=proportionaler|
|ISZ=|ESZ=
}}
Zusammenhang bestehen, wie wenn eine Meterangabe in Zentimeter umgerechnet werden soll oder eine Währung in eine andere Währung konvertiert werden soll. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} oder für {{math|term= y |SZ=}} gewisse Elemente vorgibt, so erhält man Bedingungsgleichungen in einer
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich der nicht fixierten|
|ISZ=|ESZ=
}}
Variablen. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= a |SZ=}} vorgibt, so ist die Bestimmung des zugehörigen {{math|term= y |SZ=}} einfach das Ausrechnen von {{math|term= f(a) |SZ=.}} Wenn hingegen für {{math|term= y |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= b |SZ=}} vorgegeben wird, so ist die Suche nach allen {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft
{{
Relationskette
|b
||f(x)
||
||
||
|SZ=
}}
oft schwierig.

Manche Gleichungen wie die zuletzt genannten Funktionsgleichungen kann man in mehrfacher Weise auffassen. So kann man die Gleichung  
{{
Relationskette/display
|a^2+b^2
||c^2
||
||
||
|SZ=
}}
als Gesetzmäßigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck auffassen
{{
Zusatz/Klammer
|text=bei richtiger Interpretation der einzelnen Variablen|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder als Aufgabenstellung, alle Tripel {{mathl|term= (a,b,c) |SZ=}} zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen.

Da Gleichungen prinzipiell Aussagen sind, kann man auch die aussagenlogischen Operationen auf sie anwenden. Man kann eine Gleichung negieren, was zu einer Ungleichung
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne von {{math|term= \neq|SZ=,}} nicht im Sinne von {{math|term= \leq|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
führt. Eine quadratische Gleichung wie
{{
Relationskette
| x^2 -10x+21
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
führt typischerweise zu einer Lösungsbeschreibung wie
{{
Relationskette
| x
|| 3
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| x
|| 7
||
||
||
|SZ=,
}}
also zu einer Alternation von Gleichungen
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Durchnummerierung {{mathl|term= x_1,x_2 |SZ=}} ist nur dann nötig, wenn man das {{Anführung|oder}} weglässt und wenn man eine Auflistung der Lösungen haben möchte|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die Konjunktion von Gleichungen führt zu einem {{Stichwort|Gleichungssystem|SZ=,}} beispielsweise einem {{Stichwort|linearen Gleichungssystem|msw=lineares Gleichungssystem|SZ=,}} bei dem man nach den Zahltupeln sucht, die sämtliche beteiligten Gleichungen simultan erfüllen.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Terme
|Kategorie2=Theorie der Gleichungen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>ozi4ko2k00l6g7n348wmshtirl8167g</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107622</id>
      <parentid>1107621</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:45:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107622</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11490" sha1="q32ydcw34rqpuislvlpob07r60hx6d3" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Unter einem
{{
Zusatz/Klammer
|text=arithmetischen|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{Anführung|Term}} versteht man einen {{Anführung|zahlähnlichen}} Ausdruck, der sich aus {{Anführung|Zahlen}} und {{Anführung|Variablen}} mit Hilfe der Verknüpfungssymbole
{{
mathkor|term1=
+
|und|term2=
\cdot
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=eventuell mit
{{
mathkor|term1=
-
|und|term2=
:
|SZ=
}}
oder daraus abgeleiteten Operationen wie Potenzen|
|ISZ=|ESZ=,
}}
mit weiteren Funktionssymbolen
{{
Zusatz/Klammer
|text=wie die Fakultät, Wurzel, abstrakte Funktionssymbole wie {{math|term= f |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
und mit Klammern {{Anführung|korrekt}} bilden lässt. Eine Variable ist typischerweise ein Buchstabe {{mathl|term= x,y,z,a,b,c|SZ=,}} in die man eine echte Zahl
{{
Zusatz/Klammer
|text=zumeist aus einem fixierten Zahlenbereich|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder auch einen anderen Term {{Stichwort|einsetzen|SZ=}} kann{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Laufvariablen kann man nicht durch andere Terme ersetzen, nur durch eine andere Laufvariable umbenennen. Eine Laufvariable kommt beispielsweise im Term {{math|term= \sum_{i {{=}}1 }^n i |SZ=}} vor, hier ist {{math|term= i |SZ=}} eine Laufvariable und {{math|term= n |SZ=}} eine echte Variable. Andererseits bezeichnet der Buchstabe {{math|term= \pi|SZ=}} die Kreiszahl und ist keine Variable|
|ISZ=.|ESZ=.
}}
Mit zahlenähnlich ist gemeint, dass wirklich eine Zahl entsteht, wenn man alle Variablen durch Zahlen ersetzt. Terme sind auch die Ausdrücke, die auf einer Seite einer Gleichung
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder Ungleichung|
|ISZ=|ESZ=
}}
stehen können. Beispielsweise sind
{{
Math/display|term=
3 \cdot (4+5),\, x, \, 2x+7, \, {{op:Bruch| 3| 7}} ,  \, 4x^3-y,\, (a+b)^2,\, a^2+2ab+b^2,  \, 0 \cdot 1, \,n!, \, {{op:Binomialkoeffizient|n|k}}, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\,  \sum_{i = 1}^n a_i,\, f(x)
|SZ=
}}
Terme. Dagegen sind
{{
Math/display|term=
3 \cdot (4+5)), \, 2x+7=0, \,  \sqrt{\,\,\, }
|SZ=
}}
keine Terme.

Wichtig ist, dass man Terme nur dann als gleich ansieht, wenn es sich um dieselbe Zeichenreihe handelt. Das {{Anführung|Ausrechnen}} oder {{Anführung|Vereinfachen}} von Termen verändert den Term, aber nicht die dadurch gegebene Zahl. Beispielsweise sind {{mathl|term= 3+5 |SZ=}} und {{math|term= 8 |SZ=}} oder
{{
mathkor|term1=
 (a+b)^2
|und|term2=
 a^2+2ab+b^2
|SZ=
}}
verschiedene Terme. Gleichheit zwischen diesen beiden letzten Ausdrücken gilt nur bei einer bestimmten Interpretation, wenn man
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
als natürliche Zahlen oder als Elemente eines kommutativen Halbringes interpretiert
{{
Zusatz/Klammer
|text=erste binomische Formel|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Eine wichtige Funktion von Termen ist ihr Auftreten in Gleichungen. Gleichungen sind durch das Vorkommen des Gleichheitszeichens {{Anführung|{{math|term= \!=|SZ=}}|}} charakterisiert, wodurch eine Gleichung in zwei Hälften unterteilt wird{{
Zusatz/{{{zusatz2|}}}
|text=Eine Gleichungskette wie
{{
Relationskette
| 5(4+3)
|| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
|| 20 +15
|| 35
||
|SZ=
}}
ist einfach eine abkürzende Schreibweise für die drei Einzelgleichungen
{{
Relationskette
| 5(4+3)
|| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
||
|| 
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette
| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
|| 20 +15
|| 
||
|SZ=
}}
{{
Relationskette
| 20 +15
|| 35
||
|SZ=
}}
|
|ISZ=.|ESZ=,
}}
in diesen Hälften stehen Terme. Gleichungen sind Aussagen, die prinzipiell wahr oder falsch sein können. Gleichungen und Terme treten in der Mathematik in unterschiedlicher Bedeutung auf, die sich häufig vom Kontext her erkennen lassen. Wir listen die wesentlichen Gleichungstypen auf.

1) Identitäten von Elementen

Das sind Gleichungen der Form
{{
Relationskette
| 2+4
|| 6
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| 3 \cdot 7
|| 21
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| 4!
|| 24
||
||
||
|SZ=,
}}
die besagen, das zwei irgendwie gegebene Elemente einer Menge gleich sind. 
{{
mathkor|term1=
2+4
|und|term2=
6
|SZ=
}}
sind unterschiedliche Terme, haben aber denselben Zahlwert. In solchen Gleichungen kommen keine Variablen vor. Häufig werden solche Gleichungen verwendet, um etwas auszurechnen, also einen komplizierten Ausdruck in eine einfache Standardform zu bringen. Dazu gehören die Rechnungen in {{math|term= \N|SZ=,}} etwa im Dezimalsystem.

2) Allgemeine Termidentitäten (Formeln, Rechengesetze)

Diese drücken eine allgemeine Gleichung zwischen Termen aus, in denen Variablen vorkommen, und die Gleichheit bedeutet, dass für jede sinnvolle Ersetzung der Variablen durch Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=die gewisse Bedingungen erfüllen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Gleichheit gilt. Beispiele dazu sind
{{
Relationskette/display
|a(b+c)
|| ab + ac
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette/display
|(a+b)^2
||a^2+ 2ab + b^2
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette/display
|a^2+b^2
||c^2
||
||
||
|SZ=.
}}
Sie drücken eine Gesetzmäßigkeit aus, die unter bestimmten Bedingungen gilt, beispielsweise wenn {{math|term= a,b |SZ=}} Elemente eines kommutativen Halbringes sind oder wenn {{math|term= a,b |SZ=}} Kathetenlängen und {{math|term= c |SZ=}} die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Charakteristisch für solche Gleichungen ist, dass in ihnen Variablen vorkommen und dass, wenn man für die Variablen simultan
{{
Zusatz/Klammer
|text=also an jeder Stelle, wo die Variable steht|
|ISZ=|ESZ=
}}
Elemente, die die Bedingung erfüllen, einsetzt, eine wahre Elementgleichung entsteht. Eine solche Identität repräsentiert also eine Vielzahl an einzelnen Elementgleichungen. Aus dem Distributivgesetz entsteht beispielsweise durch Einsetzen die spezielle Identität
{{
Relationskette
| 3 \cdot (5 +4)
|| 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4
||
||
||
|SZ=.
}}

3) Definitionsgleichungen

Das sind Gleichungen, durch die eine abkürzende Schreibweise für einen komplexeren Ausdruck eingeführt wird. Beispiele sind
{{
Math/display|term=
a^3 =a \cdot a \cdot a,\, n! =n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1, \,  {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} = {{op:Bruch|n!|(n-k)! k!}}  , \, P = 4x^2 +7x -5
|SZ=.
}}
Hierbei schreibt man häufig {{math|term= {{defeq}} |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=gelesen: ist definitionsgemäß gleich|
|ISZ=|ESZ=
}}
statt {{math|term= =|SZ=,}} wobei der Doppelpunkt auf der Seite des einzuführenden Ausdrucks steht.

4) Gleichungen als Bedingung

Damit sind Gleichungen wie
{{
Math/display|term=
  7-2+5=x,\, 7=N(x),\,  x+3=5,\, 4x= 9,\, 2x+7=0,\, 5x^2-3x+4 = 0,\, x=y ,\, y=f(x),\, x^2+y^2 =1
|SZ=
}}
gemeint. In diesen kommen 
{{
Zusatz/Klammer
|text=in aller Regel|
|ISZ=|ESZ=
}}
Variablen vor, es wird aber nicht eine allgemeingültige Formel zum Ausdruck gebracht, sondern es wird eine Bedingung an die auftretenden Variablen formuliert. D.h. es werden die Elemente gesucht, die die Gleichungen erfüllen, die man also für die Variablen einsetzen kann, damit eine wahre Elementidentität entsteht. Gleichungen in diesem Sinne definieren die Aufgabenstellung, nach Lösungen zu suchen. Eine {{Stichwort|Lösung|SZ=}} ist ein Element {{math|term= a |SZ=}} aus der gegebenen Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=bzw. ein Tupel wie
{{
Relationskette/k
| (a,b)
| \in|  M \times M
||
||
||
|SZ=,
}}
falls es mehrere Variablen gibt|
|ISZ=|ESZ=,
}}
das die Eigenschaft besitzt, dass wenn man {{math|term= x |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} ersetzt, eine wahre Elementidentität entsteht. Die {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder {{Stichwort|Erfüllungsmenge|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
besteht aus allen Lösungen, sie kann leer sein, aus einem Element oder aus vielen Elementen bestehen. Bei Gleichungen wie
{{
Relationskette
| 7-2+5 
|| x
||
||
||
|SZ=,
}}
was manchmal auch als
{{
Relationskette
| 7-2+5 
||?
||
||
||
|SZ=
}}
formuliert wird, ist das Lösen einer Gleichung einfach das Ausrechnen der einen Seite.

5) Funktionale Gleichungen

Eine Gleichung der Form
{{
Relationskette
| y
||f(x)
||
||
||
|SZ=
}}
nennt man auch {{Stichwort|Funktionsgleichung|SZ=.}} Dabei steht {{math|term= f(x) |SZ=}} für einen komplexen Term, in dem die Variable {{math|term= x |SZ=}} vorkommt
{{
Zusatz/Klammer
|text=funktionaler Ausdruck|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Man kann sie als eine Definitionsgleichung auffassen, insofern {{math|term= y |SZ=}} eine abkürzende Schreibweise für den komplexen Term ist, aber auch als Bedingungsgleichung, insofern nach den Paaren {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Bei dieser Interpretation ist die Lösungsmenge einfach der Graph der Funktion {{math|term= f |SZ=.}} Eine solche Funktionsgleichung hat aber auch noch den zusätzlichen Aspekt, dass sie eine Größenbeziehung bzw. eine Größenberechnung beschreibt. Aus der variablen Größe {{math|term= x |SZ=}} wird gemäß der Funktionsvorschrift {{mathl|term= f(x) |SZ=}} die variable Größe {{math|term= y |SZ=}} berechnet. Zwischen physikalischen oder sonstigen Größen kann beispielsweise ein linearer
{{
Zusatz/Klammer
|text=proportionaler|
|ISZ=|ESZ=
}}
Zusammenhang bestehen, wie wenn eine Meterangabe in Zentimeter umgerechnet werden soll oder eine Währung in eine andere Währung konvertiert werden soll. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} oder für {{math|term= y |SZ=}} gewisse Elemente vorgibt, so erhält man Bedingungsgleichungen in einer
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich der nicht fixierten|
|ISZ=|ESZ=
}}
Variablen. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= a |SZ=}} vorgibt, so ist die Bestimmung des zugehörigen {{math|term= y |SZ=}} einfach das Ausrechnen von {{math|term= f(a) |SZ=.}} Wenn hingegen für {{math|term= y |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= b |SZ=}} vorgegeben wird, so ist die Suche nach allen {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft
{{
Relationskette
|b
||f(x)
||
||
||
|SZ=
}}
oft schwierig.

Manche Gleichungen wie die zuletzt genannten Funktionsgleichungen kann man in mehrfacher Weise auffassen. So kann man die Gleichung  
{{
Relationskette/display
|a^2+b^2
||c^2
||
||
||
|SZ=
}}
als Gesetzmäßigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck auffassen
{{
Zusatz/Klammer
|text=bei richtiger Interpretation der einzelnen Variablen|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder als Aufgabenstellung, alle Tripel {{mathl|term= (a,b,c) |SZ=}} zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen.

Da Gleichungen prinzipiell Aussagen sind, kann man auch die aussagenlogischen Operationen auf sie anwenden. Man kann eine Gleichung negieren, was zu einer Ungleichung
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne von {{math|term= \neq|SZ=,}} nicht im Sinne von {{math|term= \leq|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
führt. Eine quadratische Gleichung wie
{{
Relationskette
| x^2 -10x+21
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
führt typischerweise zu einer Lösungsbeschreibung wie
{{
Relationskette
| x
|| 3
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| x
|| 7
||
||
||
|SZ=,
}}
also zu einer Alternation von Gleichungen
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Durchnummerierung {{mathl|term= x_1,x_2 |SZ=}} ist nur dann nötig, wenn man das {{Anführung|oder}} weglässt und wenn man eine Auflistung der Lösungen haben möchte|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die Konjunktion von Gleichungen führt zu einem {{Stichwort|Gleichungssystem|SZ=,}} beispielsweise einem {{Stichwort|linearen Gleichungssystem|msw=lineares Gleichungssystem|SZ=,}} bei dem man nach den Zahltupeln sucht, die sämtliche beteiligten Gleichungen simultan erfüllen.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Terme
|Kategorie2=Theorie der Gleichungen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>q32ydcw34rqpuislvlpob07r60hx6d3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107623</id>
      <parentid>1107622</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:47:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107623</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11491" sha1="16zrvxfij4h0v0zd7imyi0xjo6whyyt" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Unter einem
{{
Zusatz/Klammer
|text=arithmetischen|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{Anführung|Term}} versteht man einen {{Anführung|zahlähnlichen}} Ausdruck, der sich aus {{Anführung|Zahlen}} und {{Anführung|Variablen}} mit Hilfe der Verknüpfungssymbole
{{
mathkor|term1=
+
|und|term2=
\cdot
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=eventuell mit
{{
mathkor|term1=
-
|und|term2=
:
|SZ=
}}
oder daraus abgeleiteten Operationen wie Potenzen|
|ISZ=|ESZ=,
}}
mit weiteren Funktionssymbolen
{{
Zusatz/Klammer
|text=wie die Fakultät, Wurzel, abstrakte Funktionssymbole wie {{math|term= f |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
und mit Klammern {{Anführung|korrekt}} bilden lässt. Eine Variable ist typischerweise ein Buchstabe {{mathl|term= x,y,z,a,b,c|SZ=,}} in die man eine echte Zahl
{{
Zusatz/Klammer
|text=zumeist aus einem fixierten Zahlenbereich|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder auch einen anderen Term {{Stichwort|einsetzen|SZ=}} kann{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Laufvariablen kann man nicht durch andere Terme ersetzen, nur durch eine andere Laufvariable umbenennen. Eine Laufvariable kommt beispielsweise im Term {{math|term= \sum_{i {{=}}1 }^n i |SZ=}} vor, hier ist {{math|term= i |SZ=}} eine Laufvariable und {{math|term= n |SZ=}} eine echte Variable. Andererseits bezeichnet der Buchstabe {{math|term= \pi|SZ=}} die Kreiszahl und ist keine Variable|
|ISZ=.|ESZ=.
}}
Mit zahlenähnlich ist gemeint, dass wirklich eine Zahl entsteht, wenn man alle Variablen durch Zahlen ersetzt. Terme sind auch die Ausdrücke, die auf einer Seite einer Gleichung
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder Ungleichung|
|ISZ=|ESZ=
}}
stehen können. Beispielsweise sind
{{
Math/display|term=
3 \cdot (4+5),\, x, \, 2x+7, \, {{op:Bruch| 3| 7}} ,  \, 4x^3-y,\, (a+b)^2,\, a^2+2ab+b^2,  \, 0 \cdot 1, \,n!, \, {{op:Binomialkoeffizient|n|k}}, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\,  \sum_{i = 1}^n a_i,\, f(x)
|SZ=
}}
Terme. Dagegen sind
{{
Math/display|term=
3 \cdot (4+5)), \, 2x+7=0, \,  \sqrt{\,\,\, }
|SZ=
}}
keine Terme.

Wichtig ist, dass man Terme nur dann als gleich ansieht, wenn es sich um dieselbe Zeichenreihe handelt. Das {{Anführung|Ausrechnen}} oder {{Anführung|Vereinfachen}} von Termen verändert den Term, aber nicht die dadurch gegebene Zahl. Beispielsweise sind {{mathl|term= 3+5 |SZ=}} und {{math|term= 8 |SZ=}} oder
{{
mathkor|term1=
 (a+b)^2
|und|term2=
 a^2+2ab+b^2
|SZ=
}}
verschiedene Terme. Gleichheit zwischen diesen beiden letzten Ausdrücken gilt nur bei einer bestimmten Interpretation, wenn man
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
als natürliche Zahlen oder als Elemente eines kommutativen Halbringes interpretiert
{{
Zusatz/Klammer
|text=erste binomische Formel|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Eine wichtige Funktion von Termen ist ihr Auftreten in Gleichungen. Gleichungen sind durch das Vorkommen des Gleichheitszeichens {{Anführung|{{math|term= \!=|SZ=}}|}} charakterisiert, wodurch eine Gleichung in zwei Hälften unterteilt wird{{
Zusatz/{{{zusatz2|}}}
|text=Eine Gleichungskette wie
{{
Relationskette
| 5(4+3)
|| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
|| 20 +15
|| 35
||
|SZ=
}}
ist einfach eine abkürzende Schreibweise für die drei Einzelgleichungen
{{
Relationskette
| 5(4+3)
|| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
||
|| 
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette
| 5 \cdot 4 +5 \cdot 3
|| 20 +15
|| 
||
|SZ=
}}
{{
Relationskette
| 20 +15
|| 35
||
|SZ=
}}
|
|ISZ=.|ESZ=,
}}
in diesen Hälften stehen Terme. Gleichungen sind Aussagen, die prinzipiell wahr oder falsch sein können. Gleichungen und Terme treten in der Mathematik in unterschiedlicher Bedeutung auf, die sich häufig vom Kontext her erkennen lassen. Wir listen die wesentlichen Gleichungstypen auf.

1) Identitäten von Elementen

Das sind Gleichungen der Form
{{
Relationskette
| 2+4
|| 6
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| 3 \cdot 7
|| 21
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| 4!
|| 24
||
||
||
|SZ=,
}}
die besagen, dass zwei irgendwie gegebene Elemente einer Menge gleich sind. 
{{
mathkor|term1=
2+4
|und|term2=
6
|SZ=
}}
sind unterschiedliche Terme, haben aber denselben Zahlwert. In solchen Gleichungen kommen keine Variablen vor. Häufig werden solche Gleichungen verwendet, um etwas auszurechnen, also einen komplizierten Ausdruck in eine einfache Standardform zu bringen. Dazu gehören die Rechnungen in {{math|term= \N|SZ=,}} etwa im Dezimalsystem.

2) Allgemeine Termidentitäten (Formeln, Rechengesetze)

Diese drücken eine allgemeine Gleichung zwischen Termen aus, in denen Variablen vorkommen, und die Gleichheit bedeutet, dass für jede sinnvolle Ersetzung der Variablen durch Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=die gewisse Bedingungen erfüllen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Gleichheit gilt. Beispiele dazu sind
{{
Relationskette/display
|a(b+c)
|| ab + ac
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette/display
|(a+b)^2
||a^2+ 2ab + b^2
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette/display
|a^2+b^2
||c^2
||
||
||
|SZ=.
}}
Sie drücken eine Gesetzmäßigkeit aus, die unter bestimmten Bedingungen gilt, beispielsweise wenn {{math|term= a,b |SZ=}} Elemente eines kommutativen Halbringes sind oder wenn {{math|term= a,b |SZ=}} Kathetenlängen und {{math|term= c |SZ=}} die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Charakteristisch für solche Gleichungen ist, dass in ihnen Variablen vorkommen und dass, wenn man für die Variablen simultan
{{
Zusatz/Klammer
|text=also an jeder Stelle, wo die Variable steht|
|ISZ=|ESZ=
}}
Elemente, die die Bedingung erfüllen, einsetzt, eine wahre Elementgleichung entsteht. Eine solche Identität repräsentiert also eine Vielzahl an einzelnen Elementgleichungen. Aus dem Distributivgesetz entsteht beispielsweise durch Einsetzen die spezielle Identität
{{
Relationskette
| 3 \cdot (5 +4)
|| 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4
||
||
||
|SZ=.
}}

3) Definitionsgleichungen

Das sind Gleichungen, durch die eine abkürzende Schreibweise für einen komplexeren Ausdruck eingeführt wird. Beispiele sind
{{
Math/display|term=
a^3 =a \cdot a \cdot a,\, n! =n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1, \,  {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} = {{op:Bruch|n!|(n-k)! k!}}  , \, P = 4x^2 +7x -5
|SZ=.
}}
Hierbei schreibt man häufig {{math|term= {{defeq}} |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=gelesen: ist definitionsgemäß gleich|
|ISZ=|ESZ=
}}
statt {{math|term= =|SZ=,}} wobei der Doppelpunkt auf der Seite des einzuführenden Ausdrucks steht.

4) Gleichungen als Bedingung

Damit sind Gleichungen wie
{{
Math/display|term=
  7-2+5=x,\, 7=N(x),\,  x+3=5,\, 4x= 9,\, 2x+7=0,\, 5x^2-3x+4 = 0,\, x=y ,\, y=f(x),\, x^2+y^2 =1
|SZ=
}}
gemeint. In diesen kommen 
{{
Zusatz/Klammer
|text=in aller Regel|
|ISZ=|ESZ=
}}
Variablen vor, es wird aber nicht eine allgemeingültige Formel zum Ausdruck gebracht, sondern es wird eine Bedingung an die auftretenden Variablen formuliert. D.h. es werden die Elemente gesucht, die die Gleichungen erfüllen, die man also für die Variablen einsetzen kann, damit eine wahre Elementidentität entsteht. Gleichungen in diesem Sinne definieren die Aufgabenstellung, nach Lösungen zu suchen. Eine {{Stichwort|Lösung|SZ=}} ist ein Element {{math|term= a |SZ=}} aus der gegebenen Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=bzw. ein Tupel wie
{{
Relationskette/k
| (a,b)
| \in|  M \times M
||
||
||
|SZ=,
}}
falls es mehrere Variablen gibt|
|ISZ=|ESZ=,
}}
das die Eigenschaft besitzt, dass wenn man {{math|term= x |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} ersetzt, eine wahre Elementidentität entsteht. Die {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder {{Stichwort|Erfüllungsmenge|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
besteht aus allen Lösungen, sie kann leer sein, aus einem Element oder aus vielen Elementen bestehen. Bei Gleichungen wie
{{
Relationskette
| 7-2+5 
|| x
||
||
||
|SZ=,
}}
was manchmal auch als
{{
Relationskette
| 7-2+5 
||?
||
||
||
|SZ=
}}
formuliert wird, ist das Lösen einer Gleichung einfach das Ausrechnen der einen Seite.

5) Funktionale Gleichungen

Eine Gleichung der Form
{{
Relationskette
| y
||f(x)
||
||
||
|SZ=
}}
nennt man auch {{Stichwort|Funktionsgleichung|SZ=.}} Dabei steht {{math|term= f(x) |SZ=}} für einen komplexen Term, in dem die Variable {{math|term= x |SZ=}} vorkommt
{{
Zusatz/Klammer
|text=funktionaler Ausdruck|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Man kann sie als eine Definitionsgleichung auffassen, insofern {{math|term= y |SZ=}} eine abkürzende Schreibweise für den komplexen Term ist, aber auch als Bedingungsgleichung, insofern nach den Paaren {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Bei dieser Interpretation ist die Lösungsmenge einfach der Graph der Funktion {{math|term= f |SZ=.}} Eine solche Funktionsgleichung hat aber auch noch den zusätzlichen Aspekt, dass sie eine Größenbeziehung bzw. eine Größenberechnung beschreibt. Aus der variablen Größe {{math|term= x |SZ=}} wird gemäß der Funktionsvorschrift {{mathl|term= f(x) |SZ=}} die variable Größe {{math|term= y |SZ=}} berechnet. Zwischen physikalischen oder sonstigen Größen kann beispielsweise ein linearer
{{
Zusatz/Klammer
|text=proportionaler|
|ISZ=|ESZ=
}}
Zusammenhang bestehen, wie wenn eine Meterangabe in Zentimeter umgerechnet werden soll oder eine Währung in eine andere Währung konvertiert werden soll. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} oder für {{math|term= y |SZ=}} gewisse Elemente vorgibt, so erhält man Bedingungsgleichungen in einer
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich der nicht fixierten|
|ISZ=|ESZ=
}}
Variablen. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= a |SZ=}} vorgibt, so ist die Bestimmung des zugehörigen {{math|term= y |SZ=}} einfach das Ausrechnen von {{math|term= f(a) |SZ=.}} Wenn hingegen für {{math|term= y |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= b |SZ=}} vorgegeben wird, so ist die Suche nach allen {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft
{{
Relationskette
|b
||f(x)
||
||
||
|SZ=
}}
oft schwierig.

Manche Gleichungen wie die zuletzt genannten Funktionsgleichungen kann man in mehrfacher Weise auffassen. So kann man die Gleichung  
{{
Relationskette/display
|a^2+b^2
||c^2
||
||
||
|SZ=
}}
als Gesetzmäßigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck auffassen
{{
Zusatz/Klammer
|text=bei richtiger Interpretation der einzelnen Variablen|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder als Aufgabenstellung, alle Tripel {{mathl|term= (a,b,c) |SZ=}} zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen.

Da Gleichungen prinzipiell Aussagen sind, kann man auch die aussagenlogischen Operationen auf sie anwenden. Man kann eine Gleichung negieren, was zu einer Ungleichung
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne von {{math|term= \neq|SZ=,}} nicht im Sinne von {{math|term= \leq|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
führt. Eine quadratische Gleichung wie
{{
Relationskette
| x^2 -10x+21
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
führt typischerweise zu einer Lösungsbeschreibung wie
{{
Relationskette
| x
|| 3
||
||
||
|SZ=
}}
oder
{{
Relationskette
| x
|| 7
||
||
||
|SZ=,
}}
also zu einer Alternation von Gleichungen
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Durchnummerierung {{mathl|term= x_1,x_2 |SZ=}} ist nur dann nötig, wenn man das {{Anführung|oder}} weglässt und wenn man eine Auflistung der Lösungen haben möchte|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die Konjunktion von Gleichungen führt zu einem {{Stichwort|Gleichungssystem|SZ=,}} beispielsweise einem {{Stichwort|linearen Gleichungssystem|msw=lineares Gleichungssystem|SZ=,}} bei dem man nach den Zahltupeln sucht, die sämtliche beteiligten Gleichungen simultan erfüllen.
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|Kategorie=Theorie der Terme
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|Bearbeitungsstand=
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    <title>Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikationsvorstellung/Bemerkung</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
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      <origin>1107629</origin>
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      <text bytes="3429" sha1="saf34rkjnt8bk5kwa7ucknz63me08kk" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Wie schon bei den natürlichen Zahlen ist die Vorstellung für die Multiplikation von ganzen Zahlen schwieriger als für die Addition, da bei der Addition beide Summanden die gleiche Rolle spielen
{{
Zusatz/Klammer
|text=zumindest in den wichtigsten Interpretationen|
|ISZ=|ESZ=,
}}
während dies bei der Multiplikation nicht der Fall ist. Man kann nicht drei Äpfel mal fünf Äpfel ausrechnen. Wie bei den natürlichen Zahlen beschreibt der eine Faktor die Vielfachheit, mit der ein Prozess durchgeführt, den der andere Faktor quantitativ misst. Man kann also dreimal jeweils fünf Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} transportieren und transportiert dann insgesamt {{math|term= 15 |SZ=}} Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} Das gleiche erreicht man, wenn man fünfmal drei Äpfel von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} transportiert. Ebenso kann man {{math|term= a |SZ=-}}mal {{math|term= b |SZ=}} Äpfel in die andere Richtung von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=}} transportieren, und transportiert damit insgesamt {{math|term= ab|SZ=}} Äpfel von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=.}} Ganze Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=der Apfeltransport samt Richtung|
|ISZ=|ESZ=
}}
mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren besitzt also eine passende natürliche Interpretation. Schwieriger ist es, wenn beide Zahlen negativ sind. Die Definition sagt, dass dann das Produkt der zugehörigen positiven Zahlen herauskommt. Dies kann man sich so vorstellen: Es sei {{math|term= P |SZ=}} ein reversibler Prozess, der gegenläufige Prozess sei mit {{math|term= -P|SZ=}} bezeichnet. Für
{{
Relationskette
| n
| \in | \N
||
||
||
|SZ=
}}
ist {{math|term= nP|SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Ausführung von {{math|term= P |SZ=.}} Für negatives
{{
Relationskette/display
|n
|| -m
||
||
||
|SZ=
}}
interpretiert man dann {{math|term= nP|SZ=}} als die {{math|term= m |SZ=-}}fache Ausführung des gegenläufigen Prozesses. Insbesondere ist
{{
Relationskette/display
|(-1)P
|| -P
||
||
||
|SZ=.
}}
Multiplikation mit {{math|term= -1 |SZ=}} führt also auf den gegenläufigen Prozess, und von daher ist es einleuchtend, auch
{{
Relationskette/display
|(-1)(-P)
|| P
||
||
||
|SZ=
}}
zu setzen, da der gegenläufige Prozess zum gegenläufigen Prozess der Prozess selbst ist.

Auch von den gewünschten algebraischen Gesetzmäßigkeiten her ist die Festlegung {{mathl|term= \text{Minus mal Minus ist Plus} |SZ=}} sinnvoll. Es soll
{{
Relationskette/display
| 0x
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
gelten und es soll das Distributivgesetz gelten. Dann ist für
{{
Relationskette
| n
| \in | \N
||
||
||
|SZ=
}} 
und
{{
Relationskette
| x
| \in | \Z
||
||
||
|SZ=
}} 
{{
Relationskette/display
| 0
|| 0x
||(n+(-n))x
|| nx + (-n)x
||
||
||
|SZ=.
}}
Bei negativem
{{
Relationskette
| x
|| -a
||
||
||
|SZ=
}}
ergibt sich daraus
{{
Relationskette/display
| n (-a)  + (- n) (-a)
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Das Produkt {{mathl|term= (-n)(-a) |SZ=}} muss also bei Addition mit {{mathl|term= n(-a) |SZ=}} Null ergeben, dies ist aber gerade die charakteristische Eigenschaft von {{math|term= na|SZ=.}} Also ist
{{
Relationskette/display
|(-n) (-a)
|| na
||
||
||
|SZ=.
}}
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>saf34rkjnt8bk5kwa7ucknz63me08kk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Dezimalbrüche/Ring/Fakt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83166</id>
    <revision>
      <id>1107560</id>
      <parentid>1044147</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:19:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107560</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="779" sha1="bhv7dh5x8yzgv8fp9ewi39xudd7bvnv" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
|Text=
{{
Faktstruktur|typ=
|Situation=
|Voraussetzung=

|Übergang=
|Folgerung=
Die Summe und das Produkt von zwei
{{
Definitionslink
|Dezimalbrüchen|
|Kontext=|
|SZ=
}}
ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch. 
|Zusatz=Die Menge der Dezimalbrüche bildet einen 
{{
Definitionslink
|kommutativen Ring|
|Kontext=|
|SZ= {{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Man spricht von einem Unterring|
|ISZ=.|ESZ=
}}
}}
innerhalb der rationalen Zahlen.
}}
|Textart=Fakt 
|Kategorie=Theorie der Unterringe der rationalen Zahlen
|Kategorie2=Theorie der Dezimalbrüche
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Faktname=
|Abfrage=Die algebraische Struktur der Dezimalbrüche
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>bhv7dh5x8yzgv8fp9ewi39xudd7bvnv</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83167</id>
    <revision>
      <id>1107742</id>
      <parentid>1100957</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:24:28Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107742</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="994" sha1="pxvtcrea73n39xypb9w456mqyh6zcu9" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Die Dezimalbrüche seien
{{
Relationskette/display
| x 
|| a \cdot 10^k
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| y
|| b \cdot 10^\ell
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \Z
||
||
||
|SZ=
}} 
und mit
{{
Relationskette
| k,\ell
| \in | \Z
||
||
||
|SZ=.
}} 
Wegen der Symmetrie können wir
{{
Relationskette
|k
| \geq | \ell
||
||
||
|SZ=
}}
annehmen. Dann ist
{{
Relationskette/display
| a \cdot 10^k  + b \cdot 10^\ell
|| a \cdot 10^{k-\ell} \cdot 10^\ell  + b \cdot 10^\ell
|| {{makl| a \cdot 10^{k-\ell}  + b |}}  \cdot 10^\ell
||
||
|SZ=
}}
wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist
{{
Relationskette/display
| a \cdot 10^k \cdot b \cdot 10^\ell
|| a \cdot b \cdot 10^{k+\ell} 
|| 
||
||
|SZ=.
}}
Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>pxvtcrea73n39xypb9w456mqyh6zcu9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Dezimalbrüche/Dezimaldarstellung/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83169</id>
    <revision>
      <id>1107743</id>
      <parentid>1102889</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:26:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107743</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2932" sha1="luyno8x76wmr29kayrp09982rqa9a7r" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition||
}}
Diese Darstellung verwendet also direkt die Zifferndarstellung von {{math|term= b |SZ=,}} wobei allein ein Komma eingeführt wird, und zwar so, dass hinter dem Komma genau {{math|term= k |SZ=}} Ziffern stehen, nämlich die hinteren {{math|term= k |SZ=}} Ziffern {{mathl|term= b_{k-1} {{kommadots|}} b_0 |SZ=}} von {{math|term= b |SZ=.}} Dabei darf man hintere Nullen
{{
Zusatz/Klammer
|text=nach dem Trennkomma|
|ISZ=|ESZ=
}}
weglassen. Wenn {{math|term= b |SZ=}} weniger als {{math|term= k |SZ=}} Stellen besitzt, muss man dies vorne durch hinreichend viele Nullen auffüllen. Wegen
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
ist diese Darstellung eindeutig.

Für
{{
Relationskette
| a
|| b
|| 1
||
||
|SZ=
}}
ergibt sich die folgende Tabelle.
{{Tabelleleitsechsxdrei|ls0=|lz1= Potenz |lz2= Bruch |lz3= Kommazahl
|ls1=|a1,1= 10^{0}  |a1,2= {{op:Bruch| 1| 1}}  |a1,3= 1 |
|ls2=|a2,1= 10^{-1}  |a2,2= {{op:Bruch| 1| 10}} |a2,3=  0{,}1 |
|ls3=|a3,1=  10^{-2} |a3,2= {{op:Bruch| 1| 100}} |a3,3= 0{,}01 |
|ls4=|a4,1= 10^{-3} |a4,2= {{op:Bruch| 1| 1000}} |a4,3= 0{,}001 |
|ls5=|a5,1=  10^{-4} |a5,2= {{op:Bruch| 1| 10000}} |a5,3=  0{,}0001 |
|ls6=|a6,1= 10^{-5} |a6,2= {{op:Bruch| 1| 100000}} |a6,3=  0{,}00001 |
}}
Die Potenz {{mathl|term= 10^{-n} |SZ=}} ist also der Bruch, wo im Nenner {{math|term= n |SZ=}} Ziffern stehen, nämlich eine {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= n-1 |SZ=}} Nullen, und das ist zugleich die Kommazahl, bei der nach dem Komma {{math|term= n |SZ=}} Ziffern stehen, nämlich {{math|term= n-1 |SZ=}} Nullen und eine {{math|term= 1 |SZ=.}} Für Umrechnungen ist auch folgende Beobachtung hilfreich: Wenn man eine Kommazahl mit {{math|term= 10 |SZ=}} multipliziert, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts, wenn man sie mit {{math|term=  10^{-1} |SZ=}} multipliziert, verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links. Die Stelle zu {{math|term=  10^{-k} |SZ=}} nennt man auch die {{math|term= k |SZ=-}}te Nachkommastelle, die entsprechende Ziffer die {{math|term= k |SZ=-}}te Nachkommaziffer.

Das Rechnen mit Kommazahlen ist einfach, allerdings ist das richtige Setzen des Kommas eine Fehlerquelle.

{{
inputbemerkung
|Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Größenvergleich/Bemerkung||
}}

{{
inputbeispiel
|Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Rechnung/1/Beispiel||
}}

{{
inputbemerkung
|Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Rechnung/Produkt/Bemerkung||
}}

Wenn man beispielsweise {{mathl|term= 1{,}2 \cdot 3{,}5 |SZ=}} rechnen möchte, so kann man zuerst {{mathl|term= 420 |SZ=}} berechnen und dann zwei Stellen von hinten gezählt das Komma setzen, also {{math|term= 4{,}2 |SZ=.}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>luyno8x76wmr29kayrp09982rqa9a7r</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83192</id>
    <revision>
      <id>1107710</id>
      <parentid>1101637</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:44:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107710</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1568" sha1="mnl4z1togufz6f8afavqfvdr38hmx6x" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Dass eine totale Ordnung vorliegt, wird in
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Rationale Zahlen/Größergleichbeziehung/Totale Ordnung/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
gezeigt. Es sei
{{
Relationskette
| x
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
||
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette
| y
|| {{op:Bruch| c |d}} 
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| z
|| {{op:Bruch| e |f}} 
||
||
||
|SZ=
}}
mit positiven Nennern {{mathl|term= b,d,f|SZ=.}} Durch Übergang zu einem gemeinsamen Hauptnenner können wir direkt
{{
Relationskette
|b
|| d
|| f
||
||
|SZ=
}}
annehmen. Sei
{{
Relationskette/display
| x
| \geq | y
||
||
||
|SZ=,
}}
also
{{
Relationskette/display
|a
| \geq |c
||
||
||
|SZ=.
}}
Dann ist
{{
Faktlink
|Präwort=nach||Faktseitenname=
Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Anordnungseigenschaften/Fakt
|Nr=2
|SZ=
}}
auch
{{
Relationskette/display
|a+e
| \geq| c+e
||
||
||
|SZ=
}}
und somit ist
{{
Relationskette/display
| x+z 
|| {{op:Bruch| a |b}} + {{op:Bruch| e |b}} 
|| {{op:Bruch|a+e|b}}
| \geq | {{op:Bruch|c+e|b}}
|| {{op:Bruch| c |b}} + {{op:Bruch| e |b}} 
|| y+z
|SZ=.
}}
Wenn die beiden Brüche
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch| a |b}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch| c |d}} 
|SZ=
}}
beide {{mathl|term= \geq 0 |SZ=}} sind, so sind alle Zähler und Nenner aus {{math|term= \N|SZ=}} und dies überträgt sich auf {{mathl|term= {{op:Bruch|ac|bd}} |SZ=,}} also ist auch dies {{mathl|term= \geq 0 |SZ=.}} 
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>mnl4z1togufz6f8afavqfvdr38hmx6x</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83204</id>
    <revision>
      <id>1107726</id>
      <parentid>1103281</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:03:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107726</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3107" sha1="hlw5wgepp80vlg3dpxje33fm9t5dk2j" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputfaktbeweis
|Rationale Zahlen/Archimedes-Axiom/Fakt|Lemma||
}}

Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper
{{
Zusatz/Klammer
|text=und jeder angeordnete Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} enthält.
{{
inputdefinition
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition||
}}

Gemäß
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Rationale Zahlen/Archimedes-Axiom/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Archimedisch angeordneter Körper/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist.  Da die Zahlengerade ein geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es  angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Polynomring/Angeordneter Körper/Anordnung auf Quotientenkörper/Nicht archimedisch angeordnet/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

{{
inputfaktbeweis
|Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputbild
|Zandlineaal-schuin|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Tom Meijer
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 4.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputbild
|Dune 7 in the Namib Desert|jpeg| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Ævar Arnfjörð Bjarmason
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}

Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß {{math|term= y |SZ=}} ist und egal wie klein ein positives {{math|term= x |SZ=}} ist, man kann stets mit hinreichend vielen {{math|term= x |SZ=}} die Zahl {{math|term= y |SZ=}} übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.
{{
inputfaktbeweis
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Lemma||optlink1=/link2
}}

{{
inputfaktbeweis
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei {{math|term= B |SZ=}} an eine sehr große und bei {{math|term= \epsilon |SZ=}} an eine sehr kleine Zahl.
{{
inputfaktbeweis
|Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Archimedisch angeordneter Körper/x kleiner 1/x^n unterbietet/Fakt|Korollar||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>hlw5wgepp80vlg3dpxje33fm9t5dk2j</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Brüche/Zahlengerade/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83206</id>
    <revision>
      <id>1107711</id>
      <parentid>1103279</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:44:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107711</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7853" sha1="cu1l4cshsbmytx8lxtavjiqyu6zdw0x" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputbild
|Konstruktionen 007|jpg| 300px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Darapti
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren
{{
Zusatz/Klammer
|text=die ganzen Zahlen seien dort schon platziert|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| a,b
| \in| \N_+ 
||
||
||
|SZ=
}}
findet man so: Man unterteilt die Strecke von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= b |SZ=}} gleichlange Teilstrecken. Die Zahl {{math|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} ist dann die rechte Grenze des 
{{
Zusatz/Klammer
|text=von links|
|ISZ=|ESZ=
}}
ersten Teilintervalls. Insbesondere ist {{math|term= {{op:Bruch| 1 | b }} |SZ=}} die Länge des Intervalls, das {{math|term= b |SZ=-}}fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von
{{
mathkor|term1=
0
|bis|term2=
1
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=das Einheitsintervall|
|ISZ=|ESZ=
}}
ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse steht und durch den Punkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} geht, trifft den Graphen in einem Punkt {{mathl|term= (s,1) |SZ=,}} wobei {{math|term= s |SZ=}} die Länge der Verbindungsstrecke von
{{
mathkor|term1=
 (0,1)
|zu|term2=
 (s,1)
|SZ=
}}
ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen {{math|term= y |SZ=-}}Achse und linearer Graph und die durch
{{
Relationskette
| y
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
und 
{{
Relationskette
| y
|| b
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b}} 
|| {{op:Bruch|s| 1}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Die Streckenlänge {{math|term= s |SZ=}} kann man dann parallel auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Umgekehrt formuliert: Da das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke von
{{
mathkor|term1=
0
|nach|term2=
1
|SZ=
}}
die Länge {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke {{math|term= s |SZ=}} gleich der Länge {{math|term= a |SZ=.}} Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Proportionalitätskonstante|
|ISZ=|ESZ=,
}}
der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch
{{
Relationskette
| x
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
gegebenen Geraden
{{
Zusatz/Klammer
|text=also die Gerade, die parallel zur {{math|term= y |SZ=-}}Achse ist und durch den Punkt {{mathlk|term=(1,0) |SZ=}} verläuft|
|ISZ=|ESZ=
}}
schneidet, als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und {{mathl|term= (1,0) |SZ=.}} 

{{
inputbild
|Constructrulercompassadd|pdf| 300px {{!}} right {{!}} | 
|Text=Die geometrische Ausführung der vektoriellen Addition auf der Zahlengeraden. Man muss einen Zirkel einsetzen und parallele Geraden konstruieren können. Die {{math|term= 1 |SZ=}} spielt keine Rolle.
|Autor=
|Benutzer=Darapti
|Domäne=
|Lizenz=
|Bemerkung=
}}
Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten
{{
mathkor|term1=
P
|und|term2=
Q
|SZ=
}}
ist die vektorielle Addition der Pfeile
{{
mathkor|term1=
 {{op:Vektor| 0|P}}
|und|term2=
 {{op:Vektor| 0|Q}}
|SZ=,
}}
wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von {{math|term= 0 |SZ=}} ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht
{{
Zusatz/Klammer
|text=für rationale Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke {{mathl|term= {{op:Vektor| 0|R}} |SZ=}} darstellen kann
{{
Zusatz/Klammer
|text=Übergang zu einem Hauptnenner|
|ISZ=|ESZ=,
}}
also
{{
mathkor|term1=
 {{op:Vektor| 0|P}} = m {{op:Vektor| 0|R}}
|und|term2=
 {{op:Vektor| 0|Q}} = n {{op:Vektor| 0|R}}
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| m,n
| \in| \N 
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach {{mathl|term= (m+n){{op:Vektor| 0|R}} |SZ=.}} 

Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die {{math|term= 1 |SZ=}} fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
seien auf der Zahlengerade gegeben, die wir als {{math|term= x |SZ=-}}Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse
{{
Zusatz/Klammer
|text=man könnte auch eine andere Gerade durch den Nullpunkt nehmen|
|ISZ=|ESZ=
}}
markieren wir den Punkt {{math|term= a'|SZ=,}} der zum Nullpunkt den Abstand {{math|term= a |SZ=}} und somit die Koordinaten {{mathl|term= (0,a) |SZ=}} besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte
{{
mathkor|term1=
(0,1)
|und|term2=
(b,0)
|SZ=.
}}
Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt {{mathl|term= (0,a) |SZ=.}} Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der {{math|term= x |SZ=-}}Achse sei {{mathl|term= (z,0) |SZ=.}} Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung
{{
Relationskette
| {{op:Bruch|z|b}} 
|| {{op:Bruch|a| 1}} 
||
||
||
|SZ=,
}}
also ist
{{
Relationskette/display
|z
||ab
||
||
||
|SZ=.
}}
Das Produkt {{math|term= ab|SZ=}} ist also der konstruierte Punkt {{math|term= z |SZ=.}} Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Rationale Zahlen/Zahlenstrahl/Multiplikation/Korrektheit/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet
{{
Relationskette
| x
| \geq| y
||
||
||
|SZ=
}}
für beliebige Punkte
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
aus der rechten Hälfte der Zahlengeraden 
{{
Zusatz/Klammer
|text=dem positiven Zahlenstrahl|
|ISZ=|ESZ=,
}}
dass die Strecke {{mathl|term= [0,x] |SZ=}} in der Strecke {{mathl|term= [0,y] |SZ=}} enthalten ist, bzw., dass {{math|term= y |SZ=}} rechts von {{math|term= x |SZ=}} liegt. Für eine rationale Zahl wissen wir, dass ein ganzzahliges 
{{
Zusatz/Klammer
|text=geometrisches|
|ISZ=|ESZ=
}}
Vielfaches davon, also die {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
gibt es daher eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass sowohl
{{
mathkor|term1=
nx
|als auch|term2=
ny
|SZ=
}}
ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn
{{
mathkor|term1=
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|und|term2=
 y= {{op:Bruch|c|d|}} 
|SZ=
}}
mit
{{
mathkor|term1=
 a,c \in \Z
|und|term2=
b,d \in \N_+
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}}
ist, so kann man
{{
Relationskette
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||
||
||
|SZ=
}}
nehmen und erhält die Beziehung
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b|}} 
| \geq| {{op:Bruch|c|d|}} 
||
||
||
|SZ=
}}
genau dann, wenn in {{math|term= \Z|SZ=}} die Beziehung
{{
Relationskette/display
| ad
| \geq|bc
||
||
||
|SZ=
}}
gilt. Hier begegnen wir wieder dem {{Stichwort|Überkreuzungsprinzip|SZ=.}}
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|Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen
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Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
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Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren
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|text=die ganzen Zahlen seien dort schon platziert|
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Die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit
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Relationskette
| a,b
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||
||
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findet man so: Man unterteilt die Strecke von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= b |SZ=}} gleichlange Teilstrecken. Die Zahl {{math|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} ist dann die rechte Grenze des 
{{
Zusatz/Klammer
|text=von links|
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ersten Teilintervalls. Insbesondere ist {{math|term= {{op:Bruch| 1 | b }} |SZ=}} die Länge des Intervalls, das {{math|term= b |SZ=-}}fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von
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|text=das Einheitsintervall|
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ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse steht und durch den Punkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} geht, trifft den Graphen in einem Punkt {{mathl|term= (s,1) |SZ=,}} wobei {{math|term= s |SZ=}} dann die Länge der Verbindungsstrecke von
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 (0,1)
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 (s,1)
|SZ=
}}
ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen {{math|term= y |SZ=-}}Achse und linearer Graph und die durch
{{
Relationskette
| y
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
und 
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Relationskette
| y
|| b
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b}} 
|| {{op:Bruch|s| 1}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Die Streckenlänge {{math|term= s |SZ=}} kann man dann parallel auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Umgekehrt formuliert: Da das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke von
{{
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0
|nach|term2=
1
|SZ=
}}
die Länge {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke {{math|term= s |SZ=}} gleich der Länge {{math|term= a |SZ=.}} Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Proportionalitätskonstante|
|ISZ=|ESZ=,
}}
der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch
{{
Relationskette
| x
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
gegebenen Geraden
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Zusatz/Klammer
|text=also die Gerade, die parallel zur {{math|term= y |SZ=-}}Achse ist und durch den Punkt {{mathlk|term=(1,0) |SZ=}} verläuft|
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}}
schneidet, als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und {{mathl|term= (1,0) |SZ=.}} 

{{
inputbild
|Constructrulercompassadd|pdf| 300px {{!}} right {{!}} | 
|Text=Die geometrische Ausführung der vektoriellen Addition auf der Zahlengeraden. Man muss einen Zirkel einsetzen und parallele Geraden konstruieren können. Die {{math|term= 1 |SZ=}} spielt keine Rolle.
|Autor=
|Benutzer=Darapti
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Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten
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}}
ist die vektorielle Addition der Pfeile
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mathkor|term1=
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}}
wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von {{math|term= 0 |SZ=}} ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht
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Zusatz/Klammer
|text=für rationale Zahlen|
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}}
darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke {{mathl|term= {{op:Vektor| 0|R}} |SZ=}} darstellen kann
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also
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mit
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Relationskette
| m,n
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||
||
||
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}}
schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach {{mathl|term= (m+n){{op:Vektor| 0|R}} |SZ=.}} 

Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die {{math|term= 1 |SZ=}} fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte
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a
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b
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}}
seien auf der Zahlengerade gegeben, die wir als {{math|term= x |SZ=-}}Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse
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Zusatz/Klammer
|text=man könnte auch eine andere Gerade durch den Nullpunkt nehmen|
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}}
markieren wir den Punkt {{math|term= a'|SZ=,}} der zum Nullpunkt den Abstand {{math|term= a |SZ=}} und somit die Koordinaten {{mathl|term= (0,a) |SZ=}} besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte
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(0,1)
|und|term2=
(b,0)
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}}
Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt {{mathl|term= (0,a) |SZ=.}} Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der {{math|term= x |SZ=-}}Achse sei {{mathl|term= (z,0) |SZ=.}} Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung
{{
Relationskette
| {{op:Bruch|z|b}} 
|| {{op:Bruch|a| 1}} 
||
||
||
|SZ=,
}}
also ist
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|z
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||
||
||
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}}
Das Produkt {{math|term= ab|SZ=}} ist also der konstruierte Punkt {{math|term= z |SZ=.}} Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe
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Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
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Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet
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||
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für beliebige Punkte
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Vielfaches davon, also die {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen
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}}
gibt es daher eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass sowohl
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}}
ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn
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||
||
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nehmen und erhält die Beziehung
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Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
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Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren
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Die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit
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findet man so: Man unterteilt die Strecke von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= b |SZ=}} gleichlange Teilstrecken. Die Zahl {{math|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} ist dann die rechte Grenze des 
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ersten Teilintervalls. Insbesondere ist {{math|term= {{op:Bruch| 1 | b }} |SZ=}} die Länge des Intervalls, das {{math|term= b |SZ=-}}fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von
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|text=das Einheitsintervall|
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ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse steht und durch den Punkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} geht, trifft den Graphen in einem Punkt {{mathl|term= (s,1) |SZ=,}} wobei {{math|term= s |SZ=}} dann die Länge der Verbindungsstrecke von
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ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen {{math|term= y |SZ=-}}Achse und linearer Graph und die durch
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und 
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gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit
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|SZ=.
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Die Streckenlänge {{math|term= s |SZ=}} kann man dann parallel auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Umgekehrt formuliert: Da das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke von
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die Länge {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke {{math|term= s |SZ=}} gleich der Länge {{math|term= a |SZ=.}} Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs
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}}
der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch
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| x
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||
||
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gegebenen Geraden
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Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten
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ist die vektorielle Addition der Pfeile
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wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von {{math|term= 0 |SZ=}} ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht
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|text=für rationale Zahlen|
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darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke {{mathl|term= {{op:Vektor| 0|R}} |SZ=}} darstellen kann
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also
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mit
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schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach {{mathl|term= (m+n){{op:Vektor| 0|R}} |SZ=.}} 

Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die {{math|term= 1 |SZ=}} fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte
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a
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seien auf der Zahlengerade gegeben, die wir als {{math|term= x |SZ=-}}Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse
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markieren wir den Punkt {{math|term= a'|SZ=,}} der zum Nullpunkt den Abstand {{math|term= a |SZ=}} und somit die Koordinaten {{mathl|term= (0,a) |SZ=}} besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte
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Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt {{mathl|term= (0,a) |SZ=.}} Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der {{math|term= x |SZ=-}}Achse sei {{mathl|term= (z,0) |SZ=.}} Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung
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Relationskette
| {{op:Bruch|z|b}} 
|| {{op:Bruch|a| 1}} 
||
||
||
|SZ=,
}}
also ist
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Relationskette/display
|z
||ab
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Das Produkt {{math|term= ab|SZ=}} ist also der konstruierte Punkt {{math|term= z |SZ=.}} Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe
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|Aufgabeseitenname=
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Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet
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für beliebige Punkte
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aus der rechten Hälfte der Zahlengeraden 
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|ISZ=|ESZ=
}}
Vielfaches davon, also die {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
gibt es daher eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass sowohl
{{
mathkor|term1=
nx
|als auch|term2=
ny
|SZ=
}}
ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn
{{
mathkor|term1=
x= {{op:Bruch|a|b|}} 
|und|term2=
 y= {{op:Bruch|c|d|}} 
|SZ=
}}
mit
{{
mathkor|term1=
 a,c \in \Z
|und|term2=
b,d \in \N_+
|SZ=
}}
ist, so kann man
{{
Relationskette
|n
||bd
||
||
||
|SZ=
}}
nehmen und erhält die Beziehung
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b|}} 
| \geq| {{op:Bruch|c|d|}} 
||
||
||
|SZ=
}}
genau dann, wenn in {{math|term= \Z|SZ=}} die Beziehung
{{
Relationskette/display
| ad
| \geq|bc
||
||
||
|SZ=
}}
gilt. Hier begegnen wir wieder dem {{Stichwort|Überkreuzungsprinzip|SZ=.}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
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    </revision>
    <revision>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107716</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7859" sha1="fb3b4rogpiokaojq4r11s2qzijsg8ql" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputbild
|Konstruktionen 007|jpg| 300px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Darapti
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren
{{
Zusatz/Klammer
|text=die ganzen Zahlen seien dort schon platziert|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| a,b
| \in| \N_+ 
||
||
||
|SZ=
}}
findet man so: Man unterteilt die Strecke von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= b |SZ=}} gleichlange Teilstrecken. Die Zahl {{math|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} ist dann die rechte Grenze des 
{{
Zusatz/Klammer
|text=von links|
|ISZ=|ESZ=
}}
ersten Teilintervalls. Insbesondere ist {{math|term= {{op:Bruch| 1 | b }} |SZ=}} die Länge des Intervalls, das {{math|term= b |SZ=-}}fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von
{{
mathkor|term1=
0
|bis|term2=
1
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=das Einheitsintervall|
|ISZ=|ESZ=
}}
ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse steht und durch den Punkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} geht, trifft den Graphen in einem Punkt {{mathl|term= (s,1) |SZ=,}} wobei {{math|term= s |SZ=}} dann die Länge der Verbindungsstrecke von
{{
mathkor|term1=
 (0,1)
|zu|term2=
 (s,1)
|SZ=
}}
ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen {{math|term= y |SZ=-}}Achse und linearer Graph und die durch
{{
Relationskette
| y
|| 1
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
und 
{{
Relationskette
| y
|| b
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b}} 
|| {{op:Bruch|s| 1}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Die Streckenlänge {{math|term= s |SZ=}} kann man dann parallel auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Umgekehrt formuliert: Da das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke von
{{
mathkor|term1=
0
|nach|term2=
1
|SZ=
}}
die Länge {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke {{math|term= s |SZ=}} gleich der Länge {{math|term= a |SZ=.}} Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Proportionalitätskonstante|
|ISZ=|ESZ=,
}}
der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch
{{
Relationskette
| x
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
gegebenen Geraden
{{
Zusatz/Klammer
|text=also die Gerade, die parallel zur {{math|term= y |SZ=-}}Achse ist und durch den Punkt {{mathlk|term=(1,0) |SZ=}} verläuft|
|ISZ=|ESZ=
}}
schneidet, als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und {{mathl|term= (1,0) |SZ=.}} 

{{
inputbild
|Constructrulercompassadd|pdf| 300px {{!}} right {{!}} | 
|Text=Die geometrische Ausführung der vektoriellen Addition auf der Zahlengeraden. Man muss einen Zirkel einsetzen und parallele Geraden konstruieren können. Die {{math|term= 1 |SZ=}} spielt keine Rolle.
|Autor=
|Benutzer=Darapti
|Domäne=
|Lizenz=
|Bemerkung=
}}
Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten
{{
mathkor|term1=
P
|und|term2=
Q
|SZ=
}}
ist die vektorielle Addition der Pfeile
{{
mathkor|term1=
 {{op:Vektor| 0|P}}
|und|term2=
 {{op:Vektor| 0|Q}}
|SZ=,
}}
wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von {{math|term= 0 |SZ=}} ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht
{{
Zusatz/Klammer
|text=für rationale Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke {{mathl|term= {{op:Vektor| 0|R}} |SZ=}} darstellen kann
{{
Zusatz/Klammer
|text=Übergang zu einem Hauptnenner|
|ISZ=|ESZ=,
}}
also
{{
mathkor|term1=
 {{op:Vektor| 0|P}} = m {{op:Vektor| 0|R}}
|und|term2=
 {{op:Vektor| 0|Q}} = n {{op:Vektor| 0|R}}
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| m,n
| \in| \N 
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach {{mathl|term= (m+n){{op:Vektor| 0|R}} |SZ=.}} 

Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die {{math|term= 1 |SZ=}} fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
seien auf der Zahlengeraden gegeben, die wir als {{math|term= x |SZ=-}}Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse
{{
Zusatz/Klammer
|text=man könnte auch eine andere Gerade durch den Nullpunkt nehmen|
|ISZ=|ESZ=
}}
markieren wir den Punkt {{math|term= a'|SZ=,}} der zum Nullpunkt den Abstand {{math|term= a |SZ=}} und somit die Koordinaten {{mathl|term= (0,a) |SZ=}} besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte
{{
mathkor|term1=
(0,1)
|und|term2=
(b,0)
|SZ=.
}}
Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt {{mathl|term= (0,a) |SZ=.}} Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der {{math|term= x |SZ=-}}Achse sei {{mathl|term= (z,0) |SZ=.}} Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung
{{
Relationskette
| {{op:Bruch|z|b}} 
|| {{op:Bruch|a| 1}} 
||
||
||
|SZ=,
}}
also ist
{{
Relationskette/display
|z
||ab
||
||
||
|SZ=.
}}
Das Produkt {{math|term= ab|SZ=}} ist also der konstruierte Punkt {{math|term= z |SZ=.}} Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Rationale Zahlen/Zahlenstrahl/Multiplikation/Korrektheit/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet
{{
Relationskette
| y
| \geq| x
||
||
||
|SZ=
}}
für beliebige Punkte
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
aus der rechten Hälfte der Zahlengeraden 
{{
Zusatz/Klammer
|text=dem positiven Zahlenstrahl|
|ISZ=|ESZ=,
}}
dass die Strecke {{mathl|term= [0,x] |SZ=}} in der Strecke {{mathl|term= [0,y] |SZ=}} enthalten ist, bzw., dass {{math|term= y |SZ=}} rechts von {{math|term= x |SZ=}} liegt. Für eine rationale Zahl wissen wir, dass ein ganzzahliges 
{{
Zusatz/Klammer
|text=geometrisches|
|ISZ=|ESZ=
}}
Vielfaches davon, also die {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
gibt es daher eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass sowohl
{{
mathkor|term1=
nx
|als auch|term2=
ny
|SZ=
}}
ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn
{{
mathkor|term1=
x= {{op:Bruch|a|b|}} 
|und|term2=
 y= {{op:Bruch|c|d|}} 
|SZ=
}}
mit
{{
mathkor|term1=
 a,c \in \Z
|und|term2=
b,d \in \N_+
|SZ=
}}
ist, so kann man
{{
Relationskette
|n
||bd
||
||
||
|SZ=
}}
nehmen und erhält die Beziehung
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b|}} 
| \geq| {{op:Bruch|c|d|}} 
||
||
||
|SZ=
}}
genau dann, wenn in {{math|term= \Z|SZ=}} die Beziehung
{{
Relationskette/display
| ad
| \geq|bc
||
||
||
|SZ=
}}
gilt. Hier begegnen wir wieder dem {{Stichwort|Überkreuzungsprinzip|SZ=.}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>fb3b4rogpiokaojq4r11s2qzijsg8ql</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83207</id>
    <revision>
      <id>1107698</id>
      <parentid>1102431</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:43:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107698</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1163" sha1="gy1hyaiblkbo5nvk2yxbcg954sxmtz9" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
|Text=
{{
Faktstruktur|typ=
|Situation=
Die 
{{
Definitionslink
|rationalen Zahlen|
|Kontext=elementar|
|SZ=
}}
{{math|term= \Q|SZ=}} erfüllen die folgenden Eigenschaften.
|Voraussetzung=

|Übergang=
|Folgerung=
{{
Aufzählung3
|Die Addition ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit {{math|term= 0 |SZ=}} als neutralem Element. Zu jedem
{{
Relationskette
| x
| \in | \Q
||
||
||
|SZ=
}}
gibt es ein
{{
Relationskette
| y
| \in | \Q
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette/display
| x+y
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
|Die Multiplikation ist eine kommutative assoziative Verknüpfung mit {{math|term= 1 |SZ=}} als neutralem Element. Zu jedem 
{{
mathbed|term=
 z \in \Q
||bedterm1=
 z \neq 0
||bedterm2=
|SZ=,
}}
gibt es ein
{{
Relationskette
| w
| \in | \Q
||
||
||
|SZ=
}} 
mit
{{
Relationskette/display
| z \cdot w
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
|Es gilt das Distributivgesetz.
}}
|Zusatz=
}}
|Textart=Fakt 
|Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie2=Körpertheorie
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Faktname=
|Abfrage=Algebraische Struktur von {{math|term= \Q|SZ=}} 
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>gy1hyaiblkbo5nvk2yxbcg954sxmtz9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Brüche/Ausführlich/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>1102809</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:38:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107696</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3601" sha1="r0gri4b0uufje41g2w7aa2uxt1rqzeb" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Rationale Zahlen/Brüche/Definition||
}}

Einen Ausdruck {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} nennt man Bruch, wobei {{math|term= a |SZ=}} der {{Stichwort|Zähler|SZ=}} und {{math|term= b |SZ=}} der {{Stichwort|Nenner|SZ=}} des Bruches heißen. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben und kann mit unterschiedlichen Zählern und Nennern dargestellt werden, beispielsweise ist
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| 5| 10}} 
|| {{op:Bruch| 1| 2}}
||
||
||
|SZ=.
}}
Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a| 1}} |SZ=}} schreibt man einfach {{math|term= a |SZ=.}} In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Insbesondere gibt es die Null
{{
Relationskette
| 0 
|| {{op:Bruch| 0| 1}}
||
||
||
|SZ=
}}
und die Eins
{{
Relationskette
| 1
|| {{op:Bruch| 1| 1}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Es gelten die folgenden Identitäten
{{
Zusatz/Klammer
|text=dabei seien
{{
Relationskette/k
| c,d
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}} 
ansonsten seien
{{
Relationskette
| a,b,c,d  
| \in| \Z
||
||
||
|SZ=
}}
beliebig|
|ISZ=|ESZ=.
}}
{{
Aufzählung4
|{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| 1| -1}}
|| -1
||
||
||
|SZ=,
}} 
|{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| 0|c}}
|| 0
||
||
||
|SZ=,
}}  
|{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|c|c}}
|| 1
||
||
||
|SZ=,
}}
|{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|c}}
|| {{op:Bruch|ad|cd}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
}}
Die Begründung für de Richtigkeit dieser Regeln liegt in der Überkreuzregel. Die letzte Regel heißt {{Stichwort|Erweiterungsregel|SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn man sie von links nach rechts liest|
|ISZ=|ESZ=
}}
bzw. {{Stichwort|Kürzungsregel|SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn man sie von rechts nach links liest|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Der Wert eines Bruches
{{
Zusatz/Klammer
|text=also die rationale Zahl, die durch den Bruch festgelegt ist|
|ISZ=|ESZ=
}}
ändert sich also nicht, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen ganzen Zahl multipliziert. Wegen
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b}} 
|| {{op:Bruch| -a| -b}} 
||
||
||
|SZ=
}}
kann man jede rationale Zahl mit einem positiven Nenner schreiben. Zwei Brüche mit einem gemeinsamen Nenner, also von der Form
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch|a|r}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch|c|r}} 
|SZ=,
}}
heißen {{Stichwort|gleichnamig|msw=Gleichnamige Brüche|SZ=.}} Zwei beliebige Brüche
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch|a|b}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch|c|d}} 
|SZ=
}}
kann man gleichnamig machen, indem man sie durch Erweiterung auf einen {{Stichwort|Hauptnenner|SZ=}} bringt. Eine Möglichkeit ist, die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren und zu den gleichwertigen Brüchen
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch|ad|bd}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch|cb|bd}} 
|SZ=
}}
überzugehen. Statt mit {{math|term= bd|SZ=}} kann man mit jedem gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner arbeiten.

{{
inputdefinition
|Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition||
}}

Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine gekürzte Darstellung. Wenn man den Nenner positiv wählt, ist diese Darstellung sogar eindeutig. Man erhält sie, indem man in einer beliebigen Darstellung durch den größten gemeinsamen Teiler des Zählers und des Nenners dividiert und das Vorzeichen anpasst.

{{
inputdefinition
|Stammbruch/Definition||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Fußnoten=x
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
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      <sha1>r0gri4b0uufje41g2w7aa2uxt1rqzeb</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107697</id>
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      <timestamp>2026-07-17T09:39:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107697</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3602" sha1="ivmchadhqys5ysvbzhud4trchtfbd4w" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Rationale Zahlen/Brüche/Definition||
}}

Einen Ausdruck {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} nennt man Bruch, wobei {{math|term= a |SZ=}} der {{Stichwort|Zähler|SZ=}} und {{math|term= b |SZ=}} der {{Stichwort|Nenner|SZ=}} des Bruches heißen. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben und kann mit unterschiedlichen Zählern und Nennern dargestellt werden, beispielsweise ist
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| 5| 10}} 
|| {{op:Bruch| 1| 2}}
||
||
||
|SZ=.
}}
Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a| 1}} |SZ=}} schreibt man einfach {{math|term= a |SZ=.}} In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Insbesondere gibt es die Null
{{
Relationskette
| 0 
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||
||
||
|SZ=
}}
und die Eins
{{
Relationskette
| 1
|| {{op:Bruch| 1| 1}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Es gelten die folgenden Identitäten
{{
Zusatz/Klammer
|text=dabei seien
{{
Relationskette/k
| c,d
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}} 
ansonsten seien
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Relationskette
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||
||
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Aufzählung4
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||
||
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||
||
||
|SZ=,
}}  
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||
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Relationskette/display
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||
||
|SZ=.
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}}
Die Begründung für die Richtigkeit dieser Regeln liegt in der Überkreuzregel. Die letzte Regel heißt {{Stichwort|Erweiterungsregel|SZ=}} 
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Zusatz/Klammer
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bzw. {{Stichwort|Kürzungsregel|SZ=}} 
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Zusatz/Klammer
|text=wenn man sie von rechts nach links liest|
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Der Wert eines Bruches
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Zusatz/Klammer
|text=also die rationale Zahl, die durch den Bruch festgelegt ist|
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ändert sich also nicht, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen ganzen Zahl multipliziert. Wegen
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Relationskette/display
| {{op:Bruch|a|b}} 
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||
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kann man jede rationale Zahl mit einem positiven Nenner schreiben. Zwei Brüche mit einem gemeinsamen Nenner, also von der Form
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heißen {{Stichwort|gleichnamig|msw=Gleichnamige Brüche|SZ=.}} Zwei beliebige Brüche
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kann man gleichnamig machen, indem man sie durch Erweiterung auf einen {{Stichwort|Hauptnenner|SZ=}} bringt. Eine Möglichkeit ist, die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren und zu den gleichwertigen Brüchen
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch|ad|bd}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch|cb|bd}} 
|SZ=
}}
überzugehen. Statt mit {{math|term= bd|SZ=}} kann man mit jedem gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner arbeiten.

{{
inputdefinition
|Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition||
}}

Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine gekürzte Darstellung. Wenn man den Nenner positiv wählt, ist diese Darstellung sogar eindeutig. Man erhält sie, indem man in einer beliebigen Darstellung durch den größten gemeinsamen Teiler des Zählers und des Nenners dividiert und das Vorzeichen anpasst.

{{
inputdefinition
|Stammbruch/Definition||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Fußnoten=x
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>ivmchadhqys5ysvbzhud4trchtfbd4w</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83213</id>
    <revision>
      <id>1107699</id>
      <parentid>1101636</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:44:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107699</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2955" sha1="0mp4h8vvygvu55otlwqfnz6iagi48le" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
{{
Aufzählung3
|Die Kommutativität der Addition folgt unmittelbar aus der Definition und der Kommutativität der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Multiplikation. Zum Nachweis der Assoziativität können wir annehmen, dass alle drei beteiligten rationalen Zahlen den gleichen Nenner haben. Es sei also
{{
Math/display|term=
x = {{op:Bruch| a |r}} ,\, y = {{op:Bruch| b |r}} , \, z = {{op:Bruch| c |r}} 
|SZ=.
}}
Dann ist
{{
Relationskette/display
| {{makl| x+y |}} +z
|| {{makl| {{op:Bruch| a |r}} + {{op:Bruch| b |r}}  |}} + {{op:Bruch| c |r}}  
|| {{op:Bruch|a+b|r}}  + {{op:Bruch| c |r}}  
|| {{op:Bruch|a+b+c|r}}
|| x + {{makl| y+z |}} 
|SZ=.
}}
Ferner ist
{{
Relationskette/display
| 0 + {{op:Bruch| a |b}} 
|| {{op:Bruch| 0 |b}} + {{op:Bruch| a |b}} 
|| {{op:Bruch| 0+a|b}}
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
|SZ=.
}}
Zu
{{
Relationskette
| x
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
||
||
|SZ=
}}
betrachtet man
{{
Relationskette
| y
|| {{op:Bruch| -a|b}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Dann ist
{{
Relationskette/display
| x+y
|| {{op:Bruch| a |b}} + {{op:Bruch| -a|b}} 
|| {{op:Bruch|a-a|b}} 
|| {{op:Bruch| 0 |b}} 
|| 0
|SZ=.
}}
|Die Kommutativität und die Assoziativität der Multiplikation ergeben sich unmittelbar aus der Definition und den entsprechenden Eigenschaften der ganzzahligen Verknüpfungen. Die
{{
Relationskette
| 1
|| {{op:Bruch| 1 | 1}}
||
||
||
|SZ=
}}
hat die Eigenschaft
{{
Relationskette/display
| 1 \cdot {{op:Bruch| a |b}} 
|| {{op:Bruch| 1 | 1}} \cdot {{op:Bruch| a |b}} 
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
||
|SZ=,
}}
es ist also das neutrale Element der Multiplikation. Zu einer rationalen Zahl
{{
Relationskette
|z
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Relationskette
|z
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
|a,b
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=also sowohl der Zähler als auch der Nenner sind von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden|
|ISZ=|ESZ=
}}
und daher ist auch der umgedrehte Bruch
{{
Relationskette/display
| w
|| {{op:Bruch| b |a}}
||
||
||
|SZ=
}}
eine rationale Zahl, und es gilt
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| a |b}} \cdot {{op:Bruch| b |a}} 
|| {{op:Bruch|ab|ab}} 
|| 1
||
||
|SZ=.
}}
|Zum Nachweis des Distributivgesetzes sei
{{
Math/display|term=
x = {{op:Bruch| a |r}} ,\, y = {{op:Bruch| b |r}} , \, z = {{op:Bruch| c |r}} 
|SZ=.
}}
Damit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes der ganzen Zahlen
{{
Relationskette/align
| x \cdot (y+z)
|| {{op:Bruch| a |r}} \cdot {{makl| {{op:Bruch| b |r}} + {{op:Bruch| c |r}} |}}  
|| {{op:Bruch| a |r}} \cdot {{op:Bruch|b+c|r}}
|| {{op:Bruch|a(b+c)|r^2}}
|| {{op:Bruch|ab+ac|r^2}}
|| {{op:Bruch|ab|r^2}} + {{op:Bruch|ac|r^2}}
|| {{op:Bruch| a |r}} \cdot {{op:Bruch| b |r}} + {{op:Bruch| a |r}} \cdot {{op:Bruch| c |r}}
|| x \cdot y + x \cdot z
|SZ=.
}}
}}
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>0mp4h8vvygvu55otlwqfnz6iagi48le</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Natürliche Zahlen/Halbring/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83234</id>
    <revision>
      <id>1107494</id>
      <parentid>1103191</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:06:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107494</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5475" sha1="gj2mmzy2zqla72a8uu0vu8cw5zetmul" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Wir fassen die bisher etablierten algebraischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen in einem eigenen Begriff zusammen.
{{
inputdefinition
|Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar||
}}

Neben den natürlichen Zahlen gibt es viele weitere Halbringe, beispielsweise die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=,}} die rationalen Zahlen {{math|term= \Q |SZ=}} oder die reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=.}} Wenn man eine Eigenschaft aus den Gesetzen eines Halbringes erschließen kann, so gilt diese Eigenschaft in jedem Halbring. Sobald man also für eine Struktur gezeigt hat, dass ein Halbring vorliegt, so hat man damit auch automatisch gezeigt, dass diese neue Eigenschaft gilt. Dies ist letztlich ein sehr ökonomisches Vorgehen! Der Preis ist, dass man zusätzliche Begriffe einführen muss und dass man sehr abstrakt argumentieren muss.

Wir lassen das Produktzeichen {{math|term= \cdot |SZ=}} häufig weg, wenn das nicht zu Missverständnissen führen kann und wir benutzen allgemein die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung, d.h. wir schreiben einfach {{mathl|term= ab+cd |SZ=}} statt {{mathl|term= (ab)+(cd) |SZ=.}} An weiteren Notationen verwenden wir für ein Halbringelement
{{
Relationskette
| a
| \in | R
||
||
||
|SZ=
}}
und eine positive natürliche Zahl
{{
Relationskette
| n
| \in | \N_+
||
||
||
|SZ=
}}
die Schreibweisen
{{
Zusatz/Klammer
|text= {{math|term= n |SZ=-}}tes {{Stichwort|Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=-}}te {{Stichwort|Potenz|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{
mathkor|term1=
na=a {{plusdots|}} a \, \, (n \text{ Summanden}) 
|und|term2=
 a^n = a \cdots a \, \,  (n \text{ Faktoren})
|SZ=.
}}
Hier muss man also richtig die Anzahl der Summanden bzw. die Anzahl der Faktoren zählen. Statt
{{
Relationskette
| n1
|| n 1_R
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben wir einfach {{math|term= n |SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=bzw. manchmal {{math|term= n_R |SZ=}}|
|SZ=,
}}
d.h. jede natürliche Zahl findet sich in jedem Halbring wieder. Die Schreibweise {{mathl|term= na |SZ=}} könnte man dann auch als das Produkt
{{
Math/display|term=
 {{makl| 1+1 {{plusdots|}} 1 |}} \cdot a
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit {{math|term= n |SZ=}} Einsen|
|ISZ=|ESZ=
}}
lesen, was aber aufgrund des Distributivgesetzes mit der {{math|term= n |SZ=-}}fachen Summe von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst übereinstimmt. Für
{{
Relationskette/display
|n
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist dies jedenfalls als {{mathl|term= 0 \cdot a |SZ=}} im Halbring zu lesen, was nicht ohne weiteres gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sein muss
{{
Zusatz/Klammer
|text=aber in allen für uns wichtigen Beispielen gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Weiter setzen wir
{{
Relationskette/display
| a^0
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Mit dieser Bezeichnung gilt beispielsweise
{{
Relationskette/display
| (m+n) a
|| ma +na
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| (m \cdot n) a
|| m \cdot (na)
||
||
||
|SZ=
}}
für natürliche Zahlen
{{
Relationskette
| m,n
| \in| \N_+
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=man mache sich klar, was hier jeweils die Multiplikation bezeichnet|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Wie bei den natürlichen Zahlen verwenden wir das Summenzeichen {{math|term= \sum |SZ=}} und das Produktzeichen {{math|term= \prod |SZ=.}} Für indizierte Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} aus {{math|term= R |SZ=}} ist also
{{
Relationskette/display
| \sum_{i {{=}} 1}^k a_i
|| a_1 {{plusdots|}} a_k
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| \prod_{i {{=}} 1}^k a_i
|| a_1 \cdots a_k
||
||
||
|SZ=.
}}
Auch bei einer beliebigen endlichen Indexmenge {{math|term= I |SZ=}} und Elementen
{{
mathbed|term=
a_i
||bedterm1=
i \in I
||bedterm2=
|SZ=, 
}}
verwendet man die Schreibweise {{math|term=  \sum_{i \in I} a_i |SZ=}} für die Summe der gegebenen Elemente, die ja wegen der Kommutativität und der Assoziativität nicht von einer Reihenfolge abhängt.

Die beiden folgenden extremen Beispiele zeigen, wie verschieden ein Halbring von dem Halbring der natürlichen Zahlen sein kann. Dennoch gelten alle aus den Halbringaxiomen ableitbaren Eigenschaften auch in diesen beiden Beispielen.
{{
inputbeispiel
|Kommutativer Halbring/Nullring/Beispiel||
}}

Nach dem Nullring ist das folgende Objekt der zweitkleinste Halbring.

{{
inputbeispiel
|Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}}|zusatz2={{{zusatz2|}}}
}}
Eine {{Anführung|natürliche}} Interpretation dieses Halbringes gewinnt man, wenn man sich die geraden natürlichen Zahlen durch {{math|term= 0 |SZ=}} und die ungeraden natürlichen Zahlen durch {{math|term= 1 |SZ=}} repräsentiert denkt. Beispielsweise ist die Summe zweier ungerader Zahlen stets gerade, was der obigen Gleichung
{{
Relationskette
| 1+1
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
entspricht. Wie oben erwähnt lassen sich in jedem kommutativen Halbring die natürlichen Zahlen eindeutig interpretieren, dabei können aber, wie in den beiden Beispielen, verschiedene Zahlen gleich werden. Im Beispiel wird jede gerade Zahl zu {{math|term= 0 |SZ=}} und jede ungerade Zahl zu {{math|term= 1 |SZ=.}} 
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>gj2mmzy2zqla72a8uu0vu8cw5zetmul</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Natürliche Zahl/Dezimalsystem/Umrechnung/Beispiel</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83392</id>
    <revision>
      <id>1107507</id>
      <parentid>1100102</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:49:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107507</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2265" sha1="aeeuuptt80c4965xhfws0fylidpjtkk" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Wir wollen die im Dezimalsystem gegebene Zahl {{mathl|term= 187 |SZ=}} im Dreiersystem ausdrücken. Dazu müssen wir
{{
Zusatz/Klammer
|text=analog zur zweiten Methode aus
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Zehnersystem/Division mit Rest/Durchführung/Bemerkung
|Nr=
|SZ=
}}
|
|ISZ=|ESZ=
}}
die größte Dreierpotenz finden, die unterhalb von {{math|term= 187 |SZ=}} liegt. Das ist
{{
Relationskette/display
| 81
|| 3^4
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=da
{{
Relationskette 
| 243
|| 3^5
||
||
||
|SZ=
}}
zu groß ist|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Für diese Potenz müssen wir schauen, wie oft sie in {{math|term= 187 |SZ=}} hineingeht. Wegen
{{
Relationskette/display
| 2 \cdot 81
|| 162
| &lt; | 187
||
||
|SZ=
}} 
sind das zweimal. Wir wissen daher, dass die Entwicklung der Zahl im Dreiersystem {{mathl|term= 2 \cdot 3^4 |SZ=}} beinhaltet, die Ziffer {{math|term= 2 |SZ=}} steht somit als Anfangsziffer fest. Die weitere Ziffernentwicklung hängt jetzt nur von der Differenz
{{
Relationskette/display
| 187 -162
|| 25
||
||
||
|SZ=
}}
ab. Diese Zahl ist kleiner als
{{
Relationskette/display
| 27
|| 3^3
||
||
||
|SZ=,
}}
was bedeutet, dass die dritte Dreierpotenz {{Anführung|gar nicht}} und das heißt hier mit der Ziffer {{math|term= 0 |SZ=}} vorkommt. Wir arbeiten dann mit {{math|term= 25 |SZ=}} und mit der nächstkleineren Dreierpotenz weiter, also mit
{{
Relationskette/display
| 9
|| 3^2
||
||
||
|SZ=.
}}
Diese hat wieder zweimal Platz in {{math|term= 25 |SZ=,}} die Differenz ist
{{
Relationskette/display
| 25 -18
|| 7
||
||
||
|SZ=.
}}
Die
{{
Relationskette/display
| 3
|| 3^1
||
||
||
|SZ=
}}
passt wieder zweimal rein, übrig bleibt {{math|term= 1 |SZ=.}} Im Dreiersystem lautet also die Ziffernentwicklung
{{
Math/display|term=
20221
|SZ=.
}}
Diese Ziffernfolge kann man sukzessive notieren
{{
Zusatz/Klammer
|text=Nullen nicht vergessen|
|ISZ=|ESZ=
}}
oder aber in der Rechnung stets deutlich machen, auf welche Potenz sich der jeweilige Rechenschritt bezieht und dann zum Schluss daraus die Ziffernfolge ablesen.
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>aeeuuptt80c4965xhfws0fylidpjtkk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83401</id>
    <revision>
      <id>1107506</id>
      <parentid>1085828</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:48:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107506</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1897" sha1="4qs6kcsqed3wvqmqqu20fg1wc6xkyiz" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Es sei eine natürliche Zahl in der Form
{{
Relationskette/display/handlinks
|n
|| c_k 10^k + c_{k-1} 10^{k-1} {{plusdots|}} c_2 10^2 + c_1 10^1 + c_0 10^0
||
||
||
|SZ=
}}
gegeben, wobei die {{math|term= c_i |SZ=}} beliebige natürliche Zahlen sind, also nicht unbedingt kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} sein müssen. Die zu {{math|term= n |SZ=}} gehörige Dezimalentwicklung erhält man sukzessive durch folgende Vorgehensweise. Man führt für {{math|term= c_0 |SZ=}}
{{
Faktlink
|Präwort=die|Division mit Rest|Faktseitenname=
Division mit Rest/N/Induktion/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
durch {{math|term= 10 |SZ=}} durch und erhält eine Darstellung
{{
Relationskette/display
|c_0
|| 10 \cdot q_0 + a_0
||
||
||
|SZ=
}}
mit einem Rest
{{
mathbed|term=
a_0
||bedterm1=
0 \leq a_0 &lt; 10
||bedterm2=
|SZ=.
}}
Damit ist
{{
Relationskette/align/handlinks
|n
|| c_k 10^k + c_{k-1} 10^{k-1} {{plusdots|}} c_2 10^2 + c_1 10^1 + c_0 10^0
|| c_k 10^k + c_{k-1} 10^{k-1} {{plusdots|}} c_2 10^2 + c_1 10^1 + {{makl| 10 \cdot q_0 + a_0 |}}  10^0
|| c_k 10^k + c_{k-1} 10^{k-1} {{plusdots|}} c_2 10^2 + c_1 10^1 +  q_0 10  + a_0  10^0
|| c_k 10^k + c_{k-1} 10^{k-1} {{plusdots|}} c_2 10^2 + {{makl| c_1 +  q_0 |}}  10^1 + a_0  10^0
|SZ=.
}}
Somit haben wir eine neue Darstellung von {{math|term= n |SZ=,}} bei der die Einerziffer kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} ist. Als nächstes arbeitet man den neuen Vorfaktor
{{
Zusatz/Klammer
|text=also {{mathlk|term=c_1+q_0 |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
zu {{math|term= 10^1 |SZ=}} ab und bringt ihn auf die erlaubte Zifferngestalt, wobei der davor liegende Vorfaktor wieder geändert wird. Dies führt letztlich zur Darstellung im Dezimalsystem.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>4qs6kcsqed3wvqmqqu20fg1wc6xkyiz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Proportionalität/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83576</id>
    <revision>
      <id>1107686</id>
      <parentid>1103256</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:17:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107686</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5287" sha1="mtmtpk8jv5yi9011eyspcdp4wtm9sag" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Häufig hängen zwei variable Größen
{{
Zusatz/Gs
|text=häufig mit {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} bezeichnet|
|ISZ=|ESZ=
}}
in einer Weise voneinander ab, dass sich die zweite Größe aus der ersten errechnet, indem man mit einer bestimmten Konstanten multipliziert. Zwischen den beiden Größen herrscht ein bestimmtes {{Stichwort|Verhältnis|SZ=.}} Wir besprechen einige typische Beispiele.

{{
inputbeispiel
|Strom/Verbrauch/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Geschwindigkeit/Zeitdauer/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}}
}}

In den Beispielen gibt es eine einfache Formel, die aus der ersten Größe
{{
Zusatz/Klammer
|text=Stromverbrauch, gefahrene Zeit|
|ISZ=|ESZ=
}}
die zweite Größe
{{
Zusatz/Klammer
|text=Stromkosten, gefahrene Strecke|
|ISZ=|ESZ=
}}
ausrechnet. Die Formel lautet
{{
Relationskette/display
| y
|| 20 x
||
||
||
|SZ=
}}
bzw.
{{
Relationskette/display
| y
|| 15 x
||
||
||
|SZ=.
}}
Dabei ist im Moment nicht wichtig, welche Zahlen für
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
erlaubt sind, jedenfalls kann man natürliche Zahlen einsetzen
{{
Zusatz/Klammer
|text=bald auch rationale Zahlen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Wichtig ist aber, dass man auf den beiden Seiten der Formeln stets mit den gleichen Einheiten rechnen muss. In der ersten Gleichung muss der Stromverbrauch {{math|term= x |SZ=}} in Kilowattstunden eingegeben werden und man erhält den Gesamtpreis {{math|term= y |SZ=}} in Cent
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn man mit Euro arbeiten möchte, muss man die {{math|term= 20 |SZ=}} durch {{mathlk|term=0,2 |SZ=}} ersetzen|
|ISZ=|ESZ=,
}}
in der zweiten Gleichung muss die Zeitdauer {{math|term= x |SZ=}} in Stunden und die Strecke {{math|term= y |SZ=}} in Kilometern angegeben werden. Wenn eine Zeitangabe nicht in Stunden angegeben ist, so muss man diese zuerst in Stunden umrechnen, bevor man die Formel benutzen darf. Dies liefert uns weitere wichtige Beispiele für einen solchen Zusammenhang.

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Zeitumrechnung/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Streckenumrechnung/Beispiel||
}}

Eine sinnvolle {{Stichwort|Probe|SZ=}} für eine solche Umrechnungsformel erhält man, wenn man für {{math|term= x |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} einsetzt.

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Geometrische Streckenverhältnisse/Beispiel||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Strahlensatz/Beispiel||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbeispiel
|Rationale Zahlen/Musik/Frequenzverhältnisse/Beispiel||zusatz1=Fußnote
}}

{{
inputdefinition
|Größe/Proportionalität/Definition||
}}

{{
inputbild
|Proportional variables|svg| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Krishnavedala
|Domäne=
|Lizenz=Public domain
|Bemerkung=
}}
Statt proportional spricht man auch von einem {{Stichwort|linearen Zusammenhang|msw=Linearer Zusammenhang|SZ=}} oder man sagt, dass zwischen den Größen ein konstantes {{Stichwort|Verhältnis|SZ=}} besteht. Da man bei einem proportionalen Zusammenhang zu jedem {{math|term= x |SZ=}} den Wert
{{
Relationskette/display
| y
||cx
||
||
||
|SZ=
}}
berechnen kann, liegt insbesondere eine
{{
Definitionslink
|Abbildung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
vor, die einem {{math|term= x |SZ=-}}Wert den {{math|term= y |SZ=-}}Wert zuordnet. Man spricht von einer {{Stichwort|linearen Abbildung|msw=Lineare Abbildung|SZ=}} oder einer {{Stichwort|linearen Funktion|msw=Lineare Funktion|SZ=}} und schreibt auch
{{
Relationskette/display
| y
|| \varphi(x)
||cx
||
||
|SZ=.
}}
Wenn man den Graphen eines proportionalen Zusammenhanges zwischen zwei Größen zeichnet, so ergibt sich eine Gerade durch den Nullpunkt. Die Proportionalitätskonstante schlägt sich in der {{Stichwort|Steigung|SZ=}} der Geraden nieder. Der Proportionalitätsfaktor
{{
Relationskette
|c
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und auch negative Proportionalitätsfaktoren sind erlaubt. Bei
{{
Relationskette/display
|c
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
sind die Rechnungen besonders einfach, wie wenn ein Huhn
{{
Zusatz/Klammer
|text=pro Tag|
|ISZ=|ESZ=
}}
ein Ei legt.
{{
inputbild
|Multiplication chart|svg| 300px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Krishnavedala
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 1.0
|Bemerkung=
}}

Wir fassen die einfachen Eigenschaften eines proportionalen Zusammenhangs in dem folgenden Lemma zusammen.
{{
inputfaktbeweis
|Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma||
||
}}

Da der Proportionalitätsfaktor die gesamte Proportionalität bestimmt, lässt sich nach (2) die gesamte Proportionalität aus dem Wert an der Stelle der Einheit {{math|term= 1 |SZ=}} ablesen. (3) bedeutet beispielsweise, dass wenn Heinz Ngolo und Mustafa Müller jeweils die gleiche Menge mehr Strom verbrauchen wie im Vormonat 
{{
Zusatz/Klammer
|text=weil sie sich den gleichen Rasenmäher gekauft haben und gleich oft Rasen mähen und ansonsten alles beim Alten bleibt|
|ISZ=|ESZ=,
}}
dass dann ihre jeweilige Stromrechnung um den gleichen Betrag steigt, unabhängig davon, wie viel sie im Vormonat gezahlt haben.

{{
inputbemerkung
|Proportionalität/Unvollständig/Z/Bemerkung||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>mtmtpk8jv5yi9011eyspcdp4wtm9sag</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107688</id>
      <parentid>1107686</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:22:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107688</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5283" sha1="sm4efnboqk203b17ap2m8anf36qn58i" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Häufig hängen zwei variable Größen
{{
Zusatz/Gs
|text=häufig mit {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} bezeichnet|
|ISZ=|ESZ=
}}
in einer Weise voneinander ab, dass sich die zweite Größe aus der ersten errechnet, indem man mit einer bestimmten Konstanten multipliziert. Zwischen den beiden Größen herrscht ein bestimmtes {{Stichwort|Verhältnis|SZ=.}} Wir besprechen einige typische Beispiele.

{{
inputbeispiel
|Strom/Verbrauch/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Geschwindigkeit/Zeitdauer/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}}
}}

In den Beispielen gibt es eine einfache Formel, die aus der ersten Größe
{{
Zusatz/Klammer
|text=Stromverbrauch, gefahrene Zeit|
|ISZ=|ESZ=
}}
die zweite Größe
{{
Zusatz/Klammer
|text=Stromkosten, gefahrene Strecke|
|ISZ=|ESZ=
}}
ausrechnet. Die Formel lautet
{{
Relationskette/display
| y
|| 20 x
||
||
||
|SZ=
}}
bzw.
{{
Relationskette/display
| y
|| 15 x
||
||
||
|SZ=.
}}
Dabei ist im Moment nicht wichtig, welche Zahlen für
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
erlaubt sind, jedenfalls kann man natürliche Zahlen einsetzen
{{
Zusatz/Klammer
|text=bald auch rationale Zahlen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Wichtig ist aber, dass man auf den beiden Seiten der Formeln stets mit den gleichen Einheiten rechnen muss. In der ersten Gleichung muss der Stromverbrauch {{math|term= x |SZ=}} in Kilowattstunden eingegeben werden und man erhält den Gesamtpreis {{math|term= y |SZ=}} in Cent
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn man mit Euro arbeiten möchte, muss man die {{math|term= 20 |SZ=}} durch {{mathlk|term=0,2 |SZ=}} ersetzen|
|ISZ=|ESZ=,
}}
in der zweiten Gleichung muss die Zeitdauer {{math|term= x |SZ=}} in Stunden und die Strecke {{math|term= y |SZ=}} in Kilometern angegeben werden. Wenn eine Zeitangabe nicht in Stunden angegeben ist, so muss man diese zuerst in Stunden umrechnen, bevor man die Formel benutzen darf. Dies liefert uns weitere wichtige Beispiele für einen solchen Zusammenhang.

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Zeitumrechnung/Beispiel||
}}

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Streckenumrechnung/Beispiel||
}}

Eine sinnvolle {{Stichwort|Probe|SZ=}} für eine solche Umrechnungsformel erhält man, wenn man für {{math|term= x |SZ=}} den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} einsetzt.

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Geometrische Streckenverhältnisse/Beispiel||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbeispiel
|Proportionalität/Strahlensatz/Beispiel||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbeispiel
|Rationale Zahlen/Musik/Frequenzverhältnisse/Beispiel||zusatz1=Fußnote
}}

{{
inputdefinition
|Größe/Proportionalität/Definition||
}}

{{
inputbild
|Proportional variables|svg| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Krishnavedala
|Domäne=
|Lizenz=Public domain
|Bemerkung=
}}
Statt proportional spricht man auch von einem {{Stichwort|linearen Zusammenhang|msw=Linearer Zusammenhang|SZ=}} oder man sagt, dass zwischen den Größen ein konstantes {{Stichwort|Verhältnis|SZ=}} besteht. Da man bei einem proportionalen Zusammenhang zu jedem {{math|term= x |SZ=}} den Wert
{{
Relationskette/display
| y
||cx
||
||
||
|SZ=
}}
berechnen kann, liegt insbesondere eine
{{
Definitionslink
|Abbildung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
vor, die einem {{math|term= x |SZ=-}}Wert den {{math|term= y |SZ=-}}Wert zuordnet. Man spricht von einer {{Stichwort|linearen Abbildung|msw=Lineare Abbildung|SZ=}} oder einer {{Stichwort|linearen Funktion|msw=Lineare Funktion|SZ=}} und schreibt auch
{{
Relationskette/display
| y
|| \varphi(x)
||cx
||
||
|SZ=.
}}
Wenn man den Graphen eines proportionalen Zusammenhanges zwischen zwei Größen zeichnet, so ergibt sich eine Gerade durch den Nullpunkt. Die Proportionalitätskonstante schlägt sich in der {{Stichwort|Steigung|SZ=}} der Geraden nieder. Der Proportionalitätsfaktor
{{
Relationskette
|c
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und auch negative Proportionalitätsfaktoren sind erlaubt. Bei
{{
Relationskette/display
|c
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
sind die Rechnungen besonders einfach, wie wenn ein Huhn
{{
Zusatz/Klammer
|text=pro Tag|
|ISZ=|ESZ=
}}
ein Ei legt.
{{
inputbild
|Multiplication chart|svg| 300px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Krishnavedala
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 1.0
|Bemerkung=
}}

Wir fassen die einfachen Eigenschaften eines proportionalen Zusammenhangs in dem folgenden Lemma zusammen.
{{
inputfaktbeweis
|Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma||
||
}}

Da der Proportionalitätsfaktor die gesamte Proportionalität bestimmt, lässt sich nach (2) die gesamte Proportionalität aus dem Wert an der Stelle der Einheit {{math|term= 1 |SZ=}} ablesen. (3) bedeutet beispielsweise, dass, wenn Heinz Ngolo und Mustafa Müller jeweils die gleiche Menge mehr Strom verbrauchen als im Vormonat 
{{
Zusatz/Klammer
|text=weil sie sich den gleichen Rasenmäher gekauft haben und gleich oft Rasen mähen und ansonsten alles beim Alten bleibt|
|ISZ=|ESZ=,
}}
dann ihre jeweilige Stromrechnung um den gleichen Betrag steigt, unabhängig davon, wie viel sie im Vormonat gezahlt haben.

{{
inputbemerkung
|Proportionalität/Unvollständig/Z/Bemerkung||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>sm4efnboqk203b17ap2m8anf36qn58i</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Proportionalität/Zeitumrechnung/Beispiel</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83582</id>
    <revision>
      <id>1107685</id>
      <parentid>1100187</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:14:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107685</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3026" sha1="qhsl54wa7gvyjrq1rungykscnf29sfj" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Ein Tag besteht bekanntlich aus {{math|term= 24 |SZ=}} Stunden, eine Stunde aus {{math|term= 60 |SZ=}} Minuten, eine Minute aus {{math|term= 60 |SZ=}} Sekunden. Manchmal möchte man, beispielsweise, um verschiedene Angaben besser miteinander vergleichen zu können, eine Angabe in einer Einheit in eine andere Einheit umrechnen. Für die Umrechnung einer Zeitangabe in Stunden in eine Zeitangabe in Minuten muss man einfach die Stundenanzahl mit {{math|term= 60 |SZ=}} multiplizieren. Es liegt also die Beziehung
{{
Relationskette/display
| y
|| 60 x
||
||
||
|SZ=
}}
vor, wobei {{math|term= x |SZ=}} die Zeit in Stunden und {{math|term= y |SZ=}} die gleiche Zeit in Minuten angibt. Diesen Sachverhalt kann man sich auch durch eine Wertetabelle sichtbar machen.
{{Wertetabelle5|text1=Stunden|text2=Minuten| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 60| 120| 180| 240| 300}} 
Die Beziehung zwischen der Zeit in Tagen und in Stunden wird durch die Formel
{{
Relationskette/display
| y
|| 24x
||
||
||
|SZ=
}}
ausgedrückt, wobei jetzt {{math|term= x |SZ=}} die Anzahl der Tage und {{math|term= y |SZ=}} die Anzahl der Stunden ist.
{{Wertetabelle5|text1=Tage|text2=Stunden| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 24| 48| 72| 96| 120}} 
Wenn man die beiden Umrechnungen als unabhängig voneinander betrachtet, so ist es unproblematisch, hier wieder mit den Variablen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
zu arbeiten, es handelt sich dann um einen neuen Kontext. Wenn man allerdings gleichzeitig mit Tagen, Stunden und Minuten arbeiten möchte, so ist es sehr gefährlich, mit {{math|term= x |SZ=}} einmal die Stunden und einmal die Tage und mit {{math|term= y |SZ=}} einmal die Minuten und einmal die Stunden zu bezeichnen, und die Stunden einmal mit {{math|term= x |SZ=}} und einmal mit {{math|term= y |SZ=}} zu bezeichnen. Um dies zu vermeiden, schreibt man die zweite Formel mit neuen Variablen beispielsweise als
{{
Relationskette/display
|v
|| 24z
||
||
||
|SZ=.
}}
Häufig sind auch suggestive Variablensymbole hilfreich, wie {{math|term= t |SZ=}} für Tage, {{math|term= s |SZ=}} für Stunden und {{math|term= m |SZ=}} für Minuten. Allerdings muss man sich dann den Unterschied zwischen einer Einheitsgleichung und einer Umrechnungsformel besonders deutlich machen. Die Gleichungen
{{
Relationskette/display
| 1 \text{ Stunde}
|| 60 \text{ Minuten}
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| 1 \text{ Tag}
|| 24 \text{ Stunden}
||
||
||
|SZ=}}
sind Einheitsgleichungen, sie drücken den gleichen Zeitraum bezogen auf unterschiedliche Einheiten aus. Wenn man für eine bestimmte Zeitlänge mit {{math|term= s |SZ=}} die Zeitangabe in Stunden bezeichnet und mit {{math|term= m |SZ=}} die Zeitangabe in Minuten, so gilt die Umrechnungsbeziehung
{{
Relationskette/display
| 60 s
|| m
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
der Faktor rückt also an die andere Stelle!
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>qhsl54wa7gvyjrq1rungykscnf29sfj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Größe/Proportionalität/Definition</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83586</id>
    <revision>
      <id>1107678</id>
      <parentid>1104512</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:44:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107678</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1183" sha1="p9jfktlwkzluhgrk3s3k36nw4801cxj" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}}
|Text=
Wenn zwischen zwei Größen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=die in {{math|term=\N|SZ=,}} in {{math|term=\Z|SZ=,}} in {{math|term=\Q|SZ=,}} in {{math|term=\R|SZ=}} oder einem beliebigen 
{{
Definitionslink
|kommutativen Ring|
|Kontext=|
|SZ=
}}
variieren|
|ISZ=|ESZ=
}}
ein Zusammenhang der Form
{{
Relationskette/display
| y
|| cx
||
||
||
|SZ=
}}
mit einer festen Zahl {{math|term= c |SZ=}} besteht, so spricht man von einem
{{
Definitionswort
|proportionalen Zusammenhang|msw=proportionaler Zusammenhang|
|SZ=
}} 
zwischen den beiden Größen und man sagt, dass {{math|term= y |SZ=}}
{{
Definitionswort
|proportional|
|msw=
|SZ=
}}
zu {{math|term= x |SZ=}} ist. Die Zahl {{math|term= c |SZ=,}} die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt
{{
Definitionswort
|Proportionalitätskonstante|
|msw=Proportionalitätskonstante
|SZ=.
}} 
|Textart=Definition
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=   
|Definitionswort=Proportional
|Definitionswort2=Proportionalitätskonstante
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>p9jfktlwkzluhgrk3s3k36nw4801cxj</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mustafa Müller/Oma besuchen/Fahrrad/Geschwindigkeit/Beispiel</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83598</id>
    <revision>
      <id>1107689</id>
      <parentid>951233</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:25:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107689</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1319" sha1="7q4igl6tv5k5uflhng8kpco6vf52csx" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt; er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt?

Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten, beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen, es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt, dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor
{{
Zusatz/Klammer
|text=nach dem nicht gefragt wurde|
|ISZ=|ESZ=
}}
ist also {{math|term= 12 |SZ=.}} Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für {{math|term= 12 |SZ=}} Kilometer {{math|term= 60 |SZ=}} Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde, also {{math|term= 60/12=5 |SZ=}} Minuten.
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Personenkategorie=Mustafa Müller
|Personenkategorie2=Heinz Ngolo
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>7q4igl6tv5k5uflhng8kpco6vf52csx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107690</id>
      <parentid>1107689</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:26:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107690</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1322" sha1="rg0124ru18zx4tu8dvcsr0k9o5kzkal" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt; er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt?

Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten, beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen; es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt und dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor
{{
Zusatz/Klammer
|text=nach dem nicht gefragt wurde|
|ISZ=|ESZ=
}}
ist also {{math|term= 12 |SZ=.}} Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für {{math|term= 12 |SZ=}} Kilometer {{math|term= 60 |SZ=}} Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde, also {{math|term= 60/12=5 |SZ=}} Minuten.
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Personenkategorie=Mustafa Müller
|Personenkategorie2=Heinz Ngolo
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>rg0124ru18zx4tu8dvcsr0k9o5kzkal</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107694</id>
      <parentid>1107690</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:32:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107694</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1351" sha1="dlngrg1k4npabzock56syxjsbtcr59t" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Aufgabe: Mustafa Müller fährt mit seinem Fahrrad zu seiner Oma, die sechs Kilometer entfernt lebt; er braucht dazu eine halbe Stunde. Wie viele Minuten braucht er zu seinem Freund Heinz Ngolo, der einen Kilometer von ihm entfernt wohnt?

Das ist Typ (4) vom Dreisatz mit der zusätzlichen Schwierigkeit, dass die Zeitangaben sich auf unterschiedliche Einheiten, nämlich Stunden und Minuten, beziehen. Man kann beispielsweise seine Fahrgeschwindigkeit ausrechnen; es ergibt sich, da er in einer halben Stunde sechs Kilometer zurücklegt und dass er in einer Stunde zwölf Kilometer zurücklegt. Er fährt also zwölf Stundenkilometer, der Proportionalitätsfaktor
{{
Zusatz/Klammer
|text=nach dem nicht gefragt wurde|
|ISZ=|ESZ=
}}
ist also {{math|term= 12 |SZ=.}} Wir fragen uns nun nach der Zeit, die er benötigt, um einen Kilometer zurückzulegen. Da er für {{math|term= 12 |SZ=}} Kilometer {{math|term= 60 |SZ=}} Minuten braucht, benötigt er für einen Kilometer den zwölften Anteil einer Stunde; das sind
{{
Relationskette 
|  60/12
|| 5
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
Minuten.
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Personenkategorie=Mustafa Müller
|Personenkategorie2=Heinz Ngolo
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>dlngrg1k4npabzock56syxjsbtcr59t</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Grundkurs Mathematik/Axiomatik/Elementare Einführung/Textabschnitt</title>
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      <timestamp>2026-07-16T14:02:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107492</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="2046" sha1="gmm8wu0x1sdqdn6g3yesdvfbqg6iwia" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Wir haben schon{{{zusatz1|}}} für die intuitiv bekannten natürlichen Zahlen ein Axiomensystem eingeführt, das speziell auf die natürlichen Zahlen zugeschnitten war und das sogar die Eigenschaft besitzt, dass es die natürlichen Zahlen in dem Sinne charakterisiert, dass je zwei Strukturen
{{
Zusatz/Klammer
|text=je zwei Modelle|
|ISZ=|ESZ=,
}}
die dieses Axiomensystem erfüllen, zueinander in eine eindeutige Beziehung gebracht werden können, also im Wesentlichen gleich sind
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}} 

In dieser Vorlesung werden wir eine andere Art von {{Stichwort|Axiomensystem|SZ=}} kennenlernen, wie sie in der Mathematik typisch sind. Man fasst verschiedene strukturelle Eigenschaften, die in einem bestimmten Kontext immer wieder auftauchen, in einen neuen Begriff zusammen. Das Ziel ist dabei, weitere Eigenschaften aus einigen wenigen Grundeigenschaften logisch zu erschließen. Man argumentiert dann nicht auf der Ebene vertrauter Beispiele, wie der natürlichen Zahlen, sondern auf der Ebene der Eigenschaften. Der Gewinn ist dabei, dass man mathematische Schlüsse nur einmal auf der abstrakten Ebene der Eigenschaften durchführen muss und diese dann für alle Modelle gelten, die die jeweiligen Grundeigenschaften erfüllen, also unter den Begriff fallen. Zugleich erkennt man logische Abhängigkeiten und Hierarchien zwischen Eigenschaften, die häufig auch im Lernprozess versteckt vorliegen und auch eine gewisse Orientierung für die Didaktik geben, selbst wenn nicht axiomatisch argumentiert wird.

In diesem Sinne werden wir im Laufe der Vorlesung die Begriffe Halbringe, Ringe, Gruppen und Körper kennenlernen
{{
Zusatz/Klammer
|text=auch der Ordnungsbegriff ist ein axiomatischer Begriff|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Axiomatik
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
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    <title>Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Größerbeziehung/Definition</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1112" sha1="evh2qa96j1oxkb6l4k7935q480ed798" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}}
|Text=
Zu einer Menge von 
{{
Definitionslink
|natürlichen Zahlen|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
Math/display|term=
a_1 {{kommadots|}} a_n
|SZ=
}}
heißt eine natürliche Zahl {{math|term= b |SZ=}} ein {{Definitionswort|gemeinsames Vielfaches|SZ=,}} wenn {{math|term= b |SZ=}} ein 
{{
Definitionslink
|Vielfaches|
|Kontext=N|
|SZ=
}}
von jedem {{math|term= a_i |SZ=}} ist, also von jedem {{math|term= a_i |SZ=}} 
{{
Definitionslink
|geteilt|
|Kontext=N|
|SZ=
}}
wird.

Die Zahl {{math|term= b |SZ=}} heißt das {{Definitionswort|kleinste gemeinsame Vielfache|msw=kleinstes gemeinsames Vielfaches|SZ=}} der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=,}} wenn {{math|term= b |SZ=}} ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen {{math|term=\neq 0 |SZ=}} der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} das kleinste ist.
|Textart=Definition
|Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=   
|Definitionswort=Gemeinsames Vielfaches
|Definitionswort2=Kleinstes gemeinsames Vielfaches
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>evh2qa96j1oxkb6l4k7935q480ed798</sha1>
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    <title>Elementare Kombinatorik/Die Fakultät (N)/Einführung/Textabschnitt</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1928" sha1="l2js2tbneq4c1r7g7uzu6zr9kt0oq4z" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Bei einem Tanzkurs mit {{math|term= n |SZ=}} Damen und {{math|term= n |SZ=}} Herren gilt heute beim Schneewalzer Damenwahl, wobei die Damen in der Reihenfolge ihrer Sitzordnung wählen dürfen. Die erste Dame hat {{math|term= n |SZ=}} Wahlmöglichkeiten, die zweite {{math|term= n-1 |SZ=}} Möglichkeiten, die dritte {{math|term= n-2 |SZ=}} Möglichkeiten, usw., die vorletzte Dame hat noch zwei Möglichkeiten und für die letzte Dame verbleibt eine Möglichkeit{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Man könnte sich daran stören, dass man von Möglichkeiten spricht, obwohl nur eine Möglichkeit da ist, also keine echte Wahlmöglichkeit besteht. Mathematisch ist das aber die einzig sinnvolle Interpretation; eine Möglichkeit als keine Möglichkeit zu zählen würde alles durcheinander bringen|
|ISZ=.|ESZ=.
}}

{{
inputdefinition
|Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition||
}}

Es ist
{{
Relationskette
| (n+1)!
|| (n+1)(n!)
||
||
||
|SZ=.
}} 
Man setzt
{{
Relationskette
| 0!
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Für kleine {{math|term= n |SZ=}} erhält man die folgende Wertetabelle.
{{wertetabelle11|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= n!|SZ=}} | 0| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8| 9| 10| 1| 1| 2| 6| 24| 120| 720| 5040| 40320| 362880| 3628800|}} 

{{
inputfaktbeweis
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz2|}}}
||
}}

Gleichbedeutend damit ist, dass es {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten gibt, {{math|term= n |SZ=}} Objekte auf {{math|term= n |SZ=}} Plätze zu verteilen, oder {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten, eine Menge von {{math|term= n |SZ=}} Objekten abzuzählen
{{
Zusatz/Klammer
|text=durchzunummerieren|
|ISZ=|ESZ=.
}}

{{
inputbeispiel
|Permutationen/3/Wertetabellen/Beispiel||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Die Fakultätsfunktion (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
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    <title>Schriftliches Addieren/Ziffern wegstreichen/Gabi Hochster/Aufgabe</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="1130" sha1="p0wbj5csjbqh034pebuk1zpzr2j39c2" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Gabi Hochster sitzt in der Schule neben Heinz Ngolo. Sie üben schriftliches Addieren und rechnen {{mathl|term= 725+638|SZ=.}} Gabi ist fertig und Heinz hat gerade die hinterste Ziffer zusammengerechnet und den Übertrag notiert. Da kritzelt Gabi auf Heinzens Heft rum und radiert die Ziffern
{{
mathkor|term1=
5
|und|term2=
8
|SZ=
}}
weg. Gabi sagt: {{Anführung|Die brauchst du nicht mehr, konzentrier dich auf die anderen Ziffern, dann geht es schneller und wir können endlich weiter Schiffe versenken spielen|SZ=.}} Darauf sagt Heinz: {{Anführung|Lass mich in Ruhe, kleine Klugscheißerin, außerdem brauch ich die Ziffern doch, nämlich zur Probe|SZ=.}} Darauf Gabi: {{Anführung|Wer beim Rechnen eine Probe braucht, sollte zurück in den Kindergarten|SZ=.}}

Wie beurteilen Sie die Lage mathematisch und didaktisch?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Personenkategorie=Gabi Hochster
|Personenkategorie2=Heinz Ngolo
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Ganze Zahlen/Zifferndarstellung/Direkt/Textabschnitt</title>
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      <timestamp>2026-07-17T07:03:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="2318" sha1="34pi6w62lrx8g8j6av4w75qnhare4ac" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Die Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen überträgt sich direkt auf ganze Zahlen, wobei die Zifferndarstellung einer negativen Zahl
{{
Relationskette/display
|n
|| -k
||
||
||
|SZ=
}}
einfach die Zifferndarstellung von {{math|term= k |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=also der im Betrag genommenen Zahl|
|ISZ=|ESZ=
}}
mit einem Minuszeichen davor ist. Für die schriftliche Durchführung des Addierens, des Multiplizierens und des Subtrahierens geht man abhängig davon vor, ob die beteiligten Zahlen beide positiv, beide negativ oder ob eine positiv, eine negativ ist. Wenn beide positiv sind, werden die Verfahren für natürliche Zahlen direkt angewendet. Die Korrektheit der folgenden Regeln beruht auf
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
und der Korrektheit der schriftlichen Operationen innerhalb der natürlichen Zahlen.

Zur Addition
{{
Aufzählung2
|Wenn beide Zahlen negativ sind, so nimmt man den Betrag der beiden Zahlen, addiert diese und nimmt davon das Negative.
|Wenn eine Zahl positiv ist und eine negativ ist, so zieht man von der betragsmäßig größeren Zahl die betragsmäßig kleinere Zahl ab. Wenn die positive Zahl betragsmäßig größer ist, so hat man die Lösung; wenn die negative Zahl betragsmäßig größer ist, so muss man das Errechnete negieren.
}}

Zur Multiplikation
{{
Aufzählung2
|Wenn beide Zahlen negativ sind, so multipliziert man einfach die Beträge der beiden Zahlen miteinander.
|Wenn eine Zahl positiv ist und eine negativ ist, so  multipliziert man ebenfalls die Beträge miteinander und nimmt dieses Ergebnis negativ.
}}

Die Subtraktion fasst man als Addition mit eventuell negativen Zahlen auf.

Wenn eine ganze Zahl in der Form
{{
Relationskette/display
|n
||c_k 10^k + c_{k-1} 10^k {{plusdots|}} c_2 10^2 + c_1 10^1 + c_0 10^0
||
||
||
|SZ=
}}
gegeben ist, wobei die {{math|term= c_i |SZ=}} beliebige ganze Zahlen sind, so kann man nicht unmittelbar die zugehörige Dezimalentwicklung ablesen, da dies wesentlich davon abhängt, ob die Zahl positiv oder negativ ist.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für ganze Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
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    </revision>
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    <title>Rationale Zahlen/Musik/Frequenzverhältnisse/Beispiel</title>
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      <id>1107677</id>
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      <timestamp>2026-07-17T08:43:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107677</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1915" sha1="86a6fic9dkq7fzch2h06320cm93cl46" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
In der Musik entsprechen die Töne den Schwingungen bzw. Frequenzen. In einer Tonleiter bestehen zwischen den verschiedenen Tönen gewisse erlaubte, wohlklingende Verhältnisse. Die Bezeichnungen dafür orientieren sich an der Reihenfolge in einer Tonleiter. Eine Oktave entspricht dem Frequenzverhältnis {{mathl|term= 2:1 |SZ=}} {{
Zusatz/Klammer
|text=das ist der {{Anführung|gleiche|SZ=,}} aber höhere Ton|
|ISZ=|ESZ=,
}}
eine Quinte entspricht beispielsweise dem Frequenzverhältnis {{mathl|term= 3:2 |SZ=.}} Als Beispiel geben wir die Verhältnisse in {{math|term= C |SZ=-}}Dur; das Verhältnis bezieht sich immer auf den Grundton {{math|term= C |SZ=.}} Die Verhältnisse und die relativen Namen wie Große Sekunde sind in jeder Dur-Tonart gleich, die Buchstabenbezeichnungen und die anzuschlagenden Tasten ändern sich{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Für die gleichstufige Stimmung des Klaviers, bei der irrationale Schwingungsverhältnisse auftreten, siehe
{{
Beispiellink
|Beispielseitenname=
Gleichstufige Stimmung/Zwölfte Wurzel/Beispiel
|Nr=
|SZ=.
}}
|ISZ=|ESZ=.
}}
{{Tabelleleitachtxdrei|ls0=|lz1= Verhältnis |lz2= Verhältnisname |lz3= Ton in C-Dur 
|ls1=|a1,1= {{op:Bruch| 1 | 1}}  |a1,2=  \text{Prime}  |a1,3= C |
|ls2=|a2,1= {{op:Bruch| 9 | 8}} |a2,2= \text{Große Sekunde} |a2,3= D |
|ls3=|a3,1= {{op:Bruch| 5 | 4}} |a3,2= \text{Große Terz} |a3,3= E |
|ls4=|a4,1= {{op:Bruch| 4 | 3}} |a4,2= \text{Quarte}|a4,3= F |
|ls5=|a5,1= {{op:Bruch| 3 | 2}} |a5,2= \text{Quinte} |a5,3= G |
|ls6=|a6,1= {{op:Bruch| 5 | 3}}  |a6,2= \text{Große Sexte} |a6,3= A |
|ls7=|a7,1= {{op:Bruch| 15| 8}} |a7,2=\text{Große Septime} |a7,3= H |
|ls8=|a8,1= {{op:Bruch| 2 | 1}} |a8,2=\text{Oktave} |a8,3= C |
}}
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>86a6fic9dkq7fzch2h06320cm93cl46</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ganze Zahlen/Heute Morgen Gestern/Addition/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>83853</id>
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      <id>1107536</id>
      <parentid>1073426</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:36:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107536</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1159" sha1="0o4qplo510kqxeay0nf2l7mjcy4hjpi" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Wir betrachten die Tage
{{
Math/display|term=
\ldots \text{ vorvorvorgestern},\,  \text{ vorvorgestern},\, \text{ vorgestern},\, \text{ gestern},\,  \text{ heute},\, \text{ morgen},\, \text{ übermorgen}, \, \text{überübermorgen}, \, \text{überüberübermorgen}, \ldots
|SZ=
}}
als Zahlen und addieren mit ihnen.
{{
Aufzählung7
|Bestimme{{n Sie}} vorgestern von morgen.
|Bestimme{{n Sie}} vorvorvorgestern von übermorgen.
|Bestimme{{n Sie}} vorvorvorvorgestern von vorvorvorgestern von überüber{{drucktrenn}}überüberübermorgen.
|Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um heute zu erhalten?
|Wie bestimmt man den {{Anführung|negativen}} Tag zu einem gegebenen Tag? 
|Welchen Tag von überüberüberübermorgen muss ich nehmen, um vorvorgestern zu erhalten?
|Wie selbstverständlich sind in diesem Modell das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz?
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen
|Kategorie2=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    </revision>
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    <title>Rationale Zahlen/Gemischte Brüche/Textabschnitt</title>
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      <id>1107731</id>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
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      <text bytes="2762" sha1="26v6ikw6m2dway5pugmh6lvxs70g7c6" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition||
}}

Die natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} heißt der {{Stichwort|ganzzahlige Anteil|msw=Ganzzahliger Anteil|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} heißt der {{Stichwort|Bruchanteil|SZ=.}} Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sie ist vor allem bei Mengen-, Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von {{mathl|term= 7 {{op:Bruch| 1| 4}} |SZ=}} mit dem Produkt {{mathl|term= 7 \cdot {{op:Bruch| 1 | 4 }} |SZ=.}} In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind, ist auch heikel.

Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|c|b}} |SZ=}} erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest
{{
Relationskette/display
| c
|| nb+a
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| 0
| \leq | a
| &lt; | b
||
||
|SZ=
}}
durchführt und die Umformung
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| c | b }}
|| {{op:Bruch| nb+a | b }}
|| n + {{op:Bruch| a | b }}
|| n {{op:Bruch| a | b }}
||
|SZ=
}}
vornimmt. Insbesondere ist
{{
Relationskette
| n
|| {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch| c | b }} |}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches {{mathl|term= n {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} arbeitet man mit {{mathl|term= n +{{op:Bruch| a | b }} |SZ=.}} Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche
{{
mathkor|term1=
 n + {{op:Bruch| a | b }} 
|und|term2=
 m + {{op:Bruch| c | d }} 
|SZ=
}}
miteinander addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von {{mathl|term= (n+m) + {{makl| {{op:Bruch| a | b }} + {{op:Bruch| c | d }} |}} |SZ=}} ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese {{math|term= 1 |SZ=}} übertrifft oder nicht und gegebenenfalls {{math|term= 1 |SZ=}} zum ganzen Anteil dazuschlagen.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
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|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
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    </revision>
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    <title>Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Name/Inhalt</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="307" sha1="6sy5zbnsnfq1ck8di8e7qp121eyzs4t" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}}
|Text=
Die Menge der Dezimalbrüche bildet einen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.
|Textart=Satzantwort
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=   
|Definitionswort=
|Definitionswort2=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>6sy5zbnsnfq1ck8di8e7qp121eyzs4t</sha1>
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    <title>Kleine Einmaleins/Primzahl als Basis/Aufgabe</title>
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      <timestamp>2026-07-16T16:49:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
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      <text bytes="564" sha1="7n2rgbz0trrrw3ysozicnlxnieym2w5" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
Relationskette
| n
| \geq | 2
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}} 
Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im {{math|term= n|SZ=-}}System
{{
Zusatz/Klammer
|text=ohne die Nuller- und die Zehnerreihe|
|ISZ=|ESZ=,
}}
ob {{math|term= n|SZ=}} eine 
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
ist?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Primzahlen
|Kategorie2=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=4
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    </revision>
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    <title>Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe/Lösung</title>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2021" sha1="6ots6fqhcfen5zjkir4q9kn3ea2ap40" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Die Kommutativität und die Assoziativität der beiden Verknüpfungen sind klar. Das neutrale Element des Maximums ist die {{math|term= 1 |SZ=}} und das neutrale Element des Minimums ist {{math|term= n |SZ=,}} da ja nur Elemente aus {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} vorkommen. Es bleibt also noch das Distributivgesetz zu zeigen, welches bei den gegebenen Verknüpfungen
{{
Zusatz/Klammer
|text=wir setzen das Maximum als Addition und das Minimum als Multiplikation an|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{
Relationskette/display
|  \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c))
|| \operatorname{max} (  \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c))
||
||
||
|SZ=
}}
bedeutet. Dies beweisen wir durch eine Fallunterscheidung. Da die Situation in
{{
mathkor|term1=
b
|und|term2=
c
|SZ=
}}
symmetrisch ist, können wir
{{
Relationskette
|b
| \leq | c
||
||
||
|SZ=
}}
annehmen. Bei
{{
Relationskette/display
|a
| \leq | b
| \leq | c
||
||
|SZ=
}}
ergibt sich links {{math|term= a |SZ=}} und rechts ebenfalls
{{
Relationskette
|  \operatorname{max} ( a , a)
|| a
||
||
||
|SZ=.
}}
Bei
{{
Relationskette/display
|b
| \leq | a
| \leq | c
||
||
|SZ=
}}
ergibt sich links
{{
Relationskette/display
|  \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c))
|| \operatorname{min} (a,c)
|| a
||
||
|SZ=
}}
und rechts ebenfalls
{{
Relationskette/display
| \operatorname{max} (  \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c))
|| \operatorname{max} ( b , a)
|| a
||
||
|SZ=.
}}
Bei
{{
Relationskette/display
|b
| \leq | c
| \leq | a
||
||
|SZ=
}}
ergibt sich links
{{
Relationskette/display
|  \operatorname{min} (a, \operatorname{max} (b,c))
|| \operatorname{min} (a,c)
|| c
||
||
|SZ=
}}
und rechts ebenfalls
{{
Relationskette/display
| \operatorname{max} (  \operatorname{min} (a,b) , \operatorname{min} (a,c))
|| \operatorname{max} ( b ,c)
|| c
||
||
|SZ=.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>6ots6fqhcfen5zjkir4q9kn3ea2ap40</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Zwei Teilerpaare/Größenbeziehung/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>85250</id>
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      <id>1107515</id>
      <parentid>1050823</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T15:53:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107515</origin>
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      <text bytes="517" sha1="pnb3neihmkbox35i5rh7fvhlrmkqwdk" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
Relationskette
| n
| \neq | 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
eine natürliche Zahl mit zwei Faktorzerlegungen
{{
Relationskette/display
| n
|| a b
|| c d
||
||
|SZ=.
}}
Es sei
{{
Relationskette
| a
| \geq |c
||
||
||
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass dann
{{
Relationskette
|b
| \leq |d
||
||
||
|SZ=
}}
sein muss.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=2
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>pnb3neihmkbox35i5rh7fvhlrmkqwdk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <timestamp>2026-07-16T17:37:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    </revision>
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    <title>Vorlage:Mathkor/hand</title>
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      <timestamp>2026-07-16T14:59:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107510</origin>
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|latex=\mathkor {{{{vor|}}}} {{{{terma|}}}{{{term1|}}}} {{{{1|}}}{{{text1|}}}} {{{{termo|}}}{{{term2|}}}} {{{{SZ||}}}}
|wikicode=&lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/nowiki&gt;{{{term1|}}}&lt;nowiki&gt;&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt; {{{1|}}} {{{text1|}}} &lt;nowiki&gt;&lt;math&gt;&lt;/nowiki&gt;{{{term2|}}}&lt;nowiki&gt;&lt;/math&gt;&lt;/nowiki&gt;{{{SZ|}}}
|#default={{#if:{{{vor|}}}|{{{vor|}}}&amp;nbsp;|}}{{#tag:math|{{}} {{{terma|}}} {{{term1|}}} }} {{{1|}}} {{{text1|}}} {{#tag:math| {{}}  {{{termo|}}} {{{term2|}}} }}{{{SZ|}}}|}}&lt;/includeonly&gt;&lt;noinclude&gt;{{Mathematische Umgebungsvorlage}}&lt;/noinclude&gt;</text>
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    </revision>
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    <title>Chemische Formel/Einsetzen/1/Aufgabe</title>
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      <timestamp>2026-07-16T16:20:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107535</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="540" sha1="nmuqt7bl7hmgz553humupav6kmygrzy" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Ersetze{{n Sie}} im Molekül
{{
Math/display|term=
H-O-C\equiv C-O-O-C \equiv B
|SZ=
}}
jedes Sauerstoffatom
{{
Zusatz/Klammer
|text= {{math|term= O |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
durch {{mathl|term= O-O |SZ=}} und jedes Kohlenstoffatom
{{
Zusatz/Klammer
|text= {{math|term= C |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
durch ein Siliciumatom {{math|term= Si |SZ=.}} 
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Terme
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>nmuqt7bl7hmgz553humupav6kmygrzy</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe/Lösung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>85640</id>
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      <timestamp>2026-07-16T17:32:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107573</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="906" sha1="byix4ixpz8fai5wz83qoxwl0ndc0qfa" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Die möglichen Seitenlängen sind {{mathl|term= 1,2,3,4,5 |SZ=.}} Ein Unterquadrat ist durch die Lage des Eckes links oben eindeutig bestimmt, man muss bei fixierter Seitenlänge nur berücksichtigen, dass das Teilquadrat ganz im Grundquadrat liegt. Somit gibt es für die Seitenlänge {{math|term= 5 |SZ=}} eine Möglichkeit, für die Seitenlänge {{math|term= 4 |SZ=}} vier Möglichkeiten, für die Seitenlänge {{math|term= 3 |SZ=}} neun Möglichkeiten, für die Seitenlänge {{math|term= 2 |SZ=}} {{math|term= 16 |SZ=}} Möglichkeiten und für die Seitenlänge {{math|term= 1 |SZ=}} {{math|term= 25 |SZ=}} Möglichkeiten, Insgesamt gibt es also
{{
Relationskette/display
| 1+4+9+16+25
|| 55
||
||
||
|SZ=
}}
Unterquadrate.
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>byix4ixpz8fai5wz83qoxwl0ndc0qfa</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Ggt/Drei Zahlen/Bestimme/1/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>782570</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:48:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
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      <text bytes="406" sha1="tqk0vu5vzotducisw4stsrv2tjji334" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bestimme{{n Sie}} den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 4199, 2431 |SZ=}} und {{math|term= 3553 |SZ=,}} sowie eine Darstellung desselben als Linearkombination der gegebenen Zahlen.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=4
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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      <sha1>tqk0vu5vzotducisw4stsrv2tjji334</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Lemma von Euklid/Viele Faktoren/Induktion/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107551</origin>
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      <text bytes="489" sha1="dy3wo4xzb48htmimjqmfnzati7fkkc3" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}} durch Induktion nach {{math|term= n |SZ=,}} dass, wenn {{math|term= p|SZ=}} ein Produkt von {{math|term= n |SZ=}} Zahlen teilt, dann {{math|term= p |SZ=}} schon eine der Zahlen teilt.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>dy3wo4xzb48htmimjqmfnzati7fkkc3</sha1>
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    <title>Ganze Zahl/p-Exponent/Definition</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>1104473</parentid>
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      <contributor>
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        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107666</origin>
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      <text bytes="698" sha1="a584t51vf23ga6jk8qygnllc6mgedl3" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}}
|Text=
Zu einer ganzen Zahl
{{
Relationskette
|n
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und einer
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{math|term= p |SZ=}} nennt man den Exponenten, mit dem {{math|term= p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n |SZ=}} vorkommt, den
{{
Definitionswort
|Prämath=p
|Exponenten|
|msw=Exponent (Primzahl)|
|SZ=
}} 
von {{math|term= n |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= {{op:pexp| n |}} |SZ=}} bezeichnet.
|Textart=Definition
|Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=   
|Definitionswort=p-Exponent
|Definitionswort2=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>a584t51vf23ga6jk8qygnllc6mgedl3</sha1>
    </revision>
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    <title>Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>1102575</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:08:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107663</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1072" sha1="rhkrzscq1dj4y76pqd7xmyq7whfrj23" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
|Text=
{{
Faktstruktur|typ=
|Situation=
Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine 
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und
{{
Abbildung/display
|name=\nu_p
| \Z \setminus \{0\} | \N
| n | \nu_p(n)
|SZ=,
}}
der zugehörige
{{
Definitionslink
|Prämath=p
|Exponent|
|Kontext=Primzahl|
|SZ=.
}}
|Voraussetzung=

|Übergang=Dann gelten folgende Aussagen.
|Folgerung=
{{
Aufzählung3
|Die Zahl {{math|term= p^{\nu_p(n)} |SZ=}}  ist die größte Potenz von {{math|term= p |SZ=,}} die {{math|term= n |SZ=}} teilt.
|Es ist
{{
Relationskette/display
| \nu_p( m \cdot n)
|| \nu_p( m ) + \nu_p( n )
||
||
||
|SZ=.
}}
|Es ist
{{
Relationskette/display
| \nu_p( m + n)
| \geq | \operatorname{min}( \nu_p( m ) , \nu_p( n ) )
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=es sei
{{
Relationskette/k
| m+n
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
vorausgesetzt|
|ISZ=|ESZ=.
}}
}}
|Zusatz=
}}
|Textart=Fakt 
|Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Faktname=
|Abfrage=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>rhkrzscq1dj4y76pqd7xmyq7whfrj23</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <parentid>1107663</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:11:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107664</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1128" sha1="q4z64zj2vmgnytcerqopv9ovzvx2s5u" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
|Text=
{{
Faktstruktur|typ=
|Situation=
Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine 
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und
{{
Abbildung/display
|name=\nu_p
| \Z \setminus \{0\} | \N
| n | {{op:pexp| n |}}
|SZ=,
}}
der zugehörige
{{
Definitionslink
|Prämath=p
|Exponent|
|Kontext=Primzahl|
|SZ=.
}}
|Voraussetzung=

|Übergang=Dann gelten folgende Aussagen.
|Folgerung=
{{
Aufzählung3
|Die Zahl {{math|term= p^{ {{op:pexp| n |}} } |SZ=}}  ist die größte Potenz von {{math|term= p |SZ=,}} die {{math|term= n |SZ=}} teilt.
|Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| m \cdot n |}}
|| {{op:pexp| m |}} + {{op:pexp| n |}}
||
||
||
|SZ=.
}}
|Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| m + n |}}
| \geq | \operatorname{min}( {{op:pexp| m |}} , {{op:pexp| n |}} )
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=es sei
{{
Relationskette/k
| m+n
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
vorausgesetzt|
|ISZ=|ESZ=.
}}
}}
|Zusatz=
}}
|Textart=Fakt 
|Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Faktname=
|Abfrage=
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|Bearbeitungsstand=
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      <sha1>q4z64zj2vmgnytcerqopv9ovzvx2s5u</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107665</id>
      <parentid>1107664</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:12:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107665</origin>
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      <text bytes="1129" sha1="pt00eve1hmail5lj3aae82hl2470aqe" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
|Text=
{{
Faktstruktur|typ=
|Situation=
Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine 
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
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und
{{
Abbildung/display
|name=\exp_p
| \Z \setminus \{0\} | \N
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|SZ=,
}}
der zugehörige
{{
Definitionslink
|Prämath=p
|Exponent|
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|SZ=.
}}
|Voraussetzung=

|Übergang=Dann gelten folgende Aussagen.
|Folgerung=
{{
Aufzählung3
|Die Zahl {{math|term= p^{ {{op:pexp| n |}} } |SZ=}}  ist die größte Potenz von {{math|term= p |SZ=,}} die {{math|term= n |SZ=}} teilt.
|Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| m \cdot n |}}
|| {{op:pexp| m |}} + {{op:pexp| n |}}
||
||
||
|SZ=.
}}
|Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| m + n |}}
| \geq | \operatorname{min}( {{op:pexp| m |}} , {{op:pexp| n |}} )
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=es sei
{{
Relationskette/k
| m+n
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
vorausgesetzt|
|ISZ=|ESZ=.
}}
}}
|Zusatz=
}}
|Textart=Fakt 
|Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Faktname=
|Abfrage=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>pt00eve1hmail5lj3aae82hl2470aqe</sha1>
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Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
|Text=
{{
Faktstruktur|typ=
|Situation=
Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine 
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und
{{
Abbildung/display
|name=\nu_p
| \Z \setminus \{0\} | \N
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|SZ=,
}}
der zugehörige
{{
Definitionslink
|Prämath=p
|Exponent|
|Kontext=Primzahl|
|SZ=.
}}
|Voraussetzung=

|Übergang=Dann gelten folgende Aussagen.
|Folgerung=
{{
Aufzählung3
|Die Zahl {{math|term= p^{ {{op:pexp| n |}} } |SZ=}}  ist die größte Potenz von {{math|term= p |SZ=,}} die {{math|term= n |SZ=}} teilt.
|Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| m \cdot n |}}
|| {{op:pexp| m |}} + {{op:pexp| n |}}
||
||
||
|SZ=.
}}
|Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| m + n |}}
| \geq | \operatorname{min}( {{op:pexp| m |}} , {{op:pexp| n |}} )
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=es sei
{{
Relationskette/k
| m+n
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
vorausgesetzt|
|ISZ=|ESZ=.
}}
}}
|Zusatz=
}}
|Textart=Fakt 
|Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Faktname=
|Abfrage=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107667</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1039" sha1="n0y6ljmukc64hnscrtndckcztstcbii" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine 
{{
Definitionslink
|Primzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
und
{{
Abbildung/display
|name=\nu_p
|\Z \setminus \{0\}| \N
| n | {{op:pexp| n |}}
|SZ=,
}}
der zugehörige
{{
Definitionslink
|Prämath=p
|Exponent|
|Kontext=Primzahl|
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen.
{{
Aufzählung3
|Die Zahl {{math|term= p^{ {{op:pexp| n |}}  }|SZ=}}  ist die größte Potenz von {{math|term= p |SZ=,}} die {{math|term= n |SZ=}} teilt.
|Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| m \cdot n |}}
|| {{op:pexp| m |}} + {{op:pexp| n |}}
||
||
||
|SZ=.
}}
|Es ist
{{
Relationskette/display
|{{op:pexp| m + n |}}
|\geq| \operatorname{min}(  {{op:pexp| m |}} , {{op:pexp| n |}} )
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=es sei
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Relationskette/k
| m+n
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||
||
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vorausgesetzt|
|ISZ=|ESZ=.
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}}
|Textart=Aufgabe 
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|Autor=
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      <sha1>n0y6ljmukc64hnscrtndckcztstcbii</sha1>
    </revision>
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    <title>Straße/Asphalt/1/Aufgabe</title>
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      <timestamp>2026-07-16T16:55:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107553</origin>
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      <text bytes="701" sha1="eaup2wh23lxea73p7multbvr52mvab9" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Eine zu asphaltierende Straße ist sieben Meter breit. Die Asphaltierung eines Quadratmeters kostet {{math|term= 5000 |SZ=}} Euro.
{{
Aufzählung3
|Erstelle{{n Sie}} eine Formel, die die Asphaltierungskosten für die Straße pro Meter angibt.
|Bestimme{{n Sie}} die Kosten für die Asphaltierung von {{math|term= 100 |SZ=}} Metern der Straße.
|Der Stadtrat bewilligt eine Million Euro für die Straße. Wie viele volle Meter der Straße kann man damit asphaltieren?
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=3
|p1=1
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>eaup2wh23lxea73p7multbvr52mvab9</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Körper/Bruchschreibweise und Division/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-07-17T10:38:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107709</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1386" sha1="ryxhdycrnbosmfyimfsvqvrz85t2g3k" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
In einem 
{{
Definitionslink
|Körper|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{math|term= K |SZ=}} wird für beliebige Elemente
{{
mathbed|term=
x,y \in K
|mit|bedterm1=
y \neq 0
||bedterm2=
|SZ=,
}}
die {{Stichwort|Bruchschreibweise|SZ=}} 
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| x | y}} 
| {{defeq|}} | x \cdot y^{-1}
||
||
||
|SZ=
}}
verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von {{math|term= x |SZ=}} mit dem inversen Element von {{math|term= y |SZ=.}} Die Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| x | y}} |SZ=}} ist das eindeutig bestimmte Element, das mit {{math|term= y |SZ=}} multipliziert das Element {{math|term= x |SZ=}} ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| a |b}} \cdot b
|| {{op:Bruch| a |b}} \cdot {{op:Bruch| b | 1}} 
|| {{op:Bruch|a b|b}}
|| a
||
||
|SZ=
}}
ist.

Die Berechnung von 
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| x | y}}
|| x:y
||
||
||
|SZ=
}}
nennt man {{Stichwort|Division|SZ=,}} wobei {{math|term= x |SZ=}} der {{Stichwort|Dividend|SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} der {{Stichwort|Divisor|SZ=}} der Division heißen; das Ergebnis heißt {{Stichwort|Quotient|SZ=.}} 
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Körpertheorie
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>ryxhdycrnbosmfyimfsvqvrz85t2g3k</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Brüche/Rechenoperationen/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86053</id>
    <revision>
      <id>1107704</id>
      <parentid>1103278</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:02:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107704</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4289" sha1="jo45jdr5w8kgqsyv9vlytfgazmy2gy1" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Eine über {{math|term= \Z |SZ=}} formulierte Gleichung der Form
{{
Relationskette/display
| b x
|| a
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \Z
||
||
||
|SZ=
}} 
soll bei
{{
Relationskette
| b
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
eine eindeutige Lösung besitzen, nämlich {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Um dies formulieren zu können, müssen wir natürlich erstmal eine Multiplikation und eine Addition auf den rationalen Zahlen definieren. Bei gleichnamigen Nenner addiert man einfach die Zähler, auf diesen Fall kann die allgemeine Definition zurückgeführt werden. Mit diesem Übergang, endlich viele rationale Zahlen mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, kann man häufig Rechnungen und auch theoretische Überlegungen vereinfachen.

{{
inputdefinition
|Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition||
}}
Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operation ist wohldefiniert! Was soll das bedeuten? Es gibt hier das folgende Problem, das gerne übersehen wird. Die beiden rationalen Zahlen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=,
}}
die miteinander addiert werden sollen, besitzen unterschiedliche Darstellungen als Brüche, beispielsweise ist
{{
Relationskette/display
| x
|| {{op:Bruch|a|b}} 
|| {{op:Bruch|a'|b'}} 
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| y
|| {{op:Bruch|c|d}} 
|| {{op:Bruch|c'|d'}} 
||
||
|SZ=.
}}
In der Definition der Addition kann man mit einer beliebigen Bruchdarstellung arbeiten. Dann ergibt sich einerseits, wenn man jeweils die erste Darstellung nimmt, die Summe
{{
Math/display|term=
 {{op:Bruch| ad+bc | bd }} 
|SZ=
}}
und andererseits, wenn man jeweils die zweite Darstellung nimmt, die Summe
{{
Math/display|term=
 {{op:Bruch| a'd'+b'c' | b'd' }} 
|SZ=.
}}
Es ist nicht unmittelbar klar, dass hier die gleiche rationale Zahl steht. Wegen
{{
Relationskette
| ab'
|| a'b
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| cd'
|| c'd
||
||
||
|SZ=
}}
ist aber nach Erweitern mit {{math|term= b'd' |SZ=}} und Kürzen durch {{math|term= bd |SZ=}} 
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| ad+bc | bd}} 
|| {{op:Bruch| adb'd'+bcb'd' | bdb'd'}} 
|| {{op:Bruch| a'dbd'+bc'b'd | bdb'd'}} 
|| {{op:Bruch| a'd'+b'c' | b'd'}} 
||
|SZ=,
}}
sodass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist. Nach der Definition nimmt man für den Nenner das Produkt der beiden Nenner. Man kann aber genauso gut ein beliebiges gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner und die entsprechende Erweiterung nehmen. Bei gleichem Nenner ist insbesondere
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| a | r }}  + {{op:Bruch| b | r }} 
|| {{op:Bruch| a+b | r }} 
||
||
||
|SZ=.
}}

{{
inputdefinition
|Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition||
}}
Auch hier muss man die Wohldefiniertheit der Verknüpfung nachweisen, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Wohldefiniertheit/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
Mit der Multiplikation kann man einen Bruch auch als
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| a | b }} 
|| a \cdot {{op:Bruch| 1 | b }} 
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben. Bei positivem {{math|term= a |SZ=}} ist dies die {{math|term= a |SZ=-}}fache Summe des Stammbruches {{math|term=  {{op:Bruch| 1 | b }} |SZ=}} mit sich selbst.
 
{{
inputbemerkung
|Rationale Zahlen/Addition und Multiplikation/Motivation durch Proportionalität/Bemerkung||
}}

Die Addition und die Multiplikation von rationalen Zahlen erfüllen weitere wichtige algebraische Eigenschaften. Letztlich werden diese auf die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten von {{math|term= \Z|SZ=}} zurückgeführt.
{{
inputfaktbeweis
|Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz||
}}

Man nennt {{mathl|term= {{op:Bruch| -a | b }} |SZ=}} die {{Stichwort|negative rationale Zahl|SZ=}} zu {{math|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} und man nennt bei
{{
Relationskette
| a,b
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
die Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| b | a }} |SZ=}} die {{Stichwort|inverse rationale Zahl|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder den {{Stichwort|Kehrwert|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
zu {{math|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=.}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
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      <sha1>jo45jdr5w8kgqsyv9vlytfgazmy2gy1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107706</id>
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      <timestamp>2026-07-17T10:05:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107706</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
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Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Eine über {{math|term= \Z |SZ=}} formulierte Gleichung der Form
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||
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|SZ=
}}
mit
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Relationskette
| a,b
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||
||
||
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}} 
soll bei
{{
Relationskette
| b
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||
||
||
|SZ=
}}
eine eindeutige Lösung besitzen, nämlich {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Um dies formulieren zu können, müssen wir natürlich erstmal eine Multiplikation und eine Addition auf den rationalen Zahlen definieren. Bei gleichnamigen Nennern addiert man einfach die Zähler, auf diesen Fall kann die allgemeine Definition zurückgeführt werden. Mit diesem Übergang, endlich viele rationale Zahlen mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, kann man häufig Rechnungen und auch theoretische Überlegungen vereinfachen.

{{
inputdefinition
|Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition||
}}
Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operation ist wohldefiniert! Was soll das bedeuten? Es gibt hier das folgende Problem, das gerne übersehen wird. Die beiden rationalen Zahlen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=,
}}
die miteinander addiert werden sollen, besitzen unterschiedliche Darstellungen als Brüche, beispielsweise ist
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Relationskette/display
| x
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||
||
|SZ=
}}
und
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Relationskette/display
| y
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In der Definition der Addition kann man mit einer beliebigen Bruchdarstellung arbeiten. Dann ergibt sich einerseits, wenn man jeweils die erste Darstellung nimmt, die Summe
{{
Math/display|term=
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|SZ=
}}
und andererseits, wenn man jeweils die zweite Darstellung nimmt, die Summe
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Math/display|term=
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|SZ=.
}}
Es ist nicht unmittelbar klar, dass hier die gleiche rationale Zahl steht. Wegen
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Relationskette
| ab'
|| a'b
||
||
||
|SZ=
}}
und
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Relationskette
| cd'
|| c'd
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||
||
|SZ=
}}
ist aber nach Erweitern mit {{math|term= b'd' |SZ=}} und Kürzen durch {{math|term= bd |SZ=}} 
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sodass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist. Nach der Definition nimmt man für den Nenner das Produkt der beiden Nenner. Man kann aber genauso gut ein beliebiges gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner und die entsprechende Erweiterung nehmen. Bei gleichem Nenner ist insbesondere
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Relationskette/display
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||
||
||
|SZ=.
}}

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inputdefinition
|Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition||
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Auch hier muss man die Wohldefiniertheit der Verknüpfung nachweisen, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Wohldefiniertheit/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
Mit der Multiplikation kann man einen Bruch auch als
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| a | b }} 
|| a \cdot {{op:Bruch| 1 | b }} 
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben. Bei positivem {{math|term= a |SZ=}} ist dies die {{math|term= a |SZ=-}}fache Summe des Stammbruches {{math|term=  {{op:Bruch| 1 | b }} |SZ=}} mit sich selbst.
 
{{
inputbemerkung
|Rationale Zahlen/Addition und Multiplikation/Motivation durch Proportionalität/Bemerkung||
}}

Die Addition und die Multiplikation von rationalen Zahlen erfüllen weitere wichtige algebraische Eigenschaften. Letztlich werden diese auf die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten von {{math|term= \Z|SZ=}} zurückgeführt.
{{
inputfaktbeweis
|Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz||
}}

Man nennt {{mathl|term= {{op:Bruch| -a | b }} |SZ=}} die {{Stichwort|negative rationale Zahl|SZ=}} zu {{math|term= {{op:Bruch| a | b }} |SZ=}} und man nennt bei
{{
Relationskette
| a,b
|\neq| 0
||
||
||
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}}
die Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| b | a }} |SZ=}} die {{Stichwort|inverse rationale Zahl|SZ=}}
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Zusatz/Klammer
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    </revision>
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    <title>Proportionalität/Strahlensatz/Beispiel</title>
    <ns>0</ns>
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      <id>1107687</id>
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      <timestamp>2026-07-17T09:21:08Z</timestamp>
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      <origin>1107687</origin>
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Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text={{bildskip}} 
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|Thales theorem|svg| 230px {{!}} right {{!}} | 
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}}
Ein wichtiger geometrischer Ursprung für konstante Verhältnisse liefern die 
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Strahlensätze|
|Kontext=|
|SZ=
}}
bzw. ähnliche Dreiecke. Man hat zwei durch einen Punkt {{math|term= A |SZ=}} gehende Geraden und zwei parallele Geraden gegeben, die nicht durch den Punkt verlaufen. Dann bestehen zwischen entsprechenden Seitenlängen in den entstehenden Dreiecken konstante Verhältnisse. Im Bild verhält sich beispielsweise die Strecke {{mathl|term= \overline{BC} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{BA} |SZ=}} wie die Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{DA} |SZ=.}} Wenn man als variable Größe {{math|term= x |SZ=}} den Abstand von {{math|term= B |SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=}} und als Größe {{math|term= y |SZ=}} die Streckenlänge der durch {{math|term= B |SZ=}} verlaufenden Dreiecksseite, die zur Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} parallel ist, nimmt, so liegt zwischen diesen Größen ein konstantes Verhältnis vor.
|Textart=Beispiel
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
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      <sha1>mpi4aspfdrlddv37qjif27mgeof3ntu</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107692</id>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107692</origin>
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      <text bytes="1424" sha1="kiuqqkj0sisp3gv38424pb643tupmlm" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text={{bildskip}} 
{{
inputbild
|Thales theorem|svg| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Helder, Dake (png version)
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
Einen wichtigen geometrischen Ursprung für konstante Verhältnisse liefern die 
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Strahlensätze|
|Kontext=|
|SZ=
}}
bzw. ähnliche Dreiecke. Man hat zwei durch einen Punkt {{math|term= A |SZ=}} gehende Geraden und zwei parallele Geraden gegeben, die nicht durch den Punkt verlaufen. Dann bestehen zwischen entsprechenden Seitenlängen in den entstehenden Dreiecken konstante Verhältnisse. Im Bild verhält sich beispielsweise die Strecke {{mathl|term= \overline{BC} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{BA} |SZ=}} wie die Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{DA} |SZ=.}} Wenn man als variable Größe {{math|term= x |SZ=}} den Abstand von {{math|term= B |SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=}} und als Größe {{math|term= y |SZ=}} die Streckenlänge der durch {{math|term= B |SZ=}} verlaufenden Dreiecksseite, die zur Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} parallel ist, nimmt, so liegt zwischen diesen Größen ein konstantes Verhältnis vor.
|Textart=Beispiel
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=Die Strahlensätze
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>kiuqqkj0sisp3gv38424pb643tupmlm</sha1>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107695</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
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Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text={{bildskip}} 
{{
inputbild
|Thales theorem|svg| 230px {{!}} right {{!}} | 
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|Autor=
|Benutzer=Helder, Dake (png version)
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|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
Einen wichtigen geometrischen Ursprung für konstante Verhältnisse liefern die 
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Strahlensätze|
|Kontext=|
|SZ=
}}
bzw. ähnliche Dreiecke. Man hat zwei durch einen Punkt {{math|term= A |SZ=}} gehende Geraden und zwei parallele Geraden gegeben, die nicht durch diesen Punkt verlaufen. Dann bestehen zwischen entsprechenden Seitenlängen in den entstehenden Dreiecken konstante Verhältnisse. Im Bild verhält sich beispielsweise die Strecke {{mathl|term= \overline{BC} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{BA} |SZ=}} wie die Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} zur Strecke {{mathl|term= \overline{DA} |SZ=.}} Wenn man als variable Größe {{math|term= x |SZ=}} den Abstand von {{math|term= B |SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=}} und als Größe {{math|term= y |SZ=}} die Streckenlänge der durch {{math|term= B |SZ=}} verlaufenden Dreiecksseite, die zur Strecke {{mathl|term= \overline{DE} |SZ=}} parallel ist, nimmt, so liegt zwischen diesen Größen ein konstantes Verhältnis vor.
|Textart=Beispiel
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=Die Strahlensätze
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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      <sha1>a9hu3xvj6zrv35ajjagwt5adpg5l0mx</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Archimedisch angeordneter Körper/x kleiner 1/x^n unterbietet/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>1100881</parentid>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107739</origin>
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      <text bytes="740" sha1="qsrz1zp83j4dcfc68knlgk2bx4cxr1l" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Es sei
{{
Relationskette
| y
| {{defeq|}} | x^{-1}
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| B
| {{defeq|}} | \epsilon^{-1}
||
||
||
|SZ=.
}}
Nach
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
gibt es ein {{math|term= n |SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
| y^n
| \geq | B
||
||
||
|SZ=.
}}
Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man
{{
Faktlink
|Präwort=gemäß||Faktseitenname=
Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften zu Inversen/Fakt
|Nr=4
|SZ=
}}
die Behauptung.
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>qsrz1zp83j4dcfc68knlgk2bx4cxr1l</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86327</id>
    <revision>
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      <parentid>1030489</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:20:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107561</origin>
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      <text bytes="1541" sha1="pvc1sqb1c6h9lo7qeevibudswd148ti" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
{{
Aufzählung2
|Wir beweisen die Aussage durch Induktion über {{math|term= c |SZ=.}} Bei
{{
Relationskette
| c
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist die Aussage klar. Für den Induktionsschritt müssen wir lediglich zeigen, dass die Aussage für
{{
Relationskette
| c
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
gilt. Bei
{{
Relationskette
| a
|| b
||
||
||
|SZ=
}}
ist die Aussage klar, da der Nachfolger wohldefiniert ist. Bei
{{
Relationskette
| a
| &gt; | b
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Faktlink
|Präwort=nach||Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt
|Nr=3
|SZ=
}}
{{
Relationskette
| a
| \geq | b+1
||
||
||
|SZ=
}}
und somit
{{
Relationskette/display
| a+1
| &gt; | a
| \geq | b+1
||
||
|SZ=.
}}
Dies zeigt zugleich, dass aus
{{
Relationskette
| a
| &gt; | b
||
||
||
|SZ=
}}
auch
{{
Relationskette
| a+1
| &gt; | b+1
||
||
||
|SZ=
}}
folgt. Da die Ordnung total ist, folgt somit auch aus
{{
Relationskette
| a+1
| \geq | b+1
||
||
||
|SZ=
}}
die Beziehung
{{
Relationskette
| a
| \geq | b
||
||
||
|SZ=.
}}
|Wir führen Induktion nach {{math|term= c |SZ=,}} die Fälle
{{
Relationskette
| c
|| 0,1
||
||
||
|SZ=
}}
sind klar. Es sei die Aussage für {{math|term= c |SZ=}} bewiesen. Dann ist mit dem Distributivgesetz, der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit der Addition
{{
Relationskette/display
| (c+1)a
|| ca +a
| \geq | cb +b
||(c+1)b
||
|SZ=.
}}
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Aufgabe=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>pvc1sqb1c6h9lo7qeevibudswd148ti</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Partnervermittlung/11 Minuten/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86635</id>
    <revision>
      <id>1107555</id>
      <parentid>1046139</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:02:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107555</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="599" sha1="5bdigtlmp4knv72uqv4ffmdtjwkxxx4" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bei der Onlinepartnervermittlung {{Anführung|e-Tarzan meets e-Jane|}} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange
{{
Zusatz/Klammer
|text=in gerundeten Jahren|
|ISZ=|ESZ=
}}
dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland
{{
Zusatz/Klammer
|text=ca. {{math|term= 65 000 000 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=2
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>5bdigtlmp4knv72uqv4ffmdtjwkxxx4</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bruch/Vielfaches/Dezimalbruch/1/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86744</id>
    <revision>
      <id>1107554</id>
      <parentid>1097710</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:01:19Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107554</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="391" sha1="j1czoiuh4x8bjleznaymrl1lr8kzeh1" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 84}} |SZ=,}} das ein 
{{
Definitionslink
|Dezimalbruch|
|Kontext=|
|SZ=
}}
ist?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche
|Kategorie2=Theorie der Stammbrüche
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=2
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>j1czoiuh4x8bjleznaymrl1lr8kzeh1</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86768</id>
    <revision>
      <id>1107605</id>
      <parentid>1100714</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:31:52Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107605</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3381" sha1="1biwqw9iae6jaq5x8hv15h7z5dvnza6" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Bei der Multiplikation mit
{{
Relationskette
|b
|| 2
||
||
||
|SZ=
}}
und mit
{{
Relationskette
|b
|| 5
||
||
||
|SZ=
}}
vereinfacht sich das in
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren
|Nr=
|SZ=
}}
beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl
{{
Relationskette/display
|m 
|| \sum_{i {{=}} 0}^k a_i \cdot 10^{i}
||
||
||
|SZ=
}}
mit einer einstelligen Zahl {{math|term= b |SZ=.}} Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Division mit Rest|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{
Relationskette/display
|a_i \cdot b + d_i
|| d_{i+1} \cdot 10 + c_i
||
||
||
|SZ=
}}
mit  
{{
Relationskette/display
| 0
| \leq | c_i
| \leq | 9
||
||
|SZ=
}}
durchzuführen, wobei dadurch die {{math|term= c_i |SZ=}} und die {{math|term= d_i |SZ=}} rekursiv mit dem Startwert
{{
Relationskette
| d_0
|| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
festgelegt sind und wobei die {{math|term= c_i |SZ=}} die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur
{{
Relationskette/display
|a_i \cdot b
|| d_{i+1} \cdot 10 +r_i
||
||
||
|SZ=
}}
berechnen muss und die Ergebnisziffern
{{
Relationskette/display
| c_i
|| d_i +r_i
||
||
||
|SZ=
}}
erhält. Insbesondere hängt {{math|term= c_i |SZ=}} nur von
{{
mathkor|term1=
a_i
|und|term2=
a_{i-1}
|SZ=
}}
ab. Kurz gesagt: Die {{math|term= i |SZ=-}}te Ziffer eines Produktes {{mathl|term= a_k \ldots a_i a_{i-1} \ldots a_2a_1a_0 |SZ=}} mit {{math|term= 2 |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder mit {{math|term= 5 |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl {{mathl|term=  a_i a_{i-1} |SZ=}} mit {{math|term= 2 |SZ=}} bzw. mit {{math|term= 5 |SZ=}} multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.

Zunächst sind nach
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl {{math|term= b |SZ=}} die Überträge echt kleiner als {{math|term= b |SZ=.}} Bei
{{
Relationskette
|b
|| 2
||
||
||
|SZ=
}}
kommen also nur die Überträge
{{
mathkor|term1=
0
|oder|term2=
1
|SZ=
}}
in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von
{{
mathkor|term1=
a_i \cdot 2 + d_i
|bzw.|term2=
a_i \cdot 2 
|SZ=
}}
durch {{math|term= 10 |SZ=}} überein
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn man zu einer geraden Zahl eine {{math|term= 1 |SZ=}} addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht|
|ISZ=|ESZ=,
}}
die Beziehung
{{
Relationskette
| c_i
|| r_i +d_i
||
||
||
|SZ=
}} 
folgt direkt.

Bei
{{
Relationskette
| b
|| 5
||
||
||
|SZ=
}}
kommen nur die Überträge {{mathl|term= 0,1,2,3,4 |SZ=}} in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von
{{
mathkor|term1=
a_i \cdot 5 + d_i
|bzw.|term2=
a_i \cdot 5
|SZ=
}}
durch {{math|term= 10 |SZ=}} überein
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn man zu einer durch {{math|term= 5 |SZ=}} teilbaren Zahl eine Zahl {{math|term=  \leq 4 |SZ=}} addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die Beziehung
{{
Relationskette
| c_i
|| r_i +d_i
||
||
||
|SZ=
}} 
folgt wieder direkt.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>1biwqw9iae6jaq5x8hv15h7z5dvnza6</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Prozentrechnung/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>86778</id>
    <revision>
      <id>1107746</id>
      <parentid>1103257</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:33:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107746</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4522" sha1="p8hoysxwe9o5bxi8t2p71uxcy67bydb" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Rationale Zahl/Prozent/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Rationale Zahl/Promille/Definition||
}}

{{
inputbild
|Bundeshaushaltsplan 2011|png| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=Der Bundeshaushalt von 2011
|Autor=
|Benutzer=5ven4wiki
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputbild
|Cement Production 2010|png| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Propubs 
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
Dafür gibt es spezielle Zeichen, {{math|term= {{prozent}} |SZ=}} und {{math|term= {{Promille}} |SZ=.}} Von der Definition her ist die Prozentrechnung ein Spezialfall des Rechnens mit rationalen Zahlen, und zwar mit Dezimalbrüchen. Eine rationale Zahl zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=
}}
gibt den Anteil von einer gegebenen Grundgröße an. Diese Anteilsgröße wird in vielen alltäglichen Kontexten am besten durch einen Dezimalbruch angegeben, da dieser eine unmittelbare Größenvorstellung mitliefert, da Dezimalbrüche untereinander einfach vergleichbar sind, wie in
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Größenvergleich/Bemerkung
|Nr=
|SZ=
}}
erwähnt wurde. Bei der Größenordnung will man es häufig gar nicht so genau wissen, sondern nur eine ungefähre Größenvorstellung haben. Deshalb werden viele Größenanteile in Hunderstel oder seltener in Tausendstel angegeben, wofür sich die Bezeichnungen Prozent und Promille eingebürgert haben. Die {{Stichwort|Prozentrechnung|SZ=}} beschäftigt sich mit dem Rechnen von Größenangaben, die in Prozent gemacht werden. Prozentrechnung ist einfach, wenn man erkennt, dass es sich um Rechnungen mit rationalen Zahlen handelt. Dennoch gibt es einige, für die Prozentrechnung typische Formulierungen, bei denen man sich die zugrunde liegende mathematische Bedeutung erst klar machen muss. Im Prozentkontext werden die Angaben grundsätzlich nur mit einer gewissen Fehlergenauigkeit gemacht.

Wenn eine endliche Grundmenge {{math|term= G |SZ=}} und eine Teilmenge
{{
Relationskette
|T
| \subseteq|G
||
||
||
|SZ=
}}
gegeben ist, so versteht man unter dem {{Stichwort|Anteil}} von {{math|term= T |SZ=}} in {{math|term= G |SZ=}} einfach den Quotienten der Anzahlen, also den Bruch
{{
Math/display|term=
 {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} |{{op:Anzahl|G|}} }} 
|SZ=.
}}
Diese Zahl liegt zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=.
}}
Wenn man daraus eine Prozentangabe machen will, so macht man die Umformung
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} |{{op:Anzahl|G|}} }} 
|| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} \cdot 100}} 
|| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | 100 |}} 
|| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} }} \cdot {{Prozent}} 
||
|SZ=.
}}
Durch die Multiplikation mit dem Faktor kommt der Anteil, der ja eigentlich zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=
}}
liegt, in einen Zahlenbereich zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
100
|SZ=,
}}
der für die meisten Menschen vertrauter ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=in einer solchen Situation ist die Prozentangabe unterhalb von {{math|term= 100 |SZ=,}} in vielen anderen Kontexten ist aber auch ein größerer Anteil sinnvoll|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Überhaupt werden Prozentangaben nur in einer Größenordnung verwendet, in der sie suggestiv sind, wo also die Multiplikation mit {{math|term= 100 |SZ=}} dem Vorstellungsvermögen entgegenkommt. Ob man sagt, dass der Anteil von Gold an der Gesamtmasse des Universums gleich {{math|term= 2 \cdot 10^{-23} |SZ=}} ist oder {{math|term= 2 \cdot 10^{-21} {{Prozent}} |SZ=}} beträgt, macht keinen Unterschied.

{{
inputbemerkung
|Prozentrechnung/Addition/Bemerkung||
}}

{{
inputbemerkung
|Prozentrechnung/Multiplikation/Bemerkung||
}}

{{
inputbemerkung
|Prozentrechnung/Gegenrechnung/Invertierung/Bemerkung||
}}
Wenn Angaben üblicherweise in Prozenten gemacht werden, wie beispielsweise das Ergebnis von Wahlen, so drückt man die Änderung zwischen zwei Wahlen durch {{Stichwort|Prozentpunkte|msw=Prozentpunkt|SZ=}} aus, also nicht prozentual! Wenn die Partei vor vier Jahren {{mathl|term= 35 {{Prozent|}} |SZ=}} erzielt hat und bei den neuen Wahlen {{mathl|term= 32 {{Prozent|}} |SZ=}} erzielt, so spricht man von einem Verlust von {{math|term= 3 |SZ=}} Prozentpunkten.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Prozentrechnung
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>p8hoysxwe9o5bxi8t2p71uxcy67bydb</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107749</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4523" sha1="thqgnyrkitpc9gzkp4cfaud1f7uigql" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Rationale Zahl/Prozent/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Rationale Zahl/Promille/Definition||
}}

{{
inputbild
|Bundeshaushaltsplan 2011|png| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=Der Bundeshaushalt von 2011
|Autor=
|Benutzer=5ven4wiki
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputbild
|Cement Production 2010|png| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Propubs 
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
Dafür gibt es spezielle Zeichen, {{math|term= {{prozent}} |SZ=}} und {{math|term= {{Promille}} |SZ=.}} Von der Definition her ist die Prozentrechnung ein Spezialfall des Rechnens mit rationalen Zahlen, und zwar mit Dezimalbrüchen. Eine rationale Zahl zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=
}}
gibt den Anteil von einer gegebenen Grundgröße an. Diese Anteilsgröße wird in vielen alltäglichen Kontexten am besten durch einen Dezimalbruch angegeben, da dieser eine unmittelbare Größenvorstellung mitliefert, da Dezimalbrüche untereinander einfach vergleichbar sind, wie in
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Größenvergleich/Bemerkung
|Nr=
|SZ=
}}
erwähnt wurde. Bei der Größenordnung will man es häufig gar nicht so genau wissen, sondern nur eine ungefähre Größenvorstellung haben. Deshalb werden viele Größenanteile in Hunderstel oder seltener in Tausendstel angegeben, wofür sich die Bezeichnungen Prozent und Promille eingebürgert haben. Die {{Stichwort|Prozentrechnung|SZ=}} beschäftigt sich mit dem Rechnen von Größenangaben, die in Prozent gemacht werden. Prozentrechnung ist einfach, wenn man erkennt, dass es sich um Rechnungen mit rationalen Zahlen handelt. Dennoch gibt es einige, für die Prozentrechnung typische Formulierungen, bei denen man sich die zugrunde liegende mathematische Bedeutung erst klar machen muss. Im Prozentkontext werden die Angaben grundsätzlich nur mit einer gewissen Fehlergenauigkeit gemacht.

Wenn eine endliche Grundmenge {{math|term= G |SZ=}} und eine Teilmenge
{{
Relationskette
|T
| \subseteq|G
||
||
||
|SZ=
}}
gegeben sind, so versteht man unter dem {{Stichwort|Anteil}} von {{math|term= T |SZ=}} in {{math|term= G |SZ=}} einfach den Quotienten der Anzahlen, also den Bruch
{{
Math/display|term=
 {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} |{{op:Anzahl|G|}} }} 
|SZ=.
}}
Diese Zahl liegt zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=.
}}
Wenn man daraus eine Prozentangabe machen will, so macht man die Umformung
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} |{{op:Anzahl|G|}} }} 
|| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} \cdot 100}} 
|| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} }} \cdot {{op:Bruch| 1 | 100 |}} 
|| {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} }} \cdot {{Prozent}} 
||
|SZ=.
}}
Durch die Multiplikation mit dem Faktor kommt der Anteil, der ja eigentlich zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=
}}
liegt, in einen Zahlenbereich zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
100
|SZ=,
}}
der für die meisten Menschen vertrauter ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=in einer solchen Situation ist die Prozentangabe unterhalb von {{math|term= 100 |SZ=,}} in vielen anderen Kontexten ist aber auch ein größerer Anteil sinnvoll|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Überhaupt werden Prozentangaben nur in einer Größenordnung verwendet, in der sie suggestiv sind, wo also die Multiplikation mit {{math|term= 100 |SZ=}} dem Vorstellungsvermögen entgegenkommt. Ob man sagt, dass der Anteil von Gold an der Gesamtmasse des Universums gleich {{math|term= 2 \cdot 10^{-23} |SZ=}} ist oder {{math|term= 2 \cdot 10^{-21} {{Prozent}} |SZ=}} beträgt, macht keinen Unterschied.

{{
inputbemerkung
|Prozentrechnung/Addition/Bemerkung||
}}

{{
inputbemerkung
|Prozentrechnung/Multiplikation/Bemerkung||
}}

{{
inputbemerkung
|Prozentrechnung/Gegenrechnung/Invertierung/Bemerkung||
}}
Wenn Angaben üblicherweise in Prozenten gemacht werden, wie beispielsweise das Ergebnis von Wahlen, so drückt man die Änderung zwischen zwei Wahlen durch {{Stichwort|Prozentpunkte|msw=Prozentpunkt|SZ=}} aus, also nicht prozentual! Wenn die Partei vor vier Jahren {{mathl|term= 35 {{Prozent|}} |SZ=}} erzielt hat und bei den neuen Wahlen {{mathl|term= 32 {{Prozent|}} |SZ=}} erzielt, so spricht man von einem Verlust von {{math|term= 3 |SZ=}} Prozentpunkten.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Prozentrechnung
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
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      <sha1>thqgnyrkitpc9gzkp4cfaud1f7uigql</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
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      <timestamp>2026-07-17T11:48:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107753</origin>
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      <text bytes="2761" sha1="009yqgw59k9ucpg2veay93ziapaxkyo" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Wir zeigen die Existenz des {{math|term= m |SZ=}} durch Induktion über {{math|term= k |SZ=}} für jedes
{{
Relationskette
|b
| &gt; | 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Für
{{
Relationskette
|k
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist die Aussage klar. Sei
{{
Relationskette
|k
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Wir schreiben
{{
Relationskette
|b
|| 1+u
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| u
| &gt; | 0
||
||
||
|SZ=
}}
und betrachten
{{
Zusatz/Klammer
|text=für
{{
Relationskette/k
| n
| \geq | 2
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
die auf
{{
Faktlink
|Präwort=dem|binomischen Lehrsatz|Faktseitenname=
Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
in Verbindung mit
{{
Relationskette
| u
| &gt; | 0
||
||
||
|SZ=
}}
beruhende Abschätzung
{{
Relationskette/display/druckalign
| b^n
|| (1+u)^n
| \geq | 1 +nu + {{op:Binomialkoeffizient| n | 2}} u^2
|| 1 +nu + {{op:Bruch|n (n-1)| 2}} u^2
|| 1 +nu + n {{op:Bruch| (n-1)| 2}} u^2
| \geq | n {{op:Bruch|(n-1) u^2 | 2}} 
|SZ=.
}}
Da {{mathl|term= {{op:Bruch|u^2| 2}} |SZ=}} positiv ist, gibt es
{{
Faktlink
|Präwort=nach||Faktseitenname=
Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
eine natürliche Zahl {{math|term= m |SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
| m {{op:Bruch|u^2| 2}}
| \geq | 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Für
{{
Relationskette
|n
| &gt; | m
||
||
||
|SZ=
}}
ist dann
{{
Relationskette/display
| b^n
| \geq | n {{op:Bruch|(n-1) u^2 | 2}} 
| \geq | n
||
||
|SZ=,
}}
wie gewünscht. Es sei nun die Aussage für 
{{
Relationskette
|k
| \geq | 1
||
||
||
|SZ=
}}
und alle
{{
Relationskette
|b
| &gt; | 1
||
||
||
|SZ=
}}
schon bewiesen, und wir müssen sie für {{mathl|term= k+1 |SZ=}} beweisen. Wir schreiben
{{
Relationskette
|b
|| cd
||
||
||
|SZ=
}}
mit Zahlen
{{
Relationskette/display
|c, d
| &gt; | 1
||
||
||
|SZ=,
}}
die es nach
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Angeordneter Körper/b größer 1/Faktorzerlegung/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
gibt. Aufgrund der Induktionsvoraussetzung gibt es eine natürliche Zahl {{math|term= m |SZ=}} derart, dass für alle
{{
Relationskette
| n
| \geq | m
||
||
||
|SZ=
}}
die Abschätzung
{{
Relationskette/display
|c^n
| \geq | n^k
||
||
||
|SZ=
}}
gilt. Ebenso gibt es eine natürliche Zahl {{math|term= m'|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass für alle
{{
Relationskette
| n
| \geq | m'
||
||
||
|SZ=
}}
die Abschätzung
{{
Relationskette/display
|d^n
| \geq | n
||
||
||
|SZ=
}}
gilt. Damit gilt für alle
{{
Relationskette/display
| n
| \geq | \operatorname{max} (m,m')
||
||
||
|SZ=
}}
die Abschätzung
{{
Relationskette/display
| b^n
|| (cd)^n
|| c^n d^n
| \geq | n^k  n
|| n^{k+1}
|SZ=.
}}
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>009yqgw59k9ucpg2veay93ziapaxkyo</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Prozentrechnung/Addition/Bemerkung</title>
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      <id>1107745</id>
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      <timestamp>2026-07-17T11:31:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107745</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1055" sha1="qkwkj4ccz5utj18d1ugmd96fetgwqbq" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Wenn eine Grundmenge gegeben ist und davon Anteile durch Prozente beschrieben werden, und die Anteile disjunkt zueinander sind, so muss man die Prozentangaben addieren, um den Gesamtanteil zu erhalten. Wenn beispielsweise die Inhaltsstoffe eines Getränkes in Prozent angegeben werden, sagen wir {{mathl|term= 80 {{Prozent|}} |SZ=}} Wasser, {{mathl|term= 10 {{Prozent|}} |SZ=}} Orangensaft, {{mathl|term= 5 {{Prozent|}} |SZ=}} Himbeersaft und {{mathl|term= 2 {{Prozent|}} |SZ=}} Heidelbeersaft und {{mathl|term= 3 {{Prozent|}} |SZ=}} Cola, so liegt der Fruchtsaftanteil wegen
{{
Relationskette/display
| 10 +5 +2
|| 17
||
||
||
|SZ=
}}
bei {{math|term= 17 |SZ=}} Prozent. Die Gesamtsumme der Prozentwerte sollte sich auf {{mathl|term= 100 {{Prozent|}} |SZ=}} addieren; da man bei Prozentangaben aber häufig gerundete Werte nimmt, muss das nicht immer stimmen.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Prozentrechnung
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>qkwkj4ccz5utj18d1ugmd96fetgwqbq</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Prozentrechnung/Multiplikation/Bemerkung</title>
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      <timestamp>2026-07-17T11:41:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107747</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1236" sha1="lyf31bbcpyypjyn8n9ydnejira1kfei" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Häufig ändert sich, auch in einem bestimmten Kontext, die Bezugsmenge bei verschiedenen Prozentangaben. Wenn beispielsweise die Lebenshaltungskosten prozentual nach Essen, Wohnung, Körperpflege, Vergnügen aufgelistet wird, so werden die Vergnügungskosten eventuell weiter prozentual unterteilt, nach Kino, Theater, Kneipe, Spielhölle, und diese Angaben beziehen sich dann häufig auf die Gesamtvergnügungskosten. Den prozentualen Anteil an den Gesamtlebenshaltungskosten vom Kino muss man dann ausrechnen, indem man die relativen Prozentangaben als Brüche interpretiert, diese miteinander multipliziert und daraus wieder einen Prozentwert macht. Wenn die Vergnügungskosten {{math|term= 8\,{{Prozent|}} |SZ=}} der Lebenshaltungskosten ausmachen und Kinobesuche {{mathl|term= 30\,{{Prozent|}} |SZ=}} an den Vergnügungskosten, so muss man
{{
Relationskette/display
| 0{,}08 \cdot 0{,}3
|| 0{,}024
||
||
||
|SZ=
}}
ausrechnen und erhält, dass die Kinobesuche {{math|term= 2{,}4\,{{Prozent|}} |SZ=}} der Lebenshaltungskosten ausmachen.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Prozentrechnung
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>lyf31bbcpyypjyn8n9ydnejira1kfei</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107751</id>
      <parentid>1107747</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:45:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107751</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1238" sha1="fbjpxxmhrv9emyna3d2uk87j8t7c7rx" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Häufig ändert sich, auch in einem bestimmten Kontext, die Bezugsmenge bei verschiedenen Prozentangaben. Wenn beispielsweise die Lebenshaltungskosten prozentual nach Essen, Wohnung, Körperpflege, Vergnügen aufgelistet werden, so werden die Vergnügungskosten eventuell weiter prozentual unterteilt, nach Kino, Theater, Kneipe, Spielhölle, und diese Angaben beziehen sich dann häufig auf die Gesamtvergnügungskosten. Den prozentualen Anteil an den Gesamtlebenshaltungskosten vom Kino muss man dann ausrechnen, indem man die relativen Prozentangaben als Brüche interpretiert, diese miteinander multipliziert und daraus wieder einen Prozentwert macht. Wenn die Vergnügungskosten {{math|term= 8\,{{Prozent|}} |SZ=}} der Lebenshaltungskosten ausmachen und Kinobesuche {{mathl|term= 30\,{{Prozent|}} |SZ=}} an den Vergnügungskosten, so muss man
{{
Relationskette/display
| 0{,}08 \cdot 0{,}3
|| 0{,}024
||
||
||
|SZ=
}}
ausrechnen und erhält, dass die Kinobesuche {{math|term= 2{,}4\,{{Prozent|}} |SZ=}} der Lebenshaltungskosten ausmachen.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Prozentrechnung
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|Objektkategorie=
|Stichwort=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>fbjpxxmhrv9emyna3d2uk87j8t7c7rx</sha1>
    </revision>
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    <title>Ware/Mehrwertssteuer/Rückrechnung/Aufgabe</title>
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      <timestamp>2026-07-16T17:04:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107557</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="404" sha1="fyywnuyjkyyp7es8k1o2o3ok84cmzdt" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Auf eine Ware ist beim Verkauf eine Mehrwertsteuer von {{math|term= 19 {{Prozent}} |SZ=}} vom Grundpreis zu entrichten, die im Verkaufspreis Niederschlag findet. Wie viel Prozent vom Verkaufspreis ist das?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Prozentrechnung
|Kategorie2=
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|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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      <sha1>fyywnuyjkyyp7es8k1o2o3ok84cmzdt</sha1>
    </revision>
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    <title>Dreimal ein Drittel/Prozentanteil/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107556</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="555" sha1="fjkqt0shalnlyhpqd1muxnszee8ye30" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bei einer Befragung nach der Lieblingseissorte stellt sich heraus, dass jeweils ein Drittel der Befragten für Erdbeereis, für Himbeereis und für Zitroneneis plädiert. In Prozent sind es also jeweils {{math|term= 33 |SZ=.}} Wo ist das Prozent
{{
Relationskette
| 100 {{Prozent|}} - 3 \cdot 33 {{Prozent|}} 
|| 1 {{Prozent|}} 
||
||
||
|SZ=
}}
geblieben?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Prozentrechnung
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|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>fjkqt0shalnlyhpqd1muxnszee8ye30</sha1>
    </revision>
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  <page>
    <title>Prozentrechnung/Gegenrechnung/Invertierung/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
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      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1798" sha1="jkbgpugqw7ly87spdw5l0mbjm3lbwt0" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Wenn man zwei Mengen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Vermögen, Einwohnerzahl, ... |
|ISZ=|ESZ=
}}
{{
mathkor|term1=
A
|und|term2=
B
|SZ=
}}
der Größe nach vergleicht, so kann man das durch einen Anteil und als Prozent ausdrücken. Man muss dabei deutlich machen, welche Menge man als Grundmenge betrachten möchte. Wenn man {{math|term= A |SZ=}} als Grundmenge nimmt, so ist
{{
Relationskette/display
| {{op:Anzahl| B |}} 
|| {{op:Bruch| {{op:Anzahl| B |}} | {{op:Anzahl| A |}} }} \cdot {{op:Anzahl| A |}} 
|| 
||
||
|SZ=
}}
und
{{
mathl|term=
 {{op:Bruch| {{op:Anzahl| B |}} | {{op:Anzahl| A |}} }} 
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=bzw. {{mathlk|term= {{op:Bruch| 100 \cdot {{op:Anzahl| B |}} | {{op:Anzahl| A |}} }} \cdot {{Prozent}} |SZ=}} in Prozent|
|ISZ=|ESZ=
}} 
beschreibt die Größe von {{math|term= B |SZ=}} in Bezug auf {{math|term= A |SZ=.}} Beispielsweise kann das Vermögen einer Person {{math|term= 30 {{Prozent}} |SZ=}} des Vermögens einer anderen Person betragen. Wenn man die Verhältnisgröße umgekehrt wissen möchte, also die Größe von {{math|term= A |SZ=}} in Bezug auf {{math|term= B |SZ=,}} so muss man den inversen Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch| {{op:Anzahl| A |}} | {{op:Anzahl| B |}} }} |SZ=}} berechnen. Um aus der ersten Prozentangabe die neue Prozentangabe zu erhalten, muss man invertieren und mit 10000 multiplizieren (!), also
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| 1 | 30}}  \cdot 10000
|| {{op:Bruch| 10000| 30}} 
|| {{op:Bruch| 1000| 3}} 
|| 333,33
||
|SZ=
}}
Prozent. Die zweite Person hat also {{mathl|term= 333,33 |SZ=}} Prozent des Vermögens der ersten Person.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Prozentrechnung
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>jkbgpugqw7ly87spdw5l0mbjm3lbwt0</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="761" sha1="bz7xg3mqrf2l0xe8iu1zblusowz1tp2" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Zeige{{n Sie}}, dass jede
{{
Definitionslink
|rationale Zahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
Relationskette
|z
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
eine eindeutige Darstellung der Form
{{
Relationskette/display
|z
|| \pm \prod_p p^{{{op:pexp| z |}} }
||
||
||
|SZ=
}}
besitzt, wobei das 
{{
Zusatz/Klammer
|text=endliche|
|ISZ=|ESZ=
}}
Produkt sich über
{{
Definitionslink
|Primzahlen|
|Kontext=|
|SZ=
}}
erstreckt und die Exponenten
{{
Relationskette
| {{op:pexp| z |}} 
| \in | \Z
||
||
||
|SZ=
}} 
sind.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Bruchdarstellung rationaler Zahlen
|Kategorie2=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=6
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Polynomring/Körper/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Polynomring/Körper/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="45" sha1="6ztubdtqi67mixu66h0q12pt5iuyeqm" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|26|4|Kurs=|}}</text>
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    </revision>
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    <title>Mechanisches System/Zwei Graphen/Aufgabe</title>
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      <timestamp>2026-07-17T06:37:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="789" sha1="pq20fjindw80ndgg6x2kxrq33a9pigc" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien
{{
Relationskette
| H_1,H_2 
| \in | K[X]
||
||
||
|SZ=
}}
Polynome in einer Variablen und
{{
Relationskette
| C_1
|| V(Y-H_1)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| C_2
|| V(Y-H_2)
||
||
||
|SZ=
}}
die zugehörigen 
{{
Definitionslink
|Graphen|
|Kontext=Abbildung|
|SZ=
}}
im {{mathl|term= {{op:Affine Ebene| K |}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man das zugehörige 
{{
Definitionslink
|mechanische System|
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=zu einem bestimmten Abstand {{math|term= d |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
mit zwei Variablen beschreiben kann.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der mechanisch definierten algebraischen Kurven
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
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      <id>1107594</id>
      <parentid>542761</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:47:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <timestamp>2026-07-16T17:48:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="45" sha1="q4gsfvum4hw7krdzse098edrc6a7vvq" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|30|3|Kurs=|}}</text>
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  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorlesung 6</title>
    <ns>106</ns>
    <id>95634</id>
    <revision>
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      <timestamp>2026-07-17T06:41:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107619</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5398" sha1="9rnyco1n1qdnpeoeceqkz1nqq49zpvd" xml:space="preserve">{{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorlesungsgestaltung|6|

{{Seitenüberschrift|Prädikatenlogik}}

Mit der Aussagenlogik kann man keine gehaltvollen mathematischen Aussagen behandeln. Beispielsweise fehlt in ihr das Gleichheitszeichen, und man kann nicht über Variablen, die sich auf eine Grundmenge beziehen, quantifizieren, man kann keine Terme bilden und Funktionen auswerten. Dies führt zur Prädikatenlogik, der wir uns nun zuwenden, und mit der man einen Großteil der
{{
Zusatz/Klammer
|text=in einem gewissen Sinn die ganze|
|ISZ=|ESZ=
}}
Mathematik ausdrücken kann. Von der mathematischen Praxis her ist sie aber immer noch recht restriktiv. Wir erinnern kurz an den Abbildungsbegriff und den Relationsbegriff der Mathematik und setzen eine naive Mengenlehre und die natürlichen Zahlen {{Anführung|zum Zählen|}} voraus.

{{
inputdefinition
|Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Produktmenge/Zwei Mengen/Definition||
}}
Für uns ist insbesondere das {{math|term= n|SZ=-}}fache Produkt einer Menge {{math|term= M|SZ=}} mit sich selbst, also
{{
Relationskette/display
|M^n
||M \times M {{timesdots|}} M
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit {{math|term= n|SZ=}} Faktoren|
|ISZ=|ESZ=
}}
wichtig.

{{
inputdefinition
|Theorie der Abbildungen/n-stellige Funktion/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Mengentheorie/Relation auf einer Menge/n-stellig/Definition||
}}
Eine {{math|term= n|SZ=-}}stellige Funktion kann auch als eine {{math|term=(n+1)|SZ=-}}stellige Relation aufgefasst werden, bei der es zu jedem {{math|term= n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term=(x_1 {{kommadots|}} x_n)|SZ=}} genau ein {{mathl|term= x_{n+1}|SZ=}} derart gibt, dass {{mathl|term=(x_1 {{kommadots|}} x_n,x_{n+1})|SZ=}} zur Relation gehört. Dieses {{mathl|term= x_{n+1}|SZ=}} ist dann der Funktionswert der zugehörigen Funktion an der Stelle {{mathl|term=(x_1 {{kommadots|}} x_n)|SZ=.}}

{{Zwischenüberschrift|Terme}}

{{:Zahlen/Terme/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{Zusatz/Fußnote|text=Zwei Mengen
{{
mathkor|term1=
L
|und|term2=
M
|SZ=
}}
heißen {{Definitionswort|disjunkt|SZ=,}} wenn ihr Durchschnitt {{mathl|term= L \cap M= \emptyset|SZ=}} ist.}}  }}

Wir erklären noch, was die {{Stichwort|Variablenmenge eines Terms|SZ=}} ist. Diese ist stets eine Teilmenge der Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} und enthält diejenigen Variablen, die in dem Term irgendwo vorkommen. Die rekursive Definition lautet folgendermaßen.
{{
Aufzählung3
|Wenn
{{
Relationskette
|t
||x
||
||
||
|SZ=
}}
eine Variable ist, so ist
{{
Relationskette
| \operatorname{Var} (x) 
||\{x\}
||
||
||
|SZ=.
}}
|Wenn
{{
Relationskette
|t
||c
||
||
||
|SZ=
}}
eine Konstante ist, so ist
{{
Relationskette
| \operatorname{Var} (c)
||\emptyset 
||
||
||
|SZ=.
}}
|Wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol ist und wenn {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_n |SZ=}} Terme sind, so ist
{{
Relationskette
| \operatorname{Var} (f t_1 {{kommadots|}} t_n)
|| \operatorname{Var} (t_1) {{cupdots}} \operatorname{Var} (t_n) 
||
||
||
|SZ=.
}}
}}

{{
inputbild
|Uni Freiburg - Philosophen 4|jpg|180px {{!}} right {{!}} 
|Zusname=Uni_Freiburg_-_Philosophen_4
|Text=[[w:Aristoteles|Aristoteles {{
Zusatz/Klammer
|text=384-322 v.C.|
|ISZ=|ESZ=
}}]]
gilt als Erfinder der Prädikatenlogik. Er verwendet in seiner Analytik Variablen, einstellige Prädikate, Quantoren und die logischen Junktoren.
|Autor=Cipri Adolf Bermann
|Benutzer=Michael Sch.
|Domäne=
|Lizenz=CC-BY-SA-2.5 
|Bemerkung=
}}
Nachdem wir die Terme zur Verfügung haben, fahren mit dem syntaktischen Aufbau der Ausdrücke in der Prädikatenlogik 
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit Identität|
|ISZ=|ESZ=
}}
fort. Um den Aufbau dieser formalen Sprache zu motivieren und das Verständnis der zunächst rein formalen Ausdrücke zu erleichtern, ist es hilfreich, an Bildungsweisen von mathematischen Aussagen zu erinnern. Der konsequente Aufbau der Syntax und der Semantik folgt in der nächsten Vorlesung.

{{Zwischenüberschrift|Relationen}}

Ein Term kann weder wahr noch falsch sein, und zwar unabhängig davon, ob man ihn einfach als ein nach gewissen formalen Regeln aufgebautes Symbolwort auffasst oder ihn in einer bestimmten Menge 
{{
Zusatz/Klammer
|text=etwa den natürlichen Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
interpretiert. Wahr oder falsch können nur Aussagen sein. Wichtig sind für uns zunächst die formalen Eigenschaften einer Aussage. In mathematischen Aussagen kommen häufig Terme zusammen mit einem Vergleichssymbol vor, z. B. in der
{{
Zusatz/Klammer
|text=wahren|
|ISZ=|ESZ=
}}
Gleichung
{{
Relationskette/display
| 2 \cdot (2+3)
|| 10
||
||
||
|SZ=
}}
oder der
{{
Zusatz/Klammer
|text=falschen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Abschätzung
{{
Relationskette/display
| 2 \cdot (2+3)
|&lt;| 10
||
||
||
|SZ=.
}}
Mit zwei Termen und dem Gleichheitszeichen oder Kleinerzeichen gelangt man also zu Aussagen, man spricht von zweistelligen Relationen
{{
Zusatz/Klammer
|text=in Logik und Grammatik auch von zweistelligen Prädikaten|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Der Wahrheitsgehalt hängt dabei von den zwei Eingaben ab. 

{{:Relationen/Prädikatenlogik/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Quantoren}}

{{:Prädikatenlogik/Quantoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Junktoren}}

{{:Prädikatenlogik/Junktoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>9rnyco1n1qdnpeoeceqkz1nqq49zpvd</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 43</title>
    <ns>106</ns>
    <id>96034</id>
    <revision>
      <id>1107614</id>
      <parentid>1069936</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:39:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107614</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3876" sha1="9kfsr50r0pmnvhj1ym70hzdo5aqzmdz" xml:space="preserve">{{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|43|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomring in drei Variablen/Über Q/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|KXY/(X,Y)/Kein Hauptideal/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation
{{
Zusatz/Klammer
|text=Koordinatentransformation|
|ISZ=|ESZ=
}}
und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.
{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.
{{
inputaufgabe
|Ellipse/Brennpunkte zentriert/Quadratische Gleichung/Hauptachsen/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=Tipp: Führe{{n Sie}} die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo
{{
Relationskette
|Q_1
||(e,0)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|Q_2
||(-e,0)
||
||
||
|SZ=.
}}
}}

Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die nichtkonstanten Koeffizienten nur den Wert {{mathl|term=0,1,-1|SZ=}} haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen
{{
Zusatz/Klammer
|text=wobei aber die Orthogonalität verloren geht|
|ISZ=|ESZ=.
}}
{{
inputaufgabe
|Quadratische Form/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Bild/Zylinder/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Graph und Rotationsfläche/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Minkowski-Raum/Form ist 1/Zusammenhang/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Minkowski-Raum/Form ist 1/Einschränkung auf Beobachterraum/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbild
|Cusp|png| 250px {{!}} right {{!}} 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Satipatthana
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputaufgabe
|Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbare Kurve/Neilsche Parabel/Minimaler Abstand zu (1,0)/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomiale ebene Kurven/(t^3-1,t^2-1)/Kurvengleichung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Parabel/Rotationskörper um Abszisse/Keine Quadrik/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Hermitesche Form/Determinante/Reell/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Hermitesche Form/Charakteristisches Polynom/Reell/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Homogene Polynome/Bis zu drei Variablen/Wie viele Monome/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ebene_algebraische_Kurven/Kreisgleichung/Punkte_über_endlichen_Körpern/K_ist_F_2,_F_3,_F_5,_F_7/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/1/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kegelschnitt/Affine Ebene/Ist quadratisches Polynom/Realisierung aus Liste/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/2/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>9kfsr50r0pmnvhj1ym70hzdo5aqzmdz</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Algebraische Kurven/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>96686</id>
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      <id>1107582</id>
      <parentid>541818</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:38:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>541818</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="78" sha1="cue8jiywv1lvzu8jazvyiz072rx6r35" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs={{Algebraische Kurven/Standardkurs}}|}}</text>
      <sha1>cue8jiywv1lvzu8jazvyiz072rx6r35</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Algebraische Kurven/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Heidi Gonzales/Heidelbeeren/Aufgabe</title>
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      <text bytes="758" sha1="cswcbc99fyvjnh3h3q8zxfonjyqob0h" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit
{{
Zusatz/Klammer
|text=16 Stunden pro Tag|
|ISZ=|ESZ=
}}
zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei {{mathl|term= 2000 |SZ=}} kcal und {{math|term= 100 |SZ=}} Gramm Heidelbeeren enthalten {{math|term= 42 |SZ=}} kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt {{math|term= 1,5 |SZ=}} Gramm. In welchem Zeitabstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Personenkategorie=Heidi Gonzales
|Stichwort=
|Punkte=3
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Satz von Rouché</title>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Anwendung */</comment>
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      <text bytes="4589" sha1="gc3hf8usefrbpkc47slowb0b9it5936" xml:space="preserve">Der Satz von Rouché ist eine Aussage über die Lage von Nullstellen holomorpher Funktionen, der häufig angewandt werden kann, um Abschätzungen für Nullstellen zu gewinnen. 

==Aussage==
Es sei &lt;math&gt;U \subseteq \mathbb C&lt;/math&gt; offen, es sei &lt;math&gt;\Gamma&lt;/math&gt; ein [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zykel]] in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, der [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]] in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist und jeden
Punkt in seinem Innengebiet genau einmal umläuft, d.&amp;thinsp;h. es ist &lt;math&gt;n(\Gamma,z) \in \{0,1\}&lt;/math&gt; für jedes &lt;math&gt;z \in U&lt;/math&gt;. Seien weiter &lt;math&gt;f,g \colon U \to \mathbb C&lt;/math&gt; [[Holomorphie|holomorphe]] Funktionen, 
so dass 
&lt;center&gt;&lt;math&gt; |f(z) - g(z)| &lt; |f(z)|, \qquad z \in \mathrm{spur}(\Gamma) &lt;/math&gt;&lt;/center&gt;
gilt. Dann haben &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;I_{\Gamma} = \{z \in \mathbb C: n(\Gamma, z) = 1\}&lt;/math&gt; gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt).

==Beweis==
Betrachte für jedes &lt;math&gt;\lambda \in [0,1]&lt;/math&gt; die Funktion &lt;math&gt;f_\lambda := (1-\lambda)f + \lambda g = f + \lambda(g-f)&lt;/math&gt;. Wegen 
:&lt;math&gt;|\lambda(g(z)-f(z))| = |\lambda||g(z)-f(z)| &lt; |f(z)|, \qquad z \in \mathrm{spur}(\Gamma) &lt;/math&gt;
hat &lt;math&gt;f_\lambda&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;\mathrm{spur}(\Gamma)&lt;/math&gt; keine Nullstellen. Da &lt;math&gt;f_\lambda&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;I_\Gamma&lt;/math&gt; holomorph ist, folgt mit dem [[Kurs:Funktionentheorie/Null- und Polstellen zählendes Integral|Nullstellen zählenden Integral]], dass die Anzahl der Nullstellen von &lt;math&gt;f_\lambda&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;I_\Gamma&lt;/math&gt; gerade 
:&lt;math&gt; \frac 1{2\pi i}\int_\Gamma  \frac{f_\lambda'(z)}{f_\lambda(z)}\, dz = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{(1-\lambda)f'(z) + \lambda g'(z)}{(1-\lambda)f(z) + \lambda g(z)} \, dz &lt;/math&gt;:
ist, also stetig von &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; abhängt. Eine stetige &lt;math&gt;\mathbb Z&lt;/math&gt;-wertige Funktion auf &lt;math&gt;[0,1]&lt;/math&gt; ist aber konstant, also haben &lt;math&gt;f_0 = f&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_1 = g&lt;/math&gt; gleich viele Nullstellen in &lt;math&gt;I_\Gamma&lt;/math&gt;.

==Anwendung==
Eine Anwendung des Satzes von Rouché ist ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra: Sei &lt;math&gt;p(z) = \sum_{k=0}^n a_kz^k \in \mathbb C[z]&lt;/math&gt; ein Polynom mit &lt;math&gt;n &gt; 0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;a_n \ne 0&lt;/math&gt;, die Idee des Beweises ist es, &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q(z) = a_n z^n&lt;/math&gt; zu vergleichen (von &lt;math&gt;q&lt;/math&gt; kennen wir die Anzahl der Nullstellen). Es ist 
:&lt;math&gt;|p(z) - q(z)| = \left|\sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k\right| \le \sum_{k=0}^{n-1} |a_k||z|^k &lt; |a_n||z^n| = |q(z)|&lt;/math&gt;
mit &lt;math&gt; |z| \ge R&lt;/math&gt; und ein hinreichend großes &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;. Also haben &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;q&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;D_R(0)&lt;/math&gt; gleich viele Nullstellen, nämlich &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - ganze Funktionen ===
Bei einer ganzen Funktion (wie Polynomen) gibt es keine Polstellen und man den Weg über einen Kreisrand mit &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; beliebig groß machen (wegen ganzer Funktion). Ab einer Schranke des Radius &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; dominiert der Koeffizient &lt;math&gt;a_n&lt;/math&gt; betragsmäßig den Funktionswert von anderen Polynomen mit kleinerem Grad. Im Beispiel ist das der Grad &lt;math&gt;(n-1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Kurs:Funktionentheorie/Null- und Polstellen zählendes Integral|Nullstellen zählenden Integral]]
* [[Konvexkombination]]

== Seiteninformation ==
Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Satz_von_Rouch%C3%A9&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
* Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten:
** [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9 https://de.wikiversity.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9]
--&gt;
* [https://de.wikiversity.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt.
* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Satz_von_Rouch%C3%A9&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;

[[Category:Wiki2Reveal]]
&lt;noinclude&gt;
[[en:Rouché's theorem]]
&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Oma Müller/Viele Kekse/Division mit Rest/Aufgabe</title>
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      <text bytes="613" sha1="tgoymxed6alyrsaj5886wp2ovkq1pwa" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Oma Müller hat {{mathl|term= 13581|SZ=}} Kekse gebacken, die ihr Enkel Mustafa an der Haseigelschule unter den insgesamt {{math|term= 187|SZ=}} Schülern und Schülerinnen gerecht verteilen soll, den Rest bekommt Frau Maier-Sengupta. Wie viele Kekse bekommt jedes Kind und wie viele Kekse bekommt Frau Maier-Sengupta?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Division mit Rest (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=Haseigelschule
|Personenkategorie=Mustafa Müller
|Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Natürliche Zahl/Zehnersystem/Nachfolger/Algorithmus/Bemerkung</title>
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      <text bytes="1962" sha1="s38adbzd97q8o82y4z47bi111p120aj" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Das Dezimalsystem im Sinne eines Zählsystems, das die
{{
Definitionslink
|Dedekind-Peano-Axiome|
|Kontext=|
|SZ=
}}
erfüllt, hat erstmal nichts mit Summe, Produkt, Potenzen zu tun, sondern ist allein durch die folgende Struktur
{{
Zusatz/Klammer
|text=Menge mit Zählvorschrift|
|ISZ=|ESZ=
}}
gegeben. Die Elemente sind von der Form
{{
Math/display|term=
a_\ell a_{\ell-1} \ldots a_2 a_1 a_0
|SZ=,
}}
also einfach endliche geordnete Tupel von Ziffern
{{
Zusatz/Klammer
|text=Ziffernfolgen|
|ISZ=|ESZ=
}}
aus der Menge {{mathl|term= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} |SZ=.}} Dabei ist {{math|term= 0 |SZ=}} das Startelement. Der Zählvorgang wird durch den folgenden dezimalen {{Stichwort|Zähl-Algorithmus|SZ=}} beschrieben. 
{{
Aufzählung3
|Für einstellige Ziffern {{math|term= \neq 9 |SZ=}}  ist der Nachfolger gemäß der Reihenfolge {{mathl|term= \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} |SZ=}} festgelegt
{{
Zusatz/Klammer
|text=dies ist das {{Stichwort|kleine Einsnacheins|msw=Kleines Einsnacheins|SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer letzten Ziffer {{math|term= \neq 9 |SZ=}} ist der Nachfolger diejenige Ziffernfolge, bei der die letzte Ziffer durch ihren Nachfolger ersetzt wird und alle anderen Ziffern unverändert übernommen werden.
|Für beliebige Zahlen im Zehnersystem mit einer Neun als letzter Ziffer sind sämtliche zusammenhängenden Neunen von hinten durch Nullen zu ersetzen und die von hinten erste, von {{math|term= 9 |SZ=}} verschiedene Ziffer durch ihren Nachfolger zu ersetzen, die übrigen Ziffern bleiben gleich
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn die Zahl ausschließlich aus Neunen besteht, ist dies so zu verstehen, dass man sich davor eine {{math|term= 0 |SZ=}} dazudenkt|
|ISZ=|ESZ=.
}}
}}
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Algorithmus/Korrektheit/Invarianzprinzip/Bemerkung</title>
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      <contributor>
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Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Von der Beschreibung eines Algorithmus, d.h. der präzisen Festlegung der einzelnen auszuführenden Rechenschritte, ist die Begrün{{drucktrenn}}dung für die Korrektheit des Algorithmus zu unterscheiden. Mit Korrektheit meint man, dass der Algorithmus wirklich das leistet, was er verspricht, also dass beispielsweise das schriftliche Additionsverfahren wirklich die beiden Zahlen addiert. Für diesen Nachweis braucht man einen mathematischen Beweis, der sowohl auf die zu berechnende mathematische Struktur
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Addition|
|ISZ=|ESZ=
}}
als auch auf die Festlegungen des Algorithmus Bezug nimmt. 

Ein wichtiger Aspekt bei vielen Algorithmen, der bei einem solchen Beweis hilft, ist ein {{Stichwort|Invarianzprinzip|SZ=.}} Bei einem Algorithmus werden typischerweise mehrere Zwischenergebnisse berechnet und weiterverarbeitet. Insbesondere bei rekursiven Definitionen und bei der maschinellen Durchführung werden Zwischenergebnisse auch überschrieben. Dennoch ist zu jedem Zeitpunkt des Ablaufes die volle Information in einer bestimmten Weise in den Zwischenergebnissen repräsentiert. Wenn man beispielsweise zwei zehnstellige Zahlen schriftlich addiert, und die hinteren fünf Endziffern der Summe und den letzten Übertrag schon berechnet hat, so kann man die hinteren Endziffern der Summanden vergessen. Die Information, was berechnet werden soll, steckt vollständig
{{
Zusatz/Klammer
|text=invariant|
|ISZ=|ESZ=
}}
in den vorderen Ziffern der Summanden, den hinteren Ziffern der Summe und dem einen Übertrag drin.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Prinzipien der Mathematik
|Kategorie2=Theorie der Algorithmen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Ganze Zahlen/Dedekind-Peano-Axiome/Aufgabe</title>
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      <contributor>
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      </contributor>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Zeige{{n Sie}}, dass zu jeder ganzen Zahl {{math|term= a|SZ=}} sowohl die Menge {{math|term= \Z_{\geq a}|SZ=}} mit der Nachfolgerabbildung als auch die Menge {{math|term= \Z_{\leq a}|SZ=}} mit der Vorgängerabbildung die
{{
Definitionslink
|Dedekind-Peano-Axiome|
|Kontext=|
|SZ=
}}
erfüllen.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen
|Kategorie2=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt</title>
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Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}
|Text=
{{
Faktstruktur|typ=
|Situation=
Die 
{{
Definitionslink
|Nachfolgerabbildung|
|Kontext=Z|
|SZ=
}}
{{
Abbildung
|name=N
|\Z|\Z
||
|SZ=
}}
besitzt die folgenden Eigenschaften.
|Voraussetzung=

|Übergang=
|Folgerung=
{{
Aufzählung4
|Die Nachfolgerabbildung stimmt auf {{math|term= \N|SZ=}} mit der dortigen Nachfolgerabbildung überein.
|Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv. 
{{
Zusatz/Klammer
|text=Die Umkehrabbildung wird als {{Stichwort|Vorgängerabbildung|msw=Vorgängerabbildung (Z) |SZ=}} {{math|term= V |SZ=}} bezeichnet.|
|ISZ=|ESZ=
}}
|Es ist
{{
Relationskette
|N(-a)
|| -V(a)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|V(-b)
|| -N(b)
||
||
||
|SZ=
}}
für
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \N_+ 
||
||
||
|SZ=.
}}
|Jede ganze Zahl lässt sich ausgehend von {{math|term= 0 |SZ=}} durch eine Iteration der Nachfolgerabbildung oder eine Iteration der Vorgängerabbildung erreichen.
}}
|Zusatz=
}}
|Textart=Fakt 
|Kategorie=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Faktname=
|Abfrage=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Ganze Zahlen/Negation/Definition</title>
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Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}}
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Unter der
{{
Definitionswort
|Negation|
|msw=
|SZ=
}} 
auf der Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} versteht man die 
{{
Definitionslink
|Abbildung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
Abbildung
|name= -
|\Z|\Z
||
|SZ=,
}}
die durch
{{
Relationskette/display
| - (x)
| {{defeq}} |  \begin{cases} -a , \text{ falls } x {{=|}} a \in \N\, ,\\   b,  \text{ falls } x {{=|}} -b \text{ mit } b \in \N_+  \, ,\end{cases}
||
||
||
|SZ=
}}
gegeben ist.
|Textart=Definition
|Kategorie=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=   
|Definitionswort=Negation ({{math|term=\Z|SZ=}})
|Definitionswort2=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>ljs6drugf2dchjgcjcfz112d7io4npb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Nachfolger/Negation/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>103314</id>
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      <timestamp>2026-07-17T06:51:30Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107625</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5309" sha1="5pftygpqal5zk7ki2mrlirqik4l1ahu" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition||
}}

Diese Definition hat den Vorteil, dass sie direkt ist und ohne mengentheoretische Überlegungen{{{zusatz1|}}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=Äquivalenzrelationen|
|ISZ=|ESZ=
}}
auskommt. Jede ganze Zahl gehört unmittelbar zu genau einem der drei Typen
{{
Zusatz/Klammer
|text=positiv, {{math|term= 0 |SZ=}} , negativ|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Der Nachteil ist, dass die Verknüpfungen darauf, nämlich die Addition und die Multiplikation, die die gleichnamigen Verknüpfungen auf den natürlichen Zahlen fortsetzen sollen, nicht unmittelbar ersichtlich sind, sondern auf eine Weise festgelegt werden müssen, die zumindest auf den ersten Blick etwas willkürlich aussehen mag. Zugleich ist der Nachweis der Gesetzmäßigkeiten, wie beispielsweise das Assoziativgesetz, recht aufwändig, da man alle Kombinationen der möglichen Fälle untersuchen muss.

Das Minuszeichen {{math|term= -|SZ=}} kommt in dieser Definition nur im Sinne einer Bezeichnung vor, es ist Teil eines Namens
{{
Zusatz/Klammer
|text=das {{Stichwort|Vorzeichen|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
für eine neue Zahl. Das Minuszeichen wird bald unterschiedliche Funktionen übernehmen, die man konzeptionell auseinanderhalten muss, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Minuszeichen/Rolle/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

{{
inputbemerkung
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Bezeichnungssysteme/Zahlengerade/Bemerkung||
}}

Wie verhalten sich die ganzen Zahlen bezüglich der Zählvorstellung
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne der Nachfolgerabbildung|
|ISZ=|ESZ=
}}
für die natürlichen Zahlen, die wir {{{zusatz2|}}} kennengelernt haben? Die richtige Vorstellung ergibt sich, wenn man die Nachfolgerabbildung auf {{math|term= \Z|SZ=}} fortsetzt, und dabei gemäß der in
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Bezeichnungssysteme/Zahlengerade/Bemerkung
|Nr=
|SZ=
}}
schon verwendeten Reihenfolge vorgeht
{{
Zusatz/Klammer
|text=dort wurde die Nachfolgerabbildung durch die gewählte Anordnung schon vorweggenommen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Wenn man auf dem Zahlenstrahl ist, so erhält man den Nachfolger in {{math|term= \N |SZ=,}} indem man einen Schritt
{{
Zusatz/Klammer
|text=einer fixierten einheitlichen Länge|
|ISZ=|ESZ=
}}
nach rechts macht. Diese Interpretation des Nachfolgers lässt sich unmittelbar auf die Zahlengerade fortsetzen, der Nachfolger ist und bleibt der Schritt nach rechts
{{
Zusatz/Klammer
|text={{Stichwort|Permanenzprinzip|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Die algebraische Definition sieht folgendermaßen aus.
{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition||
}}
In dieser Definition wird also Bezug auf die Nachfolgerabbildung in {{math|term= \N|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=also {{math|term= +1 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
und die Vorgängerabbildung {{
Abbildung
|name=V
|\N_+|\N
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=also {{math|term= -1 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
Bezug genommen.

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
||
}}

Die Bijektivität der Nachfolgerabbildung bedeutet insbesondere, dass die Nachfolgergleichung
{{
Relationskette
|N(x)
||z
||
||
||
|SZ=
}}
für jedes
{{
Relationskette
| z
| \in| \Z
||
||
||
|SZ=
}} 
eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich den Vorgänger von {{math|term= z |SZ=.}} Durch diese Zielsetzung kann man auch die ganzen Zahlen einführen. Man möchte für die {{math|term= 0 |SZ=}} einen Vorgänger haben
{{
Zusatz/Klammer
|text=den es innerhalb der natürlichen Zahlen nicht gibt|
|ISZ=|ESZ=,
}}
und diesen nennt man {{math|term= V(0) |SZ=.}} Für diese neue Zahl möchte man wieder einen Vorgänger haben, diesen nennt man {{mathl|term= V(V(0)) |SZ=,}} davon möchte man wieder einen Vorgänger {{mathl|term= V(V(V(0))) |SZ=}} haben, usw. Für den {{math|term= k |SZ=-}}fachen Vorgänger {{mathl|term= V^k(0) |SZ=}} schreibt man dann {{math|term= -k|SZ=.}} 

{{
inputbemerkung
|Ganze Zahlen/Zählen/Prozess und Gegenprozess/Bemerkung||
}}

{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Negation/Definition||
}}

Hier tritt das Minuszeichen in einer zweiten Bedeutung auf, als Funktionssymbol. Für
{{
Relationskette
| a
| \in| \N
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Relationskette
| -a
|| -a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. Vorzeichen und Funktionssymbol stimmen überein
{{
Zusatz/Klammer
|text=das ist der Grund, warum man das gleiche Symbol verwenden kann|
|ISZ=|ESZ=,
}}
für
{{
Relationskette
| b
| \in| \N
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Relationskette
| -(-b)
|| b
||
||
||
|SZ=,
}}
wobei das vordere Minuszeichen das Funktionssymbol und das hintere Minuszeichen das Vorzeichen ist. Ferner gilt
{{
Relationskette
| -(-x)
|| x
||
||
||
|SZ=
}}
für jedes
{{
Relationskette
| x
| \in| \Z
||
||
||
|SZ=,
}}
wobei hier das Minuszeichen zweimal das Funktionssymbol bezeichnet. Die Negation ist auf dem Zahlenstrahl die Spiegelung an der {{math|term= 0 |SZ=,}} sie macht aus einen Schritt nach rechts ein Schritt nach links
{{
Zusatz/Klammer
|text=und umgekehrt|
|ISZ=|ESZ=
}}
und vertauscht Guthaben und Schulden.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen
|Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen
|Kategorie3=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>5pftygpqal5zk7ki2mrlirqik4l1ahu</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107628</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5311" sha1="d6522fivsbvr2pojduycn6kqdkujjo7" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition||
}}

Diese Definition hat den Vorteil, dass sie direkt ist und ohne mengentheoretische Überlegungen{{{zusatz1|}}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=Äquivalenzrelationen|
|ISZ=|ESZ=
}}
auskommt. Jede ganze Zahl gehört unmittelbar zu genau einem der drei Typen
{{
Zusatz/Klammer
|text=positiv, {{math|term= 0 |SZ=}} , negativ|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Der Nachteil ist, dass die Verknüpfungen darauf, nämlich die Addition und die Multiplikation, die die gleichnamigen Verknüpfungen auf den natürlichen Zahlen fortsetzen sollen, nicht unmittelbar ersichtlich sind, sondern auf eine Weise festgelegt werden müssen, die zumindest auf den ersten Blick etwas willkürlich aussehen mag. Zugleich ist der Nachweis der Gesetzmäßigkeiten, wie beispielsweise das Assoziativgesetz, recht aufwändig, da man alle Kombinationen der möglichen Fälle untersuchen muss.

Das Minuszeichen {{math|term= -|SZ=}} kommt in dieser Definition nur im Sinne einer Bezeichnung vor, es ist Teil eines Namens
{{
Zusatz/Klammer
|text=das {{Stichwort|Vorzeichen|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
für eine neue Zahl. Das Minuszeichen wird bald unterschiedliche Funktionen übernehmen, die man konzeptionell auseinanderhalten muss, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Minuszeichen/Rolle/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

{{
inputbemerkung
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Bezeichnungssysteme/Zahlengerade/Bemerkung||
}}

Wie verhalten sich die ganzen Zahlen bezüglich der Zählvorstellung
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne der Nachfolgerabbildung|
|ISZ=|ESZ=
}}
für die natürlichen Zahlen, die wir {{{zusatz2|}}} kennengelernt haben? Die richtige Vorstellung ergibt sich, wenn man die Nachfolgerabbildung auf {{math|term= \Z|SZ=}} fortsetzt, und dabei gemäß der in
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Bezeichnungssysteme/Zahlengerade/Bemerkung
|Nr=
|SZ=
}}
schon verwendeten Reihenfolge vorgeht
{{
Zusatz/Klammer
|text=dort wurde die Nachfolgerabbildung durch die gewählte Anordnung schon vorweggenommen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Wenn man auf dem Zahlenstrahl ist, so erhält man den Nachfolger in {{math|term= \N |SZ=,}} indem man einen Schritt
{{
Zusatz/Klammer
|text=einer fixierten einheitlichen Länge|
|ISZ=|ESZ=
}}
nach rechts macht. Diese Interpretation des Nachfolgers lässt sich unmittelbar auf die Zahlengerade fortsetzen, der Nachfolger ist und bleibt der Schritt nach rechts
{{
Zusatz/Klammer
|text={{Stichwort|Permanenzprinzip|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Die algebraische Definition sieht folgendermaßen aus.
{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition||
}}
In dieser Definition wird also Bezug auf die Nachfolgerabbildung in {{math|term= \N|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=also {{math|term= +1 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
und die Vorgängerabbildung {{
Abbildung
|name=V
|\N_+|\N
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=also {{math|term= -1 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
Bezug genommen.

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
||
}}

Die Bijektivität der Nachfolgerabbildung bedeutet insbesondere, dass die Nachfolgergleichung
{{
Relationskette
|N(x)
||z
||
||
||
|SZ=
}}
für jedes
{{
Relationskette
| z
| \in| \Z
||
||
||
|SZ=
}} 
eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich den Vorgänger von {{math|term= z |SZ=.}} Durch diese Zielsetzung kann man auch die ganzen Zahlen einführen. Man möchte für die {{math|term= 0 |SZ=}} einen Vorgänger haben
{{
Zusatz/Klammer
|text=den es innerhalb der natürlichen Zahlen nicht gibt|
|ISZ=|ESZ=,
}}
und diesen nennt man {{math|term= V(0) |SZ=.}} Für diese neue Zahl möchte man wieder einen Vorgänger haben, diesen nennt man {{mathl|term= V(V(0)) |SZ=,}} davon möchte man wieder einen Vorgänger {{mathl|term= V(V(V(0))) |SZ=}} haben, usw. Für den {{math|term= k |SZ=-}}fachen Vorgänger {{mathl|term= V^k(0) |SZ=}} schreibt man dann {{math|term= -k|SZ=.}} 

{{
inputbemerkung
|Ganze Zahlen/Zählen/Prozess und Gegenprozess/Bemerkung||
}}

{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Negation/Definition||
}}

Hier tritt das Minuszeichen in einer zweiten Bedeutung auf, als Funktionssymbol. Für
{{
Relationskette
| a
| \in| \N
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Relationskette
| -a
|| -a
||
||
||
|SZ=,
}}
d.h. Vorzeichen und Funktionssymbol stimmen überein
{{
Zusatz/Klammer
|text=das ist der Grund, warum man das gleiche Symbol verwenden kann|
|ISZ=|ESZ=,
}}
für
{{
Relationskette
| b
| \in| \N
||
||
||
|SZ=
}}
ist
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Relationskette
| -(-b)
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||
||
||
|SZ=,
}}
wobei das vordere Minuszeichen das Funktionssymbol und das hintere Minuszeichen das Vorzeichen ist. Ferner gilt
{{
Relationskette
| -(-x)
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||
||
|SZ=
}}
für jedes
{{
Relationskette
| x
| \in| \Z
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||
||
|SZ=,
}}
wobei hier das Minuszeichen zweimal das Funktionssymbol bezeichnet. Die Negation ist auf dem Zahlenstrahl die Spiegelung an der {{math|term= 0 |SZ=,}} sie macht aus einen Schritt nach rechts einen Schritt nach links
{{
Zusatz/Klammer
|text=und umgekehrt|
|ISZ=|ESZ=
}}
und vertauscht Guthaben und Schulden.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Negation auf den ganzen Zahlen
|Kategorie2=Theorie der ganzen Zahlen
|Kategorie3=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen
|Objektkategorie=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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      <sha1>d6522fivsbvr2pojduycn6kqdkujjo7</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Addition/Einführung/Textabschnitt</title>
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    <id>103317</id>
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      <timestamp>2026-07-17T07:41:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107650</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1508" sha1="0b978rugsctj7drvuccish1t9ayneex" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition||
}}

{{
inputbemerkung
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Additionsvorstellung/Bemerkung||
}}

Mit der Addition kann man die Nachfolgerabbildung als Addition mit {{math|term= 1 |SZ=}} und die Vorgängerabbildung als Addition mit {{math|term= -1 |SZ=}} auffassen. Die Addition auf den ganzen Zahlen passt auch gut zu der Addition der natürlichen Zahlen, wenn man wie in der
{{
Definitionslink
|Definition|
|Kontext=|
|Definitionsseitenname=
Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition
|SZ=
}}
unter {{mathl|term= x+y |SZ=}} das Ergebnis versteht, das sich ergibt, wenn man von {{math|term= x |SZ=}} ausgehend den {{math|term= y |SZ=-}}fachen Nachfolger nimmt. Entsprechend stimmt {{mathl|term= x+a |SZ=}} mit dem {{math|term= a |SZ=-}}fachen Nachfolger von {{math|term= x |SZ=}} und {{mathl|term= x+(-b) |SZ=}} mit dem {{math|term= b |SZ=-}}fachen Vorgänger von {{math|term= x |SZ=}} überein
{{
Zusatz/Klammer
|text=dabei ist {{mathlk|term=x \in \Z|SZ=}} und {{mathlk|term=a,b \in \N|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}

{{
inputbemerkung
|Ganze Zahlen/Lösbarkeit der Additionsgleichung/Bemerkung||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Addition/Fakt|Lemma||
||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
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      <sha1>0b978rugsctj7drvuccish1t9ayneex</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Bezeichnungssysteme/Zahlengerade/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>103323</id>
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      <timestamp>2026-07-17T06:52:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107626</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2017" sha1="ceatdrgh6swbtk7uxw3jykoynn9llww" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=

Die negativen Zahlen kann man ausgehend von jedem Bezeichnungsystem für die natürlichen Zahlen bilden, die neuen Zahlen ergeben sich ja einfach aus den natürlichen Zahlen, indem man ein Minuszeichen davorsetzt.  Beispielsweise sind
{{
Aufzählung5
| {{
Math/display|term=
  ... , - {{|}} {{|}} {{|}}, - {{|}} {{|}} , - {{|}}  ,0, {{|}} , {{|}} {{|}} ,{{|}} {{|}} {{|}}  ... 
|SZ=.
}}
| {{
Math/display|term=
..., -NNN0, -NN0, -N0, 0,N0,NN0,NNN0,  ...
|SZ=.
}}
| {{
Math/display|term=
... ,\text{minus drei}, \text{minus zwei},  \text{minus eins},   \text{null}, \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei},  ...
|SZ=.
}}
| {{
Math/display|term=
... , -c,-b, -a,0, a,b,c, ... 
|SZ=.
}}
| {{
Math/display|term=
..., -3,-2,-1, 0,1,2,3,  ...
|SZ=
}}
}}
angedeutete Auflistungen für alle ganzen Zahlen.
{{
inputbild
|Integers-line|svg| 500px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=kismalac
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputbild
|SongkhaRekha|png| 500px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=TareqMahbub
|Domäne=
|Lizenz=gemeinfrei
|Bemerkung=
}}
Insbesondere kann man den Zahlenstrahl zu einer Zahlengeraden erweitern und links von der {{math|term= 0 |SZ=}} die negativen Zahlen {{math|term= -1,-2, ... |SZ=}} platzieren. Durch diese Anordnung entsteht eine Symmetrie am Nullpunkt, wobei die negative Zahl {{mathl|term= -a|SZ=}} der positiven Zahl {{math|term= a |SZ=}} gegenüber liegt. Diese Symmetrie gilt insbesondere auf der Zahlengeraden. Wenn man die ganzen Zahlen dynamisch als 
{{
Zusatz/Klammer
|text=gleichlange|
|ISZ=|ESZ=
}}
Schritte nach rechts bzw. nach links
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder nach vorne bzw. nach hinten oder nach oben bzw. nach unten|
|ISZ=|ESZ=
}}
interpretiert, so sehen die negativen Zahlen so {{Anführung|natürlich}} wie die positiven Zahlen aus.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>ceatdrgh6swbtk7uxw3jykoynn9llww</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ganze Zahlen/Nachfolger/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>103324</id>
    <revision>
      <id>1107539</id>
      <parentid>983269</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:38:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107539</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="838" sha1="t8sbbn3mod0xtyujx57bdqn02lit6zi" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Zeige{{n Sie}}, dass die 
{{
Definitionslink
|Nachfolgerabbildung|
|Kontext=Z|
|SZ=
}}
{{
Abbildung
|name= N
| \Z | \Z
||
|SZ=
}}
die folgenden Eigenschaften besitzt.
{{
Aufzählung4
|Die Nachfolgerabbildung stimmt auf {{math|term= \N |SZ=}} mit der dortigen Nachfolgerabbildung überein.
|Die Nachfolgerabbildung ist bijektiv. 
|Es ist
{{
Relationskette
|N(-a)
|| -V(a)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
|V(-b)
|| -N(b)
||
||
||
|SZ=
}}
für {{math|term= a,b \in \N_+ |SZ=.}} 
|Jede ganze Zahl lässt sich ausgehend von {{math|term= 0|SZ=}} durch eine Iteration der Nachfolgerabbildung oder eine Iteration der Vorgängerabbildung erreichen.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>t8sbbn3mod0xtyujx57bdqn02lit6zi</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>MDLUL/Nachfolgerabbildung (Z)</title>
    <ns>0</ns>
    <id>103327</id>
    <revision>
      <id>1107538</id>
      <parentid>572169</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:37:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[MDLUL/Nachfolgerabbilung (Z)]] nach [[MDLUL/Nachfolgerabbildung (Z)]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>572169</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="106" sha1="kvcr3tu33ybfgcslb2fo2o8j0krqfuk" xml:space="preserve">{{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Nachfolgerabbilung (Z)|Anf=Na|
|Siehe=
|Ziel=Ganze Zahlen/Nachfolger/Definition
}}</text>
      <sha1>kvcr3tu33ybfgcslb2fo2o8j0krqfuk</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Z/Teilbarkeitsbeziehung/Ordnungseigenschaften/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>103510</id>
    <revision>
      <id>1107548</id>
      <parentid>787539</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:47:10Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107548</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="313" sha1="8xnwzxgsvive5ewqn17cks50pm8f0ws" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Welche Ordnungseigenschaften erfüllt die Teilbarkeitsbeziehung auf {{math|term= \Z |SZ=,}} welche nicht?
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Teilbarkeitstheorie (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=2
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>8xnwzxgsvive5ewqn17cks50pm8f0ws</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt/Beweis</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107729</origin>
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      <text bytes="658" sha1="4u95gr9e8jopa86sps0axwn1rghtw85" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Dass es ganze Zahlen {{mathl|term= a,b|SZ=}} mit
{{
Relationskette/display
|a
| \leq | x
| &lt; | b
||
||
|SZ=
}}
gibt, folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Archimedisch angeordneter Körper/Ganze Zahl von unten/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
gibt, findet man auch die zu {{math|term= x |SZ=}} nächstliegenden ganzen Zahlen.
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>4u95gr9e8jopa86sps0axwn1rghtw85</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Ganze Zahlen/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
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    <revision>
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      <timestamp>2026-07-17T11:03:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107725</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1792" sha1="owui0xioj24u7zizlmwhgr7m5eamgui" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputfaktbeweis
|Rationale Zahlen/Archimedes-Axiom/Fakt|Lemma||
||
}}

Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper
{{
Zusatz/Klammer
|text=und jeder angeordnete Ring {{math|term= \neq 0 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} enthält.
{{
inputdefinition
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition||
}}

Gemäß
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Rationale Zahlen/Archimedes-Axiom/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Archimedisch angeordneter Körper/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist.  Da die Zahlengerade ein geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es  angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Polynomring/Angeordneter Körper/Anordnung auf Quotientenkörper/Nicht archimedisch angeordnet/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

{{
inputfaktbeweis
|Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt|Lemma||
||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen
|Kategorie2=Theorie der archimedisch angeordneten Körper
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>owui0xioj24u7zizlmwhgr7m5eamgui</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Invertierte Potenzfunktionen/Antiproportionaler Zusammenhang/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>103944</id>
    <revision>
      <id>1107735</id>
      <parentid>1103051</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:11:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107735</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2064" sha1="89gkjnz0nqutmawlt2q8m385jn5l58s" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
In einem Körper sind zu
{{
Relationskette/display
| x
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und einer negativen ganzen Zahl
{{
Relationskette/display
|n
|| -m
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| m
| \in| \N_+
||
||
||
|SZ=
}}
auch die Ausdrücke
{{
Relationskette/display
| x^n
|| {{makl| x^{-1} |}}^{m}
||
||
||
|SZ=
}}
sinnvoll definiert und ergeben sinnvolle Funktionen
{{
Abbildung/display
|name=
|K \setminus \{0\}|K \setminus \{0\}
| x| x^n
|SZ=,
}}
die man, wenn ein geordneter Körper vorliegt, ähnlich zu
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
auf das Monotonieverhalten hin untersuchen kann. Hierbei muss man hauptsächlich die Invertierungsfunktion
{{
Abbildung/display
|name=
|K \setminus \{0\}|K \setminus \{0\}
| x| x^{-1}
|SZ=,
}}
verstehen.

{{
inputbild
|Rectangular hyperbola|svg| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=Den Graphen der Invertierungsfunktion nennt man auch {{Stichwort|Hyperbel|SZ=.}} 
|Autor=
|Benutzer=Qef
|Domäne=
|Lizenz=gemeinfrei
|Bemerkung=
}}
{{
inputfaktbeweis
|Angeordneter Körper/Invertierungsfunktion/Monotonieverhalten/Fakt|Lemma||
||
}}
Obwohl die Invertierungsfunktion auf den beiden Abschnitten, auf denen sie definiert ist, streng fallend ist, ist sie insgesamt nicht streng fallend. Wenn zwischen zwei Größen die Beziehung
{{
Relationskette/display
| y
|| c x^{-1}
||
||
||
|SZ=
}}
mit einer Konstanten {{math|term= c |SZ=}} besteht, so spricht man von einem {{Stichwort|antiproportionalen Zusammenhang|msw=Antiproportionalität|SZ=}} oder einem {{Stichwort|reziproken Zusammenhang|msw=Reziproker Zusammenhang|SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Angeordneter Körper/Potenzierung/Negative Exponenten/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der Antiproportionalität
|Kategorie2=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper
|Kategorie3=Theorie der Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>89gkjnz0nqutmawlt2q8m385jn5l58s</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Folge/Unendliche Dezimalzahl/Motivation/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>104112</id>
    <revision>
      <id>1107754</id>
      <parentid>578856</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:50:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107754</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="954" sha1="a1495h9r5kze7d9rsur1euy4hygdazc" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Aus der Schule wissen wir, dass es neben den abbrechenden Kommazahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=den Dezimalbrüchen|
|ISZ=|ESZ=
}}
auch {{Anführung|unendliche Kommazahlen}} gibt, wobei dabei die Ziffernentwicklung wiederum periodisch oder nicht periodisch sein kann. Es ist eine echte Herausforderung, die mathematische Natur solcher Ausdrücke zu verstehen, und wir werden uns einen Großteil des zweiten Semesters damit beschäftigen. Auf den ersten Blick ist jedenfalls eine solche Zahl dadurch gegeben, dass jeder natürlichen Zahl, die eine Nachkommastelle bezeichnet, mehr oder weniger willkürlich eine Ziffer zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
9
|SZ=
}}
zugeordnet wird. Eine solche Zuordnung erfassen wir generell mit dem Konzept einer Folge.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Folgen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>a1495h9r5kze7d9rsur1euy4hygdazc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Prozentrechnung/Prozentrang/Bemerkung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>104181</id>
    <revision>
      <id>1107752</id>
      <parentid>1035729</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:47:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107752</origin>
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      <text bytes="1107" sha1="o5hsy6h953dnx5cqa4u3o32tptd3ef9" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche Menge und
{{
Abbildung
|name= f
| M | W
||
|SZ=
}} 
eine 
{{
Definitionslink
|Abbildung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
in eine geordnete Menge {{math|term= W |SZ=.}} Man denke an die Größenmessung eines bestimmten Personenkreises
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit Werten in {{math|term= \Q |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
oder die Benotung von Klausuren. Man sagt, dass
{{
Relationskette
| x
| \in | M
||
||
||
|SZ=
}} 
zu einem gewissen {{Stichwort|Prozentrang|SZ=}} gehört
{{
Zusatz/Klammer
|text=ausgedrückt mit einem Prozentwert {{math|term= n |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=,
}}
wenn höchstens {{math|term= n {{Prozent|}} |SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=}} den Wert von {{math|term= x |SZ=,}} also {{mathl|term= f(x) |SZ=,}} übertreffen. Im Größenbeispiel besteht der Prozentrang {{math|term= 10 {{Prozent|}} |SZ=}} aus allen Personen, die dem größten Zehntel der Bevölkerung angehören.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Prozentrechnung
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>o5hsy6h953dnx5cqa4u3o32tptd3ef9</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Holomorphe Funktion/Glatt/1-bestimmt/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>108236</id>
    <revision>
      <id>1107531</id>
      <parentid>1098204</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:03:47Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107531</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1080" sha1="3skk43gxjx1v8cnagspx209srwhfq3q" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
Abbildung
|name=f
| U | {{CC|}} 
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette
| 0
| \in | U
| \subseteq | {{CC|}}^n 
||
||
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|offen|
|Kontext=|
|SZ=,
}}
eine 
{{
Definitionslink
|holomorphe Funktion|
|Kontext=n|
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
|f(0)
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
{{
Aufzählung3
|{{math|term= 0 |SZ=}} ist ein
{{
Definitionslink
|regulärer Punkt|
|Kontext=C|
|SZ=
}}
von {{math|term= f |SZ=.}} 
|Das 
{{
Definitionslink
|Jacobiideal|
|Kontext=|
|SZ=
}}
zu {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= {\mathcal O}_n |SZ=}} ist das Einheitsideal.
| {{math|term= f|SZ=}} ist
{{
Definitionslink
|Prämath=1
|bestimmt|
|Kontext=endlich|
|SZ=
}}
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen
|Kategorie2=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen
|Kategorie3=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K)
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>3skk43gxjx1v8cnagspx209srwhfq3q</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Holomorphe Funktion/Eine Variable/r-bestimmt/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>108239</id>
    <revision>
      <id>1107530</id>
      <parentid>1098202</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:03:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107530</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1401" sha1="ta7zlxxdzkp0nfiqoqxcmo88poywohc" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
Abbildung
|name= f
| U | {{CC|}} 
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette
| 0
| \in | U
| \subseteq | {{CC|}}^1
||
||
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|offen|
|Kontext=|
|SZ=,
}}
eine 
{{
Definitionslink
|holomorphe Funktion|
|Kontext=n|
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| f(0)
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Charakterisierungen einer Zahl {{math|term= r |SZ=}} äquivalent sind.
{{
Aufzählung5
|{{math|term= 0 |SZ=}} ist eine {{math|term= r|SZ=-}}fache Nullstelle von {{math|term= f |SZ=.}} 
|Es ist
{{
Relationskette
| f
|| x^r h
||
||
||
|SZ=
}} 
mit {{math|term= h|SZ=}} nullstellenfrei im Nullpunkt.
|Das 
{{
Definitionslink
|Jacobiideal|
|Kontext=|
|SZ=
}}
zu {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= {\mathcal O}_1 |SZ=}} ist {{mathl|term= (x^{r-1}) |SZ=.}} 
|Die 
{{
Definitionslink
|Milnorzahl|
|Kontext=|
|SZ=
}}
zu {{math|term= f|SZ=}} im Nullpunkt ist {{math|term= r-1|SZ=.}}
| {{math|term= f|SZ=}} ist
{{
Definitionslink
|Prämath=r
|bestimmt|
|Kontext=endlich|
|SZ=,
}}
aber nicht {{math|term= (r-1)|SZ=-}}bestimmt.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen
|Kategorie2=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen
|Kategorie3=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K)
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>ta7zlxxdzkp0nfiqoqxcmo88poywohc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesung 8</title>
    <ns>106</ns>
    <id>114915</id>
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      <id>1107651</id>
      <parentid>1106805</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:42:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107651</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="6300" sha1="1ylin0v4g5wd1enxdx3ompr8x66ce8o" xml:space="preserve">{{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesungsgestaltung|8|

{{
inputbild
|Flickr - archer10 (Dennis) - Bolivia-91|jpg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=Als Alternative wurde über ein Vorlesungslama ...
|Autor=Dennis Jarvis 
|Benutzer=Matanya 
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 2.0
|Bemerkung=
}}

In dieser Vorlesung besprechen wir die Teilbarkeitsrelation innerhalb der natürlichen und der ganzen Zahlen genauer. Dies ist einerseits eine wichtige Ordnungsrelation, die darüber hinaus eng mit der additiven und der multiplikativen Struktur der ganzen Zahlen verbunden ist. Insbesondere werden wir die Untergruppen der ganzen Zahlen charakterisieren, was wiederum eine wichtige Voraussetzung für die Konstruktion von endlichen Ringen und Körpern in der zwölften Vorlesung ist, und wir werden die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in {{math|term= \Z |SZ=}} beweisen. Ferner führen die Überlegungen zum euklidischen Algorithmus.

{{Zwischenüberschrift|Das Lemma von Bézout}}

{{:Lemma von Bézout/Z/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&amp;nbsp;
{{
Zusatz/Klammer
|text=weiter unten|
|ISZ=|ESZ=
}}}} 

{{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term= \Z |SZ=}} }}

Die Division mit Rest für ganze Zahlen ist analog zur Polynomdivision.
{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
}}

Wie im eingangs gegebenen Beispiel kann man sich eine Menge {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} von ganzen Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=Eimergrößen|
|ISZ=|ESZ=
}}
vorgeben und sich fragen, welche Zahlen man daraus mit Hilfe von ganzzahligen Koeffizienten bilden kann
{{
Zusatz/Klammer
|text=welche Wassermengen man transportieren kann|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es geht also um die Menge aller Zahlen der Form
{{
Math/display|term=
 n_1a_1 {{plusdots|}} n_ka_k \text{ mit } n_j \in \Z
|SZ=.
}}
Diese Gesamtmenge bildet eine Untergruppe von {{math|term= \Z |SZ=,}} siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Z/Erzeuger/Untergruppe/Aufgabe
|Nr=
|SZ=,
}}
man spricht von der von den {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} {{Stichwort|erzeugten Untergruppe|msw=Erzeugte Untergruppe|SZ=}} von {{math|term= \Z |SZ=.}} Statt Eimern kann man sich auch eine Menge von ganzzahligen Pfeilen, die man hintereinanderlegen und umdrehen kann, vorstellen, oder eine vorgegebene Menge an Sprungmöglichkeiten, oder eine Menge an Gewichten. Der folgende Satz heißt auch {{Anführung|Ein-Eimer-Satz|SZ=.}}

{{
inputfaktbeweis
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt|Korollar||
}}

Dies besagt insbesondere, dass es stets einen größten gemeinsamen Teiler gibt. Im teilerfremden Fall bedeutet es, dass es eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=}} als ganzzahlige Linearkombination der {{math|term= a_i |SZ=}} gibt.

{{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}}

Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers als eine Linearkombination der
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
explizit zu finden.

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}}

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler}}

Zu einer ganzen Zahl {{math|term= a |SZ=}} besteht {{math|term= \Z a |SZ=}} aus allen Vielfachen von {{math|term= a |SZ=.}} Zu zwei Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} besteht somit der Durchschnitt {{mathl|term= \Z a \cap \Z b |SZ=}} aus allen Zahlen, die sowohl von {{math|term= a |SZ=}} als auch von {{math|term= b |SZ=}} Vielfache sind, also aus allen gemeinsamen Vielfachen von
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=.
}}
In der Tat gilt die folgende Aussage.

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
}}

Für ganze Zahlen setzen wird den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache stets positiv an, um Eindeutigkeit zu erzielen. Grundsätzlich hat jeweils das Negative dazu die gleichen Eigenschaften.
{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
}}

Der Teil (4) der vorstehenden Aussage erlaubt es, das kleinste gemeinsame Vielfache zu zwei Zahlen algorithmisch dadurch zu bestimmen, dass man ihren größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt und das Produkt durch diesen teilt.

{{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}}

Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits in
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man
{{
Relationskette/display
| 12
|| 3 \cdot 2 \cdot 2
|| 2 \cdot 3 \cdot 2
|| 2 \cdot 2 \cdot 3
||
|SZ=
}}  
schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf die Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt.
{{
inputfaktbeweis3
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
}}

Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2  {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an
{{
Zusatz/Klammer
|text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. 
{{
inputfaktbeweis3
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
}}

In der {{Stichwort|kanonischen Primfaktorzerlegung|msw=Kanonische Primfaktorzerlegung|SZ=}} schreibt man die beteiligten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge mit ihrem jeweiligen Exponenten, also beispielsweise
{{
Relationskette/display
| 840
|| 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7
||
||
||
|SZ=.
}}

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>1ylin0v4g5wd1enxdx3ompr8x66ce8o</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Liste der Hauptsätze</title>
    <ns>106</ns>
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      <timestamp>2026-07-17T07:08:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107638</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5474" sha1="ocvnt8jbq3hw6esj10oo6pvrhuwbbqs" xml:space="preserve">
{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma|
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
}}

{{
inputfaktklappe
|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graph/Wald/Ergänzung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebener Graph/Vier Farben/Fakt|Satz||
}}

&lt;!--
--&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
      <sha1>ocvnt8jbq3hw6esj10oo6pvrhuwbbqs</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
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      <timestamp>2026-07-17T07:59:57Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>624394</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="44" sha1="abz56g3i3kcdl00n6ji3xhoeybdzq9e" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|6|1|Kurs=|}}</text>
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    <title>Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>630490</origin>
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      <text bytes="49" sha1="1nxpdgwswo4masxz8g2lauer3g3b94v" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|33|4|Kurs=|}}</text>
      <sha1>1nxpdgwswo4masxz8g2lauer3g3b94v</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Elementare Kombinatorik/Die Fakultät (N)/Bijektionen/Einführung/Textabschnitt</title>
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    <id>118258</id>
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      <parentid>1106255</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:41:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107504</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2304" sha1="7yl5uun3ztt4gy2wawrqsw32v9uoktb" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Bei einem Tanzkurs mit {{math|term= n |SZ=}} Damen und {{math|term= n |SZ=}} Herren gilt heute beim Schneewalzer Damenwahl, wobei die Damen in der Reihenfolge ihrer Sitzordnung wählen dürfen. Die erste Dame hat {{math|term= n |SZ=}} Wahlmöglichkeiten, die zweite {{math|term= n-1 |SZ=}} Möglichkeiten, die dritte {{math|term= n-2 |SZ=}} Möglichkeiten, usw., die vorletzte Dame hat noch zwei Möglichkeiten und für die letzte Dame verbleibt eine Möglichkeit{{
Zusatz/{{{zusatz1|}}}
|text=Man könnte sich daran stören, dass man von Möglichkeiten spricht, obwohl nur eine Möglichkeit da ist, also keine echte Wahlmöglichkeit besteht. Mathematisch ist das aber die einzig sinnvolle Interpretation; eine Möglichkeit als keine Möglichkeit zu zählen würde alles durcheinander bringen|
|ISZ=.|ESZ=.
}}

{{
inputdefinition
|Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition||
}}

Es ist
{{
Relationskette
| (n+1)!
|| (n+1)(n!)
||
||
||
|SZ=.
}} 
Man setzt
{{
Relationskette
| 0!
|| 1
||
||
||
|SZ=.
}}
Für kleine {{math|term= n |SZ=}} erhält man die folgende Wertetabelle.
{{wertetabelle11|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= n!|SZ=}} | 0| 1| 2| 3| 4| 5| 6| 7| 8| 9| 10| 1| 1| 2| 6| 24| 120| 720| 5040| 40320| 362880| 3628800|}} 

{{
inputfaktbeweis
|Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz||
}}

Gleichbedeutend damit ist, dass es {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten gibt, {{math|term= n |SZ=}} Objekte auf {{math|term= n |SZ=}} Plätze zu verteilen, oder {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} unterscheidbare Kugeln auf {{math|term= n |SZ=}} unterscheidbare Urnen so zu verteilen, dass keine Urne leer bleibt, oder {{math|term= n!|SZ=}} Möglichkeiten, eine Menge von {{math|term= n |SZ=}} Objekten abzuzählen
{{
Zusatz/Klammer
|text=durchzunummerieren|
|ISZ=|ESZ=.
}}

{{
inputfaktbeweis2
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar||
}}
Bijektive Abbildungen einer Menge in sich bekommen einen eigenen Namen.
{{
inputdefinition
|Menge/Permutation/Definition||
}}

{{
inputbeispiel
|Permutationen/3/Wertetabellen/Beispiel||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Die Fakultätsfunktion (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>7yl5uun3ztt4gy2wawrqsw32v9uoktb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Vorlesung 6</title>
    <ns>106</ns>
    <id>129664</id>
    <revision>
      <id>1107620</id>
      <parentid>1052467</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:42:00Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107620</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4431" sha1="cvw543kwmqek6eh0l72inei60085p3j" xml:space="preserve">{{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|6|

{{Zwischenüberschrift|Prädikatenlogik}}

Mit der Aussagenlogik kann man keine gehaltvollen mathematischen Aussagen behandeln. Beispielsweise fehlt in ihr das Gleichheitszeichen, und man kann nicht über Variablen, die sich auf eine Grundmenge beziehen, quantifizieren, man kann keine Terme bilden und Funktionen auswerten. Dies führt zur Prädikatenlogik, der wir uns nun zuwenden, und mit der man einen Großteil der
{{
Zusatz/Klammer
|text=in einem gewissen Sinn die ganze|
|ISZ=|ESZ=
}}
Mathematik ausdrücken kann. Von der mathematischen Praxis her ist sie aber immer noch recht restriktiv. Wir erinnern kurz an den Abbildungsbegriff und den Relationsbegriff der Mathematik und setzen eine naive Mengenlehre und die natürlichen Zahlen {{Anführung|zum Zählen|}} voraus.

{{:Prädikatenlogik/Mehrstellige Abbildungen/Kurzzusammenfassung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Terme}}

{{:Zahlen/Terme/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{Zusatz/Fußnote|text=Zwei Mengen
{{
mathkor|term1=
L
|und|term2=
M
|SZ=
}}
heißen {{Definitionswort|disjunkt|SZ=,}} wenn ihr Durchschnitt
{{
Relationskette/k
| L \cap M
||\emptyset
||
||
||
|SZ=
}}
ist.}}  }}

Wir erklären noch, was die {{Stichwort|Variablenmenge eines Terms|SZ=}} ist. Diese ist stets eine Teilmenge der Variablenmenge {{math|term= V|SZ=}} und enthält diejenigen Variablen, die in dem Term irgendwo vorkommen. Die rekursive Definition lautet folgendermaßen.
{{
Aufzählung3
|Wenn
{{
Relationskette
|t
||x
||
||
||
|SZ=
}}
eine Variable ist, so ist
{{
Relationskette
| \operatorname{Var} (x) 
||\{x\}
||
||
||
|SZ=.
}}
|Wenn
{{
Relationskette
|t
||c
||
||
||
|SZ=
}}
eine Konstante ist, so ist
{{
Relationskette
| \operatorname{Var} (c)
||\emptyset 
||
||
||
|SZ=.
}}
|Wenn {{math|term= f|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}stelliges Funktionssymbol ist und wenn {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_n |SZ=}} Terme sind, so ist
{{
Relationskette
| \operatorname{Var} (f t_1 {{kommadots|}} t_n)
|| \operatorname{Var} (t_1) {{cupdots}} \operatorname{Var} (t_n) 
||
||
||
|SZ=.
}}
}}

{{
inputbild
|Uni Freiburg - Philosophen 4|jpg|180px {{!}} right {{!}} 
|Zusname=Uni_Freiburg_-_Philosophen_4
|Text=[[w:Aristoteles|Aristoteles {{
Zusatz/Klammer
|text=384-322 v.C.|
|ISZ=|ESZ=
}}]]
gilt als Erfinder der Prädikatenlogik. Er verwendet in seiner Analytik Variablen, einstellige Prädikate, Quantoren und die logischen Junktoren.
|Autor=Cipri Adolf Bermann
|Benutzer=Michael Sch.
|Domäne=
|Lizenz=CC-BY-SA-2.5 
|Bemerkung=
}}
Nachdem wir die Terme zur Verfügung haben, fahren mit dem syntaktischen Aufbau der Ausdrücke in der Prädikatenlogik 
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit Identität|
|ISZ=|ESZ=
}}
fort. Um den Aufbau dieser formalen Sprache zu motivieren und das Verständnis der zunächst rein formalen Ausdrücke zu erleichtern, ist es hilfreich, an Bildungsweisen von mathematischen Aussagen zu erinnern. Der konsequente Aufbau der Syntax und der Semantik folgt in der nächsten Vorlesung.

{{Zwischenüberschrift|Relationen}}

Ein Term kann weder wahr noch falsch sein, und zwar unabhängig davon, ob man ihn einfach als ein nach gewissen formalen Regeln aufgebautes Symbolwort auffasst oder ihn in einer bestimmten Menge 
{{
Zusatz/Klammer
|text=etwa den natürlichen Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
interpretiert. Wahr oder falsch können nur Aussagen sein. Wichtig sind für uns zunächst die formalen Eigenschaften einer Aussage. In mathematischen Aussagen kommen häufig Terme zusammen mit einem Vergleichssymbol vor, z. B. in der
{{
Zusatz/Klammer
|text=wahren|
|ISZ=|ESZ=
}}
Gleichung
{{
Relationskette/display
| 2 \cdot (2+3)
|| 10
||
||
||
|SZ=
}}
oder der
{{
Zusatz/Klammer
|text=falschen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Abschätzung
{{
Relationskette/display
| 2 \cdot (2+3)
|&lt;| 10
||
||
||
|SZ=.
}}
Mit zwei Termen und dem Gleichheitszeichen oder Kleinerzeichen gelangt man also zu Aussagen, man spricht von zweistelligen Relationen
{{
Zusatz/Klammer
|text=in Logik und Grammatik auch von zweistelligen Prädikaten|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Der Wahrheitsgehalt hängt dabei von den zwei Eingaben ab. 

{{:Relationen/Prädikatenlogik/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Quantoren}}

{{:Prädikatenlogik/Quantoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Junktoren}}

{{:Prädikatenlogik/Junktoren/Dreiecke/Einführung/Textabschnitt}}

{{Fußnotenliste}}


}}</text>
      <sha1>cvw543kwmqek6eh0l72inei60085p3j</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>689283</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="49" sha1="1nxpdgwswo4masxz8g2lauer3g3b94v" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|33|4|Kurs=|}}</text>
      <sha1>1nxpdgwswo4masxz8g2lauer3g3b94v</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Vorlesung 2</title>
    <ns>106</ns>
    <id>131193</id>
    <revision>
      <id>1107636</id>
      <parentid>1106346</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:07:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107636</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7483" sha1="jc10ahlyfk031brhqpcfmfk2owggzqe" xml:space="preserve">{{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Vorlesungsgestaltung|2|

Wir erinnern an einige weitere Begriffe. Man sagt, dass eine ganze Zahl {{math|term= a|SZ=}} eine ganze Zahl {{math|term= b|SZ=}} {{Stichwort|teilt|msw=Teiler|SZ=}}
{{
inputbemerkungsternklappe
|Mathematik/Prinzipien/Scheinbar trivialer Stoff/Bemerkung||
}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder dass {{math|term= a|SZ=}} ein {{Stichwort|Teiler|SZ=}} von {{math|term= b|SZ=}} ist oder dass {{math|term= b|SZ=}} ein {{Stichwort|Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= a|SZ=}} ist|
|ISZ=|ESZ=,
}}
wenn es eine weitere ganze Zahl {{math|term= c|SZ=}} mit
{{
Relationskette
|b
||ac
||
||
||
|SZ=
}}
gibt.
{{
inputbemerkungsternklappe
|Mathematik/Prinzipien/Gleichung/Sachverhalt/Bemerkung||
}}

Beispielsweise ist {{math|term= 3 |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=,}} aber {{math|term=2|SZ=}} ist kein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=.}} Eine {{Stichwort|gerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist, eine {{Stichwort|ungerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die kein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so verwenden wir die Bezeichnung {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} für diejenige
{{
Zusatz/Klammer
|text=eindeutig bestimmte|
|ISZ=|ESZ=
}}
ganze Zahl {{math|term= c |SZ=,}} für die die Gleichheit
{{
Relationskette
|b
||ac
||
||
||
|SZ=
}}
gilt.

{{Zwischenüberschrift|Primzahlen}}

{{
inputbild
|New Animation Sieve of Eratosthenes|gif|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k|SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen
{{
Zusatz/Klammer
|text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim.
|Autor=
|Benutzer=M.qrius
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputdefinition
|Zahlentheorie/Primzahl/Definition||
}}

Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich
{{
mathkor|term1=
1
|und|term2=
n
|SZ=,
}}
und die müssen verschieden sein. {{math|term=1|SZ=}} ist also keine Primzahl.

Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, {{ldots}} |SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz|
|zusatz1=.
{{
inputbemerkungsternklappe
|Mathematik/Prinzipien/Inklusion von Extremfällen/Bemerkung||
}}
|zusatz2=.
{{
inputbemerkungsternklappe
|Mathematik/Prinzipien/Beweis/Konstruktive Existenz/Bemerkung||
}}|
}}

Für {{mathl|term=105|SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term=3|SZ=}} und kann daher
{{
Relationskette
|105
||3 \cdot 35
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben. Für {{math|term=35|SZ=}} hat man die Zerlegung
{{
Relationskette
|35
||5 \cdot 7
||
||
||
|SZ=
}}
und man erhält
{{
Relationskette/display
|105
|| 3 \cdot 5 \cdot 7
||
||
||
|SZ=.
}}
Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term=5|SZ=}} startet, so ergibt sich
{{
Relationskette
| 105
|| 5 \cdot 21
|| 5 \cdot 3 \cdot 7
||
||
|SZ=,
}}
insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Weiter unten werden wir zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist und einiger Vorbereitungen bedarf.

Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben.
{{
inputbild
|Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} 
|Zusname=Euklid-von-Alexandria_1
|Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]]
|Autor=
|Benutzer=Luestling
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html
}}
{{
inputfaktbeweis2
|Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz|
|zusatz1=,
{{
inputbemerkungsternklappe
|Mathematik/Prinzipien/Beweis durch Widerspruch/Bemerkung||
}} 
|zusatz3=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N|SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge|
|ISZ=|ESZ=
}}
falsch gewesen sein.
||
}}

{{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit}}

{{
inputdefinition
|Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition||
}}

Beispielsweise sind
{{
mathkor|term1=
12 
|und|term2=
25
|SZ=
}}
teilerfremd, {{
mathkor|term1=
15 
|und|term2=
25
|SZ=
}}
sind nicht teilerfremd, da {{math|term=5|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler ist. Die {{math|term=1|SZ=}} ist zu jeder natürlichen Zahl
{{
Zusatz/Klammer
|text=auch zu {{math|term=0|SZ=}} und {{math|term=1|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
teilerfremd. Für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n|SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p |SZ=}} die Zahl {{math|term= n|SZ=,}} oder aber 
{{
mathkor|term1=
p
|und|term2=
n
|SZ=
}}
sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p|SZ=}} sein, und da kommen nur
{{
mathkor|term1=
1
|und|term2=
p
|SZ=
}}
in Frage.

{{
inputbild
|Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Grunners
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder gleichzeitig|
|ISZ=|ESZ=
}}
macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann
{{
Relationskette/display
| 3 \cdot 7 -2 \cdot 10
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
Liter transportiert
{{
Zusatz/Klammer
|text=eine andere Möglichkeit ist
{{
Relationskette
| 5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 
||1
||
||
||
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|||
}}

{{Zwischenüberschrift|Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie}}

Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man
{{
Relationskette/display
| 12
|| 3 \cdot 2 \cdot 2
|| 2 \cdot 3 \cdot 2
|| 2 \cdot 2 \cdot 3
||
|SZ=
}}  
schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt.
{{
inputfaktbeweis3
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||zusatz1=
{{
inputbemerkungsternklappe
|Mathematik/Prinzipien/Direkter Beweis/Bemerkung||
}} 
||
}}

Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2  {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p|SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2  {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an
{{
Zusatz/Klammer
|text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. 
{{
inputfaktbeweis3
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
||
}}

{{Zwischenüberschrift|Primzahlprobleme}}

{{:Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt}}

}}</text>
      <sha1>jc10ahlyfk031brhqpcfmfk2owggzqe</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 2</title>
    <ns>106</ns>
    <id>131201</id>
    <revision>
      <id>1107637</id>
      <parentid>1069807</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:08:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107637</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4433" sha1="ez0mac53mxxgg6rfmf2ovza46thjetf" xml:space="preserve">{{Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblattgestaltung|2|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Teilerbeziehung/Z/0 und 1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilerdiagramm/25,30,36/Aufgabe||zusatz1={{
Zusatz/Klammer
|text=also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird|
|ISZ=|ESZ=
}}
|zusatz=
|tipp=
}}

Gerade und ungerade Zahlen kann man unterschiedlich definieren. Was wäre spontan Ihre Definition?
{{
inputaufgabe
|Ungerade Zahl/Restdarstellung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Gerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerade Zahl/Letzte Ziffer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Gerade und ungerade Zahlen/Rechenregeln/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|N^2-N/Parität/Fallunterscheidung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Für die folgende Aufgabe ist
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Division mit Rest/N/Addition und Multiplikation/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
hilfreich.
{{
inputaufgabe
|Dezimalsystem/Quersummentest/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Eine Verallgemeinerung dieses Quersummentests wird in der nächsten Aufgabe besprochen.
{{
inputaufgabe
|Modulare Arithmetik/Quersummentest/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quersummentest/15er System/EA09B4CA/7 teilt?/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahlen/n^2+n+41/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/1728/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/111/usw/Aufgabe||
|zusatz=
(Vergleiche hierzu auch
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Primzahl/Nicht 2,5/Teilt 1...1/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.)
}}
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahl/Kleinstes Produkt +1 nicht prim/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahlen/Beliebige Lücken/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Darstellung der 1/Beispiele/Aufgabe||zusatz1=&amp;nbsp;
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne des 
{{
Faktlink
|Präwort=|Lemmas von Bézout|Faktseitenname=
Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zwei Eimer/5 und 7/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilerfremde Zahlen/Viele Eimer/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zwei Eimer/Teilerfremd/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Lemma von Euklid/Viele Faktoren/Induktion/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Faktordivision/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Lemma von Euklid/Umkehrung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Division mit Rest/Z/Potenz/Teilerfremd/Periodizität/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
Tipp: Verwende{{n Sie}}
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Division mit Rest/Z/Potenz/Periodizität/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
und betrachte{{n Sie}} den Rest von {{mathl|term= a^j-a^i|SZ=}} bei Division durch {{math|term=d|SZ=.}} Schließe dann mit
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Faktordivision/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

}}

Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist. 
{{
inputaufgabe
|4n+1/441/Uneindeutige Zerlegung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppen (Z)/Flohsprünge/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zählen/Digitale Uhr/Karnevalsschritte/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Doppel-Primzahlzwilling/Nur eins/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die nächste Aufgabe bezieht sich auf
{{
Bemerkungslink
|Präwort=||Bemerkungsseitenname=
Primzahlzwillinge/Schranke 2013/Bemerkung
|Nr=
|SZ=.
}}
{{
inputaufgabe
|Primzahlzwilling/Wiederholung unterhalb 252/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabekommentar
|Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Schlussmachen/Argumentationsschema/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Sudoku/Argumentationsschemata/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Potenzierung/Kommutativität/Beispielhafte Argumentation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>ez0mac53mxxgg6rfmf2ovza46thjetf</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Elliptische Kurve/Gruppenstruktur/Y^2 ist X^3+4x/Torsionspunkte/Beispiel</title>
    <ns>0</ns>
    <id>132814</id>
    <revision>
      <id>1107541</id>
      <parentid>1084939</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:39:53Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107541</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1131" sha1="bwd9rbn903wrcaz26xri5zcz5qmkh6f" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Auf der durch
{{
Relationskette 
| y^2
|| x^3+4x
||
||
||
|SZ=
}}
gegebenen 
{{
Definitionslink
|elliptischen Kurve|
|Kontext=kubisch|
|SZ=
}}
gibt es über {{math|term= \Q|SZ=}} die vier
{{
Definitionslink
|Torsionspunkte|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{mathl|term= {{elliptischo|}} ,\,(0,0) ,\, (2,4) ,\, (2,-4) |SZ=.}} Dabei besitzt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} nach
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
die Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} und sonst über {{math|term= \Q|SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=und {{math|term= \R|SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=
}}
keinen weiteren Punkt der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=.}} Die Punkte
{{
mathkor|term1=
 (2,4)
|und|term2=
(2,-4)
|SZ=
}}
haben nach
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+4X/Addition/(2,4)+(2,4)/Aufgabe
|Nr=
|SZ=
}}
die Ordnung {{math|term= 4 |SZ=.}} 
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+4X
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>bwd9rbn903wrcaz26xri5zcz5qmkh6f</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Es gibt Schnittpunkt/Fakt/Faktreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>133781</id>
    <revision>
      <id>1107597</id>
      <parentid>707306</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:49:46Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Es gibt Schnittpunkt/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Es gibt Schnittpunkt/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>707306</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="81" sha1="aveoji6hyfjgddf3scv7by7c39ihnwc" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Algebraische Kurven/Standardkurs|}} |}}</text>
      <sha1>aveoji6hyfjgddf3scv7by7c39ihnwc</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurve/Morphismus/Rein-inseparabel/Grundgleichung/Vorgeschobener Divisor/Fakt/Beweis</title>
    <ns>0</ns>
    <id>135303</id>
    <revision>
      <id>1107543</id>
      <parentid>1046371</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:40:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107543</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1045" sha1="4psqfkz83wyo1ocm87ezb66e91smw4v" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}
|Text=
{{
Beweisstruktur
|Strategie=
|Notation=
|Beweis=
Die Kurvenabbildung ist eine Bijektion mit Verzweigungsordnung {{math|term= p |SZ=}} in jedem Punkt, die Erweiterung der diskreten Bewertungsringe ist durch
{{
Abbildung
|name=
| V | V [X]/(X^p-b) {{=|}} W
||
|SZ=
}}
mit einem
{{
Relationskette
|b
| \in | V
||
||
||
|SZ=
}}
gegeben. Für eine Ortsuniformisierende
{{
Relationskette
| \pi_1
| \in | V
||
||
||
|SZ=
}} 
ist
{{
Relationskette
| \pi_2
|| u \pi_1^p
||
||
||
|SZ=
}}
mit einer Einheit {{math|term= u |SZ=.}} Für
{{
Relationskette
|f
| \in | W
||
||
||
|SZ=
}}
ist
{{
Relationskette
|f^p
| \in | V
||
||
||
|SZ=
}}
und aus
{{
Relationskette/display
|f
|| v \pi_2^n
||
||
||
|SZ=
}}
folgt direkt 
{{
Relationskette/display
| f^p
|| v^p  \pi_2^{pn}
|| v^p \pi_1^{n}
||
||
|SZ=,
}}
die Ordnung von {{math|term= f |SZ=}}  oben stimmt also mit der Ordnung von {{math|term= f^p|SZ=}} unten überein.
|Abschluss=
}}
|Textart=Beweis 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>4psqfkz83wyo1ocm87ezb66e91smw4v</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Funktionenfolge/Endliche Menge/Konvergenzverhalten/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>135340</id>
    <revision>
      <id>1107532</id>
      <parentid>1081960</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:04:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107532</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="632" sha1="s8wlsqzukle5to5e0uh7y9a58ic3ady" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= T |SZ=}} eine endliche Menge und sei
{{
Abbildung/display
|name= f_n
| T | {{KRC|}} 
||
|SZ=
}}
eine Funktionenfolge auf {{math|term= T |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{Folge| f |}} |SZ=}} genau dann
{{
Definitionslink
|punktweise konvergiert|
|Kontext=K|
|SZ=,
}}
wenn {{math|term= {{Folge| f |}} |SZ=}} 
{{
Definitionslink
|gleichmäßig konvergiert|
|Kontext=K|
|SZ=.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>s8wlsqzukle5to5e0uh7y9a58ic3ady</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Real- und Imaginärteil/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>135514</id>
    <revision>
      <id>1107518</id>
      <parentid>1081957</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T15:56:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107518</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1042" sha1="hjmbmvtguvkomuc59a0pmho3h7v7okg" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
mathbed|term=
a_j ||bedterm1=
j \in J
||bedterm2=
|SZ=,
}}
eine Familie
{{
Definitionslink
|komplexer Zahlen|
|Kontext=|
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass die Familie genau dann
{{
Definitionslink
|summierbar|
|Kontext=C|
|SZ=
}}
ist, wenn die Familie der 
{{
Definitionslink
|Realteile|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
mathbed|term=
 {{op:Realteil|a_j }} ||bedterm1=
j \in J
||bedterm2=
|SZ=,
}}
und die Familie der 
{{
Definitionslink
|Imaginärteile|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
mathbed|term=
 {{op:Imaginärteil|a_j }} ||bedterm1=
j \in J
||bedterm2=
|SZ=,
}}
summierbar ist. Zeige{{n Sie}}, dass in diesem Fall
{{
Relationskette/display
| \sum_{ j \in J}  a_j
||  {{makl| \sum_{ j \in J} {{op:Realteil|a_j }} |}} + {{imaginäre Einheit||}} {{makl| \sum_{ j \in J} {{op:Imaginärteil|a_j }} |}}  
||
||
||
|SZ=
}}
gilt.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Summierbarkeit (komplexe Zahlen)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=5
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>hjmbmvtguvkomuc59a0pmho3h7v7okg</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
    <ns>106</ns>
    <id>136384</id>
    <revision>
      <id>1107571</id>
      <parentid>721632</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T17:26:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 duch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Gewöhnliche Differentialgleichung/Zeitunabhängig/y' ist 1 durch y/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
      <origin>721632</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="49" sha1="npv9vm49d10kgccfnkvij0wqx6pvsj2" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|30|4|Kurs=|}}</text>
      <sha1>npv9vm49d10kgccfnkvij0wqx6pvsj2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Natürliche Zahlen/Division mit Rest/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
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      <parentid>1103190</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:47:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107505</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1473" sha1="b7wylsv32cf363j07s12lpin9ug84s6" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Jede natürliche Zahl lässt sich bekanntlich als eine Ziffernfolge {{Anführung|im Zehnersystem}} ausdrücken. Dies beruht auf der
{{
Zusatz/Klammer
|text=sukzessiven|
|ISZ=|ESZ=
}}
Division mit Rest. Eine positive natürliche Zahl ist nicht durch jede natürliche Zahl teilbar; die Division mit Rest liefert eine Operation, die stets durchführbar ist. 

{{
inputbild
|Pie division|svg| 230px {{!}} right {{!}} | 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Dcoetzee 
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputfaktbeweis
|Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||
}}

Bei der Division mit Rest nennt man auch {{math|term= n |SZ=}} {{Stichwort|Dividenden|msw=Dividend|SZ=}} und {{math|term=  d |SZ=}} {{Stichwort|Divisor|SZ=.}} Die Zahl {{math|term= q |SZ=}} nennt man den {{Stichwort|Quotienten|msw=Quotient|SZ=}} oder den {{Stichwort|ganzzahligen Anteil|msw=Ganzzahliger Anteil|SZ=}} 
und {{math|term= r |SZ=}} den {{Stichwort|Rest|SZ=.}}

{{
inputbemerkung
|Division mit Rest/N/Auffinden/Bemerkung||
}}

In der Schule verwendet man häufig eine Darstellung für die Division mit Rest wie
{{
Math/display|term=
n \text{ durch } d \text{ ist } q \text{ Rest } r
|SZ=.
}}
Dies ist in Hinblick auf die mathematische Weiterverarbeitung ungünstiger als die im Satz verwendete Gleichungsform.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Division mit Rest (N)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>b7wylsv32cf363j07s12lpin9ug84s6</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kommutativer Ring/Halbring und Z bekannt/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>142075</id>
    <revision>
      <id>1107631</id>
      <parentid>1103076</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:01:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107631</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4215" sha1="p5phinsmde65muha93nnz8jwey1g168" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition||
}}

{{
inputdefinition
|Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition||
}}

Ein kommutativer Ring ist insbesondere ein kommutativer Halbring, alle für Halbringe geltenden Eigenschaften, wie beispielsweise die allgemeine binomische Formel, gelten insbesondere auch für kommutative Ringe. Der wesentliche Unterschied liegt in der zusätzlichen Bedingung (1.4), der Existenz des Negativen. Dieses Negative ist eindeutig bestimmt: Wenn nämlich sowohl {{math|term=  b |SZ=}} als auch {{math|term=  c |SZ=}} die Eigenschaft haben, dass ihre Addition zu {{math|term=  a |SZ=}} den Wert {{math|term=  0 |SZ=}} ergibt, so erhält man direkt
{{
Relationskette/display
| b
|| b+0
|| b+(a+c)
|| (b+a)+c
|| 0+c
|| c
|SZ=.
}}
Für das zu jedem
{{
Relationskette
| a
| \in| R
||
||
||
|SZ=
}}
eindeutig bestimmte Negative schreiben wir {{mathl|term=  -a |SZ=.}} Wegen
{{
Relationskette/display
| a + (-a)
|| 0
||
||
||
|SZ=
}} 
ist {{math|term= a |SZ=}} auch das Negative zu {{math|term= -a |SZ=,}} also
{{
Relationskette
| -(-a)
|| a
||
||
||
|SZ=.
}}
Bei
{{
Relationskette
| R
|| \Z
||
||
||
|SZ=
}}
stimmt diese Definition mit der {{{zusatz1|}}} 
{{
Definitionslink
|Definition|
|Kontext=|
|Definitionsseitenname=
Ganze Zahlen/Negation/Definition
|SZ=
}}
überein, wie der Beweis der Existenz des Negativen in
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Eigenschaften der Addition/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
zeigt.

Mit diesem neuen Begriff können wir festhalten.
{{
inputfaktbeweis
|Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz||
||
}}

In einem kommutativen Ring {{math|term=  R |SZ=}} und Elemente
{{
Relationskette
| a,b
| \in| R 
||
||
||
|SZ=
}}
verwendet man
{{
Relationskette/display
| a-b
|| a+ (-b)
||
||
||
|SZ=
}}
als abkürzende Schreibweise. Man spricht von der {{Stichwort|Subtraktion|SZ=}} bzw. der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Subtraktion {{mathl|term=  a-b |SZ=}} ist also die Addition von {{math|term=  a |SZ=}} mit dem Negativen
{{
Zusatz/Klammer
|text=also {{math|term= -b|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
von {{math|term=  b |SZ=.}} Bei natürlichen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| b
| \leq | a
||
||
||
|SZ=
}}
stimmt die innerhalb der natürlichen Zahlen genommene 
{{
Definitionslink
|Differenz|
|Definitionsseitenname=
Natürliche Zahlen/Differenz/Definition
|SZ=
}}
{{{zusatz2|}}}
mit der hier in {{math|term=  \Z |SZ=}} über das Negative genommenen Differenz überein. Dies beruht darauf, dass es sich jeweils um eine Lösung der Gleichung
{{
Relationskette/display
|b+x
||a
||
||
||
|SZ=
}}
handelt und diese Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt.

{{
inputfaktbeweis
|Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

Wie in jedem kommutativen Halbring kann man in jedem kommutativen Ring {{math|term=  R |SZ=}} Ausdrücke der Form {{math|term= nx |SZ=}} mit
{{
Relationskette
| n
| \in| \N
||
||
||
|SZ=
}} 
und
{{
Relationskette
| x
| \in| R
||
||
||
|SZ=
}} 
sinnvoll interpretieren, und zwar ist {{math|term=  nx |SZ=}} die {{math|term=  n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term=  x |SZ=}} mit sich selbst. Auch die Potenzschreibweise {{mathl|term=  x^n |SZ=}} wird wieder verwendet und es gelten insbesondere die in
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
formulierten Potenzgesetze. Darüber hinaus kann man auch für negative Zahlen {{math|term=  -n |SZ=}} den Ausdruck {{mathl|term=  (-n) x |SZ=}} interpretieren, nämlich als
{{
Relationskette/display
| (-n)x
|| n (-x)
|| \underbrace{ (-x) {{plusdots }} (-x) }_{n\text{-mal} }
||
||
|SZ=.
}}
Insbesondere ist
{{
Relationskette/display
| - n
|| (-n) \cdot 1 
|| n \cdot (-1) 
|| \underbrace{ (-1) {{plusdots }} (-1) }_{n\text{-mal} }
||
|SZ=
}}
in jedem kommutativen Ring sinnvoll interpretierbar. Dabei gelten naheliegende Rechengesetze, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Kommutativer Ring/N und Z/Kanonische Abbildung/Halbring bekannt/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>p5phinsmde65muha93nnz8jwey1g168</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ganze Zahlen/Hauptsatz über Primfaktorzerlegung/Euklid/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>142082</id>
    <revision>
      <id>1107674</id>
      <parentid>1092015</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:36:32Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107674</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2112" sha1="en56watcxf9msprfl7qxqo5x6szl26w" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits in
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man
{{
Relationskette/display
| 12
|| 3 \cdot 2 \cdot 2
|| 2 \cdot 3 \cdot 2
|| 2 \cdot 2 \cdot 3
||
|SZ=
}}  
schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf die Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen, brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt.
{{
inputfaktbeweis3
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
}}

Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term=  p |SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term=  a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term=  p |SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term=  (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an
{{
Zusatz/Klammer
|text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. 
{{
inputfaktbeweis3
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
}}
In der {{Stichwort|kanonischen Primfaktorzerlegung|msw=Kanonische Primfaktorzerlegung|SZ=}} schreibt man die beteiligten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge mit ihrem jeweiligen Exponenten, also beispielsweise
{{
Relationskette/display
| 840
|| 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7
||
||
||
|SZ=.
}}

Damit ist insbesondere zu jeder ganzen Zahl
{{
Relationskette
| n
| \neq | 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
und jeder Primzahl {{math|term= p |SZ=}} eindeutig bestimmt, ob {{math|term= p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung überhaupt vorkommt und, wenn ja, mit welchem Exponenten.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>en56watcxf9msprfl7qxqo5x6szl26w</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Ganze Zahlen/p-Exponent/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>142084</id>
    <revision>
      <id>1107668</id>
      <parentid>1092245</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:19:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107668</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2572" sha1="r4vv4bs356susne2j2oozb1c9vcdi34" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Ganze Zahl/p-Exponent/Definition||
}}

Statt Exponent spricht man auch von der {{Stichwort|Vielfachheit|SZ=}} oder der {{Stichwort|Ordnung|SZ=}} von {{math|term=  p |SZ=}} in {{math|term=  n |SZ=.}} Wenn {{math|term=  p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| n |}}
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl
{{
Relationskette
| n
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
kann man damit abstrakt und kompakt als
{{
Relationskette/display
|n
|| \pm \prod_p p^{ {{op:pexp| n |}} }
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt. 

Zu
{{
Relationskette
| n
|| 14 000
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
ist die Primfaktorzerlegung gleich
{{
Relationskette/display
| 14000
|| 2^4 \cdot 5^3 \cdot 7
||
||
||
|SZ=
}}
und somit gilt 
{{
Relationskette/display
| \nu_2(14000) 
|| 4
||
||
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
| \nu_5(14000)
|| 3
||
||
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
| \nu_7(14000)
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| \nu_p ( 14000)
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
für alle weiteren Primzahlen {{math|term=  p |SZ=.}}

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
}}
Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei
{{
Relationskette/display
| n
|| p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
||
||
||
|SZ=
}}
sind die
{{
Zusatz/Klammer
|text=positiven|
|ISZ=|ESZ=
}}
Teiler genau die Zahlen
{{
Math/display|term=
 p_1^{s_1} p_2^{s_2} \cdots p_2^{s_k} \text{ mit } 0 \leq s_1 \leq r_1,\, 0 \leq s_2 \leq r_2  {{kommadots|}}  0 \leq s_k \leq r_k
|SZ=.
}}
Davon gibt es {{mathl|term= (r_1+1)(r_2+1) \cdots (r_k+1) |SZ=}} Stück.

{{
inputfaktbeweis
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
}}

Für die beiden Zahlen
{{
mathkor|term1=
m=2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11
|und|term2=
m=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11
|SZ=
}}
ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich {{mathl|term=  2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 |SZ=}} und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich {{mathl|term=  2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11 |SZ=.}} 
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>r4vv4bs356susne2j2oozb1c9vcdi34</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107672</id>
      <parentid>1107668</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T08:23:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107672</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2572" sha1="kag2u7m0yb1eod5001qjlgh847zajya" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Ganze Zahl/p-Exponent/Definition||
}}

Statt Exponent spricht man auch von der {{Stichwort|Vielfachheit|SZ=}} oder der {{Stichwort|Ordnung|SZ=}} von {{math|term=  p |SZ=}} in {{math|term=  n |SZ=.}} Wenn {{math|term=  p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| n |}}
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl
{{
Relationskette
| n
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
kann man damit abstrakt und kompakt als
{{
Relationskette/display
|n
|| \pm \prod_p p^{ {{op:pexp| n |}} }
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt. 

Zu
{{
Relationskette
| n
|| 14 000
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
ist die Primfaktorzerlegung gleich
{{
Relationskette/display
| 14000
|| 2^4 \cdot 5^3 \cdot 7
||
||
||
|SZ=
}}
und somit gilt 
{{
Relationskette/display
| \nu_2(14000) 
|| 4
||
||
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
| \nu_5(14000)
|| 3
||
||
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
| \nu_7(14000)
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| \nu_p ( 14000)
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
für alle weiteren Primzahlen {{math|term=  p |SZ=.}}

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
}}
Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei
{{
Relationskette/display
| n
|| p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
||
||
||
|SZ=
}}
sind die
{{
Zusatz/Klammer
|text=positiven|
|ISZ=|ESZ=
}}
Teiler genau die Zahlen
{{
Math/display|term=
 p_1^{s_1} p_2^{s_2} \cdots p_2^{s_k} \text{ mit } 0 \leq s_1 \leq r_1,\, 0 \leq s_2 \leq r_2  {{kommadots|}}  0 \leq s_k \leq r_k
|SZ=.
}}
Davon gibt es {{mathl|term= (r_1+1)(r_2+1) \cdots (r_k+1) |SZ=}} Stück.

{{
inputfaktbeweis
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
}}

Für die beiden Zahlen
{{
mathkor|term1=
m=2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11
|und|term2=
n=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11
|SZ=
}}
ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich {{mathl|term=  2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 |SZ=}} und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich {{mathl|term=  2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11 |SZ=.}} 
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z)
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>kag2u7m0yb1eod5001qjlgh847zajya</sha1>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107673</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
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Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Ganze Zahl/p-Exponent/Definition||
}}

Statt Exponent spricht man auch von der {{Stichwort|Vielfachheit|SZ=}} oder der {{Stichwort|Ordnung|SZ=}} von {{math|term=  p |SZ=}} in {{math|term=  n |SZ=.}} Wenn {{math|term=  p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist
{{
Relationskette/display
| {{op:pexp| n |}}
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}
Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl
{{
Relationskette
| n
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
kann man damit abstrakt und kompakt als
{{
Relationskette/display
|n
|| \pm \prod_p p^{ {{op:pexp| n |}} }
||
||
||
|SZ=
}}
schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt. 

Zu
{{
Relationskette
| n
|| 14 000
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
ist die Primfaktorzerlegung gleich
{{
Relationskette/display
| 14000
|| 2^4 \cdot 5^3 \cdot 7
||
||
||
|SZ=
}}
und somit gilt 
{{
Relationskette/display
| \nu_2(14000) 
|| 4
||
||
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
| \nu_5(14000)
|| 3
||
||
||
|SZ=,
}}
{{
Relationskette/display
| \nu_7(14000)
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette/display
| \nu_p ( 14000)
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
für alle weiteren Primzahlen {{math|term=  p |SZ=.}}

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
}}
Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei
{{
Relationskette/display
| n
|| p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}
||
||
||
|SZ=
}}
sind die
{{
Zusatz/Klammer
|text=positiven|
|ISZ=|ESZ=
}}
Teiler genau die Zahlen
{{
Math/display|term=
 p_1^{s_1} p_2^{s_2} \cdots p_k^{s_k} \text{ mit } 0 \leq s_1 \leq r_1,\, 0 \leq s_2 \leq r_2  {{kommadots|}}  0 \leq s_k \leq r_k
|SZ=.
}}
Davon gibt es {{mathl|term= (r_1+1)(r_2+1) \cdots (r_k+1) |SZ=}} Stück.

{{
inputfaktbeweis
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
}}

Für die beiden Zahlen
{{
mathkor|term1=
m=2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11
|und|term2=
n=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11
|SZ=
}}
ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich {{mathl|term=  2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 |SZ=}} und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich {{mathl|term=  2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11 |SZ=.}} 
|Textart=Textabschnitt
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    <title>Proportionalität/Rationale Zahlen/Motivation/Bemerkung</title>
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      <timestamp>2026-07-17T08:46:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107680</origin>
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Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Wir betrachten eine Gleichung der Form
{{
Relationskette/display
| b
|| a z
||
||
||
|SZ=
}}
mit fixierten ganzen Zahlen
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \Z 
||
||
||
|SZ=
}} 
und der unbekannten Zahl {{math|term=  z |SZ=.}} Diese Gleichung besitzt innerhalb der ganzen Zahlen genau dann eine Lösung, wenn {{math|term=  a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term=  b |SZ=}} ist. Dies ist eine unmittelbare Umformulierung der Teilerbeziehung. Wenn dies der Fall ist, und
{{
Relationskette
|a
|\neq| 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist, so ist die eindeutig bestimmte Lösung {{math|term=  z |SZ=}} gleich dem ganzzahligen Quotienten {{mathl|term=  b/a |SZ=.}} Eine solche Gleichung ist aber, wie die obigen Beispiele zeigen, auch sinnvoll, wenn {{math|term=  a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term=  b |SZ=}} ist. Beispielsweise kann man Äpfel verkaufen und dabei drei Äpfel zum Preis von zwei Euro anbieten. Dann ist klar, dass sechs Äpfel vier Euro kosten usw. Es liegt auch hier eine Proportionalität vor, es lässt sich aber kein Proportionalitätsfaktor innerhalb der natürlichen Zahlen angeben. Der Preis für einen Apfel ist keine natürliche Zahl, aber das {{Stichwort|Verhältnis|SZ=}} zwischen Preis zu Apfelanzahl ist konstant. So wie die Lösbarkeit der allgemeinen Differenzgleichung
{{
Relationskette/display
| b
|| a+z
||
||
||
|SZ=
}}
Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der ganzen Zahlen war, ist die Lösbarkeit der allgemeinen Proportionalitätsgleichung
{{
Relationskette/display
| b
|| a z
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=mit
{{
Relationskette/k
| a
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
|
|ISZ=|ESZ=
}}
Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen. Wir möchten also sinnvolle Zahlen {{mathl|term=  b/a |SZ=}} mit der charakteristischen Eigenschaft haben, dass sie mit {{math|term=  a |SZ=}} multipliziert die Zahl {{math|term=  b |SZ=}} ergeben. Da {{math|term=  a |SZ=}} ganzzahlig ist, sagen wir aus {{math|term=  \N_+ |SZ=,}} kann man diese Multiplikation auf die {{math|term=  a |SZ=-}}fache Addition von {{mathl|term=  b/a |SZ=}} mit sich selbst zurückführen. Wir suchen also eine Strecke, die, wenn man sie {{math|term=  a |SZ=-}}mal hintereinander hinlegt, die Strecke {{math|term=  b |SZ=}} ergibt. en 
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
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|Bearbeitungsstand=
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        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Wir betrachten eine Gleichung der Form
{{
Relationskette/display
| b
|| a z
||
||
||
|SZ=
}}
mit fixierten ganzen Zahlen
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \Z 
||
||
||
|SZ=
}} 
und der unbekannten Zahl {{math|term= z |SZ=.}} Diese Gleichung besitzt innerhalb der ganzen Zahlen genau dann eine Lösung, wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist. Dies ist eine unmittelbare Umformulierung der Teilerbeziehung. Wenn dies der Fall ist, und
{{
Relationskette
| a
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist, so ist die eindeutig bestimmte Lösung {{math|term= z |SZ=}} gleich dem ganzzahligen Quotienten {{mathl|term= b/a |SZ=.}} Eine solche Gleichung ist aber, wie die obigen Beispiele zeigen, auch sinnvoll, wenn {{math|term= a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist. Beispielsweise kann man Äpfel verkaufen und dabei drei Äpfel zum Preis von zwei Euro anbieten. Dann ist klar, dass sechs Äpfel vier Euro kosten usw. Es liegt auch hier eine Proportionalität vor, es lässt sich aber kein Proportionalitätsfaktor innerhalb der natürlichen Zahlen angeben. Der Preis für einen Apfel ist keine natürliche Zahl, aber das {{Stichwort|Verhältnis|SZ=}} zwischen Preis zu Apfelanzahl ist konstant. So wie die Lösbarkeit der allgemeinen Differenzgleichung
{{
Relationskette/display
| b
|| a+z
||
||
||
|SZ=
}}
Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der ganzen Zahlen war, ist die Lösbarkeit der allgemeinen Proportionalitätsgleichung
{{
Relationskette/display
| b
|| a z
||
||
||
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
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| a
|\neq| 0
|| 
|| 
|| 
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}}
|
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}}
Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen. Wir möchten also sinnvolle Zahlen {{mathl|term= b/a |SZ=}} mit der charakteristischen Eigenschaft haben, dass sie mit {{math|term= a |SZ=}} multipliziert die Zahl {{math|term= b |SZ=}} ergeben. Da {{math|term= a |SZ=}} ganzzahlig ist, sagen wir aus {{math|term=  \N_+ |SZ=,}} kann man diese Multiplikation auf die {{math|term= a |SZ=-}}fache Addition von {{mathl|term= b/a |SZ=}} mit sich selbst zurückführen. Wir suchen also eine Strecke, die, wenn man sie {{math|term= a |SZ=-}}mal hintereinander hinlegt, die Strecke {{math|term=  b |SZ=}} ergibt.
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Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Wir betrachten eine Gleichung der Form
{{
Relationskette/display
| b
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||
||
||
|SZ=
}}
mit fixierten ganzen Zahlen
{{
Relationskette
| a,b
| \in | \Z 
||
||
||
|SZ=
}} 
und der unbekannten Zahl {{math|term= z |SZ=.}} Diese Gleichung besitzt innerhalb der ganzen Zahlen genau dann eine Lösung, wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist. Dies ist eine unmittelbare Umformulierung der Teilerbeziehung. Wenn dies der Fall ist und
{{
Relationskette
| a
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
ist, so ist die eindeutig bestimmte Lösung {{math|term= z |SZ=}} gleich dem ganzzahligen Quotienten {{mathl|term= b/a |SZ=.}} Eine solche Gleichung ist aber, wie die obigen Beispiele zeigen, auch sinnvoll, wenn {{math|term= a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist. Beispielsweise kann man Äpfel verkaufen und dabei drei Äpfel zum Preis von zwei Euro anbieten. Dann ist klar, dass sechs Äpfel vier Euro kosten usw. Es liegt auch hier eine Proportionalität vor, es lässt sich aber kein Proportionalitätsfaktor innerhalb der natürlichen Zahlen angeben. Der Preis für einen Apfel ist keine natürliche Zahl, aber das {{Stichwort|Verhältnis|SZ=}} zwischen Preis zu Apfelanzahl ist konstant. So wie die Lösbarkeit der allgemeinen Differenzgleichung
{{
Relationskette/display
| b
|| a+z
||
||
||
|SZ=
}}
Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der ganzen Zahlen war, ist die Lösbarkeit der allgemeinen Proportionalitätsgleichung
{{
Relationskette/display
| b
|| a z
||
||
||
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Zusatz/Klammer
|text=mit
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Relationskette/k
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|
|ISZ=|ESZ=
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Ausgangspunkt und Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen. Wir möchten also sinnvolle Zahlen {{mathl|term= b/a |SZ=}} mit der charakteristischen Eigenschaft haben, dass sie mit {{math|term= a |SZ=}} multipliziert die Zahl {{math|term= b |SZ=}} ergeben. Da {{math|term= a |SZ=}} ganzzahlig ist, sagen wir aus {{math|term=  \N_+ |SZ=,}} kann man diese Multiplikation auf die {{math|term= a |SZ=-}}fache Addition von {{mathl|term= b/a |SZ=}} mit sich selbst zurückführen. Wir suchen also eine Strecke, die, wenn man sie {{math|term= a |SZ=-}}mal hintereinander hinlegt, die Strecke {{math|term=  b |SZ=}} ergibt.
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Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Eine Gleichung der Form
{{
Relationskette/display
|b x
|| a
||
||
||
|SZ=
}}
mit fixierten ganzen Zahlen {{math|term=  a,b |SZ=}} besitzt innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung für {{math|term=  x |SZ=.}} Bei
{{
Relationskette
| b
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| a
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
gibt es auch keine Lösung innerhalb einer sinnvollen Zahlenbereichserweiterung. Bei
{{
Relationskette
| b
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
gibt es hingegen innerhalb der rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung, nämlich
{{
Relationskette/display
| x
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Wir führen nun die rationalen Zahlen, ausgehend von {{math|term= \Z |SZ=,}} ein, und zwar zunächst als Menge von Brüchen mit einer bestimmten Identifikation. Anschließend definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge und weisen, ebenfalls unter Bezug auf die ganzen Zahlen, die Gültigkeit der wichtigsten Rechengesetze nach. 

Als eine Motivation für die folgende Gleichsetzung von unterschiedlichen Brüchen betrachten wir nochmal die Proportionalität. Zwei ganze Zahlen
{{
mathkor|term1=
{{{r|r}}} \neq 0
|und|term2=
{{{s|s}}}
|SZ=
}} 
definieren einen proportionalen Zusammenhang {{math|term= \varphi |SZ=,}} der an der Stelle {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= {{{s|s}}} |SZ=}} besitzt. Er besitzt dann an der Stelle {{math|term= n {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= n {{{s|s}}} |SZ=.}} Dieser Zusammenhang besteht unabhängig davon, ob er durch eine ganzzahlige Konstante {{math|term= c |SZ=}} in der Form
{{
Relationskette
| \varphi (x)
|| cx
||
||
||
|SZ=
}}
beschrieben werden kann. Ein proportionaler Zusammenhang ist durch ein einziges von {{mathl|term=  (0,0) |SZ=}} verschiedenes Zahlenpaar eindeutig festgelegt, er kann durch die Gerade, die durch 
{{
mathkor|term1=
(0,0) 
|und|term2=
({{{r|r}}},{{{s|s}}})
|SZ=
}}
verläuft, graphisch dargestellt werden, unabhängig davon, ob der proportionale Zusammenhang auf ganz {{math|term= \Z |SZ=}} definiert ist oder nicht. Dabei bestimmen zwei ganzzahlige Paare
{{
mathkor|term1=
 ({{{r|r}}},{{{s|s}}})
|und|term2=
 ({{{r|r}}}',{{{s|s}}}')
|SZ=
}}
genau dann den gleichen Zusammenhang
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Steigungen der zugehörigen linearen Graphen stimmen überein|
|ISZ=|ESZ=,
}}
wenn sie an der Stelle {{mathl|term= {{{r|r}}} {{{r|r}}}' |SZ=,}} wo man die Werte unmittelbar vergleichen kann, den gleichen Wert besitzen. Die Werte sind an dieser Stelle
{{
mathkor|term1=
{{{s|s}}} {{{r|r}}}'
|bzw.|term2=
{{{s|s}}}'{{{r|r}}}
|SZ=,
}}
sodass genau im Fall
{{
Relationskette/display
| {{{r|r}}}' {{{s|s}}}
|| {{{r|r}}} {{{s|s}}}'
||
||
||
|SZ=
}}
die beiden proportionalen Zusammenhänge als gleich zu betrachten sind. Dies ist eine Grundlage für die in der folgenden Definition auftretenden {{Stichwort|Überkreuzregel|SZ=.}} 
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107703</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3100" sha1="r0sqh53l4z7zti1ztwp59rf95er5cge" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Eine Gleichung der Form
{{
Relationskette/display
|b x
|| a
||
||
||
|SZ=
}}
mit fixierten ganzen Zahlen {{math|term=  a,b |SZ=}} besitzt innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung für {{math|term=  x |SZ=.}} Bei
{{
Relationskette
| b
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| a
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
gibt es auch keine Lösung innerhalb einer sinnvollen Zahlenbereichserweiterung. Bei
{{
Relationskette
| b
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
gibt es hingegen innerhalb der rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung, nämlich
{{
Relationskette/display
| x
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Wir führen nun die rationalen Zahlen, ausgehend von {{math|term= \Z |SZ=,}} ein, und zwar zunächst als Menge von Brüchen mit einer bestimmten Identifikation. Anschließend definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge und weisen, ebenfalls unter Bezug auf die ganzen Zahlen, die Gültigkeit der wichtigsten Rechengesetze nach. 

Als eine Motivation für die folgende Gleichsetzung von unterschiedlichen Brüchen betrachten wir nochmal die Proportionalität. Zwei ganze Zahlen
{{
mathkor|term1=
{{{r|r}}} \neq 0
|und|term2=
{{{s|s}}}
|SZ=
}} 
definieren einen proportionalen Zusammenhang {{math|term= \varphi |SZ=,}} der an der Stelle {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= {{{s|s}}} |SZ=}} besitzt. Er besitzt dann an der Stelle {{math|term= n {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= n {{{s|s}}} |SZ=.}} Dieser Zusammenhang besteht unabhängig davon, ob er durch eine ganzzahlige Konstante {{math|term= c |SZ=}} in der Form
{{
Relationskette
| \varphi (x)
|| cx
||
||
||
|SZ=
}}
beschrieben werden kann. Ein proportionaler Zusammenhang ist durch ein einziges von {{mathl|term=  (0,0) |SZ=}} verschiedenes Zahlenpaar eindeutig festgelegt. Er kann durch die Gerade, die durch 
{{
mathkor|term1=
(0,0) 
|und|term2=
({{{r|r}}},{{{s|s}}})
|SZ=
}}
verläuft, graphisch dargestellt werden, unabhängig davon, ob der proportionale Zusammenhang auf ganz {{math|term= \Z |SZ=}} definiert ist oder nicht. Dabei bestimmen zwei ganzzahlige Paare
{{
mathkor|term1=
 ({{{r|r}}},{{{s|s}}})
|und|term2=
 ({{{r|r}}}',{{{s|s}}}')
|SZ=
}}
genau dann den gleichen Zusammenhang
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Steigungen der zugehörigen linearen Graphen stimmen überein|
|ISZ=|ESZ=,
}}
wenn sie an der Stelle {{mathl|term= {{{r|r}}} {{{r|r}}}' |SZ=,}} wo man die Werte unmittelbar vergleichen kann, den gleichen Wert besitzen. Die Werte sind an dieser Stelle
{{
mathkor|term1=
{{{s|s}}} {{{r|r}}}'
|bzw.|term2=
{{{s|s}}}'{{{r|r}}}
|SZ=,
}}
sodass genau im Fall
{{
Relationskette/display
| {{{r|r}}}' {{{s|s}}}
|| {{{r|r}}} {{{s|s}}}'
||
||
||
|SZ=
}}
die beiden proportionalen Zusammenhänge als gleich zu betrachten sind. Dies ist eine Grundlage für die in der folgenden Definition auftretenden {{Stichwort|Überkreuzregel|SZ=.}} 
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>r0sqh53l4z7zti1ztwp59rf95er5cge</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107705</id>
      <parentid>1107703</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:04:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107705</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3099" sha1="f8fdssqezbotjht7o6vyltp5ign3wve" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Eine Gleichung der Form
{{
Relationskette/display
| b x
|| a
||
||
||
|SZ=
}}
mit fixierten ganzen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} besitzt innerhalb der ganzen Zahlen im Allgemeinen keine Lösung für {{math|term=  x |SZ=.}} Bei
{{
Relationskette
| b
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| a
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
gibt es auch keine Lösung innerhalb einer sinnvollen Zahlenbereichserweiterung. Bei
{{
Relationskette
| b
| \neq | 0
||
||
||
|SZ=
}}
gibt es hingegen innerhalb der rationalen Zahlen eine eindeutige Lösung, nämlich
{{
Relationskette/display
| x
|| {{op:Bruch| a |b}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Wir führen nun die rationalen Zahlen, ausgehend von {{math|term= \Z |SZ=,}} ein, und zwar zunächst als Menge von Brüchen mit einer bestimmten Identifikation. Anschließend definieren wir eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge und weisen, ebenfalls unter Bezug auf die ganzen Zahlen, die Gültigkeit der wichtigsten Rechengesetze nach. 

Als eine Motivation für die folgende Gleichsetzung von unterschiedlichen Brüchen betrachten wir nochmal die Proportionalität. Zwei ganze Zahlen
{{
mathkor|term1=
{{{r|r}}} \neq 0
|und|term2=
{{{s|s}}}
|SZ=
}} 
definieren einen proportionalen Zusammenhang {{math|term= \varphi |SZ=,}} der an der Stelle {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= {{{s|s}}} |SZ=}} besitzt. Er besitzt dann an der Stelle {{math|term= n {{{r|r}}} |SZ=}} den Wert {{math|term= n {{{s|s}}} |SZ=.}} Dieser Zusammenhang besteht unabhängig davon, ob er durch eine ganzzahlige Konstante {{math|term= c |SZ=}} in der Form
{{
Relationskette
| \varphi (x)
|| cx
||
||
||
|SZ=
}}
beschrieben werden kann. Ein proportionaler Zusammenhang ist durch ein einziges von {{mathl|term=  (0,0) |SZ=}} verschiedenes Zahlenpaar eindeutig festgelegt. Er kann durch die Gerade, die durch 
{{
mathkor|term1=
(0,0) 
|und|term2=
({{{r|r}}},{{{s|s}}})
|SZ=
}}
verläuft, graphisch dargestellt werden, unabhängig davon, ob der proportionale Zusammenhang auf ganz {{math|term= \Z |SZ=}} definiert ist oder nicht. Dabei bestimmen zwei ganzzahlige Paare
{{
mathkor|term1=
 ({{{r|r}}},{{{s|s}}})
|und|term2=
 ({{{r|r}}}',{{{s|s}}}')
|SZ=
}}
genau dann den gleichen Zusammenhang
{{
Zusatz/Klammer
|text=die Steigungen der zugehörigen linearen Graphen stimmen überein|
|ISZ=|ESZ=,
}}
wenn sie an der Stelle {{mathl|term= {{{r|r}}} {{{r|r}}}' |SZ=,}} wo man die Werte unmittelbar vergleichen kann, den gleichen Wert besitzen. Die Werte sind an dieser Stelle
{{
mathkor|term1=
{{{s|s}}} {{{r|r}}}'
|bzw.|term2=
{{{s|s}}}'{{{r|r}}}
|SZ=,
}}
sodass genau im Fall
{{
Relationskette/display
| {{{r|r}}}' {{{s|s}}}
|| {{{r|r}}} {{{s|s}}}'
||
||
||
|SZ=
}}
die beiden proportionalen Zusammenhänge als gleich zu betrachten sind. Dies ist eine Grundlage für die in der folgenden Definition auftretende {{Stichwort|Überkreuzregel|SZ=.}} 
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Proportionalität
|Kategorie2=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>f8fdssqezbotjht7o6vyltp5ign3wve</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Angeordneter Körper/Betrag/Einführung/Textabschnitt</title>
    <ns>0</ns>
    <id>142095</id>
    <revision>
      <id>1107713</id>
      <parentid>1102847</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T10:48:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107713</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2240" sha1="7qnhta5auy5m7qj7xuybzrgxg8ih5sn" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt= 
{{
inputbild
|Absolute value|svg| 250px {{!}} right {{!}} | 
|Zusname=Absolute_value
|Autor=
|Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputdefinition
|Angeordneter Körper/Betrag/Definition||
}}

Der Betrag ist also nie negativ
{{
Zusatz/Klammer
|text=da aus
{{
Relationskette/k
| x
|&lt;| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
die Beziehung
{{
Relationskette/k
| -x
|&gt;| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
folgt, vergleiche
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt
|Nr=2
|SZ=
}}
|ISZ=|ESZ=
}}
und hat nur bei
{{
Relationskette
| x
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
den Wert {{math|term=  0 |SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung
{{
Abbildung/display
|name=
| K | K
| x | {{op:Betrag| x}}
|SZ=,
}}
nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}}

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma||
|ref1=||
}}

Die Zahl {{mathl|term= {{op:Betrag| x-y}} |SZ=}} nennt man auch den {{Stichwort|Abstand}} der beiden Zahlen
{{
mathkor|term1=
x
|und|term2=
y
|SZ=
}}
und die Länge der Strecke
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder des {{Stichwort|Intervalls|msw=Intervall|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
von
{{
mathkor|term1=
x
|nach|term2=
y
|SZ=
}}
bzw. von
{{
mathkor|term1=
y
|nach|term2=
x
|SZ=.
}}
Bei
{{
Relationskette
| x
|&lt;| y
||
||
||
|SZ=
}}
wird die Strecke von {{math|term= x |SZ=}} nach {{math|term= y |SZ=}} in {{math|term=  n |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text={{
Relationskette/k
| n
| \in| \N_+
||
||
||
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=
}}
gleichlange Streckenabschnitte eingeteilt, wenn man die Zwischenpunkte
{{
Mathbed/display|term=
  x + i {{op:Bruch| y-x|n}} 
||bedterm1=
i {{=}} 0, 1 {{kommadots|}} n
||bedterm2=
|SZ=,
}}
betrachtet
{{
Zusatz/Klammer
|text=bei
{{
Relationskette/k
| i
|| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
bzw.
{{
Relationskette/k
| i
|| n
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
ergeben sich Randpunkte|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>7qnhta5auy5m7qj7xuybzrgxg8ih5sn</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 11</title>
    <ns>106</ns>
    <id>142117</id>
    <revision>
      <id>1107495</id>
      <parentid>991702</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:09:26Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107495</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5298" sha1="jlpo34mz3zjlcmll5pp0y5pe3jjhcnv" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|11|

{{
inputbild
|Göttingen Minipig|jpg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=... und ein Vorlesungsminischwein diskutiert.
|Autor=
|Benutzer=Minipigs
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}

{{Zwischenüberschrift|Axiomatik}}

{{:Grundkurs Mathematik/Axiomatik/Elementare Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kommutative Halbringe}}

{{:Natürliche Zahlen/Halbring/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}}

{{
inputfaktbeweis
|Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt|Lemma||
}}

Das folgende Beispiel zeigt, dass in einem kommutativen Halbring im Allgemeinen nicht die Gleichung
{{
Relationskette/display
|0x
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
für alle {{math|term= x |SZ=}} gilt. Für die natürlichen Zahlen und in jedem kommutativen Ring gilt diese Eigenschaft, siehe
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt
|Nr=1
|SZ=
}}
und
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt
|Nr=1
|SZ=.
}}
Es ist also keineswegs so, dass man jede Eigenschaft, die im derzeit hauptsächlich interessierenden Zahlenbereich
{{
Zusatz/Klammer
|text=also derzeit die Menge der natürlichen Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
gilt, aus dem Begriff eines kommutativen Halbringes ableiten kann.
{{
inputbeispiel
|Kommutativer Halbring/Drei Elemente/Spezielle Eigenschaften/1/Beispiel||
}}

Die folgende Aussage heißt das {{Stichwort|allgemeine Distributivgesetz|msw=Allgemeines Distributivgesetz|SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
}}

{{Zwischenüberschrift|Die Potenzgesetze}}

Wie für die natürlichen Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
|ISZ=|ESZ=
}}
gelten in jedem kommutativen Halbring die folgenden {{Stichwort|Potenzgesetze|msw=Potenzgesetze|SZ=.}} Man beachte, dass bei der Potenz {{math|term= a^n |SZ=}} die Basis {{math|term= a |SZ=}} aus dem kommutativen Halbring und der Exponent {{math|term= n |SZ=}} eine natürliche Zahl ist. Die Schreibweise {{mathl|term= a^b |SZ=}} mit {{math|term= a,b |SZ=}} aus dem Halbring hat im Allgemeinen keine Bedeutung.
{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt|Lemma||
}}

{{Zwischenüberschrift|Die binomische Formel}}

Die Gültigkeit der ersten binomischen Formel ist keine Besonderheit der natürlichen Zahlen, sondern folgt allein aus den im Begriff eines Halbringes zusammengefassten Eigenschaften.
{{
inputfaktbeweis
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Korollar||
}}
Die zweite und die dritte binomische Formel lässt sich nicht in einem beliebigen Halbring formulieren, da in ihnen das Minuszeichen bzw. die Subtraktion vorkommt, die es in einem beliebigen kommutativen Halbring nicht gibt und die innerhalb der natürlichen Zahlen auch nur eingeschränkt ausführbar ist. Stattdessen werden wir uns den höheren Potenzen von Summen zuwenden. Die {{Stichwort|erste binomische Formel}} besagt wie eben formuliert
{{
Relationskette/display
| (a+b)^2
|| a^2 +2ab +b^2
||
||
||
|SZ=.
}}
Für die dritte Potenz einer Summe gilt
{{
Relationskette/display
| (a+b)^3
|| a^3 +3a^2b +3ab^2+b^3
||
||
||
|SZ=
}}
und für die vierte Potenz
{{
Relationskette/display
| (a+b)^4
|| a^4 +4a^3b+6 a^2b^2 +4ab^3+b^4
||
||
||
|SZ=.
}}
Worauf beruht dieser Zusammenhang und wo kommen diese Vorfaktoren her? Betrachten wir die dritte Potenz. Es ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=wieder in einem beliebigen kommutativen Halbring|
|ISZ=|ESZ=
}}

{{
Relationskette/align
| (a+b)^3
|| (a+b) (a+b)^2
|| (a+b) (a^2+ 2ab +b^2)
|| a (a^2+ 2ab +b^2) +b (a^2+ 2ab +b^2)
|| a^3 +2a^2b +ab^2   +a^2b +2ab^2 +b^3
|| a^ 3+3a^2b+3ab^2+b^3
|SZ=.
}}
Für die vierte Potenz siehe
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
In dieser Weise kann man jede Potenz einer Summe als Summe von Produkten ausdrücken, wobei die auftretenden Koeffizienten {{Stichwort|Binomialkoeffizienten|msw=Binomialkoeffizient}} heißen. Um diese einzuführen, müssen wir uns mit elementarer Kombinatorik beschäftigen, was wir in der übernächsten Vorlesung tun werden.

{{Zwischenüberschrift|Die Potenzmenge}}

Wir schließen mit einem Objekt ab, das ein eher ungewöhnliches Beispiel für einen kommutativen Halbring und auch ein Beispiel für eine geordnete, aber nicht total geordnete Menge ist, die Potenzmenge. Sie ist auch wichtig im Rahmen der elementaren Kombinatorik.
{{
inputdefinition
|Mengen/Potenzmenge/Definition||
}}
Wenn {{math|term= M |SZ=}} die Menge der Leute im Kurs sind, so kann man {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=}} als die Menge aller Parties auffassen, die diese Leute feiern können, wenn man eine Party mit der Menge der anwesenden Leute identifiziert.

{{
inputbeispiel
|Potenzmenge/Geordnet durch Inklusion/Beispiel||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt|Lemma||
}}
Im vorstehenden Beispiel kann man die Rollen der Addition und der Multiplikation sogar vertauschen, da das Distributivgesetz auch in der Form
{{
Relationskette/display
| A \cup (B \cap C)
|| (A \cup B) \cap (A \cup C)
||
||
||
|SZ=
}}
gilt.

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>jlpo34mz3zjlcmll5pp0y5pe3jjhcnv</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107496</id>
      <parentid>1107495</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T14:13:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107496</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5311" sha1="fhi19fqzqusfgampclyit5ussetqpgs" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|11|

{{
inputbild
|Göttingen Minipig|jpg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=... und ein Vorlesungsminischwein diskutiert.
|Autor=
|Benutzer=Minipigs
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 3.0
|Bemerkung=
}}

{{Zwischenüberschrift|Axiomatik}}

{{:Grundkurs Mathematik/Axiomatik/Elementare Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kommutative Halbringe}}

{{:Natürliche Zahlen/Halbring/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}}

{{
inputfaktbeweis
|Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt|Lemma||
}}

Das folgende Beispiel zeigt, dass in einem kommutativen Halbring im Allgemeinen nicht die Gleichung
{{
Relationskette/display
|0x
|| 0
||
||
||
|SZ=
}}
für alle {{math|term= x |SZ=}} gilt. Für die natürlichen Zahlen und in jedem kommutativen Ring gilt diese Eigenschaft, siehe
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt
|Nr=1
|SZ=
}}
und
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt
|Nr=1
|SZ=.
}}
Es ist also keineswegs so, dass man jede Eigenschaft, die im derzeit hauptsächlich interessierenden Zahlenbereich
{{
Zusatz/Klammer
|text=also derzeit die Menge der natürlichen Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
gilt, aus dem Begriff eines kommutativen Halbringes ableiten kann.
{{
inputbeispiel
|Kommutativer Halbring/Drei Elemente/Spezielle Eigenschaften/1/Beispiel||
}}

Die folgende Aussage heißt das {{Stichwort|allgemeine Distributivgesetz|msw=Allgemeines Distributivgesetz|SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
}}

{{Zwischenüberschrift|Die Potenzgesetze}}

Wie für die natürlichen Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
|ISZ=|ESZ=
}}
gelten in jedem kommutativen Halbring die folgenden {{Stichwort|Potenzgesetze|msw=Potenzgesetze|SZ=.}} Man beachte, dass bei der Potenz {{math|term= a^n |SZ=}} die Basis {{math|term= a |SZ=}} aus dem kommutativen Halbring und der Exponent {{math|term= n |SZ=}} eine natürliche Zahl ist. Die Schreibweise {{mathl|term= a^b |SZ=}} mit {{math|term= a,b |SZ=}} aus dem Halbring hat im Allgemeinen keine Bedeutung.
{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt|Lemma||
}}

{{Zwischenüberschrift|Die binomische Formel}}

Die Gültigkeit der ersten binomischen Formel ist keine Besonderheit der natürlichen Zahlen, sondern folgt allein aus den im Begriff eines Halbringes zusammengefassten Eigenschaften.
{{
inputfaktbeweis
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Korollar||
}}
Die zweite und die dritte binomische Formel lässt sich nicht in einem beliebigen Halbring formulieren, da in ihnen das Minuszeichen bzw. die Subtraktion vorkommen, die es in einem beliebigen kommutativen Halbring nicht gibt und die innerhalb der natürlichen Zahlen auch nur eingeschränkt ausführbar ist. Stattdessen werden wir uns den höheren Potenzen von Summen zuwenden. Die {{Stichwort|erste binomische Formel}} besagt wie eben formuliert
{{
Relationskette/display
| (a+b)^2
|| a^2 +2ab +b^2
||
||
||
|SZ=.
}}
Für die dritte Potenz einer Summe gilt
{{
Relationskette/display
| (a+b)^3
|| a^3 +3a^2b +3ab^2+b^3
||
||
||
|SZ=
}}
und für die vierte Potenz
{{
Relationskette/display
| (a+b)^4
|| a^4 +4a^3b+6 a^2b^2 +4ab^3+b^4
||
||
||
|SZ=.
}}
Worauf beruht dieser Zusammenhang und wo kommen diese Vorfaktoren her? Betrachten wir die dritte Potenz. Es ist
{{
Zusatz/Klammer
|text=wieder in einem beliebigen kommutativen Halbring|
|ISZ=|ESZ=
}}

{{
Relationskette/align
| (a+b)^3
|| (a+b) (a+b)^2
|| (a+b) (a^2+ 2ab +b^2)
|| a (a^2+ 2ab +b^2) +b (a^2+ 2ab +b^2)
|| a^3 +2a^2b +ab^2   +a^2b +2ab^2 +b^3
|| a^ 3+3a^2b+3ab^2+b^3
|SZ=.
}}
Für die vierte Potenz siehe
{{
Aufgabelink
|Präwort=||Aufgabeseitenname=
Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}
In dieser Weise kann man jede Potenz einer Summe als Summe von Produkten ausdrücken, wobei die auftretenden Koeffizienten {{Stichwort|Binomialkoeffizienten|msw=Binomialkoeffizient}} heißen. Um diese einzuführen, müssen wir uns mit elementarer Kombinatorik beschäftigen, was wir in der übernächsten Vorlesung tun werden.

{{Zwischenüberschrift|Die Potenzmenge}}

Wir schließen mit einem Objekt ab, das ein eher ungewöhnliches Beispiel für einen kommutativen Halbring und auch ein Beispiel für eine geordnete, aber nicht total geordnete Menge ist, nämlich mit der Potenzmenge. Sie ist auch wichtig im Rahmen der elementaren Kombinatorik.
{{
inputdefinition
|Mengen/Potenzmenge/Definition||
}}
Wenn {{math|term= M |SZ=}} die Menge der Leute im Kurs ist, so kann man {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=}} als die Menge aller Parties auffassen, die diese Leute feiern können, wenn man eine Party mit der Menge der anwesenden Leute identifiziert.

{{
inputbeispiel
|Potenzmenge/Geordnet durch Inklusion/Beispiel||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt|Lemma||
}}
Im vorstehenden Beispiel kann man die Rollen der Addition und der Multiplikation sogar vertauschen, da das Distributivgesetz auch in der Form
{{
Relationskette/display
| A \cup (B \cap C)
|| (A \cup B) \cap (A \cup C)
||
||
||
|SZ=
}}
gilt.

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>fhi19fqzqusfgampclyit5ussetqpgs</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 18</title>
    <ns>106</ns>
    <id>142124</id>
    <revision>
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      <timestamp>2026-07-17T06:50:44Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107624</origin>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="4172" sha1="akse8yhlb457qwtrrt11y6eizuh3xql" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|18|

{{
inputbild
|Waeller331|jpg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=Vorli mag so ziemlich alles. Nur Handies findet sie blöd. Sie sind definitiv nix zum Fressen. Aber auch nix zum Spielen, da sie ablenken, ohne zu zerstreuen.
|Autor=
|Benutzer=Odatrulle
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 4.0
|Bemerkung=
}}

{{Zwischenüberschrift|Die ganzen Zahlen}}

Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass die Gleichung
{{
Relationskette/display
|a+x
||b
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| a,b
|\in| \N 
||
||
||
|SZ=
}} 
formulierbar ist, aber es dort bei
{{
Relationskette
|a
|&gt;|b
||
||
||
|SZ=
}}
keine Lösung gibt. Wir würden gerne von dieser Gleichung links und rechts {{math|term= a |SZ=}} {{Anführung|abziehen|SZ=,}} um links
{{
Relationskette/display
| a+x-a
|| x
||
||
||
|SZ=
}}
und rechts die Lösung {{mathl|term= b-a |SZ=}} für {{math|term= x |SZ=}} zu erhalten. Um dies durchführen zu können, müssen wir die natürlichen Zahlen zu einem größeren Zahlenbereich erweitern, nämlich zur Menge der ganzen Zahlen. Solche Zahlenbereichserweiterungen ziehen sich durch die gesamte Mathematik, egal ob in der Schule oder an der Hochschule. Wir werden noch die Erweiterung von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen und von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen kennenlernen. Eine wichtige Motivation ist dabei, so wie hier, dass man Lösungen für gewisse Gleichungen finden möchte, für die es im Ausgangszahlenbereich keine Lösung gibt, und dass man diese Lösungen auch rechnerisch auffinden und handhaben möchte. Zugleich möchte man mit den neuen Zahlen möglichst viel machen können, was man im Ausgangsbereich kann, also beispielsweise nach wie vor addieren und multiplizieren, wobei auch die gleichen Gesetzmäßigkeiten weiter gelten sollen
{{
Zusatz/Klammer
|text= {{Stichwort|Permanenzprinzip|SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Da wir von nun an mit verschiedenen Zahlenbereichen arbeiten, wird es wichtig, zu betonen, in welchem Zahlenbereich wir uns befinden. Die Gleichung
{{
Relationskette/display
| 5+x
|| 2
||
||
||
|SZ=
}}
besitzt in {{math|term= \N |SZ=}} keine Lösung. Diese Tatsache bleibt unabhängig davon bestehen, dass es in anderen Bereichen eine Lösung gibt.

Wir führen jetzt die Menge der ganzen Zahlen ein, auf denen wir dann bald die Verknüpfungen festlegen und die zugehörigen Rechengesetze nachweisen werden.
{{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Nachfolger/Negation/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=
{{
Zusatz/Fußnote
|text=Einen mengentheoretisch aufwändigeren Zugang zu den ganzen Zahlen werden wir im zweiten Semester kennenlernen|
|ISZ=.|ESZ=
}}
|zusatz2=in der fünften Vorlesung}} 

{{Zwischenüberschrift|Die Addition auf den ganzen Zahlen}}

Wir kommen zur Addition auf den ganzen Zahlen.
{{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Addition/Einführung/Textabschnitt|}}

In beiden Fällen erfüllt also das Negative {{math|term= -x |SZ=}} zu {{math|term= x |SZ=}} die Eigenschaft
{{
Relationskette
| x+ (-x)
|| 0
||
||
||
|SZ=.
}}

Für die Assoziativität der Addition in {{math|term= \Z |SZ=}} geben wir noch ein weiteres einleuchtenderes Argument, das sich an der inhaltlichen Beschreibung der Addition von ganzen Zahlen als einen gerichteten Transport von Objekten
{{
Zusatz/Klammer
|text=zwischen zwei Haufen, also mit Rücktransport|
|ISZ=|ESZ=
}}
orientiert. Diese Interpretation deckt sich mit den Festlegungen in
{{
Definitionslink
|Prämath=der
|Definition|
|Definitionsseitenname=
Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition

|SZ=.
}}
In dieser Interpretation ist aber das Assoziativgesetz unmittelbar einleuchtend, da man die Hintereinanderausführung von drei Transportprozessen als einen Gesamtprozess auffassen kann, aber auch die beiden ersten Prozesse zusammenfassen oder die beiden letzten zusammenfassen kann.

{{Zwischenüberschrift|Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen}}

{{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Multiplikation/Einführung/Textabschnitt|}}

{{Zwischenüberschrift|Der Betrag}}

{{
inputdefinition
|Ganze Zahlen/Betrag/Definition||
}}
Der Betrag ist also stets eine natürliche Zahl.

{{Fußnotenliste}}

}}</text>
      <sha1>akse8yhlb457qwtrrt11y6eizuh3xql</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 19</title>
    <ns>106</ns>
    <id>142125</id>
    <revision>
      <id>1107632</id>
      <parentid>1002689</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:02:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107632</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1730" sha1="9h89yl4bcndpqmvo267hpwq058oh7ei" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|19|

{{
inputbild
|Dsc 7112-large|jpg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=So sah Vorli als Welpe aus.
|Autor=
|Benutzer=Odatrulle
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 4.0
|Bemerkung=
}}

{{Zwischenüberschrift|Kommutative Ringe}}

Wir erfassen die in der letzten Vorlesung etablierten algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen mit einem neuen Begriff.
{{:Kommutativer Ring/Halbring und Z bekannt/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=in der letzten Vorlesung gemachten|zusatz2=
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe die zehnte Vorlesung|
|ISZ=|ESZ=
}} }}

{{Zwischenüberschrift|Gruppen}}

{{:Gruppentheorie/Z/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Die Ordnung auf den ganzen Zahlen}}

{{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Angeordneter Ring/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Die Teilbarkeitsbeziehung für ganze Zahlen}}

Wir wollen die Teilbarkeitsbeziehung von {{math|term= \N |SZ=}} auf {{math|term= \Z |SZ=}} erweitern.

{{inputdefinition
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition|}}

Für natürliche Zahlen {{mathl|term= a,b |SZ=}} gilt {{mathl|term= a {{|}} b |SZ=}} in {{math|term= \N |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= a {{|}} b |SZ=}} in {{math|term= \Z |SZ=}} gilt. Die folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt
|Nr=
|SZ=,
}}
sie beruht ausschließlich auf Eigenschaften eines kommutativen Ringes.
{{inputfaktbeweisaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||}}

{{Zwischenüberschrift|Die Zifferndarstellung für ganze Zahlen}}

{{:Ganze Zahlen/Zifferndarstellung/Direkt/Textabschnitt}}

}}</text>
      <sha1>9h89yl4bcndpqmvo267hpwq058oh7ei</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 20</title>
    <ns>106</ns>
    <id>142126</id>
    <revision>
      <id>1107634</id>
      <parentid>1106344</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:06:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107634</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3267" sha1="ecn1sdb05zbyfyzza364eikpgk0emdp" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|20|

Wir kehren zur Thematik der Primzahlen und der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zurück. Bisher kennen wir nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
|
|ISZ=|ESZ=,
}}
aber noch nicht die Eindeutigkeit. Obwohl wir diese Fragestellung für natürliche Zahlen formuliert haben, ergibt sich im Kontext der ganzen Zahlen ein neuer Zusammenhang, der für diese Thematik hilfreich ist.

{{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit und das Lemma von Bézout}}

{{
inputbild
|Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Grunners
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputbild
|Zille vorichte|png|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=
|Autor=Heinrich Zille
|Benutzer=Hendrike
|Domäne=
|Lizenz=gemeinfrei
|Bemerkung=
}}
{{:Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe}}

Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term=7|SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder gleichzeitig|
|ISZ=|ESZ=
}}
macht man zweimal den {{math|term=10|SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann
{{
Relationskette/display
|3 \cdot 7 -2 \cdot 10
||1
||
||
||
|SZ=
}}
Liter transportiert
{{
Zusatz/Klammer
|text=eine andere Möglichkeit ist
{{
Relationskette/k
|5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 
||1
||
||
||
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

Man sagt auch, dass
{{
Relationskette
| ra+sb
||1
||
||
||
|SZ=
}}
eine  {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term=1|SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
ist. Die {{mathl|term= r,s|SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung.

{{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}} }}

{{:Ganze Zahlen/Untergruppen/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}}

Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers ale eine Linearkombination der
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
explizit zu finden.

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}}

Wenn man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d|SZ=}} von zwei Zahlen
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
gefunden hat, so kann man aus diesen Rechnungen auch die Quotienten
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch|a|d}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch|b|d}} 
|SZ=
}}
bestimmen, da dann alle euklidischen Reste Vielfache von {{math|term= d |SZ=}} sind.

{{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}}

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kommensurabilität}}

{{:Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt}}

{{Fußnotenliste|}} 

}}</text>
      <sha1>ecn1sdb05zbyfyzza364eikpgk0emdp</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107647</id>
      <parentid>1107634</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:16:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107647</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3276" sha1="318uorpvgrjckcr098sz5il49qhofl3" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|20|

Wir kehren zur Thematik der Primzahlen und der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zurück. Bisher kennen wir nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
|ISZ=|ESZ=,
}}
aber noch nicht die Eindeutigkeit. Obwohl wir diese Fragestellung für natürliche Zahlen formuliert haben, ergibt sich im Kontext der ganzen Zahlen ein neuer Zusammenhang, der für diese Thematik hilfreich ist.

{{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit und das Lemma von Bézout}}

{{
inputbild
|Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Grunners
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputbild
|Zille vorichte|png|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=
|Autor=Heinrich Zille
|Benutzer=Hendrike
|Domäne=
|Lizenz=gemeinfrei
|Bemerkung=
}}
{{:Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe}}

Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term= 7 |SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder gleichzeitig|
|ISZ=|ESZ=
}}
macht man zweimal den {{math|term= 10 |SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann
{{
Relationskette/display
| 3 \cdot 7 -2 \cdot 10
|| 1
||
||
||
|SZ=
}}
Liter transportiert
{{
Zusatz/Klammer
|text=eine andere Möglichkeit ist
{{
Relationskette/k
|5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 
||1
||
||
||
|SZ=
}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

Man sagt auch, dass
{{
Relationskette
| ra+sb
||1
||
||
||
|SZ=
}}
eine {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term=1|SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
ist. Die {{mathl|term= r,s |SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung.

{{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term= \Z |SZ=}} }}

{{:Ganze Zahlen/Untergruppen/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}}

Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers ale eine Linearkombination der
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
explizit zu finden.

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}}

Wenn man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d |SZ=}} von zwei Zahlen
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
gefunden hat, so kann man aus diesen Rechnungen auch die Quotienten
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch|a|d}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch|b|d}} 
|SZ=
}}
bestimmen, da dann alle euklidischen Reste Vielfache von {{math|term= d |SZ=}} sind.

{{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}}

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kommensurabilität}}

{{:Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt}}

{{Fußnotenliste|}} 

}}</text>
      <sha1>318uorpvgrjckcr098sz5il49qhofl3</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107652</id>
      <parentid>1107647</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:42:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107652</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3276" sha1="cendr1znbo9ql3icrgdqigitfuvgait" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|20|

Wir kehren zur Thematik der Primzahlen und der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl zurück. Bisher kennen wir nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
|ISZ=|ESZ=,
}}
aber noch nicht die Eindeutigkeit. Obwohl wir diese Fragestellung für natürliche Zahlen formuliert haben, ergibt sich im Kontext der ganzen Zahlen ein neuer Zusammenhang, der für diese Thematik hilfreich ist.

{{Zwischenüberschrift|Teilerfremdheit und das Lemma von Bézout}}

{{
inputbild
|Kielcanal|PNG|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Grunners
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputbild
|Zille vorichte|png|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=
|Autor=Heinrich Zille
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|Lizenz=gemeinfrei
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}}
{{:Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe}}

Die Aufgabe ist lösbar: Man macht dreimal den {{math|term= 7 |SZ=-}}Liter-Eimer in der Nordsee voll und transportiert dies in die Ostsee. Danach
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder gleichzeitig|
|ISZ=|ESZ=
}}
macht man zweimal den {{math|term= 10 |SZ=-}}Liter-Eimer in der Ostsee voll und transportiert dies in die Nordsee. Unterm Strich hat man dann
{{
Relationskette/display
| 3 \cdot 7 -2 \cdot 10
|| 1
||
||
||
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}}
Liter transportiert
{{
Zusatz/Klammer
|text=eine andere Möglichkeit ist
{{
Relationskette/k
|5 \cdot 10 - 7 \cdot 7 
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||
||
||
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}}|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Die dieser Überlegung zugrunde liegende Aussage heißt {{Stichwort|Lemma von Bézout|SZ=.}} 
{{
inputfaktbeweis
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

Man sagt auch, dass
{{
Relationskette
| ra+sb
||1
||
||
||
|SZ=
}}
eine {{Stichwort|Darstellung|msw=Darstellung der 1|SZ=}} der {{math|term=1|SZ=}} als eine {{Stichwort|Linearkombination|SZ=}} der
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
ist. Die {{mathl|term= r,s |SZ=}} heißen {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} der Darstellung.

{{Zwischenüberschrift|Die Untergruppen von {{math|term= \Z |SZ=}} }}

{{:Ganze Zahlen/Untergruppen/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Der Euklidische Algorithmus}}

Der euklidische Algorithmus dient dazu, zu gegebenen Zahlen {{math|term= a,b |SZ=}} ihren größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und eine Darstellung dieses größten gemeinsamen Teilers als eine Linearkombination der
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
explizit zu finden.

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Einführung/Textabschnitt}}

Wenn man mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d |SZ=}} von zwei Zahlen
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=
}}
gefunden hat, so kann man aus diesen Rechnungen auch die Quotienten
{{
mathkor|term1=
 {{op:Bruch|a|d}} 
|und|term2=
 {{op:Bruch|b|d}} 
|SZ=
}}
bestimmen, da dann alle euklidischen Reste Vielfache von {{math|term= d |SZ=}} sind.

{{Zwischenüberschrift|Darstellung des größten gemeinsamen Teilers}}

{{:Euklidischer Algorithmus/Z/Darstellung des ggT/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Kommensurabilität}}

{{:Strecken/Euklidischer Algorithmus/Textabschnitt}}

{{Fußnotenliste|}} 

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      <sha1>cendr1znbo9ql3icrgdqigitfuvgait</sha1>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 23</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      <text bytes="1282" sha1="s7ky7ww82tflg6r4l8n6d7mnj6ynj17" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|23|

{{
inputbild
|Waeller6|jpg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=Doch dann hat sie das Beste daraus gemacht. Vermutlich hängt ihre Zugänglichkeit und Menschenbezogenheit auch mit ihren frühen Erfahrungen zusammen. 
|Autor=
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{{Zwischenüberschrift|Die rationalen Zahlen}}

{{:Proportionalität/Rationale Zahlen/Hinführung/Bemerkung}}

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inputbild
|FractionStrips|PNG|230px {{!}} right {{!}} 
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|Autor=
|Benutzer=Zapotz
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{{:Rationale Zahlen/Brüche/Ausführlich/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Rechenoperationen auf den rationalen Zahlen}}

{{:Rationale Zahlen/Brüche/Rechenoperationen/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Körper}}

Wir erfassen die algebraischen Eigenschaften, die für die rationalen Zahlen gelten, mit einem eigenen Begriff.

{{:Rationale Zahlen/Brüche/Körper/2/Einführung/Textabschnitt}}

{{
inputbild
|Half-integer house|jpg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=Auch bei der Nummerierung von Häusern ergeben sich mit rationalen Zahlen neue Möglichkeiten.
|Autor=Stuart Chalmers
|Benutzer=
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 2.0
|Bemerkung=
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}}</text>
      <sha1>s7ky7ww82tflg6r4l8n6d7mnj6ynj17</sha1>
    </revision>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesung 25</title>
    <ns>106</ns>
    <id>142131</id>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107728</origin>
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      <text bytes="3221" sha1="fvejz3jyvki9orc6al3nqj3wuv2ds0c" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|25|

{{
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|Crystal Clear kdm user female|svg|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=Dies ist nochmal Dr. Ines Eisenbeis. Ihre zweite These lautet: Es kommt nicht auf die Hunderasse, sondern stets auf den individuellen Hund an, ob er für den Einsatz als Vorlesungshund geeignet ist.
|Autor=
|Benutzer=Ftiercel
|Domäne=
|Lizenz=GNU-Lizenz für freie Dokumentatio
|Bemerkung=
}}

{{Zwischenüberschrift|Das Archimedes-Axiom für die rationalen Zahlen}}

{{
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|Zusname=Archimedes_(Idealportrait)
|Text=[[w:Archimedes|Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)]]
|Autor=
|Benutzer=Ixitixel
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}}
{{:Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Ganze Zahlen/Einführung/Textabschnitt}}

Die letzte Aussage lässt sich gut mit Intervallen formulieren.
{{
inputdefinition
|Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition||
}}
Die Differenz {{mathl|term= b-a |SZ=}} nennt man die {{Stichwort|Intervalllänge|SZ=.}} Bei
{{
Relationskette
| a,b
|\in| \Z
||
||
||
|SZ=
}}
spricht man von einem ganzzahligen Intervall, das Intervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} heißt das
{{
Zusatz/Klammer
|text=abgeschlossene|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{Stichwort|Einheitsintervall|SZ=.}} Die obige Aussage bedeutet, dass jedes Element {{math|term= x |SZ=}} in einem archimedisch angeordneten Körper in einem eindeutig bestimmten Intervall der Form {{mathl|term= [n,n+1[ |SZ=}} mit 
{{
Relationskette
| n
|\in| \Z
||
||
||
|SZ=
}}
liegt.

{{Zwischenüberschrift|Gemischte Brüche}}

{{
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|Benutzer=Omegatron
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|Lizenz=CC-by-sa 3.0
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}}
{{
inputdefinition
|Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition||
}}

Diese ganze Zahl {{math|term= n |SZ=}} existiert nach
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt
|Nr=
|SZ=,
}}
da wir uns in einem archimedisch angeordneten Körper befinden. Ein damit verwandtes Konzept ist die {{Stichwort|Rundung|SZ=.}} Die Rundung einer rationalen 
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder reellen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Zahl {{math|term= x|SZ=}} ist durch {{mathl|term= {{op:Gaußklammer|x + {{op:Bruch|1|2}} |}} |SZ=}} definiert. Sie gibt an, welche Ganze Zahl der Zahl am nächsten ist, wobei man die {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=-}}Werte abrundet. 

{{:Rationale Zahlen/Gemischte Brüche/Textabschnitt}} 

{{Zwischenüberschrift|Das Archimedes-Prinzip für kleine Zahlen}}

{{:Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Kleine Zahlen/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Monotone Abbildungen}}

Abbildungen eines angeordneten Körpers in sich kann man dahingehend untersuchen, ob sie die Ordnung beibehalten oder verändern.
{{:Angeordneter Körper/Monotone Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=
{{
inputdefinition
|Lineare Funktion/Körper/Definition||
}}

Lineare Funktionen drücken eine Proportionalität aus.
}}

{{Zwischenüberschrift|Antiproportionale Zusammenhänge}}

{{:Invertierte Potenzfunktionen/Antiproportionaler Zusammenhang/Textabschnitt}}

}}</text>
      <sha1>fvejz3jyvki9orc6al3nqj3wuv2ds0c</sha1>
    </revision>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107738</origin>
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      <text bytes="3226" sha1="rtito5thi3gkdd2yvy4h4dvh75xrsck" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|25|

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|Crystal Clear kdm user female|svg|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=Dies ist nochmal Dr. Ines Eisenbeis. Ihre zweite These lautet: Es kommt nicht auf die Hunderasse, sondern stets auf den individuellen Hund an, ob er für den Einsatz als Vorlesungshund geeignet ist.
|Autor=
|Benutzer=Ftiercel
|Domäne=
|Lizenz=GNU-Lizenz für freie Dokumentatio
|Bemerkung=
}}

{{Zwischenüberschrift|Das Archimedes-Axiom für die rationalen Zahlen}}

{{
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|Archimedes (Idealportrait)|jpg|200px {{!}} thumb {{!}} |
|Zusname=Archimedes_(Idealportrait)
|Text=[[w:Archimedes|Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)]]
|Autor=
|Benutzer=Ixitixel
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{:Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Ganze Zahlen/Einführung/Textabschnitt}}

Die letzte Aussage lässt sich gut mit Intervallen formulieren.
{{
inputdefinition
|Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition||
}}
Die Differenz {{mathl|term= b-a |SZ=}} nennt man die {{Stichwort|Intervalllänge|SZ=.}} Bei
{{
Relationskette
| a,b
|\in| \Z
||
||
||
|SZ=
}}
spricht man von einem ganzzahligen Intervall, das Intervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} heißt das
{{
Zusatz/Klammer
|text=abgeschlossene|
|ISZ=|ESZ=
}}
{{Stichwort|Einheitsintervall|SZ=.}} Die obige Aussage bedeutet, dass jedes Element {{math|term= x |SZ=}} in einem archimedisch angeordneten Körper in einem eindeutig bestimmten Intervall der Form {{mathl|term= [n,n+1[ |SZ=}} mit 
{{
Relationskette
| n
|\in| \Z
||
||
||
|SZ=
}}
liegt.

{{Zwischenüberschrift|Gemischte Brüche}}

{{
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|Benutzer=Omegatron
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{{
inputdefinition
|Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Definition||
}}

Diese ganze Zahl {{math|term= n |SZ=}} existiert nach
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt
|Nr=
|SZ=,
}}
da wir uns in einem archimedisch angeordneten Körper befinden. Ein damit verwandtes Konzept ist die {{Stichwort|Rundung|SZ=.}} Die Rundung einer rationalen 
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder reellen|
|ISZ=|ESZ=
}}
Zahl {{math|term= x |SZ=}} ist durch {{mathl|term= {{op:Gaußklammer|x + {{op:Bruch|1|2}} |}} |SZ=}} definiert. Sie gibt an, welche ganze Zahl der Zahl am nächsten ist, wobei man die {{math|term= {{op:Bruch| 1 | 2 }} |SZ=-}}Werte abrundet. 

{{:Rationale Zahlen/Gemischte Brüche/Textabschnitt}} 

{{Zwischenüberschrift|Das Archimedes-Prinzip für kleine Zahlen}}

{{:Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Kleine Zahlen/Einführung/Textabschnitt}}

{{Zwischenüberschrift|Monotone Abbildungen}}

Abbildungen eines angeordneten Körpers in sich kann man dahingehend untersuchen, ob sie die Ordnung beibehalten oder verändern.
{{:Angeordneter Körper/Monotone Abbildungen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=
{{
inputdefinition
|Lineare Funktion/Körper/Definition||
}}

Lineare Funktionen drücken eine Proportionalität aus.
}}

{{Zwischenüberschrift|Antiproportionale Zusammenhänge}}

{{:Invertierte Potenzfunktionen/Antiproportionaler Zusammenhang/Textabschnitt}}

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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 11</title>
    <ns>106</ns>
    <id>142147</id>
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      <timestamp>2026-07-16T15:44:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107511</origin>
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      <text bytes="4537" sha1="moo0ovxe45f3uubca8qjcxcihvt3xh6" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|11|

{{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Zwei Elemente/Körper/Keine umgekehrte Distribution/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Rechnung/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Rechnung/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Dreiersumme/Zweite Potenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|N/Distributivgesetz/Rechnung/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Zwei Elemente/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/N/Eindeutige Abbildung/Potenzmenge/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Summe und Produkt von polynomialen Ausdrücken/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbild
|Numbered cake pops|jpg|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Flickr upload bot
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 2.0
|Bemerkung=
}}
Bei einer Summe oder einem Produkt von mehreren Zahlen
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder Elementen eines kommutativen Halbringes|
|ISZ=|ESZ=
}}
ist es nicht immer sinnvoll, eine feste Reihenfolge der Indexmenge zu haben. Häufig ist es besser, die Reihenfolge zu wechseln und oft gibt es gar keine natürliche Reihenfolge. Man muss sich zuerst klar machen, dass die Summe nicht von der Reihenfolge abhängt. Die Argumente sind ähnlich wie im Beweis zu
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Endliche Menge/1 bis k/Eins heraus/Fakt
|Nr=
|SZ=.
}}
{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Summe und Produkt/Beliebige Indexmenge/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/0 mal Einsersumme/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Produkthalbring/N^2/Komponentenweise/Integrität/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|N mit unendlich/Halbring/Gabi Hochster/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/1,2,viele/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Bei den folgenden Aufgaben zur Potenzmenge denke man an die Interpretation, wo {{math|term= G|SZ=}} eine Grundschulklasse und
{{
Relationskette
| M
|| {{op:Potenzmenge|G|}} 
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}} 
die Menge der möglichen
{{
Zusatz/Klammer
|text=in Hinblick auf die Gastauswahl|
|ISZ=|ESZ=
}}
Geburtstagsfeiern sind.

{{
inputaufgabe
|Klasse Geburtstagsparty/Auswahl und Einladung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Zu Mengen {{math|term= L,M |SZ=}} wird mit {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|L|M}} |SZ=}} die Menge aller Abbildungen von {{math|term= L |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=}} bezeichnet.
{{
inputaufgabe
|Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Potenzmenge/Komplementbildung/Bijektion/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Bei der folgenden Aufgabe denke man an {{math|term= A= |SZ=}} Mädchen der Klasse, {{math|term= B= |SZ=}} Jungs der Klasse.
{{
inputaufgabe
|Menge/Disjunkte_Vereinigung/Bijektion_der_Potenzmengen/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Vereinigung/Potenzmenge/Verknüpfung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Durchschnitt/Potenzmenge/Verknüpfung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Potenzmenge/Ordnungsstruktur/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Potenzmenge/Keine surjektive Abbildung darauf/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Entwicklung/Abstraktion/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Grundkurs/Abstraktion/Hürden/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Axiomatischer Aufbau/Vor- und Nachteile/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Addition und Potenzierung/Halbringeigenschaften/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Potenzmenge/Adventskranz/Zündreihenfolge/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Rechnung/2/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Inklusionsdiagramm/Dreielementige Menge/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>moo0ovxe45f3uubca8qjcxcihvt3xh6</sha1>
    </revision>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 12</title>
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    <id>142148</id>
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      <id>1107512</id>
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      <timestamp>2026-07-16T15:48:59Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107512</origin>
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      <text bytes="4501" sha1="3ibz4diglnh9m7mv7bxg85u23929bbr" xml:space="preserve">{{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|12|

{{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}}

{{
inputaufgabe
|Teileranzahl/Bis 20/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit (N)/Begriffe/Sortieren/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|N^2-1/Parität/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|N^2-N/Parität/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilerdiagramm/25,30,36/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit/Aufteilen/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit/Produktmenge/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit/Menge/Teiler/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit/Menge/Teiler/Gerade/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit/N/Kürzungsregel/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilerbeziehung/Differenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilerauflistung/Quadratwurzelschranke/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Vielfache/a und b/Bijektion/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zweierpotenzen/Teilbarkeit und natürliche Ordnung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilen/0/Paradoxe Formulierung/Tipp/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeit/Größergleichordnung/Analogien/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche
{{
Zusatz/Klammer
|text=wir haben also nach wie vor keine rationalen Zahlen|
|ISZ=|ESZ=
}}
verhalten.
{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Bruchversion/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu
{{
Faktlink
|Präwort=||Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
sehen.
{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Brüche/Rechengesetze/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Äpfel und Schokoriegel/Verteilen/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/ggT und kgV/105 und 150/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teiler/GgT und kgV/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Größter gemeinsamer Teiler/3 Zahlen/Sukzessive/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahlen/Adventskalender/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahlen/n^2+n+41/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Goldbach/Ab 12/Summe von zusammengesetzen Zahlen/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/1728/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/1025/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|N^2-1/Wann prim/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahl/Kleinstes Produkt +1 nicht prim/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung/Finde Teiler/2^(25)+1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung (Z)/2^33-1 und 2^91-1 und 2^13+1/Finde Teiler/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung (Z)/Primteiler von 2^(35)-1/Finde zwei/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Addition/Primelement/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Potenzmenge/Teilbarkeitsbeziehung/Primelemente/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutativer Halbring/Größergleichrelation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Teilerdiagramm/12,15,16,20/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zwei Teilerpaare/Größenbeziehung/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Natürliche Zahlen/Addition von Brüchen/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbild
|Koulourakia|jpg|230px {{!}} right {{!}} |
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Glane23
|Domäne=
|Lizenz=CC-by-sa 2.0
|Bemerkung=
}}
{{
inputaufgabe
|Bis 10/Kleinstes gemeinsames Vielfaches/Keksversion/Aufgabe|p+|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primfaktorzerlegung (Z)/Finde Teiler/2^(25)-1/Aufgabe|p+|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Doppel-Primzahlzwilling/Nur eins/Aufgabe|p+|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahlvierling/Zehnerintervall/Finde/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
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    </revision>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Liste der Hauptsätze</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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{{
inputfaktklappe
|Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Mengendifferenz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Differenz/Distributivgesetz/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz||zusatz1=
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}|
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gleichung/Umformungsprinzip/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganze Zahlen/Kommutativer Ring/2/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
}}

{{
inputfaktklappe
|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt|Satz|
}}

{{
inputfaktklappe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Proportionaler Zusammenhang/Elementare Eigenschaften/Ohne Quotient/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Formulierung mit zwei Elementen/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Archimedisch/Stammbrucheigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Lineare Funktion/Wachstum/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Angeordneter Körper/Potenzierung/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Dezimalbrüche/Ring/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Rationale Zahlen/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt|Korollar||
}}

&lt;!--
--&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Primzahlen/Adventskalender/Aufgabe</title>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Prof. Knopfloch und Dr. Eisenbeis basteln einen Adventskalender mit {{math|term= 24 |SZ=}} Türen für ihren Neffen Willem, der sich für Hunde und für Primzahlen interessiert.  Dr. Eisenbeis legt in die Fächer zu den geradzahligen Tagen jeweils ein lustiges Hundebild. Prof. Knopfloch legt in die Fächer zu den ungeradzahligen Tagen jeweils eine bunt gemalte Primzahl, und zwar in aufsteigender natürlicher Reihenfolge.
{{
Aufzählung4
|Welche Primzahl befindet sich hinter dem {{math|term= 23|SZ=.}} Türchen?
|Hinter welchem Türchen befindet sich die {{math|term= 23 |SZ=?}} 
|Für welche Türchen stimmt die Nummer der Tür mit dem Inhalt überein?
|Ist die Summe aller verwendeten Primzahlen gerade oder ungerade?
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Primzahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=2
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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    <title>Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/4/Textabschnitt</title>
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      <text bytes="5635" sha1="ncjbv97kne3xu1kw2w6my36jyvzazpk" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Da sich die Addition zweier natürlicher Zahlen aus den Dedekind-Peano-Axiomen ergibt, gibt es in jeder Beschreibung der natürlichen Zahlen genau eine Möglichkeit, zu addieren. Ob diese algorithmisch geschickt oder kompliziert ist, hängt wesentlich von der gewählten Beschreibung ab. Wenn man durch Strichfolgen gegebene Zahlen miteinander addiert, so hängt man einfach die beiden Strichfolgen aneinander. Dies ist auf den ersten Blick ein sehr einfacher Vorgang. Wenn man es aber ernsthaft schriftlich durchführen möchte, so sieht man, dass es extrem mühsam ist, da man jeden Strich der einen Strichfolge einzeln an die andere anhängen muss.

Das schriftliche Addieren zweier natürlicher Zahlen im Zehnersystem ist aus der Schule bekannt. Man schreibt die beiden Zahlen untereinander so, dass die Einerpositionen übereinander stehen, und addiert dann die beiden passenden Ziffern 
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne des kleinen Einundeins|
|ISZ=|ESZ=
}}
von hinten nach vorne. Wenn das Ergebnis kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} ist, schreibt man diese Zahl hin und rückt nach links. Wenn das Ergebnis größer oder gleich {{math|term= 10 |SZ=}} ist, so schreibt man die Einerziffer dieser Summe an der Stelle hin und hat in der links liegenden Stelle einen zusätzlichen Übertrag von {{math|term= 1 |SZ=}} mitzuberücksichtigen. Dies ist insgesamt ein rekursives Verfahren, das wir kurz festhalten.
{{
inputverfahren
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren||zusatz1= {{{zusatz1|}}} |zusatz2= {{{zusatz2|}}}
}}

Warum ist dieser Algorithmus richtig, warum liefert er das korrekte Ergebnis? Die Gewöhnung an dieses Verfahren verleitet dazu, diese Frage nicht ernst zu nehmen bzw. nicht zu verstehen. Das eben beschriebene schriftliche Addieren ist {{Betonung/Negation|nicht}} die Definition der Addition, sondern eine algorithmische Ausführung der Addition in einem bestimmten Beschreibungssystem
{{
Zusatz/Klammer
|text=nämlich dem Dezimalsystem|
|ISZ=|ESZ=
}}
für die natürlichen Zahlen.

Der Ausgangspunkt der Addition der natürlichen Zahlen liegt in der disjunkten Vereinigung von endlichen Mengen, wir haben die Addition über die Nachfolgerabbildung eingeführt und bereits
{{
Faktlink
|Präwort=in||Faktseitenname=
Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
gezeigt, dass sie mit dem Vereinigungskonzept übereinstimmt. Warum stimmt auch das schriftliche Addieren damit überein? Konkret: Man hat zwei Mengen
{{
mathkor|term1=
A
|und|term2=
B
|SZ=
}}
an Äpfeln und bestimmt für beide Mengen ihre Anzahl im Zehnersystem: diese seien
{{
mathkor|term1=
m
|und|term2=
n
|SZ=.
}}
Dann schüttet man die Mengen zusammen, erhält die Menge
{{
Relationskette
|C
|| A \cup B
||
||
||
|SZ=
}}
und bestimmt für diese Menge die Anzahl im Zehnersystem: diese sei {{math|term= s |SZ=.}} Warum kommt, wenn man die Zahlen
{{
mathkor|term1=
m
|und|term2=
n
|SZ=
}}
im Zehnersystem schriftlich addiert, ausgerechnet {{math|term= s |SZ=}} heraus?

Die beiden Zahlen seien als
{{
mathkor/hand|term1=
m= a_k 10^k + a_{k-1}10^{k-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0
|und|term2=
n= b_\ell 10^\ell + b_{\ell-1}10^{\ell -1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0
|SZ=
}}
gegeben, wobei die Ziffern alle zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
9
|SZ=
}}
seien. Es sei
{{
Relationskette
|k
| \geq | \ell
||
||
||
|SZ=
}}
und wir können sogar annehmen, dass
{{
Relationskette
|k
|| \ell
||
||
||
|SZ=
}}
ist, indem wir fehlende Ziffern in der zweiten Dezimalentwicklung durch Nullen auffüllen. Dann ist 
{{
Relationskette/display/handlinks
| {{makl| a_k10^k + a_{k-1}10^{k-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0 |}} + {{makl| b_k10^k + b_{k-1}10^{k-1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0 |}} 
|| {{makl| a_k +b_k |}} 10^k + {{makl| a_{k-1} +b_{k-1} |}} 10^{k-1} {{plusdots|}} {{makl| a_2+b_2 |}}  10^2+ {{makl| a_1 +b_1 |}}  10 + {{makl| a_0 +b_0 |}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Dies beruht auf dem Assoziativgesetz der Addition und dem Distributivgesetz. Achtung! Dieses Ergebnis ist nicht in der Dezimaldarstellung, da die vor den Zehnerpotenzen {{math|term= 10^{i} |SZ=}} stehenden Zahlen {{mathl|term= a_i+b_i |SZ=}} nicht unbedingt kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} sein müssen. Man kann an dieser Stelle
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung
|Nr=
|SZ=
}}
anwenden und zu den {{Anführung|größeren}} Ziffern nach oben schaufeln. Dies ist aber nicht das Verfahren des schriftlichen Addierens.
{{{zusatz3|}}}
{{
inputfaktbeweis4
|Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1= {{{zusatz1|zusatz1}}} |zusatz2= {{{zusatz2|zusatz2}}} |
||
}}

Die Korrektheit des schriftlichen Addierens überträgt sich auf die Addition mehrerer Summanden in der Dezimaldarstellung. Man summiert wieder ziffernweise und schreibt die letzte Ziffer der Summe an der entsprechenden Stelle hin, ebenso den Übertrag. Dieser kann jetzt allerdings
{{
Zusatz/Klammer
|text=ab zwölf Summanden|
|ISZ=|ESZ=
}}
sogar größergleich {{math|term= 100 |SZ=}} sein, in diesem Fall muss man die Zehnerziffer wie zuvor um eins nach links schreiben und die Hunderterstelle um zwei nach links. Grundsätzlich kann man auch eine Summe mit beliebig vielen Summanden dadurch errechnen, dass man je zwei Summanden zusammenaddiert und somit die Anzahl der Summanden sukzessive verringert, doch ist das viel komplizierter.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>ncjbv97kne3xu1kw2w6my36jyvzazpk</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Ganze Zahlen/KgV und GgT/Untergruppen/2/Einführung/Textabschnitt</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="1469" sha1="ho8hk0cukigeqrt7b7rssuzfencs56z" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
Zu einer ganzen Zahl {{math|term=  a |SZ=}} besteht {{math|term=  \Z a |SZ=}} aus allen Vielfachen von {{math|term= a|SZ=.}} Zu zwei Zahlen {{math|term=  a,b |SZ=}} besteht somit der Durchschnitt {{mathl|term=  \Z a \cap \Z b |SZ=}} aus allen Zahlen, die sowohl von {{math|term=  a |SZ=}} als auch von {{math|term=  b |SZ=}} Vielfache sind, also aus allen gemeinsamen Vielfachen von
{{
mathkor|term1=
a
|und|term2=
b
|SZ=.
}}
In der Tat gilt die folgende Aussage.

{{
inputfaktbeweis
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktbeweis
|Ganze Zahlen/KgV und gV/Fakt|Korollar||
}}

Für ganze Zahlen setzen wir den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache stets positiv an, um Eindeutigkeit zu erzielen. Grundsätzlich hat jeweils das Negative dazu die gleichen Eigenschaften.
{{
inputfaktbeweis
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt|Lemma||
}}

Der Teil (4) der vorstehenden Aussage erlaubt es, das kleinste gemeinsame Vielfache zu zwei Zahlen algorithmisch dadurch zu bestimmen, dass man ihren größten gemeinsamen Teiler mit Hilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt und das Produkt der beiden Zahlen durch diesen teilt.
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (Z)
|Kategorie2=Theorie des größten gemeinsamen Teilers (Z)
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>ho8hk0cukigeqrt7b7rssuzfencs56z</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Rationale Zahlen/Brüche/Körper/2/Einführung/Textabschnitt</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107701</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3260" sha1="mk28txcpsogodykb3yhndpj01dhavqr" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}}
|Inhalt=
{{
inputdefinition
|Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition||
}}

Ein Körper ist also insbesondere ein kommutativer Ring. Jede Eigenschaft, die in einem kommutativen Ring gilt, gilt auch in einem Körper
{{
Zusatz/Klammer
|text=aber nicht umgekehrt|
|ISZ=|ESZ=.
}}

Die beiden wichtigsten Körper sind für uns der Körper der rationalen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen, der Körper mit zwei Elementen wurde in
{{
Beispiellink
|Beispielseitenname=
Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel
|Nr=
|SZ=
}}
besprochen. Zu einem Element
{{
Relationskette
| x
| \in | K
||
||
||
|SZ=
}} 
bezeichnet man, wie in jedem kommutativen Ring, dasjenige Element, das mit {{math|term= x |SZ=}} addiert die {{math|term= 0 |SZ=}} ergibt, als das Negative von {{math|term= x |SZ=,}} geschrieben {{math|term= -x |SZ=.}} Zu einem Element
{{
mathbed|term=
x \in K
||bedterm1=
x \neq 0
||bedterm2=
|SZ=,
}}
bezeichnet man  dasjenige Element, das mit {{math|term= x |SZ=}} multipliziert die {{math|term= 1 |SZ=}} ergibt, als das Inverse von {{math|term= x |SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder den {{Stichwort|Kehrwert |SZ=}} von {{math|term= x |SZ=}} oder die zu {{math|term= x |SZ=}} {{Stichwort|reziproke Zahl |SZ=}} |
|ISZ=|ESZ=,
}}
geschrieben {{math|term= x^{-1} |SZ=.}} Auch dieses ist eindeutig bestimmt.
 
{{
inputbemerkung
|Körper/Bruchschreibweise und Division/Bemerkung||
}}

{{
inputbemerkung
|Körper/Gruppen/Lösbarkeit/Bemerkung||
}}

Die folgende Eigenschaft heißt die {{Stichwort|Nichtnullteilereigenschaft|SZ=}} eines Körpers. Sie gilt auch für {{math|term= \Z |SZ=,}} im Allgemeinen aber nicht für jeden kommutativen Ring, siehe
{{
Aufgabelink
|Aufgabeseitenname=
Produktring/Z^2/Komponentenweise/Kommutativer Ring/Integrität/Aufgabe
|Nr=
|SZ=.
}}

{{
inputfaktbeweisaufgabe
|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
}}

In einem Körper {{math|term= K |SZ=}} kann man die Potenzschreibweise erweitern. Zu
{{
mathbed|term=
x \in K
||bedterm1=
x \neq 0
||bedterm2=
|SZ=,
}}
und einer natürlichen Zahl
{{
Relationskette
| n
| \in | \N
||
||
||
|SZ=
}} 
versteht man, wie in jedem kommutativen Ring, unter {{mathl|term= x^n |SZ=}} das {{math|term= n |SZ=-}}fache Produkt von {{math|term= x |SZ=}} mit sich selbst   
{{
Zusatz/Klammer
|text= {{math|term= n |SZ=}} Faktoren|
|ISZ=|ESZ=.
}} 
Für negatives
{{
Relationskette
| n
| \in | \Z_-
||
||
||
|SZ=
}}
schreibt man
{{
Relationskette
|n
|| -k
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
| k
| \in | \N_+
||
||
||
|SZ=
}} 
und setzt
{{
Relationskette/display
| x^n
| {{defeq|}} | {{makl| x^{-1} |}}^{k}
|| {{makl| x^{-1} |}}^{-n}
|| {{makl| x^{-n} |}}^{-1}
||
|SZ=.
}}
Für diese Potenzen gelten die folgenden {{Stichwort|Potenzgesetze |SZ=,}} die die Potenzgesetze für positive Exponenten
{{
Zusatz/Klammer
|text=siehe
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
|
|ISZ=|ESZ=,
}}
die in jedem kommutativen Halbring gelten, wesentlich erweitern.
{{
inputfaktbeweis
|Körper/Potenzgesetze/Einheitengruppe/Direkt/Fakt|Lemma||
}}
|Textart=Textabschnitt
|Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen
|Kategorie2=Körpertheorie
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
|pdf=
}}</text>
      <sha1>mk28txcpsogodykb3yhndpj01dhavqr</sha1>
    </revision>
  </page>
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    <title>Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/3 durch 7/Beispiel</title>
    <ns>0</ns>
    <id>148452</id>
    <revision>
      <id>1107744</id>
      <parentid>1100232</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T11:28:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107744</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1598" sha1="rluemv0o73dqwvvl7cak9ahpv78ueho" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Wir wenden
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Archimedisch angeordneter Körper/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
bzw.
{{
Bemerkungslink
|Bemerkungsseitenname=
Rationale Zahlen/Approximation durch Dezimalbrüche/Division mit Rest/Bemerkung
|Nr=
|SZ=
}}
auf
{{
Relationskette
|q
|| {{op:Bruch| 3 | 7}}
||
||
||
|SZ=
}}
mit
{{
Relationskette
|k
|| 9
||
||
||
|SZ=
}}
an. Es ist
{{
Relationskette/display
| {{op:Bruch| 3 | 7}} \cdot 10^9
|| {{op:Bruch| 3 \cdot 10^9| 7}} 
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}} 
es ist also in {{math|term= \Z |SZ=}} die
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Division mit Rest|
|Kontext=N|
|SZ=
}}
von {{math|term= 3 \cdot 10^9 |SZ=}} durch {{math|term= 7 |SZ=}} durchzuführen. Es ist
{{
Relationskette/display
| 3 \cdot 10^9
|| 428571428 \cdot 7 + 4
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=wobei der Rest im jetzigen Kontext nicht weiter verarbeitet wird|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Es ist also
{{
Relationskette/display
| 428571428
| \leq | {{op:Bruch| 3  \cdot 10^9  | 7}}
| &lt; | 428571429
|| 
|| 
|SZ=
}}
und mit Division durch {{math|term= 10^9 |SZ=}} ergibt sich
{{
Relationskette/display
| 0{,}428571428
| &lt; | {{op:Bruch| 3 | 7}} 
| &lt; | 0{,}428571429
||
||
|SZ=.
}}
Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also Approximationen des wahren Bruches {{mathl|term= {{op:Bruch| 3 | 7}} |SZ=}} mit einem Fehler, der kleiner als {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 10^9}} |SZ=}} ist.
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>rluemv0o73dqwvvl7cak9ahpv78ueho</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Topologische Räume/Produkträume/Relatives Produkt/Kürzung/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>152336</id>
    <revision>
      <id>1107526</id>
      <parentid>1096856</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:00:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107526</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="728" sha1="lf8m8fexzpm647kub673v5vwhnwgylb" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien
{{
mathkor|term1=
X,U
|und|term2=
V
|SZ=
}}
{{
Definitionslink
|topologische Räume|
|SZ=
}}
und seien
{{
Abbildung
|name=p_1
|X \times U|X
||
|SZ=
}}
und
{{
Abbildung
|name=p_2
|X \times V|X
||
|SZ=
}}
die kanonischen Projektionen nach {{math|term= X |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für das
{{
Definitionslink
|Prämath=
|relative Produkt|
|Kontext=|
|SZ=
}}
die Beziehung
{{
Relationskette/display
| {{makl| X \times U |}} \times_X {{makl| X \times V |}}
| \cong| X \times U \times V 
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
gilt.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Produkträume
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>lf8m8fexzpm647kub673v5vwhnwgylb</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Topologische Räume/Relatives Produkt/Identischer Faktor/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>152374</id>
    <revision>
      <id>1107527</id>
      <parentid>1096867</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:00:31Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107527</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="733" sha1="emsqedm8ag9jqut1a6b41ecnl5w0kyd" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
Abbildung
|name=p
| Y | X
||
|SZ=
}}
eine  
{{
Definitionslink
|Prämath=
|stetige Abbildung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
zwischen den
{{
Definitionslink
|topologischen Räumen|
|SZ=
}}
{{
mathkor|term1=
X
|und|term2=
Y
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass für das
{{
Definitionslink
|Prämath=
|relative Produkt|
|Kontext=|
|SZ=
}}
die Beziehung
{{
Relationskette/display
| X \times_X Y
| \cong| Y 
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
gilt
{{
Zusatz/Klammer
|text=wobei
{{
Abbildung 
|name=
| X | X
||
|SZ=
}}
die Identität sei|
|ISZ=|ESZ=.
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Produkträume
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>emsqedm8ag9jqut1a6b41ecnl5w0kyd</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Topologische Räume/Relatives Produkt/Punkt und Faser/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>152455</id>
    <revision>
      <id>1107525</id>
      <parentid>1096942</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:00:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107525</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="897" sha1="o0jpgzkxkd9gx28g03su4sybelubg0z" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
{{
Abbildung
|name=p
| Y | X
||
|SZ=
}}
eine  
{{
Definitionslink
|Prämath=
|stetige Abbildung|
|Kontext=|
|SZ=
}}
zwischen den
{{
Definitionslink
|topologischen Räumen|
|SZ=
}}
{{
mathkor|term1=
X
|und|term2=
Y
|SZ=.
}}
Es sei
{{
Relationskette
| x
| \in | X
||
||
||
|SZ=
}}
ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung
{{
Abbildung/display
|name= \iota
|\{x\}| X
||
|SZ=.
}}
Zeige{{n Sie}}, dass für das
{{
Definitionslink
|Prämath=
|relative Produkt|
|Kontext=|
|SZ=
}}
die Beziehung
{{
Relationskette/display
| \{x\}  \times_X Y
| \cong| Y_x 
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
gilt, also das relative Produkt mit der 
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Faser|
|Kontext=|
|SZ=
}}
übereinstimmt.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Produkträume
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Maschinelles Lernen/Feature Engineering</title>
    <ns>106</ns>
    <id>156797</id>
    <revision>
      <id>1107540</id>
      <parentid>933279</parentid>
      <timestamp>2026-07-16T16:39:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107540</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3104" sha1="l138ta9j6a7xe2p10ahizsl8g3v24v2" xml:space="preserve">Vorherige Seite: [[Kurs:Maschinelles Lernen (SoSe 2024)/Lineare Regression in d Dimension|K2 - Lineare Regression in d Dimension]]&lt;br&gt;
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Das Feature Engineering ist eine spezielle Methode, die vor allem bei Klassifikationen verwendet wird, aber auch am Beispiel der Regressionen erklärt werden kann. Ziel ist es, auch komplexere Hypothesen durch eine lineare Regression modellieren zu können.

Als Beispiel können dazu für &lt;math&gt;X=Y=\mathbb{R}&lt;/math&gt; polynominelle Hypothesen des Grades &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; betrachtet werden. Diese können durch den Parametervektor &lt;math&gt;\vec{w}\in\mathbb{R}^{g+1}&lt;/math&gt; mit
 &lt;math&gt;h_{\vec{w}}(x)=w_0+\sum_{k=1}^gw_kx^k=\sum_{k=0}^gw_kx^k&lt;/math&gt;
beschrieben werden. Dies entspricht dann aber der Form eines linearen Modells mit dem Inputvektor &lt;math&gt;\vec{z}\in\mathbb{R}^g&lt;/math&gt; für dessen Komponenten &lt;math&gt;z_k= x^k&lt;/math&gt; gilt. Für einen vorliegenden Datensatz mit &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; Datenpunkten kann so die erweiterte Datenmatrix
 &lt;math&gt;\underline{Z}'=
\begin{pmatrix}
 1 &amp; x_1 &amp; x_1^2 &amp; \cdots &amp; x_1^g\\
 1 &amp; x_2 &amp; x_2^2 &amp; \cdots &amp; x_2^g\\
 \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots\\
 1 &amp; x_N &amp; x_N^2 &amp; \cdots &amp; x_N^d 
\end{pmatrix}
&lt;/math&gt;
aufgestellt werden und mit dem Verfahren der linearen Regressionen in &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; Dimensionen mit &lt;math&gt;d=g&lt;/math&gt; die idealen Parameter &lt;math&gt;\hat{\vec{w}}&lt;/math&gt; gefunden werden. Durch die Abbildung 
 &lt;math&gt;\phi: X\to \mathbb{R}^g,\,\, x\mapsto \begin{pmatrix}x &amp; x^2 &amp; \cdots &amp; x^g \end{pmatrix}^T&lt;/math&gt; 
wird es so möglich auch nicht lineare Hypothesen aus dem Hypothesenraum &lt;math&gt;H_{\mathrm{poly}(g)}&lt;/math&gt; der Polynome vom Grad &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; mittels einer linearen Regression zu lösen.

Eine solche Abbildung, die allgemeiner durch
 &lt;math&gt;\phi: X\to \mathbb{R}^n&lt;/math&gt;
mit typischer weise &lt;math&gt;n&gt;\mathrm{dim}(X)&lt;/math&gt; wird als ''Feature Map'' bezeichnet. Sie erlauben es, auch komplexe Hypothesen auf eine lineare Regression zurückzuführen. 

Meistens wird mit einer Feature Map nur die Eingabe aus dem Raum &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; transformiert. Es ist aber prinzipiell auch möglich auf die Ausgabe eine Feature Map anzuwenden. Ein typisches Beispiel kommt aus dem Bereich der Physik. Dort liegen zwischen Eingabe &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und Ausgabe &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; häufig Zusammenhänge in der Form eines Potenzgesetzes der Form
 &lt;math&gt;y = C x^a&lt;/math&gt;
vor. Durch das Anwenden des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten, lässt sich dieser auch durch die lineare Gleichung
 &lt;math&gt;\ln{(y)}=\ln{(C)}+a\ln{(x)}&lt;/math&gt;
in den Größen &lt;math&gt;\ln{(x)}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\ln{(y)}&lt;/math&gt; umformen. Damit würden hier die Feature Maps
 &lt;math&gt;\phi_x(x)=\ln{(x)}&lt;/math&gt;
und 
 &lt;math&gt;\phi_y(y)=\ln{(y)}&lt;/math&gt;
vorliegen. 

In der Praxis besteht die Schwierigkeit häufig in der geeigneten Wahl einer solchen Feature Map. Im Rahmen von Neuronalen Netzen können diese obsolet werden, da tiefere Netze häufig ähnliche oder bessere Ergebnisse, wie weniger tiefe Netze mit Feature Maps erzielen.</text>
      <sha1>l138ta9j6a7xe2p10ahizsl8g3v24v2</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 8</title>
    <ns>106</ns>
    <id>157378</id>
    <revision>
      <id>1107644</id>
      <parentid>1010394</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T07:13:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107644</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="3042" sha1="2txtz158cvycbil6vmrlmk3erd4v4wh" xml:space="preserve">{{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblattgestaltung|8|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Darstellung der 1/Beispiele/Aufgabe||zusatz1=&amp;nbsp;
{{
Zusatz/Klammer
|text=im Sinne des 
{{
Faktlink
|Präwort=|Lemmas von Bézout|Faktseitenname=
Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
}}
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppe/7,10/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppen (Z)/Flohsprünge/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Faktordivision/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Teilbarkeitslehre (Z)/Teilerfremd/Erste Relation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Division mit Rest/Z/Potenz/Teilerfremd/Periodizität/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Primzahl/Nicht_2,5/Teilt_1...1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Hauptidealbereich/kgV und ggT existieren/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Integritätsbereich/Irreduzibel nicht assoziert/ggT ist 1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Neilsche Parabel (direkt)/X^2 X^3/kgV existiert nicht/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Neilsche Parabel (direkt)/X^2 X^3/Teilerfremd, keine Darstellung der 1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/12733 und 3983/Darstellung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/X^3+2X^2+5X+2 und X^2+4X-3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

Statt {{mathl|term= {{op:Zmod|p}}|SZ=}} für eine Primzahl {{math|term=p|SZ=}} schreiben wir gelegentlich auch {{mathl|term={\mathbb F}_p|SZ=.}} 
{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/ X^3+2X^2+X+2 und 2X^2+1/Aufgabe||
|zusatz=Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kommutative Ringtheorie/Beispiele für Nichthauptidealbereiche/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Zählen/Digitale Uhr/Karnevalsschritte/Aufgabe|p+|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Erzeugte Untergruppe/77,91,143/Darstellung der 1/Eimer/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Integritätsbereich/Irreduzibel und maximales Hauptideal/Aufgabe|p+|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/C/X^3+(2-i)X^2+4 und (3-i)X^2+5X-3/Aufgabe|p|
|zusatz=Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 5/X^4+3X^3+X^2+4X+2 und 2X^3+4X^2+X+3/Aufgabe|p|
|zusatz=Man gebe auch eine Darstellung des ggT an.
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Unterring/Ideal/Runterschneiden/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>2txtz158cvycbil6vmrlmk3erd4v4wh</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 43</title>
    <ns>106</ns>
    <id>157896</id>
    <revision>
      <id>1107610</id>
      <parentid>1002274</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:38:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107610</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="4057" sha1="6lg89gfo4ux4apero04upw0l49vb1i8" xml:space="preserve">{{Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblattgestaltung|43|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Polynomring in zwei Variablen/Z mod 5/Multipliziere x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 und x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomring in drei Variablen/Über Q/Multipliziere x^5+3x^2y^2-xyz^3 und 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|KXY/(X,Y)/Kein Hauptideal/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Algebraische ebene Kurven/Beispiele/1/Skizziere/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Bild/Zylinder/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Graph und Rotationsfläche/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Rein-quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
zu verstehen.
{{
inputaufgabe
|Rein-quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Standardform/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Rein-quadratisches Polynom/R/3 Variablen/Standardform/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Quadratisches Polynom/R/Variablenwechsel/Reine Form/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation
{{
Zusatz/Klammer
|text=Koordinatentransformation|
|ISZ=|ESZ=
}}
und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.
{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Standardgestalt/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Diagonalisiere/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.
{{
inputaufgabe
|Ellipse/Brennpunkte zentriert/Quadratische Gleichung/Hauptachsen/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=Tipp: Führe{{n Sie}} die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo
{{
Relationskette
| Q_1
|| (e,0)
||
||
||
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| Q_2
|| (-e,0)
||
||
||
|SZ=.
}}
}}

Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die Koeffizienten nur den Wert {{mathl|term= 0,1,-1 |SZ=}} haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen
{{
Zusatz/Klammer
|text=wobei aber die Orthogonalität verloren geht|
|ISZ=|ESZ=.
}}
{{
inputaufgabe
|Quadratische Form/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Minkowski-Raum/Form ist 1/Zusammenhang/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Minkowski-Raum/Form ist 1/Einschränkung auf Beobachterraum/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbild
|Cusp|png| 250px {{!}} right {{!}} 
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Satipatthana
|Domäne=
|Lizenz=PD
|Bemerkung=
}}
{{
inputaufgabe
|Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbare Kurve/Neilsche Parabel/Minimaler Abstand zu (1,0)/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Polynomiale ebene Kurven/(t^3-1,t^2-1)/Kurvengleichung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Parabel/Rotationskörper um Abszisse/Keine Quadrik/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Homogene Polynome/Bis zu drei Variablen/Wie viele Monome/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ebene_algebraische_Kurven/Kreisgleichung/Punkte_über_endlichen_Körpern/K_ist_F_2,_F_3,_F_5,_F_7/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Standardgestalt/2/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Kegelschnitt/Affine Ebene/Ist quadratisches Polynom/Realisierung aus Liste/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/2/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>6lg89gfo4ux4apero04upw0l49vb1i8</sha1>
    </revision>
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    <title>Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Polynomring/Körper/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Polynomring/Körper/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="45" sha1="6ztubdtqi67mixu66h0q12pt5iuyeqm" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|26|4|Kurs=|}}</text>
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    <title>Kurs:Elementare Algebra/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Elementare Algebra/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Elementare Algebra/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
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      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <contributor>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Rationale Zahlen als Z-Modul/Endlich erzeugte Untergruppen/Zyklisch/Aufgabe/Lösung</title>
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      <contributor>
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      </contributor>
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      <text bytes="1145" sha1="irib7ad31s3vy0365dqyrxu6icb9gfj" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Es werde {{math|term= G |SZ=}} von den rationalen Zahlen
{{
Relationskette
| q_1
|| {{op:Bruch|a_1|b_1}} 
|| 
|| 
|| 
|SZ= , ... ,
}}
{{
Relationskette
| q_n
|| {{op:Bruch|a_n|b_n}} 
|| 
|| 
|| 
|SZ= 
}}
erzeugt. Durch Übergang zu einem Hauptnenner können wir annehmen, dass
{{
Relationskette/display
| b_1
|| \ldots
|| b_n
|| b
|| 
|SZ=
}}
ist. Es sei {{math|term= a |SZ=}} der größte gemeinsame Teiler der Zähler {{mathl|term= a_1  {{kommadots|}} a_n |SZ=.}} Nach
{{
Faktlink
|Präwort=dem|Lemma von Bézout|Faktseitenname=
Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
kann man diesen als ganzzahlige Linearkombination dieser Zähler ausdrücken, d.h. {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} gehört zu {{math|term= G |SZ=.}} Da die {{math|term= a_i |SZ=}} Vielfache von {{math|term= a |SZ=}} sind, gehören {{mathl|term= {{op:Bruch|a_i|b}} |SZ=}} zu der von {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} erzeugten Gruppe, also ist
{{
Relationskette/display
| G
|| \Z {{op:Bruch|a|b}}
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
}}</text>
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    </revision>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Satz von Bézout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
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      <contributor>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Satz von Bézout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Satz von Bézout/Graph zweier Polynome/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
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      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Satz von Bezout/Graph zweier Polynome/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Satz von Bézout/Graph zweier Polynome/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Satz von Bézout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer</title>
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      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Satz von Bezout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Satz von Bézout/ZY^2-X^3 und (X-Z)^2+Y^2-1/Beispiel/Beispielreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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    <title>Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze</title>
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{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar||
}}

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|Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma|
}}

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|Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz||
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|Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Satz||
}}

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|Permutationen/Fixpunktfrei/Asymptotisches Verhalten/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
}}

{{
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|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Lemma von Bézout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
}}

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|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt|||
}}

{{
inputfaktklappe
|Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt||
}}

{{
inputfaktklappe
|Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt||
}}

{{
inputfaktklappe
|Lineare Rekursion/C/Lösung/Explizite Darstellung/Fakt||
}}

{{
inputfaktklappe
|Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt||
}}

{{
inputfaktklappe
|Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt||
}}

{{
inputfaktklappe
|Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt|Lemma||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Chromatisches Polynom/Konstruktionen/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt|Korollar||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Ebener Graph/Vier Farben/Fakt|Satz||
}}

&lt;!--

--&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bezout/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Teilbarkeitstheorie (Z)/Lemma von Bézout/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="77" sha1="stibfpm8g73k2k2eemtd10a9owk2go8" xml:space="preserve">{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Lineare Algebra/Standardkurs|}} |}}</text>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben</title>
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      <timestamp>2026-07-16T12:10:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 */</comment>
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      <text bytes="44055" sha1="i7jca2p3tm6k7skpzo7a87gto8qqnw1" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnet werden:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <timestamp>2026-07-17T06:03:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="43666" sha1="r8som9ehx9ltz6nja9kg9a0jpk691mv" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnet werden:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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      <timestamp>2026-07-17T06:23:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Kreisfläche */</comment>
      <origin>1107602</origin>
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      <text bytes="44922" sha1="i0hm92hu7pwc10ychm90m2ktmnsn1pm" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Kreisfläche */</comment>
      <origin>1107603</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45061" sha1="2uwzhhdjcmaui3e669vcn26y8pbn71h" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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      <id>1107604</id>
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      <timestamp>2026-07-17T06:26:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 */</comment>
      <origin>1107604</origin>
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      <text bytes="45061" sha1="257z2bndeoaggvhl45q75q088ylwne8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <timestamp>2026-07-17T06:32:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 */</comment>
      <origin>1107606</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45061" sha1="nnjivound2wfl11au7c89x21jc12ko1" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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      <id>1107607</id>
      <parentid>1107606</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T06:37:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 */</comment>
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      <text bytes="45366" sha1="m55ba007b25vi3axxl2q0te3ju12ir9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Der Parameter &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; besitzt in dem Ausgangsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times[0,1]&lt;/math&gt; eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die &quot;unpassend&quot; wirkende Indizierung von &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; für den waagerechten Vektor  &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und der senkrechten Orientierung von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt;.

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <timestamp>2026-07-17T06:38:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 */</comment>
      <origin>1107611</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45378" sha1="18a9qbgomvz8vbdxe9jjh4cexfvjy3u" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Der Parameter &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; besitzt in dem Ausgangsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times[0,1]&lt;/math&gt; eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die &quot;unpassend&quot; wirkende Indizierung von &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; für den waagerechten Vektor  &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und der senkrechten Orientierung von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt;.

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;.  Der Winkel &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <timestamp>2026-07-17T06:39:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 */</comment>
      <origin>1107613</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45385" sha1="n0plht340dgrai0kjyme0r7lssl31p3" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Der Parameter &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; besitzt in dem Ausgangsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times[0,1]&lt;/math&gt; eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die &quot;unpassend&quot; wirkende Indizierung von &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; für den waagerechten Vektor  &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und der senkrechten Orientierung von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt;.

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;.  Der Winkel &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_2 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45444" sha1="rio6xzusza4h1qdem44skau1xpl4gwp" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Der Parameter &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; besitzt in dem Ausgangsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times[0,1]&lt;/math&gt; eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die &quot;unpassend&quot; wirkende Indizierung von &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; für den waagerechten Vektor  &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und der senkrechten Orientierung von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt;.

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;.  Der Winkel &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_2 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 8 ====

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 */</comment>
      <origin>1107630</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45462" sha1="oqa6hujl0fbc4aqij9duws8bjvbned4" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Der Parameter &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; besitzt in dem Ausgangsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times[0,1]&lt;/math&gt; eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die &quot;unpassend&quot; wirkende Indizierung von &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; für den waagerechten Vektor  &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und der senkrechten Orientierung von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt;.

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;.  Der Winkel &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_2 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r  \cdot i
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r  \cdot i
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 8 ====

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
&lt;!--
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* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben
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&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <timestamp>2026-07-17T10:10:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Fläche - Schritt 8 */</comment>
      <origin>1107707</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45823" sha1="cn6zh3pkfm48cfv9b1h9dwcome64j1m" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Der Parameter &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; besitzt in dem Ausgangsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times[0,1]&lt;/math&gt; eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die &quot;unpassend&quot; wirkende Indizierung von &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; für den waagerechten Vektor  &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und der senkrechten Orientierung von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt;.

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;.  Der Winkel &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_2 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r  \cdot i
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r  \cdot i
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ====
Die beiden Orthogonalprojektionen &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; hängen mit der obigen Darstellung jeweils von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen  &lt;math&gt;v_1(t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_2(t_1)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestell.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <timestamp>2026-07-17T10:12:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="45824" sha1="mxxnlqn2hdaxn80fwdt1jnvfn0fdnhg" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Animation der orientierten Fläche ===
Das Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist in der Animation monoton wachsend und das Argument &lt;math&gt;t_2\in [0,1]&lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]]

==== Aufgabe zur Animation ====
Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden  Argument &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt;, sodass der Parameter &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung &lt;math&gt;\psi&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;t_2:=\psi(t_1)&lt;/math&gt; dann &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-fach zwischen 0 und 1  oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt;. 
:&lt;math&gt;t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c &lt;/math&gt;   

==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ====
Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter &lt;math&gt;a,b,c\in \mathbb{R}&lt;/math&gt; zu bestimmen:
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_1(t_1):=  \cos(t_1) + 1 &lt;/math&gt; oszilliert zwischen 0 und 2,
* Die Funktion &lt;math&gt;\psi_2(t_1):=  \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 &lt;/math&gt; erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; von 0 bis 1 monoton wächst.


=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; die Eckpunkte eines Quadrates in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des  Flächenintegrals über die orientierte Fläche.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Der Bildpunkt &lt;math&gt;z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;t_1\in [a_1,b_1]&lt;/math&gt; ist monton steigend von &lt;math&gt;a_1&lt;/math&gt; nach &lt;math&gt;b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; oszilliert im Intervall &lt;math&gt;[a_2,b_2]&lt;/math&gt;.
 
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ====
Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche|
orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; hat dann statt &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]&lt;/math&gt; nun  das Einheitsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; als vereinfachter Parameterraum.

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei werden die Winkel &lt;math&gt;\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z}  \big\}&lt;/math&gt;, so gewählt, dass  &lt;math&gt;|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; gilt. Die Punkte &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}&lt;/math&gt; liegen auf dem Kreisrand von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;.

==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand &lt;math&gt;\overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}&lt;/math&gt;  von &lt;math&gt;z_0+r\cdot e^{i\beta_k}&lt;/math&gt;. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation  &lt;math&gt;\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]&lt;/math&gt; zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege 1 ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt; an. 
Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; angegeben.


==== Veranschaulichung der Randwege 2 ====
Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; von den Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_4&lt;/math&gt; über trigonometrische Funktionen abhängt.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich  ====
Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über &lt;math&gt;\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; 
:&lt;math&gt;\int_\gamma f(z)\,dz =  \int_{a}^{b}
 f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt  
 = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))&lt;/math&gt; 

und der Existenz von Stammfunktionen &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; nur von den Bilder der Eckpunkte von &lt;math&gt;[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]&lt;/math&gt; ab. 
:&lt;math&gt;\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))&lt;/math&gt;

==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ====
Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ (t_1,t_2) = z&lt;/math&gt; additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte.
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3}  = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} =  z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.
Die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand.

==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ====
Die 4 Randwegen &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; in der folgenden Form:
* &lt;math&gt; \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} &lt;/math&gt;.

&lt;span id=&quot;Schritt3Abb&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ====
Zunächst werden die beiden Randwege &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; bestimmt.
[[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]


==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ====
Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_2&lt;/math&gt;, um den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_2(t_2)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_1&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt; gehört ein grün markierter Winkel &lt;math&gt;\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_1 &amp; = &amp; \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;
Der Parameter &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; besitzt in dem Ausgangsquadrat &lt;math&gt;[0,1]\times[0,1]&lt;/math&gt; eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die &quot;unpassend&quot; wirkende Indizierung von &lt;math&gt;\alpha_1&lt;/math&gt; für den waagerechten Vektor  &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und der senkrechten Orientierung von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt;.

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ====
Für den zweiten blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; durch die Punkte &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_3&lt;/math&gt;, um den blau markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; als Orthogonalprojektion von &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)&lt;/math&gt; auf die Gerade &lt;math&gt;g_2&lt;/math&gt; zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen &lt;math&gt;w_3&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;z_4&lt;/math&gt; gehört ein blau markierte Winkel &lt;math&gt;\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]&lt;/math&gt;.  Der Winkel &lt;math&gt;\alpha_2&lt;/math&gt; hängt von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab und diesen kann man wie folgt berechnen:
:&lt;math&gt; 
   \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]}
   \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]
&lt;/math&gt;

==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ====
Damit kann man den grün markierten Vektor &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; wie folgt darstellen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
v_2 &amp; = &amp; \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i)
 = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot  (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r  \cdot i
\\ 
&amp; = &amp;  \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r  \cdot i
\\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ====
Die beiden Orthogonalprojektionen &lt;math&gt;v_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_2&lt;/math&gt; hängen mit der obigen Darstellung jeweils von &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; ab, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen  &lt;math&gt;v_1(t_2)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v_2(t_1)\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ====
Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren &lt;math&gt;v_1,v_2&lt;/math&gt; zerlegt wurde.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]]

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ====
Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von &lt;math&gt;2\pi&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;e^{it}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi&lt;/math&gt;: 
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &amp; = &amp;
 \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}}
  =  
 r\cdot e^{-i  \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\
&amp; = &amp;
  r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}
 = \gamma_3(t_1) - z_0
 \\ 
 \end{array}  
&lt;/math&gt;

==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ====
Durch den Punkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil  &lt;math&gt;e^{i\cdot \ldots}&lt;/math&gt; der Exponentialfunktion betrachtet und &lt;math&gt;\gamma_3(t_1) - z_0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0&lt;/math&gt; verwendet.

==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ====
Addiert man zu einer komplexen Zahl &lt;math&gt;z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; die komplex konjugiert Zahl
&lt;math&gt;\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; erhält man &lt;math&gt;z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)&lt;/math&gt;. Wendet man das auf die Summe von &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) - z_0 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} &lt;/math&gt; an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung:
:&lt;math&gt;
(\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) 
&lt;/math&gt;

==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ====
Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;+1&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; parametrisieren. Mit &lt;math&gt;t_1\in [0,1]&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]&lt;/math&gt;:

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot (1-t_2) }_{=  z_0 \cdot   (1-t_2) }
   + &amp; 
   \\
   \underbrace{
    z_0 \cdot  (1-t_1)\cdot t_2 
   + 
    z_0 \cdot  t_1\cdot t_2 
    }_{=  z_0 \cdot   t_2 }
   &amp; =
   \\
    z_0 \cdot   (1-t_2) 
   + 
    z_0 \cdot  t_2  = z_0
   &amp;  
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp;  \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + 
    \\ &amp; &amp; &amp; 
   r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp;    
    r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; 
      r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp;
    r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;1\cdot z_0&lt;/math&gt;, denn es gilt:
werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst:
:&lt;math&gt;
   \begin{array}{lc}
    \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
   \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right)
   \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
   + &amp; \\
     \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2  
   &amp; =
   \\
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ====
Setzt man die obigen Wege &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt;  in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; ein, so erhält man:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ====
In der obigen Animation wurde zugehörige &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; aus dem Definitionsbereich für  &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt.

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ====
Damit lässt sich der Punkt &lt;math&gt;z\in \overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben:
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2
&lt;/math&gt; 
Da die blau bzw. grün markierten Vektoren &lt;math&gt; v_1, v_2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; von der Wahl von &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]&lt;/math&gt; abhängen, werden diese als Funktion &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; notiert.
:&lt;math&gt;
  \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2)
&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ====
Die grün markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_1(t_1,t_2)&lt;/math&gt; dabei wie folgt definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_1 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ====
Die blau markierte Vektor wird als Funktionen &lt;math&gt;v_2(t_1,t_2)&lt;/math&gt; analog mit vertauschten Rollen von &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; definiert.
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccl}
   v_2 : &amp; [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp; \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1)
  \end{array}  

&lt;/math&gt;

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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    <title>Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt</title>
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      <contributor>
        <username>Patrick Rutz</username>
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== Einleitung ==

Feinstaub gehört zu den bedeutendsten luftgetragenen Schadstoffen in Städten und steht in Zusammenhang mit verschiedenen gesundheitlichen Risiken. Zu den wichtigsten Quellen zählen der Straßenverkehr, insbesondere Verbrennungsemissionen, Reifenabrieb und Bremsabrieb.

Im Rahmen dieses Projekts soll die Schadstoffbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Ziel ist die Entwicklung eines Modells, das die Belastung in Abhängigkeit von Ort und Zeit beschreibt und anschließend visualisiert werden kann.

Langfristig wird dazu eine Funktion

:&lt;math&gt;L:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}_0^+&lt;/math&gt;

betrachtet, die jedem Ort (x,y) einer Stadt einen Belastungswert zuordnet. Die Modellierung erfolgt schrittweise über verschiedene Bildungsstufen und orientiert sich an den Prinzipien der mathematischen Modellbildung.

Die entwickelten Modelle werden mithilfe digitaler Werkzeuge wie LibreOffice Calc, GeoGebra und Python visualisiert und analysiert.

== Zielsetzung ==

Die Lernressource verfolgt das Ziel, mathematische Modellbildung anhand einer gesellschaftlich relevanten Fragestellung zu vermitteln.

Dabei werden mathematische Methoden mit Inhalten aus Chemie, Umweltwissenschaften und gesellschaftspolitischen Fragestellungen verknüpft.

Im Mittelpunkt stehen folgende Leitfragen:

* Wie kann Verkehrsaufkommen mathematisch beschrieben werden?
* Wie lässt sich die Belastung durch Feinstaub modellieren?
* Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Verkehr und Luftqualität?
* Welche Annahmen und Vereinfachungen liegen einem mathematischen Modell zugrunde?
* Wie können Modelle zur Unterstützung von Entscheidungen in Politik und Stadtplanung beitragen?

==Nachhaltigkeitsziele==

{| class=&quot;wikitable&quot;
! SDG !! Bezug zum Projekt
|-
| SDG 3 – Gesundheit und Wohlergehen
| Untersuchung gesundheitlicher Auswirkungen von Feinstaubbelastung.
|-
| SDG 11 – Nachhaltige Städte und Gemeinden
| Analyse von Belastungszonen und Unterstützung nachhaltiger Verkehrsplanung.
|-
| SDG 13 – Maßnahmen zum Klimaschutz
| Untersuchung verkehrsbedingter Emissionen und möglicher Reduktionsmaßnahmen.
|}

====(SDG3) Gesundheit und Wohlergehen====
Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus 
-&gt; Ziele des Projekts:
Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten

====(SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden====
Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden
-&gt; das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung

====(SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz====
Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen
-&gt; das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen

== Modellierungszyklen ==
Das Thema wird auf drei Bildungsstufen behandelt.
* '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 1|Sekundarstufe 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Sekundarstufe%201&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]

* [[/Sekundarstufe 2/]]

* [[/Uni Niveau/]]

== Zielgruppe ==
Die Lernressource richtet sich an:

* Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I
* Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II
* Studierende mathematiknaher Lehramts- und Fachstudiengänge
* Lehrkräfte und Dozierende mit Interesse an mathematischer Modellbildung

== Aufgaben für Lernende und Studierende ==

Mögliche Arbeitsaufträge:

* Verkehrsdaten erfassen und auswerten.
* Luftqualitätsdaten recherchieren und analysieren.
* Diagramme mit LibreOffice Calc erstellen.
* Funktionen in GeoGebra modellieren.
* Flächen unter Graphen näherungsweise bestimmen.
* Integrale interpretieren und berechnen.
* Modelle kritisch reflektieren und verbessern.
* Auswirkungen verkehrspolitischer Maßnahmen diskutieren.

== Literatur/Quellennachweise ==
&lt;references/&gt;
https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026)

https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026)

== Siehe auch ==
* [[Wiki2Reveal]]
== Seiteninformation ==
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    <title>Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 2</title>
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      <id>1107498</id>
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      <timestamp>2026-07-16T14:25:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Patrick Rutz</username>
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      <comment>/* Sekundarstufe 2 */</comment>
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==Gliederung==

== Analyse der Verkehrssituation ==

Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung
&lt;/div&gt;
[[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]]

Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität
|-
! Beobachtung !! Möglicher Einfluss
|-
| Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen
|-
| Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen
|-
| Bushaltestelle || haltende Busse
|-
| LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb
|-
| Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge
|-
| Supermarkt || zusätzlicher Verkehr
|-
| Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich
|-
| Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub
|-
|}


Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben.

Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken.

== Modellvereinfachung ==

Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen.

Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden.

Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden.

Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen:

* Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet.
* Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben.
* Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst.
* Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt.

Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell
|-
! Einflussgröße !! Berücksichtigung
|-
| Verkehrsaufkommen || Ja
|-
| PM₂,₅-Konzentration || Ja
|-
|-
! colspan=&quot;2&quot; | Zunächst nicht berücksichtigt
|-
| Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein
|-
| Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein
|-
| Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein
|-
| Niederschlag || Nein
|-
| Temperatur || Nein
|-
| Topographie || Nein
|-
| Industrie || Nein
|-
| Baustellen || Nein
|-
| Bäume und Vegetation || Nein
|}


Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert.

Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss.

== Datenerhebung ==

Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden.

Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt:

* Verkehrsdaten
* Luftqualitätsdaten (PM₂,₅)

Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet.

Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen.

Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.&lt;ref&gt;Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).&lt;/ref&gt;

Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung.

==== PM₂,₅-Daten der Messstation ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;

|+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅)

|-

! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³]

|-

| 02:00–03:00 || 4

|-

| 04:00–05:00 || 4

|-

| 06:00–07:00 || 7

|-

| 08:00–09:00 || 4

|-

| 10:00–11:00 || 3

|-

| 12:00–13:00 || 0

|-

| 14:00–15:00 || 1

|-

| 16:00–17:00 || 1

|-

| 18:00–19:00 || 1

|-

| 20:00–21:00 || 1

|-

| 22:00–23:00 || 4

|-

| 00:00–01:00 || 5

|}

==== Verkehrszählung (15 Minuten) ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;

|+ Verkehrszählung

|-

! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten

|-

| 02:00–02:15 || 2

|-

| 04:00–04:15 || 1

|-

| 06:00–06:15 || 12

|-

| 08:00–08:15 || 25

|-

| 10:00–10:15 || 14

|-

| 12:00–12:15 || 10

|-

| 14:00–14:15 || 12

|-

| 16:00–16:15 || 22

|-

| 18:00–18:15 || 18

|-

| 20:00–20:15 || 8

|-

| 22:00–22:15 || 4

|}


==== Zusammenführung der Daten ====

Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert.

Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung
|-
! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³]
|-
| 02:00–03:00 || 8 || 4
|-
| 04:00–05:00 || 4 || 4
|-
| 06:00–07:00 || 48 || 7
|-
| 08:00–09:00 || 100 || 4
|-
| 10:00–11:00 || 56 || 3
|-
| 12:00–13:00 || 40 || 0
|-
| 14:00–15:00 || 48 || 1
|-
| 16:00–17:00 || 88 || 1
|-
| 18:00–19:00 || 72 || 1
|-
| 20:00–21:00 || 32 || 1
|-
| 22:00–23:00 || 16 || 4
|}


Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen.

Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden:

* Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt?
* Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden?
* Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären?
* Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen?

Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung.

==Grafische Darstellung der Messdaten==

=== Auswertung mit LibreOffice Calc ===

Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt.

Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration
&lt;/div&gt;
[[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]]


Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere,

* ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen,
* ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten,
* ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen.

Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung.

=== Darstellung der Messdaten in GeoGebra ===

Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen.

Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können.

Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können.

Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden.

=== Bestimmung einer Interpolationsfunktion mithilfe eines linearen Gleichungssystems ===

Um die erhobenen Messwerte durch eine zusammenhängende Funktion zu beschreiben, wird zunächst eine Polynomfunktion bestimmt, die durch alle ausgewählten Messpunkte verläuft.

Sind &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Messpunkte

:&lt;math&gt;P_1(x_1\mid y_1),\ P_2(x_2\mid y_2),\ldots,\ P_n(x_n\mid y_n)&lt;/math&gt;

gegeben, so kann ein Polynom vom Grad höchstens &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt; angesetzt werden:

:&lt;math&gt;p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}&lt;/math&gt;.

Da das Polynom durch alle Messpunkte verlaufen soll, müssen die Bedingungen

:&lt;math&gt;p(x_i)=y_i&lt;/math&gt;

für alle &lt;math&gt;i=1,\ldots,n&lt;/math&gt; erfüllt sein.

Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten &lt;math&gt;a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
1 &amp; x_1 &amp; x_1^2 &amp; \cdots &amp; x_1^{n-1}\\
1 &amp; x_2 &amp; x_2^2 &amp; \cdots &amp; x_2^{n-1}\\
\vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots\\
1 &amp; x_n &amp; x_n^2 &amp; \cdots &amp; x_n^{n-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0\\
a_1\\
\vdots\\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Matrix auf der linken Seite wird als Vandermonde-Matrix bezeichnet. Sind die Zeitpunkte &lt;math&gt;x_1,\ldots,x_n&lt;/math&gt; paarweise verschieden, besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Damit existiert genau ein Polynom vom Grad höchstens &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, das durch alle vorgegebenen Messpunkte verläuft.

Für die vorliegenden PM₂,₅-Messwerte werden die folgenden elf Punkte verwendet:

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
P_1&amp;=(2\mid4),&amp;
P_2&amp;=(4\mid4),&amp;
P_3&amp;=(6\mid7),\\
P_4&amp;=(8\mid4),&amp;
P_5&amp;=(10\mid3),&amp;
P_6&amp;=(12\mid0),\\
P_7&amp;=(14\mid1),&amp;
P_8&amp;=(16\mid1),&amp;
P_9&amp;=(18\mid1),\\
P_{10}&amp;=(20\mid1),&amp;
P_{11}&amp;=(22\mid4).
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Da elf Messpunkte vorliegen, wird ein Polynom vom Grad höchstens zehn angesetzt:

:&lt;math&gt;
p(t)=a_{10}t^{10}+a_9t^9+\ldots+a_1t+a_0.
&lt;/math&gt;

Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem mit elf Gleichungen und elf unbekannten Koeffizienten. In Matrixschreibweise lautet dieses:

:&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
1&amp;2&amp;2^2&amp;2^3&amp;\cdots&amp;2^{10}\\
1&amp;4&amp;4^2&amp;4^3&amp;\cdots&amp;4^{10}\\
1&amp;6&amp;6^2&amp;6^3&amp;\cdots&amp;6^{10}\\
1&amp;8&amp;8^2&amp;8^3&amp;\cdots&amp;8^{10}\\
1&amp;10&amp;10^2&amp;10^3&amp;\cdots&amp;10^{10}\\
1&amp;12&amp;12^2&amp;12^3&amp;\cdots&amp;12^{10}\\
1&amp;14&amp;14^2&amp;14^3&amp;\cdots&amp;14^{10}\\
1&amp;16&amp;16^2&amp;16^3&amp;\cdots&amp;16^{10}\\
1&amp;18&amp;18^2&amp;18^3&amp;\cdots&amp;18^{10}\\
1&amp;20&amp;20^2&amp;20^3&amp;\cdots&amp;20^{10}\\
1&amp;22&amp;22^2&amp;22^3&amp;\cdots&amp;22^{10}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0\\
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\vdots\\
a_{10}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4\\
4\\
7\\
4\\
3\\
0\\
1\\
1\\
1\\
1\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Aufgrund der Größe des Gleichungssystems wird dieses mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst. Dabei steht nicht die manuelle Durchführung des Gauß-Verfahrens im Vordergrund, sondern die mathematische Modellbildung: Aus den Messpunkten wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt, dessen Lösung die Koeffizienten der gesuchten Funktion liefert.

Als Lösung ergibt sich das Interpolationspolynom

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
p(t)=\;&amp;
\frac{31}{206438400}t^{10}
-\frac{1129}{61931520}t^9
+\frac{9949}{10321920}t^8\\
&amp;-\frac{75161}{2580480}t^7
+\frac{1022539}{1843200}t^6
-\frac{425431}{61440}t^5\\
&amp;+\frac{4086459}{71680}t^4
-\frac{36692773}{120960}t^3\\
&amp;+\frac{199135049}{201600}t^2
-\frac{2940767}{1680}t
+1258.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

In Dezimalschreibweise lautet das Polynom näherungsweise

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
p(t)\approx\;&amp;
0{,}0000001502t^{10}
-0{,}0000182298t^9
+0{,}000963868t^8\\
&amp;-0{,}0291262t^7
+0{,}554872t^6
-6{,}92433t^5\\
&amp;+57{,}0078t^4
-303{,}345t^3
+987{,}773t^2\\
&amp;-1750{,}4565t
+1258.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Das Polynom erfüllt die Bedingungen

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
p(2)&amp;=4,&amp;
p(4)&amp;=4,&amp;
p(6)&amp;=7,\\
p(8)&amp;=4,&amp;
p(10)&amp;=3,&amp;
p(12)&amp;=0,\\
p(14)&amp;=1,&amp;
p(16)&amp;=1,&amp;
p(18)&amp;=1,\\
p(20)&amp;=1,&amp;
p(22)&amp;=4.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Es verläuft damit exakt durch alle elf vorgegebenen Messpunkte.

Die exakte Übereinstimmung mit den Messwerten bedeutet jedoch nicht automatisch, dass das Polynom die tatsächliche Entwicklung der PM₂,₅-Konzentration zwischen den Messzeitpunkten realistisch beschreibt. Gerade Polynome hohen Grades können zwischen den Stützstellen starke Schwankungen aufweisen. Dieses Verhalten wird im anschließenden Vergleich mit weiteren Interpolationsmodellen untersucht.

=== Vergleich verschiedener Interpolationsmodelle ===

Dieselben Messdaten können durch unterschiedliche mathematische Modelle beschrieben werden. Im Folgenden werden drei Möglichkeiten miteinander verglichen:

* die stückweise lineare Interpolation,
* das Interpolationspolynom zehnten Grades,
* ein kubischer Spline.

==== Stückweise lineare Interpolation ====

Bei der stückweise linearen Interpolation werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dadurch entsteht ein Polygonzug, der alle Messpunkte durchläuft.

Innerhalb jedes Zeitintervalls wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe linear verändert. Die lineare Interpolation beruht damit ausschließlich auf den benachbarten Messwerten und erzeugt zwischen ihnen keine zusätzlichen Extremstellen.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Stückweise lineare Interpolation
&lt;/div&gt;
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|Stückweise lineare Interpolation der Messwerte.]]

Ein Vorteil dieser Modellierung besteht in ihrer einfachen Nachvollziehbarkeit. Zudem entspricht die Fläche unter jedem linearen Abschnitt genau einer Trapezfläche. Damit bildet die stückweise lineare Interpolation die mathematische Grundlage der Trapezregel.

Ein Nachteil besteht darin, dass sich die Steigung an den Messpunkten sprunghaft ändern kann. Der entstandene Graph ist zwar stetig, besitzt an den Übergangsstellen jedoch im Allgemeinen keine eindeutige Ableitung.

==== Interpolationspolynom ====

Bei der Polynominterpolation wird ein einziges Polynom bestimmt, das durch alle Messpunkte verläuft. Für die elf PM₂,₅-Messpunkte entsteht das zuvor bestimmte Polynom zehnten Grades.

Der Vorteil dieses Modells besteht darin, dass eine einzige zusammenhängende und beliebig oft differenzierbare Funktionsgleichung vorliegt. Mit dieser können Funktionswerte, Ableitungen und Integrale direkt berechnet werden.

Bei einer großen Anzahl von Messpunkten besitzt das Interpolationspolynom jedoch einen hohen Grad. Dadurch können zwischen den Messpunkten starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen auftreten, obwohl diese nicht durch Messwerte belegt sind. Das Polynom kann somit zwar alle Messpunkte exakt treffen, zwischen den Messpunkten aber einen für die reale Feinstaubentwicklung unplausiblen Verlauf annehmen.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Interpolationspolynom zehnten Grades
&lt;/div&gt;

[[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 17.04.56.png|500px|zentriert|Interpolationspolynom zehnten Grades durch alle PM₂,₅-Messpunkte.]]

==== Kubischer Spline ====

Ein kubischer Spline besteht nicht aus einem einzigen Polynom hohen Grades, sondern aus mehreren Polynomen dritten Grades. Für jedes Intervall zwischen zwei benachbarten Messzeitpunkten wird ein eigenes Teilpolynom bestimmt.

Ein Spline besitzt damit die Form

:&lt;math&gt;
S(t)=
\begin{cases}
S_1(t),&amp;t_1\leq t\leq t_2,\\
S_2(t),&amp;t_2\leq t\leq t_3,\\
\vdots\\
S_{n-1}(t),&amp;t_{n-1}\leq t\leq t_n.
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dabei sind die Teilfunktionen &lt;math&gt;S_i(t)&lt;/math&gt; Polynome dritten Grades.

Damit an den Übergangsstellen ein glatter Verlauf entsteht, werden Bedingungen an die Teilpolynome gestellt. An jeder inneren Stützstelle müssen

* die Funktionswerte,
* die ersten Ableitungen,
* die zweiten Ableitungen

der benachbarten Teilfunktionen übereinstimmen.

Für eine innere Stützstelle &lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt; gilt daher:

:&lt;math&gt;S_{i-1}(t_i)=S_i(t_i)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;S'_{i-1}(t_i)=S'_i(t_i)&lt;/math&gt;

und

:&lt;math&gt;S''_{i-1}(t_i)=S''_i(t_i)&lt;/math&gt;.

Zusätzlich werden Randbedingungen benötigt. Bei einem natürlichen kubischen Spline wird beispielsweise angenommen, dass die zweiten Ableitungen an den Randpunkten verschwinden:

:&lt;math&gt;S''(t_1)=0&lt;/math&gt;

und

:&lt;math&gt;S''(t_n)=0&lt;/math&gt;.

Die Koeffizienten der einzelnen Teilpolynome können ebenfalls mithilfe eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Aufgrund der großen Anzahl unbekannter Koeffizienten wird auch dieses Gleichungssystem mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Kubische Spline-Interpolation
&lt;/div&gt;
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Kubische Spline-Interpolation der Messwerte.]]

Der Spline verläuft durch alle Messpunkte und besitzt gleichzeitig einen glatten Verlauf. Da sich eine Änderung eines Messwertes hauptsächlich auf die benachbarten Teilintervalle auswirkt, reagiert der Spline lokaler als ein einziges Interpolationspolynom hohen Grades.

Allerdings beruht auch der Verlauf des Splines zwischen den Messpunkten auf Modellannahmen. Die glatte Kurve darf daher nicht als tatsächlich gemessener Verlauf interpretiert werden.

==== Gegenüberstellung der Modelle ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Vergleich der Interpolationsmodelle
|-
! Modell !! Vorteile !! Nachteile
|-
| Stückweise lineare Interpolation
| einfache Berechnung; gut nachvollziehbar; keine zusätzlichen Schwingungen; Grundlage der Trapezregel
| nicht glatt; sprunghafte Änderung der Steigung an den Stützstellen
|-
| Interpolationspolynom zehnten Grades
| eine einzige Funktionsgleichung; verläuft exakt durch alle Messpunkte; beliebig oft differenzierbar
| hoher Polynomgrad; mögliche starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen zwischen den Messpunkten
|-
| Kubischer Spline
| glatter Verlauf; lokale Anpassung; meist geringere Schwankungen als ein Polynom hohen Grades
| abschnittsweise definierte Funktion; aufwendigere Bestimmung; zusätzliche Randbedingungen erforderlich
|}

Alle drei Modelle verlaufen durch die vorgegebenen Messpunkte, beruhen zwischen den Messzeitpunkten jedoch auf unterschiedlichen Annahmen.

Die stückweise lineare Interpolation nimmt eine konstante Änderungsrate zwischen zwei benachbarten Messpunkten an. Das Interpolationspolynom beschreibt alle Messpunkte durch eine einzige Funktion hohen Grades. Der kubische Spline setzt dagegen mehrere Polynome dritten Grades abschnittsweise zusammen.

Die Wahl der Interpolationsmethode beeinflusst nicht nur den Verlauf des Graphen, sondern auch die Fläche unter dem Graphen und damit die berechnete zeitintegrierte Feinstaubbelastung.

Für die weiteren Untersuchungen werden daher

* die stückweise lineare Interpolation,
* das Interpolationspolynom zehnten Grades und
* der kubische Spline

hinsichtlich ihres Verlaufs und ihrer Integrale miteinander verglichen.

Dadurch wird sichtbar, welchen Einfluss die Wahl des mathematischen Modells auf das Ergebnis der Modellierung besitzt.

=== Integral als Maß für die Gesamtbelastung ===

In der Sekundarstufe 1 wurde die Gesamtzahl der Fahrzeuge näherungsweise mithilfe der Trapezregel bestimmt. Dabei wurde die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe einzelner Trapezflächen berechnet.

In der Sekundarstufe 2 wird diese Grundidee auf den Integralbegriff übertragen. Das bestimmte Integral beschreibt die orientierte Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Zeitachse.

Ist &lt;math&gt;V(t)&lt;/math&gt; das Verkehrsaufkommen in Fahrzeugen pro Stunde zum Zeitpunkt &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;, so beschreibt

:&lt;math&gt;\int_a^b V(t)\,\mathrm dt&lt;/math&gt;

die Gesamtzahl der Fahrzeuge im Zeitraum &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt;, sofern die Funktion im betrachteten Intervall nicht negativ ist.

Für die Einheit ergibt sich

:&lt;math&gt;
\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm h}\cdot\mathrm h
=
\mathrm{Fahrzeuge}.
&lt;/math&gt;

Analog sei &lt;math&gt;L(t)&lt;/math&gt; die modellierte PM₂,₅-Konzentration zum Zeitpunkt &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;. Dann beschreibt

:&lt;math&gt;\int_a^b L(t)\,\mathrm dt&lt;/math&gt;

die zeitintegrierte PM₂,₅-Konzentration im Zeitraum &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt;.

Die Einheit lautet

:&lt;math&gt;
\frac{\mu\mathrm g}{\mathrm m^3}\cdot\mathrm h
=
\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}.
&lt;/math&gt;

Die zeitintegrierte Konzentration gibt an, wie stark und wie lange eine Belastung innerhalb des betrachteten Zeitraums vorliegt. Sie ist nicht mit der tatsächlich eingeatmeten Feinstaubmasse gleichzusetzen, da hierfür zusätzlich unter anderem das Atemvolumen und die Aufenthaltsdauer einer Person berücksichtigt werden müssten.

==== Abhängigkeit des Integrals vom gewählten Modell ====

Die Messwerte liegen nur zu einzelnen Zeitpunkten vor. Der Verlauf zwischen den Messpunkten ist nicht bekannt und muss daher mathematisch modelliert werden.

Für dieselben Messwerte wurden zuvor drei unterschiedliche Modelle betrachtet:

* die stückweise lineare Interpolation,
* das Interpolationspolynom zehnten Grades,
* der kubische Spline.

Für jedes Modell kann ein Integral über den Zeitraum von 02:00 Uhr bis 22:00 Uhr berechnet werden. Dabei entstehen jedoch unterschiedliche Ergebnisse, da die Funktionen zwischen den Messpunkten verschieden verlaufen.

Das Integral berechnet die Fläche unter der jeweils gewählten Modellfunktion exakt. Die Aussage über die reale Feinstaubbelastung bleibt dennoch modellabhängig.

==== Integral der stückweise linearen Interpolation ====

Bei der stückweise linearen Interpolation entspricht die Fläche unter jedem linearen Abschnitt einer Trapezfläche. Da die Messzeitpunkte jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, ergibt sich

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
I_{\mathrm{linear}}
={}&amp;
2\cdot\frac{4+4}{2}
+
2\cdot\frac{4+7}{2}
+
2\cdot\frac{7+4}{2}\\
&amp;+
2\cdot\frac{4+3}{2}
+
2\cdot\frac{3+0}{2}
+
2\cdot\frac{0+1}{2}\\
&amp;+
2\cdot\frac{1+1}{2}
+
2\cdot\frac{1+1}{2}
+
2\cdot\frac{1+1}{2}
+
2\cdot\frac{1+4}{2}.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{linear}}
=
52\,
\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}.
&lt;/math&gt;

Dieses Ergebnis stimmt mit der Summe der Trapezflächen überein. Für eine stückweise lineare Funktion ist die Trapezregel daher in jedem Teilintervall exakt.

==== Integral des Interpolationspolynoms ====

Für das zuvor bestimmte Interpolationspolynom zehnten Grades wird das bestimmte Integral

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{Polynom}}
=
\int_2^{22}p(t)\,\mathrm dt
&lt;/math&gt;

berechnet.

Mithilfe eines digitalen Werkzeugs ergibt sich näherungsweise

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{Polynom}}
\approx
19{,}76\,
\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}.
&lt;/math&gt;

Dieses Ergebnis ist deutlich kleiner als das Integral der stückweise linearen Interpolation.

Der Grund dafür ist, dass das Interpolationspolynom zwischen mehreren Messpunkten negative Werte annimmt. Das bestimmte Integral berechnet eine orientierte Fläche. Bereiche unterhalb der Zeitachse gehen daher mit negativem Vorzeichen in das Ergebnis ein.

Eine negative PM₂,₅-Konzentration ist physikalisch jedoch nicht möglich. Das vergleichsweise kleine Integral zeigt deshalb nicht eine tatsächlich geringere Belastung, sondern eine Schwäche des gewählten Polynommodells.

Das Beispiel verdeutlicht, dass ein mathematisch exakt berechnetes Integral nur dann sinnvoll interpretiert werden kann, wenn auch die zugrunde liegende Funktion ein plausibles Modell darstellt.

==== Integral des kubischen Splines ====

Auch für den kubischen Spline kann das Integral

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{Spline}}
=
\int_2^{22}S(t)\,\mathrm dt
&lt;/math&gt;

mithilfe eines digitalen Werkzeugs bestimmt werden.

Der Spline verläuft ebenfalls durch alle Messpunkte, zeigt zwischen ihnen jedoch in der Regel geringere Schwankungen als das Interpolationspolynom zehnten Grades. Sein Integral ist deshalb voraussichtlich näher am Ergebnis der stückweise linearen Interpolation.

Der konkrete Wert wird anschließend mit GeoGebra berechnet und mit den beiden anderen Ergebnissen verglichen.

==== Vergleich der Ergebnisse ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Vergleich der zeitintegrierten PM₂,₅-Konzentration
|-
! Modell !! Integral !! Interpretation
|-
| Stückweise lineare Interpolation
| &lt;math&gt;52\,\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}&lt;/math&gt;
| Trapezregel ist für die linearen Teilstücke exakt
|-
| Interpolationspolynom zehnten Grades
| &lt;math&gt;\approx 19{,}76\,\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}&lt;/math&gt;
| stark durch negative und stark schwankende Funktionswerte beeinflusst
|-
| Kubischer Spline
| wird digital bestimmt
| glatter und lokaler Verlauf; Ergebnis bleibt modellabhängig
|}

Die unterschiedlichen Werte entstehen nicht durch unterschiedliche Integrationsverfahren, sondern durch die verschiedenen Funktionsmodelle.

Damit wird ein zentraler Aspekt der mathematischen Modellierung sichtbar:

* Das Integral kann für eine gegebene Funktion exakt berechnet werden.
* Die Funktion selbst beruht jedoch auf Annahmen über den unbekannten Verlauf zwischen den Messpunkten.
* Ein rechnerisch korrektes Ergebnis kann fachlich unbrauchbar sein, wenn das zugrunde liegende Modell unrealistische Werte liefert.

Für die Bewertung eines Modells reicht es daher nicht aus, nur die Messpunkte exakt zu treffen. Zusätzlich muss geprüft werden, ob der Funktionsverlauf zwischen den Messpunkten plausibel ist.

== Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung ==

Nachdem die zeitlichen Verläufe von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration untersucht wurden, wird im nächsten Schritt geprüft, ob sich ein direkter mathematischer Zusammenhang zwischen beiden Größen erkennen lässt.

Dazu werden nicht mehr die Uhrzeiten betrachtet, sondern jeweils das Verkehrsaufkommen und der zugehörige PM₂,₅-Messwert als Wertepaar aufgefasst.

Die unabhängige Variable ist das Verkehrsaufkommen &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; in Fahrzeugen pro Stunde. Die abhängige Variable ist die gemessene PM₂,₅-Konzentration &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mu\mathrm g/\mathrm m^3&lt;/math&gt;.

Die Messwerte werden daher als Punkte

:&lt;math&gt;(V_i\mid L_i)&lt;/math&gt;

in einem Koordinatensystem dargestellt.

Für die vorliegenden Daten ergeben sich die Punkte

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;(8\mid4),\ (4\mid4),\ (48\mid7),\ (100\mid4),\\
&amp;(56\mid3),\ (40\mid0),\ (48\mid1),\ (88\mid1),\\
&amp;(72\mid1),\ (32\mid1),\ (16\mid4).
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Die Punktwolke wird anschließend daraufhin untersucht, ob ein annähernd linearer Zusammenhang erkennbar ist.

=== Lineares Regressionsmodell ===

Als erstes Modell wird eine lineare Funktion angesetzt:

:&lt;math&gt;L(V)=a\cdot V+b&lt;/math&gt;.

Dabei beschreibt

* &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; das Verkehrsaufkommen in Fahrzeugen pro Stunde,
* &lt;math&gt;L(V)&lt;/math&gt; die modellierte PM₂,₅-Konzentration,
* &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; die Veränderung der modellierten Konzentration bei einer Erhöhung des Verkehrsaufkommens um ein Fahrzeug pro Stunde,
* &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; den rechnerischen Achsenabschnitt.

Die Parameter &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; werden mithilfe einer linearen Regression aus den Messdaten bestimmt.

Für die vorliegenden Daten ergibt sich näherungsweise

:&lt;math&gt;
L(V)=-0{,}0143\cdot V+3{,}3939.
&lt;/math&gt;

Die Steigung ist negativ. Nach diesem Regressionsmodell würde eine Zunahme des Verkehrsaufkommens mit einer geringfügigen Abnahme der PM₂,₅-Konzentration einhergehen.

Dieses Ergebnis widerspricht zunächst der erwarteten Annahme, dass ein höheres Verkehrsaufkommen zu einer höheren Feinstaubbelastung führt. Es zeigt, dass in den verwendeten Daten kein deutlicher positiver linearer Zusammenhang erkennbar ist.

Der Achsenabschnitt

:&lt;math&gt;b\approx3{,}39&lt;/math&gt;

darf nicht unmittelbar als tatsächliche PM₂,₅-Konzentration ohne Verkehr interpretiert werden. Er ist zunächst lediglich ein rechnerischer Parameter der Regressionsgeraden.

=== Beurteilung der Modellgüte ===

Zur Beurteilung der Stärke des linearen Zusammenhangs kann der Korrelationskoeffizient bestimmt werden.

Für die vorliegenden Messwerte ergibt sich näherungsweise

:&lt;math&gt;r\approx-0{,}21.&lt;/math&gt;

Der Wert liegt nahe bei null und deutet daher nur auf einen sehr schwachen negativen linearen Zusammenhang hin.

Das Bestimmtheitsmaß beträgt näherungsweise

:&lt;math&gt;R^2\approx0{,}046.&lt;/math&gt;

Damit erklärt das lineare Modell nur etwa &lt;math&gt;4{,}6\,\%&lt;/math&gt; der Streuung der gemessenen PM₂,₅-Werte.

Die geringe Modellgüte zeigt, dass das Verkehrsaufkommen allein die gemessene Feinstaubkonzentration kaum erklären kann.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Punktwolke mit linearer Regressionsgerade
&lt;/div&gt;
[[Datei:REGRESSION PM25.png|500px|zentriert|Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration mit linearer Regressionsgerade.]]

Die Schülerinnen und Schüler erkennen an diesem Beispiel, dass eine Regressionsgerade zwar rechnerisch immer bestimmt werden kann, daraus jedoch nicht automatisch ein inhaltlich sinnvoller Zusammenhang folgt.

== Modellkritik ==

Das entwickelte Modell berücksichtigt zunächst ausschließlich das gesamte Verkehrsaufkommen. Die Auswertung zeigt jedoch, dass die PM₂,₅-Konzentration nicht allein durch die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge erklärt werden kann.

Mögliche Gründe hierfür sind:

* Die Verkehrsdaten wurden nur während eines Zeitraums von 15 Minuten erhoben und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet.
* Die PM₂,₅-Werte sind Stundenmittelwerte und beziehen sich daher nicht exakt auf denselben Messzeitraum wie die Verkehrszählung.
* Die Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten stammen nicht zwingend vom selben Standort.
* Zwischen der Entstehung von Emissionen und ihrer Messung kann eine zeitliche Verzögerung auftreten.
* Feinstaub kann durch Wind über größere Entfernungen transportiert werden.
* Niederschlag kann Partikel aus der Luft auswaschen.
* Temperatur und Luftschichtung beeinflussen die Durchmischung der Atmosphäre.
* Industrie, Heizungen, Landwirtschaft und Baustellen können zusätzliche Feinstaubquellen darstellen.
* Unterschiedliche Fahrzeugarten verursachen unterschiedliche Emissionen.
* Nicht-Abgas-Emissionen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und aufgewirbelter Straßenstaub werden im einfachen Modell nicht getrennt erfasst.

Besonders kritisch ist, dass die Verkehrsdaten im Beispiel teilweise fiktiv sind, während die PM₂,₅-Werte aus einer realen Messstation stammen. Das Modell dient daher in erster Linie der Veranschaulichung mathematischer Modellierungsprozesse und nicht der zuverlässigen Bewertung einer konkreten Luftqualitätssituation.

=== Mögliche Weiterentwicklung des Modells ===

Ein erweitertes Modell könnte zusätzliche Einflussgrößen berücksichtigen.

Eine mögliche Erweiterung lautet beispielsweise

:&lt;math&gt;
L=a_0+a_1V+a_2W+a_3N+a_4T+a_5I.
&lt;/math&gt;

Dabei könnten bedeuten:

* &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;: Verkehrsaufkommen,
* &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;: Windgeschwindigkeit,
* &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;: Niederschlag,
* &lt;math&gt;T&lt;/math&gt;: Temperatur,
* &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;: Einfluss von Industrie oder weiteren Quellen.

Auch eine zeitliche Verzögerung könnte berücksichtigt werden:

:&lt;math&gt;
L(t)=a\cdot V(t-\tau)+b.
&lt;/math&gt;

Der Parameter &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; beschreibt dabei eine mögliche Verzögerung zwischen dem Verkehrsaufkommen und der gemessenen Feinstaubkonzentration.

Weitere mögliche Modellverbesserungen sind:

* getrennte Erfassung von PKW, LKW und Bussen,
* Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen,
* Berücksichtigung von Brems- und Beschleunigungsvorgängen,
* längere und wiederholte Verkehrszählungen,
* Verwendung einer Luftmessstation am selben Standort,
* Untersuchung mehrerer Tage und Wetterlagen,
* Vergleich von PM₂,₅ und PM₁₀,
* Verwendung einer multiplen Regression.

Durch diese Erweiterungen würde das Modell realistischer, gleichzeitig jedoch mathematisch und datenmäßig deutlich komplexer.

== Didaktische Reduktion ==

Die reale Entstehung und Ausbreitung von Feinstaub ist ein komplexer physikalischer, chemischer und meteorologischer Prozess. Eine vollständige Beschreibung würde zahlreiche Einflussgrößen und umfangreiche Messdaten erfordern.

Für die Unterrichtseinheit wird diese Realität bewusst reduziert.

Zunächst werden lediglich zwei Größen betrachtet:

* das Verkehrsaufkommen,
* die PM₂,₅-Konzentration.

Diese Reduktion ermöglicht es, zentrale mathematische Inhalte der Sekundarstufe 2 an einem realitätsnahen Kontext zu bearbeiten.

Dazu gehören insbesondere:

* Funktionen und Funktionsklassen,
* lineare Gleichungssysteme,
* Polynominterpolation,
* kubische Splines,
* Integralrechnung,
* lineare Regression,
* Interpretation von Korrelationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß,
* Modellvergleich und Modellkritik.

Digitale Werkzeuge werden eingesetzt, um umfangreiche Berechnungen durchzuführen. Die Schülerinnen und Schüler sollen jedoch nicht lediglich Ergebnisse übernehmen, sondern

* mathematische Ansätze selbst formulieren,
* die Bedeutung der verwendeten Parameter erklären,
* Ergebnisse fachlich interpretieren,
* Modellannahmen kritisch bewerten.

Die didaktische Reduktion besteht somit nicht darin, die reale Situation möglichst exakt nachzubilden, sondern einen überschaubaren Zugang zum mathematischen Modellierungsprozess zu schaffen.

== Kompetenzen und Lernziele ==

Die Schülerinnen und Schüler …

* analysieren reale und modellierte Umwelt- und Verkehrsdaten.
* stellen Messwerte tabellarisch und grafisch dar.
* unterscheiden zwischen Messdaten und modellierten Zwischenwerten.
* bestimmen eine Interpolationsfunktion mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
* erklären den Aufbau einer Vandermonde-Matrix.
* vergleichen stückweise lineare Interpolation, Polynominterpolation und kubische Splines.
* beurteilen Funktionen hinsichtlich ihrer fachlichen Plausibilität.
* interpretieren bestimmte Integrale als zeitintegrierte Größen.
* bestimmen und vergleichen Integrale verschiedener Modellfunktionen.
* erkennen, dass mathematisch exakte Berechnungen auf ungeeigneten Modellen zu fachlich unbrauchbaren Ergebnissen führen können.
* stellen eine lineare Regressionsfunktion auf.
* interpretieren Steigung, Achsenabschnitt, Korrelationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß.
* unterscheiden zwischen Korrelation und Kausalität.
* diskutieren Grenzen und Erweiterungsmöglichkeiten mathematischer Modelle.
* nutzen LibreOffice Calc, GeoGebra und weitere digitale Werkzeuge zielgerichtet.
* dokumentieren Modellannahmen und begründen die Wahl mathematischer Verfahren.

== Fazit ==

Die Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 2 erweitert die Modellierung aus der Sekundarstufe 1 sowohl mathematisch als auch inhaltlich.

Während in der Sekundarstufe 1 die Trapezregel zur näherungsweisen Bestimmung von Gesamtgrößen eingesetzt wird, werden in der Sekundarstufe 2 unterschiedliche Funktionsmodelle entwickelt und mithilfe des bestimmten Integrals ausgewertet.

Der Vergleich der Interpolationsmodelle zeigt, dass dieselben Messdaten zu unterschiedlichen Funktionsverläufen und unterschiedlichen Integralwerten führen können. Besonders das Interpolationspolynom zehnten Grades verdeutlicht, dass eine exakte Übereinstimmung mit allen Messpunkten nicht automatisch ein realistisches Modell ergibt.

Die Regressionsanalyse zeigt darüber hinaus, dass sich die gemessene PM₂,₅-Konzentration in den verwendeten Daten nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklären lässt. Dadurch wird die Notwendigkeit einer kritischen Prüfung und schrittweisen Erweiterung mathematischer Modelle sichtbar.

Die Schülerinnen und Schüler durchlaufen damit einen vollständigen Modellierungsprozess:

:&lt;math&gt;
\text{Realsituation}
\longrightarrow
\text{Vereinfachung}
\longrightarrow
\text{mathematisches Modell}
\longrightarrow
\text{Berechnung}
\longrightarrow
\text{Interpretation}
\longrightarrow
\text{Modellkritik}.
&lt;/math&gt;

Die Einheit zeigt, dass mathematische Modellierung nicht nur aus der Durchführung von Berechnungen besteht. Entscheidend ist vielmehr, Annahmen bewusst zu treffen, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren und die Grenzen des gewählten Modells zu erkennen.

== Quellennachweis ==

&lt;references/&gt;</text>
      <sha1>396z3zbhlv7vn2fdqa7xdeh4ysscey5</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107682</id>
      <parentid>1107498</parentid>
      <timestamp>2026-07-17T09:06:15Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Patrick Rutz</username>
        <id>41567</id>
      </contributor>
      <comment>/* Beurteilung der Modellgüte */</comment>
      <origin>1107682</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="39818" sha1="lxl1ys699jh9stkc83uwwsmajawpxyt" xml:space="preserve">=Sekundarstufe 2=

==Gliederung==

== Analyse der Verkehrssituation ==

Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung
&lt;/div&gt;
[[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]]

Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität
|-
! Beobachtung !! Möglicher Einfluss
|-
| Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen
|-
| Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen
|-
| Bushaltestelle || haltende Busse
|-
| LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb
|-
| Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge
|-
| Supermarkt || zusätzlicher Verkehr
|-
| Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich
|-
| Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub
|-
|}


Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben.

Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken.

== Modellvereinfachung ==

Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen.

Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden.

Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden.

Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen:

* Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet.
* Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben.
* Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst.
* Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt.

Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell
|-
! Einflussgröße !! Berücksichtigung
|-
| Verkehrsaufkommen || Ja
|-
| PM₂,₅-Konzentration || Ja
|-
|-
! colspan=&quot;2&quot; | Zunächst nicht berücksichtigt
|-
| Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein
|-
| Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein
|-
| Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein
|-
| Niederschlag || Nein
|-
| Temperatur || Nein
|-
| Topographie || Nein
|-
| Industrie || Nein
|-
| Baustellen || Nein
|-
| Bäume und Vegetation || Nein
|}


Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert.

Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss.

== Datenerhebung ==

Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden.

Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt:

* Verkehrsdaten
* Luftqualitätsdaten (PM₂,₅)

Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet.

Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen.

Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.&lt;ref&gt;Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).&lt;/ref&gt;

Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung.

==== PM₂,₅-Daten der Messstation ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;

|+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅)

|-

! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³]

|-

| 02:00–03:00 || 4

|-

| 04:00–05:00 || 4

|-

| 06:00–07:00 || 7

|-

| 08:00–09:00 || 4

|-

| 10:00–11:00 || 3

|-

| 12:00–13:00 || 0

|-

| 14:00–15:00 || 1

|-

| 16:00–17:00 || 1

|-

| 18:00–19:00 || 1

|-

| 20:00–21:00 || 1

|-

| 22:00–23:00 || 4

|-

| 00:00–01:00 || 5

|}

==== Verkehrszählung (15 Minuten) ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;

|+ Verkehrszählung

|-

! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten

|-

| 02:00–02:15 || 2

|-

| 04:00–04:15 || 1

|-

| 06:00–06:15 || 12

|-

| 08:00–08:15 || 25

|-

| 10:00–10:15 || 14

|-

| 12:00–12:15 || 10

|-

| 14:00–14:15 || 12

|-

| 16:00–16:15 || 22

|-

| 18:00–18:15 || 18

|-

| 20:00–20:15 || 8

|-

| 22:00–22:15 || 4

|}


==== Zusammenführung der Daten ====

Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert.

Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung.

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung
|-
! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³]
|-
| 02:00–03:00 || 8 || 4
|-
| 04:00–05:00 || 4 || 4
|-
| 06:00–07:00 || 48 || 7
|-
| 08:00–09:00 || 100 || 4
|-
| 10:00–11:00 || 56 || 3
|-
| 12:00–13:00 || 40 || 0
|-
| 14:00–15:00 || 48 || 1
|-
| 16:00–17:00 || 88 || 1
|-
| 18:00–19:00 || 72 || 1
|-
| 20:00–21:00 || 32 || 1
|-
| 22:00–23:00 || 16 || 4
|}


Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen.

Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden:

* Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt?
* Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden?
* Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären?
* Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen?

Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung.

==Grafische Darstellung der Messdaten==

=== Auswertung mit LibreOffice Calc ===

Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt.

Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration
&lt;/div&gt;
[[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]]


Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere,

* ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen,
* ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten,
* ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen.

Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung.

=== Darstellung der Messdaten in GeoGebra ===

Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen.

Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können.

Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können.

Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden.

=== Bestimmung einer Interpolationsfunktion mithilfe eines linearen Gleichungssystems ===

Um die erhobenen Messwerte durch eine zusammenhängende Funktion zu beschreiben, wird zunächst eine Polynomfunktion bestimmt, die durch alle ausgewählten Messpunkte verläuft.

Sind &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; Messpunkte

:&lt;math&gt;P_1(x_1\mid y_1),\ P_2(x_2\mid y_2),\ldots,\ P_n(x_n\mid y_n)&lt;/math&gt;

gegeben, so kann ein Polynom vom Grad höchstens &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt; angesetzt werden:

:&lt;math&gt;p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}&lt;/math&gt;.

Da das Polynom durch alle Messpunkte verlaufen soll, müssen die Bedingungen

:&lt;math&gt;p(x_i)=y_i&lt;/math&gt;

für alle &lt;math&gt;i=1,\ldots,n&lt;/math&gt; erfüllt sein.

Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten &lt;math&gt;a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}&lt;/math&gt;:

:&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
1 &amp; x_1 &amp; x_1^2 &amp; \cdots &amp; x_1^{n-1}\\
1 &amp; x_2 &amp; x_2^2 &amp; \cdots &amp; x_2^{n-1}\\
\vdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots\\
1 &amp; x_n &amp; x_n^2 &amp; \cdots &amp; x_n^{n-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0\\
a_1\\
\vdots\\
a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Matrix auf der linken Seite wird als Vandermonde-Matrix bezeichnet. Sind die Zeitpunkte &lt;math&gt;x_1,\ldots,x_n&lt;/math&gt; paarweise verschieden, besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Damit existiert genau ein Polynom vom Grad höchstens &lt;math&gt;n-1&lt;/math&gt;, das durch alle vorgegebenen Messpunkte verläuft.

Für die vorliegenden PM₂,₅-Messwerte werden die folgenden elf Punkte verwendet:

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
P_1&amp;=(2\mid4),&amp;
P_2&amp;=(4\mid4),&amp;
P_3&amp;=(6\mid7),\\
P_4&amp;=(8\mid4),&amp;
P_5&amp;=(10\mid3),&amp;
P_6&amp;=(12\mid0),\\
P_7&amp;=(14\mid1),&amp;
P_8&amp;=(16\mid1),&amp;
P_9&amp;=(18\mid1),\\
P_{10}&amp;=(20\mid1),&amp;
P_{11}&amp;=(22\mid4).
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Da elf Messpunkte vorliegen, wird ein Polynom vom Grad höchstens zehn angesetzt:

:&lt;math&gt;
p(t)=a_{10}t^{10}+a_9t^9+\ldots+a_1t+a_0.
&lt;/math&gt;

Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem mit elf Gleichungen und elf unbekannten Koeffizienten. In Matrixschreibweise lautet dieses:

:&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
1&amp;2&amp;2^2&amp;2^3&amp;\cdots&amp;2^{10}\\
1&amp;4&amp;4^2&amp;4^3&amp;\cdots&amp;4^{10}\\
1&amp;6&amp;6^2&amp;6^3&amp;\cdots&amp;6^{10}\\
1&amp;8&amp;8^2&amp;8^3&amp;\cdots&amp;8^{10}\\
1&amp;10&amp;10^2&amp;10^3&amp;\cdots&amp;10^{10}\\
1&amp;12&amp;12^2&amp;12^3&amp;\cdots&amp;12^{10}\\
1&amp;14&amp;14^2&amp;14^3&amp;\cdots&amp;14^{10}\\
1&amp;16&amp;16^2&amp;16^3&amp;\cdots&amp;16^{10}\\
1&amp;18&amp;18^2&amp;18^3&amp;\cdots&amp;18^{10}\\
1&amp;20&amp;20^2&amp;20^3&amp;\cdots&amp;20^{10}\\
1&amp;22&amp;22^2&amp;22^3&amp;\cdots&amp;22^{10}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0\\
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\vdots\\
a_{10}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4\\
4\\
7\\
4\\
3\\
0\\
1\\
1\\
1\\
1\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Aufgrund der Größe des Gleichungssystems wird dieses mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst. Dabei steht nicht die manuelle Durchführung des Gauß-Verfahrens im Vordergrund, sondern die mathematische Modellbildung: Aus den Messpunkten wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt, dessen Lösung die Koeffizienten der gesuchten Funktion liefert.

Als Lösung ergibt sich das Interpolationspolynom

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
p(t)=\;&amp;
\frac{31}{206438400}t^{10}
-\frac{1129}{61931520}t^9
+\frac{9949}{10321920}t^8\\
&amp;-\frac{75161}{2580480}t^7
+\frac{1022539}{1843200}t^6
-\frac{425431}{61440}t^5\\
&amp;+\frac{4086459}{71680}t^4
-\frac{36692773}{120960}t^3\\
&amp;+\frac{199135049}{201600}t^2
-\frac{2940767}{1680}t
+1258.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

In Dezimalschreibweise lautet das Polynom näherungsweise

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
p(t)\approx\;&amp;
0{,}0000001502t^{10}
-0{,}0000182298t^9
+0{,}000963868t^8\\
&amp;-0{,}0291262t^7
+0{,}554872t^6
-6{,}92433t^5\\
&amp;+57{,}0078t^4
-303{,}345t^3
+987{,}773t^2\\
&amp;-1750{,}4565t
+1258.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Das Polynom erfüllt die Bedingungen

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
p(2)&amp;=4,&amp;
p(4)&amp;=4,&amp;
p(6)&amp;=7,\\
p(8)&amp;=4,&amp;
p(10)&amp;=3,&amp;
p(12)&amp;=0,\\
p(14)&amp;=1,&amp;
p(16)&amp;=1,&amp;
p(18)&amp;=1,\\
p(20)&amp;=1,&amp;
p(22)&amp;=4.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Es verläuft damit exakt durch alle elf vorgegebenen Messpunkte.

Die exakte Übereinstimmung mit den Messwerten bedeutet jedoch nicht automatisch, dass das Polynom die tatsächliche Entwicklung der PM₂,₅-Konzentration zwischen den Messzeitpunkten realistisch beschreibt. Gerade Polynome hohen Grades können zwischen den Stützstellen starke Schwankungen aufweisen. Dieses Verhalten wird im anschließenden Vergleich mit weiteren Interpolationsmodellen untersucht.

=== Vergleich verschiedener Interpolationsmodelle ===

Dieselben Messdaten können durch unterschiedliche mathematische Modelle beschrieben werden. Im Folgenden werden drei Möglichkeiten miteinander verglichen:

* die stückweise lineare Interpolation,
* das Interpolationspolynom zehnten Grades,
* ein kubischer Spline.

==== Stückweise lineare Interpolation ====

Bei der stückweise linearen Interpolation werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dadurch entsteht ein Polygonzug, der alle Messpunkte durchläuft.

Innerhalb jedes Zeitintervalls wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe linear verändert. Die lineare Interpolation beruht damit ausschließlich auf den benachbarten Messwerten und erzeugt zwischen ihnen keine zusätzlichen Extremstellen.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Stückweise lineare Interpolation
&lt;/div&gt;
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|Stückweise lineare Interpolation der Messwerte.]]

Ein Vorteil dieser Modellierung besteht in ihrer einfachen Nachvollziehbarkeit. Zudem entspricht die Fläche unter jedem linearen Abschnitt genau einer Trapezfläche. Damit bildet die stückweise lineare Interpolation die mathematische Grundlage der Trapezregel.

Ein Nachteil besteht darin, dass sich die Steigung an den Messpunkten sprunghaft ändern kann. Der entstandene Graph ist zwar stetig, besitzt an den Übergangsstellen jedoch im Allgemeinen keine eindeutige Ableitung.

==== Interpolationspolynom ====

Bei der Polynominterpolation wird ein einziges Polynom bestimmt, das durch alle Messpunkte verläuft. Für die elf PM₂,₅-Messpunkte entsteht das zuvor bestimmte Polynom zehnten Grades.

Der Vorteil dieses Modells besteht darin, dass eine einzige zusammenhängende und beliebig oft differenzierbare Funktionsgleichung vorliegt. Mit dieser können Funktionswerte, Ableitungen und Integrale direkt berechnet werden.

Bei einer großen Anzahl von Messpunkten besitzt das Interpolationspolynom jedoch einen hohen Grad. Dadurch können zwischen den Messpunkten starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen auftreten, obwohl diese nicht durch Messwerte belegt sind. Das Polynom kann somit zwar alle Messpunkte exakt treffen, zwischen den Messpunkten aber einen für die reale Feinstaubentwicklung unplausiblen Verlauf annehmen.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Interpolationspolynom zehnten Grades
&lt;/div&gt;

[[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 17.04.56.png|500px|zentriert|Interpolationspolynom zehnten Grades durch alle PM₂,₅-Messpunkte.]]

==== Kubischer Spline ====

Ein kubischer Spline besteht nicht aus einem einzigen Polynom hohen Grades, sondern aus mehreren Polynomen dritten Grades. Für jedes Intervall zwischen zwei benachbarten Messzeitpunkten wird ein eigenes Teilpolynom bestimmt.

Ein Spline besitzt damit die Form

:&lt;math&gt;
S(t)=
\begin{cases}
S_1(t),&amp;t_1\leq t\leq t_2,\\
S_2(t),&amp;t_2\leq t\leq t_3,\\
\vdots\\
S_{n-1}(t),&amp;t_{n-1}\leq t\leq t_n.
\end{cases}
&lt;/math&gt;

Dabei sind die Teilfunktionen &lt;math&gt;S_i(t)&lt;/math&gt; Polynome dritten Grades.

Damit an den Übergangsstellen ein glatter Verlauf entsteht, werden Bedingungen an die Teilpolynome gestellt. An jeder inneren Stützstelle müssen

* die Funktionswerte,
* die ersten Ableitungen,
* die zweiten Ableitungen

der benachbarten Teilfunktionen übereinstimmen.

Für eine innere Stützstelle &lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt; gilt daher:

:&lt;math&gt;S_{i-1}(t_i)=S_i(t_i)&lt;/math&gt;,

:&lt;math&gt;S'_{i-1}(t_i)=S'_i(t_i)&lt;/math&gt;

und

:&lt;math&gt;S''_{i-1}(t_i)=S''_i(t_i)&lt;/math&gt;.

Zusätzlich werden Randbedingungen benötigt. Bei einem natürlichen kubischen Spline wird beispielsweise angenommen, dass die zweiten Ableitungen an den Randpunkten verschwinden:

:&lt;math&gt;S''(t_1)=0&lt;/math&gt;

und

:&lt;math&gt;S''(t_n)=0&lt;/math&gt;.

Die Koeffizienten der einzelnen Teilpolynome können ebenfalls mithilfe eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Aufgrund der großen Anzahl unbekannter Koeffizienten wird auch dieses Gleichungssystem mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Kubische Spline-Interpolation
&lt;/div&gt;
[[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Kubische Spline-Interpolation der Messwerte.]]

Der Spline verläuft durch alle Messpunkte und besitzt gleichzeitig einen glatten Verlauf. Da sich eine Änderung eines Messwertes hauptsächlich auf die benachbarten Teilintervalle auswirkt, reagiert der Spline lokaler als ein einziges Interpolationspolynom hohen Grades.

Allerdings beruht auch der Verlauf des Splines zwischen den Messpunkten auf Modellannahmen. Die glatte Kurve darf daher nicht als tatsächlich gemessener Verlauf interpretiert werden.

==== Gegenüberstellung der Modelle ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Vergleich der Interpolationsmodelle
|-
! Modell !! Vorteile !! Nachteile
|-
| Stückweise lineare Interpolation
| einfache Berechnung; gut nachvollziehbar; keine zusätzlichen Schwingungen; Grundlage der Trapezregel
| nicht glatt; sprunghafte Änderung der Steigung an den Stützstellen
|-
| Interpolationspolynom zehnten Grades
| eine einzige Funktionsgleichung; verläuft exakt durch alle Messpunkte; beliebig oft differenzierbar
| hoher Polynomgrad; mögliche starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen zwischen den Messpunkten
|-
| Kubischer Spline
| glatter Verlauf; lokale Anpassung; meist geringere Schwankungen als ein Polynom hohen Grades
| abschnittsweise definierte Funktion; aufwendigere Bestimmung; zusätzliche Randbedingungen erforderlich
|}

Alle drei Modelle verlaufen durch die vorgegebenen Messpunkte, beruhen zwischen den Messzeitpunkten jedoch auf unterschiedlichen Annahmen.

Die stückweise lineare Interpolation nimmt eine konstante Änderungsrate zwischen zwei benachbarten Messpunkten an. Das Interpolationspolynom beschreibt alle Messpunkte durch eine einzige Funktion hohen Grades. Der kubische Spline setzt dagegen mehrere Polynome dritten Grades abschnittsweise zusammen.

Die Wahl der Interpolationsmethode beeinflusst nicht nur den Verlauf des Graphen, sondern auch die Fläche unter dem Graphen und damit die berechnete zeitintegrierte Feinstaubbelastung.

Für die weiteren Untersuchungen werden daher

* die stückweise lineare Interpolation,
* das Interpolationspolynom zehnten Grades und
* der kubische Spline

hinsichtlich ihres Verlaufs und ihrer Integrale miteinander verglichen.

Dadurch wird sichtbar, welchen Einfluss die Wahl des mathematischen Modells auf das Ergebnis der Modellierung besitzt.

=== Integral als Maß für die Gesamtbelastung ===

In der Sekundarstufe 1 wurde die Gesamtzahl der Fahrzeuge näherungsweise mithilfe der Trapezregel bestimmt. Dabei wurde die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe einzelner Trapezflächen berechnet.

In der Sekundarstufe 2 wird diese Grundidee auf den Integralbegriff übertragen. Das bestimmte Integral beschreibt die orientierte Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Zeitachse.

Ist &lt;math&gt;V(t)&lt;/math&gt; das Verkehrsaufkommen in Fahrzeugen pro Stunde zum Zeitpunkt &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;, so beschreibt

:&lt;math&gt;\int_a^b V(t)\,\mathrm dt&lt;/math&gt;

die Gesamtzahl der Fahrzeuge im Zeitraum &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt;, sofern die Funktion im betrachteten Intervall nicht negativ ist.

Für die Einheit ergibt sich

:&lt;math&gt;
\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm h}\cdot\mathrm h
=
\mathrm{Fahrzeuge}.
&lt;/math&gt;

Analog sei &lt;math&gt;L(t)&lt;/math&gt; die modellierte PM₂,₅-Konzentration zum Zeitpunkt &lt;math&gt;t&lt;/math&gt;. Dann beschreibt

:&lt;math&gt;\int_a^b L(t)\,\mathrm dt&lt;/math&gt;

die zeitintegrierte PM₂,₅-Konzentration im Zeitraum &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt;.

Die Einheit lautet

:&lt;math&gt;
\frac{\mu\mathrm g}{\mathrm m^3}\cdot\mathrm h
=
\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}.
&lt;/math&gt;

Die zeitintegrierte Konzentration gibt an, wie stark und wie lange eine Belastung innerhalb des betrachteten Zeitraums vorliegt. Sie ist nicht mit der tatsächlich eingeatmeten Feinstaubmasse gleichzusetzen, da hierfür zusätzlich unter anderem das Atemvolumen und die Aufenthaltsdauer einer Person berücksichtigt werden müssten.

==== Abhängigkeit des Integrals vom gewählten Modell ====

Die Messwerte liegen nur zu einzelnen Zeitpunkten vor. Der Verlauf zwischen den Messpunkten ist nicht bekannt und muss daher mathematisch modelliert werden.

Für dieselben Messwerte wurden zuvor drei unterschiedliche Modelle betrachtet:

* die stückweise lineare Interpolation,
* das Interpolationspolynom zehnten Grades,
* der kubische Spline.

Für jedes Modell kann ein Integral über den Zeitraum von 02:00 Uhr bis 22:00 Uhr berechnet werden. Dabei entstehen jedoch unterschiedliche Ergebnisse, da die Funktionen zwischen den Messpunkten verschieden verlaufen.

Das Integral berechnet die Fläche unter der jeweils gewählten Modellfunktion exakt. Die Aussage über die reale Feinstaubbelastung bleibt dennoch modellabhängig.

==== Integral der stückweise linearen Interpolation ====

Bei der stückweise linearen Interpolation entspricht die Fläche unter jedem linearen Abschnitt einer Trapezfläche. Da die Messzeitpunkte jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, ergibt sich

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
I_{\mathrm{linear}}
={}&amp;
2\cdot\frac{4+4}{2}
+
2\cdot\frac{4+7}{2}
+
2\cdot\frac{7+4}{2}\\
&amp;+
2\cdot\frac{4+3}{2}
+
2\cdot\frac{3+0}{2}
+
2\cdot\frac{0+1}{2}\\
&amp;+
2\cdot\frac{1+1}{2}
+
2\cdot\frac{1+1}{2}
+
2\cdot\frac{1+1}{2}
+
2\cdot\frac{1+4}{2}.
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{linear}}
=
52\,
\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}.
&lt;/math&gt;

Dieses Ergebnis stimmt mit der Summe der Trapezflächen überein. Für eine stückweise lineare Funktion ist die Trapezregel daher in jedem Teilintervall exakt.

==== Integral des Interpolationspolynoms ====

Für das zuvor bestimmte Interpolationspolynom zehnten Grades wird das bestimmte Integral

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{Polynom}}
=
\int_2^{22}p(t)\,\mathrm dt
&lt;/math&gt;

berechnet.

Mithilfe eines digitalen Werkzeugs ergibt sich näherungsweise

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{Polynom}}
\approx
19{,}76\,
\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}.
&lt;/math&gt;

Dieses Ergebnis ist deutlich kleiner als das Integral der stückweise linearen Interpolation.

Der Grund dafür ist, dass das Interpolationspolynom zwischen mehreren Messpunkten negative Werte annimmt. Das bestimmte Integral berechnet eine orientierte Fläche. Bereiche unterhalb der Zeitachse gehen daher mit negativem Vorzeichen in das Ergebnis ein.

Eine negative PM₂,₅-Konzentration ist physikalisch jedoch nicht möglich. Das vergleichsweise kleine Integral zeigt deshalb nicht eine tatsächlich geringere Belastung, sondern eine Schwäche des gewählten Polynommodells.

Das Beispiel verdeutlicht, dass ein mathematisch exakt berechnetes Integral nur dann sinnvoll interpretiert werden kann, wenn auch die zugrunde liegende Funktion ein plausibles Modell darstellt.

==== Integral des kubischen Splines ====

Auch für den kubischen Spline kann das Integral

:&lt;math&gt;
I_{\mathrm{Spline}}
=
\int_2^{22}S(t)\,\mathrm dt
&lt;/math&gt;

mithilfe eines digitalen Werkzeugs bestimmt werden.

Der Spline verläuft ebenfalls durch alle Messpunkte, zeigt zwischen ihnen jedoch in der Regel geringere Schwankungen als das Interpolationspolynom zehnten Grades. Sein Integral ist deshalb voraussichtlich näher am Ergebnis der stückweise linearen Interpolation.

Der konkrete Wert wird anschließend mit GeoGebra berechnet und mit den beiden anderen Ergebnissen verglichen.

==== Vergleich der Ergebnisse ====

{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin: auto;&quot;
|+ Vergleich der zeitintegrierten PM₂,₅-Konzentration
|-
! Modell !! Integral !! Interpretation
|-
| Stückweise lineare Interpolation
| &lt;math&gt;52\,\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}&lt;/math&gt;
| Trapezregel ist für die linearen Teilstücke exakt
|-
| Interpolationspolynom zehnten Grades
| &lt;math&gt;\approx 19{,}76\,\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}&lt;/math&gt;
| stark durch negative und stark schwankende Funktionswerte beeinflusst
|-
| Kubischer Spline
| wird digital bestimmt
| glatter und lokaler Verlauf; Ergebnis bleibt modellabhängig
|}

Die unterschiedlichen Werte entstehen nicht durch unterschiedliche Integrationsverfahren, sondern durch die verschiedenen Funktionsmodelle.

Damit wird ein zentraler Aspekt der mathematischen Modellierung sichtbar:

* Das Integral kann für eine gegebene Funktion exakt berechnet werden.
* Die Funktion selbst beruht jedoch auf Annahmen über den unbekannten Verlauf zwischen den Messpunkten.
* Ein rechnerisch korrektes Ergebnis kann fachlich unbrauchbar sein, wenn das zugrunde liegende Modell unrealistische Werte liefert.

Für die Bewertung eines Modells reicht es daher nicht aus, nur die Messpunkte exakt zu treffen. Zusätzlich muss geprüft werden, ob der Funktionsverlauf zwischen den Messpunkten plausibel ist.

== Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung ==

Nachdem die zeitlichen Verläufe von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration untersucht wurden, wird im nächsten Schritt geprüft, ob sich ein direkter mathematischer Zusammenhang zwischen beiden Größen erkennen lässt.

Dazu werden nicht mehr die Uhrzeiten betrachtet, sondern jeweils das Verkehrsaufkommen und der zugehörige PM₂,₅-Messwert als Wertepaar aufgefasst.

Die unabhängige Variable ist das Verkehrsaufkommen &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; in Fahrzeugen pro Stunde. Die abhängige Variable ist die gemessene PM₂,₅-Konzentration &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;\mu\mathrm g/\mathrm m^3&lt;/math&gt;.

Die Messwerte werden daher als Punkte

:&lt;math&gt;(V_i\mid L_i)&lt;/math&gt;

in einem Koordinatensystem dargestellt.

Für die vorliegenden Daten ergeben sich die Punkte

:&lt;math&gt;
\begin{aligned}
&amp;(8\mid4),\ (4\mid4),\ (48\mid7),\ (100\mid4),\\
&amp;(56\mid3),\ (40\mid0),\ (48\mid1),\ (88\mid1),\\
&amp;(72\mid1),\ (32\mid1),\ (16\mid4).
\end{aligned}
&lt;/math&gt;

Die Punktwolke wird anschließend daraufhin untersucht, ob ein annähernd linearer Zusammenhang erkennbar ist.

=== Lineares Regressionsmodell ===

Als erstes Modell wird eine lineare Funktion angesetzt:

:&lt;math&gt;L(V)=a\cdot V+b&lt;/math&gt;.

Dabei beschreibt

* &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; das Verkehrsaufkommen in Fahrzeugen pro Stunde,
* &lt;math&gt;L(V)&lt;/math&gt; die modellierte PM₂,₅-Konzentration,
* &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; die Veränderung der modellierten Konzentration bei einer Erhöhung des Verkehrsaufkommens um ein Fahrzeug pro Stunde,
* &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; den rechnerischen Achsenabschnitt.

Die Parameter &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; werden mithilfe einer linearen Regression aus den Messdaten bestimmt.

Für die vorliegenden Daten ergibt sich näherungsweise

:&lt;math&gt;
L(V)=-0{,}0143\cdot V+3{,}3939.
&lt;/math&gt;

Die Steigung ist negativ. Nach diesem Regressionsmodell würde eine Zunahme des Verkehrsaufkommens mit einer geringfügigen Abnahme der PM₂,₅-Konzentration einhergehen.

Dieses Ergebnis widerspricht zunächst der erwarteten Annahme, dass ein höheres Verkehrsaufkommen zu einer höheren Feinstaubbelastung führt. Es zeigt, dass in den verwendeten Daten kein deutlicher positiver linearer Zusammenhang erkennbar ist.

Der Achsenabschnitt

:&lt;math&gt;b\approx3{,}39&lt;/math&gt;

darf nicht unmittelbar als tatsächliche PM₂,₅-Konzentration ohne Verkehr interpretiert werden. Er ist zunächst lediglich ein rechnerischer Parameter der Regressionsgeraden.

=== Beurteilung der Modellgüte ===

Zur Beurteilung der Stärke des linearen Zusammenhangs kann der Korrelationskoeffizient bestimmt werden.

Für die vorliegenden Messwerte ergibt sich näherungsweise

:&lt;math&gt;r\approx-0{,}21.&lt;/math&gt;

Der Wert liegt nahe bei null und deutet daher nur auf einen sehr schwachen negativen linearen Zusammenhang hin.

Das Bestimmtheitsmaß beträgt näherungsweise

:&lt;math&gt;R^2\approx0{,}046.&lt;/math&gt;

Damit erklärt das lineare Modell nur etwa &lt;math&gt;4{,}6\,\%&lt;/math&gt; der Streuung der gemessenen PM₂,₅-Werte.

Die geringe Modellgüte zeigt, dass das Verkehrsaufkommen allein die gemessene Feinstaubkonzentration kaum erklären kann.

&lt;div style=&quot;text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;&quot;&gt;
Punktwolke mit linearer Regressionsgerade
&lt;/div&gt;
[[Datei:Bild|500px|zentriert|Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration mit linearer Regressionsgerade.]]

Die Schülerinnen und Schüler erkennen an diesem Beispiel, dass eine Regressionsgerade zwar rechnerisch immer bestimmt werden kann, daraus jedoch nicht automatisch ein inhaltlich sinnvoller Zusammenhang folgt.

== Modellkritik ==

Das entwickelte Modell berücksichtigt zunächst ausschließlich das gesamte Verkehrsaufkommen. Die Auswertung zeigt jedoch, dass die PM₂,₅-Konzentration nicht allein durch die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge erklärt werden kann.

Mögliche Gründe hierfür sind:

* Die Verkehrsdaten wurden nur während eines Zeitraums von 15 Minuten erhoben und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet.
* Die PM₂,₅-Werte sind Stundenmittelwerte und beziehen sich daher nicht exakt auf denselben Messzeitraum wie die Verkehrszählung.
* Die Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten stammen nicht zwingend vom selben Standort.
* Zwischen der Entstehung von Emissionen und ihrer Messung kann eine zeitliche Verzögerung auftreten.
* Feinstaub kann durch Wind über größere Entfernungen transportiert werden.
* Niederschlag kann Partikel aus der Luft auswaschen.
* Temperatur und Luftschichtung beeinflussen die Durchmischung der Atmosphäre.
* Industrie, Heizungen, Landwirtschaft und Baustellen können zusätzliche Feinstaubquellen darstellen.
* Unterschiedliche Fahrzeugarten verursachen unterschiedliche Emissionen.
* Nicht-Abgas-Emissionen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und aufgewirbelter Straßenstaub werden im einfachen Modell nicht getrennt erfasst.

Besonders kritisch ist, dass die Verkehrsdaten im Beispiel teilweise fiktiv sind, während die PM₂,₅-Werte aus einer realen Messstation stammen. Das Modell dient daher in erster Linie der Veranschaulichung mathematischer Modellierungsprozesse und nicht der zuverlässigen Bewertung einer konkreten Luftqualitätssituation.

=== Mögliche Weiterentwicklung des Modells ===

Ein erweitertes Modell könnte zusätzliche Einflussgrößen berücksichtigen.

Eine mögliche Erweiterung lautet beispielsweise

:&lt;math&gt;
L=a_0+a_1V+a_2W+a_3N+a_4T+a_5I.
&lt;/math&gt;

Dabei könnten bedeuten:

* &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;: Verkehrsaufkommen,
* &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;: Windgeschwindigkeit,
* &lt;math&gt;N&lt;/math&gt;: Niederschlag,
* &lt;math&gt;T&lt;/math&gt;: Temperatur,
* &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;: Einfluss von Industrie oder weiteren Quellen.

Auch eine zeitliche Verzögerung könnte berücksichtigt werden:

:&lt;math&gt;
L(t)=a\cdot V(t-\tau)+b.
&lt;/math&gt;

Der Parameter &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; beschreibt dabei eine mögliche Verzögerung zwischen dem Verkehrsaufkommen und der gemessenen Feinstaubkonzentration.

Weitere mögliche Modellverbesserungen sind:

* getrennte Erfassung von PKW, LKW und Bussen,
* Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen,
* Berücksichtigung von Brems- und Beschleunigungsvorgängen,
* längere und wiederholte Verkehrszählungen,
* Verwendung einer Luftmessstation am selben Standort,
* Untersuchung mehrerer Tage und Wetterlagen,
* Vergleich von PM₂,₅ und PM₁₀,
* Verwendung einer multiplen Regression.

Durch diese Erweiterungen würde das Modell realistischer, gleichzeitig jedoch mathematisch und datenmäßig deutlich komplexer.

== Didaktische Reduktion ==

Die reale Entstehung und Ausbreitung von Feinstaub ist ein komplexer physikalischer, chemischer und meteorologischer Prozess. Eine vollständige Beschreibung würde zahlreiche Einflussgrößen und umfangreiche Messdaten erfordern.

Für die Unterrichtseinheit wird diese Realität bewusst reduziert.

Zunächst werden lediglich zwei Größen betrachtet:

* das Verkehrsaufkommen,
* die PM₂,₅-Konzentration.

Diese Reduktion ermöglicht es, zentrale mathematische Inhalte der Sekundarstufe 2 an einem realitätsnahen Kontext zu bearbeiten.

Dazu gehören insbesondere:

* Funktionen und Funktionsklassen,
* lineare Gleichungssysteme,
* Polynominterpolation,
* kubische Splines,
* Integralrechnung,
* lineare Regression,
* Interpretation von Korrelationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß,
* Modellvergleich und Modellkritik.

Digitale Werkzeuge werden eingesetzt, um umfangreiche Berechnungen durchzuführen. Die Schülerinnen und Schüler sollen jedoch nicht lediglich Ergebnisse übernehmen, sondern

* mathematische Ansätze selbst formulieren,
* die Bedeutung der verwendeten Parameter erklären,
* Ergebnisse fachlich interpretieren,
* Modellannahmen kritisch bewerten.

Die didaktische Reduktion besteht somit nicht darin, die reale Situation möglichst exakt nachzubilden, sondern einen überschaubaren Zugang zum mathematischen Modellierungsprozess zu schaffen.

== Kompetenzen und Lernziele ==

Die Schülerinnen und Schüler …

* analysieren reale und modellierte Umwelt- und Verkehrsdaten.
* stellen Messwerte tabellarisch und grafisch dar.
* unterscheiden zwischen Messdaten und modellierten Zwischenwerten.
* bestimmen eine Interpolationsfunktion mithilfe eines linearen Gleichungssystems.
* erklären den Aufbau einer Vandermonde-Matrix.
* vergleichen stückweise lineare Interpolation, Polynominterpolation und kubische Splines.
* beurteilen Funktionen hinsichtlich ihrer fachlichen Plausibilität.
* interpretieren bestimmte Integrale als zeitintegrierte Größen.
* bestimmen und vergleichen Integrale verschiedener Modellfunktionen.
* erkennen, dass mathematisch exakte Berechnungen auf ungeeigneten Modellen zu fachlich unbrauchbaren Ergebnissen führen können.
* stellen eine lineare Regressionsfunktion auf.
* interpretieren Steigung, Achsenabschnitt, Korrelationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß.
* unterscheiden zwischen Korrelation und Kausalität.
* diskutieren Grenzen und Erweiterungsmöglichkeiten mathematischer Modelle.
* nutzen LibreOffice Calc, GeoGebra und weitere digitale Werkzeuge zielgerichtet.
* dokumentieren Modellannahmen und begründen die Wahl mathematischer Verfahren.

== Fazit ==

Die Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 2 erweitert die Modellierung aus der Sekundarstufe 1 sowohl mathematisch als auch inhaltlich.

Während in der Sekundarstufe 1 die Trapezregel zur näherungsweisen Bestimmung von Gesamtgrößen eingesetzt wird, werden in der Sekundarstufe 2 unterschiedliche Funktionsmodelle entwickelt und mithilfe des bestimmten Integrals ausgewertet.

Der Vergleich der Interpolationsmodelle zeigt, dass dieselben Messdaten zu unterschiedlichen Funktionsverläufen und unterschiedlichen Integralwerten führen können. Besonders das Interpolationspolynom zehnten Grades verdeutlicht, dass eine exakte Übereinstimmung mit allen Messpunkten nicht automatisch ein realistisches Modell ergibt.

Die Regressionsanalyse zeigt darüber hinaus, dass sich die gemessene PM₂,₅-Konzentration in den verwendeten Daten nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklären lässt. Dadurch wird die Notwendigkeit einer kritischen Prüfung und schrittweisen Erweiterung mathematischer Modelle sichtbar.

Die Schülerinnen und Schüler durchlaufen damit einen vollständigen Modellierungsprozess:

:&lt;math&gt;
\text{Realsituation}
\longrightarrow
\text{Vereinfachung}
\longrightarrow
\text{mathematisches Modell}
\longrightarrow
\text{Berechnung}
\longrightarrow
\text{Interpretation}
\longrightarrow
\text{Modellkritik}.
&lt;/math&gt;

Die Einheit zeigt, dass mathematische Modellierung nicht nur aus der Durchführung von Berechnungen besteht. Entscheidend ist vielmehr, Annahmen bewusst zu treffen, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren und die Grenzen des gewählten Modells zu erkennen.

== Quellennachweis ==

&lt;references/&gt;</text>
      <sha1>lxl1ys699jh9stkc83uwwsmajawpxyt</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Abbildungen/Isomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>170441</id>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1107523</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="605" sha1="ihm79sj1ccuvnsp5r960zllzwvzzcdd" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien {{mathl|term= L,M |SZ=}} Mengen. Zeige{{n Sie}}, dass die 
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|Prämath=
|Isomorphie|
|Kontext=Abbildung|
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}}
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|Äquivalenzrelation|
|Kontext=|
|SZ=
}}
auf der 
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}}
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    </revision>
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  <page>
    <title>Abbildungen/Endliche Mengen/Zuordnung/Faseranzahltupel/Äquivalenzrelation/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
    <id>170446</id>
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        <id>2041</id>
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      <origin>1107524</origin>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien {{mathl|term= L, M |SZ=}} endliche Mengen, wobei {{math|term= M |SZ=}} genau {{math|term= k |SZ=}} Elemente besitze. Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung
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||
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}}
die einer Abbildung
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Abbildung
|name=f
| L | M
||
|SZ=
}}
ihr
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|Faseranzahltupel|
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zuordnet, die Eigenschaft besitzt, dass die zugehörige 
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|Äquivalenzrelation|
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auf {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge| L | M }} |SZ=}} im Sinne von
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die 
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von Abbildungen ist.
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  </page>
  <page>
    <title>Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen/Uni-Niveau</title>
    <ns>106</ns>
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    <revision>
      <id>1107643</id>
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      <timestamp>2026-07-17T07:13:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lisa Haaf</username>
        <id>41568</id>
      </contributor>
      <comment>/* Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24838" sha1="rvc206bd13n3au9wkuydlw3c2pe1xff" xml:space="preserve">= Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren =


== Grundidee ==

Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen.

Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle.

Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist.

Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert.

== Ziele des Modellierungsprozesses ==

Die Studierenden sollen:

* eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben,
* geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln,
* eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen,
* den Gradienten einer Funktion bestimmen,
* ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden,
* die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren.

== Vereinfachung der Realität (Annahmen) ==

Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht.

Folgende Annahmen werden getroffen:

* Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben.
* Jeder Punkt &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; entspricht einem möglichen Standort.
* Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab.
* Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab.
* Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt.

Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar.

== Mathematisches Modell ==

=== Modellierung des Energieertrags ===

Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt.

Die Funktion lautet:

&lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreibt:

* &lt;math&gt;E(x,y)&lt;/math&gt;: erwarteter Energieertrag in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage

Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. 

Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt &lt;math&gt;(0,0)&lt;/math&gt; mithilfe einer for-Schleife durchgeführt.

 [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]


Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. 
 [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]]
[[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]]

Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt &lt;math&gt; (3,4) &lt;/math&gt; bestimmt.

=== Modellierung der Kosten ===

Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen.

Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert:

&lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreiben
* &lt;math&gt;K(x,y)&lt;/math&gt;: erwartete Kosten in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage
Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y
&lt;/math&gt;

Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet.

[[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]

[[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]]

== Gradientenverfahren ==

Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. 

== Gradientenaufstiegsverfahren ==

Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion

 &lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4).
&lt;/math&gt;

Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen.

Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet.

Die Ableitung nach &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; lautet

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial x}
=
-10(x-3)
&lt;/math&gt;

und die Ableitung nach &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial y}
=
-4(y-4).
&lt;/math&gt;

Der Gradient ergibt sich somit zu

&lt;math&gt;
\nabla E(x,y)
=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)\\
-4(y-4)
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt.

Beispielsweise

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(-2,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen ===

Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt.

&lt;math&gt;
\nabla E(-2,3)
=
\begin{pmatrix}
50\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Dies bedeutet:

* Die x-Koordinate sollte vergrößert werden.
* Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden.

Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Nun wird eine Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0{,}05
&lt;/math&gt;

gewählt.

Die Schrittweite &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens.

* '''Kleine Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten.
** Die Berechnung ist meist sehr stabil.
** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird.

* '''Große Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums.
** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden.
** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird.

Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten.  Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen.

Der neue Punkt ergibt sich durch

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_1\\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix}
+
\alpha
\nabla E(x_0,y_0).
&lt;/math&gt;

Einsetzen liefert

&lt;math&gt;
x_1=-2+0,05\cdot50=0,5
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3+0,05\cdot4=3,2.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt lautet also

&lt;math&gt;
(0.5,3.2).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(0.5,3.2)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla E(0.5,3.2)=
\begin{pmatrix}
-10(0,5-3)\\
-4(3,2-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25\\
3,2
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}05&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(1.75,3.36).
&lt;/math&gt;

Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert.

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt:

&lt;math&gt;
\nabla E(1.75,3.36)=
\begin{pmatrix}
-10(1,75-3)\\
-4(3,36-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12,5\\
2,56
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2.375,3.488).
&lt;/math&gt;

Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4)
&lt;/math&gt;

an.

== Gradientenabstiegsverfahren ==

Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel.

Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden.

Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion

 &lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung

&lt;math&gt;
(0,0).
&lt;/math&gt;

Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Die partiellen Ableitungen lauten

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y.
&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich der Gradient zu

&lt;math&gt;
\nabla K(x,y)
=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an.

Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Als Startpunkt wählen wir

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(4,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient berechnen ===

Am Startpunkt ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(4,3)
=
\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Mit derselben Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0,1
&lt;/math&gt;

lautet die Iterationsvorschrift

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_n\\
y_n
\end{pmatrix}
-
\alpha
\nabla K(x_n,y_n).
&lt;/math&gt;

Einsetzen ergibt

&lt;math&gt;
x_1=4-0,1\cdot4=3,6
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3-0,1\cdot3=2,7.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung.

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(3{.}6,2{.}7)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}6,2{.}7)=
\begin{pmatrix}
3{,}6\\
2{,}7
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}1&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(3{.}24,2{.}43).
&lt;/math&gt;

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet:

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}24,2{.}43)=
\begin{pmatrix}
3{,}24\\
2{,}43
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2{.}916,2{.}187).
&lt;/math&gt;

Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei

&lt;math&gt;
(0,0)
&lt;/math&gt;

annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion.

== Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg ==

In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht:
:X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung),
:Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung),
im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²
und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration.
Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt.
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Verfahren
! Ziel
! Iterationsvorschrift
|-
| Gradientenaufstieg
| Maximum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|-
| Gradientenabstieg
| Minimum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|}

Dabei gilt:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration,
:f(zₙ): Zielfunktion,
:&lt;math&gt;\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}&lt;/math&gt;: Gradient der Funktion,
:αₙ &gt; 0: adaptive Schrittweite in Iteration n.

Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum.

Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch:

# Startpunkt wählen.
# Gradient berechnen.
# Schrittweite festlegen.
# Neue Position berechnen.
# Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert.

Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt.

== Zielfunktion ==

Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert:

&lt;math&gt;
G  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
G(x,y)=E(x,y)-K(x,y)
&lt;/math&gt;

Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar.

Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich:

&lt;math&gt;
G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y
&lt;/math&gt;

Der Gradient der Zielfunktion ist somit

&lt;math&gt;
\nabla G(x,y)=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)-x\\
-4(y-4)-y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist.

== Interpretation und Modellkritik ==

Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar.

Optimal bedeutet:

* möglichst hoher Energieertrag
* gleichzeitig möglichst geringe Kosten

Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität.

Nicht berücksichtigt werden beispielsweise:

* wechselnde Windgeschwindigkeiten
* Naturschutzgebiete
* Abstandsregelungen
* Bodenbeschaffenheit
* reale Baukosten
* Netzanbindung

Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen:

&lt;math&gt;
(x,y)\in D
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt.


== Realer Modellierungszyklus ==
Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt.
Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet.

[[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]]


Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. 

Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar.

Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. 

[[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]]


In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der &quot;Nutzen&quot; ist hier an allen Punkten des Gitters negativ.

[[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{1J}=

\begin{pmatrix}

-1900 &amp; -1530 &amp; -1890 &amp; -1800 &amp; -1440 &amp; -1980 \\

-1820 &amp; -2080 &amp; -2260 &amp; -2530 &amp; -1360 &amp; -2080 \\

-1630 &amp; -1620 &amp; -2250 &amp; -2870 &amp; -1170 &amp; -2070 \\

-1370 &amp; -1380 &amp; -1360 &amp; -1540 &amp; -1270 &amp; -1720 \\

-1180 &amp; -2340 &amp; -2610 &amp; -3190 &amp; -1260 &amp; -1800 \\

-1000 &amp; -1980 &amp; -1980 &amp; -2790 &amp; -1440 &amp; -1980

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. 

[[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]]


Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte.


[[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{10J}=

\begin{pmatrix}
-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 10 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -30 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 5 &amp; 0 &amp; 0 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). 

[[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]]


Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht.


[[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{20J}=

\begin{pmatrix}

95 &amp; 85 &amp; 105 &amp; 100 &amp; 80 &amp; 110 \\

80 &amp; 105 &amp; 115 &amp; 130 &amp; 65 &amp; 105 \\

80 &amp; 90 &amp; 125 &amp; 170 &amp; 65 &amp; 115 \\

55 &amp; 45 &amp; 65 &amp; 75 &amp; 60 &amp; 85 \\

55 &amp; 130 &amp; 145 &amp; 182.5 &amp; 70 &amp; 100 \\

45 &amp; 110 &amp; 110 &amp; 155 &amp; 80 &amp; 110

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;

==Ausblick==

Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. 
Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]]

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]]


Die hier gezeigte Matrix &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]]


Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren.

In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann.
Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des &quot;diskreten Gradientenaufstiegverfahrens&quot; wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen.</text>
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      <id>1107648</id>
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      <timestamp>2026-07-17T07:21:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lisa Haaf</username>
        <id>41568</id>
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      <comment>/* Realer Modellierungszyklus */</comment>
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      <text bytes="24826" sha1="ck0z12qblipr2sk5cgrc616sfagvg7o" xml:space="preserve">= Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren =


== Grundidee ==

Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen.

Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle.

Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist.

Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert.

== Ziele des Modellierungsprozesses ==

Die Studierenden sollen:

* eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben,
* geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln,
* eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen,
* den Gradienten einer Funktion bestimmen,
* ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden,
* die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren.

== Vereinfachung der Realität (Annahmen) ==

Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht.

Folgende Annahmen werden getroffen:

* Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben.
* Jeder Punkt &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; entspricht einem möglichen Standort.
* Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab.
* Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab.
* Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt.

Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar.

== Mathematisches Modell ==

=== Modellierung des Energieertrags ===

Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt.

Die Funktion lautet:

&lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreibt:

* &lt;math&gt;E(x,y)&lt;/math&gt;: erwarteter Energieertrag in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage

Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. 

Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt &lt;math&gt;(0,0)&lt;/math&gt; mithilfe einer for-Schleife durchgeführt.

 [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]


Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. 
 [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]]
[[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]]

Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt &lt;math&gt; (3,4) &lt;/math&gt; bestimmt.

=== Modellierung der Kosten ===

Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen.

Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert:

&lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreiben
* &lt;math&gt;K(x,y)&lt;/math&gt;: erwartete Kosten in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage
Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y
&lt;/math&gt;

Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet.

[[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]

[[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]]

== Gradientenverfahren ==

Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. 

== Gradientenaufstiegsverfahren ==

Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion

 &lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4).
&lt;/math&gt;

Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen.

Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet.

Die Ableitung nach &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; lautet

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial x}
=
-10(x-3)
&lt;/math&gt;

und die Ableitung nach &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial y}
=
-4(y-4).
&lt;/math&gt;

Der Gradient ergibt sich somit zu

&lt;math&gt;
\nabla E(x,y)
=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)\\
-4(y-4)
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt.

Beispielsweise

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(-2,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen ===

Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt.

&lt;math&gt;
\nabla E(-2,3)
=
\begin{pmatrix}
50\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Dies bedeutet:

* Die x-Koordinate sollte vergrößert werden.
* Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden.

Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Nun wird eine Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0{,}05
&lt;/math&gt;

gewählt.

Die Schrittweite &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens.

* '''Kleine Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten.
** Die Berechnung ist meist sehr stabil.
** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird.

* '''Große Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums.
** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden.
** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird.

Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten.  Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen.

Der neue Punkt ergibt sich durch

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_1\\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix}
+
\alpha
\nabla E(x_0,y_0).
&lt;/math&gt;

Einsetzen liefert

&lt;math&gt;
x_1=-2+0,05\cdot50=0,5
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3+0,05\cdot4=3,2.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt lautet also

&lt;math&gt;
(0.5,3.2).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(0.5,3.2)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla E(0.5,3.2)=
\begin{pmatrix}
-10(0,5-3)\\
-4(3,2-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25\\
3,2
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}05&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(1.75,3.36).
&lt;/math&gt;

Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert.

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt:

&lt;math&gt;
\nabla E(1.75,3.36)=
\begin{pmatrix}
-10(1,75-3)\\
-4(3,36-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12,5\\
2,56
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2.375,3.488).
&lt;/math&gt;

Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4)
&lt;/math&gt;

an.

== Gradientenabstiegsverfahren ==

Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel.

Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden.

Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion

 &lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung

&lt;math&gt;
(0,0).
&lt;/math&gt;

Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Die partiellen Ableitungen lauten

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y.
&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich der Gradient zu

&lt;math&gt;
\nabla K(x,y)
=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an.

Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Als Startpunkt wählen wir

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(4,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient berechnen ===

Am Startpunkt ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(4,3)
=
\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Mit derselben Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0,1
&lt;/math&gt;

lautet die Iterationsvorschrift

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_n\\
y_n
\end{pmatrix}
-
\alpha
\nabla K(x_n,y_n).
&lt;/math&gt;

Einsetzen ergibt

&lt;math&gt;
x_1=4-0,1\cdot4=3,6
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3-0,1\cdot3=2,7.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung.

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(3{.}6,2{.}7)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}6,2{.}7)=
\begin{pmatrix}
3{,}6\\
2{,}7
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}1&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(3{.}24,2{.}43).
&lt;/math&gt;

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet:

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}24,2{.}43)=
\begin{pmatrix}
3{,}24\\
2{,}43
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2{.}916,2{.}187).
&lt;/math&gt;

Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei

&lt;math&gt;
(0,0)
&lt;/math&gt;

annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion.

== Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg ==

In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht:
:X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung),
:Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung),
im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²
und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration.
Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt.
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Verfahren
! Ziel
! Iterationsvorschrift
|-
| Gradientenaufstieg
| Maximum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|-
| Gradientenabstieg
| Minimum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|}

Dabei gilt:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration,
:f(zₙ): Zielfunktion,
:&lt;math&gt;\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}&lt;/math&gt;: Gradient der Funktion,
:αₙ &gt; 0: adaptive Schrittweite in Iteration n.

Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum.

Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch:

# Startpunkt wählen.
# Gradient berechnen.
# Schrittweite festlegen.
# Neue Position berechnen.
# Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert.

Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt.

== Zielfunktion ==

Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert:

&lt;math&gt;
G  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
G(x,y)=E(x,y)-K(x,y)
&lt;/math&gt;

Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar.

Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich:

&lt;math&gt;
G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y
&lt;/math&gt;

Der Gradient der Zielfunktion ist somit

&lt;math&gt;
\nabla G(x,y)=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)-x\\
-4(y-4)-y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist.

== Interpretation und Modellkritik ==

Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar.

Optimal bedeutet:

* möglichst hoher Energieertrag
* gleichzeitig möglichst geringe Kosten

Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität.

Nicht berücksichtigt werden beispielsweise:

* wechselnde Windgeschwindigkeiten
* Naturschutzgebiete
* Abstandsregelungen
* Bodenbeschaffenheit
* reale Baukosten
* Netzanbindung

Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen:

&lt;math&gt;
(x,y)\in D
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt.


== Realer Modellierungszyklus ==
Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt.
Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet.

[[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]]


Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. 

Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar.

Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. 

[[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]]


In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der &quot;Nutzen&quot; ist hier an allen Punkten des Gitters negativ.

[[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{1J}=

\begin{pmatrix}

-1900 &amp; -1530 &amp; -1890 &amp; -1800 &amp; -1440 &amp; -1980 \\

-1820 &amp; -2080 &amp; -2260 &amp; -2530 &amp; -1360 &amp; -2080 \\

-1630 &amp; -1620 &amp; -2250 &amp; -2870 &amp; -1170 &amp; -2070 \\

-1370 &amp; -1380 &amp; -1360 &amp; -1540 &amp; -1270 &amp; -1720 \\

-1180 &amp; -2340 &amp; -2610 &amp; -3190 &amp; -1260 &amp; -1800 \\

-1000 &amp; -1980 &amp; -1980 &amp; -2790 &amp; -1440 &amp; -1980

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. 

[[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]]


Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte.


[[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{10J}=

\begin{pmatrix}
-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 10 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -30 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 5 &amp; 0 &amp; 0 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). 

[[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]]


Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht.


[[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{20J}=

\begin{pmatrix}

95 &amp; 85 &amp; 105 &amp; 100 &amp; 80 &amp; 110 \\

80 &amp; 105 &amp; 115 &amp; 130 &amp; 65 &amp; 105 \\

80 &amp; 90 &amp; 125 &amp; 170 &amp; 65 &amp; 115 \\

55 &amp; 45 &amp; 65 &amp; 75 &amp; 60 &amp; 85 \\

55 &amp; 130 &amp; 145 &amp; 182.5 &amp; 70 &amp; 100 \\

45 &amp; 110 &amp; 110 &amp; 155 &amp; 80 &amp; 110

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;

==Ausblick==

Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. 
Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]]

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]]


Die hier gezeigte Matrix &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]]


Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren.

In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann.
Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des &quot;diskreten Gradientenaufstiegverfahrens&quot; wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen.</text>
      <sha1>ck0z12qblipr2sk5cgrc616sfagvg7o</sha1>
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    <revision>
      <id>1107679</id>
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      <timestamp>2026-07-17T08:45:12Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nils Huck</username>
        <id>41520</id>
      </contributor>
      <comment>/* Ausblick */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24950" sha1="jhtpd41gmuypnu8wll6g3k8tu1acapc" xml:space="preserve">= Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren =


== Grundidee ==

Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen.

Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle.

Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist.

Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert.

== Ziele des Modellierungsprozesses ==

Die Studierenden sollen:

* eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben,
* geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln,
* eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen,
* den Gradienten einer Funktion bestimmen,
* ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden,
* die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren.

== Vereinfachung der Realität (Annahmen) ==

Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht.

Folgende Annahmen werden getroffen:

* Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben.
* Jeder Punkt &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; entspricht einem möglichen Standort.
* Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab.
* Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab.
* Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt.

Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar.

== Mathematisches Modell ==

=== Modellierung des Energieertrags ===

Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt.

Die Funktion lautet:

&lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreibt:

* &lt;math&gt;E(x,y)&lt;/math&gt;: erwarteter Energieertrag in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage

Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. 

Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt &lt;math&gt;(0,0)&lt;/math&gt; mithilfe einer for-Schleife durchgeführt.

 [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]


Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. 
 [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]]
[[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]]

Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt &lt;math&gt; (3,4) &lt;/math&gt; bestimmt.

=== Modellierung der Kosten ===

Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen.

Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert:

&lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreiben
* &lt;math&gt;K(x,y)&lt;/math&gt;: erwartete Kosten in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage
Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y
&lt;/math&gt;

Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet.

[[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]

[[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]]

== Gradientenverfahren ==

Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. 

== Gradientenaufstiegsverfahren ==

Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion

 &lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4).
&lt;/math&gt;

Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen.

Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet.

Die Ableitung nach &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; lautet

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial x}
=
-10(x-3)
&lt;/math&gt;

und die Ableitung nach &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial y}
=
-4(y-4).
&lt;/math&gt;

Der Gradient ergibt sich somit zu

&lt;math&gt;
\nabla E(x,y)
=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)\\
-4(y-4)
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt.

Beispielsweise

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(-2,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen ===

Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt.

&lt;math&gt;
\nabla E(-2,3)
=
\begin{pmatrix}
50\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Dies bedeutet:

* Die x-Koordinate sollte vergrößert werden.
* Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden.

Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Nun wird eine Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0{,}05
&lt;/math&gt;

gewählt.

Die Schrittweite &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens.

* '''Kleine Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten.
** Die Berechnung ist meist sehr stabil.
** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird.

* '''Große Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums.
** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden.
** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird.

Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten.  Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen.

Der neue Punkt ergibt sich durch

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_1\\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix}
+
\alpha
\nabla E(x_0,y_0).
&lt;/math&gt;

Einsetzen liefert

&lt;math&gt;
x_1=-2+0,05\cdot50=0,5
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3+0,05\cdot4=3,2.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt lautet also

&lt;math&gt;
(0.5,3.2).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(0.5,3.2)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla E(0.5,3.2)=
\begin{pmatrix}
-10(0,5-3)\\
-4(3,2-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25\\
3,2
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}05&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(1.75,3.36).
&lt;/math&gt;

Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert.

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt:

&lt;math&gt;
\nabla E(1.75,3.36)=
\begin{pmatrix}
-10(1,75-3)\\
-4(3,36-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12,5\\
2,56
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2.375,3.488).
&lt;/math&gt;

Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4)
&lt;/math&gt;

an.

== Gradientenabstiegsverfahren ==

Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel.

Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden.

Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion

 &lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung

&lt;math&gt;
(0,0).
&lt;/math&gt;

Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Die partiellen Ableitungen lauten

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y.
&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich der Gradient zu

&lt;math&gt;
\nabla K(x,y)
=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an.

Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Als Startpunkt wählen wir

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(4,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient berechnen ===

Am Startpunkt ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(4,3)
=
\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Mit derselben Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0,1
&lt;/math&gt;

lautet die Iterationsvorschrift

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_n\\
y_n
\end{pmatrix}
-
\alpha
\nabla K(x_n,y_n).
&lt;/math&gt;

Einsetzen ergibt

&lt;math&gt;
x_1=4-0,1\cdot4=3,6
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3-0,1\cdot3=2,7.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung.

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(3{.}6,2{.}7)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}6,2{.}7)=
\begin{pmatrix}
3{,}6\\
2{,}7
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}1&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(3{.}24,2{.}43).
&lt;/math&gt;

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet:

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}24,2{.}43)=
\begin{pmatrix}
3{,}24\\
2{,}43
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2{.}916,2{.}187).
&lt;/math&gt;

Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei

&lt;math&gt;
(0,0)
&lt;/math&gt;

annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion.

== Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg ==

In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht:
:X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung),
:Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung),
im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²
und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration.
Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt.
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Verfahren
! Ziel
! Iterationsvorschrift
|-
| Gradientenaufstieg
| Maximum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|-
| Gradientenabstieg
| Minimum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|}

Dabei gilt:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration,
:f(zₙ): Zielfunktion,
:&lt;math&gt;\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}&lt;/math&gt;: Gradient der Funktion,
:αₙ &gt; 0: adaptive Schrittweite in Iteration n.

Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum.

Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch:

# Startpunkt wählen.
# Gradient berechnen.
# Schrittweite festlegen.
# Neue Position berechnen.
# Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert.

Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt.

== Zielfunktion ==

Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert:

&lt;math&gt;
G  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
G(x,y)=E(x,y)-K(x,y)
&lt;/math&gt;

Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar.

Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich:

&lt;math&gt;
G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y
&lt;/math&gt;

Der Gradient der Zielfunktion ist somit

&lt;math&gt;
\nabla G(x,y)=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)-x\\
-4(y-4)-y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist.

== Interpretation und Modellkritik ==

Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar.

Optimal bedeutet:

* möglichst hoher Energieertrag
* gleichzeitig möglichst geringe Kosten

Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität.

Nicht berücksichtigt werden beispielsweise:

* wechselnde Windgeschwindigkeiten
* Naturschutzgebiete
* Abstandsregelungen
* Bodenbeschaffenheit
* reale Baukosten
* Netzanbindung

Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen:

&lt;math&gt;
(x,y)\in D
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt.


== Realer Modellierungszyklus ==
Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt.
Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet.

[[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]]


Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. 

Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar.

Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. 

[[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]]


In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der &quot;Nutzen&quot; ist hier an allen Punkten des Gitters negativ.

[[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{1J}=

\begin{pmatrix}

-1900 &amp; -1530 &amp; -1890 &amp; -1800 &amp; -1440 &amp; -1980 \\

-1820 &amp; -2080 &amp; -2260 &amp; -2530 &amp; -1360 &amp; -2080 \\

-1630 &amp; -1620 &amp; -2250 &amp; -2870 &amp; -1170 &amp; -2070 \\

-1370 &amp; -1380 &amp; -1360 &amp; -1540 &amp; -1270 &amp; -1720 \\

-1180 &amp; -2340 &amp; -2610 &amp; -3190 &amp; -1260 &amp; -1800 \\

-1000 &amp; -1980 &amp; -1980 &amp; -2790 &amp; -1440 &amp; -1980

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. 

[[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]]


Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte.


[[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{10J}=

\begin{pmatrix}
-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 10 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -30 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 5 &amp; 0 &amp; 0 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). 

[[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]]


Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht.


[[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{20J}=

\begin{pmatrix}

95 &amp; 85 &amp; 105 &amp; 100 &amp; 80 &amp; 110 \\

80 &amp; 105 &amp; 115 &amp; 130 &amp; 65 &amp; 105 \\

80 &amp; 90 &amp; 125 &amp; 170 &amp; 65 &amp; 115 \\

55 &amp; 45 &amp; 65 &amp; 75 &amp; 60 &amp; 85 \\

55 &amp; 130 &amp; 145 &amp; 182.5 &amp; 70 &amp; 100 \\

45 &amp; 110 &amp; 110 &amp; 155 &amp; 80 &amp; 110

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;

==Ausblick==

Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. 
Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]]

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]]


Die hier gezeigte Matrix &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]]


Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren.
=== Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== 
Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] 
In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann.
Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des &quot;diskreten Gradientenaufstiegverfahrens&quot; wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen.</text>
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    </revision>
    <revision>
      <id>1107683</id>
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      <timestamp>2026-07-17T09:10:20Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nils Huck</username>
        <id>41520</id>
      </contributor>
      <comment>/* Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24962" sha1="4l4mn25yzihb22p0fce9xh62bm2h9pc" xml:space="preserve">= Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren =


== Grundidee ==

Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen.

Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle.

Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist.

Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert.

== Ziele des Modellierungsprozesses ==

Die Studierenden sollen:

* eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben,
* geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln,
* eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen,
* den Gradienten einer Funktion bestimmen,
* ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden,
* die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren.

== Vereinfachung der Realität (Annahmen) ==

Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht.

Folgende Annahmen werden getroffen:

* Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben.
* Jeder Punkt &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; entspricht einem möglichen Standort.
* Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab.
* Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab.
* Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt.

Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar.

== Mathematisches Modell ==

=== Modellierung des Energieertrags ===

Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt.

Die Funktion lautet:

&lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreibt:

* &lt;math&gt;E(x,y)&lt;/math&gt;: erwarteter Energieertrag in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage

Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. 

Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt &lt;math&gt;(0,0)&lt;/math&gt; mithilfe einer for-Schleife durchgeführt.

 [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]


Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. 
 [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]]
[[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]]

Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt &lt;math&gt; (3,4) &lt;/math&gt; bestimmt.

=== Modellierung der Kosten ===

Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen.

Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert:

&lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreiben
* &lt;math&gt;K(x,y)&lt;/math&gt;: erwartete Kosten in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage
Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y
&lt;/math&gt;

Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet.

[[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]

[[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]]

== Gradientenverfahren ==

Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. 

== Gradientenaufstiegsverfahren ==

Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion

 &lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4).
&lt;/math&gt;

Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen.

Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet.

Die Ableitung nach &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; lautet

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial x}
=
-10(x-3)
&lt;/math&gt;

und die Ableitung nach &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial y}
=
-4(y-4).
&lt;/math&gt;

Der Gradient ergibt sich somit zu

&lt;math&gt;
\nabla E(x,y)
=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)\\
-4(y-4)
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt.

Beispielsweise

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(-2,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen ===

Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt.

&lt;math&gt;
\nabla E(-2,3)
=
\begin{pmatrix}
50\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Dies bedeutet:

* Die x-Koordinate sollte vergrößert werden.
* Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden.

Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Nun wird eine Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0{,}05
&lt;/math&gt;

gewählt.

Die Schrittweite &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens.

* '''Kleine Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten.
** Die Berechnung ist meist sehr stabil.
** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird.

* '''Große Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums.
** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden.
** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird.

Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten.  Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen.

Der neue Punkt ergibt sich durch

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_1\\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix}
+
\alpha
\nabla E(x_0,y_0).
&lt;/math&gt;

Einsetzen liefert

&lt;math&gt;
x_1=-2+0,05\cdot50=0,5
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3+0,05\cdot4=3,2.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt lautet also

&lt;math&gt;
(0.5,3.2).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(0.5,3.2)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla E(0.5,3.2)=
\begin{pmatrix}
-10(0,5-3)\\
-4(3,2-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25\\
3,2
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}05&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(1.75,3.36).
&lt;/math&gt;

Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert.

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt:

&lt;math&gt;
\nabla E(1.75,3.36)=
\begin{pmatrix}
-10(1,75-3)\\
-4(3,36-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12,5\\
2,56
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2.375,3.488).
&lt;/math&gt;

Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4)
&lt;/math&gt;

an.

== Gradientenabstiegsverfahren ==

Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel.

Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden.

Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion

 &lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung

&lt;math&gt;
(0,0).
&lt;/math&gt;

Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Die partiellen Ableitungen lauten

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y.
&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich der Gradient zu

&lt;math&gt;
\nabla K(x,y)
=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an.

Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Als Startpunkt wählen wir

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(4,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient berechnen ===

Am Startpunkt ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(4,3)
=
\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Mit derselben Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0,1
&lt;/math&gt;

lautet die Iterationsvorschrift

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_n\\
y_n
\end{pmatrix}
-
\alpha
\nabla K(x_n,y_n).
&lt;/math&gt;

Einsetzen ergibt

&lt;math&gt;
x_1=4-0,1\cdot4=3,6
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3-0,1\cdot3=2,7.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung.

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(3{.}6,2{.}7)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}6,2{.}7)=
\begin{pmatrix}
3{,}6\\
2{,}7
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}1&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(3{.}24,2{.}43).
&lt;/math&gt;

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet:

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}24,2{.}43)=
\begin{pmatrix}
3{,}24\\
2{,}43
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2{.}916,2{.}187).
&lt;/math&gt;

Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei

&lt;math&gt;
(0,0)
&lt;/math&gt;

annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion.

== Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg ==

In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht:
:X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung),
:Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung),
im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²
und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration.
Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt.
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Verfahren
! Ziel
! Iterationsvorschrift
|-
| Gradientenaufstieg
| Maximum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|-
| Gradientenabstieg
| Minimum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|}

Dabei gilt:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration,
:f(zₙ): Zielfunktion,
:&lt;math&gt;\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) &lt;/math&gt;: Gradient der Funktion,
:αₙ &gt; 0: adaptive Schrittweite in Iteration n.

Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum.

Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch:

# Startpunkt wählen.
# Gradient berechnen.
# Schrittweite festlegen.
# Neue Position berechnen.
# Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert.

Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt.

== Zielfunktion ==

Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert:

&lt;math&gt;
G  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
G(x,y)=E(x,y)-K(x,y)
&lt;/math&gt;

Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar.

Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich:

&lt;math&gt;
G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y
&lt;/math&gt;

Der Gradient der Zielfunktion ist somit

&lt;math&gt;
\nabla G(x,y)=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)-x\\
-4(y-4)-y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist.

== Interpretation und Modellkritik ==

Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar.

Optimal bedeutet:

* möglichst hoher Energieertrag
* gleichzeitig möglichst geringe Kosten

Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität.

Nicht berücksichtigt werden beispielsweise:

* wechselnde Windgeschwindigkeiten
* Naturschutzgebiete
* Abstandsregelungen
* Bodenbeschaffenheit
* reale Baukosten
* Netzanbindung

Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen:

&lt;math&gt;
(x,y)\in D
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt.


== Realer Modellierungszyklus ==
Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt.
Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet.

[[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]]


Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. 

Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar.

Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. 

[[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]]


In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der &quot;Nutzen&quot; ist hier an allen Punkten des Gitters negativ.

[[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{1J}=

\begin{pmatrix}

-1900 &amp; -1530 &amp; -1890 &amp; -1800 &amp; -1440 &amp; -1980 \\

-1820 &amp; -2080 &amp; -2260 &amp; -2530 &amp; -1360 &amp; -2080 \\

-1630 &amp; -1620 &amp; -2250 &amp; -2870 &amp; -1170 &amp; -2070 \\

-1370 &amp; -1380 &amp; -1360 &amp; -1540 &amp; -1270 &amp; -1720 \\

-1180 &amp; -2340 &amp; -2610 &amp; -3190 &amp; -1260 &amp; -1800 \\

-1000 &amp; -1980 &amp; -1980 &amp; -2790 &amp; -1440 &amp; -1980

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. 

[[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]]


Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte.


[[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{10J}=

\begin{pmatrix}
-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 10 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -30 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 5 &amp; 0 &amp; 0 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). 

[[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]]


Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht.


[[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{20J}=

\begin{pmatrix}

95 &amp; 85 &amp; 105 &amp; 100 &amp; 80 &amp; 110 \\

80 &amp; 105 &amp; 115 &amp; 130 &amp; 65 &amp; 105 \\

80 &amp; 90 &amp; 125 &amp; 170 &amp; 65 &amp; 115 \\

55 &amp; 45 &amp; 65 &amp; 75 &amp; 60 &amp; 85 \\

55 &amp; 130 &amp; 145 &amp; 182.5 &amp; 70 &amp; 100 \\

45 &amp; 110 &amp; 110 &amp; 155 &amp; 80 &amp; 110

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;

==Ausblick==

Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. 
Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]]

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]]


Die hier gezeigte Matrix &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]]


Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren.
=== Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== 
Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] 
In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann.
Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des &quot;diskreten Gradientenaufstiegverfahrens&quot; wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen.</text>
      <sha1>4l4mn25yzihb22p0fce9xh62bm2h9pc</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107684</id>
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      <timestamp>2026-07-17T09:12:11Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nils Huck</username>
        <id>41520</id>
      </contributor>
      <comment>/* Zielfunktion */</comment>
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      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="24966" sha1="el7uamfvokh01lv3h70mdquglinesoa" xml:space="preserve">= Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren =


== Grundidee ==

Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen.

Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle.

Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist.

Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert.

== Ziele des Modellierungsprozesses ==

Die Studierenden sollen:

* eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben,
* geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln,
* eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen,
* den Gradienten einer Funktion bestimmen,
* ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden,
* die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren.

== Vereinfachung der Realität (Annahmen) ==

Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht.

Folgende Annahmen werden getroffen:

* Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben.
* Jeder Punkt &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; entspricht einem möglichen Standort.
* Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab.
* Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab.
* Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt.

Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar.

== Mathematisches Modell ==

=== Modellierung des Energieertrags ===

Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt.

Die Funktion lautet:

&lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreibt:

* &lt;math&gt;E(x,y)&lt;/math&gt;: erwarteter Energieertrag in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage

Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. 

Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt &lt;math&gt;(0,0)&lt;/math&gt; mithilfe einer for-Schleife durchgeführt.

 [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]


Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. 
 [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]]
[[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]]

Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt &lt;math&gt; (3,4) &lt;/math&gt; bestimmt.

=== Modellierung der Kosten ===

Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen.

Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert:

&lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreiben
* &lt;math&gt;K(x,y)&lt;/math&gt;: erwartete Kosten in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage
Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y
&lt;/math&gt;

Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet.

[[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]

[[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]]

== Gradientenverfahren ==

Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. 

== Gradientenaufstiegsverfahren ==

Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion

 &lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4).
&lt;/math&gt;

Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen.

Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet.

Die Ableitung nach &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; lautet

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial x}
=
-10(x-3)
&lt;/math&gt;

und die Ableitung nach &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial y}
=
-4(y-4).
&lt;/math&gt;

Der Gradient ergibt sich somit zu

&lt;math&gt;
\nabla E(x,y)
=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)\\
-4(y-4)
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt.

Beispielsweise

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(-2,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen ===

Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt.

&lt;math&gt;
\nabla E(-2,3)
=
\begin{pmatrix}
50\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Dies bedeutet:

* Die x-Koordinate sollte vergrößert werden.
* Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden.

Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Nun wird eine Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0{,}05
&lt;/math&gt;

gewählt.

Die Schrittweite &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens.

* '''Kleine Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten.
** Die Berechnung ist meist sehr stabil.
** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird.

* '''Große Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums.
** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden.
** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird.

Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten.  Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen.

Der neue Punkt ergibt sich durch

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_1\\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix}
+
\alpha
\nabla E(x_0,y_0).
&lt;/math&gt;

Einsetzen liefert

&lt;math&gt;
x_1=-2+0,05\cdot50=0,5
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3+0,05\cdot4=3,2.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt lautet also

&lt;math&gt;
(0.5,3.2).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(0.5,3.2)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla E(0.5,3.2)=
\begin{pmatrix}
-10(0,5-3)\\
-4(3,2-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25\\
3,2
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}05&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(1.75,3.36).
&lt;/math&gt;

Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert.

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt:

&lt;math&gt;
\nabla E(1.75,3.36)=
\begin{pmatrix}
-10(1,75-3)\\
-4(3,36-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12,5\\
2,56
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2.375,3.488).
&lt;/math&gt;

Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4)
&lt;/math&gt;

an.

== Gradientenabstiegsverfahren ==

Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel.

Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden.

Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion

 &lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung

&lt;math&gt;
(0,0).
&lt;/math&gt;

Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Die partiellen Ableitungen lauten

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y.
&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich der Gradient zu

&lt;math&gt;
\nabla K(x,y)
=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an.

Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Als Startpunkt wählen wir

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(4,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient berechnen ===

Am Startpunkt ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(4,3)
=
\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Mit derselben Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0,1
&lt;/math&gt;

lautet die Iterationsvorschrift

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_n\\
y_n
\end{pmatrix}
-
\alpha
\nabla K(x_n,y_n).
&lt;/math&gt;

Einsetzen ergibt

&lt;math&gt;
x_1=4-0,1\cdot4=3,6
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3-0,1\cdot3=2,7.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung.

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(3{.}6,2{.}7)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}6,2{.}7)=
\begin{pmatrix}
3{,}6\\
2{,}7
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}1&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(3{.}24,2{.}43).
&lt;/math&gt;

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet:

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}24,2{.}43)=
\begin{pmatrix}
3{,}24\\
2{,}43
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2{.}916,2{.}187).
&lt;/math&gt;

Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei

&lt;math&gt;
(0,0)
&lt;/math&gt;

annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion.

== Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg ==

In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht:
:X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung),
:Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung),
im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²
und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration.
Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt.
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Verfahren
! Ziel
! Iterationsvorschrift
|-
| Gradientenaufstieg
| Maximum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|-
| Gradientenabstieg
| Minimum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|}

Dabei gilt:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration,
:f(zₙ): Zielfunktion,
:&lt;math&gt;\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) &lt;/math&gt;: Gradient der Funktion,
:αₙ &gt; 0: adaptive Schrittweite in Iteration n.

Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum.

Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch:

# Startpunkt wählen.
# Gradient berechnen.
# Schrittweite festlegen.
# Neue Position berechnen.
# Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert.

Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt.

== Zielfunktion ==

Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert:

&lt;math&gt;
G  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
G(x,y)=E(x,y)-K(x,y)
&lt;/math&gt;

Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar.

Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich:

&lt;math&gt;
G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y
&lt;/math&gt;

Der Gradient der Zielfunktion ist somit

&lt;math&gt;
\nabla G(x,y)=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)-x\\
-4(y-4)-y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist.

== Interpretation und Modellkritik ==

Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar.

Optimal bedeutet:

* möglichst hoher Energieertrag
* gleichzeitig möglichst geringe Kosten

Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität.

Nicht berücksichtigt werden beispielsweise:

* wechselnde Windgeschwindigkeiten
* Naturschutzgebiete
* Abstandsregelungen
* Bodenbeschaffenheit
* reale Baukosten
* Netzanbindung

Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen:

&lt;math&gt;
(x,y)\in D
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt.


== Realer Modellierungszyklus ==
Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt.
Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet.

[[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]]


Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. 

Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar.

Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. 

[[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]]


In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der &quot;Nutzen&quot; ist hier an allen Punkten des Gitters negativ.

[[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{1J}=

\begin{pmatrix}

-1900 &amp; -1530 &amp; -1890 &amp; -1800 &amp; -1440 &amp; -1980 \\

-1820 &amp; -2080 &amp; -2260 &amp; -2530 &amp; -1360 &amp; -2080 \\

-1630 &amp; -1620 &amp; -2250 &amp; -2870 &amp; -1170 &amp; -2070 \\

-1370 &amp; -1380 &amp; -1360 &amp; -1540 &amp; -1270 &amp; -1720 \\

-1180 &amp; -2340 &amp; -2610 &amp; -3190 &amp; -1260 &amp; -1800 \\

-1000 &amp; -1980 &amp; -1980 &amp; -2790 &amp; -1440 &amp; -1980

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. 

[[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]]


Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte.


[[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{10J}=

\begin{pmatrix}
-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 10 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -30 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 5 &amp; 0 &amp; 0 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). 

[[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]]


Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht.


[[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{20J}=

\begin{pmatrix}

95 &amp; 85 &amp; 105 &amp; 100 &amp; 80 &amp; 110 \\

80 &amp; 105 &amp; 115 &amp; 130 &amp; 65 &amp; 105 \\

80 &amp; 90 &amp; 125 &amp; 170 &amp; 65 &amp; 115 \\

55 &amp; 45 &amp; 65 &amp; 75 &amp; 60 &amp; 85 \\

55 &amp; 130 &amp; 145 &amp; 182.5 &amp; 70 &amp; 100 \\

45 &amp; 110 &amp; 110 &amp; 155 &amp; 80 &amp; 110

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;

==Ausblick==

Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. 
Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]]

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]]


Die hier gezeigte Matrix &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]]


Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren.
=== Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== 
Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] 
In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann.
Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des &quot;diskreten Gradientenaufstiegverfahrens&quot; wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen.</text>
      <sha1>el7uamfvokh01lv3h70mdquglinesoa</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>1107693</id>
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      <timestamp>2026-07-17T09:30:58Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Nils Huck</username>
        <id>41520</id>
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      <comment>/* Realer Modellierungszyklus */</comment>
      <origin>1107693</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25036" sha1="jczj6f2mal5ea8nldb54xspieoh1doz" xml:space="preserve">= Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren =


== Grundidee ==

Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen.

Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle.

Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist.

Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert.

== Ziele des Modellierungsprozesses ==

Die Studierenden sollen:

* eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben,
* geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln,
* eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen,
* den Gradienten einer Funktion bestimmen,
* ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden,
* die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren.

== Vereinfachung der Realität (Annahmen) ==

Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht.

Folgende Annahmen werden getroffen:

* Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben.
* Jeder Punkt &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; entspricht einem möglichen Standort.
* Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab.
* Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab.
* Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt.

Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar.

== Mathematisches Modell ==

=== Modellierung des Energieertrags ===

Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt.

Die Funktion lautet:

&lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreibt:

* &lt;math&gt;E(x,y)&lt;/math&gt;: erwarteter Energieertrag in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage

Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. 

Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt &lt;math&gt;(0,0)&lt;/math&gt; mithilfe einer for-Schleife durchgeführt.

 [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]


Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. 
 [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]]
[[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]]

Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt &lt;math&gt; (3,4) &lt;/math&gt; bestimmt.

=== Modellierung der Kosten ===

Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen.

Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert:

&lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Dabei beschreiben
* &lt;math&gt;K(x,y)&lt;/math&gt;: erwartete Kosten in €
* &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt;: Standort der Windenergieanlage
Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y
&lt;/math&gt;

Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet.

[[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]]

[[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]]

== Gradientenverfahren ==

Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. 

== Gradientenaufstiegsverfahren ==

Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion

 &lt;math&gt;
E  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4).
&lt;/math&gt;

Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen.

Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet.

Die Ableitung nach &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; lautet

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial x}
=
-10(x-3)
&lt;/math&gt;

und die Ableitung nach &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial E}{\partial y}
=
-4(y-4).
&lt;/math&gt;

Der Gradient ergibt sich somit zu

&lt;math&gt;
\nabla E(x,y)
=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)\\
-4(y-4)
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt.

Beispielsweise

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(-2,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen ===

Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt.

&lt;math&gt;
\nabla E(-2,3)
=
\begin{pmatrix}
50\\
4
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Dies bedeutet:

* Die x-Koordinate sollte vergrößert werden.
* Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden.

Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Nun wird eine Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0{,}05
&lt;/math&gt;

gewählt.

Die Schrittweite &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens.

* '''Kleine Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten.
** Die Berechnung ist meist sehr stabil.
** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird.

* '''Große Schrittweite (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;):'''
** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums.
** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden.
** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird.

Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten.  Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen.

Der neue Punkt ergibt sich durch

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_1\\
y_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0
\end{pmatrix}
+
\alpha
\nabla E(x_0,y_0).
&lt;/math&gt;

Einsetzen liefert

&lt;math&gt;
x_1=-2+0,05\cdot50=0,5
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3+0,05\cdot4=3,2.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt lautet also

&lt;math&gt;
(0.5,3.2).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(0.5,3.2)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla E(0.5,3.2)=
\begin{pmatrix}
-10(0,5-3)\\
-4(3,2-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
25\\
3,2
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}05&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(1.75,3.36).
&lt;/math&gt;

Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert.

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt:

&lt;math&gt;
\nabla E(1.75,3.36)=
\begin{pmatrix}
-10(1,75-3)\\
-4(3,36-4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
12,5\\
2,56
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2.375,3.488).
&lt;/math&gt;

Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei

&lt;math&gt;
(3,4)
&lt;/math&gt;

an.

== Gradientenabstiegsverfahren ==

Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel.

Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden.

Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion

 &lt;math&gt;
K  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;
K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung

&lt;math&gt;
(0,0).
&lt;/math&gt;

Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel.

=== Schritt 1: Gradient berechnen ===

Die partiellen Ableitungen lauten

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial x}=x
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
\frac{\partial K}{\partial y}=y.
&lt;/math&gt;

Damit ergibt sich der Gradient zu

&lt;math&gt;
\nabla K(x,y)
=
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an.

Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen.

=== Schritt 2: Startpunkt wählen ===

Als Startpunkt wählen wir

&lt;math&gt;
(x_0,y_0)=(4,3).
&lt;/math&gt;

=== Schritt 3: Gradient berechnen ===

Am Startpunkt ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(4,3)
=
\begin{pmatrix}
4\\
3
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung.

=== Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen ===

Mit derselben Schrittweite

&lt;math&gt;
\alpha=0,1
&lt;/math&gt;

lautet die Iterationsvorschrift

&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
x_{n+1}\\
y_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_n\\
y_n
\end{pmatrix}
-
\alpha
\nabla K(x_n,y_n).
&lt;/math&gt;

Einsetzen ergibt

&lt;math&gt;
x_1=4-0,1\cdot4=3,6
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_1=3-0,1\cdot3=2,7.
&lt;/math&gt;

Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung.

=== Schritt 5: Iteration wiederholen ===

Am neuen Punkt &lt;math&gt;(3{.}6,2{.}7)&lt;/math&gt; wird erneut der Gradient berechnet.

Es ergibt sich

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}6,2{.}7)=
\begin{pmatrix}
3{,}6\\
2{,}7
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Mit der Schrittweite &lt;math&gt;\alpha=0{,}1&lt;/math&gt; erhält man den nächsten Punkt

&lt;math&gt;
x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43.
&lt;/math&gt;

Der zweite Iterationspunkt lautet somit

&lt;math&gt;
(3{.}24,2{.}43).
&lt;/math&gt;

Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet:

&lt;math&gt;
\nabla K(3{.}24,2{.}43)=
\begin{pmatrix}
3{,}24\\
2{,}43
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Daraus folgt

&lt;math&gt;
x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916
&lt;/math&gt;

und

&lt;math&gt;
y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187.
&lt;/math&gt;

Der dritte Iterationspunkt lautet daher

&lt;math&gt;
(2{.}916,2{.}187).
&lt;/math&gt;

Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei

&lt;math&gt;
(0,0)
&lt;/math&gt;

annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion.

== Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg ==

In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht:
:X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung),
:Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung),
im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²
und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration.
Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt.
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Verfahren
! Ziel
! Iterationsvorschrift
|-
| Gradientenaufstieg
| Maximum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|-
| Gradientenabstieg
| Minimum bestimmen
| &lt;math&gt;\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)&lt;/math&gt;
|}

Dabei gilt:
:zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration,
:f(zₙ): Zielfunktion,
:&lt;math&gt;\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) &lt;/math&gt;: Gradient der Funktion,
:αₙ &gt; 0: adaptive Schrittweite in Iteration n.

Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum.

Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch:

# Startpunkt wählen.
# Gradient berechnen.
# Schrittweite festlegen.
# Neue Position berechnen.
# Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert.

Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt.

== Zielfunktion ==

Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert:

&lt;math&gt;
G  \colon  \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad 
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
G(x,y)=E(x,y)-K(x,y)
&lt;/math&gt;

Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar.

Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich:

&lt;math&gt;
G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2
&lt;/math&gt;

Die partiellen Ableitungen lauten:

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x
&lt;/math&gt;

&lt;math&gt;
\frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y
&lt;/math&gt;

Der Gradient der Zielfunktion ist somit

&lt;math&gt;
\nabla G(x,y)=
\begin{pmatrix}
-10(x-3)-x\\
-4(y-4)-y
\end{pmatrix}.
&lt;/math&gt;

Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist.

== Interpretation und Modellkritik ==

Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar.

Optimal bedeutet:

* möglichst hoher Energieertrag
* gleichzeitig möglichst geringe Kosten

Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität.

Nicht berücksichtigt werden beispielsweise:

* wechselnde Windgeschwindigkeiten
* Naturschutzgebiete
* Abstandsregelungen
* Bodenbeschaffenheit
* reale Baukosten
* Netzanbindung

Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen:

&lt;math&gt;
(x,y)\in D
&lt;/math&gt;

wobei &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt.


== Realer Modellierungszyklus ==
Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt.
Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet.

[[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]]

[[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]]


Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft.

Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar.

Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. 

[[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]]


In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der &quot;Nutzen&quot; ist hier an allen Punkten des Gitters negativ.

[[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{1J}=

\begin{pmatrix}

-1900 &amp; -1530 &amp; -1890 &amp; -1800 &amp; -1440 &amp; -1980 \\

-1820 &amp; -2080 &amp; -2260 &amp; -2530 &amp; -1360 &amp; -2080 \\

-1630 &amp; -1620 &amp; -2250 &amp; -2870 &amp; -1170 &amp; -2070 \\

-1370 &amp; -1380 &amp; -1360 &amp; -1540 &amp; -1270 &amp; -1720 \\

-1180 &amp; -2340 &amp; -2610 &amp; -3190 &amp; -1260 &amp; -1800 \\

-1000 &amp; -1980 &amp; -1980 &amp; -2790 &amp; -1440 &amp; -1980

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. 

[[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]]


Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste &quot;Gewinnzonen&quot;, in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte.


[[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{10J}=

\begin{pmatrix}
-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 10 &amp; 0 &amp; 0 \\

-20 &amp; -30 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 &amp; -10 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 5 &amp; 0 &amp; 0 \\

-10 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;


Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). 

[[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]]


Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht.


[[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]]


&lt;math&gt;

\mathrm{Differenz}_{20J}=

\begin{pmatrix}

95 &amp; 85 &amp; 105 &amp; 100 &amp; 80 &amp; 110 \\

80 &amp; 105 &amp; 115 &amp; 130 &amp; 65 &amp; 105 \\

80 &amp; 90 &amp; 125 &amp; 170 &amp; 65 &amp; 115 \\

55 &amp; 45 &amp; 65 &amp; 75 &amp; 60 &amp; 85 \\

55 &amp; 130 &amp; 145 &amp; 182.5 &amp; 70 &amp; 100 \\

45 &amp; 110 &amp; 110 &amp; 155 &amp; 80 &amp; 110

\end{pmatrix}

&lt;/math&gt;

==Ausblick==

Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. 
Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]]

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]]


Die hier gezeigte Matrix &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt &lt;math&gt;(1,1)&lt;/math&gt; aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis:

[[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]]


Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren.
=== Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== 
Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] 
In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann.
Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des &quot;diskreten Gradientenaufstiegverfahrens&quot; wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen.</text>
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