Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 18972 1107779 1084734 2026-07-18T09:09:38Z Bocardodarapti 2041 1107779 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Man zeige, dass für {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | K || {{CC}} || || || |SZ= }} die Standardtopologie {{ Zusatz/Klammer |text=die metrische oder euklidische Topologie| |ISZ=|ESZ= }} feiner ist als die {{ Definitionslink |Zariski-Topologie| |Kontext=affiner Raum| |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=.}} |Man zeige, dass für {{math|term= {{op:Affine Gerade|K|}} }} die Zariski-Topologie mit der {{ Definitionslink |kofiniten Topologie| |Kontext=| |SZ= }} übereinstimmt. Gilt dies auch für {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ=? }} |Wann erfüllt die Zariski-Topologie auf {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K|}} |SZ=}} die Eigenschaft {{math|term= T_1 |SZ=,}} wann ist sie {{ Definitionslink |hausdorffsch| |Kontext=| |SZ=? }} |Wie sieht die Zariski-Topologie auf {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K|}} |SZ=}} aus, wenn {{math|term= K |SZ=}} ein endlicher Körper ist? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Zariski-Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6x6qah2e0m42ahtq2h6fvwjmo0wqcid 0 19354 1107796 868349 2026-07-18T09:32:46Z Bocardodarapti 2041 1107796 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Abbildungen {{ Math/display|term= (s,t) \longmapsto {{op:Zeilenvektor| s^2 | t^2 | st|}} = (x,y,z) \text{ und } (s,t) \longmapsto {{op:Zeilenvektor| s | st^2 | st }} = (x,y,z) |SZ=. }} Zeige, dass das Bild der beiden Abbildungen die gleiche algebraische Gleichung {{math|term= F|SZ= }} erfüllt. Untersuche die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität {{ Zusatz/Klammer |text=als Abbildung nach {{math|term= V(F)|SZ=}} |ISZ=|ESZ=. }} Welche Abbildung liefert eine {{Anführung|bessere}} Beschreibung von {{math|term= V(F) |SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Quadriken in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Quadrik Z^2-XY |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cyr0got8bdmwlfvbbaay2ptqn2oheb 0 19574 1107775 1056314 2026-07-18T09:04:44Z Bocardodarapti 2041 1107775 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2/a |Skizziere{{n Sie}} die reellen Nullstellengebilde zu {{mathl|term= Y^n-X^n |SZ= }} |Bestimme{{n Sie}} das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen {{ Relationskette | V_n | \subseteq | {{op:Affine Ebene|\R|}} || || || || |SZ=, }} die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären {{math|term= n |SZ=-}}Ecks {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= (1,0) |SZ= }} als einem Eck| |ISZ=|ESZ= }} besteht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Einheitswurzel |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dojqtzosycwt67d0czqsip24dkhqzwd 0 19880 1107802 1045257 2026-07-18T09:46:24Z Bocardodarapti 2041 1107802 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | M | \subseteq | N || || || |SZ= }} endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K[M] | \subseteq | K[N] || || || || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |endlich| |Kontext=Modul| |SZ= }} ist, wenn es zu jedem {{ Relationskette | n | \in | N || || || |SZ= }} ein {{ Relationskette | k | \in | \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | kn | \in | M || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ids6nz6qooz0icj2ptztm6rshj0h5gl 0 19882 1107803 1045251 2026-07-18T09:48:19Z Bocardodarapti 2041 1107803 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name= \varphi | M | N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Monoid| |SZ= }} von kommutativen Monoiden. Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Punkte aus {{mathl|term= {{op:KSpek| K[N] |}} |SZ=,}} die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt {{ Relationskette | 1 | \in | {{op:KSpek| K[M] |}} || || || |SZ= }}{{{zusatz1|}}} abgebildet werden, selbst die Struktur eines {{math|term= K|SZ=-}}Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c4e0o8kb8bi3oq7j9rh0draujms38ca 0 19883 1107804 1083606 2026-07-18T09:48:48Z Bocardodarapti 2041 1107804 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten Monoide der Form {{ Relationskette/display | M || ( {{op:Zmod| m |}} ,+) || || || |SZ= }} Beschreibe{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:KSpek| K[M] |}} |SZ=}} allgemein sowie für die {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K || \R, {{CC}}, {{op:Zmod| 5 |}} || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten Elemente| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= {{CC|}} [ {{op:Zmod| 3 |}} ] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9566qr1zqyz6sd2iwugwrpo5f176c7w 0 21161 1107795 868345 2026-07-18T09:30:52Z Bocardodarapti 2041 1107795 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{mathl|term= K[X,Y]_{(X,Y)}/ {{makl| X^2-Y^3 |}} |SZ=}} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort=Neilsche Parabel |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e0fgu4kef5n301r324n3526cx2mgvkn 0 28850 1107756 1100257 2026-07-17T14:29:40Z Bocardodarapti 2041 1107756 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=,}} einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei {{ Relationskette/display | C || {{Mengebed| {{Folge|}} |\text{Cauchy-Folge in } \Q }} || || || |SZ= }} die Menge aller {{ Definitionslink |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |SZ= }} mit rationalen Gliedern. Wir definieren in {{math|term= C |SZ=}} eine Relation durch {{ Math/display|term= {{Folge|}} \sim {{Folge| y}} , \text{ falls } {{Folge|Glied=x_n-y_n }} \text{ eine Nullfolge ist} |SZ=. }} Dies ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Nullfolgenäquivalent/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wir definieren nun die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} unter dieser Relation als reelle Zahlen, also {{ Relationskette/display |\R || C/ \sim || || || |SZ=. }} Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als {{mathl|term= [{{Folge| x}}] |SZ=.}} Auf {{math|term= C |SZ=}} gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz {{ Math/display|term= [{{Folge| x}}] +[{{Folge| y}}] := [{{Folge|Glied=x_n+y_n }}] \text{ und } [{{Folge| x}}] \cdot [{{Folge| y}}] := [{{Folge|Glied=x_n \cdot y_n }}] |SZ=. }} Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf {{math|term= \R|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Addition und Multiplikation/Wohldefiniert/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl {{mathl|term= q\in\Q|SZ=}} ergibt sich eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\Q|\R | q |(q)_{n \in \N} |SZ=, }} die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge| |ISZ=|ESZ= }} ist {{math|term= \R|SZ=}} ein Körper, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Ist Körper/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Für jede Cauchy-Folge {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} gilt die ausschließende Alternative: {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} ist eine Nullfolge, oder es gibt ein {{mathl|term= q>0 |SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \geq q |SZ=}} für fast alle{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das bedeutet für alle bis auf endlich viele| |ISZ=.|ESZ= }} {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} oder es gibt ein {{mathl|term= q< 0 |SZ=}} mit {{mathl|term= x_n \leq q |SZ=}} für fast alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=.}} Darauf aufbauend kann man {{math|term= \R|SZ=}} in null, in positive und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine {{ Zusatz/Klammer |text=totale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Ordnungsrelation| |Kontext=| |SZ= }} darauf definieren. Damit wird {{math|term= \R |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ=, }} der auch {{ Definitionslink |archimedisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Archimedisch angeordneter Körper/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass {{math|term= \R|SZ=}} auch {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vollständig angeordneter Körper/Definition |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Vollständig/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rd4w9nzrca5223f6tiahdu9l1u9efpc 0 47721 1107768 949376 2026-07-17T15:07:19Z Bocardodarapti 2041 1107768 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer Familie leben {{mathl|term= M,P,S |SZ=}} und {{math|term= T |SZ=.}} Dabei ist {{math|term= M |SZ=}} dreimal so alt wie {{ mathkor|term1= S |und|term2= T |SZ= }} zusammen, {{math|term= M |SZ=}} ist älter als {{math|term= P |SZ=}} und {{math|term= S |SZ=}} ist älter als {{math|term= T |SZ=,}} wobei der Altersunterschied von {{math|term= S |SZ=}} zu {{math|term= T |SZ=}} doppelt so groß wie der von {{math|term= M |SZ=}} zu {{math|term= P |SZ=}} ist. Ferner ist {{math|term= P |SZ=}} siebenmal so alt wie {{math|term= T |SZ=}} und die Summe der Alter aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich {{math|term= 83 |SZ=.}} {{ Aufzählung2/a |Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt. |Löse dieses Gleichungssystem. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqfblbhbddfs6ali9yhuwcb4zl9xpws 0 48713 1107769 844841 2026-07-17T15:14:06Z Bocardodarapti 2041 1107769 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I, II, III gegebene {{ Definitionslink |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem {{ Definitionslink |äquivalent| |Kontext=LGS| |SZ= }} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qln0ecs98k9s7c5jctf23lx8myw90q2 0 56213 1107807 1081576 2026-07-18T09:53:47Z Bocardodarapti 2041 1107807 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Gruppe/Menge/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Permutationsgruppe| M |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Gruppe der Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Wenn {{math|term= G|SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=}} {{ Definitionslink |operiert| |Kontext=Gruppe| |SZ=, }} so ist die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | G | {{op:Permutationsgruppe| M |}} | g | (x \mapsto gx) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} |Wenn umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | {{op:Permutationsgruppe| M |}} | g | \varphi(g) |SZ=, }} vorliegt, so wird durch {{ Abbildung/display |name= | G\times M | M | (g,x) | (\varphi(g))(x) |SZ=, }} eine Gruppenoperation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=}} definiert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gdgr84dvcuq8qeekpvlxx1eomsxefqo 0 56282 1107812 1046613 2026-07-18T10:08:31Z Bocardodarapti 2041 1107812 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= \delta | \Z^2 | \Z || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |neutrale Stufe| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= K[X,Y] |SZ=}} zur Graduierung, die durch {{ Relationskette | {{op:Grad Polynom| X |}} || \delta {{makl| e_1 |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Grad Polynom| Y |}} || \delta {{makl| e_2 |}} || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0vtk2z7l06yx1i09ysm1ehyptn6fwl 0 56394 1107806 1048941 2026-07-18T09:51:55Z Bocardodarapti 2041 1107806 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette | 2 | \neq | 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a | \in | S || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Gruppe {{ Relationskette | {{op:Zmod| 2 |}} | \cong | \{1,-1\} || || || || |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |quadratischen Erweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |R | {{defeq|}} | S[X]/ {{makl| X^2-a |}} || || || |SZ= }} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath=S |Algebrahomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} operiert, indem {{math|term= -1 |SZ=}} durch {{math|term= X \mapsto -X |SZ=}} wirkt. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Fixring| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Operation. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b0dejvz21bbaza29i0x88fjlznbsvbj 0 59070 1107810 1097554 2026-07-18T10:06:15Z Bocardodarapti 2041 1107810 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullstellenmengen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | V {{makl| XY-Z^n |}} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| 3|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | n | \geq | 2 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} genau in {{ Relationskette | P || (0,0,0) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |singulär| |Kontext=partiell| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aa348t4hgacg1i6w7q3czfao8nkei0n 0 59358 1107811 838819 2026-07-18T10:07:37Z Bocardodarapti 2041 1107811 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es auf den {{math|term= A |SZ=-}} und den {{math|term= D |SZ=-}}Singularitäten und auf der {{mathl|term= E_6 |SZ=-}} und der {{mathl|term= E_7 |SZ=-}}Singularität glatte Kurven gibt, die durch den {{ Definitionslink |singulären Punkt| |Kontext=| |SZ= }} laufen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jnyujlpacvcxbo5rd0teaz9xe4t8kyi 0 86823 1107758 1087633 2026-07-17T14:30:32Z Bocardodarapti 2041 1107758 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputverfahren |Schriftliche Division/Verfahren||zusatz1= {{{zusatz1|}}} }} Man schaut also, wie oft {{math|term= b |SZ=}} in {{math|term= a |SZ=}} hineinpasst {{ Zusatz/Klammer |text=das ergibt {{math|term= z_0 |SZ=,}} den ganzzahligen Anteil der Division| |ISZ=|ESZ= }} und welcher Rest dabei übrigbleibt. Dann schaut man, wie oft {{math|term= b |SZ=}} in das Zehnfache dieses Restes hineinpasst {{ Zusatz/Klammer |text=das ergibt {{math|term= z_{-1} |SZ=,}} die erste Nachkommaziffer der Division| |ISZ=|ESZ= }} und welcher Rest dabei übrigbleibt, und wiederholt diesen Rechenschritt unendlich oft. Dieses Verfahren ist aus der Schule bekannt. Als Ergebnis wird die {{Anführung|unendliche Kommazahl}} {{ Math/display|term= z,z_{-1} z_{-2} z_{-3} \ldots |SZ= }} notiert, wobei die ganze Zahl {{math|term= z |SZ=}} selbst in ihrer Dezimalentwicklung genommen wird. Unklar ist dabei, welchen genauen Sinn ein solcher Ausdruck besitzt. Dies lässt sich im Rahmen der Konvergenz von Folgen befriedigend präzisieren. Die Indizierung ist hier so gewählt, dass sich die Ziffer {{mathl|term= z_{-i} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term=i \geq 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auf {{mathl|term= 10^{-i} |SZ=}} bezieht. D.h. {{math|term= z_{-i} |SZ=}} ist die {{math|term= i |SZ=-}}te Nachkommaziffer des Ergebnisses der Division. {{ inputfaktbeweis |Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Wir haben insbesondere bewiesen, dass beim Divisionsalgorithmus irgendwann eine Periodizität auftritt und gezeigt, wie diese zu finden ist. Das kleinste positive {{math|term= \ell |SZ=,}} das die Eigenschaft aus (4) erfüllt, heißt die {{Stichwort|Periodenlänge |SZ=}} der Division. Die Eigenschaft (6) bedeutet, dass die Ziffernfolge, die sich aus dem allgemeinen Divisionsalgorithmus im Falle der Division durch eine Zehnerpotenz ergibt, mit der endlichen Kommazahl aus {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Dezimalbruch/Dezimalsystem/Definition |SZ= }} übereinstimmt. Das Ergebnis des Divisionsalgorithmus wird als {{ Math/display|term= z_0, z_{-1} z_{-2} \ldots z_{-k} \overline{ z_{-k-1} \ldots z_{-k - \ell} } |SZ= }} notiert, wobei die überstrichenen Zahlen die Periode darstellen. {{ inputbemerkung |Divisionsalgorithmus/Periodenlänge/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hzn2rf0d9ehscm3xrja3d67kh2gv1yj 0 86831 1107759 1102535 2026-07-17T14:31:10Z Bocardodarapti 2041 1107759 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{mathl|term= a,b |SZ=}} natürliche Zahlen mit {{math|term= b |SZ=}} positiv und es seien {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ mathbed|term= r_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die im {{ Definitionslink |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |SZ= }} berechneten Folgen. |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{ Aufzählung7 |Die {{math|term= r_{-i} |SZ=}} liegen zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= b-1 |SZ=. }} |Die {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} liegen zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ=. }} |Wenn für ein {{math|term= k |SZ=}} der Rest {{ Relationskette |r_{-k} || 0 || || || |SZ= }} ist, so sind für alle {{ Relationskette |i | > | k || || || |SZ= }} auch {{ Relationskette | z_{-i} || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | r_{-i} || 0 || || || |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Relationskette | k | \in | \N || || || |SZ= }} und ein {{ Relationskette | \ell | \in | \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \ell | < | b || || || |SZ= }} derart, dass für die Ziffern mit {{ Relationskette |i | > | k || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display |z_{-i -\ell} || z_{-i} || || || |SZ= }} gilt. |Wenn man statt {{mathl|term= a:b|SZ=}} den Divisionsalgorithmus {{mathl|term= ma :mb|SZ=}} mit {{ Relationskette | m | \in | \N_+ || || || |SZ= }} ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wohl aber die Restefolge| |ISZ=|ESZ=. }} Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} wohldefiniert. |Bei der Division von {{ Relationskette | a || \sum_{j {{=}} 0}^t c_j 10^{j} || || || |SZ= }} durch eine Zehnerpotenz {{ Relationskette |b || 10^s || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |z_0 || \sum_{j {{=|}} s}^{t-s} c_{j} 10^{j-s} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was bei {{ Relationskette/k | t | < | s || || || |SZ= }} als {{math|term= 0 |SZ=}} zu lesen ist| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display |z_{-i} || c_{-i+s} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was für {{ Relationskette/k | -i | < | -s || || || |SZ= }} als {{ Relationskette/k | z_{-i} || 0 || || || |SZ= }} zu lesen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Die Ziffernfolge {{math|term= z_{-i} |SZ=}} ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden. |Der Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Dezimalbruch| |Kontext=| |SZ=, }} wenn ein Rest {{math|term= r_{-i} |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge {{mathl|term= z_{-i} |SZ=}} ab einem {{math|term= k |SZ=}} konstant gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Eigenschaften des Divisionsalgorithmus |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 45r0uri3gxjtwz7l0926cat7anfxjxv 1107761 1107759 2026-07-17T14:36:59Z Bocardodarapti 2041 1107761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{mathl|term= a,b |SZ=}} natürliche Zahlen mit {{math|term= b |SZ=}} positiv und es seien {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ mathbed|term= r_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die im {{ Definitionslink |Divisionsalgorithmus| |Kontext=| |SZ= }} berechneten Folgen. |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{ Aufzählung7 |Die {{math|term= r_{-i} |SZ=}} liegen zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= b-1 |SZ=. }} |Die {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} liegen zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ=. }} |Wenn für ein {{math|term= k |SZ=}} der Rest {{ Relationskette |r_{-k} || 0 || || || |SZ= }} ist, so sind für alle {{ Relationskette |i | > | k || || || |SZ= }} auch {{ Relationskette | z_{-i} || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | r_{-i} || 0 || || || |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Relationskette | k | \in | \N || || || |SZ= }} und ein {{ Relationskette | \ell | \in | \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \ell | < | b || || || |SZ= }} derart, dass für die Ziffern mit {{ Relationskette |i | > | k || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | z_{-i -\ell} || z_{-i} || || || |SZ= }} gilt. |Wenn man statt {{mathl|term= a:b |SZ=}} den Divisionsalgorithmus {{mathl|term= ma :mb|SZ=}} mit {{ Relationskette | m | \in | \N_+ || || || |SZ= }} ausführt, so ändert sich die Ziffernfolge nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wohl aber die Restefolge| |ISZ=|ESZ=. }} Die Ziffernfolge ist also für die rationale Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} wohldefiniert. |Bei der Division von {{ Relationskette | a || \sum_{j {{=}} 0}^t c_j 10^{j} || || || |SZ= }} durch eine Zehnerpotenz {{ Relationskette | b || 10^s || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | z_0 || \sum_{j {{=|}} s}^{t} c_{j} 10^{j-s} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was bei {{ Relationskette/k | t | < | s || || || |SZ= }} als {{math|term= 0 |SZ=}} zu lesen ist| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display | z_{-i} || c_{-i+s} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was für {{ Relationskette/k | -i | < | -s || || || |SZ= }} als {{ Relationskette/k | z_{-i} || 0 || || || |SZ= }} zu lesen ist| |ISZ=|ESZ=. }} Die Ziffernfolge {{math|term= z_{-i} |SZ=}} ist also einfach eine verschobene Version der Zifferndarstellung des Dividenden. |Der Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Dezimalbruch| |Kontext=| |SZ=, }} wenn ein Rest {{math|term= r_{-i} |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Ziffernfolge {{mathl|term= z_{-i} |SZ=}} ab einem {{math|term= k |SZ=}} konstant gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Eigenschaften des Divisionsalgorithmus |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyt1asybnyqw7gjlis63wagi701k71o 0 86833 1107760 1106583 2026-07-17T14:32:24Z Bocardodarapti 2041 1107760 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung7 |Ist eine Eigenschaft der Division mit Rest. |Wegen {{ Relationskette/display | r_{-i} | \leq |b-1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | 10 \cdot r_{-i} | \leq | 10 \cdot (b-1) || || || |SZ=. }} Bei der Division von {{ Relationskette | 10 \cdot r_{-i} || z_{-i-1} \cdot b + r_{-i-1} || || || |SZ= }} durch {{math|term= b |SZ=}} ist somit der ganzzahlige Anteil {{math|term= z_{-i-1} |SZ=}} echt kleiner als {{math|term= 10 |SZ=.}} |Dies folgt unmittelbar aus dem rekursiven Aufbau des Divisionsalgorithmus. |Im Fall, dass für ein {{math|term= k |SZ=}} der Rest {{ Relationskette |r_{-k} || 0 || || || |SZ= }} ist, ergibt sich dies unmittelbar aus (3), wobei man {{ Relationskette | \ell || 1 || || || |SZ= }} wählen kann. Nehmen wir also an, dass alle {{math|term= r_{-i} |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden sind. Da die Reste {{ Math/display|term= r_{-1}, r_{-2}, r_{-3} |SZ= }} allesamt zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= b-1 |SZ= }} liegen, muss es in ihnen irgendwann eine Wiederholung geben, sagen wir, dass {{ Relationskette/display | r_{-k - \ell} || r_{-k} || || || |SZ= }} gilt. Da {{mathl|term= z_{-i-1} |SZ=}} und {{mathl|term= r_{-i-1} |SZ=}} allein von {{math|term= r_{-i} |SZ=}} abhängt, wiederholt sich dann die Restfolge und die Ziffernfolge {{ Mathkor/display|term1= r_{-k}, r_{-k-1} {{kommadots|}} r_{-k- \ell +1} |bzw.|term2= z_{-k}, z_{-k-1} {{kommadots|}} z_{-k- \ell +1} |SZ= }} unendlich oft periodisch. |Aus der Division mit Rest {{ Relationskette/display | 10 \cdot r_{-i} || z_{-i-1} \cdot b + r_{-i-1} || || || |SZ= }} ergibt sich direkt die entsprechende Division mit Rest {{ Relationskette/display | 10 \cdot {{makl| m \cdot r_{-i} |}} || z_{-i-1} \cdot {{makl| m \cdot b |}} + {{makl|m \cdot r_{-i-1} |}} || || || |SZ=, }} woraus die Behauptung folgt. |Der Divisionsalgorithmus ist in diesem Fall {{ Relationskette/display | \sum_{j {{=}} 0}^t c_j 10^{j} || {{makl| \sum_{j {{=}} s}^t c_j 10^{j-s} |}} 10^s + \sum_{j {{=}} 0}^{s-1} c_j 10^{j} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 10 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-1} c_j 10^{j} |}} || c_{s-1} 10^s + 10 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-2} c_j 10^{j} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | 10^2 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-2} c_j 10^{j} |}} || c_{s-2} 10^s + 10^2 \cdot {{makl| \sum_{j {{=}} 0}^{s-3} c_j 10^{j} }} || || || |SZ=, }} usw., woraus die Aussagen ablesbar sind. |Wenn ein Dezimalbruch vorliegt, so können wir wegen (5) annehmen, dass {{ Relationskette/display |b || 10^s || || || |SZ= }} eine Zehnerpotenz ist. Dann folgt die Aussage mit der abbrechenden Ziffernfolge aus (6). Wenn ein {{ Relationskette |r_{-k} || 0 || || || |SZ=, }} so sind nach (3) alle folgenden Ziffern gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Wenn umgekehrt {{ Relationskette |z_{-i} || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |i | \geq |k || || || |SZ= }} gilt, so wird die Rekursionsbedingung für {{ Relationskette |i | \geq |k || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | 10 \cdot r_{-i} || r_{-i-1} || || || |SZ=. }} Nehmen wir {{ Relationskette |z_{-k} |\neq| 0 || || || |SZ= }} an. Dann ist {{ Relationskette/display |r_{-k-1} || 10 r_{-k} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |r_{-k-3} || 10 r_{-k-1} || 10^2 r_{-k} || || |SZ=, }} usw., was zu einem Widerspruch führt, da nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/x größer 1/x^n unbeschränkt/Fakt |Nr= |SZ= }} die Zehnerpotenzen schließlich die Zahl {{math|term= b |SZ=}} überschreiten. Wenn ein {{ Relationskette |r_{-k} || 0 || || || |SZ= }} ist, so folgt rekursiv aus {{ Relationskette/display | 10 r_{-i} || z_{-i-1} \cdot b + r_{-i-1} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|r_{-i}|b}} || {{op:Bruch|z_{-i-1}| 10}} + {{op:Bruch|r_{-i-1}| 10 \cdot b}} || || || |SZ=, }} dass die Brüche {{ Math/display|term= {{op:Bruch|r_{-k}| b |}} = 0,\, {{op:Bruch|r_{-k+1}| b |}} ,\,{{op:Bruch|r_{-k+2}| b |}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|r_{-1}| b |}} \, , {{op:Bruch|r_0 | b |}} |SZ= }} Dezimalbrüche sind. Somit ist auch {{math|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} ein Dezimalbruch. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8juwpb74hreq3mgvv5n44lecar94fe 0 88650 1107767 1083397 2026-07-17T15:03:56Z Bocardodarapti 2041 1107767 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} durch die Gleichungen {{mathl|term= G_1 {{kommadots|}} G_n |SZ=}} und ein zweites lineares Gleichungssystem durch die Gleichungen {{mathl|term= H_1 {{kommadots|}} H_m |SZ=}} gegeben, beide über dem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und in den Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_r|SZ=.}} Wie verhält sich die Lösungsmenge {{math|term= L_1 |SZ=}} zum ersten System und die Lösungsmenge {{math|term= L_2 |SZ=}} zum zweiten System zur Lösungsmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} narmza5d555tcthslwdtwccad5o40nr 0 88651 1107766 1020506 2026-07-17T15:03:40Z Bocardodarapti 2041 1107766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über dem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} in den Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=}} und ein zweites lineares Gleichungssystem in den Variablen {{mathl|term= Y_1 {{kommadots|}} Y_m |SZ=}} gegeben. Wie verhält sich die Lösungsmenge {{math|term= L_1 |SZ=}} zum ersten System und die Lösungsmenge {{math|term= L_2 |SZ=}} zum zweiten System zur Lösungsmenge des Systems, das aus den beiden Systemen zusammengesetzt ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cl3ypgk9so5kbu15xkts7raqoa431om 0 94617 1107813 532938 2026-07-18T10:10:17Z Bocardodarapti 2041 1107813 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herunterfällt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fundamentalgruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54urrkviudk0lkvq0yo0gaa2jhw2ojx 0 94947 1107800 1018609 2026-07-18T09:41:35Z Bocardodarapti 2041 1107800 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel {{mathl|term= V {{makl| Z^2-X^2-Y^2 |}} |SZ=}} über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} als einen {{ Definitionslink |Monoidring| |Kontext=| |SZ= }} realisieren kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Kegelschnitte |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pf7s6zr2643ytfi87l47b1feby617y9 0 103679 1107757 952600 2026-07-17T14:30:09Z Bocardodarapti 2041 1107757 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein lokaler {{math|term= F |SZ=-}}endlicher Ring in positiver Charakteristik. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= R |SZ=}} genau dann regulär, wenn der {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= \,^1 R |SZ=}} frei ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe in positiver Charakteristik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n1zzan8vprtplq72a231mo9pmcm7zt1 0 104112 1107755 1107754 2026-07-17T14:28:40Z Bocardodarapti 2041 1107755 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Aus der Schule wissen wir, dass es neben den abbrechenden Kommazahlen {{ Zusatz/Klammer |text=den Dezimalbrüchen| |ISZ=|ESZ= }} auch {{Anführung|unendliche Kommazahlen}} gibt, wobei die Ziffernentwicklung wiederum periodisch oder nicht periodisch sein kann. Es ist eine echte Herausforderung, die mathematische Natur solcher Ausdrücke zu verstehen, und wir werden uns in einem Großteil des zweiten Semesters damit beschäftigen. Auf den ersten Blick ist jedenfalls eine solche Zahl dadurch gegeben, dass jeder natürlichen Zahl, die eine Nachkommastelle bezeichnet, mehr oder weniger willkürlich eine Ziffer zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} zugeordnet wird. Eine solche Zuordnung erfassen wir generell mit dem Konzept einer Folge. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bd3eovbo3xmjzapo85vtfmew5wi3dbz 0 106288 1107771 840377 2026-07-18T08:59:32Z Bocardodarapti 2041 1107771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Nehmen Sie ein Blatt Papier und basteln Sie sich ihre Lieblingssingularität, indem Sie das Papier zerknüllen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht reißen| |ISZ=|ESZ= }} und gewisse Punkte miteinander verkleben. Modellieren Sie den Vorgang als eine {{ Zusatz/Klammer |text=stetige, polynomiale?| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi |\R^2| \R^3 || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Singularitätentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ruuiga53wfg58aukjrq0khal7m50z4 0 106291 1107764 1098509 2026-07-17T15:02:44Z Bocardodarapti 2041 1107764 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, ob die folgenden Tupel Lösungen der linearen Gleichung {{ Relationskette/display | 7x+2y-9z || -3 || || || |SZ= }} sind. {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= (0,0,0)|SZ=,}} |{{mathl|term= (3,3, 3 )|SZ=,}} |{{mathl|term= (0, {{op:Bruch| 1 | 5}} ,0)|SZ=,}} |{{mathl|term= (-2,7, {{op:Bruch| 1 | 3}} )|SZ=.}} }} Wähle{{n Sie}} {{Anführung|zufällig}} ein Dreiertupel. Ist es eine Lösung der Gleichung? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9cxle3yjhgtrxo1fqd1b48ki275xnd 0 106364 1107772 1076279 2026-07-18T09:00:35Z Bocardodarapti 2041 1107772 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |f(x,y,z) || x^a +y^b+z^c || || || |SZ=, }} wobei alle Exponenten gerade {{math|term= \geq 2|SZ=}} seien; es sei {{ Relationskette/display | Z | {{defeq|}} | f^{-1}(0) | \subset | \R^3 || || |SZ= }} die Faser über {{math|term= 0 |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= Z \setminus \{0,0,0\} |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden Räume |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen Potenzsingularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5x0gt8zi3n3y0k7hw3f831r0oghsyxv 0 106366 1107773 1076280 2026-07-18T09:02:15Z Bocardodarapti 2041 1107773 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |f(x,y,z) || x^a +y^b+z^c || || || |SZ=, }} wobei alle Exponenten {{math|term= \geq 1|SZ=}} seien und zumindest ein Exponent ungerade sei. Es sei {{ Relationskette/display |Z | {{defeq|}} | f^{-1}(0) | \subset | \R^3 || || |SZ= }} die Faser über {{math|term= 0 |SZ=.}} Definiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Homöomorphie| |Kontext=| |SZ= }}{{{zusatz1|}}} zwischen {{math|term= \R^2 |SZ=}} und {{math|term= Z |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese nicht überall {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wo liegen die Ausnahmen| |ISZ=?|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen Potenzsingularitäten |Kategorie2=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dw93xjdcn8dpz0lln2k5dqzjp98hwne 0 106367 1107774 1040142 2026-07-18T09:03:03Z Bocardodarapti 2041 1107774 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Fixkörper| |Kontext=| |SZ= }} des {{ Definitionslink |rationalen Funktionenkörpers| |Kontext=n| |SZ= }} {{mathl|term= K(U,V) |SZ=}} zur Gruppe, die neben der Identität aus dem durch {{mathl|term= U \mapsto -U |SZ=,}} {{mathl|term= V \mapsto -V |SZ=,}} gegebenen {{ Definitionslink |Körperautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} besteht {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= A1-Singularität/Gleichung und Quotient/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der monomiale Standardkegel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dn0ii559dms7e1g2pd2diwu9v5wfp0z 0 106393 1107776 1041202 2026-07-18T09:06:30Z Bocardodarapti 2041 1107776 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse zu den folgenden algebraischen Kurven {{ Relationskette/display |V || V(f) | \subset | \R^2 || || |SZ= }} beschreibt. Skizziere{{n Sie}} die Situation. {{ Aufzählung6 | {{mathl|term= V(X-1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2+Y^2-1)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X-Y^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2-Y^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^3+Y^2)|SZ=,}} | {{mathl|term= V(X^2+X^3+ Y^2 )|SZ=.}} }} Bestimme{{n Sie}} die singulären Punkte der Kurven und die singulären Punkte der Rotationsflächen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bpbkpvs4eciubxqg59prh9m9tk01qu 1107777 1107776 2026-07-18T09:07:18Z Bocardodarapti 2041 1107777 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse zu den folgenden algebraischen Kurven {{ Relationskette/display | V || V(f) | \subset | \R^2 || || |SZ= }} beschreibt. Skizziere{{n Sie}} die Situation. {{ Aufzählung6 |{{mathl|term= V(X-1)|SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2+Y^2-1 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X-Y^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2-Y^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^3+Y^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2+X^3+ Y^2 |}} |SZ=.}} }} Bestimme{{n Sie}} die singulären Punkte der Kurven und die singulären Punkte der Rotationsflächen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gny6ejq9apesl8p9lj0pa5ojopillyv 0 106394 1107778 1041201 2026-07-18T09:09:04Z Bocardodarapti 2041 1107778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die {{math|term= x|SZ=-}}Achse zu den folgenden algebraischen Kurven {{ Relationskette/display |V || V(f) | \subset | \R^2 || || |SZ= }} beschreibt. Skizziere{{n Sie}} die Situation. {{ Aufzählung7 |{{mathl|term= V(Y-1) |SZ=,}} |{{mathl|term= V(XY) |SZ=,}} |{{mathl|term= V(Y-X) |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| Y-X^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| Y-X^2+1 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2+Y^3 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2+Y^3+ Y^2 |}} |SZ=.}} }} Bestimme{{n Sie}} die singulären Punkte der Kurven und die singulären Punkte der Rotationsflächen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie2=Theorie der ebenen algebraischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ujxqzluhsf9d3m67208d8ibw7hcpd0 0 106413 1107783 1049814 2026-07-18T09:20:55Z Bocardodarapti 2041 1107783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || K[X,Y]/(XY) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealm|}} || (X,Y) || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |maximal Ideale| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} eine Formel für die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Restklassenringe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/{{idealm}}^n |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7o2l973035uid3cu5ou14g3u4ycjnx 0 106414 1107784 1049820 2026-07-18T09:21:15Z Bocardodarapti 2041 1107784 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || K[X,Y]/(XYZ) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealm|}} || (X,Y,Z) || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |maximal Ideale| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} eine Formel für die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Restklassenringe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/{{idealm}}^n |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \in |\N || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ot4k5v4q5bcckhhelrrd0n5dm6xw7b4 0 106429 1107781 1082166 2026-07-18T09:14:42Z Bocardodarapti 2041 1107781 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die reelle {{ Definitionslink |Achsenraumkonfiguration| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A |SZ=}} im {{math|term= \R^n |SZ=}} sich aus dem Schnitt {{mathl|term= A \cap H |SZ=,}} mit {{ Relationskette/display | H || {{Mengebed| (x_1 {{kommadots|}} x_n) \in \R^n | \sum_{ j {{=}} 1}^n x_j {{=|}} 1 }} || || || |SZ=, }} rekonstruieren lässt, indem man zu jedem Punkt {{ Relationskette | P | \in | A \cap H || || || |SZ= }} die Gerade durch den Nullpunkt und {{math|term= P |SZ=}} nimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a46mbmtyad2mcy88f4t4n7r77vjp3la 0 106448 1107785 1049816 2026-07-18T09:22:48Z Bocardodarapti 2041 1107785 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Delta|SZ=}} ein {{ Definitionslink |simplizialer Komplex| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/I_\Delta || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Stanley-Reisner-Ring| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |P | \in | \Delta(K) || || || |SZ= }} ein Punkt mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |maximalen Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealm|}}_P | \subseteq|R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 | {{math|term= P|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |glatter Punkt| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= \Delta(K)|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Lokalisierung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R_{ {{idealm}}_P }|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ=. }} |Die Lokalisierung {{mathl|term= R_{ {{idealm}}_P } |SZ=}} ist {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Algebra| |SZ= }} zu einer Lokalisierung eines Polynomringes an einem maximalen Ideal. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie2=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfs38kwy835fxbel5mzscro15ntwhot 0 106450 1107782 1049594 2026-07-18T09:19:06Z Bocardodarapti 2041 1107782 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \Delta|SZ=}} ein {{ Definitionslink |simplizialer Komplex| |Kontext=| |SZ= }} auf der Menge {{math|term= V|SZ=}} und {{math|term= \Delta' |SZ=}} ein simplizialer Komplex auf der Menge {{math|term= W |SZ=}} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Achsenraumkonfigurationen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | \Delta (K) | \subseteq | K^V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |\Delta' (K) | \subseteq | K^W || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann in {{mathl|term= K^{V \cup W} |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | ( \Delta \wedge \Delta') (K) || \Delta (K) \times \Delta'(K) || || || |SZ= }} besteht, wobei {{mathl|term= \Delta \wedge \Delta' |SZ=}} das {{ Definitionslink |Smashprodukt| |Kontext=simplizialer Komplex| |SZ= }} der beiden simplizialen Komplexe bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der simplizialen Komplexe |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o391fwx1ler8zjdbrzs7l4pqrg1exip 0 106514 1107790 1040382 2026-07-18T09:27:31Z Bocardodarapti 2041 1107790 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die durch {{ Relationskette/display | C || V {{makl| X^{d+1}-Y^d |}} || || || |SZ= }} definierte algebraische Kurve {{math|term= C |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | d | \geq | 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man folgendermaßen, ausgehend von der Geraden {{ Relationskette | H || V(X-1) || || || |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Parametrisierung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} von {{math|term= C |SZ=}} erhält: Zu einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | H || || || |SZ= }} bestimmt man die Verbindungsgerade {{math|term= G_P |SZ=}} von {{math|term= P |SZ=}} und dem Nullpunkt und den einzigen {{ Zusatz/Klammer |text=?| |ISZ=|ESZ= }} vom Nullpunkt verschiedenen Punkt von {{mathl|term= C \cap G_P |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung, die {{math|term= P |SZ=}} auf diesen Punkt abbildet, algebraisch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2kbrsvwq4x0au34mtzeipi1h0pek5u 0 106515 1107787 840247 2026-07-18T09:24:53Z Bocardodarapti 2041 1107787 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die folgenden {{ Definitionslink |Nullstellengebilde| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= \R^2 |SZ=.}} {{ Aufzählung5 |{{mathl|term= V {{makl| X^2-Y^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2Y-XY^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2-XY^2 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2-Y^3 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2-Y^4 |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31xgl47g4k6zdtw6m29uemnb1iw8q8a 0 106516 1107786 840244 2026-07-18T09:24:02Z Bocardodarapti 2041 1107786 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} die folgenden {{ Definitionslink |Nullstellengebilde| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= \R^2 |SZ=.}} {{ Aufzählung4 |{{mathl|term= V(XY-1)|SZ=,}} |{{mathl|term= V(XY+1)|SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2Y-1 |}} |SZ=,}} |{{mathl|term= V {{makl| X^2Y^2-1 |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qemfpzaelruvbrbfwio8kmg4rl1cvaf 0 106596 1107789 1101971 2026-07-18T09:26:41Z Bocardodarapti 2041 1107789 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} seien {{ Relationskette | a,b | \in |\N || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremde| |Kontext=| |SZ= }} Zahlen und sei {{ Relationskette | X^a-Y^b | \in | K[X,Y] || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |binomiale Polynom| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gelten folgende Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Das Polynom {{mathl|term= X^a-Y^b |SZ=}} ist {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Ring| |SZ=. }} |Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K| V {{makl| X^a-Y^b |}} \subseteq K^2 | t | {{op:Zeilenvektor| t^b | t^a |}} |SZ=. }} |Bei {{ Relationskette |a,b | \geq | 2 || || || |SZ= }} besitzt {{mathl|term= V {{makl| X^a-Y^b |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |isolierte Singularität| |Kontext=| |SZ= }} im Nullpunkt. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Binomiale Gleichung in zwei Variablen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cof8lnglidweinrff8v0gs4u4pqacw6 0 106602 1107792 1082122 2026-07-18T09:28:34Z Bocardodarapti 2041 1107792 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | V || V {{makl| XY-Z^n |}} | \subset | {{op:Affiner Raum| 3 |K}} || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von {{math|term= V |SZ=}} mit jeder Ebene durch den Nullpunkt nicht nur aus endlich vielen Punkten besteht. |Zeige{{n Sie}}, dass es Geraden durch den Nullpunkt derart gibt, dass der Durchschnitt {{mathl|term= V \cap G |SZ=}} nur aus endlich vielen Punkten besteht. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a52m0xaigvs6wroiyqi55lz9xjlx897 0 106604 1107793 1098700 2026-07-18T09:29:33Z Bocardodarapti 2041 1107793 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | V || V {{makl| Z^2-XY |}} | \subset | \R^3 || || |SZ=; }} wir setzen {{ Relationskette/display | V_+ || {{Mengebed| (x,y,z) \in V \setminus \{(0,0,0) \} | x,y \geq 0 }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Abbildung/display |name= | \R_+ \times S^1| V_+ | (\alpha, \theta) | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|\alpha| 2}} + {{op:Bruch|\alpha| 2}} {{op:sin|\theta|}} | {{op:Bruch|\alpha| 2}} - {{op:Bruch|\alpha| 2}} {{op:sin|\theta|}} | {{op:Bruch|\alpha| 2}} {{op:cos|\theta|}} |}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Homöomorphie| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pwyzsogepfxggq06jsh4jvi7gfx2o42 0 106610 1107788 1097676 2026-07-18T09:25:52Z Bocardodarapti 2041 1107788 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} seien {{ Relationskette | a,b | \in |\N || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremde| |Kontext=| |SZ= }} Zahlen und sei {{ Relationskette | X^a-Y^b | \in | K[X,Y] || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |binomiale Polynom| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Das Polynom {{mathl|term= X^a-Y^b |SZ=}} ist {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Ring| |SZ=. }} |Es gibt eine bijektive polynomiale Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K| V {{makl| X^a-Y^b |}} \subseteq K^2 | t | {{op:Zeilenvektor|t^b|t^a|}} |SZ=. }} |Bei {{ Relationskette |a,b | \geq | 2 || || || |SZ= }} besitzt {{mathl|term= V {{makl| X^a-Y^b |}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |isolierte Singularität| |Kontext=| |SZ= }} im Nullpunkt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dlq5o59mp3m453u3fy3bjwo9ehryk7m 0 106617 1107799 1045071 2026-07-18T09:40:07Z Bocardodarapti 2041 1107799 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | K[X,Y,Z,U,V,W] | K[X,Y,Z,T] || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= X \mapsto X,\, Y \mapsto Y,\, Z\mapsto Z,\, U \mapsto XT,\, V \mapsto YT,\, W \mapsto ZT, |SZ= }} das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) |SZ=}} im {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Ring| |SZ= }} enthalten ist. Zeige{{n Sie}}, dass der induzierte Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{makl| K[X,Y,Z,U,V,W]/(XV-YU, YW-ZV,XW-ZU) |}}_Z | K[X,Y,Z,T]_Z || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=Ring| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Determinantenringe |Kategorie2=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hmgd079wwtsgy151sjkqzughl0kgbc 0 106628 1107791 1082432 2026-07-18T09:28:04Z Bocardodarapti 2041 1107791 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} seien {{ Relationskette | a,b | \in |\N || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremde| |Kontext=| |SZ= }} Zahlen und sei {{ Relationskette | X^a-Y^b | \in | K[X,Y] || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |binomiale Polynom| |Kontext=| |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass der durch {{mathl|term= X \mapsto T^b |SZ=,}} {{mathl|term= Y \mapsto T^a |SZ=,}} gegebene {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} | K[T] || |SZ= }} {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass dieser Homomorphismus einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{makl| K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} |}}_X | K[T]_T || |SZ= }} induziert. |{{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass für jedes {{ mathbed|term= c \in K ||bedterm1= c \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ein Isomorphismus von {{ Definitionslink |lokalen Ringen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{makl| K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} |}}_{(X- c^b,Y-c^a)} | K[T]_{(T-c)} || |SZ= }} vorliegt. |Zeige{{n Sie}}, dass der induzierte Homomorphismus {{ Abbildung/display |name= |{{makl| K[X,Y]/ {{makl| X^a-Y^b |}} |}}_{(X,Y)} | K[T]_{(T)} || |SZ= }} kein Isomorphismus ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4kw2zogz2ncqxugfiltjkentueli2nt 0 106634 1107797 1082199 2026-07-18T09:36:56Z Bocardodarapti 2041 1107797 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | V(f) | \subseteq | K^n || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |algebraische Hyperfläche| |Kontext=| |SZ= }} zu einem nichtkonstanten Polynom {{ Relationskette | f | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | P | \in | V || || || |SZ= }} ein Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass es Geraden durch den Punkt {{math|term= P |SZ=}} gibt, deren Durchschnitt mit {{math|term= V |SZ=}} endlich ist. Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt von {{math|term= V |SZ=}} mit jeder Ebene durch den Punkt {{math|term= P |SZ=}} nicht endlich ist {{ Zusatz/Klammer |text=und dass {{math|term= P |SZ=}} kein isolierter Punkt des Durchschnitts ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njdb1jlqvupy14c03s1tjn8m8gqkwu1 0 106685 1107794 846051 2026-07-18T09:29:59Z Bocardodarapti 2041 1107794 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=\R |Algebren| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= \R[X,Y,Z]/ {{makl| Z^2-X^2-Y^2 |}} |und|term2= \R[X,Y,Z]/ {{makl| Z^2-XY |}} |SZ= }} {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Algebra| |SZ= }} sind, aber nicht, wenn man {{math|term= Z |SZ=}} auf {{math|term= Z |SZ=}} abbildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen A-Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibximfv4wy8gsfnybf9m5v1a1kcwjka 0 106709 1107798 1082431 2026-07-18T09:37:19Z Bocardodarapti 2041 1107798 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |singulären Punkte| |Kontext=| |SZ= }} der durch {{ Relationskette | X^aY^b || Z^c || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Hyperfläche| |Kontext=| |SZ= }} im {{math|term= {{CC|}}^3 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frdcjynauev9egn2gablh6j1oqopp3b 0 106714 1107801 1098307 2026-07-18T09:44:09Z Bocardodarapti 2041 1107801 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutatives Monoid| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die von einer einzigen Relation {{ Relationskette | \alpha | \sim | \beta || || || |SZ= }} erzeugte {{ Definitionslink |mit der Verknüpfung verträgliche| |Kontext=Äquivalenzrelation| |SZ= }} {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} folgendermaßen gegeben ist: Es ist {{ Relationskette | x | \sim | y || || || |SZ= }} genau dann, wenn es eine Kette {{ Math/display|term= x_1=x {{kommadots|}} x_n=y |SZ= }} gibt, wobei es für jedes {{math|term= i |SZ=}} ein {{ Relationskette | r | \in | \N || || || |SZ= }} und ein {{ Relationskette | \gamma | \in | M || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | x_i || r \alpha + \gamma || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x_{i+1} || r \beta + \gamma || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder umgekehrt| |ISZ=|ESZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7r76399hehg1bzahdx8ziu8eas94k2 0 106729 1107808 1099450 2026-07-18T09:54:29Z Bocardodarapti 2041 1107808 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| n | K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |affinen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K^n |SZ=.}} Es sei {{math|term= K|SZ=}} unendlich. Zeige{{n Sie}}, dass es eine nichtleere {{ Definitionslink |Zariski-offene| |Kontext=| |SZ= }} Teilmenge {{ Relationskette | U | \subseteq | K^n || || || |SZ= }} derart gibt, dass die {{ Definitionslink |Bahnen| |Kontext=Operation| |SZ= }} zu {{ Relationskette | x | \in | U || || || |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:Anzahl| G |}} |SZ=}} Elementen besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ta6yww9h8xeet0yq87dsdvz4aavcg3r 1107809 1107808 2026-07-18T09:56:14Z Bocardodarapti 2041 1107809 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG| n | K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Untergruppe| |Kontext=| |SZ= }} mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |affinen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K^n |SZ=.}} Es sei {{math|term= K|SZ=}} unendlich. Zeige{{n Sie}}, dass es eine nichtleere {{ Definitionslink |Zariski-offene| |Kontext=| |SZ= }} Teilmenge {{ Relationskette | U | \subseteq | K^n || || || |SZ= }} derart gibt, dass die {{ Definitionslink |Bahnen| |Kontext=Operation| |SZ= }} zu {{ Relationskette | x | \in | U || || || |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:Anzahl| G |}} |SZ=}} Elementen bestehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4mg46po6s6k8melgolm242ub03q0yqo 0 106810 1107814 1097756 2026-07-18T10:11:52Z Bocardodarapti 2041 1107814 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ= }} und {{math|term= \xi |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}te primitive komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Operation der Matrizen {{ Relationskette | \varphi_j || {{op:Matrix22| \xi^j | 0 | 0| \xi^{-j} |}} || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | P || (u,v) |\neq| (0,0) || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} einen Radius {{ Relationskette | r | > | 0 || || || |SZ= }} derart, dass die Bälle {{mathl|term= {{op:Offener Ball| \varphi_j(P)| r}} |SZ=}} zu {{ Relationskette | j |\neq| 0 || || || |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |disjunkt| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pihjuotboxfu5jq9k2it06hsgweueq2 0 106847 1107815 1040354 2026-07-18T10:12:15Z Bocardodarapti 2041 1107815 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:SUG| 2 |}} || || || |SZ= }} eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf einem {{ Definitionslink |offenen Ball| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Offener Ball| 0 |r}} | \subseteq | {{CC|}}^2 || || || |SZ= }} und dem Quotienten {{ Relationskette/display |W || U /G | \subseteq | V || {{CC|}}^2/G || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Fundamentalgruppe von {{mathl|term= W \setminus \{ P \}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= P |SZ=}} den singulären Punkt des Quotienten bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= G |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen speziellen Quotientensingularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odxx377sk8d6xz974c2g3eso06tjelg 0 107644 1107805 1088050 2026-07-18T09:49:19Z Bocardodarapti 2041 1107805 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Zu kommutativen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} gilt |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Relationskette/display | {{op:KSpek| A {{tensor|K}} B |}} || {{op:KSpek| A |}} \times {{op:KSpek| B |}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie2=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhp01v52xfxh7xgnbqw9txsceecpgz4 0 107750 1107780 841877 2026-07-18T09:10:53Z Bocardodarapti 2041 1107780 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebren| |Kontext=| |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Algebra| |SZ= }} sind. {{ Aufzählung3 |Der {{ Definitionslink |Produktring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= K \times K \times K |SZ=.}} |Der Restklassenring {{mathl|term= K[X]/ {{makl| X^3-X |}} |SZ=.}} |Der Restklassenring {{mathl|term= K[X,Y]/(X,Y) \cdot (X-1,Y-1) \cdot (X,Y-7) |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8l77689b524yexvb3svzqmhbnwp7h0 106 167013 1107762 1105601 2026-07-17T14:47:46Z Paul Sutermeister 37610 Kursdaten neutralisiert 1107762 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | '''1 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | '''2 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | '''3 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''': <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | '''4 || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | '''5 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | '''6 || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | '''7 || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | '''8 || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | '''9 || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | '''10 || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | '''11 || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | '''12 || Indirekte Rede → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | '''13 || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | '''14 || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | '''15 || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | '''16 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''17 || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | '''18 || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] nhfif8pc9bhnz3ljjy7w3v0fu5e226g 106 167054 1107763 1093541 2026-07-17T15:00:58Z Paul Sutermeister 37610 1107763 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 1 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 2 | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 3 | '''Arbeiten im Team''':</br>Johari-Fenster, Teamrollen, Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 4 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 5 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 6 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], Teamphasen (Tuckman) | Seiten 48-51 |- | 7 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 8 | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 9 | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 10 | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 11 | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 12 | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 13 | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 14 | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 15 | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 16 | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 17 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | 18 | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] ktwf48f7xgz6gojr0vxt348xkseiph2 1107765 1107763 2026-07-17T15:03:14Z Paul Sutermeister 37610 1107765 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 1 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 2 | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 3 | '''Arbeiten im Team''':</br>Johari-Fenster, Teamrollen, Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 4 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 5 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 6 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], Teamphasen (Tuckman) | Seiten 48-51 |- | 7 | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 8 | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 9 | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 10 | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 11 | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 12 | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 13 | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 14 | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 15 | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 16 | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 17 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | 18 | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 8l52gpgxwyfpal0613k9ee3dy048uql 106 168510 1107770 1068808 2026-07-18T04:47:02Z Paul Sutermeister 37610 1107770 wikitext text/x-wiki =Datenschutz, Copyright, Netiquette, Plagiat= <quiz display="simple"> { Ordne jeweils einen Begriff zu: | typ="[]" } | Copyright | Datenschutz | Datensicherheit | Netiquette | Plagiat | Recht am eigenen Bild -----+ [[:w:Recht am eigenen Bild (Schweiz)|Kontrolle über eigenes Foto]] ----+- [[:w:Plagiat|Kopieren ohne Erlaubnis]] +----- [[:w:Copyright|Recht an eigenen Ideen]] -+---- [[:w:Bundesgesetz über den Datenschutz|Schutz persönlicher Daten]] --+--- [[:w:Informationssicherheit#Datensicherheit|Schutz vor Datenverlust]] ---+-- [[:w:Netiquette|Verhaltensregeln]] </quiz> =Passwörter= <quiz display="simple"> { [[Datei:Unknackbar aber einfach zu merken! - Passwörter Einfach Erklärt (1-5).webm|150px]] Ein [[:w:Passwort#Unsichere_Passwörter|Passwort]] } + soll ungewöhnlich sein + soll lang sein + darf ein Satz sein </quiz> = Privates Surfen / InPrivate-Modus = <quiz display="simple"> { [[Datei:Private Browsing in Firefox 113.png|150px]] Was ist das? } - [[:w:Google#Erweiterte_Suche|Erweiterte Suche]] - InPrivate-Modus + [[:w:en:Private browsing|privat im Internet surfen]] + [[:w:en:Web browsing history|kein Browser-Verlauf]] </quiz> = [[:w:Bundesgesetz über den Datenschutz|Datenschutzgesetz]] = <quiz display="simple"> { Das [[:w:Bundesgesetz über den Datenschutz|Datenschutzgesetz]] sorgt dafür, dass } + andere nicht einfach deine Daten benutzen dürfen, + du wissen darfst, was mit deinen Daten passiert, + du falsche Daten ändern lassen kannst, + du deine Daten löschen lassen kannst (wenn möglich). </quiz> [[Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)]] d8n39rtrielhn22we63jqf0a22x1wo8 106 171867 1107816 1107693 2026-07-18T11:18:11Z Lisa Haaf 41568 /* Grundidee */ 1107816 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. n3n8vu93x8smy77uc3myhvj7q83n6ek 1107817 1107816 2026-07-18T11:18:28Z Lisa Haaf 41568 /* Vereinfachung der Realität (Annahmen) */ 1107817 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. jbninrz5j80omf4ph1d97igx2hjlpdh 1107818 1107817 2026-07-18T11:19:30Z Lisa Haaf 41568 /* Modellierung des Energieertrags */ 1107818 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. lt5cnlssvwqlsu950go605azsh934mv 1107819 1107818 2026-07-18T11:20:30Z Lisa Haaf 41568 /* Modellierung der Kosten */ 1107819 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x_n,y_n)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. l88683zdqle3f284i76fcjachzdzfrz 1107820 1107819 2026-07-18T11:22:01Z Lisa Haaf 41568 /* Gradientenaufstiegsverfahren */ 1107820 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x_n,y_n)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x_n</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x_n} = -10(x_n-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y_n} = -4(y_n-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} -10(x_n-3)\\ -4(y_n-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. l6k9mp34vfdxuir0f17f19bhks2duhl 1107821 1107820 2026-07-18T11:23:21Z Lisa Haaf 41568 /* Gradientenabstiegsverfahren */ 1107821 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x_n,y_n)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x_n</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x_n} = -10(x_n-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y_n} = -4(y_n-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} -10(x_n-3)\\ -4(y_n-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x_n^2+0{,}5y_n^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. dx42b2k7s7djh2yqh8aflv0e2a08wnv 1107822 1107821 2026-07-18T11:24:55Z Lisa Haaf 41568 /* Zielfunktion */ 1107822 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x_n,y_n)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x_n</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x_n} = -10(x_n-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y_n} = -4(y_n-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} -10(x_n-3)\\ -4(y_n-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x_n^2+0{,}5y_n^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x_n,y_n)=E(x_n,y_n)-K(x_n,y_n) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2-0{,}5x_n^2-0{,}5y_n^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x_n}=-10(x_n-3)-x_n </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y_n}=-4(y_n-4)-y_n </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x_n,y_n)= \begin{pmatrix} -10(x_n-3)-x_n\\ -4(y_n-4)-y_n \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. fy0wqxgqz98j7onwv3kjl580u41yfmm 1107823 1107822 2026-07-18T11:25:13Z Lisa Haaf 41568 /* Interpretation und Modellkritik */ 1107823 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x_n,y_n)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x_n,y_n)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x_n,y_n)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x_n,y_n)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x_n,y_n)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x_n</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x_n} = -10(x_n-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y_n} = -4(y_n-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} -10(x_n-3)\\ -4(y_n-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x_n,y_n)=0{,}5x_n^2+0{,}5y_n^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x_n}=x_n </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y_n}=y_n. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x_n,y_n) = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y}(x_n,y_n) \right) </math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x_n,y_n)=E(x_n,y_n)-K(x_n,y_n) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x_n,y_n)=50-5(x_n-3)^2-2(y_n-4)^2-0{,}5x_n^2-0{,}5y_n^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x_n}=-10(x_n-3)-x_n </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y_n}=-4(y_n-4)-y_n </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x_n,y_n)= \begin{pmatrix} -10(x_n-3)-x_n\\ -4(y_n-4)-y_n \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x_n,y_n)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. === Bezug zum Gardientenabstiegsverfashren=== Wege dahin Gradienten aufstieg statt [[Gradientenabstiegsverfahren|Abstieg]] In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. mhajqiou621y10rftxbxnnwbh36uibx