Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.12 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 48642 1108761 1085315 2026-07-23T12:16:57Z Bocardodarapti 2041 1108761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen zeigen, dass im Sequenzenkalkül {{ Math/display|term= \vdash ( \forall x (\exist y (Fy=x))) {{logund}} ( \forall u (\exist v (Gv=u))) \rightarrow ( \forall r (\exist s (FGs=r))) |SZ= }} ableitbar ist, was inhaltlich bedeutet, dass die Hintereinanderschaltung von zwei surjektiven Abbildungen wieder surjektiv ist. Es sei dazu {{mathl|term= \Gamma|SZ=}} die Vereinigung der beiden Vordersätze. Wir haben dann {{ Math/display|term= \Gamma \vdash \forall r (\exist s (FGs=r)) |SZ= }} zu zeigen. Wir zeigen zunächst die entsprechende Existenzaussage. Aufgrund der Substitution gilt {{ Math/display|term= \vdash Fy=x {{logund}} Gz=y \rightarrow FGz=x |SZ=. }} Daraus folgt durch zweimalige Existenzaussage {{ Math/display|term= \vdash \exists z \exists y (Fy=x {{logund}} Gz=y ) \rightarrow \exists y \exists z FGz=x |SZ=. }} Da {{math|term= y |SZ=}} rechts gar nicht vorkommt, erhält man aus {{ Math/display|term= \vdash \exists z FGz =x \rightarrow \exists z FGz=x |SZ= }} durch Existenzeinführung im Antezedens {{ Math/display|term= \vdash \exists y \exists z FGz =x \rightarrow \exists z FGz=x |SZ= }} Aufgrund der Existeneinführung im Sukzedens gilt {{ Math/display|term= \vdash \exists y Fy=x \rightarrow \exists z \exists y Fy =x |SZ= }} und {{ Math/display|term= \vdash \exists z Gz=y \rightarrow \exists y \exists z Gz = y |SZ=. }} Durch Vertauschen der Existenzoperatoren und die Transitivität der Implikation erhält man {{ Math/display|term= \vdash |SZ= }} {{ Math/display|term= \vdash \exists y Fy= x {{logund}} \exists z Gz=y \rightarrow \exists z FGz = x |SZ=. }} Wir haben zunächst {{ Math/display|term= \Gamma \vdash \forall x ( \exists y Fy = x) |SZ= }} und {{ Math/display|term= \vdash \forall x ( \exists y (Fy = x)) \rightarrow \exists y (Fy = x) |SZ=, }} also {{ Math/display|term= \Gamma \vdash \exists y (Fy = x) |SZ=. }} Ebenso erhält man {{ Math/display|term= \Gamma \vdash \exists z (Gz = y) |SZ=. }} Es gilt ferner (Substitutionsregel) {{ Math/display|term= \vdash (Fy=x) {{logund}} (Gz=y) \rightarrow (FGz=x) |SZ=, }} was wir als {{ Math/display|term= \vdash (Gz=y) \rightarrow ( (Fy=x) \rightarrow (FGz=x)) |SZ= }} schreiben. |Textart=Beispiel |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig }} bodohu0wv4nl1j4df0usud0nixxdysp 0 83542 1108774 1100605 2026-07-23T12:50:17Z Bocardodarapti 2041 1108774 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | x || c || || || |SZ= }} vorliegt, wobei {{math|term= c |SZ=}} ein Term ist, in dem die Variable {{math|term= x |SZ=}} nicht vorkommt, so sagt man, dass {{math|term= x |SZ=}} in der Gleichung {{Stichwort|isoliert|msw=Isolierte Gleichung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|aufgelöst|msw=Aufgelöste Gleichung|SZ=}} | |ISZ= {{ Zusatz/{{{zusatz1|-}}} |text=Dieser Sprachgebrauch ist nicht unproblematisch, da zur Lösung das Vereinfachen gehört. Allerdings ist dieser Vereinfachungsschritt häufig unproblematisch| |ISZ=.|ESZ= }}| ESZ= }} vorliegt. Hierbei kann {{math|term= c |SZ=}} eventuell ein komplizierter Ausdruck sein, und so besteht die Aufgabe im Allgemeinen darin, den Ausdruck {{math|term= c |SZ=}} zu vereinfachen. Wenn beispielsweise {{ Relationskette/display | x || 23-15+7 \cdot 11 || || || |SZ= }} vorliegt, so führt dies auf die vereinfachte und nicht weiter zu vereinfachende Gleichung {{ Relationskette/display | x || 85 || || || |SZ=, }} die man dann als Lösung betrachtet. Grundsätzlich versteht man unter der Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von die Lösung finden| |ISZ=|ESZ= }} einer Gleichung in einer Variablen die Isolierung der Variablen auf einer Seite und die Vereinfachung der anderen Seite. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0ivzmwdh5tynznqhbd7aoww8sllne0 0 83666 1108865 1107534 2026-07-24T07:58:36Z Bocardodarapti 2041 1108865 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster sitzt in der Schule neben Heinz Ngolo. Sie üben schriftliches Addieren und rechnen {{mathl|term= 725+638 |SZ=.}} Gabi ist schon fertig und Heinz hat gerade die hinterste Ziffer zusammengerechnet und den Übertrag notiert. Da kritzelt Gabi auf Heinzens Heft rum und radiert die Ziffern {{ mathkor|term1= 5 |und|term2= 8 |SZ= }} weg. Gabi sagt: {{Anführung|Die brauchst du nicht mehr, konzentrier dich auf die anderen Ziffern, dann geht es schneller und wir können endlich weiter Schiffe versenken spielen|SZ=.}} Darauf sagt Heinz: {{Anführung|Lass mich in Ruhe, kleine Klugscheißerin, außerdem brauch ich die Ziffern doch, nämlich zur Probe|SZ=.}} Darauf Gabi: {{Anführung|Wer beim Rechnen eine Probe braucht, sollte zurück in den Kindergarten|SZ=.}} Wie beurteilen Sie die Lage mathematisch und didaktisch? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Heinz Ngolo |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cidpdlg6zb8ow9fuyd58n7vrskd6dr1 0 88683 1108772 1099500 2026-07-23T12:45:42Z Bocardodarapti 2041 1108772 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |3-simplex graph|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=3-simplex_graph |Text= |Autor= |Benutzer=Koko90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bei einem vollständigen ungerichteten Graphen mit {{math|term= 4 |SZ=}} Ecken ist jede Ecke mit jeder {{ Zusatz/Klammer |text=anderen| |ISZ=|ESZ= }} Ecke verbunden. Zeichne{{n Sie}} einen solchen Graphen in der Ebene ohne Überschneidungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Realisierung von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nm4p7mejbl9y5zalxwo771hfz5txgqp 0 93540 1108829 1107429 2026-07-23T17:08:43Z Bocardodarapti 2041 1108829 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi | \N^4 | \N^4 || |SZ=, }} die einem Vierertupel {{mathl|term= (a,b,c,d) |SZ=}} das Vierertupel {{ Math/display|term= ( {{op:Betrag|b-a|}} , {{op:Betrag|c-b|}} , {{op:Betrag|d-c|}} , {{op:Betrag|a-d|}} ) |SZ= }} zuordnet. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein Vierertupel {{mathl|term= (a,b,c,d)|SZ=}} mit der Eigenschaft an, dass sämtliche Iterationen {{mathl|term= \Psi^n (a,b,c,d) |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \leq | 25 || || || |SZ= }} nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe{{n Sie}} das Ergebnis über den Link aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Externer Algorithmus/Vierzahlenabbildung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Vier-Zahlen-Problem |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mjw3krtevwxxyacskr9pyokq0h138j 0 94166 1108771 1098985 2026-07-23T12:45:21Z Bocardodarapti 2041 1108771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Wikt puzzle favicon|svg| 180px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Ephemeron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Kombinatorik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} temxiz07a6w2w7w1hu86hzkupv0uxbv 0 99019 1108762 1096115 2026-07-23T12:17:20Z Bocardodarapti 2041 1108762 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Die Relation ist reflexiv, da man für {{math|term= \varphi|SZ=}} die Identität nehmen kann, und sie ist transitiv, da es bei {{mathl|term= uRv|SZ=}} und {{mathl|term= vRw|SZ=}} lineare Abbildungen {{math|term= \varphi, \psi|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \varphi(u) || v || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \psi(v) || w || || || |SZ= }} gibt. Daher ist insgesamt {{ Relationskette/display | ( \psi \circ \varphi) (u) || w || || || |SZ= }} und somit {{mathl|term= uRw|SZ=.}} Die Relation ist nicht symmetrisch, da aufgrund der Existenz der Nullabbildung stets {{mathl|term= xR0 |SZ=}} gilt, aber umgekehrt {{mathl|term= 0Rx|SZ=}} nur bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} gilt. |Wenn man sich auf bijektive Abbildungen beschränkt, so liegt eine Äquivalenzrelation vor. Die Argumentation für die Reflexivität und die Transitivität ist wie in Teil (1), da ja die Verknüpfung von bijektiven Abbildungen wieder bijektiv ist. Wenn {{mathl|term= uSv|SZ=}} gilt, so bedeutet dies die Existenz einer bijektiven linearen Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \varphi (u) || v || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display |u || \varphi^{-1} (v) || || || |SZ= }} und daher {{mathl|term= vRu|SZ=.}} |Es gibt zwei Äquivalenzklassen. Der Nullpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} ist nur zu sich selbst äquivalent, da unter jeder linearen Abbildung {{math|term= 0 |SZ=}} auf sich selbst abgebildet wird. Hingegen sind je zwei Vektoren {{math|term= u,v|SZ=,}} die beide nicht {{math|term= 0 |SZ=}} sind, untereinander äquivalent. Man kann sie nämlich jeweils zu einer Basis {{math|term= u_1=u,u_2 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} bzw. {{math|term= v_1=v,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V |SZ=}} ergänzen. Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Festlegungssatzes|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine lineare Abbildung mit {{ Relationskette |\varphi(u_i) || v_i || || || |SZ=, }} also insbesondere mit {{ Relationskette |\varphi(u) || v || || || |SZ=, }} und diese ist bijektiv, da sie eine Basis auf eine Basis abbildet. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 61ar7fbfgy5blpbssrtpilsov05nrim 106 99410 1108853 1081417 2026-07-24T07:40:24Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Residuum */ 1108853 wikitext text/x-wiki ==Definition - Residuum == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und eine Abbildung <math>f</math> bis auf die Menge der isolierten Singularitäten <math>S\subset G</math> holomorph, d.h. <math>f\colon G\setminus S \to \mathbb{C}</math> ist holomorph. Ist <math>z_0 \in S \subset G</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularität]] von <math>f</math> mit <math>D_r(z_0) \cap S = \{z_0\}</math>, so definiert man das Residuum als: :<math>\mathrm{Res}(f,z_0) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\xi-z_o|=r} f(\xi)\, d\xi</math>. == Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung == Stellt man <math>f</math> um eine isolierte Singularität <math>z_0 \in S \subset G</math> als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> gilt: :<math>\mathrm{res}_{z_0}(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = a_{-1}</math>. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> nur die eine Singularität <math>z_0 \in S </math> enthält, d.h. <math>\overline{D_r(z_0)} \cap S = \{z_0\}</math>. Damit kann man das ''Residuum'' <math>\mathrm{res}_{z_0}(f) = a_{-1}</math> aus der Laurentwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> am (-1)-ten Koeffizienten ablesen. ==Namensgebung== Das Residuum (von lat. ''residuere'' - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg <math>\gamma(t):= z_o + r\cdot e^{it}</math> mit <math>t \in [0,2\pi]</math> über den Kreisrand um <math>z_o</math> gilt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{|w-z_0|=r} f(w)\, dw &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \int_{|w-z_0|=r} (w-z_0)^n \, dw\\ &= 2\pi i \cdot a_{-1} \end{array} </math></center> gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt. <span id="Pole"></span> ==Berechnung für Pole== Ist <math>z_0 \in U</math> ein Pol der Ordnung <math>m</math> von <math>f</math>, so hat die [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> die Form :<math> f(z) = \sum_{k=-m}^\infty a_k (z-z_0)^k </math> mit <math>a_{-m} \ne 0</math>. === Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation === Multiplizieren wir mit <math>(z-z_0)^m</math>, so erhalten wir :<math> g_m(z):=(z-z_0)^m \cdot f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_{k-m} (z-z_0)^k </math> Das Residuum <math>a_{-1}</math> ist nun als Koeffizienten von <math>(z-z_0)^{m-1}</math> in der Potenzreihe der Funktion <math>g_m(z)</math> zu finden. === Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation === Durch <math>m-1</math>-faches Differenzieren verschwinden die ersten <math>m-1</math> Summanden der Reihe vom Exponent <math>n=0</math> bis zum Exponenten <math>m-2</math>. Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor <math>(z-z_0)^0</math> und man erhält: :<math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=m-1}^\infty \frac{k!}{(k-m+1)!} a_{k-m}(z-z_0)^{k-m+1} </math> === Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor <math>(z-z_o)^0</math> === Durch Indexverschiebung erhält man: : <math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=-1}^\infty \frac{(m+k)!}{(k+1)!} a_{k}(z-z_0)^{k+1} </math> Durch einen Grenzwertprozess <math>z\to z_0</math> verschwinden alle Summanden mit <math>k\geq 0</math> und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z) = \frac{(m-1)!}{0!} \cdot a_{-1} \cdot (z-z_0)^{0} = (m-1)! \cdot a_{-1}</math> Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert <math>z \to z_0</math> berechnen: :<math> \mathrm{res}_{z_0} (f) = a_{-1} = \frac{1}{(m-1)!} \cdot \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z)</math> == Aufgaben für Studierende == * Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index <math>n \in \mathbb{Z}</math> mit <math>n \not= -1 </math> bei der Integration das Integral :<math>\int_{\partial D_r(z_0)} a_{n}\cdot (\xi - z_0)^{n}\, d\xi = 0</math> ergeben. * Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen? ::<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{\partial D_r(z_0)} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \int_{\partial D_r(z_0)} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \mathrm{res}_{z_0}(f) </math> * Gegeben sei die Funktion <math>f:\mathbb{C}\setminus \{i\} \to \mathbb{C}</math> mit <math> z\mapsto f(z)=\frac{e^{z-i}}{(z-i)^5}</math>. Berechnen Sie das Residuum <math>\mathrm{res}_{z_0}(f) </math> mit <math>z_0:=i</math> ! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale für den Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele Laurentreihen]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Residue]]</noinclude> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Residuals]]</noinclude> sh7b4r549y6pamdczikw9vdsikep8yg 1108854 1108853 2026-07-24T07:40:36Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung */ 1108854 wikitext text/x-wiki ==Definition - Residuum == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und eine Abbildung <math>f</math> bis auf die Menge der isolierten Singularitäten <math>S\subset G</math> holomorph, d.h. <math>f\colon G\setminus S \to \mathbb{C}</math> ist holomorph. Ist <math>z_0 \in S \subset G</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularität]] von <math>f</math> mit <math>D_r(z_0) \cap S = \{z_0\}</math>, so definiert man das Residuum als: :<math>\mathrm{Res}(f,z_0) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\xi-z_o|=r} f(\xi)\, d\xi</math>. == Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung == Stellt man <math>f</math> um eine isolierte Singularität <math>z_0 \in S \subset G</math> als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> gilt: :<math>\mathrm{Res}(f,z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = a_{-1}</math>. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> nur die eine Singularität <math>z_0 \in S </math> enthält, d.h. <math>\overline{D_r(z_0)} \cap S = \{z_0\}</math>. Damit kann man das ''Residuum'' <math>\mathrm{res}_{z_0}(f) = a_{-1}</math> aus der Laurentwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> am (-1)-ten Koeffizienten ablesen. ==Namensgebung== Das Residuum (von lat. ''residuere'' - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg <math>\gamma(t):= z_o + r\cdot e^{it}</math> mit <math>t \in [0,2\pi]</math> über den Kreisrand um <math>z_o</math> gilt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{|w-z_0|=r} f(w)\, dw &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \int_{|w-z_0|=r} (w-z_0)^n \, dw\\ &= 2\pi i \cdot a_{-1} \end{array} </math></center> gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt. <span id="Pole"></span> ==Berechnung für Pole== Ist <math>z_0 \in U</math> ein Pol der Ordnung <math>m</math> von <math>f</math>, so hat die [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> die Form :<math> f(z) = \sum_{k=-m}^\infty a_k (z-z_0)^k </math> mit <math>a_{-m} \ne 0</math>. === Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation === Multiplizieren wir mit <math>(z-z_0)^m</math>, so erhalten wir :<math> g_m(z):=(z-z_0)^m \cdot f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_{k-m} (z-z_0)^k </math> Das Residuum <math>a_{-1}</math> ist nun als Koeffizienten von <math>(z-z_0)^{m-1}</math> in der Potenzreihe der Funktion <math>g_m(z)</math> zu finden. === Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation === Durch <math>m-1</math>-faches Differenzieren verschwinden die ersten <math>m-1</math> Summanden der Reihe vom Exponent <math>n=0</math> bis zum Exponenten <math>m-2</math>. Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor <math>(z-z_0)^0</math> und man erhält: :<math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=m-1}^\infty \frac{k!}{(k-m+1)!} a_{k-m}(z-z_0)^{k-m+1} </math> === Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor <math>(z-z_o)^0</math> === Durch Indexverschiebung erhält man: : <math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=-1}^\infty \frac{(m+k)!}{(k+1)!} a_{k}(z-z_0)^{k+1} </math> Durch einen Grenzwertprozess <math>z\to z_0</math> verschwinden alle Summanden mit <math>k\geq 0</math> und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z) = \frac{(m-1)!}{0!} \cdot a_{-1} \cdot (z-z_0)^{0} = (m-1)! \cdot a_{-1}</math> Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert <math>z \to z_0</math> berechnen: :<math> \mathrm{res}_{z_0} (f) = a_{-1} = \frac{1}{(m-1)!} \cdot \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z)</math> == Aufgaben für Studierende == * Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index <math>n \in \mathbb{Z}</math> mit <math>n \not= -1 </math> bei der Integration das Integral :<math>\int_{\partial D_r(z_0)} a_{n}\cdot (\xi - z_0)^{n}\, d\xi = 0</math> ergeben. * Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen? ::<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{\partial D_r(z_0)} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \int_{\partial D_r(z_0)} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \mathrm{res}_{z_0}(f) </math> * Gegeben sei die Funktion <math>f:\mathbb{C}\setminus \{i\} \to \mathbb{C}</math> mit <math> z\mapsto f(z)=\frac{e^{z-i}}{(z-i)^5}</math>. Berechnen Sie das Residuum <math>\mathrm{res}_{z_0}(f) </math> mit <math>z_0:=i</math> ! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale für den Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele Laurentreihen]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Residue]]</noinclude> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Residuals]]</noinclude> 7p3g5ab3qzfwkpwvx6p8sqtqg69fnoa 1108855 1108854 2026-07-24T07:41:05Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung */ 1108855 wikitext text/x-wiki ==Definition - Residuum == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und eine Abbildung <math>f</math> bis auf die Menge der isolierten Singularitäten <math>S\subset G</math> holomorph, d.h. <math>f\colon G\setminus S \to \mathbb{C}</math> ist holomorph. Ist <math>z_0 \in S \subset G</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularität]] von <math>f</math> mit <math>D_r(z_0) \cap S = \{z_0\}</math>, so definiert man das Residuum als: :<math>\mathrm{Res}(f,z_0) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\xi-z_o|=r} f(\xi)\, d\xi</math>. == Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung == Stellt man <math>f</math> um eine isolierte Singularität <math>z_0 \in S \subset G</math> als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> gilt: :<math>\mathrm{Res}(f,z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = a_{-1}</math>. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> nur die eine Singularität <math>z_0 \in S </math> enthält, d.h. <math>\overline{D_r(z_0)} \cap S = \{z_0\}</math>. Damit kann man das ''Residuum'' <math>\mathrm{Res}(f,z_0) = a_{-1}</math> aus der Laurentwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> am (-1)-ten Koeffizienten ablesen. ==Namensgebung== Das Residuum (von lat. ''residuere'' - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg <math>\gamma(t):= z_o + r\cdot e^{it}</math> mit <math>t \in [0,2\pi]</math> über den Kreisrand um <math>z_o</math> gilt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{|w-z_0|=r} f(w)\, dw &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \int_{|w-z_0|=r} (w-z_0)^n \, dw\\ &= 2\pi i \cdot a_{-1} \end{array} </math></center> gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt. <span id="Pole"></span> ==Berechnung für Pole== Ist <math>z_0 \in U</math> ein Pol der Ordnung <math>m</math> von <math>f</math>, so hat die [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> die Form :<math> f(z) = \sum_{k=-m}^\infty a_k (z-z_0)^k </math> mit <math>a_{-m} \ne 0</math>. === Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation === Multiplizieren wir mit <math>(z-z_0)^m</math>, so erhalten wir :<math> g_m(z):=(z-z_0)^m \cdot f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_{k-m} (z-z_0)^k </math> Das Residuum <math>a_{-1}</math> ist nun als Koeffizienten von <math>(z-z_0)^{m-1}</math> in der Potenzreihe der Funktion <math>g_m(z)</math> zu finden. === Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation === Durch <math>m-1</math>-faches Differenzieren verschwinden die ersten <math>m-1</math> Summanden der Reihe vom Exponent <math>n=0</math> bis zum Exponenten <math>m-2</math>. Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor <math>(z-z_0)^0</math> und man erhält: :<math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=m-1}^\infty \frac{k!}{(k-m+1)!} a_{k-m}(z-z_0)^{k-m+1} </math> === Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor <math>(z-z_o)^0</math> === Durch Indexverschiebung erhält man: : <math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=-1}^\infty \frac{(m+k)!}{(k+1)!} a_{k}(z-z_0)^{k+1} </math> Durch einen Grenzwertprozess <math>z\to z_0</math> verschwinden alle Summanden mit <math>k\geq 0</math> und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z) = \frac{(m-1)!}{0!} \cdot a_{-1} \cdot (z-z_0)^{0} = (m-1)! \cdot a_{-1}</math> Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert <math>z \to z_0</math> berechnen: :<math> \mathrm{res}_{z_0} (f) = a_{-1} = \frac{1}{(m-1)!} \cdot \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z)</math> == Aufgaben für Studierende == * Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index <math>n \in \mathbb{Z}</math> mit <math>n \not= -1 </math> bei der Integration das Integral :<math>\int_{\partial D_r(z_0)} a_{n}\cdot (\xi - z_0)^{n}\, d\xi = 0</math> ergeben. * Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen? ::<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{\partial D_r(z_0)} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \int_{\partial D_r(z_0)} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \mathrm{res}_{z_0}(f) </math> * Gegeben sei die Funktion <math>f:\mathbb{C}\setminus \{i\} \to \mathbb{C}</math> mit <math> z\mapsto f(z)=\frac{e^{z-i}}{(z-i)^5}</math>. Berechnen Sie das Residuum <math>\mathrm{res}_{z_0}(f) </math> mit <math>z_0:=i</math> ! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale für den Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele Laurentreihen]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Residue]]</noinclude> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Residuals]]</noinclude> 44be835yoet4owq9w9rkecdxhc5sual 1108856 1108855 2026-07-24T07:41:41Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ 1108856 wikitext text/x-wiki ==Definition - Residuum == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>z_0 \in G</math> und eine Abbildung <math>f</math> bis auf die Menge der isolierten Singularitäten <math>S\subset G</math> holomorph, d.h. <math>f\colon G\setminus S \to \mathbb{C}</math> ist holomorph. Ist <math>z_0 \in S \subset G</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularität]] von <math>f</math> mit <math>D_r(z_0) \cap S = \{z_0\}</math>, so definiert man das Residuum als: :<math>\mathrm{Res}(f,z_0) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\xi-z_o|=r} f(\xi)\, d\xi</math>. == Zusammenhang Residuum und Laurententwicklung == Stellt man <math>f</math> um eine isolierte Singularität <math>z_0 \in S \subset G</math> als Laurentreihe dar, so kann man das Residuum wie folgt berechnen. Mit <math>f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-z_0)^n</math> als [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> gilt: :<math>\mathrm{Res}(f,z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = a_{-1}</math>. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}</math> nur die eine Singularität <math>z_0 \in S </math> enthält, d.h. <math>\overline{D_r(z_0)} \cap S = \{z_0\}</math>. Damit kann man das ''Residuum'' <math>\mathrm{Res}(f,z_0) = a_{-1}</math> aus der Laurentwicklung von <math>f</math> um <math>z_0</math> am (-1)-ten Koeffizienten ablesen. ==Namensgebung== Das Residuum (von lat. ''residuere'' - übrigbleiben) heißt so, weil bei der Integration über den Weg <math>\gamma(t):= z_o + r\cdot e^{it}</math> mit <math>t \in [0,2\pi]</math> über den Kreisrand um <math>z_o</math> gilt: <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{|w-z_0|=r} f(w)\, dw &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \int_{|w-z_0|=r} (w-z_0)^n \, dw\\ &= 2\pi i \cdot a_{-1} \end{array} </math></center> gilt, das Residuum also das ist, was beim Integrieren übrig bleibt. <span id="Pole"></span> ==Berechnung für Pole== Ist <math>z_0 \in U</math> ein Pol der Ordnung <math>m</math> von <math>f</math>, so hat die [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Laurent-Entwicklung]] von <math>f</math> um <math>z_0</math> die Form :<math> f(z) = \sum_{k=-m}^\infty a_k (z-z_0)^k </math> mit <math>a_{-m} \ne 0</math>. === Beweis 1: Hauptteil entfernen durch Multiplikation === Multiplizieren wir mit <math>(z-z_0)^m</math>, so erhalten wir :<math> g_m(z):=(z-z_0)^m \cdot f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_{k-m} (z-z_0)^k </math> Das Residuum <math>a_{-1}</math> ist nun als Koeffizienten von <math>(z-z_0)^{m-1}</math> in der Potenzreihe der Funktion <math>g_m(z)</math> zu finden. === Beweis 2: Anwendung der (m-1)-fachen Differentiation === Durch <math>m-1</math>-faches Differenzieren verschwinden die ersten <math>m-1</math> Summanden der Reihe vom Exponent <math>n=0</math> bis zum Exponenten <math>m-2</math>. Damit ist das Residuum zusammen mit den durch die Ableitung entstandenen Vorfaktoren direkt nun der Kooeffizient vor <math>(z-z_0)^0</math> und man erhält: :<math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=m-1}^\infty \frac{k!}{(k-m+1)!} a_{k-m}(z-z_0)^{k-m+1} </math> === Beweis 3: Grenzwertprozess und Berechnung des Koeffizienten vor <math>(z-z_o)^0</math> === Durch Indexverschiebung erhält man: : <math> g_m^{(m-1)}(z) = \sum_{k=-1}^\infty \frac{(m+k)!}{(k+1)!} a_{k}(z-z_0)^{k+1} </math> Durch einen Grenzwertprozess <math>z\to z_0</math> verschwinden alle Summanden mit <math>k\geq 0</math> und man erhält: :<math> \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z) = \frac{(m-1)!}{0!} \cdot a_{-1} \cdot (z-z_0)^{0} = (m-1)! \cdot a_{-1}</math> Insgesamt lässt sich damit das Residuum durch folgenden Grenzwert <math>z \to z_0</math> berechnen: :<math> \mathrm{res}_{z_0} (f) = a_{-1} = \frac{1}{(m-1)!} \cdot \lim_{z\to z_0} g_m^{(m-1)}(z)</math> == Aufgaben für Studierende == * Erläutern Sie, warum bei der Integration über die Laurententwicklung alle Summanden aus dem Nebenteil und alle Summanden mit dem Index <math>n \in \mathbb{Z}</math> mit <math>n \not= -1 </math> bei der Integration das Integral :<math>\int_{\partial D_r(z_0)} a_{n}\cdot (\xi - z_0)^{n}\, d\xi = 0</math> ergeben. * Warum darf man bei der Integration und der Reihenentwicklung die Grenzwertprozesse vertauschen? ::<math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{\partial D_r(z_0)} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \int_{\partial D_r(z_0)} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (\xi-z_0)^n d \xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_r(z_0)} f(\xi)\, d\xi = \mathrm{res}_{z_0}(f) </math> * Gegeben sei die Funktion <math>f:\mathbb{C}\setminus \{i\} \to \mathbb{C}</math> mit <math> z\mapsto f(z)=\frac{e^{z-i}}{(z-i)^5}</math>. Berechnen Sie das Residuum <math>\mathrm{Res}(f,z_0) </math> mit <math>z_0:=i</math> ! == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale für den Residuensatz]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispiele Laurentreihen]] == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Residue]]</noinclude> <noinclude>[[en:Complex Analysis/Residuals]]</noinclude> cf7lo6ggup8fagjm0bdhuh54s10c97s 0 122289 1108768 1097181 2026-07-23T12:42:11Z Bocardodarapti 2041 1108768 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Diamond graph|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |SZ= }} des abgebildeten Diamantgraphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83h61utch9xrp3ju8dp5l7x2sdnp3ux 0 122330 1108769 1095689 2026-07-23T12:43:09Z Bocardodarapti 2041 1108769 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |{{bildskip}} {{ inputbild |BaummitArmen2 2|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Die Anzahl der Kanten ist {{mathl|term= \sum_{j {{=}} 1}^k n_j |SZ=}} und die Anzahl der Knoten ist {{mathl|term= 1+ \sum_{j {{=}} 1}^k n_j |SZ=.}} |Wir betrachten {{math|term= z |SZ=}} als Nullpunkt und nennen einen Punkt des Graphen gerade, wenn sein Abstand zum Nullpunkt gerade ist, andernfalls ungerade. Dann bilden alle geraden Punkte eine minimale Knotenüberdeckung, an der {{math|term= z |SZ=}} beteiligt ist. Ebenso bilden alle ungeraden Punkte eine minimale Knotenüberdeckung, an der {{math|term= z |SZ=}} nicht beteiligt ist. |Wenn {{math|term= z |SZ=}} zu einer Knotenüberdeckung gehört, so sind die daran direkt anliegenden Kanten auf den Strahlen abgedeckt. Man muss dann noch auf den einzelnen Strahlen die jeweils verbleibenden Kanten {{mathl|term= \{1,2\}, \{2,3\}, \{3,4\} {{kommadots|}} \{n_{j-1}, n_j\} |SZ=}} abdecken. Dazu braucht man minimal {{mathl|term= {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n_j | 2|}} }} |SZ=}} Punkte. Eine minimale Knotenüberdeckung, die {{math|term= z |SZ=}} enthält, braucht also {{mathl|term= 1+ \sum_{j=1}^k {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n_j | 2|}} }} |SZ=}} Knoten, und solche Überdeckungen gibt es wegen (3). Wenn {{math|term= z |SZ=}} nicht zu einer Knotenüberdeckung gehört, so muss diese den ersten Punkt auf jedem einzelnen Strahlen enthalten {{ Zusatz/Klammer |text=um die Kante {{mathl|term= \{z,1\} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} abzudecken. Weiter müssen auf jedem Strahl die Kanten {{mathl|term= \{2,3\}, \{3,4\} {{kommadots|}} \{n_{j-1}, n_j\} |SZ=}} abgedeckt sein, wozu man minimal {{mathl|term= {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n_j-1| 2|}} }} |SZ=}} Punkte braucht. Eine minimale Knotenüberdeckung, die {{math|term= z |SZ=}} nicht enthält, braucht also {{ Relationskette/display | k+ \sum_{j {{=|}} 1}^k {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n_j-1| 2|}} }} || \sum_{j {{=|}} 1}^k {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n_j+1| 2|}} }} || || || |SZ= }} Knoten, und solche Überdeckungen gibt es wegen (3). Es geht also um das Minimum dieser beiden Zahlen. Wenn alle {{math|term= n_j |SZ=}} gerade sind, so ist die Knotenüberdeckungszahl gleich {{ Math/display|term= \sum_{j {{=|}} 1}^k {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n_j+1| 2|}} }} |SZ=, }} wenn ein {{math|term= n_j |SZ=}} ungerade sind, so ist die Knotenüberdeckungszahl gleich {{ Math/display|term= 1 + \sum_{j {{=|}} 1}^k {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n_j | 2|}} }} |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} exrvrkn4z76v8mbwgkmk9xwpttnci1i 0 122598 1108763 958609 2026-07-23T12:24:42Z Bocardodarapti 2041 1108763 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Die Blätter sind Santolan und Baclaran. |Der Abstand von Pureza nach Santolan ist {{math|term= 8 |SZ=,}} der Abstand nach Baclaran ist {{math|term= 12 |SZ=.}} Der obere Kreis hat die Länge {{math|term= 20 |SZ=,}} der maximale Abstand dadrauf ist also {{math|term= 10 |SZ=,}} der untere Kreis hat die Länge {{math|term= 25 |SZ=,}} der maximale Abstand dadrauf ist also {{math|term= 12 |SZ=.}} Die Exzentrizität ist also {{math|term= 12 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und wird in Baclaran, Magallanes und Ayala angenommen| |ISZ=|ESZ=. }} |Der Maximalgrad ist {{math|term= 4 |SZ=,}} er wird in Araneta Center/Cubao angenommen. |Wie oben berechnet besitzt der obere Kreis die Länge {{math|term= 20 |SZ=}} und der untere die Länge {{math|term= 25 |SZ=,}} der umfahrende Kreis hat eine größere Länge. Die Taille ist also {{math|term= 20 |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52l59tla5w8wonq04vv67k0hgcl46cy 106 168666 1108846 1105205 2026-07-24T07:12:11Z Λυκας 38324 1108846 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Chromatische_Zahl/Rundgang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Chromatische Zahl/Beispielgraph/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kennlernrunde/Färbung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Äquivalenzrelation/Chromatische Zahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Olympische Ringe/Chromatische Zahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Färbung/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Färbungen/Anzahl/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Zulässige Färbung/Farbwechsel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graphhomomorphismus/Färbung/Rückzug/Aufgabe|| |zusatz=Zeige{{n Sie}}, dass diese Aussage nicht gilt, wenn {{math|term= \varphi |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |schwacher Graphhomomorphismus| |SZ= }} ist. |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Färbung/Homomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Blatt/Chromatisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Baum/Chromatisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sterngraph/Chromatisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den folgenden Aufgaben bezeichnen wir mit {{math|term= \operatorname{Hom}(G,H) |SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Homomorphismus/Auf vollständigen Graphen/Rekursionseigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Homomorphismus/Rekursionseigenschaft/Injektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Homomorphismus/Rekursionseigenschaft/Gegenbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Disjunkte Vereinigung/Homomorphismus/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Chromatische Polynom/Polynom/Kontraktionseigenschaft/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bipartiter Graph/Vollständig/3 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} czpnua24858gkfrrwxer41i1k8tctus 106 170062 1108896 1078092 2026-07-24T11:56:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3 - Kreisscheibe */ 1108896 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte liefert in Abhänigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0vuyx1aaey041lk9qisn0ftotp2igwg 1108897 1108896 2026-07-24T11:57:01Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe */ 1108897 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte liefert in Abhänigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] psy3t3339uyzp719rvgpc7pqeao5gzq 1108898 1108897 2026-07-24T11:58:45Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3 - Kreisscheibe */ 1108898 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] a3jybftwh8224q8566uc1spuuiy35d6 106 170179 1108866 1108432 2026-07-24T09:28:58Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe zur Animation */ 1108866 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. === Verschwindende orientierte Kreisflächen === Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9wqwkm3xgasi7z71eje17164h83cqib 1108867 1108866 2026-07-24T09:32:51Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierten Fläche */ 1108867 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. === Verschwindende orientierte Kreisflächen === Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b48gk2q41zu5ymv711qyxxgse7dbs52 1108868 1108867 2026-07-24T09:35:26Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierten Fläche */ 1108868 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. === Verschwindende orientierte Kreisflächen === Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0bbraerh84swu1twz1r3jlw2nhi7e55 1108869 1108868 2026-07-24T09:36:02Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierten Fläche */ 1108869 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. === Verschwindende orientierte Kreisflächen === Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4nlt0qvkpt2t211e78g0gnc3vn66g37 1108870 1108869 2026-07-24T09:37:55Z Bert Niehaus 20843 /* Verschwindende orientierte Kreisflächen */ 1108870 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pelnhk4dspawptjep969holku1rrrx3 1108871 1108870 2026-07-24T09:53:31Z Bert Niehaus 20843 /* Geometrische Herleitung */ 1108871 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|thumb|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jmnr1caakecz2xeo61bj47rei8qgioz 1108872 1108871 2026-07-24T09:53:52Z Bert Niehaus 20843 /* Geometrische Herleitung */ 1108872 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] onsdvrkbdk8p0xcqbm443qhmcedpu87 1108873 1108872 2026-07-24T10:00:17Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche */ 1108873 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5biylyo987jan9ccrw17ywzasvrhk36 1108874 1108873 2026-07-24T10:01:25Z Bert Niehaus 20843 /* Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 */ 1108874 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cooahj763upm84cnxjd013bcvprpq4p 1108875 1108874 2026-07-24T10:02:01Z Bert Niehaus 20843 /* Beispielparameter - Animation */ 1108875 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] et4i2auuezxgi07ki4zh39s9xw5k7ic 1108876 1108875 2026-07-24T10:02:32Z Bert Niehaus 20843 /* Randwege auf dem Kreisrand */ 1108876 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b65xor4o7vl87gnpw0y3ekznf9uk9jm 1108877 1108876 2026-07-24T10:02:54Z Bert Niehaus 20843 /* Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente */ 1108877 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 8 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 541h9fda9m6jzic1tshan3esp8l54wr 1108878 1108877 2026-07-24T10:04:09Z Bert Niehaus 20843 /* Geometrische Herleitung */ 1108878 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tixf0s92skzycugkn71dd4psm5zoe5d 1108879 1108878 2026-07-24T10:06:14Z Bert Niehaus 20843 /* Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat */ 1108879 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung des orientierten Flächenintegrals ==== ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9xsf8ryt4n3oyrg8g2md79ikpp31qjr 1108880 1108879 2026-07-24T10:20:11Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung des orientierten Flächenintegrals */ 1108880 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischen Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]: ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d0q2ovstvj4x871thi0n4jmblficr3d 1108881 1108880 2026-07-24T10:20:47Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals */ 1108881 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]: ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] afxdtd83yxrjcvlmobnppnli19whrz3 1108882 1108881 2026-07-24T10:22:13Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals */ 1108882 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1</math> durchgeführt: <math> F_\circ(w_1) = \left( \right)^3</math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m3cc028lj8i70ychy4r8ogka6qp3ev4 1108883 1108882 2026-07-24T10:23:18Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals */ 1108883 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1</math> durchgeführt: <math> F_\circ(w_1) = \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 13ibsj10hy10f1vo1dcbzmlkvo1js9v 1108884 1108883 2026-07-24T10:32:06Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals */ 1108884 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe * <math>z_1=z_0+</math>, Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5vvhi6ny86c3zyrmjautgkdmxizmaai 1108885 1108884 2026-07-24T10:33:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beispielparameter - Animation */ 1108885 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mk9gq8rr43ln41ucho9m8ayluraviur 1108886 1108885 2026-07-24T10:41:09Z Bert Niehaus 20843 /* Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat */ 1108886 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5- 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9idn58o54i2xirvxw3ltzwzjhlu40kk 1108887 1108886 2026-07-24T10:47:54Z Bert Niehaus 20843 /* Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat */ 1108887 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5u8kc09c246edt9rn6z66mtg91cwsdb 1108888 1108887 2026-07-24T10:50:43Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals */ 1108888 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> F_\circ(w_1) = </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] j6cjgjnpdgo334t8uz5mihpe433mtlo 1108889 1108888 2026-07-24T11:06:18Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals */ 1108889 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(w_4) - F_\circ(w_3)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)</math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nnx2ac47a8ccoq4b692k7dy14im2ny4 1108890 1108889 2026-07-24T11:14:03Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals */ 1108890 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\gamma_\circ(1,1)) - F_\circ(\gamma_\circ(0,1))- F_\circ(\gamma_\circ(1,0)) + F_\circ(\gamma_\circ(0,0)) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2j7bs0jbrgrgzcf4vvts9ogiarwcm3x 1108891 1108890 2026-07-24T11:15:03Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals */ 1108891 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fvvwdhp5i89m24nmn7bm6pjv616w2pf 1108892 1108891 2026-07-24T11:23:49Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals */ 1108892 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3xtdn8lraj66xnso0zyovw3p9041r9x 1108893 1108892 2026-07-24T11:28:07Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals */ 1108893 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.97 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -243.52 & + & i\cdot 55.29 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s5fy7ljfts10mfx0dqlr99xsmxowxfe 1108894 1108893 2026-07-24T11:34:39Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals */ 1108894 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.97 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -243.52 & + & i\cdot 55.29 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fw8waxcriyg63uk4ab5v4wd7elp4l1c 1108895 1108894 2026-07-24T11:43:46Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals */ 1108895 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] i6jbqyx3n5vt724m1o54giyp4qbmjf4 106 170340 1108851 1107493 2026-07-24T07:35:17Z Felix Bohl 41569 /* Schadstoffbelastung Stadt */ 1108851 wikitext text/x-wiki =Schadstoffbelastung Stadt= == Einleitung == Feinstaub gehört zu den bedeutendsten luftgetragenen Schadstoffen in Städten und kann mit verschiedenen gesundheitlichen Belastungen in Verbindung stehen. Zu den wichtigen Quellen zählen insbesondere der Straßenverkehr sowie Verbrennungsprozesse, Reifenabrieb und Bremsabrieb. Im Rahmen dieses Projektes wird untersucht, wie eine räumliche Schadstoffbelastung mathematisch modelliert werden kann. Im Mittelpunkt steht die Frage, wie Verkehrsdaten, Straßenverläufe und weitere Einflussgrößen in ein mathematisches Modell überführt und anschließend grafisch dargestellt werden können. Langfristig wird dazu eine Funktion :<math> L:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}_{\geq 0} </math> betrachtet, die jedem Ort <math>(x,y)</math> eines Untersuchungsgebietes einen Belastungswert zuordnet. Der Wert :<math> L(x,y) </math> beschreibt dabei die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Die Modellierung erfolgt schrittweise auf verschiedenen Bildungsstufen und orientiert sich an den Phasen mathematischer Modellbildung: # Beschreibung einer realen Problemsituation, # Auswahl relevanter Einflussgrößen, # Formulierung mathematischer Annahmen, # Entwicklung eines mathematischen Modells, # Berechnung und Visualisierung, # Interpretation und kritische Überprüfung. Die entwickelten Modelle werden mithilfe digitaler Werkzeuge wie LibreOffice Calc, GeoGebra und R erstellt, ausgewertet und visualisiert. == Zielsetzung == Die Lernressource verfolgt das Ziel, mathematische Modellbildung anhand einer gesellschaftlich und ökologisch relevanten Fragestellung zu vermitteln. Dabei werden mathematische Methoden mit Inhalten aus Chemie, Umweltwissenschaften, Geografie und gesellschaftspolitischen Fragestellungen verknüpft. Im Mittelpunkt stehen folgende Leitfragen: * Wie kann Verkehrsaufkommen mathematisch beschrieben werden? * Wie lässt sich eine räumliche Schadstoffbelastung modellieren? * Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Verkehr und Luftqualität? * Welche Annahmen und Vereinfachungen liegen einem mathematischen Modell zugrunde? * Wie können Messwerte, Funktionen und räumliche Daten miteinander verknüpft werden? * Wie können Modelle zur Unterstützung von Entscheidungen in Verkehrsplanung und Stadtentwicklung beitragen? * Wo liegen die Grenzen eines vereinfachten mathematischen Modells? Die berechneten Belastungswerte sind zunächst als relative Modellwerte zu verstehen. Sie stellen keine unmittelbar gemessenen Feinstaubkonzentrationen dar. == Bezug zu den Nachhaltigkeitszielen == Das Projekt lässt sich insbesondere mit den Nachhaltigkeitszielen 3, 11 und 13 der Vereinten Nationen verbinden. {| class="wikitable" ! Nachhaltigkeitsziel ! Bezug zum Projekt |- | '''SDG 3 – Gesundheit und Wohlergehen''' | Untersuchung möglicher gesundheitlicher Belastungen durch Feinstaub und Identifikation räumlicher Belastungsschwerpunkte. |- | '''SDG 11 – Nachhaltige Städte und Gemeinden''' | Analyse verkehrsbedingter Belastungszonen und Unterstützung einer nachhaltigen Verkehrs- und Stadtplanung. |- | '''SDG 13 – Maßnahmen zum Klimaschutz''' | Untersuchung verkehrsbedingter Emissionen und Diskussion möglicher Maßnahmen zur Verringerung von Schadstoffausstoß. |} === SDG 3: Gesundheit und Wohlergehen === Feinstaub kann die Atemwege und das Herz-Kreislauf-System belasten. Das Modell kann dazu beitragen, räumliche Belastungsschwerpunkte sichtbar zu machen. Auf dieser Grundlage können mögliche Maßnahmen zur Verringerung gesundheitlicher Risiken diskutiert werden. === SDG 11: Nachhaltige Städte und Gemeinden === Städte und Gemeinden sollen umweltverträglich, sicher und nachhaltig gestaltet werden. Die mathematische Modellierung kann dabei helfen, * stark belastete Verkehrsbereiche zu erkennen, * räumliche Unterschiede sichtbar zu machen, * mögliche Verkehrsmaßnahmen zu vergleichen, * nachhaltige Planungsentscheidungen zu diskutieren. === SDG 13: Maßnahmen zum Klimaschutz === Ein wichtiger Bestandteil des Klimaschutzes ist die Verringerung verkehrsbedingter Emissionen. Das Modell kann verwendet werden, um Bereiche mit einer erhöhten modellierten Belastung zu identifizieren und mögliche Maßnahmen wie Verkehrsverlagerung, Geschwindigkeitsbegrenzungen oder eine Verringerung des motorisierten Individualverkehrs zu diskutieren. == Modellierungszyklen und Bildungsstufen == Das Thema wird auf drei Bildungsstufen mit zunehmender mathematischer Komplexität behandelt. === Sekundarstufe I === In der Sekundarstufe I stehen die Erfassung und Auswertung von Verkehrsdaten im Mittelpunkt. Dabei werden unter anderem * Verkehrszählungen durchgeführt, * Daten in Tabellen erfasst, * Diagramme erstellt, * zeitliche Verläufe näherungsweise beschrieben, * Flächen durch Ober-, Unter- und Trapezsummen angenähert. '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 1|Zur Modellierung in der Sekundarstufe I]]''' [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz zur Sekundarstufe I] [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Sekundarstufe II === In der Sekundarstufe II wird die Modellierung durch funktionale Zusammenhänge und Methoden der Analysis erweitert. Mögliche Inhalte sind * Interpolation von Messwerten, * Beschreibung zeitabhängiger Verkehrsverläufe, * Integralrechnung, * Interpretation von Flächen unter Funktionsgraphen, * Vergleich unterschiedlicher Modellfunktionen. '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 2|Zur Modellierung in der Sekundarstufe II]]''' === Universitätsniveau === Auf Universitätsniveau wird ein räumliches Belastungsmodell für Annweiler am Trifels entwickelt. Dabei werden unter anderem * ein zweidimensionales Berechnungsraster, * künstliche Testquellen, * gaußförmige Ausbreitungsfunktionen, * Windrichtung und Windstärke, * reale Straßengeometrien, * unterschiedliche Straßenklassen, * diskretisierte Linienquellen, * eine interaktive Belastungskarte berücksichtigt. '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Uni Niveau|Zum räumlichen Feinstaubmodell auf Universitätsniveau]]''' == Zielgruppe == Die Lernressource richtet sich an: * Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I, * Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II, * Studierende mathematiknaher Lehramts- und Fachstudiengänge, * Lehrkräfte und Dozierende mit Interesse an mathematischer Modellbildung, * Lernende mit Interesse an Umwelt-, Verkehrs- und Nachhaltigkeitsthemen. == Kompetenzen == Durch die Bearbeitung der Lernressource können unter anderem folgende Kompetenzen gefördert werden: * reale Fragestellungen mathematisch strukturieren, * relevante und weniger relevante Einflussgrößen unterscheiden, * Daten erheben, ordnen und auswerten, * Tabellen, Diagramme und Funktionen interpretieren, * mathematische Modelle entwickeln, * Annahmen und Parameter begründen, * digitale Werkzeuge sachgerecht einsetzen, * Modellergebnisse kritisch interpretieren, * Grenzen und Erweiterungsmöglichkeiten eines Modells benennen, * mathematische Ergebnisse in einen gesellschaftlichen Kontext einordnen. == Aufgaben für Lernende und Studierende == Mögliche Arbeitsaufträge sind: * Verkehrsdaten erfassen und auswerten. * Verkehrsaufkommen zu unterschiedlichen Tageszeiten vergleichen. * Luftqualitätsdaten recherchieren und beurteilen. * Diagramme mit LibreOffice Calc erstellen. * Funktionen mit GeoGebra modellieren. * Flächen unter Graphen näherungsweise bestimmen. * Integrale im Kontext von Verkehrsaufkommen interpretieren. * Ein räumliches Raster für ein Untersuchungsgebiet entwickeln. * Punkt- und Linienquellen mathematisch modellieren. * Den Einfluss von Windrichtung und Quellenstärke untersuchen. * Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichten. * Modellergebnisse auf einer Karte visualisieren. * Auswirkungen verkehrspolitischer Maßnahmen diskutieren. * Annahmen des Modells kritisch reflektieren. * Verbesserungen und Erweiterungen des Modells entwickeln. == Grenzen der Lernressource == Die dargestellten Modelle vereinfachen die tatsächlichen physikalischen, chemischen und meteorologischen Prozesse deutlich. Insbesondere werden je nach Bildungsstufe nicht vollständig berücksichtigt: * wechselnde Windrichtungen, * unterschiedliche Wetterlagen, * topografische Einflüsse, * Gebäude und Straßenschluchten, * Tunnelabschnitte, * chemische Umwandlungsprozesse, * reale Emissionsfaktoren, * vollständige Messdaten zur Kalibrierung. Die Modelle dienen daher vor allem dazu, den Prozess mathematischer Modellbildung nachvollziehbar zu machen. == Literatur und Quellen == <references/> * Landeszentrale für politische Bildung Baden-Württemberg: [https://www.lpb-bw.de/17-sdgs Die 17 Nachhaltigkeitsziele]. Letzter Aufruf: 21.05.2026. * Deutsche Herzstiftung: [https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz Feinstaub – unterschätztes Risiko für das Herz]. Letzter Aufruf: 21.05.2026. == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Mathematische Modellierung]] * [[Feinstaub]] * [[Luftverschmutzung]] == Seiteninformation == Diese Lernressource kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' dargestellt werden. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' wurde für die Lerneinheit '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung]]''' erstellt. Der Link zu den Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erzeugt. * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Link zur Seite in Wikiversity] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator] [[Category:Wiki2Reveal]] == Einleitung == Feinstaub gehört zu den bedeutendsten luftgetragenen Schadstoffen in Städten und steht in Zusammenhang mit verschiedenen gesundheitlichen Risiken. Zu den wichtigsten Quellen zählen der Straßenverkehr, insbesondere Verbrennungsemissionen, Reifenabrieb und Bremsabrieb. Im Rahmen dieses Projekts soll die Schadstoffbelastung einer Stadt mathematisch modelliert werden. Ziel ist die Entwicklung eines Modells, das die Belastung in Abhängigkeit von Ort und Zeit beschreibt und anschließend visualisiert werden kann. Langfristig wird dazu eine Funktion :<math>L:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}_0^+</math> betrachtet, die jedem Ort (x,y) einer Stadt einen Belastungswert zuordnet. Die Modellierung erfolgt schrittweise über verschiedene Bildungsstufen und orientiert sich an den Prinzipien der mathematischen Modellbildung. Die entwickelten Modelle werden mithilfe digitaler Werkzeuge wie LibreOffice Calc, GeoGebra und Python visualisiert und analysiert. == Zielsetzung == Die Lernressource verfolgt das Ziel, mathematische Modellbildung anhand einer gesellschaftlich relevanten Fragestellung zu vermitteln. Dabei werden mathematische Methoden mit Inhalten aus Chemie, Umweltwissenschaften und gesellschaftspolitischen Fragestellungen verknüpft. Im Mittelpunkt stehen folgende Leitfragen: * Wie kann Verkehrsaufkommen mathematisch beschrieben werden? * Wie lässt sich die Belastung durch Feinstaub modellieren? * Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Verkehr und Luftqualität? * Welche Annahmen und Vereinfachungen liegen einem mathematischen Modell zugrunde? * Wie können Modelle zur Unterstützung von Entscheidungen in Politik und Stadtplanung beitragen? ==Nachhaltigkeitsziele== {| class="wikitable" ! SDG !! Bezug zum Projekt |- | SDG 3 – Gesundheit und Wohlergehen | Untersuchung gesundheitlicher Auswirkungen von Feinstaubbelastung. |- | SDG 11 – Nachhaltige Städte und Gemeinden | Analyse von Belastungszonen und Unterstützung nachhaltiger Verkehrsplanung. |- | SDG 13 – Maßnahmen zum Klimaschutz | Untersuchung verkehrsbedingter Emissionen und möglicher Reduktionsmaßnahmen. |} ====(SDG3) Gesundheit und Wohlergehen==== Zusammenhang mit Modell: Feinstaubbelastung wirkt sich auf Atemwege und Herz-Kreislauf-System aus -> Ziele des Projekts: Risikozonen feststellen und Hilfe für Maßnahmen zur Reduktion der Gefahren darbieten ====(SDG11) Nachhaltige Städte und Gemeinden==== Zusammenhang mit Modell: Städte sollen umweltfreundlicher und nachhaltiger werden -> das Projekt hilft bei Erkennung von Belastungzonen und hilft bei nachhaltiger Verkehrsplanung ====(SDG13) Maßnahmen zum Klimaschutz==== Zusammenhang mit Modell: Reduktion von Emissionen -> das Projekt hilft beim erkennen von Zonen mit hoher Belastung und kann zur Hand genommen werden, um Entscheidungen und Planungen zur Reduktion von Emissionen auf den Weg zu bringen == Modellierungszyklen == Das Thema wird auf drei Bildungsstufen behandelt. * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 1|Sekundarstufe 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Sekundarstufe 2/]] * [[/Uni Niveau/]] == Zielgruppe == Die Lernressource richtet sich an: * Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I * Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II * Studierende mathematiknaher Lehramts- und Fachstudiengänge * Lehrkräfte und Dozierende mit Interesse an mathematischer Modellbildung == Aufgaben für Lernende und Studierende == Mögliche Arbeitsaufträge: * Verkehrsdaten erfassen und auswerten. * Luftqualitätsdaten recherchieren und analysieren. * Diagramme mit LibreOffice Calc erstellen. * Funktionen in GeoGebra modellieren. * Flächen unter Graphen näherungsweise bestimmen. * Integrale interpretieren und berechnen. * Modelle kritisch reflektieren und verbessern. * Auswirkungen verkehrspolitischer Maßnahmen diskutieren. == Literatur/Quellennachweise == <references/> https://www.lpb-bw.de/17-sdgs?shem=rimspwouoe (letzter Aufruf: 21.05.2026) https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz (letzter Aufruf: 21.05.2026) == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6ijw2qw4kyw6q2yqzxacxhyjdmoba8o 1108852 1108851 2026-07-24T07:36:35Z Felix Bohl 41569 /* Schadstoffbelastung Stadt */ 1108852 wikitext text/x-wiki =Schadstoffbelastung Stadt= == Einleitung == Feinstaub gehört zu den bedeutendsten luftgetragenen Schadstoffen in Städten und kann mit verschiedenen gesundheitlichen Belastungen in Verbindung stehen. Zu den wichtigen Quellen zählen insbesondere der Straßenverkehr sowie Verbrennungsprozesse, Reifenabrieb und Bremsabrieb. Im Rahmen dieses Projektes wird untersucht, wie eine räumliche Schadstoffbelastung mathematisch modelliert werden kann. Im Mittelpunkt steht die Frage, wie Verkehrsdaten, Straßenverläufe und weitere Einflussgrößen in ein mathematisches Modell überführt und anschließend grafisch dargestellt werden können. Langfristig wird dazu eine Funktion :<math> L:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}_{\geq 0} </math> betrachtet, die jedem Ort <math>(x,y)</math> eines Untersuchungsgebietes einen Belastungswert zuordnet. Der Wert :<math> L(x,y) </math> beschreibt dabei die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Die Modellierung erfolgt schrittweise auf verschiedenen Bildungsstufen und orientiert sich an den Phasen mathematischer Modellbildung: # Beschreibung einer realen Problemsituation, # Auswahl relevanter Einflussgrößen, # Formulierung mathematischer Annahmen, # Entwicklung eines mathematischen Modells, # Berechnung und Visualisierung, # Interpretation und kritische Überprüfung. Die entwickelten Modelle werden mithilfe digitaler Werkzeuge wie LibreOffice Calc, GeoGebra und R erstellt, ausgewertet und visualisiert. == Zielsetzung == Die Lernressource verfolgt das Ziel, mathematische Modellbildung anhand einer gesellschaftlich und ökologisch relevanten Fragestellung zu vermitteln. Dabei werden mathematische Methoden mit Inhalten aus Chemie, Umweltwissenschaften, Geografie und gesellschaftspolitischen Fragestellungen verknüpft. Im Mittelpunkt stehen folgende Leitfragen: * Wie kann Verkehrsaufkommen mathematisch beschrieben werden? * Wie lässt sich eine räumliche Schadstoffbelastung modellieren? * Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Verkehr und Luftqualität? * Welche Annahmen und Vereinfachungen liegen einem mathematischen Modell zugrunde? * Wie können Messwerte, Funktionen und räumliche Daten miteinander verknüpft werden? * Wie können Modelle zur Unterstützung von Entscheidungen in Verkehrsplanung und Stadtentwicklung beitragen? * Wo liegen die Grenzen eines vereinfachten mathematischen Modells? Die berechneten Belastungswerte sind zunächst als relative Modellwerte zu verstehen. Sie stellen keine unmittelbar gemessenen Feinstaubkonzentrationen dar. == Bezug zu den Nachhaltigkeitszielen == Das Projekt lässt sich insbesondere mit den Nachhaltigkeitszielen 3, 11 und 13 der Vereinten Nationen verbinden. {| class="wikitable" ! Nachhaltigkeitsziel ! Bezug zum Projekt |- | '''SDG 3 – Gesundheit und Wohlergehen''' | Untersuchung möglicher gesundheitlicher Belastungen durch Feinstaub und Identifikation räumlicher Belastungsschwerpunkte. |- | '''SDG 11 – Nachhaltige Städte und Gemeinden''' | Analyse verkehrsbedingter Belastungszonen und Unterstützung einer nachhaltigen Verkehrs- und Stadtplanung. |- | '''SDG 13 – Maßnahmen zum Klimaschutz''' | Untersuchung verkehrsbedingter Emissionen und Diskussion möglicher Maßnahmen zur Verringerung von Schadstoffausstoß. |} === SDG 3: Gesundheit und Wohlergehen === Feinstaub kann die Atemwege und das Herz-Kreislauf-System belasten. Das Modell kann dazu beitragen, räumliche Belastungsschwerpunkte sichtbar zu machen. Auf dieser Grundlage können mögliche Maßnahmen zur Verringerung gesundheitlicher Risiken diskutiert werden. === SDG 11: Nachhaltige Städte und Gemeinden === Städte und Gemeinden sollen umweltverträglich, sicher und nachhaltig gestaltet werden. Die mathematische Modellierung kann dabei helfen, * stark belastete Verkehrsbereiche zu erkennen, * räumliche Unterschiede sichtbar zu machen, * mögliche Verkehrsmaßnahmen zu vergleichen, * nachhaltige Planungsentscheidungen zu diskutieren. === SDG 13: Maßnahmen zum Klimaschutz === Ein wichtiger Bestandteil des Klimaschutzes ist die Verringerung verkehrsbedingter Emissionen. Das Modell kann verwendet werden, um Bereiche mit einer erhöhten modellierten Belastung zu identifizieren und mögliche Maßnahmen wie Verkehrsverlagerung, Geschwindigkeitsbegrenzungen oder eine Verringerung des motorisierten Individualverkehrs zu diskutieren. == Modellierungszyklen und Bildungsstufen == Das Thema wird auf drei Bildungsstufen mit zunehmender mathematischer Komplexität behandelt. === Sekundarstufe I === In der Sekundarstufe I stehen die Erfassung und Auswertung von Verkehrsdaten im Mittelpunkt. Dabei werden unter anderem * Verkehrszählungen durchgeführt, * Daten in Tabellen erfasst, * Diagramme erstellt, * zeitliche Verläufe näherungsweise beschrieben, * Flächen durch Ober-, Unter- und Trapezsummen angenähert. '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 1|Zur Modellierung in der Sekundarstufe I]]''' [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz zur Sekundarstufe I] [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Sekundarstufe II === In der Sekundarstufe II wird die Modellierung durch funktionale Zusammenhänge und Methoden der Analysis erweitert. Mögliche Inhalte sind * Interpolation von Messwerten, * Beschreibung zeitabhängiger Verkehrsverläufe, * Integralrechnung, * Interpretation von Flächen unter Funktionsgraphen, * Vergleich unterschiedlicher Modellfunktionen. '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Sekundarstufe 2|Zur Modellierung in der Sekundarstufe II]]''' === Universitätsniveau === Auf Universitätsniveau wird ein räumliches Belastungsmodell für Annweiler am Trifels entwickelt. Dabei werden unter anderem * ein zweidimensionales Berechnungsraster, * künstliche Testquellen, * gaußförmige Ausbreitungsfunktionen, * Windrichtung und Windstärke, * reale Straßengeometrien, * unterschiedliche Straßenklassen, * diskretisierte Linienquellen, * eine interaktive Belastungskarte berücksichtigt. '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung Stadt/Uni Niveau|Zum räumlichen Feinstaubmodell auf Universitätsniveau]]''' == Zielgruppe == Die Lernressource richtet sich an: * Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I, * Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II, * Studierende mathematiknaher Lehramts- und Fachstudiengänge, * Lehrkräfte und Dozierende mit Interesse an mathematischer Modellbildung, * Lernende mit Interesse an Umwelt-, Verkehrs- und Nachhaltigkeitsthemen. == Kompetenzen == Durch die Bearbeitung der Lernressource können unter anderem folgende Kompetenzen gefördert werden: * reale Fragestellungen mathematisch strukturieren, * relevante und weniger relevante Einflussgrößen unterscheiden, * Daten erheben, ordnen und auswerten, * Tabellen, Diagramme und Funktionen interpretieren, * mathematische Modelle entwickeln, * Annahmen und Parameter begründen, * digitale Werkzeuge sachgerecht einsetzen, * Modellergebnisse kritisch interpretieren, * Grenzen und Erweiterungsmöglichkeiten eines Modells benennen, * mathematische Ergebnisse in einen gesellschaftlichen Kontext einordnen. == Aufgaben für Lernende und Studierende == Mögliche Arbeitsaufträge sind: * Verkehrsdaten erfassen und auswerten. * Verkehrsaufkommen zu unterschiedlichen Tageszeiten vergleichen. * Luftqualitätsdaten recherchieren und beurteilen. * Diagramme mit LibreOffice Calc erstellen. * Funktionen mit GeoGebra modellieren. * Flächen unter Graphen näherungsweise bestimmen. * Integrale im Kontext von Verkehrsaufkommen interpretieren. * Ein räumliches Raster für ein Untersuchungsgebiet entwickeln. * Punkt- und Linienquellen mathematisch modellieren. * Den Einfluss von Windrichtung und Quellenstärke untersuchen. * Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichten. * Modellergebnisse auf einer Karte visualisieren. * Auswirkungen verkehrspolitischer Maßnahmen diskutieren. * Annahmen des Modells kritisch reflektieren. * Verbesserungen und Erweiterungen des Modells entwickeln. == Grenzen der Lernressource == Die dargestellten Modelle vereinfachen die tatsächlichen physikalischen, chemischen und meteorologischen Prozesse deutlich. Insbesondere werden je nach Bildungsstufe nicht vollständig berücksichtigt: * wechselnde Windrichtungen, * unterschiedliche Wetterlagen, * topografische Einflüsse, * Gebäude und Straßenschluchten, * Tunnelabschnitte, * chemische Umwandlungsprozesse, * reale Emissionsfaktoren, * vollständige Messdaten zur Kalibrierung. Die Modelle dienen daher vor allem dazu, den Prozess mathematischer Modellbildung nachvollziehbar zu machen. == Literatur und Quellen == <references/> * Landeszentrale für politische Bildung Baden-Württemberg: [https://www.lpb-bw.de/17-sdgs Die 17 Nachhaltigkeitsziele]. Letzter Aufruf: 21.05.2026. * Deutsche Herzstiftung: [https://herzstiftung.de/service-und-aktuelles/presse/pressemitteilungen/archiv/feinstaub-unterschaetztes-risiko-fuer-herz Feinstaub – unterschätztes Risiko für das Herz]. Letzter Aufruf: 21.05.2026. == Siehe auch == * [[Kurs:Mathematische Modellbildung]] * [[Wiki2Reveal]] * [[Mathematische Modellierung]] * [[Feinstaub]] * [[Luftverschmutzung]] == Seiteninformation == Diese Lernressource kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' dargestellt werden. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' wurde für die Lerneinheit '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung]]''' erstellt. Der Link zu den Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erzeugt. * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt Link zur Seite in Wikiversity] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Schadstoffbelastung%20Stadt&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator] [[Category:Wiki2Reveal]] 5qo9dcoubjqcmp16clkt1huc8rd1lqr 106 170342 1108775 1108601 2026-07-23T12:51:48Z Björn Henrich 41518 /* Literatur/Quellennachweise */ 1108775 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== Die Standortwahl für Windkraftanlagen wird auf drei unterschiedlichen Niveaus modelliert: *[[/Sekundarstufe 1/]] *[[/Sekundarstufe 2/]] *[[/Uni-Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach Mathematik (insbesondere Lehramtsstudierende) * Schüler:innen im Fach Mathematik == Literatur/Quellennachweise == <references/> * Windleistungsformel aus dem Zyklus der Sekundarstufe 2: https://iwer.info/article/Sonstiges/Windleistung-Windenergie-berechnen/index.html (zuletzt abgerufen am 22.07.2026) *Unterrichtsmethode "Explizites Bewerten" aus dem Zyklus der Sekundarstufe 1: Bögeholz, S. (2007). Bewertungskompetenz für systematisches Entscheiden in komplexen Gestaltungssituationen Nachhaltiger Entwicklung. In D. Krüger & H. Vogt (Hrsg.), Springer-Lehrbuch. Theorien in der biologiedidaktischen Forschung: Ein Handbuch für Lehramtsstudenten und Doktoranden : mit 26 Abbildungen und 12 Tabellen (S. 209–220). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-540-68166-3_19 == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pa1hgvnszweg5lntfibp4ltqslr1yiv 106 170345 1108822 1108578 2026-07-23T16:43:39Z Felix Bohl 41569 /* Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels */ 1108822 wikitext text/x-wiki =Uni Niveau= =Gliederung= = Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels = == Zielsetzung und Fragestellung == Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines räumlichen mathematischen Modells zur Beschreibung einer möglichen Schadstoffbelastung im Gebiet von Annweiler am Trifels. Die zentrale Fragestellung lautet: :''Wie kann die räumliche Verteilung einer verkehrsbedingten Schadstoffbelastung in Annweiler mithilfe eines mathematischen Modells beschrieben und auf einer interaktiven Karte dargestellt werden?'' Dazu wird das Untersuchungsgebiet in ein regelmäßiges Raster zerlegt. Jeder Rasterzelle wird ein modellierter Belastungswert zugeordnet. Die Belastungswerte werden anschließend farbig auf einer Karte dargestellt. Durch Anklicken einer Rasterzelle kann der zugehörige Wert abgerufen werden. Das Modell soll schrittweise erweitert werden. Zunächst werden einzelne Punktquellen betrachtet. Anschließend werden reale Straßenverläufe als Linienquellen integriert. Weitere Einflussgrößen wie Straßenart, Wind, Tunnelabschnitte und später möglicherweise die Topographie werden nach und nach ergänzt. Das Ziel besteht nicht darin, unmittelbar ein vollständig physikalisches Ausbreitungsmodell zu entwickeln. Vielmehr soll nachvollziehbar untersucht werden, wie aus einer realen Fragestellung schrittweise ein berechenbares mathematisches Modell entsteht. Die derzeit berechneten Werte stellen deshalb einen relativen Belastungsindex dar. Sie sind noch nicht als reale PM₂,₅-Konzentrationen in <math>\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> zu interpretieren. == Grundidee des mathematischen Modells == Das Untersuchungsgebiet wird als zweidimensionaler Bereich :<math>\Omega\subset\mathbb R^2</math> aufgefasst. Jedem Punkt <math>(x,y)\in\Omega</math> wird ein nichtnegativer Belastungswert zugeordnet. Dadurch entsteht eine räumliche Belastungsfunktion :<math> B:\Omega\longrightarrow\mathbb R_{\geq 0}. </math> Der Wert :<math>B(x,y)</math> beschreibt die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Das Grundmodell setzt sich aus einer Hintergrundbelastung und den Beiträgen einzelner Quellen zusammen: :<math> B(x,y) = B_0+ \sum_{i=1}^{m}Q_i(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>Q_i(x,y)</math> den Beitrag der <math>i</math>-ten Schadstoffquelle, * <math>m</math> die Anzahl der berücksichtigten Quellen. Später werden die Quellen in zwei Gruppen unterteilt: <math> B(x,y) = B_0 + \sum_{i=1}^{m} Q_i^{\mathrm{Strasse}}(x,y) + \sum_{j=1}^{k} Q_j^{\mathrm{Punkt}}(x,y) </math> Die Straßen werden dabei als Linienquellen modelliert. Tunnelportale, Ampeln oder industrielle Anlagen können als zusätzliche Punktquellen berücksichtigt werden. == Wahl des Untersuchungsgebietes und des Koordinatensystems == Als Mittelpunkt des Untersuchungsgebietes werden näherungsweise die geografischen Koordinaten von Annweiler am Trifels verwendet: :<math> \lambda=7{,}967^\circ,\qquad \varphi=49{,}200^\circ. </math> Geografische Längen- und Breitengrade sind für Entfernungsberechnungen jedoch ungeeignet, da sie keine metrischen Koordinaten darstellen. Deshalb werden die Koordinaten in das Bezugssystem ETRS89 / UTM-Zone 32N transformiert. Im R-Code wird dafür das Koordinatenreferenzsystem EPSG:25832 verwendet: <syntaxhighlight lang="r"> zentrum <- st_sfc( st_point(c(annweiler_lon, annweiler_lat)), crs = 4326 ) zentrum_utm <- st_transform( zentrum, 25832 ) </syntaxhighlight> Nach der Transformation werden Entfernungen in Metern angegeben. Dadurch können Rasterweiten, Straßenlängen und Ausbreitungsentfernungen direkt miteinander verrechnet werden. Das Untersuchungsgebiet wird zunächst als Rechteck mit einer Breite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Höhe von <math>6000\,\mathrm m</math> modelliert. == Hinzufügen eines Rasters == Die Belastungsfunktion <math>B(x,y)</math> kann nicht an jedem Punkt eines kontinuierlichen Gebietes einzeln berechnet werden. Deshalb wird das Untersuchungsgebiet diskretisiert. Das rechteckige Gebiet wird in quadratische Rasterzellen mit einer Seitenlänge von :<math>h=50\,\mathrm m</math> zerlegt. Bei einer Gebietsbreite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Gebietshöhe von <math>6000\,\mathrm m</math> entstehen theoretisch :<math> \frac{7000}{50}\cdot\frac{6000}{50} = 140\cdot120 = 16800 </math> Rasterzellen. Jede Rasterzelle besitzt einen Mittelpunkt :<math> P_{ij}=(x_i,y_j). </math> Der Belastungswert der gesamten Zelle wird durch den Wert am Mittelpunkt angenähert: :<math> B_{ij}\approx B(x_i,y_j). </math> Die Belastungswerte können dadurch in einer Matrix angeordnet werden: :<math> M= \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1n}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ B_{m1}&B_{m2}&\cdots&B_{mn} \end{pmatrix}. </math> Jeder Eintrag der Matrix entspricht genau einer räumlichen Rasterzelle. Im Programm wird das Raster mit der Funktion <code>st_make_grid()</code> erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_geometrie <- st_make_grid( gebiet, cellsize = rasterweite, what = "polygons", square = TRUE ) raster <- st_sf( id = seq_along(raster_geometrie), geometry = raster_geometrie ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Mittelpunkte der Rasterzellen bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> rasterpunkte <- st_centroid( st_geometry(raster) ) rasterkoordinaten <- st_coordinates( rasterpunkte ) raster$x <- rasterkoordinaten[, "X"] raster$y <- rasterkoordinaten[, "Y"] </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diskretisierung des Untersuchungsgebietes durch ein 50-m-Raster </div> [[Datei:01_Berechnungsraster.png|700px|zentriert|Raster des Untersuchungsgebietes um Annweiler.]] == Erste Modellstufe: einzelne Testquellen == Bevor das reale Straßennetz berücksichtigt wird, wird die Ausbreitungsfunktion zunächst mithilfe einzelner Testquellen untersucht. Dazu werden vier modellierte Punktquellen verwendet: * westliche Testquelle, * östliche Testquelle, * südöstliche Testquelle, * zentrale Testquelle. Die Bezeichnungen orientieren sich zunächst an möglichen späteren Anwendungen wie Tunnelportalen, Industrie oder einer Ampel. Die Positionen und Quellenstärken sind jedoch noch keine real erhobenen Daten. Die Testquellen besitzen zwei Funktionen: # Sie ermöglichen eine erste Überprüfung der Ausbreitungsfunktion. # Sie machen sichtbar, wie sich Windrichtung, Quellenstärke und Entfernung auf das Belastungsfeld auswirken. Die Testquellen stellen damit Kontrollpunkte des Modells dar. An ihnen kann geprüft werden, ob eine stärkere Quelle tatsächlich eine größere Belastung erzeugt und ob sich die Belastung überwiegend in der festgelegten Windrichtung ausbreitet. <syntaxhighlight lang="r"> quellen <- data.frame( name = c( "Westliches Tunnelportal", "Östliches Tunnelportal", "Industrie", "Ampel" ), x = c( zentrum_x - 1800, zentrum_x + 1100, zentrum_x + 1800, zentrum_x - 300 ), y = c( zentrum_y + 500, zentrum_y + 300, zentrum_y - 1700, zentrum_y - 400 ), staerke = c( 25, 25, 15, 10 ) ) </syntaxhighlight> == Zweite Modellstufe: kreisförmige Ausbreitung ohne Wind == Nachdem die Positionen der Testquellen festgelegt wurden, wird im nächsten Schritt eine erste räumliche Ausbreitungsfunktion eingeführt. Zunächst wird angenommen, dass sich die von einer Punktquelle ausgehende Belastung in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Wind, Gelände, Bebauung und weitere äußere Einflüsse werden in dieser Modellstufe noch nicht berücksichtigt. Die Ausbreitung ist daher radialsymmetrisch. Das bedeutet, dass der Quellenbeitrag nur vom Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt abhängt. === Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt === Eine Punktquelle befinde sich am Ort :<math> Q=(x_Q,y_Q). </math> Ein Rasterpunkt besitzt die Koordinaten :<math> P=(x,y). </math> Der euklidische Abstand zwischen beiden Punkten beträgt :<math> r = \sqrt{ (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 }. </math> Da in der später verwendeten Exponentialfunktion das Quadrat des Abstandes benötigt wird, kann direkt mit :<math> r^2 = (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 </math> gerechnet werden. === Gaußförmige Ausbreitung === Für den Beitrag einer Quelle wird zunächst eine gaußförmige Abnahme angenommen: :<math> Q(x,y) = S\cdot \exp\left( -\frac{ (x-x_Q)^2+(y-y_Q)^2 }{ 2\sigma^2 } \right). </math> Dabei bezeichnet * <math>S</math> die Stärke der Quelle, * <math>\sigma</math> die räumliche Streuung beziehungsweise Reichweite, * <math>Q(x,y)</math> den modellierten Quellenbeitrag am Rasterpunkt <math>(x,y)</math>. Direkt am Standort der Quelle gilt :<math> x=x_Q,\qquad y=y_Q. </math> Damit wird der Exponent gleich null und es folgt :<math> Q(x_Q,y_Q)=S. </math> Die maximale Belastung einer einzelnen Quelle entspricht somit ihrer Quellenstärke. Mit zunehmendem Abstand wird der Exponent negativ. Dadurch nimmt der Quellenbeitrag exponentiell ab. Der Parameter <math>\sigma</math> steuert die Breite des Belastungsfeldes: * Ein kleines <math>\sigma</math> führt zu einer stark lokal begrenzten Belastung. * Ein großes <math>\sigma</math> führt zu einer weiter reichenden Ausbreitung. Im ersten Testmodell wird beispielsweise :<math> \sigma=350\,\mathrm m </math> verwendet. === Umsetzung im R-Code === Die radialsymmetrische Ausbreitung wird als eigene Funktion programmiert: <syntaxhighlight lang="r"> kreisfoermiger_beitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke, sigma = 350 ) { abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) return(beitrag) } </syntaxhighlight> Die Funktion erhält die Koordinaten aller Rasterpunkte sowie die Position und Stärke einer Quelle. Zunächst wird das Quadrat des Abstandes berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 </syntaxhighlight> Anschließend wird der gaußförmige Quellenbeitrag bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) </syntaxhighlight> === Überlagerung mehrerer Quellen === Da vier Testquellen vorhanden sind, wird der Beitrag jeder Quelle einzeln berechnet. Die Gesamtbelastung der Testquellen ergibt sich durch Addition: :<math> B_{\mathrm{Test}}(x,y) = \sum_{i=1}^{4}Q_i(x,y). </math> Dieses Vorgehen entspricht dem Superpositionsprinzip. Jeder Quellenbeitrag wird unabhängig berechnet und anschließend zur Gesamtbelastung addiert. Im R-Code wird zunächst für jede Rasterzelle der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$testbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Testquellen nacheinander addiert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(quellen))) { beitrag_i <- kreisfoermiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = quellen$x[i], quelle_y = quellen$y[i], staerke = quellen$staerke[i] ) raster$testbelastung <- raster$testbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Jeder Rasterzelle wird dadurch ein Belastungswert zugeordnet. === Interpretation der ersten Ausbreitung === Das resultierende Belastungsfeld besitzt um jede Quelle annähernd kreisförmige Konturen. Quellen mit einer größeren Quellenstärke erzeugen höhere Belastungswerte. In Bereichen, in denen sich die Belastungsfelder mehrerer Quellen überlagern, addieren sich ihre Beiträge. Diese erste Modellstufe ist mathematisch übersichtlich und eignet sich gut, um die grundsätzliche Berechnung zu überprüfen. Sie besitzt jedoch eine deutliche Einschränkung: In der Realität breiten sich Schadstoffe nicht in alle Richtungen gleichmäßig aus. Insbesondere der Wind führt dazu, dass Schadstoffe überwiegend in eine bestimmte Richtung transportiert werden. Diese Beobachtung motiviert die nächste Erweiterung des Modells. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kreisförmige Ausbreitung der vier Testquellen ohne Wind </div> [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|700px|zentriert|Modellierte Belastung der vier Testquellen ohne Berücksichtigung des Windes.]] == Dritte Modellstufe: Berücksichtigung des Windes == Im vorherigen Modell wurde eine gleichmäßige Ausbreitung in alle Raumrichtungen angenommen. Diese Annahme ist für eine reale Schadstoffausbreitung nur eingeschränkt geeignet. Wind transportiert Schadstoffe bevorzugt in eine bestimmte Richtung. Deshalb wird das radialsymmetrische Modell nun zu einer gerichteten Ausbreitungsfunktion erweitert. Ziel dieser Modellstufe ist es, aus den kreisförmigen Belastungsfeldern längliche Schadstofffahnen zu erzeugen. === Windrichtung und Ausbreitungsrichtung === Im Modell wird nicht die meteorologische Herkunftsrichtung des Windes angegeben, sondern die Richtung, in welche die Schadstoffe transportiert werden. Ein Winkel von * <math>0^\circ</math> beschreibt eine Ausbreitung nach Osten, * <math>90^\circ</math> eine Ausbreitung nach Norden, * <math>180^\circ</math> eine Ausbreitung nach Westen, * <math>270^\circ</math> eine Ausbreitung nach Süden. Im Programm wird beispielsweise eine Ausbreitungsrichtung von :<math> \alpha=70^\circ </math> gewählt. Da die trigonometrischen Funktionen in R mit dem Bogenmaß arbeiten, erfolgt die Umrechnung durch :<math> \alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha_{\mathrm{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}. </math> Im R-Code lautet dies: <syntaxhighlight lang="r"> ausbreitungsrichtung_grad <- 70 ausbreitungsrichtung_rad <- ausbreitungsrichtung_grad * pi / 180 </syntaxhighlight> === Zerlegung des Abstandsvektors === Für eine Quelle am Punkt :<math> Q=(x_Q,y_Q) </math> und einen Rasterpunkt :<math> P=(x,y) </math> wird zunächst der Differenzvektor berechnet: :<math> \Delta x=x-x_Q, </math> :<math> \Delta y=y-y_Q. </math> Dieser Vektor wird anschließend in zwei Richtungen zerlegt: * eine Komponente parallel zur Ausbreitungsrichtung, * eine Komponente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die parallele Komponente lautet :<math> s = \Delta x\cos(\alpha) + \Delta y\sin(\alpha). </math> Die senkrechte Komponente lautet :<math> q = -\Delta x\sin(\alpha) + \Delta y\cos(\alpha). </math> Dabei bezeichnet * <math>s</math> den Abstand längs der Ausbreitungsrichtung, * <math>q</math> den Abstand quer zur Ausbreitungsrichtung. Mathematisch entspricht diese Berechnung einer Drehung des Koordinatensystems. Im R-Code wird die Transformation folgendermaßen umgesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) </syntaxhighlight> === Abnahme längs der Ausbreitungsrichtung === Mit zunehmender Entfernung von der Quelle soll der Belastungsbeitrag abnehmen. Dazu wird eine exponentielle Abnahme verwendet: :<math> A_{\parallel}(s) = \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right). </math> Der Parameter <math>\lambda</math> bestimmt die Reichweite entlang der Ausbreitungsrichtung. Im aktuellen Modell wird <math>\lambda</math> zusätzlich von der Windstärke abhängig gemacht: :<math> \lambda = 140+60v. </math> Dabei bezeichnet <math>v</math> die modellierte Windgeschwindigkeit. Im R-Code wird die Abnahme durch <syntaxhighlight lang="r"> abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) </syntaxhighlight> beschrieben. === Ausbreitung quer zur Windrichtung === Quer zur Windrichtung wird weiterhin eine Gaußfunktion verwendet: :<math> A_{\perp}(q) = \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die Breite der Schadstofffahne ist jedoch nicht konstant. Sie soll mit zunehmender Entfernung windabwärts wachsen. Dazu wird :<math> \sigma_{\perp} = 25 + 0{,}025\max(s,0) + 7v </math> verwendet. Die Funktion <math>\max(s,0)</math> sorgt dafür, dass nur die Entfernung in Ausbreitungsrichtung berücksichtigt wird. Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke </syntaxhighlight> Die gaußförmige Querverteilung ergibt sich durch <syntaxhighlight lang="r"> verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) </syntaxhighlight> === Verringerung entgegen der Windrichtung === Punkte mit :<math> s\geq0 </math> liegen in Ausbreitungsrichtung. Punkte mit :<math> s<0 </math> liegen entgegen der Ausbreitungsrichtung. Da sich Schadstoffe zwar überwiegend windabwärts ausbreiten, aber eine geringe Belastung auch windaufwärts möglich sein kann, wird ein Richtungsfaktor eingeführt: :<math> R(s) = \begin{cases} 1,&s\geq0,\\ 0{,}03,&s<0. \end{cases} </math> Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) </syntaxhighlight> === Gesamter Beitrag einer windabhängigen Punktquelle === Der Beitrag einer Quelle mit Stärke <math>S</math> ergibt sich damit aus dem Produkt der einzelnen Faktoren: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot A_{\parallel}(s) \cdot A_{\perp}(q). </math> Ausgeschrieben lautet die Modellfunktion: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die entsprechende R-Funktion lautet: <syntaxhighlight lang="r"> quellenbeitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke ) { delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) beitrag <- staerke * richtungsfaktor * abnahme_laengs * verteilung_quer return(beitrag) } </syntaxhighlight> === Vergleich des Modells ohne und mit Wind === Durch die Berücksichtigung der Windrichtung verändert sich die Form des Belastungsfeldes deutlich. Ohne Wind entstehen um die Quellen annähernd kreisförmige Bereiche. Mit Wind werden die Belastungsfelder in Ausbreitungsrichtung verlängert. Entgegen der Windrichtung ist der Beitrag dagegen stark reduziert. Dieser Vergleich zeigt, wie bereits die Ergänzung eines einzelnen Einflussfaktors die Modellergebnisse wesentlich verändert. <div style="display:flex; justify-content:center; gap:20px; flex-wrap:wrap;"> <div style="text-align:center;"> '''Ohne Wind''' [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|500px|Kreisförmige Ausbreitung ohne Wind.]] </div> <div style="text-align:center;"> '''Mit Wind''' [[Datei:04 Windabhaengige Ausbreitung.png|500px|Gerichtete Ausbreitung unter Berücksichtigung des Windes.]] </div> </div> == Vierte Modellstufe: Straßen als Linienquellen == Die bisherigen Testquellen stellen einzelne Punkte dar. Der Straßenverkehr erzeugt Schadstoffe jedoch nicht nur an einzelnen Orten, sondern entlang des gesamten Straßenverlaufs. Straßen werden deshalb im nächsten Schritt als Linienquellen modelliert. === Import des realen Straßennetzes === Die Straßenverläufe werden aus OpenStreetMap-Daten übernommen. Dazu wird eine zuvor heruntergeladene GeoJSON-Datei verwendet. Die Datei enthält neben den Geometrien auch Eigenschaften der Straßen, beispielsweise * die OSM-Straßenklasse <code>highway</code>, * die Straßenbezeichnung <code>ref</code>, * die Information, ob ein Abschnitt als Tunnel gekennzeichnet ist. Die Datei wird in R mit der Funktion <code>st_read()</code> geladen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_sf <- st_read( strassen_datei, quiet = TRUE ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Straßendaten in das metrische Koordinatensystem EPSG:25832 transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- st_transform( strassen_sf, 25832 ) </syntaxhighlight> Nur die Straßen innerhalb des Untersuchungsgebietes werden weiterverwendet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_intersection( strassen_utm, gebiet ) ) </syntaxhighlight> === Geometrische Aufbereitung === OpenStreetMap-Daten können verschiedene Geometrietypen enthalten. Für die weitere Modellierung werden jedoch einzelne Linienzüge vom Typ <code>LINESTRING</code> benötigt. Deshalb werden mehrteilige Linien in einzelne Linien zerlegt: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_collection_extract( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) strassen_utm <- suppressWarnings( st_cast( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) </syntaxhighlight> Leere oder ungültige Geometrien werden entfernt beziehungsweise repariert. === Auswahl relevanter Straßen === Nicht jede in OpenStreetMap enthaltene Linie ist für die verkehrsbedingte Belastung gleichermaßen relevant. Daher werden nur ausgewählte Straßenklassen berücksichtigt: <syntaxhighlight lang="r"> relevante_strassentypen <- c( "motorway", "motorway_link", "trunk", "trunk_link", "primary", "primary_link", "secondary", "secondary_link", "tertiary", "tertiary_link", "residential", "unclassified", "living_street", "service" ) </syntaxhighlight> Andere Wege, beispielsweise reine Fußwege oder Waldpfade, werden im aktuellen Modell nicht als Emissionsquellen behandelt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Importiertes Straßennetz im Untersuchungsgebiet </div> [[Datei:05 Strassennetz Annweiler.png|700px|zentriert|Aus OpenStreetMap importierte Straßen im Untersuchungsgebiet.]] == Fünfte Modellstufe: Gewichtung der Straßen == Die verschiedenen Straßen im Untersuchungsgebiet weisen sehr unterschiedliche Verkehrsaufkommen auf. Eine stark befahrene Bundesstraße mit einem hohen Anteil an Personen- und Lastkraftwagen verursacht grundsätzlich mehr verkehrsbedingte Emissionen als eine kleine Wohn- oder Zufahrtsstraße. Da für die aktuelle Modellversion noch keine vollständigen Verkehrszählungen für alle Straßenabschnitte vorliegen, wird zunächst eine relative Gewichtung anhand der OSM-Straßenklasse vorgenommen. Die Gewichtungswerte sind dimensionslose Modellparameter. Sie stellen keine realen Emissionsmengen dar, sondern beschreiben lediglich die relative Bedeutung der Straßen innerhalb des Modells. === Relative Linienquellenstärke === Jeder Straße wird abhängig von ihrer OSM-Klasse eine relative Linienquellenstärke zugeordnet. Im aktuellen Modell werden folgende Werte verwendet: {| class="wikitable" ! OSM-Straßenklasse ! Modellierte Linienquellenstärke |- | <code>motorway</code> | 10 |- | <code>motorway_link</code> | 7 |- | <code>trunk</code> | 10 |- | <code>trunk_link</code> | 7 |- | <code>primary</code> | 6 |- | <code>primary_link</code> | 5 |- | <code>secondary</code> | 4 |- | <code>secondary_link</code> | 3,5 |- | <code>tertiary</code> | 3 |- | <code>tertiary_link</code> | 2,5 |- | <code>residential</code> | 1,5 |- | <code>unclassified</code> | 1,5 |- | <code>living_street</code> | 1 |- | <code>service</code> | 0,5 |} Die Zuordnung erfolgt im R-Code zunächst durch das Anlegen einer neuen Variablen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke <- 0 </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Straßenklasse ein Wert zugewiesen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary" ] <- 6 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary_link" ] <- 5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary" ] <- 4 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary_link" ] <- 3.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary" ] <- 3 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary_link" ] <- 2.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "residential" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "unclassified" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "living_street" ] <- 1 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "service" ] <- 0.5 </syntaxhighlight> Stark befahrene überregionale Straßen erhalten somit hohe Werte. Wohn- und Nebenstraßen werden deutlich schwächer gewichtet. === Besondere Gewichtung der B10 === Die Bundesstraße B10 stellt im Untersuchungsgebiet die wichtigste Verkehrsachse dar. Auf ihr wird ein deutlich höheres Verkehrsaufkommen und insbesondere ein größerer Lastkraftwagenanteil angenommen. Deshalb wird die B10 zusätzlich über die OSM-Eigenschaften <code>ref</code> und <code>name</code> erkannt. Zunächst wird für alle Straßenabschnitte festgelegt, dass sie nicht zur B10 gehören: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$ist_b10 <- FALSE </syntaxhighlight> Anschließend wird die Spalte <code>ref</code> überprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("ref" %in% names(strassen_relevant)) { ref_text <- as.character( strassen_relevant$ref ) ref_text[is.na(ref_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = ref_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Zusätzlich wird die Straßenbezeichnung in der Spalte <code>name</code> geprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("name" %in% names(strassen_relevant)) { name_text <- as.character( strassen_relevant$name ) name_text[is.na(name_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = name_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Alle erkannten B10-Abschnitte erhalten mindestens die relative Linienquellenstärke :<math> w_{\mathrm{B10}}=12. </math> Die Zuweisung erfolgt durch: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ] <- pmax( strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ], 12 ) </syntaxhighlight> Die Funktion <code>pmax()</code> stellt sicher, dass ein B10-Abschnitt mindestens den Wert 12 erhält. Ein möglicherweise bereits höherer Wert würde jedoch nicht verringert. === Bedeutung der Gewichtungswerte === Die Linienquellenstärke beschreibt die relative Emissionswirkung eines Straßenabschnittes. Für zwei Straßenabschnitte mit den Gewichtungen :<math> w_1=12 </math> und :<math> w_2=1{,}5 </math> gilt im Modell, dass die erste Straße eine achtmal so große Quellenstärke besitzt: :<math> \frac{12}{1{,}5}=8. </math> Damit wird die B10 deutlich stärker berücksichtigt als eine gewöhnliche Wohnstraße. Die Werte dienen jedoch nur dem Vergleich innerhalb des Modells. Aus einer Linienquellenstärke von 12 kann keine reale PM₂,₅-Emission abgeleitet werden. === Grafische Darstellung der Gewichtung === Für die Visualisierung wird aus der Linienquellenstärke eine Linienbreite berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienbreite <- 0.4 + 0.28 * strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> Die Variable <code>linienbreite</code> dient ausschließlich der grafischen Darstellung. Stark gewichtete Straßen werden dadurch breiter gezeichnet als schwach gewichtete Straßen. Die eigentliche Modellgröße bleibt die Variable <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung </div> [[Datei:06 Strassengewichtung.png|700px|zentriert|Darstellung der Straßen mit unterschiedlicher Linienbreite entsprechend ihrer modellierten relativen Quellenstärke.]] === Grenzen der Gewichtung === Die verwendeten Gewichtungswerte beruhen auf Modellannahmen und nicht auf vollständigen Verkehrszählungen. Eine genauere Modellierung müsste unter anderem berücksichtigen: * die Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, * den Anteil an Lastkraftwagen, * die durchschnittliche Geschwindigkeit, * Beschleunigungs- und Bremsvorgänge, * die Fahrzeugtypen, * reale Emissionsfaktoren. Eine mögliche zukünftige Berechnung der Emissionsstärke eines Straßenabschnittes <math>i</math> wäre: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei bezeichnet * <math>N_{\mathrm{PKW},i}</math> die Anzahl der Personenwagen auf Straßenabschnitt <math>i</math>, * <math>N_{\mathrm{LKW},i}</math> die Anzahl der Lastkraftwagen, * <math>e_{\mathrm{PKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Personenwagens, * <math>e_{\mathrm{LKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Lastkraftwagens. Die aktuelle Straßenklassengewichtung stellt somit eine erste Näherung dar, die später durch reale Verkehrsdaten ersetzt oder kalibriert werden kann. == Sechste Modellstufe: Diskretisierung der Straßenlinien == Die gewichteten Straßen liegen zunächst als Liniengeometrien vor. Die zuvor entwickelte windabhängige Ausbreitungsfunktion beschreibt jedoch den Beitrag einzelner Punktquellen. Damit dieselbe Ausbreitungsfunktion auch für Straßen verwendet werden kann, werden die Linienquellen durch eine große Anzahl kleiner Punktquellen angenähert. Dieses Vorgehen wird als Diskretisierung bezeichnet. === Mathematische Idee === Ein Straßenabschnitt <math>L_i</math> wird durch eine endliche Menge von Punkten angenähert: :<math> L_i \approx \left\{ Q_{i,1}, Q_{i,2}, \ldots, Q_{i,n_i} \right\}. </math> Dabei bezeichnet * <math>L_i</math> den <math>i</math>-ten Straßenabschnitt, * <math>Q_{i,j}</math> die <math>j</math>-te Punktquelle auf diesem Abschnitt, * <math>n_i</math> die Anzahl der erzeugten Punktquellen. Die Quellen werden ungefähr im Abstand von :<math> d=50\,\mathrm m </math> entlang der Straßen erzeugt. Eine kürzere Distanz würde die Linienquelle genauer annähern, aber gleichzeitig die Anzahl der Berechnungen deutlich erhöhen. Eine größere Distanz würde die Rechenzeit reduzieren, die Straße jedoch gröber darstellen. Der Wert von <math>50\,\mathrm m</math> stellt daher einen Kompromiss zwischen räumlicher Genauigkeit und Rechenaufwand dar. === Stärke einer einzelnen Straßenquelle === Jede erzeugte Punktquelle übernimmt die relative Gewichtung der Straße, auf der sie liegt. Die Stärke einer Punktquelle wird im Programm durch :<math> S_{i,j} = c\cdot w_i </math> festgelegt. Dabei bezeichnet * <math>w_i</math> die Linienquellenstärke des Straßenabschnittes, * <math>c</math> einen Skalierungsfaktor, * <math>S_{i,j}</math> die Stärke der einzelnen Punktquelle. Im Modell wird :<math> c=0{,}25 </math> verwendet. Damit ergibt sich beispielsweise für eine B10-Quelle: :<math> S_{\mathrm{B10}} = 0{,}25\cdot12 = 3. </math> Für eine Wohnstraße mit <math>w=1{,}5</math> ergibt sich dagegen: :<math> S_{\mathrm{Wohnstrasse}} = 0{,}25\cdot1{,}5 = 0{,}375. </math> Die B10 erzeugt somit an jedem Stützpunkt einen deutlich höheren Beitrag als eine Wohnstraße. === Umsetzung im R-Code === Zunächst wird der Abstand zwischen benachbarten Straßenquellen festgelegt: <syntaxhighlight lang="r"> quellenabstand_strasse <- 50 </syntaxhighlight> Für jeden Straßenabschnitt wird anschließend dessen Länge bestimmt und die erforderliche Anzahl an Punktquellen berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> linienlaenge <- as.numeric( st_length( strassen_relevant[i, ] ) ) anzahl_quellen <- max( 1, ceiling( linienlaenge / quellenabstand_strasse ) ) </syntaxhighlight> Die Punkte werden regelmäßig auf der Linie verteilt: <syntaxhighlight lang="r"> punkte_i <- st_line_sample( st_geometry( strassen_relevant[i, ] ), n = anzahl_quellen, type = "regular" ) punkte_i <- suppressWarnings( st_cast( punkte_i, "POINT" ) ) </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Punktquelle die Gewichtung ihrer Straße zugeordnet: <syntaxhighlight lang="r"> skalierungsfaktor_strassenquelle <- 0.25 strassenquellen$quellenstaerke <- strassenquellen$linienstaerke * skalierungsfaktor_strassenquelle </syntaxhighlight> Durch dieses Verfahren wird jede Straße als Folge vieler kleiner Punktquellen angenähert. == Siebte Modellstufe: Windabhängige Belastung durch das Straßennetz == Nach der Diskretisierung kann für jede erzeugte Straßenquelle dieselbe windabhängige Ausbreitungsfunktion verwendet werden, die zuvor an den künstlichen Testquellen entwickelt wurde. === Beitrag einer einzelnen Straßenquelle === Für eine Straßenquelle <math>Q_k</math> mit der Stärke <math>S_k</math> wird der Beitrag an einem Rasterpunkt <math>(x,y)</math> durch :<math> Q_k(x,y) = S_k \cdot R(s_k) \cdot \exp\left( -\frac{|s_k|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q_k^2}{2\sigma_{\perp,k}^2} \right) </math> berechnet. Dabei werden weiterhin berücksichtigt: * die Lage der Quelle, * die Entfernung zum Rasterpunkt, * die Richtung parallel zum Wind, * die Entfernung quer zum Wind, * die Windstärke, * die relative Emissionsstärke der Straße. === Überlagerung aller Straßenquellen === Die Belastung einer Rasterzelle entsteht durch Addition sämtlicher Straßenquellen: :<math> B_{\mathrm{Strasse}}(x,y) = \sum_{k=1}^{N} Q_k(x,y). </math> Dabei bezeichnet <math>N</math> die Gesamtzahl der erzeugten Straßenquellen. Die Berechnung folgt erneut dem Superpositionsprinzip. Der Beitrag jeder Quelle wird unabhängig bestimmt und anschließend addiert. Im R-Code wird zunächst für alle Rasterzellen der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$strassenbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Straßenquellen überlagert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(strassenquellen))) { beitrag_i <- windabhaengiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = strassenquellen$x[i], quelle_y = strassenquellen$y[i], staerke = strassenquellen$quellenstaerke[i], windstaerke = windstaerke, ausbreitungsrichtung_rad = ausbreitungsrichtung_rad ) raster$strassenbelastung <- raster$strassenbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Da für jede Straßenquelle ein Beitrag an allen 16800 Rasterzellen berechnet wird, ist dieser Schritt deutlich rechenintensiver als die vorherigen Modellstufen. === Darstellung der berechneten Straßenbelastung === Jede Rasterzelle erhält nach der Berechnung einen Wert :<math> B_{\mathrm{Strasse},ij}. </math> Diese Werte werden einer Farbskala zugeordnet: * Weiß und sehr helle Farben kennzeichnen eine geringe Belastung. * Gelbe und orange Farben kennzeichnen eine mittlere Belastung. * Rote und dunkelrote Farben kennzeichnen eine hohe Belastung. Die Darstellung zeigt, dass die höchsten Werte vor allem entlang stark gewichteter Straßen auftreten. Durch die Windkomponente entstehen keine vollkommen symmetrischen Belastungsfelder. Die Belastung wird vielmehr in der festgelegten Ausbreitungsrichtung weitertransportiert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Windabhängige Belastung durch das reale Straßennetz </div> [[Datei:07 Windabhaengige Strassenbelastung.png|700px|zentriert|Modellierte windabhängige Belastung durch die gewichteten Straßenquellen.]] === Interpretation === In der Abbildung sind insbesondere die stark gewichteten Straßenabschnitte erkennbar. Die B10 erzeugt aufgrund ihrer höheren Linienquellenstärke einen größeren Belastungsbeitrag als kleinere Neben- und Wohnstraßen. An Kreuzungen und in Bereichen, in denen mehrere Straßen nahe beieinanderliegen, können sich die Beiträge verschiedener Quellen überlagern. Dadurch entstehen lokal erhöhte Belastungswerte. Die dargestellten Werte bleiben relative Modellwerte. Ein hoher Wert bedeutet daher lediglich eine im Modell höhere Belastung und noch keine konkrete PM₂,₅-Konzentration. == Achte Modellstufe: Hintergrundbelastung und Gesamtbelastung == Neben den lokalen Straßenemissionen existiert in der Realität eine allgemeine Schadstoffbelastung, die beispielsweise durch großräumigen Transport, Haushalte, Gewerbe und weiter entfernte Verkehrsquellen entstehen kann. Im Modell wird deshalb eine konstante Hintergrundbelastung ergänzt. === Mathematische Definition === Die Gesamtbelastung wird definiert durch :<math> B_{\mathrm{gesamt}}(x,y) = B_0 + B_{\mathrm{Strasse}}(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>B_{\mathrm{Strasse}}(x,y)</math> den berechneten Beitrag des Straßennetzes. Im Modell wird beispielhaft :<math> B_0=9 </math> verwendet. Im R-Code ergibt sich: <syntaxhighlight lang="r"> hintergrundbelastung <- 9 raster$gesamtbelastung <- hintergrundbelastung + raster$strassenbelastung </syntaxhighlight> Der Wert 9 ist ebenfalls ein relativer Modellwert. Er wurde gewählt, damit unbelastete Bereiche nicht bei null beginnen und die Gesamtkarte ähnlich wie eine reale Belastungskarte aufgebaut werden kann. Er darf nicht unmittelbar als gemessene Konzentration von <math>9\,\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> interpretiert werden. == Neunte Modellstufe: Interaktive Belastungskarte == Die berechneten Rasterwerte werden abschließend auf einer interaktiven Landkarte dargestellt. Hierfür wird das R-Paket <code>leaflet</code> verwendet. === Transformation in geografische Koordinaten === Die Berechnungen wurden im metrischen Koordinatensystem EPSG:25832 durchgeführt. OpenStreetMap und Leaflet verwenden dagegen geografische Koordinaten im System WGS84 beziehungsweise EPSG:4326. Deshalb werden Raster, Straßen und Untersuchungsgebiet für die Darstellung erneut transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84 <- st_transform( raster, crs = 4326 ) strassen_wgs84 <- st_transform( strassen_relevant, crs = 4326 ) gebiet_wgs84 <- st_transform( gebiet, crs = 4326 ) </syntaxhighlight> Diese Transformation verändert nicht die zuvor berechneten Belastungswerte. Sie dient ausschließlich der korrekten Positionierung auf der Hintergrundkarte. === Farbige Darstellung des Belastungsrasters === Für die Darstellung wird eine Farbskala von hellen Gelbtönen bis zu dunklen Rottönen verwendet. <syntaxhighlight lang="r"> farben <- colorNumeric( palette = "YlOrRd", domain = c( farbuntergrenze, farbobergrenze ), na.color = "transparent" ) </syntaxhighlight> Jede Rasterzelle wird entsprechend ihrem Wert <code>gesamtbelastung</code> eingefärbt. Die Flächen werden halbtransparent dargestellt, damit die darunterliegende OpenStreetMap-Karte weiterhin sichtbar bleibt. <syntaxhighlight lang="r"> addPolygons( data = raster_wgs84, fillColor = ~farben( gesamtbelastung ), fillOpacity = 0.58, color = NA, weight = 0, popup = ~popup_text ) </syntaxhighlight> === Darstellung des Straßennetzes === Das reale Straßennetz wird über das Belastungsraster gelegt: <syntaxhighlight lang="r"> addPolylines( data = strassen_wgs84, color = "grey25", weight = ~( 0.5 + 0.10 * linienstaerke ), opacity = 0.75 ) </syntaxhighlight> Stärker gewichtete Straßen werden dabei mit einer größeren Linienbreite dargestellt. === Abruf der Rasterwerte === Jede Rasterzelle erhält einen Popup-Text. Durch Anklicken der Zelle können unter anderem folgende Informationen angezeigt werden: * Nummer der Rasterzelle, * Gesamtbelastungsindex, * Anteil der modellierten Straßenbelastung. Der Text wird im Programm folgendermaßen erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84$popup_text <- paste0( "<b>Rasterzelle:</b> ", raster_wgs84$id, "<br>", "<b>Belastungsindex:</b> ", round( raster_wgs84$gesamtbelastung, 2 ), "<br>", "<b>Straßenanteil:</b> ", round( raster_wgs84$strassenbelastung, 2 ) ) </syntaxhighlight> === Ergebnis der interaktiven Darstellung === Die fertige Karte verbindet * die reale OpenStreetMap-Hintergrundkarte, * das 50-m-Berechnungsraster, * die windabhängigen Belastungswerte, * die Gewichtung der Straßenarten, * das reale Straßennetz, * eine Farblegende, * anklickbare Rasterzellen. Dadurch kann die modellierte räumliche Belastungsverteilung unmittelbar untersucht werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interaktive Karte der modellierten Gesamtbelastung </div> [[Datei:08 Interaktive Belastungskarte.png|700px|zentriert|Interaktive Belastungskarte mit OpenStreetMap-Hintergrund.]] Die interaktive Karte wird zusätzlich als HTML-Datei gespeichert: <syntaxhighlight lang="r"> saveWidget( widget = karte, file = "08_Interaktive_Belastungskarte.html", selfcontained = TRUE ) </syntaxhighlight> Die vollständig interaktive Karte kann über den folgenden Link geöffnet werden: :[https://DEINE-ADRESSE.de/08_Interaktive_Belastungskarte.html Interaktive Karte der modellierten Feinstaubbelastung] == Zusammenfassung des Modellierungsprozesses == Das Modell wurde schrittweise von einem einfachen räumlichen Raster zu einer interaktiven Belastungskarte erweitert. Die Entwicklung erfolgte in folgenden Schritten: # Festlegung eines rechteckigen Untersuchungsgebietes. # Transformation in ein metrisches Koordinatensystem. # Zerlegung des Gebietes in 16800 Rasterzellen. # Einführung künstlicher Test- und Kontrollquellen. # Modellierung einer kreisförmigen gaußförmigen Ausbreitung. # Erweiterung um eine windabhängige Ausbreitungsrichtung. # Import des realen Straßennetzes aus OpenStreetMap. # Relative Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung. # Diskretisierung der Straßenlinien in einzelne Punktquellen. # Überlagerung der Beiträge sämtlicher Straßenquellen. # Ergänzung einer konstanten Hintergrundbelastung. # Darstellung der Ergebnisse auf einer interaktiven Landkarte. Das Endergebnis ist eine diskrete räumliche Belastungsfunktion :<math> B_{ij} = B_0 + \sum_{k=1}^{N} Q_k(x_i,y_j). </math> Jeder Wert <math>B_{ij}</math> gehört zu genau einer Rasterzelle und kann auf der Karte farbig dargestellt und abgefragt werden. == Modellkritik und Grenzen == Das entwickelte Modell bildet den vollständigen physikalischen Transport von Feinstaub nicht ab. Es handelt sich um ein bewusst vereinfachtes mathematisches Modell. Die Ergebnisse müssen deshalb als relative Belastungsindizes und nicht als reale Messwerte interpretiert werden. === Modellhafte Emissionsstärken === Die Gewichtungen der Straßen beruhen auf ihrer OSM-Straßenklasse und auf plausiblen Annahmen über das Verkehrsaufkommen. Es wurden bislang keine vollständigen Verkehrszählungen für jeden Straßenabschnitt verwendet. Insbesondere die Gewichtung der B10 berücksichtigt zwar ihre besondere verkehrliche Bedeutung, basiert aber noch nicht auf konkreten stündlichen Fahrzeugzahlen. === Vereinfachte Windverhältnisse === Im gesamten Untersuchungsgebiet wird eine konstante Windstärke und eine konstante Ausbreitungsrichtung angenommen. In der Realität ändern sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung zeitlich und räumlich. Außerdem wird die Strömung durch Berge, Täler und Bebauung beeinflusst. === Fehlende Topographie === Die Höhenlage des Geländes ist im aktuellen Berechnungsmodell noch nicht als eigener Faktor enthalten. Die Hintergrundkarte zeigt zwar Berge und Höhenangaben, diese beeinflussen jedoch nicht die berechneten Belastungswerte. Gerade in der Umgebung von Annweiler wäre die Topographie besonders relevant, da das Gelände durch Täler und umliegende Erhebungen geprägt ist. === Fehlende Gebäude und Straßenschluchten === Gebäude können den Luftaustausch behindern und lokal zu erhöhten Schadstoffkonzentrationen führen. Dieser Effekt wird im aktuellen Modell nicht berücksichtigt. === Tunnelabschnitte === Tunnel werden noch nicht gesondert behandelt. Im derzeitigen Modell wirken auch Straßenabschnitte innerhalb eines Tunnels wie gewöhnliche oberirdische Linienquellen. Eine realistischere Modellierung müsste die Emissionen innerhalb des Tunnels entfernen und stattdessen verstärkte Punktquellen an den Tunnelportalen ansetzen. === Hintergrundbelastung === Die Hintergrundbelastung <math>B_0=9</math> ist eine Modellannahme. Sie wurde nicht aus einer konkreten Messreihe für Annweiler bestimmt und darf daher nicht als reale Konzentration interpretiert werden. === Keine direkte Validierung === Eine Validierung mit tatsächlichen Feinstaubmessungen wurde bislang nicht durchgeführt. Ohne Vergleichsdaten kann nicht beurteilt werden, wie gut die räumliche Verteilung des Modells mit der Realität übereinstimmt. == Mögliche Erweiterungen == Das Modell kann in weiteren Arbeitsschritten erweitert und verbessert werden. === Reale Verkehrsdaten === Die relativen Linienquellenstärken könnten durch reale Verkehrszählungen ersetzt werden. Für einen Straßenabschnitt <math>i</math> könnte beispielsweise gelten: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei würden Personenwagen und Lastkraftwagen aufgrund ihrer unterschiedlichen Emissionen getrennt berücksichtigt. === Zeitabhängiges Modell === Die Belastung könnte zusätzlich von der Zeit abhängen: :<math> B=B(x,y,t). </math> Dadurch könnten unter anderem * morgendlicher Berufsverkehr, * abendlicher Berufsverkehr, * nächtliche Verkehrsabnahme, * wechselnde Windrichtungen abgebildet werden. === Topographischer Faktor === Ein digitales Höhenmodell könnte verwendet werden, um jeder Rasterzelle eine Höhe :<math> H(x,y) </math> zuzuordnen. Darauf aufbauend könnten Hangneigung, Talrichtung und Höhenunterschiede zwischen Quelle und Rasterpunkt berücksichtigt werden. === Tunnelportale === Tunnelabschnitte könnten aus der normalen Linienquellenberechnung entfernt werden. An den Ein- und Ausfahrten könnten stattdessen zusätzliche Punktquellen erzeugt werden, deren Stärke von Tunnellänge und Verkehrsaufkommen abhängt. === Messdaten und Kalibrierung === Mobile oder stationäre Messungen könnten verwendet werden, um die Modellparameter anzupassen. Dazu könnten die Abweichungen zwischen Messwerten <math>M_i</math> und Modellwerten <math>B_i</math> beispielsweise durch eine Fehlerfunktion beschrieben werden: :<math> F = \sum_{i=1}^{n} \left( M_i-B_i \right)^2. </math> Die Modellparameter könnten anschließend so gewählt werden, dass diese Fehlerfunktion möglichst klein wird. == Fazit == Das Projekt zeigt, wie eine reale Fragestellung schrittweise in ein mathematisches Modell überführt werden kann. Ausgehend von einem rechteckigen Untersuchungsgebiet wurde zunächst ein diskretes Berechnungsraster erzeugt. An künstlichen Testquellen wurden anschließend eine gaußförmige und eine windabhängige Ausbreitungsfunktion entwickelt. Danach wurde das reale Straßennetz von Annweiler in das Modell aufgenommen. Die Straßen wurden nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichtet, in kleine Punktquellen zerlegt und mit der zuvor entwickelten Ausbreitungsfunktion verknüpft. Das Ergebnis ist eine räumliche Belastungsfunktion, deren Werte auf einer interaktiven Landkarte dargestellt und für einzelne Rasterzellen abgefragt werden können. Das Modell liefert noch keine realen PM₂,₅-Konzentrationen. Es bildet jedoch einen nachvollziehbaren mathematischen Rahmen, der durch Verkehrsdaten, Messwerte, Topographie und eine gesonderte Tunnelmodellierung weiterentwickelt werden kann. =XXX= === Mathematische Beschreibung einer Punktquelle === Für eine Quelle am Punkt :<math> Q=(x_Q,y_Q) </math> und einen Rasterpunkt :<math> P=(x,y) </math> wird zunächst der Differenzvektor berechnet: :<math> \Delta x=x-x_Q,\qquad \Delta y=y-y_Q. </math> Die Schadstoffausbreitung hängt von der festgelegten Ausbreitungsrichtung ab. Deshalb wird der Differenzvektor in zwei Komponenten zerlegt: * eine Komponente parallel zur Windrichtung, * eine Komponente senkrecht zur Windrichtung. Für den Winkel <math>\alpha</math> gilt: :<math> s = \Delta x\cos(\alpha) + \Delta y\sin(\alpha), </math> :<math> q = -\Delta x\sin(\alpha) + \Delta y\cos(\alpha). </math> Dabei bezeichnet * <math>s</math> den Abstand parallel zur Ausbreitungsrichtung, * <math>q</math> den Abstand quer zur Ausbreitungsrichtung. Diese Transformation entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um den Winkel <math>\alpha</math>. === Abnahme der Belastung === Entlang der Ausbreitungsrichtung wird eine exponentielle Abnahme angenommen: :<math> A_{\parallel}(s) = \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right). </math> Der Parameter <math>\lambda</math> bestimmt, wie schnell der Quellenbeitrag mit zunehmender Entfernung abnimmt. Quer zur Windrichtung wird eine gaußförmige Verteilung verwendet: :<math> A_{\perp}(q) = \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma^2} \right). </math> Der Parameter <math>\sigma</math> beschreibt die Breite der Schadstofffahne. Im Modell wächst die Breite der Fahne mit zunehmender Entfernung windabwärts: :<math> \sigma(s) = \sigma_0+c\max(s,0)+d\,v. </math> Dabei bezeichnet * <math>\sigma_0</math> die anfängliche Breite, * <math>c</math> den Einfluss der Entfernung, * <math>v</math> die Windstärke, * <math>d</math> den Einfluss der Windstärke auf die Fahnenbreite. Entgegen der festgelegten Ausbreitungsrichtung wird der Beitrag stark reduziert. Dazu wird ein Richtungsfaktor verwendet: :<math> R(s)= \begin{cases} 1,&s\geq0,\\ 0{,}03,&s<0. \end{cases} </math> Der Beitrag einer Quelle mit Stärke <math>S</math> lautet damit: :<math> Q(x,y) = S\cdot R(s)\cdot A_{\parallel}(s)\cdot A_{\perp}(q). </math> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Testpunkte </div> [[Datei:02 Testquellen Lage.png|700px|zentriert|Testpunkte im Raster um Annweiler.]] 1wtsrf8oxp00de9rndfe56dm7ywvbw6 1108823 1108822 2026-07-23T16:43:57Z Felix Bohl 41569 /* XXX */ 1108823 wikitext text/x-wiki =Uni Niveau= =Gliederung= = Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels = == Zielsetzung und Fragestellung == Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines räumlichen mathematischen Modells zur Beschreibung einer möglichen Schadstoffbelastung im Gebiet von Annweiler am Trifels. Die zentrale Fragestellung lautet: :''Wie kann die räumliche Verteilung einer verkehrsbedingten Schadstoffbelastung in Annweiler mithilfe eines mathematischen Modells beschrieben und auf einer interaktiven Karte dargestellt werden?'' Dazu wird das Untersuchungsgebiet in ein regelmäßiges Raster zerlegt. Jeder Rasterzelle wird ein modellierter Belastungswert zugeordnet. Die Belastungswerte werden anschließend farbig auf einer Karte dargestellt. Durch Anklicken einer Rasterzelle kann der zugehörige Wert abgerufen werden. Das Modell soll schrittweise erweitert werden. Zunächst werden einzelne Punktquellen betrachtet. Anschließend werden reale Straßenverläufe als Linienquellen integriert. Weitere Einflussgrößen wie Straßenart, Wind, Tunnelabschnitte und später möglicherweise die Topographie werden nach und nach ergänzt. Das Ziel besteht nicht darin, unmittelbar ein vollständig physikalisches Ausbreitungsmodell zu entwickeln. Vielmehr soll nachvollziehbar untersucht werden, wie aus einer realen Fragestellung schrittweise ein berechenbares mathematisches Modell entsteht. Die derzeit berechneten Werte stellen deshalb einen relativen Belastungsindex dar. Sie sind noch nicht als reale PM₂,₅-Konzentrationen in <math>\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> zu interpretieren. == Grundidee des mathematischen Modells == Das Untersuchungsgebiet wird als zweidimensionaler Bereich :<math>\Omega\subset\mathbb R^2</math> aufgefasst. Jedem Punkt <math>(x,y)\in\Omega</math> wird ein nichtnegativer Belastungswert zugeordnet. Dadurch entsteht eine räumliche Belastungsfunktion :<math> B:\Omega\longrightarrow\mathbb R_{\geq 0}. </math> Der Wert :<math>B(x,y)</math> beschreibt die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Das Grundmodell setzt sich aus einer Hintergrundbelastung und den Beiträgen einzelner Quellen zusammen: :<math> B(x,y) = B_0+ \sum_{i=1}^{m}Q_i(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>Q_i(x,y)</math> den Beitrag der <math>i</math>-ten Schadstoffquelle, * <math>m</math> die Anzahl der berücksichtigten Quellen. Später werden die Quellen in zwei Gruppen unterteilt: <math> B(x,y) = B_0 + \sum_{i=1}^{m} Q_i^{\mathrm{Strasse}}(x,y) + \sum_{j=1}^{k} Q_j^{\mathrm{Punkt}}(x,y) </math> Die Straßen werden dabei als Linienquellen modelliert. Tunnelportale, Ampeln oder industrielle Anlagen können als zusätzliche Punktquellen berücksichtigt werden. == Wahl des Untersuchungsgebietes und des Koordinatensystems == Als Mittelpunkt des Untersuchungsgebietes werden näherungsweise die geografischen Koordinaten von Annweiler am Trifels verwendet: :<math> \lambda=7{,}967^\circ,\qquad \varphi=49{,}200^\circ. </math> Geografische Längen- und Breitengrade sind für Entfernungsberechnungen jedoch ungeeignet, da sie keine metrischen Koordinaten darstellen. Deshalb werden die Koordinaten in das Bezugssystem ETRS89 / UTM-Zone 32N transformiert. Im R-Code wird dafür das Koordinatenreferenzsystem EPSG:25832 verwendet: <syntaxhighlight lang="r"> zentrum <- st_sfc( st_point(c(annweiler_lon, annweiler_lat)), crs = 4326 ) zentrum_utm <- st_transform( zentrum, 25832 ) </syntaxhighlight> Nach der Transformation werden Entfernungen in Metern angegeben. Dadurch können Rasterweiten, Straßenlängen und Ausbreitungsentfernungen direkt miteinander verrechnet werden. Das Untersuchungsgebiet wird zunächst als Rechteck mit einer Breite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Höhe von <math>6000\,\mathrm m</math> modelliert. == Hinzufügen eines Rasters == Die Belastungsfunktion <math>B(x,y)</math> kann nicht an jedem Punkt eines kontinuierlichen Gebietes einzeln berechnet werden. Deshalb wird das Untersuchungsgebiet diskretisiert. Das rechteckige Gebiet wird in quadratische Rasterzellen mit einer Seitenlänge von :<math>h=50\,\mathrm m</math> zerlegt. Bei einer Gebietsbreite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Gebietshöhe von <math>6000\,\mathrm m</math> entstehen theoretisch :<math> \frac{7000}{50}\cdot\frac{6000}{50} = 140\cdot120 = 16800 </math> Rasterzellen. Jede Rasterzelle besitzt einen Mittelpunkt :<math> P_{ij}=(x_i,y_j). </math> Der Belastungswert der gesamten Zelle wird durch den Wert am Mittelpunkt angenähert: :<math> B_{ij}\approx B(x_i,y_j). </math> Die Belastungswerte können dadurch in einer Matrix angeordnet werden: :<math> M= \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1n}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ B_{m1}&B_{m2}&\cdots&B_{mn} \end{pmatrix}. </math> Jeder Eintrag der Matrix entspricht genau einer räumlichen Rasterzelle. Im Programm wird das Raster mit der Funktion <code>st_make_grid()</code> erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_geometrie <- st_make_grid( gebiet, cellsize = rasterweite, what = "polygons", square = TRUE ) raster <- st_sf( id = seq_along(raster_geometrie), geometry = raster_geometrie ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Mittelpunkte der Rasterzellen bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> rasterpunkte <- st_centroid( st_geometry(raster) ) rasterkoordinaten <- st_coordinates( rasterpunkte ) raster$x <- rasterkoordinaten[, "X"] raster$y <- rasterkoordinaten[, "Y"] </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diskretisierung des Untersuchungsgebietes durch ein 50-m-Raster </div> [[Datei:01_Berechnungsraster.png|700px|zentriert|Raster des Untersuchungsgebietes um Annweiler.]] == Erste Modellstufe: einzelne Testquellen == Bevor das reale Straßennetz berücksichtigt wird, wird die Ausbreitungsfunktion zunächst mithilfe einzelner Testquellen untersucht. Dazu werden vier modellierte Punktquellen verwendet: * westliche Testquelle, * östliche Testquelle, * südöstliche Testquelle, * zentrale Testquelle. Die Bezeichnungen orientieren sich zunächst an möglichen späteren Anwendungen wie Tunnelportalen, Industrie oder einer Ampel. Die Positionen und Quellenstärken sind jedoch noch keine real erhobenen Daten. Die Testquellen besitzen zwei Funktionen: # Sie ermöglichen eine erste Überprüfung der Ausbreitungsfunktion. # Sie machen sichtbar, wie sich Windrichtung, Quellenstärke und Entfernung auf das Belastungsfeld auswirken. Die Testquellen stellen damit Kontrollpunkte des Modells dar. An ihnen kann geprüft werden, ob eine stärkere Quelle tatsächlich eine größere Belastung erzeugt und ob sich die Belastung überwiegend in der festgelegten Windrichtung ausbreitet. <syntaxhighlight lang="r"> quellen <- data.frame( name = c( "Westliches Tunnelportal", "Östliches Tunnelportal", "Industrie", "Ampel" ), x = c( zentrum_x - 1800, zentrum_x + 1100, zentrum_x + 1800, zentrum_x - 300 ), y = c( zentrum_y + 500, zentrum_y + 300, zentrum_y - 1700, zentrum_y - 400 ), staerke = c( 25, 25, 15, 10 ) ) </syntaxhighlight> == Zweite Modellstufe: kreisförmige Ausbreitung ohne Wind == Nachdem die Positionen der Testquellen festgelegt wurden, wird im nächsten Schritt eine erste räumliche Ausbreitungsfunktion eingeführt. Zunächst wird angenommen, dass sich die von einer Punktquelle ausgehende Belastung in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Wind, Gelände, Bebauung und weitere äußere Einflüsse werden in dieser Modellstufe noch nicht berücksichtigt. Die Ausbreitung ist daher radialsymmetrisch. Das bedeutet, dass der Quellenbeitrag nur vom Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt abhängt. === Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt === Eine Punktquelle befinde sich am Ort :<math> Q=(x_Q,y_Q). </math> Ein Rasterpunkt besitzt die Koordinaten :<math> P=(x,y). </math> Der euklidische Abstand zwischen beiden Punkten beträgt :<math> r = \sqrt{ (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 }. </math> Da in der später verwendeten Exponentialfunktion das Quadrat des Abstandes benötigt wird, kann direkt mit :<math> r^2 = (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 </math> gerechnet werden. === Gaußförmige Ausbreitung === Für den Beitrag einer Quelle wird zunächst eine gaußförmige Abnahme angenommen: :<math> Q(x,y) = S\cdot \exp\left( -\frac{ (x-x_Q)^2+(y-y_Q)^2 }{ 2\sigma^2 } \right). </math> Dabei bezeichnet * <math>S</math> die Stärke der Quelle, * <math>\sigma</math> die räumliche Streuung beziehungsweise Reichweite, * <math>Q(x,y)</math> den modellierten Quellenbeitrag am Rasterpunkt <math>(x,y)</math>. Direkt am Standort der Quelle gilt :<math> x=x_Q,\qquad y=y_Q. </math> Damit wird der Exponent gleich null und es folgt :<math> Q(x_Q,y_Q)=S. </math> Die maximale Belastung einer einzelnen Quelle entspricht somit ihrer Quellenstärke. Mit zunehmendem Abstand wird der Exponent negativ. Dadurch nimmt der Quellenbeitrag exponentiell ab. Der Parameter <math>\sigma</math> steuert die Breite des Belastungsfeldes: * Ein kleines <math>\sigma</math> führt zu einer stark lokal begrenzten Belastung. * Ein großes <math>\sigma</math> führt zu einer weiter reichenden Ausbreitung. Im ersten Testmodell wird beispielsweise :<math> \sigma=350\,\mathrm m </math> verwendet. === Umsetzung im R-Code === Die radialsymmetrische Ausbreitung wird als eigene Funktion programmiert: <syntaxhighlight lang="r"> kreisfoermiger_beitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke, sigma = 350 ) { abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) return(beitrag) } </syntaxhighlight> Die Funktion erhält die Koordinaten aller Rasterpunkte sowie die Position und Stärke einer Quelle. Zunächst wird das Quadrat des Abstandes berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 </syntaxhighlight> Anschließend wird der gaußförmige Quellenbeitrag bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) </syntaxhighlight> === Überlagerung mehrerer Quellen === Da vier Testquellen vorhanden sind, wird der Beitrag jeder Quelle einzeln berechnet. Die Gesamtbelastung der Testquellen ergibt sich durch Addition: :<math> B_{\mathrm{Test}}(x,y) = \sum_{i=1}^{4}Q_i(x,y). </math> Dieses Vorgehen entspricht dem Superpositionsprinzip. Jeder Quellenbeitrag wird unabhängig berechnet und anschließend zur Gesamtbelastung addiert. Im R-Code wird zunächst für jede Rasterzelle der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$testbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Testquellen nacheinander addiert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(quellen))) { beitrag_i <- kreisfoermiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = quellen$x[i], quelle_y = quellen$y[i], staerke = quellen$staerke[i] ) raster$testbelastung <- raster$testbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Jeder Rasterzelle wird dadurch ein Belastungswert zugeordnet. === Interpretation der ersten Ausbreitung === Das resultierende Belastungsfeld besitzt um jede Quelle annähernd kreisförmige Konturen. Quellen mit einer größeren Quellenstärke erzeugen höhere Belastungswerte. In Bereichen, in denen sich die Belastungsfelder mehrerer Quellen überlagern, addieren sich ihre Beiträge. Diese erste Modellstufe ist mathematisch übersichtlich und eignet sich gut, um die grundsätzliche Berechnung zu überprüfen. Sie besitzt jedoch eine deutliche Einschränkung: In der Realität breiten sich Schadstoffe nicht in alle Richtungen gleichmäßig aus. Insbesondere der Wind führt dazu, dass Schadstoffe überwiegend in eine bestimmte Richtung transportiert werden. Diese Beobachtung motiviert die nächste Erweiterung des Modells. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kreisförmige Ausbreitung der vier Testquellen ohne Wind </div> [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|700px|zentriert|Modellierte Belastung der vier Testquellen ohne Berücksichtigung des Windes.]] == Dritte Modellstufe: Berücksichtigung des Windes == Im vorherigen Modell wurde eine gleichmäßige Ausbreitung in alle Raumrichtungen angenommen. Diese Annahme ist für eine reale Schadstoffausbreitung nur eingeschränkt geeignet. Wind transportiert Schadstoffe bevorzugt in eine bestimmte Richtung. Deshalb wird das radialsymmetrische Modell nun zu einer gerichteten Ausbreitungsfunktion erweitert. Ziel dieser Modellstufe ist es, aus den kreisförmigen Belastungsfeldern längliche Schadstofffahnen zu erzeugen. === Windrichtung und Ausbreitungsrichtung === Im Modell wird nicht die meteorologische Herkunftsrichtung des Windes angegeben, sondern die Richtung, in welche die Schadstoffe transportiert werden. Ein Winkel von * <math>0^\circ</math> beschreibt eine Ausbreitung nach Osten, * <math>90^\circ</math> eine Ausbreitung nach Norden, * <math>180^\circ</math> eine Ausbreitung nach Westen, * <math>270^\circ</math> eine Ausbreitung nach Süden. Im Programm wird beispielsweise eine Ausbreitungsrichtung von :<math> \alpha=70^\circ </math> gewählt. Da die trigonometrischen Funktionen in R mit dem Bogenmaß arbeiten, erfolgt die Umrechnung durch :<math> \alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha_{\mathrm{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}. </math> Im R-Code lautet dies: <syntaxhighlight lang="r"> ausbreitungsrichtung_grad <- 70 ausbreitungsrichtung_rad <- ausbreitungsrichtung_grad * pi / 180 </syntaxhighlight> === Zerlegung des Abstandsvektors === Für eine Quelle am Punkt :<math> Q=(x_Q,y_Q) </math> und einen Rasterpunkt :<math> P=(x,y) </math> wird zunächst der Differenzvektor berechnet: :<math> \Delta x=x-x_Q, </math> :<math> \Delta y=y-y_Q. </math> Dieser Vektor wird anschließend in zwei Richtungen zerlegt: * eine Komponente parallel zur Ausbreitungsrichtung, * eine Komponente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die parallele Komponente lautet :<math> s = \Delta x\cos(\alpha) + \Delta y\sin(\alpha). </math> Die senkrechte Komponente lautet :<math> q = -\Delta x\sin(\alpha) + \Delta y\cos(\alpha). </math> Dabei bezeichnet * <math>s</math> den Abstand längs der Ausbreitungsrichtung, * <math>q</math> den Abstand quer zur Ausbreitungsrichtung. Mathematisch entspricht diese Berechnung einer Drehung des Koordinatensystems. Im R-Code wird die Transformation folgendermaßen umgesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) </syntaxhighlight> === Abnahme längs der Ausbreitungsrichtung === Mit zunehmender Entfernung von der Quelle soll der Belastungsbeitrag abnehmen. Dazu wird eine exponentielle Abnahme verwendet: :<math> A_{\parallel}(s) = \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right). </math> Der Parameter <math>\lambda</math> bestimmt die Reichweite entlang der Ausbreitungsrichtung. Im aktuellen Modell wird <math>\lambda</math> zusätzlich von der Windstärke abhängig gemacht: :<math> \lambda = 140+60v. </math> Dabei bezeichnet <math>v</math> die modellierte Windgeschwindigkeit. Im R-Code wird die Abnahme durch <syntaxhighlight lang="r"> abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) </syntaxhighlight> beschrieben. === Ausbreitung quer zur Windrichtung === Quer zur Windrichtung wird weiterhin eine Gaußfunktion verwendet: :<math> A_{\perp}(q) = \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die Breite der Schadstofffahne ist jedoch nicht konstant. Sie soll mit zunehmender Entfernung windabwärts wachsen. Dazu wird :<math> \sigma_{\perp} = 25 + 0{,}025\max(s,0) + 7v </math> verwendet. Die Funktion <math>\max(s,0)</math> sorgt dafür, dass nur die Entfernung in Ausbreitungsrichtung berücksichtigt wird. Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke </syntaxhighlight> Die gaußförmige Querverteilung ergibt sich durch <syntaxhighlight lang="r"> verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) </syntaxhighlight> === Verringerung entgegen der Windrichtung === Punkte mit :<math> s\geq0 </math> liegen in Ausbreitungsrichtung. Punkte mit :<math> s<0 </math> liegen entgegen der Ausbreitungsrichtung. Da sich Schadstoffe zwar überwiegend windabwärts ausbreiten, aber eine geringe Belastung auch windaufwärts möglich sein kann, wird ein Richtungsfaktor eingeführt: :<math> R(s) = \begin{cases} 1,&s\geq0,\\ 0{,}03,&s<0. \end{cases} </math> Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) </syntaxhighlight> === Gesamter Beitrag einer windabhängigen Punktquelle === Der Beitrag einer Quelle mit Stärke <math>S</math> ergibt sich damit aus dem Produkt der einzelnen Faktoren: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot A_{\parallel}(s) \cdot A_{\perp}(q). </math> Ausgeschrieben lautet die Modellfunktion: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die entsprechende R-Funktion lautet: <syntaxhighlight lang="r"> quellenbeitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke ) { delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) beitrag <- staerke * richtungsfaktor * abnahme_laengs * verteilung_quer return(beitrag) } </syntaxhighlight> === Vergleich des Modells ohne und mit Wind === Durch die Berücksichtigung der Windrichtung verändert sich die Form des Belastungsfeldes deutlich. Ohne Wind entstehen um die Quellen annähernd kreisförmige Bereiche. Mit Wind werden die Belastungsfelder in Ausbreitungsrichtung verlängert. Entgegen der Windrichtung ist der Beitrag dagegen stark reduziert. Dieser Vergleich zeigt, wie bereits die Ergänzung eines einzelnen Einflussfaktors die Modellergebnisse wesentlich verändert. <div style="display:flex; justify-content:center; gap:20px; flex-wrap:wrap;"> <div style="text-align:center;"> '''Ohne Wind''' [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|500px|Kreisförmige Ausbreitung ohne Wind.]] </div> <div style="text-align:center;"> '''Mit Wind''' [[Datei:04 Windabhaengige Ausbreitung.png|500px|Gerichtete Ausbreitung unter Berücksichtigung des Windes.]] </div> </div> == Vierte Modellstufe: Straßen als Linienquellen == Die bisherigen Testquellen stellen einzelne Punkte dar. Der Straßenverkehr erzeugt Schadstoffe jedoch nicht nur an einzelnen Orten, sondern entlang des gesamten Straßenverlaufs. Straßen werden deshalb im nächsten Schritt als Linienquellen modelliert. === Import des realen Straßennetzes === Die Straßenverläufe werden aus OpenStreetMap-Daten übernommen. Dazu wird eine zuvor heruntergeladene GeoJSON-Datei verwendet. Die Datei enthält neben den Geometrien auch Eigenschaften der Straßen, beispielsweise * die OSM-Straßenklasse <code>highway</code>, * die Straßenbezeichnung <code>ref</code>, * die Information, ob ein Abschnitt als Tunnel gekennzeichnet ist. Die Datei wird in R mit der Funktion <code>st_read()</code> geladen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_sf <- st_read( strassen_datei, quiet = TRUE ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Straßendaten in das metrische Koordinatensystem EPSG:25832 transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- st_transform( strassen_sf, 25832 ) </syntaxhighlight> Nur die Straßen innerhalb des Untersuchungsgebietes werden weiterverwendet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_intersection( strassen_utm, gebiet ) ) </syntaxhighlight> === Geometrische Aufbereitung === OpenStreetMap-Daten können verschiedene Geometrietypen enthalten. Für die weitere Modellierung werden jedoch einzelne Linienzüge vom Typ <code>LINESTRING</code> benötigt. Deshalb werden mehrteilige Linien in einzelne Linien zerlegt: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_collection_extract( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) strassen_utm <- suppressWarnings( st_cast( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) </syntaxhighlight> Leere oder ungültige Geometrien werden entfernt beziehungsweise repariert. === Auswahl relevanter Straßen === Nicht jede in OpenStreetMap enthaltene Linie ist für die verkehrsbedingte Belastung gleichermaßen relevant. Daher werden nur ausgewählte Straßenklassen berücksichtigt: <syntaxhighlight lang="r"> relevante_strassentypen <- c( "motorway", "motorway_link", "trunk", "trunk_link", "primary", "primary_link", "secondary", "secondary_link", "tertiary", "tertiary_link", "residential", "unclassified", "living_street", "service" ) </syntaxhighlight> Andere Wege, beispielsweise reine Fußwege oder Waldpfade, werden im aktuellen Modell nicht als Emissionsquellen behandelt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Importiertes Straßennetz im Untersuchungsgebiet </div> [[Datei:05 Strassennetz Annweiler.png|700px|zentriert|Aus OpenStreetMap importierte Straßen im Untersuchungsgebiet.]] == Fünfte Modellstufe: Gewichtung der Straßen == Die verschiedenen Straßen im Untersuchungsgebiet weisen sehr unterschiedliche Verkehrsaufkommen auf. Eine stark befahrene Bundesstraße mit einem hohen Anteil an Personen- und Lastkraftwagen verursacht grundsätzlich mehr verkehrsbedingte Emissionen als eine kleine Wohn- oder Zufahrtsstraße. Da für die aktuelle Modellversion noch keine vollständigen Verkehrszählungen für alle Straßenabschnitte vorliegen, wird zunächst eine relative Gewichtung anhand der OSM-Straßenklasse vorgenommen. Die Gewichtungswerte sind dimensionslose Modellparameter. Sie stellen keine realen Emissionsmengen dar, sondern beschreiben lediglich die relative Bedeutung der Straßen innerhalb des Modells. === Relative Linienquellenstärke === Jeder Straße wird abhängig von ihrer OSM-Klasse eine relative Linienquellenstärke zugeordnet. Im aktuellen Modell werden folgende Werte verwendet: {| class="wikitable" ! OSM-Straßenklasse ! Modellierte Linienquellenstärke |- | <code>motorway</code> | 10 |- | <code>motorway_link</code> | 7 |- | <code>trunk</code> | 10 |- | <code>trunk_link</code> | 7 |- | <code>primary</code> | 6 |- | <code>primary_link</code> | 5 |- | <code>secondary</code> | 4 |- | <code>secondary_link</code> | 3,5 |- | <code>tertiary</code> | 3 |- | <code>tertiary_link</code> | 2,5 |- | <code>residential</code> | 1,5 |- | <code>unclassified</code> | 1,5 |- | <code>living_street</code> | 1 |- | <code>service</code> | 0,5 |} Die Zuordnung erfolgt im R-Code zunächst durch das Anlegen einer neuen Variablen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke <- 0 </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Straßenklasse ein Wert zugewiesen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary" ] <- 6 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary_link" ] <- 5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary" ] <- 4 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary_link" ] <- 3.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary" ] <- 3 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary_link" ] <- 2.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "residential" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "unclassified" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "living_street" ] <- 1 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "service" ] <- 0.5 </syntaxhighlight> Stark befahrene überregionale Straßen erhalten somit hohe Werte. Wohn- und Nebenstraßen werden deutlich schwächer gewichtet. === Besondere Gewichtung der B10 === Die Bundesstraße B10 stellt im Untersuchungsgebiet die wichtigste Verkehrsachse dar. Auf ihr wird ein deutlich höheres Verkehrsaufkommen und insbesondere ein größerer Lastkraftwagenanteil angenommen. Deshalb wird die B10 zusätzlich über die OSM-Eigenschaften <code>ref</code> und <code>name</code> erkannt. Zunächst wird für alle Straßenabschnitte festgelegt, dass sie nicht zur B10 gehören: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$ist_b10 <- FALSE </syntaxhighlight> Anschließend wird die Spalte <code>ref</code> überprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("ref" %in% names(strassen_relevant)) { ref_text <- as.character( strassen_relevant$ref ) ref_text[is.na(ref_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = ref_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Zusätzlich wird die Straßenbezeichnung in der Spalte <code>name</code> geprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("name" %in% names(strassen_relevant)) { name_text <- as.character( strassen_relevant$name ) name_text[is.na(name_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = name_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Alle erkannten B10-Abschnitte erhalten mindestens die relative Linienquellenstärke :<math> w_{\mathrm{B10}}=12. </math> Die Zuweisung erfolgt durch: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ] <- pmax( strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ], 12 ) </syntaxhighlight> Die Funktion <code>pmax()</code> stellt sicher, dass ein B10-Abschnitt mindestens den Wert 12 erhält. Ein möglicherweise bereits höherer Wert würde jedoch nicht verringert. === Bedeutung der Gewichtungswerte === Die Linienquellenstärke beschreibt die relative Emissionswirkung eines Straßenabschnittes. Für zwei Straßenabschnitte mit den Gewichtungen :<math> w_1=12 </math> und :<math> w_2=1{,}5 </math> gilt im Modell, dass die erste Straße eine achtmal so große Quellenstärke besitzt: :<math> \frac{12}{1{,}5}=8. </math> Damit wird die B10 deutlich stärker berücksichtigt als eine gewöhnliche Wohnstraße. Die Werte dienen jedoch nur dem Vergleich innerhalb des Modells. Aus einer Linienquellenstärke von 12 kann keine reale PM₂,₅-Emission abgeleitet werden. === Grafische Darstellung der Gewichtung === Für die Visualisierung wird aus der Linienquellenstärke eine Linienbreite berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienbreite <- 0.4 + 0.28 * strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> Die Variable <code>linienbreite</code> dient ausschließlich der grafischen Darstellung. Stark gewichtete Straßen werden dadurch breiter gezeichnet als schwach gewichtete Straßen. Die eigentliche Modellgröße bleibt die Variable <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung </div> [[Datei:06 Strassengewichtung.png|700px|zentriert|Darstellung der Straßen mit unterschiedlicher Linienbreite entsprechend ihrer modellierten relativen Quellenstärke.]] === Grenzen der Gewichtung === Die verwendeten Gewichtungswerte beruhen auf Modellannahmen und nicht auf vollständigen Verkehrszählungen. Eine genauere Modellierung müsste unter anderem berücksichtigen: * die Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, * den Anteil an Lastkraftwagen, * die durchschnittliche Geschwindigkeit, * Beschleunigungs- und Bremsvorgänge, * die Fahrzeugtypen, * reale Emissionsfaktoren. Eine mögliche zukünftige Berechnung der Emissionsstärke eines Straßenabschnittes <math>i</math> wäre: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei bezeichnet * <math>N_{\mathrm{PKW},i}</math> die Anzahl der Personenwagen auf Straßenabschnitt <math>i</math>, * <math>N_{\mathrm{LKW},i}</math> die Anzahl der Lastkraftwagen, * <math>e_{\mathrm{PKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Personenwagens, * <math>e_{\mathrm{LKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Lastkraftwagens. Die aktuelle Straßenklassengewichtung stellt somit eine erste Näherung dar, die später durch reale Verkehrsdaten ersetzt oder kalibriert werden kann. == Sechste Modellstufe: Diskretisierung der Straßenlinien == Die gewichteten Straßen liegen zunächst als Liniengeometrien vor. Die zuvor entwickelte windabhängige Ausbreitungsfunktion beschreibt jedoch den Beitrag einzelner Punktquellen. Damit dieselbe Ausbreitungsfunktion auch für Straßen verwendet werden kann, werden die Linienquellen durch eine große Anzahl kleiner Punktquellen angenähert. Dieses Vorgehen wird als Diskretisierung bezeichnet. === Mathematische Idee === Ein Straßenabschnitt <math>L_i</math> wird durch eine endliche Menge von Punkten angenähert: :<math> L_i \approx \left\{ Q_{i,1}, Q_{i,2}, \ldots, Q_{i,n_i} \right\}. </math> Dabei bezeichnet * <math>L_i</math> den <math>i</math>-ten Straßenabschnitt, * <math>Q_{i,j}</math> die <math>j</math>-te Punktquelle auf diesem Abschnitt, * <math>n_i</math> die Anzahl der erzeugten Punktquellen. Die Quellen werden ungefähr im Abstand von :<math> d=50\,\mathrm m </math> entlang der Straßen erzeugt. Eine kürzere Distanz würde die Linienquelle genauer annähern, aber gleichzeitig die Anzahl der Berechnungen deutlich erhöhen. Eine größere Distanz würde die Rechenzeit reduzieren, die Straße jedoch gröber darstellen. Der Wert von <math>50\,\mathrm m</math> stellt daher einen Kompromiss zwischen räumlicher Genauigkeit und Rechenaufwand dar. === Stärke einer einzelnen Straßenquelle === Jede erzeugte Punktquelle übernimmt die relative Gewichtung der Straße, auf der sie liegt. Die Stärke einer Punktquelle wird im Programm durch :<math> S_{i,j} = c\cdot w_i </math> festgelegt. Dabei bezeichnet * <math>w_i</math> die Linienquellenstärke des Straßenabschnittes, * <math>c</math> einen Skalierungsfaktor, * <math>S_{i,j}</math> die Stärke der einzelnen Punktquelle. Im Modell wird :<math> c=0{,}25 </math> verwendet. Damit ergibt sich beispielsweise für eine B10-Quelle: :<math> S_{\mathrm{B10}} = 0{,}25\cdot12 = 3. </math> Für eine Wohnstraße mit <math>w=1{,}5</math> ergibt sich dagegen: :<math> S_{\mathrm{Wohnstrasse}} = 0{,}25\cdot1{,}5 = 0{,}375. </math> Die B10 erzeugt somit an jedem Stützpunkt einen deutlich höheren Beitrag als eine Wohnstraße. === Umsetzung im R-Code === Zunächst wird der Abstand zwischen benachbarten Straßenquellen festgelegt: <syntaxhighlight lang="r"> quellenabstand_strasse <- 50 </syntaxhighlight> Für jeden Straßenabschnitt wird anschließend dessen Länge bestimmt und die erforderliche Anzahl an Punktquellen berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> linienlaenge <- as.numeric( st_length( strassen_relevant[i, ] ) ) anzahl_quellen <- max( 1, ceiling( linienlaenge / quellenabstand_strasse ) ) </syntaxhighlight> Die Punkte werden regelmäßig auf der Linie verteilt: <syntaxhighlight lang="r"> punkte_i <- st_line_sample( st_geometry( strassen_relevant[i, ] ), n = anzahl_quellen, type = "regular" ) punkte_i <- suppressWarnings( st_cast( punkte_i, "POINT" ) ) </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Punktquelle die Gewichtung ihrer Straße zugeordnet: <syntaxhighlight lang="r"> skalierungsfaktor_strassenquelle <- 0.25 strassenquellen$quellenstaerke <- strassenquellen$linienstaerke * skalierungsfaktor_strassenquelle </syntaxhighlight> Durch dieses Verfahren wird jede Straße als Folge vieler kleiner Punktquellen angenähert. == Siebte Modellstufe: Windabhängige Belastung durch das Straßennetz == Nach der Diskretisierung kann für jede erzeugte Straßenquelle dieselbe windabhängige Ausbreitungsfunktion verwendet werden, die zuvor an den künstlichen Testquellen entwickelt wurde. === Beitrag einer einzelnen Straßenquelle === Für eine Straßenquelle <math>Q_k</math> mit der Stärke <math>S_k</math> wird der Beitrag an einem Rasterpunkt <math>(x,y)</math> durch :<math> Q_k(x,y) = S_k \cdot R(s_k) \cdot \exp\left( -\frac{|s_k|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q_k^2}{2\sigma_{\perp,k}^2} \right) </math> berechnet. Dabei werden weiterhin berücksichtigt: * die Lage der Quelle, * die Entfernung zum Rasterpunkt, * die Richtung parallel zum Wind, * die Entfernung quer zum Wind, * die Windstärke, * die relative Emissionsstärke der Straße. === Überlagerung aller Straßenquellen === Die Belastung einer Rasterzelle entsteht durch Addition sämtlicher Straßenquellen: :<math> B_{\mathrm{Strasse}}(x,y) = \sum_{k=1}^{N} Q_k(x,y). </math> Dabei bezeichnet <math>N</math> die Gesamtzahl der erzeugten Straßenquellen. Die Berechnung folgt erneut dem Superpositionsprinzip. Der Beitrag jeder Quelle wird unabhängig bestimmt und anschließend addiert. Im R-Code wird zunächst für alle Rasterzellen der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$strassenbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Straßenquellen überlagert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(strassenquellen))) { beitrag_i <- windabhaengiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = strassenquellen$x[i], quelle_y = strassenquellen$y[i], staerke = strassenquellen$quellenstaerke[i], windstaerke = windstaerke, ausbreitungsrichtung_rad = ausbreitungsrichtung_rad ) raster$strassenbelastung <- raster$strassenbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Da für jede Straßenquelle ein Beitrag an allen 16800 Rasterzellen berechnet wird, ist dieser Schritt deutlich rechenintensiver als die vorherigen Modellstufen. === Darstellung der berechneten Straßenbelastung === Jede Rasterzelle erhält nach der Berechnung einen Wert :<math> B_{\mathrm{Strasse},ij}. </math> Diese Werte werden einer Farbskala zugeordnet: * Weiß und sehr helle Farben kennzeichnen eine geringe Belastung. * Gelbe und orange Farben kennzeichnen eine mittlere Belastung. * Rote und dunkelrote Farben kennzeichnen eine hohe Belastung. Die Darstellung zeigt, dass die höchsten Werte vor allem entlang stark gewichteter Straßen auftreten. Durch die Windkomponente entstehen keine vollkommen symmetrischen Belastungsfelder. Die Belastung wird vielmehr in der festgelegten Ausbreitungsrichtung weitertransportiert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Windabhängige Belastung durch das reale Straßennetz </div> [[Datei:07 Windabhaengige Strassenbelastung.png|700px|zentriert|Modellierte windabhängige Belastung durch die gewichteten Straßenquellen.]] === Interpretation === In der Abbildung sind insbesondere die stark gewichteten Straßenabschnitte erkennbar. Die B10 erzeugt aufgrund ihrer höheren Linienquellenstärke einen größeren Belastungsbeitrag als kleinere Neben- und Wohnstraßen. An Kreuzungen und in Bereichen, in denen mehrere Straßen nahe beieinanderliegen, können sich die Beiträge verschiedener Quellen überlagern. Dadurch entstehen lokal erhöhte Belastungswerte. Die dargestellten Werte bleiben relative Modellwerte. Ein hoher Wert bedeutet daher lediglich eine im Modell höhere Belastung und noch keine konkrete PM₂,₅-Konzentration. == Achte Modellstufe: Hintergrundbelastung und Gesamtbelastung == Neben den lokalen Straßenemissionen existiert in der Realität eine allgemeine Schadstoffbelastung, die beispielsweise durch großräumigen Transport, Haushalte, Gewerbe und weiter entfernte Verkehrsquellen entstehen kann. Im Modell wird deshalb eine konstante Hintergrundbelastung ergänzt. === Mathematische Definition === Die Gesamtbelastung wird definiert durch :<math> B_{\mathrm{gesamt}}(x,y) = B_0 + B_{\mathrm{Strasse}}(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>B_{\mathrm{Strasse}}(x,y)</math> den berechneten Beitrag des Straßennetzes. Im Modell wird beispielhaft :<math> B_0=9 </math> verwendet. Im R-Code ergibt sich: <syntaxhighlight lang="r"> hintergrundbelastung <- 9 raster$gesamtbelastung <- hintergrundbelastung + raster$strassenbelastung </syntaxhighlight> Der Wert 9 ist ebenfalls ein relativer Modellwert. Er wurde gewählt, damit unbelastete Bereiche nicht bei null beginnen und die Gesamtkarte ähnlich wie eine reale Belastungskarte aufgebaut werden kann. Er darf nicht unmittelbar als gemessene Konzentration von <math>9\,\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> interpretiert werden. == Neunte Modellstufe: Interaktive Belastungskarte == Die berechneten Rasterwerte werden abschließend auf einer interaktiven Landkarte dargestellt. Hierfür wird das R-Paket <code>leaflet</code> verwendet. === Transformation in geografische Koordinaten === Die Berechnungen wurden im metrischen Koordinatensystem EPSG:25832 durchgeführt. OpenStreetMap und Leaflet verwenden dagegen geografische Koordinaten im System WGS84 beziehungsweise EPSG:4326. Deshalb werden Raster, Straßen und Untersuchungsgebiet für die Darstellung erneut transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84 <- st_transform( raster, crs = 4326 ) strassen_wgs84 <- st_transform( strassen_relevant, crs = 4326 ) gebiet_wgs84 <- st_transform( gebiet, crs = 4326 ) </syntaxhighlight> Diese Transformation verändert nicht die zuvor berechneten Belastungswerte. Sie dient ausschließlich der korrekten Positionierung auf der Hintergrundkarte. === Farbige Darstellung des Belastungsrasters === Für die Darstellung wird eine Farbskala von hellen Gelbtönen bis zu dunklen Rottönen verwendet. <syntaxhighlight lang="r"> farben <- colorNumeric( palette = "YlOrRd", domain = c( farbuntergrenze, farbobergrenze ), na.color = "transparent" ) </syntaxhighlight> Jede Rasterzelle wird entsprechend ihrem Wert <code>gesamtbelastung</code> eingefärbt. Die Flächen werden halbtransparent dargestellt, damit die darunterliegende OpenStreetMap-Karte weiterhin sichtbar bleibt. <syntaxhighlight lang="r"> addPolygons( data = raster_wgs84, fillColor = ~farben( gesamtbelastung ), fillOpacity = 0.58, color = NA, weight = 0, popup = ~popup_text ) </syntaxhighlight> === Darstellung des Straßennetzes === Das reale Straßennetz wird über das Belastungsraster gelegt: <syntaxhighlight lang="r"> addPolylines( data = strassen_wgs84, color = "grey25", weight = ~( 0.5 + 0.10 * linienstaerke ), opacity = 0.75 ) </syntaxhighlight> Stärker gewichtete Straßen werden dabei mit einer größeren Linienbreite dargestellt. === Abruf der Rasterwerte === Jede Rasterzelle erhält einen Popup-Text. Durch Anklicken der Zelle können unter anderem folgende Informationen angezeigt werden: * Nummer der Rasterzelle, * Gesamtbelastungsindex, * Anteil der modellierten Straßenbelastung. Der Text wird im Programm folgendermaßen erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84$popup_text <- paste0( "<b>Rasterzelle:</b> ", raster_wgs84$id, "<br>", "<b>Belastungsindex:</b> ", round( raster_wgs84$gesamtbelastung, 2 ), "<br>", "<b>Straßenanteil:</b> ", round( raster_wgs84$strassenbelastung, 2 ) ) </syntaxhighlight> === Ergebnis der interaktiven Darstellung === Die fertige Karte verbindet * die reale OpenStreetMap-Hintergrundkarte, * das 50-m-Berechnungsraster, * die windabhängigen Belastungswerte, * die Gewichtung der Straßenarten, * das reale Straßennetz, * eine Farblegende, * anklickbare Rasterzellen. Dadurch kann die modellierte räumliche Belastungsverteilung unmittelbar untersucht werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interaktive Karte der modellierten Gesamtbelastung </div> [[Datei:08 Interaktive Belastungskarte.png|700px|zentriert|Interaktive Belastungskarte mit OpenStreetMap-Hintergrund.]] Die interaktive Karte wird zusätzlich als HTML-Datei gespeichert: <syntaxhighlight lang="r"> saveWidget( widget = karte, file = "08_Interaktive_Belastungskarte.html", selfcontained = TRUE ) </syntaxhighlight> Die vollständig interaktive Karte kann über den folgenden Link geöffnet werden: :[https://DEINE-ADRESSE.de/08_Interaktive_Belastungskarte.html Interaktive Karte der modellierten Feinstaubbelastung] == Zusammenfassung des Modellierungsprozesses == Das Modell wurde schrittweise von einem einfachen räumlichen Raster zu einer interaktiven Belastungskarte erweitert. Die Entwicklung erfolgte in folgenden Schritten: # Festlegung eines rechteckigen Untersuchungsgebietes. # Transformation in ein metrisches Koordinatensystem. # Zerlegung des Gebietes in 16800 Rasterzellen. # Einführung künstlicher Test- und Kontrollquellen. # Modellierung einer kreisförmigen gaußförmigen Ausbreitung. # Erweiterung um eine windabhängige Ausbreitungsrichtung. # Import des realen Straßennetzes aus OpenStreetMap. # Relative Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung. # Diskretisierung der Straßenlinien in einzelne Punktquellen. # Überlagerung der Beiträge sämtlicher Straßenquellen. # Ergänzung einer konstanten Hintergrundbelastung. # Darstellung der Ergebnisse auf einer interaktiven Landkarte. Das Endergebnis ist eine diskrete räumliche Belastungsfunktion :<math> B_{ij} = B_0 + \sum_{k=1}^{N} Q_k(x_i,y_j). </math> Jeder Wert <math>B_{ij}</math> gehört zu genau einer Rasterzelle und kann auf der Karte farbig dargestellt und abgefragt werden. == Modellkritik und Grenzen == Das entwickelte Modell bildet den vollständigen physikalischen Transport von Feinstaub nicht ab. Es handelt sich um ein bewusst vereinfachtes mathematisches Modell. Die Ergebnisse müssen deshalb als relative Belastungsindizes und nicht als reale Messwerte interpretiert werden. === Modellhafte Emissionsstärken === Die Gewichtungen der Straßen beruhen auf ihrer OSM-Straßenklasse und auf plausiblen Annahmen über das Verkehrsaufkommen. Es wurden bislang keine vollständigen Verkehrszählungen für jeden Straßenabschnitt verwendet. Insbesondere die Gewichtung der B10 berücksichtigt zwar ihre besondere verkehrliche Bedeutung, basiert aber noch nicht auf konkreten stündlichen Fahrzeugzahlen. === Vereinfachte Windverhältnisse === Im gesamten Untersuchungsgebiet wird eine konstante Windstärke und eine konstante Ausbreitungsrichtung angenommen. In der Realität ändern sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung zeitlich und räumlich. Außerdem wird die Strömung durch Berge, Täler und Bebauung beeinflusst. === Fehlende Topographie === Die Höhenlage des Geländes ist im aktuellen Berechnungsmodell noch nicht als eigener Faktor enthalten. Die Hintergrundkarte zeigt zwar Berge und Höhenangaben, diese beeinflussen jedoch nicht die berechneten Belastungswerte. Gerade in der Umgebung von Annweiler wäre die Topographie besonders relevant, da das Gelände durch Täler und umliegende Erhebungen geprägt ist. === Fehlende Gebäude und Straßenschluchten === Gebäude können den Luftaustausch behindern und lokal zu erhöhten Schadstoffkonzentrationen führen. Dieser Effekt wird im aktuellen Modell nicht berücksichtigt. === Tunnelabschnitte === Tunnel werden noch nicht gesondert behandelt. Im derzeitigen Modell wirken auch Straßenabschnitte innerhalb eines Tunnels wie gewöhnliche oberirdische Linienquellen. Eine realistischere Modellierung müsste die Emissionen innerhalb des Tunnels entfernen und stattdessen verstärkte Punktquellen an den Tunnelportalen ansetzen. === Hintergrundbelastung === Die Hintergrundbelastung <math>B_0=9</math> ist eine Modellannahme. Sie wurde nicht aus einer konkreten Messreihe für Annweiler bestimmt und darf daher nicht als reale Konzentration interpretiert werden. === Keine direkte Validierung === Eine Validierung mit tatsächlichen Feinstaubmessungen wurde bislang nicht durchgeführt. Ohne Vergleichsdaten kann nicht beurteilt werden, wie gut die räumliche Verteilung des Modells mit der Realität übereinstimmt. == Mögliche Erweiterungen == Das Modell kann in weiteren Arbeitsschritten erweitert und verbessert werden. === Reale Verkehrsdaten === Die relativen Linienquellenstärken könnten durch reale Verkehrszählungen ersetzt werden. Für einen Straßenabschnitt <math>i</math> könnte beispielsweise gelten: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei würden Personenwagen und Lastkraftwagen aufgrund ihrer unterschiedlichen Emissionen getrennt berücksichtigt. === Zeitabhängiges Modell === Die Belastung könnte zusätzlich von der Zeit abhängen: :<math> B=B(x,y,t). </math> Dadurch könnten unter anderem * morgendlicher Berufsverkehr, * abendlicher Berufsverkehr, * nächtliche Verkehrsabnahme, * wechselnde Windrichtungen abgebildet werden. === Topographischer Faktor === Ein digitales Höhenmodell könnte verwendet werden, um jeder Rasterzelle eine Höhe :<math> H(x,y) </math> zuzuordnen. Darauf aufbauend könnten Hangneigung, Talrichtung und Höhenunterschiede zwischen Quelle und Rasterpunkt berücksichtigt werden. === Tunnelportale === Tunnelabschnitte könnten aus der normalen Linienquellenberechnung entfernt werden. An den Ein- und Ausfahrten könnten stattdessen zusätzliche Punktquellen erzeugt werden, deren Stärke von Tunnellänge und Verkehrsaufkommen abhängt. === Messdaten und Kalibrierung === Mobile oder stationäre Messungen könnten verwendet werden, um die Modellparameter anzupassen. Dazu könnten die Abweichungen zwischen Messwerten <math>M_i</math> und Modellwerten <math>B_i</math> beispielsweise durch eine Fehlerfunktion beschrieben werden: :<math> F = \sum_{i=1}^{n} \left( M_i-B_i \right)^2. </math> Die Modellparameter könnten anschließend so gewählt werden, dass diese Fehlerfunktion möglichst klein wird. == Fazit == Das Projekt zeigt, wie eine reale Fragestellung schrittweise in ein mathematisches Modell überführt werden kann. Ausgehend von einem rechteckigen Untersuchungsgebiet wurde zunächst ein diskretes Berechnungsraster erzeugt. An künstlichen Testquellen wurden anschließend eine gaußförmige und eine windabhängige Ausbreitungsfunktion entwickelt. Danach wurde das reale Straßennetz von Annweiler in das Modell aufgenommen. Die Straßen wurden nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichtet, in kleine Punktquellen zerlegt und mit der zuvor entwickelten Ausbreitungsfunktion verknüpft. Das Ergebnis ist eine räumliche Belastungsfunktion, deren Werte auf einer interaktiven Landkarte dargestellt und für einzelne Rasterzellen abgefragt werden können. Das Modell liefert noch keine realen PM₂,₅-Konzentrationen. Es bildet jedoch einen nachvollziehbaren mathematischen Rahmen, der durch Verkehrsdaten, Messwerte, Topographie und eine gesonderte Tunnelmodellierung weiterentwickelt werden kann. 7eeeqco2kumuv4daw3r5g8li3uehchb 1108824 1108823 2026-07-23T16:44:37Z Felix Bohl 41569 /* Gliederung */ 1108824 wikitext text/x-wiki =Uni Niveau= = Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels = == Zielsetzung und Fragestellung == Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines räumlichen mathematischen Modells zur Beschreibung einer möglichen Schadstoffbelastung im Gebiet von Annweiler am Trifels. Die zentrale Fragestellung lautet: :''Wie kann die räumliche Verteilung einer verkehrsbedingten Schadstoffbelastung in Annweiler mithilfe eines mathematischen Modells beschrieben und auf einer interaktiven Karte dargestellt werden?'' Dazu wird das Untersuchungsgebiet in ein regelmäßiges Raster zerlegt. Jeder Rasterzelle wird ein modellierter Belastungswert zugeordnet. Die Belastungswerte werden anschließend farbig auf einer Karte dargestellt. Durch Anklicken einer Rasterzelle kann der zugehörige Wert abgerufen werden. Das Modell soll schrittweise erweitert werden. Zunächst werden einzelne Punktquellen betrachtet. Anschließend werden reale Straßenverläufe als Linienquellen integriert. Weitere Einflussgrößen wie Straßenart, Wind, Tunnelabschnitte und später möglicherweise die Topographie werden nach und nach ergänzt. Das Ziel besteht nicht darin, unmittelbar ein vollständig physikalisches Ausbreitungsmodell zu entwickeln. Vielmehr soll nachvollziehbar untersucht werden, wie aus einer realen Fragestellung schrittweise ein berechenbares mathematisches Modell entsteht. Die derzeit berechneten Werte stellen deshalb einen relativen Belastungsindex dar. Sie sind noch nicht als reale PM₂,₅-Konzentrationen in <math>\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> zu interpretieren. == Grundidee des mathematischen Modells == Das Untersuchungsgebiet wird als zweidimensionaler Bereich :<math>\Omega\subset\mathbb R^2</math> aufgefasst. Jedem Punkt <math>(x,y)\in\Omega</math> wird ein nichtnegativer Belastungswert zugeordnet. Dadurch entsteht eine räumliche Belastungsfunktion :<math> B:\Omega\longrightarrow\mathbb R_{\geq 0}. </math> Der Wert :<math>B(x,y)</math> beschreibt die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Das Grundmodell setzt sich aus einer Hintergrundbelastung und den Beiträgen einzelner Quellen zusammen: :<math> B(x,y) = B_0+ \sum_{i=1}^{m}Q_i(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>Q_i(x,y)</math> den Beitrag der <math>i</math>-ten Schadstoffquelle, * <math>m</math> die Anzahl der berücksichtigten Quellen. Später werden die Quellen in zwei Gruppen unterteilt: <math> B(x,y) = B_0 + \sum_{i=1}^{m} Q_i^{\mathrm{Strasse}}(x,y) + \sum_{j=1}^{k} Q_j^{\mathrm{Punkt}}(x,y) </math> Die Straßen werden dabei als Linienquellen modelliert. Tunnelportale, Ampeln oder industrielle Anlagen können als zusätzliche Punktquellen berücksichtigt werden. == Wahl des Untersuchungsgebietes und des Koordinatensystems == Als Mittelpunkt des Untersuchungsgebietes werden näherungsweise die geografischen Koordinaten von Annweiler am Trifels verwendet: :<math> \lambda=7{,}967^\circ,\qquad \varphi=49{,}200^\circ. </math> Geografische Längen- und Breitengrade sind für Entfernungsberechnungen jedoch ungeeignet, da sie keine metrischen Koordinaten darstellen. Deshalb werden die Koordinaten in das Bezugssystem ETRS89 / UTM-Zone 32N transformiert. Im R-Code wird dafür das Koordinatenreferenzsystem EPSG:25832 verwendet: <syntaxhighlight lang="r"> zentrum <- st_sfc( st_point(c(annweiler_lon, annweiler_lat)), crs = 4326 ) zentrum_utm <- st_transform( zentrum, 25832 ) </syntaxhighlight> Nach der Transformation werden Entfernungen in Metern angegeben. Dadurch können Rasterweiten, Straßenlängen und Ausbreitungsentfernungen direkt miteinander verrechnet werden. Das Untersuchungsgebiet wird zunächst als Rechteck mit einer Breite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Höhe von <math>6000\,\mathrm m</math> modelliert. == Hinzufügen eines Rasters == Die Belastungsfunktion <math>B(x,y)</math> kann nicht an jedem Punkt eines kontinuierlichen Gebietes einzeln berechnet werden. Deshalb wird das Untersuchungsgebiet diskretisiert. Das rechteckige Gebiet wird in quadratische Rasterzellen mit einer Seitenlänge von :<math>h=50\,\mathrm m</math> zerlegt. Bei einer Gebietsbreite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Gebietshöhe von <math>6000\,\mathrm m</math> entstehen theoretisch :<math> \frac{7000}{50}\cdot\frac{6000}{50} = 140\cdot120 = 16800 </math> Rasterzellen. Jede Rasterzelle besitzt einen Mittelpunkt :<math> P_{ij}=(x_i,y_j). </math> Der Belastungswert der gesamten Zelle wird durch den Wert am Mittelpunkt angenähert: :<math> B_{ij}\approx B(x_i,y_j). </math> Die Belastungswerte können dadurch in einer Matrix angeordnet werden: :<math> M= \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1n}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ B_{m1}&B_{m2}&\cdots&B_{mn} \end{pmatrix}. </math> Jeder Eintrag der Matrix entspricht genau einer räumlichen Rasterzelle. Im Programm wird das Raster mit der Funktion <code>st_make_grid()</code> erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_geometrie <- st_make_grid( gebiet, cellsize = rasterweite, what = "polygons", square = TRUE ) raster <- st_sf( id = seq_along(raster_geometrie), geometry = raster_geometrie ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Mittelpunkte der Rasterzellen bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> rasterpunkte <- st_centroid( st_geometry(raster) ) rasterkoordinaten <- st_coordinates( rasterpunkte ) raster$x <- rasterkoordinaten[, "X"] raster$y <- rasterkoordinaten[, "Y"] </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diskretisierung des Untersuchungsgebietes durch ein 50-m-Raster </div> [[Datei:01_Berechnungsraster.png|700px|zentriert|Raster des Untersuchungsgebietes um Annweiler.]] == Erste Modellstufe: einzelne Testquellen == Bevor das reale Straßennetz berücksichtigt wird, wird die Ausbreitungsfunktion zunächst mithilfe einzelner Testquellen untersucht. Dazu werden vier modellierte Punktquellen verwendet: * westliche Testquelle, * östliche Testquelle, * südöstliche Testquelle, * zentrale Testquelle. Die Bezeichnungen orientieren sich zunächst an möglichen späteren Anwendungen wie Tunnelportalen, Industrie oder einer Ampel. Die Positionen und Quellenstärken sind jedoch noch keine real erhobenen Daten. Die Testquellen besitzen zwei Funktionen: # Sie ermöglichen eine erste Überprüfung der Ausbreitungsfunktion. # Sie machen sichtbar, wie sich Windrichtung, Quellenstärke und Entfernung auf das Belastungsfeld auswirken. Die Testquellen stellen damit Kontrollpunkte des Modells dar. An ihnen kann geprüft werden, ob eine stärkere Quelle tatsächlich eine größere Belastung erzeugt und ob sich die Belastung überwiegend in der festgelegten Windrichtung ausbreitet. <syntaxhighlight lang="r"> quellen <- data.frame( name = c( "Westliches Tunnelportal", "Östliches Tunnelportal", "Industrie", "Ampel" ), x = c( zentrum_x - 1800, zentrum_x + 1100, zentrum_x + 1800, zentrum_x - 300 ), y = c( zentrum_y + 500, zentrum_y + 300, zentrum_y - 1700, zentrum_y - 400 ), staerke = c( 25, 25, 15, 10 ) ) </syntaxhighlight> == Zweite Modellstufe: kreisförmige Ausbreitung ohne Wind == Nachdem die Positionen der Testquellen festgelegt wurden, wird im nächsten Schritt eine erste räumliche Ausbreitungsfunktion eingeführt. Zunächst wird angenommen, dass sich die von einer Punktquelle ausgehende Belastung in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Wind, Gelände, Bebauung und weitere äußere Einflüsse werden in dieser Modellstufe noch nicht berücksichtigt. Die Ausbreitung ist daher radialsymmetrisch. Das bedeutet, dass der Quellenbeitrag nur vom Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt abhängt. === Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt === Eine Punktquelle befinde sich am Ort :<math> Q=(x_Q,y_Q). </math> Ein Rasterpunkt besitzt die Koordinaten :<math> P=(x,y). </math> Der euklidische Abstand zwischen beiden Punkten beträgt :<math> r = \sqrt{ (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 }. </math> Da in der später verwendeten Exponentialfunktion das Quadrat des Abstandes benötigt wird, kann direkt mit :<math> r^2 = (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 </math> gerechnet werden. === Gaußförmige Ausbreitung === Für den Beitrag einer Quelle wird zunächst eine gaußförmige Abnahme angenommen: :<math> Q(x,y) = S\cdot \exp\left( -\frac{ (x-x_Q)^2+(y-y_Q)^2 }{ 2\sigma^2 } \right). </math> Dabei bezeichnet * <math>S</math> die Stärke der Quelle, * <math>\sigma</math> die räumliche Streuung beziehungsweise Reichweite, * <math>Q(x,y)</math> den modellierten Quellenbeitrag am Rasterpunkt <math>(x,y)</math>. Direkt am Standort der Quelle gilt :<math> x=x_Q,\qquad y=y_Q. </math> Damit wird der Exponent gleich null und es folgt :<math> Q(x_Q,y_Q)=S. </math> Die maximale Belastung einer einzelnen Quelle entspricht somit ihrer Quellenstärke. Mit zunehmendem Abstand wird der Exponent negativ. Dadurch nimmt der Quellenbeitrag exponentiell ab. Der Parameter <math>\sigma</math> steuert die Breite des Belastungsfeldes: * Ein kleines <math>\sigma</math> führt zu einer stark lokal begrenzten Belastung. * Ein großes <math>\sigma</math> führt zu einer weiter reichenden Ausbreitung. Im ersten Testmodell wird beispielsweise :<math> \sigma=350\,\mathrm m </math> verwendet. === Umsetzung im R-Code === Die radialsymmetrische Ausbreitung wird als eigene Funktion programmiert: <syntaxhighlight lang="r"> kreisfoermiger_beitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke, sigma = 350 ) { abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) return(beitrag) } </syntaxhighlight> Die Funktion erhält die Koordinaten aller Rasterpunkte sowie die Position und Stärke einer Quelle. Zunächst wird das Quadrat des Abstandes berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 </syntaxhighlight> Anschließend wird der gaußförmige Quellenbeitrag bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) </syntaxhighlight> === Überlagerung mehrerer Quellen === Da vier Testquellen vorhanden sind, wird der Beitrag jeder Quelle einzeln berechnet. Die Gesamtbelastung der Testquellen ergibt sich durch Addition: :<math> B_{\mathrm{Test}}(x,y) = \sum_{i=1}^{4}Q_i(x,y). </math> Dieses Vorgehen entspricht dem Superpositionsprinzip. Jeder Quellenbeitrag wird unabhängig berechnet und anschließend zur Gesamtbelastung addiert. Im R-Code wird zunächst für jede Rasterzelle der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$testbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Testquellen nacheinander addiert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(quellen))) { beitrag_i <- kreisfoermiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = quellen$x[i], quelle_y = quellen$y[i], staerke = quellen$staerke[i] ) raster$testbelastung <- raster$testbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Jeder Rasterzelle wird dadurch ein Belastungswert zugeordnet. === Interpretation der ersten Ausbreitung === Das resultierende Belastungsfeld besitzt um jede Quelle annähernd kreisförmige Konturen. Quellen mit einer größeren Quellenstärke erzeugen höhere Belastungswerte. In Bereichen, in denen sich die Belastungsfelder mehrerer Quellen überlagern, addieren sich ihre Beiträge. Diese erste Modellstufe ist mathematisch übersichtlich und eignet sich gut, um die grundsätzliche Berechnung zu überprüfen. Sie besitzt jedoch eine deutliche Einschränkung: In der Realität breiten sich Schadstoffe nicht in alle Richtungen gleichmäßig aus. Insbesondere der Wind führt dazu, dass Schadstoffe überwiegend in eine bestimmte Richtung transportiert werden. Diese Beobachtung motiviert die nächste Erweiterung des Modells. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kreisförmige Ausbreitung der vier Testquellen ohne Wind </div> [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|700px|zentriert|Modellierte Belastung der vier Testquellen ohne Berücksichtigung des Windes.]] == Dritte Modellstufe: Berücksichtigung des Windes == Im vorherigen Modell wurde eine gleichmäßige Ausbreitung in alle Raumrichtungen angenommen. Diese Annahme ist für eine reale Schadstoffausbreitung nur eingeschränkt geeignet. Wind transportiert Schadstoffe bevorzugt in eine bestimmte Richtung. Deshalb wird das radialsymmetrische Modell nun zu einer gerichteten Ausbreitungsfunktion erweitert. Ziel dieser Modellstufe ist es, aus den kreisförmigen Belastungsfeldern längliche Schadstofffahnen zu erzeugen. === Windrichtung und Ausbreitungsrichtung === Im Modell wird nicht die meteorologische Herkunftsrichtung des Windes angegeben, sondern die Richtung, in welche die Schadstoffe transportiert werden. Ein Winkel von * <math>0^\circ</math> beschreibt eine Ausbreitung nach Osten, * <math>90^\circ</math> eine Ausbreitung nach Norden, * <math>180^\circ</math> eine Ausbreitung nach Westen, * <math>270^\circ</math> eine Ausbreitung nach Süden. Im Programm wird beispielsweise eine Ausbreitungsrichtung von :<math> \alpha=70^\circ </math> gewählt. Da die trigonometrischen Funktionen in R mit dem Bogenmaß arbeiten, erfolgt die Umrechnung durch :<math> \alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha_{\mathrm{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}. </math> Im R-Code lautet dies: <syntaxhighlight lang="r"> ausbreitungsrichtung_grad <- 70 ausbreitungsrichtung_rad <- ausbreitungsrichtung_grad * pi / 180 </syntaxhighlight> === Zerlegung des Abstandsvektors === Für eine Quelle am Punkt :<math> Q=(x_Q,y_Q) </math> und einen Rasterpunkt :<math> P=(x,y) </math> wird zunächst der Differenzvektor berechnet: :<math> \Delta x=x-x_Q, </math> :<math> \Delta y=y-y_Q. </math> Dieser Vektor wird anschließend in zwei Richtungen zerlegt: * eine Komponente parallel zur Ausbreitungsrichtung, * eine Komponente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die parallele Komponente lautet :<math> s = \Delta x\cos(\alpha) + \Delta y\sin(\alpha). </math> Die senkrechte Komponente lautet :<math> q = -\Delta x\sin(\alpha) + \Delta y\cos(\alpha). </math> Dabei bezeichnet * <math>s</math> den Abstand längs der Ausbreitungsrichtung, * <math>q</math> den Abstand quer zur Ausbreitungsrichtung. Mathematisch entspricht diese Berechnung einer Drehung des Koordinatensystems. Im R-Code wird die Transformation folgendermaßen umgesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) </syntaxhighlight> === Abnahme längs der Ausbreitungsrichtung === Mit zunehmender Entfernung von der Quelle soll der Belastungsbeitrag abnehmen. Dazu wird eine exponentielle Abnahme verwendet: :<math> A_{\parallel}(s) = \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right). </math> Der Parameter <math>\lambda</math> bestimmt die Reichweite entlang der Ausbreitungsrichtung. Im aktuellen Modell wird <math>\lambda</math> zusätzlich von der Windstärke abhängig gemacht: :<math> \lambda = 140+60v. </math> Dabei bezeichnet <math>v</math> die modellierte Windgeschwindigkeit. Im R-Code wird die Abnahme durch <syntaxhighlight lang="r"> abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) </syntaxhighlight> beschrieben. === Ausbreitung quer zur Windrichtung === Quer zur Windrichtung wird weiterhin eine Gaußfunktion verwendet: :<math> A_{\perp}(q) = \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die Breite der Schadstofffahne ist jedoch nicht konstant. Sie soll mit zunehmender Entfernung windabwärts wachsen. Dazu wird :<math> \sigma_{\perp} = 25 + 0{,}025\max(s,0) + 7v </math> verwendet. Die Funktion <math>\max(s,0)</math> sorgt dafür, dass nur die Entfernung in Ausbreitungsrichtung berücksichtigt wird. Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke </syntaxhighlight> Die gaußförmige Querverteilung ergibt sich durch <syntaxhighlight lang="r"> verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) </syntaxhighlight> === Verringerung entgegen der Windrichtung === Punkte mit :<math> s\geq0 </math> liegen in Ausbreitungsrichtung. Punkte mit :<math> s<0 </math> liegen entgegen der Ausbreitungsrichtung. Da sich Schadstoffe zwar überwiegend windabwärts ausbreiten, aber eine geringe Belastung auch windaufwärts möglich sein kann, wird ein Richtungsfaktor eingeführt: :<math> R(s) = \begin{cases} 1,&s\geq0,\\ 0{,}03,&s<0. \end{cases} </math> Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) </syntaxhighlight> === Gesamter Beitrag einer windabhängigen Punktquelle === Der Beitrag einer Quelle mit Stärke <math>S</math> ergibt sich damit aus dem Produkt der einzelnen Faktoren: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot A_{\parallel}(s) \cdot A_{\perp}(q). </math> Ausgeschrieben lautet die Modellfunktion: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die entsprechende R-Funktion lautet: <syntaxhighlight lang="r"> quellenbeitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke ) { delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) beitrag <- staerke * richtungsfaktor * abnahme_laengs * verteilung_quer return(beitrag) } </syntaxhighlight> === Vergleich des Modells ohne und mit Wind === Durch die Berücksichtigung der Windrichtung verändert sich die Form des Belastungsfeldes deutlich. Ohne Wind entstehen um die Quellen annähernd kreisförmige Bereiche. Mit Wind werden die Belastungsfelder in Ausbreitungsrichtung verlängert. Entgegen der Windrichtung ist der Beitrag dagegen stark reduziert. Dieser Vergleich zeigt, wie bereits die Ergänzung eines einzelnen Einflussfaktors die Modellergebnisse wesentlich verändert. <div style="display:flex; justify-content:center; gap:20px; flex-wrap:wrap;"> <div style="text-align:center;"> '''Ohne Wind''' [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|500px|Kreisförmige Ausbreitung ohne Wind.]] </div> <div style="text-align:center;"> '''Mit Wind''' [[Datei:04 Windabhaengige Ausbreitung.png|500px|Gerichtete Ausbreitung unter Berücksichtigung des Windes.]] </div> </div> == Vierte Modellstufe: Straßen als Linienquellen == Die bisherigen Testquellen stellen einzelne Punkte dar. Der Straßenverkehr erzeugt Schadstoffe jedoch nicht nur an einzelnen Orten, sondern entlang des gesamten Straßenverlaufs. Straßen werden deshalb im nächsten Schritt als Linienquellen modelliert. === Import des realen Straßennetzes === Die Straßenverläufe werden aus OpenStreetMap-Daten übernommen. Dazu wird eine zuvor heruntergeladene GeoJSON-Datei verwendet. Die Datei enthält neben den Geometrien auch Eigenschaften der Straßen, beispielsweise * die OSM-Straßenklasse <code>highway</code>, * die Straßenbezeichnung <code>ref</code>, * die Information, ob ein Abschnitt als Tunnel gekennzeichnet ist. Die Datei wird in R mit der Funktion <code>st_read()</code> geladen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_sf <- st_read( strassen_datei, quiet = TRUE ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Straßendaten in das metrische Koordinatensystem EPSG:25832 transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- st_transform( strassen_sf, 25832 ) </syntaxhighlight> Nur die Straßen innerhalb des Untersuchungsgebietes werden weiterverwendet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_intersection( strassen_utm, gebiet ) ) </syntaxhighlight> === Geometrische Aufbereitung === OpenStreetMap-Daten können verschiedene Geometrietypen enthalten. Für die weitere Modellierung werden jedoch einzelne Linienzüge vom Typ <code>LINESTRING</code> benötigt. Deshalb werden mehrteilige Linien in einzelne Linien zerlegt: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_collection_extract( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) strassen_utm <- suppressWarnings( st_cast( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) </syntaxhighlight> Leere oder ungültige Geometrien werden entfernt beziehungsweise repariert. === Auswahl relevanter Straßen === Nicht jede in OpenStreetMap enthaltene Linie ist für die verkehrsbedingte Belastung gleichermaßen relevant. Daher werden nur ausgewählte Straßenklassen berücksichtigt: <syntaxhighlight lang="r"> relevante_strassentypen <- c( "motorway", "motorway_link", "trunk", "trunk_link", "primary", "primary_link", "secondary", "secondary_link", "tertiary", "tertiary_link", "residential", "unclassified", "living_street", "service" ) </syntaxhighlight> Andere Wege, beispielsweise reine Fußwege oder Waldpfade, werden im aktuellen Modell nicht als Emissionsquellen behandelt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Importiertes Straßennetz im Untersuchungsgebiet </div> [[Datei:05 Strassennetz Annweiler.png|700px|zentriert|Aus OpenStreetMap importierte Straßen im Untersuchungsgebiet.]] == Fünfte Modellstufe: Gewichtung der Straßen == Die verschiedenen Straßen im Untersuchungsgebiet weisen sehr unterschiedliche Verkehrsaufkommen auf. Eine stark befahrene Bundesstraße mit einem hohen Anteil an Personen- und Lastkraftwagen verursacht grundsätzlich mehr verkehrsbedingte Emissionen als eine kleine Wohn- oder Zufahrtsstraße. Da für die aktuelle Modellversion noch keine vollständigen Verkehrszählungen für alle Straßenabschnitte vorliegen, wird zunächst eine relative Gewichtung anhand der OSM-Straßenklasse vorgenommen. Die Gewichtungswerte sind dimensionslose Modellparameter. Sie stellen keine realen Emissionsmengen dar, sondern beschreiben lediglich die relative Bedeutung der Straßen innerhalb des Modells. === Relative Linienquellenstärke === Jeder Straße wird abhängig von ihrer OSM-Klasse eine relative Linienquellenstärke zugeordnet. Im aktuellen Modell werden folgende Werte verwendet: {| class="wikitable" ! OSM-Straßenklasse ! Modellierte Linienquellenstärke |- | <code>motorway</code> | 10 |- | <code>motorway_link</code> | 7 |- | <code>trunk</code> | 10 |- | <code>trunk_link</code> | 7 |- | <code>primary</code> | 6 |- | <code>primary_link</code> | 5 |- | <code>secondary</code> | 4 |- | <code>secondary_link</code> | 3,5 |- | <code>tertiary</code> | 3 |- | <code>tertiary_link</code> | 2,5 |- | <code>residential</code> | 1,5 |- | <code>unclassified</code> | 1,5 |- | <code>living_street</code> | 1 |- | <code>service</code> | 0,5 |} Die Zuordnung erfolgt im R-Code zunächst durch das Anlegen einer neuen Variablen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke <- 0 </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Straßenklasse ein Wert zugewiesen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary" ] <- 6 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary_link" ] <- 5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary" ] <- 4 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary_link" ] <- 3.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary" ] <- 3 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary_link" ] <- 2.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "residential" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "unclassified" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "living_street" ] <- 1 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "service" ] <- 0.5 </syntaxhighlight> Stark befahrene überregionale Straßen erhalten somit hohe Werte. Wohn- und Nebenstraßen werden deutlich schwächer gewichtet. === Besondere Gewichtung der B10 === Die Bundesstraße B10 stellt im Untersuchungsgebiet die wichtigste Verkehrsachse dar. Auf ihr wird ein deutlich höheres Verkehrsaufkommen und insbesondere ein größerer Lastkraftwagenanteil angenommen. Deshalb wird die B10 zusätzlich über die OSM-Eigenschaften <code>ref</code> und <code>name</code> erkannt. Zunächst wird für alle Straßenabschnitte festgelegt, dass sie nicht zur B10 gehören: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$ist_b10 <- FALSE </syntaxhighlight> Anschließend wird die Spalte <code>ref</code> überprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("ref" %in% names(strassen_relevant)) { ref_text <- as.character( strassen_relevant$ref ) ref_text[is.na(ref_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = ref_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Zusätzlich wird die Straßenbezeichnung in der Spalte <code>name</code> geprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("name" %in% names(strassen_relevant)) { name_text <- as.character( strassen_relevant$name ) name_text[is.na(name_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = name_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Alle erkannten B10-Abschnitte erhalten mindestens die relative Linienquellenstärke :<math> w_{\mathrm{B10}}=12. </math> Die Zuweisung erfolgt durch: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ] <- pmax( strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ], 12 ) </syntaxhighlight> Die Funktion <code>pmax()</code> stellt sicher, dass ein B10-Abschnitt mindestens den Wert 12 erhält. Ein möglicherweise bereits höherer Wert würde jedoch nicht verringert. === Bedeutung der Gewichtungswerte === Die Linienquellenstärke beschreibt die relative Emissionswirkung eines Straßenabschnittes. Für zwei Straßenabschnitte mit den Gewichtungen :<math> w_1=12 </math> und :<math> w_2=1{,}5 </math> gilt im Modell, dass die erste Straße eine achtmal so große Quellenstärke besitzt: :<math> \frac{12}{1{,}5}=8. </math> Damit wird die B10 deutlich stärker berücksichtigt als eine gewöhnliche Wohnstraße. Die Werte dienen jedoch nur dem Vergleich innerhalb des Modells. Aus einer Linienquellenstärke von 12 kann keine reale PM₂,₅-Emission abgeleitet werden. === Grafische Darstellung der Gewichtung === Für die Visualisierung wird aus der Linienquellenstärke eine Linienbreite berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienbreite <- 0.4 + 0.28 * strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> Die Variable <code>linienbreite</code> dient ausschließlich der grafischen Darstellung. Stark gewichtete Straßen werden dadurch breiter gezeichnet als schwach gewichtete Straßen. Die eigentliche Modellgröße bleibt die Variable <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung </div> [[Datei:06 Strassengewichtung.png|700px|zentriert|Darstellung der Straßen mit unterschiedlicher Linienbreite entsprechend ihrer modellierten relativen Quellenstärke.]] === Grenzen der Gewichtung === Die verwendeten Gewichtungswerte beruhen auf Modellannahmen und nicht auf vollständigen Verkehrszählungen. Eine genauere Modellierung müsste unter anderem berücksichtigen: * die Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, * den Anteil an Lastkraftwagen, * die durchschnittliche Geschwindigkeit, * Beschleunigungs- und Bremsvorgänge, * die Fahrzeugtypen, * reale Emissionsfaktoren. Eine mögliche zukünftige Berechnung der Emissionsstärke eines Straßenabschnittes <math>i</math> wäre: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei bezeichnet * <math>N_{\mathrm{PKW},i}</math> die Anzahl der Personenwagen auf Straßenabschnitt <math>i</math>, * <math>N_{\mathrm{LKW},i}</math> die Anzahl der Lastkraftwagen, * <math>e_{\mathrm{PKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Personenwagens, * <math>e_{\mathrm{LKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Lastkraftwagens. Die aktuelle Straßenklassengewichtung stellt somit eine erste Näherung dar, die später durch reale Verkehrsdaten ersetzt oder kalibriert werden kann. == Sechste Modellstufe: Diskretisierung der Straßenlinien == Die gewichteten Straßen liegen zunächst als Liniengeometrien vor. Die zuvor entwickelte windabhängige Ausbreitungsfunktion beschreibt jedoch den Beitrag einzelner Punktquellen. Damit dieselbe Ausbreitungsfunktion auch für Straßen verwendet werden kann, werden die Linienquellen durch eine große Anzahl kleiner Punktquellen angenähert. Dieses Vorgehen wird als Diskretisierung bezeichnet. === Mathematische Idee === Ein Straßenabschnitt <math>L_i</math> wird durch eine endliche Menge von Punkten angenähert: :<math> L_i \approx \left\{ Q_{i,1}, Q_{i,2}, \ldots, Q_{i,n_i} \right\}. </math> Dabei bezeichnet * <math>L_i</math> den <math>i</math>-ten Straßenabschnitt, * <math>Q_{i,j}</math> die <math>j</math>-te Punktquelle auf diesem Abschnitt, * <math>n_i</math> die Anzahl der erzeugten Punktquellen. Die Quellen werden ungefähr im Abstand von :<math> d=50\,\mathrm m </math> entlang der Straßen erzeugt. Eine kürzere Distanz würde die Linienquelle genauer annähern, aber gleichzeitig die Anzahl der Berechnungen deutlich erhöhen. Eine größere Distanz würde die Rechenzeit reduzieren, die Straße jedoch gröber darstellen. Der Wert von <math>50\,\mathrm m</math> stellt daher einen Kompromiss zwischen räumlicher Genauigkeit und Rechenaufwand dar. === Stärke einer einzelnen Straßenquelle === Jede erzeugte Punktquelle übernimmt die relative Gewichtung der Straße, auf der sie liegt. Die Stärke einer Punktquelle wird im Programm durch :<math> S_{i,j} = c\cdot w_i </math> festgelegt. Dabei bezeichnet * <math>w_i</math> die Linienquellenstärke des Straßenabschnittes, * <math>c</math> einen Skalierungsfaktor, * <math>S_{i,j}</math> die Stärke der einzelnen Punktquelle. Im Modell wird :<math> c=0{,}25 </math> verwendet. Damit ergibt sich beispielsweise für eine B10-Quelle: :<math> S_{\mathrm{B10}} = 0{,}25\cdot12 = 3. </math> Für eine Wohnstraße mit <math>w=1{,}5</math> ergibt sich dagegen: :<math> S_{\mathrm{Wohnstrasse}} = 0{,}25\cdot1{,}5 = 0{,}375. </math> Die B10 erzeugt somit an jedem Stützpunkt einen deutlich höheren Beitrag als eine Wohnstraße. === Umsetzung im R-Code === Zunächst wird der Abstand zwischen benachbarten Straßenquellen festgelegt: <syntaxhighlight lang="r"> quellenabstand_strasse <- 50 </syntaxhighlight> Für jeden Straßenabschnitt wird anschließend dessen Länge bestimmt und die erforderliche Anzahl an Punktquellen berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> linienlaenge <- as.numeric( st_length( strassen_relevant[i, ] ) ) anzahl_quellen <- max( 1, ceiling( linienlaenge / quellenabstand_strasse ) ) </syntaxhighlight> Die Punkte werden regelmäßig auf der Linie verteilt: <syntaxhighlight lang="r"> punkte_i <- st_line_sample( st_geometry( strassen_relevant[i, ] ), n = anzahl_quellen, type = "regular" ) punkte_i <- suppressWarnings( st_cast( punkte_i, "POINT" ) ) </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Punktquelle die Gewichtung ihrer Straße zugeordnet: <syntaxhighlight lang="r"> skalierungsfaktor_strassenquelle <- 0.25 strassenquellen$quellenstaerke <- strassenquellen$linienstaerke * skalierungsfaktor_strassenquelle </syntaxhighlight> Durch dieses Verfahren wird jede Straße als Folge vieler kleiner Punktquellen angenähert. == Siebte Modellstufe: Windabhängige Belastung durch das Straßennetz == Nach der Diskretisierung kann für jede erzeugte Straßenquelle dieselbe windabhängige Ausbreitungsfunktion verwendet werden, die zuvor an den künstlichen Testquellen entwickelt wurde. === Beitrag einer einzelnen Straßenquelle === Für eine Straßenquelle <math>Q_k</math> mit der Stärke <math>S_k</math> wird der Beitrag an einem Rasterpunkt <math>(x,y)</math> durch :<math> Q_k(x,y) = S_k \cdot R(s_k) \cdot \exp\left( -\frac{|s_k|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q_k^2}{2\sigma_{\perp,k}^2} \right) </math> berechnet. Dabei werden weiterhin berücksichtigt: * die Lage der Quelle, * die Entfernung zum Rasterpunkt, * die Richtung parallel zum Wind, * die Entfernung quer zum Wind, * die Windstärke, * die relative Emissionsstärke der Straße. === Überlagerung aller Straßenquellen === Die Belastung einer Rasterzelle entsteht durch Addition sämtlicher Straßenquellen: :<math> B_{\mathrm{Strasse}}(x,y) = \sum_{k=1}^{N} Q_k(x,y). </math> Dabei bezeichnet <math>N</math> die Gesamtzahl der erzeugten Straßenquellen. Die Berechnung folgt erneut dem Superpositionsprinzip. Der Beitrag jeder Quelle wird unabhängig bestimmt und anschließend addiert. Im R-Code wird zunächst für alle Rasterzellen der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$strassenbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Straßenquellen überlagert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(strassenquellen))) { beitrag_i <- windabhaengiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = strassenquellen$x[i], quelle_y = strassenquellen$y[i], staerke = strassenquellen$quellenstaerke[i], windstaerke = windstaerke, ausbreitungsrichtung_rad = ausbreitungsrichtung_rad ) raster$strassenbelastung <- raster$strassenbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Da für jede Straßenquelle ein Beitrag an allen 16800 Rasterzellen berechnet wird, ist dieser Schritt deutlich rechenintensiver als die vorherigen Modellstufen. === Darstellung der berechneten Straßenbelastung === Jede Rasterzelle erhält nach der Berechnung einen Wert :<math> B_{\mathrm{Strasse},ij}. </math> Diese Werte werden einer Farbskala zugeordnet: * Weiß und sehr helle Farben kennzeichnen eine geringe Belastung. * Gelbe und orange Farben kennzeichnen eine mittlere Belastung. * Rote und dunkelrote Farben kennzeichnen eine hohe Belastung. Die Darstellung zeigt, dass die höchsten Werte vor allem entlang stark gewichteter Straßen auftreten. Durch die Windkomponente entstehen keine vollkommen symmetrischen Belastungsfelder. Die Belastung wird vielmehr in der festgelegten Ausbreitungsrichtung weitertransportiert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Windabhängige Belastung durch das reale Straßennetz </div> [[Datei:07 Windabhaengige Strassenbelastung.png|700px|zentriert|Modellierte windabhängige Belastung durch die gewichteten Straßenquellen.]] === Interpretation === In der Abbildung sind insbesondere die stark gewichteten Straßenabschnitte erkennbar. Die B10 erzeugt aufgrund ihrer höheren Linienquellenstärke einen größeren Belastungsbeitrag als kleinere Neben- und Wohnstraßen. An Kreuzungen und in Bereichen, in denen mehrere Straßen nahe beieinanderliegen, können sich die Beiträge verschiedener Quellen überlagern. Dadurch entstehen lokal erhöhte Belastungswerte. Die dargestellten Werte bleiben relative Modellwerte. Ein hoher Wert bedeutet daher lediglich eine im Modell höhere Belastung und noch keine konkrete PM₂,₅-Konzentration. == Achte Modellstufe: Hintergrundbelastung und Gesamtbelastung == Neben den lokalen Straßenemissionen existiert in der Realität eine allgemeine Schadstoffbelastung, die beispielsweise durch großräumigen Transport, Haushalte, Gewerbe und weiter entfernte Verkehrsquellen entstehen kann. Im Modell wird deshalb eine konstante Hintergrundbelastung ergänzt. === Mathematische Definition === Die Gesamtbelastung wird definiert durch :<math> B_{\mathrm{gesamt}}(x,y) = B_0 + B_{\mathrm{Strasse}}(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>B_{\mathrm{Strasse}}(x,y)</math> den berechneten Beitrag des Straßennetzes. Im Modell wird beispielhaft :<math> B_0=9 </math> verwendet. Im R-Code ergibt sich: <syntaxhighlight lang="r"> hintergrundbelastung <- 9 raster$gesamtbelastung <- hintergrundbelastung + raster$strassenbelastung </syntaxhighlight> Der Wert 9 ist ebenfalls ein relativer Modellwert. Er wurde gewählt, damit unbelastete Bereiche nicht bei null beginnen und die Gesamtkarte ähnlich wie eine reale Belastungskarte aufgebaut werden kann. Er darf nicht unmittelbar als gemessene Konzentration von <math>9\,\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> interpretiert werden. == Neunte Modellstufe: Interaktive Belastungskarte == Die berechneten Rasterwerte werden abschließend auf einer interaktiven Landkarte dargestellt. Hierfür wird das R-Paket <code>leaflet</code> verwendet. === Transformation in geografische Koordinaten === Die Berechnungen wurden im metrischen Koordinatensystem EPSG:25832 durchgeführt. OpenStreetMap und Leaflet verwenden dagegen geografische Koordinaten im System WGS84 beziehungsweise EPSG:4326. Deshalb werden Raster, Straßen und Untersuchungsgebiet für die Darstellung erneut transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84 <- st_transform( raster, crs = 4326 ) strassen_wgs84 <- st_transform( strassen_relevant, crs = 4326 ) gebiet_wgs84 <- st_transform( gebiet, crs = 4326 ) </syntaxhighlight> Diese Transformation verändert nicht die zuvor berechneten Belastungswerte. Sie dient ausschließlich der korrekten Positionierung auf der Hintergrundkarte. === Farbige Darstellung des Belastungsrasters === Für die Darstellung wird eine Farbskala von hellen Gelbtönen bis zu dunklen Rottönen verwendet. <syntaxhighlight lang="r"> farben <- colorNumeric( palette = "YlOrRd", domain = c( farbuntergrenze, farbobergrenze ), na.color = "transparent" ) </syntaxhighlight> Jede Rasterzelle wird entsprechend ihrem Wert <code>gesamtbelastung</code> eingefärbt. Die Flächen werden halbtransparent dargestellt, damit die darunterliegende OpenStreetMap-Karte weiterhin sichtbar bleibt. <syntaxhighlight lang="r"> addPolygons( data = raster_wgs84, fillColor = ~farben( gesamtbelastung ), fillOpacity = 0.58, color = NA, weight = 0, popup = ~popup_text ) </syntaxhighlight> === Darstellung des Straßennetzes === Das reale Straßennetz wird über das Belastungsraster gelegt: <syntaxhighlight lang="r"> addPolylines( data = strassen_wgs84, color = "grey25", weight = ~( 0.5 + 0.10 * linienstaerke ), opacity = 0.75 ) </syntaxhighlight> Stärker gewichtete Straßen werden dabei mit einer größeren Linienbreite dargestellt. === Abruf der Rasterwerte === Jede Rasterzelle erhält einen Popup-Text. Durch Anklicken der Zelle können unter anderem folgende Informationen angezeigt werden: * Nummer der Rasterzelle, * Gesamtbelastungsindex, * Anteil der modellierten Straßenbelastung. Der Text wird im Programm folgendermaßen erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84$popup_text <- paste0( "<b>Rasterzelle:</b> ", raster_wgs84$id, "<br>", "<b>Belastungsindex:</b> ", round( raster_wgs84$gesamtbelastung, 2 ), "<br>", "<b>Straßenanteil:</b> ", round( raster_wgs84$strassenbelastung, 2 ) ) </syntaxhighlight> === Ergebnis der interaktiven Darstellung === Die fertige Karte verbindet * die reale OpenStreetMap-Hintergrundkarte, * das 50-m-Berechnungsraster, * die windabhängigen Belastungswerte, * die Gewichtung der Straßenarten, * das reale Straßennetz, * eine Farblegende, * anklickbare Rasterzellen. Dadurch kann die modellierte räumliche Belastungsverteilung unmittelbar untersucht werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interaktive Karte der modellierten Gesamtbelastung </div> [[Datei:08 Interaktive Belastungskarte.png|700px|zentriert|Interaktive Belastungskarte mit OpenStreetMap-Hintergrund.]] Die interaktive Karte wird zusätzlich als HTML-Datei gespeichert: <syntaxhighlight lang="r"> saveWidget( widget = karte, file = "08_Interaktive_Belastungskarte.html", selfcontained = TRUE ) </syntaxhighlight> Die vollständig interaktive Karte kann über den folgenden Link geöffnet werden: :[https://DEINE-ADRESSE.de/08_Interaktive_Belastungskarte.html Interaktive Karte der modellierten Feinstaubbelastung] == Zusammenfassung des Modellierungsprozesses == Das Modell wurde schrittweise von einem einfachen räumlichen Raster zu einer interaktiven Belastungskarte erweitert. Die Entwicklung erfolgte in folgenden Schritten: # Festlegung eines rechteckigen Untersuchungsgebietes. # Transformation in ein metrisches Koordinatensystem. # Zerlegung des Gebietes in 16800 Rasterzellen. # Einführung künstlicher Test- und Kontrollquellen. # Modellierung einer kreisförmigen gaußförmigen Ausbreitung. # Erweiterung um eine windabhängige Ausbreitungsrichtung. # Import des realen Straßennetzes aus OpenStreetMap. # Relative Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung. # Diskretisierung der Straßenlinien in einzelne Punktquellen. # Überlagerung der Beiträge sämtlicher Straßenquellen. # Ergänzung einer konstanten Hintergrundbelastung. # Darstellung der Ergebnisse auf einer interaktiven Landkarte. Das Endergebnis ist eine diskrete räumliche Belastungsfunktion :<math> B_{ij} = B_0 + \sum_{k=1}^{N} Q_k(x_i,y_j). </math> Jeder Wert <math>B_{ij}</math> gehört zu genau einer Rasterzelle und kann auf der Karte farbig dargestellt und abgefragt werden. == Modellkritik und Grenzen == Das entwickelte Modell bildet den vollständigen physikalischen Transport von Feinstaub nicht ab. Es handelt sich um ein bewusst vereinfachtes mathematisches Modell. Die Ergebnisse müssen deshalb als relative Belastungsindizes und nicht als reale Messwerte interpretiert werden. === Modellhafte Emissionsstärken === Die Gewichtungen der Straßen beruhen auf ihrer OSM-Straßenklasse und auf plausiblen Annahmen über das Verkehrsaufkommen. Es wurden bislang keine vollständigen Verkehrszählungen für jeden Straßenabschnitt verwendet. Insbesondere die Gewichtung der B10 berücksichtigt zwar ihre besondere verkehrliche Bedeutung, basiert aber noch nicht auf konkreten stündlichen Fahrzeugzahlen. === Vereinfachte Windverhältnisse === Im gesamten Untersuchungsgebiet wird eine konstante Windstärke und eine konstante Ausbreitungsrichtung angenommen. In der Realität ändern sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung zeitlich und räumlich. Außerdem wird die Strömung durch Berge, Täler und Bebauung beeinflusst. === Fehlende Topographie === Die Höhenlage des Geländes ist im aktuellen Berechnungsmodell noch nicht als eigener Faktor enthalten. Die Hintergrundkarte zeigt zwar Berge und Höhenangaben, diese beeinflussen jedoch nicht die berechneten Belastungswerte. Gerade in der Umgebung von Annweiler wäre die Topographie besonders relevant, da das Gelände durch Täler und umliegende Erhebungen geprägt ist. === Fehlende Gebäude und Straßenschluchten === Gebäude können den Luftaustausch behindern und lokal zu erhöhten Schadstoffkonzentrationen führen. Dieser Effekt wird im aktuellen Modell nicht berücksichtigt. === Tunnelabschnitte === Tunnel werden noch nicht gesondert behandelt. Im derzeitigen Modell wirken auch Straßenabschnitte innerhalb eines Tunnels wie gewöhnliche oberirdische Linienquellen. Eine realistischere Modellierung müsste die Emissionen innerhalb des Tunnels entfernen und stattdessen verstärkte Punktquellen an den Tunnelportalen ansetzen. === Hintergrundbelastung === Die Hintergrundbelastung <math>B_0=9</math> ist eine Modellannahme. Sie wurde nicht aus einer konkreten Messreihe für Annweiler bestimmt und darf daher nicht als reale Konzentration interpretiert werden. === Keine direkte Validierung === Eine Validierung mit tatsächlichen Feinstaubmessungen wurde bislang nicht durchgeführt. Ohne Vergleichsdaten kann nicht beurteilt werden, wie gut die räumliche Verteilung des Modells mit der Realität übereinstimmt. == Mögliche Erweiterungen == Das Modell kann in weiteren Arbeitsschritten erweitert und verbessert werden. === Reale Verkehrsdaten === Die relativen Linienquellenstärken könnten durch reale Verkehrszählungen ersetzt werden. Für einen Straßenabschnitt <math>i</math> könnte beispielsweise gelten: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei würden Personenwagen und Lastkraftwagen aufgrund ihrer unterschiedlichen Emissionen getrennt berücksichtigt. === Zeitabhängiges Modell === Die Belastung könnte zusätzlich von der Zeit abhängen: :<math> B=B(x,y,t). </math> Dadurch könnten unter anderem * morgendlicher Berufsverkehr, * abendlicher Berufsverkehr, * nächtliche Verkehrsabnahme, * wechselnde Windrichtungen abgebildet werden. === Topographischer Faktor === Ein digitales Höhenmodell könnte verwendet werden, um jeder Rasterzelle eine Höhe :<math> H(x,y) </math> zuzuordnen. Darauf aufbauend könnten Hangneigung, Talrichtung und Höhenunterschiede zwischen Quelle und Rasterpunkt berücksichtigt werden. === Tunnelportale === Tunnelabschnitte könnten aus der normalen Linienquellenberechnung entfernt werden. An den Ein- und Ausfahrten könnten stattdessen zusätzliche Punktquellen erzeugt werden, deren Stärke von Tunnellänge und Verkehrsaufkommen abhängt. === Messdaten und Kalibrierung === Mobile oder stationäre Messungen könnten verwendet werden, um die Modellparameter anzupassen. Dazu könnten die Abweichungen zwischen Messwerten <math>M_i</math> und Modellwerten <math>B_i</math> beispielsweise durch eine Fehlerfunktion beschrieben werden: :<math> F = \sum_{i=1}^{n} \left( M_i-B_i \right)^2. </math> Die Modellparameter könnten anschließend so gewählt werden, dass diese Fehlerfunktion möglichst klein wird. == Fazit == Das Projekt zeigt, wie eine reale Fragestellung schrittweise in ein mathematisches Modell überführt werden kann. Ausgehend von einem rechteckigen Untersuchungsgebiet wurde zunächst ein diskretes Berechnungsraster erzeugt. An künstlichen Testquellen wurden anschließend eine gaußförmige und eine windabhängige Ausbreitungsfunktion entwickelt. Danach wurde das reale Straßennetz von Annweiler in das Modell aufgenommen. Die Straßen wurden nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichtet, in kleine Punktquellen zerlegt und mit der zuvor entwickelten Ausbreitungsfunktion verknüpft. Das Ergebnis ist eine räumliche Belastungsfunktion, deren Werte auf einer interaktiven Landkarte dargestellt und für einzelne Rasterzellen abgefragt werden können. Das Modell liefert noch keine realen PM₂,₅-Konzentrationen. Es bildet jedoch einen nachvollziehbaren mathematischen Rahmen, der durch Verkehrsdaten, Messwerte, Topographie und eine gesonderte Tunnelmodellierung weiterentwickelt werden kann. 497o7b3ddq7d3xseuqzsqo3mb81fpyy 1108825 1108824 2026-07-23T16:54:36Z Felix Bohl 41569 /* Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels */ 1108825 wikitext text/x-wiki =Uni Niveau= = Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels = === 1. Zielsetzung und Fragestellung === === 2. Grundidee des mathematischen Modells === === 3. Aufbau des Untersuchungsgebietes === ==== 3.1 Wahl des Untersuchungsgebietes ==== ==== 3.2 Wahl des Koordinatensystems ==== ==== 3.3 Diskretisierung durch ein 50-m-Raster ==== === 4. Entwicklung des Ausbreitungsmodells === ==== 4.1 Erste Modellstufe: einzelne Testquellen ==== ==== 4.2 Zweite Modellstufe: kreisförmige Ausbreitung ohne Wind ==== ===== 4.2.1 Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt ===== ===== 4.2.2 Gaußförmige Ausbreitungsfunktion ===== ===== 4.2.3 Überlagerung mehrerer Quellen ===== ===== 4.2.4 Interpretation der Ergebnisse ===== ==== 4.3 Dritte Modellstufe: Berücksichtigung des Windes ==== ===== 4.3.1 Wind- und Ausbreitungsrichtung ===== ===== 4.3.2 Zerlegung des Abstandsvektors ===== ===== 4.3.3 Abnahme längs der Ausbreitungsrichtung ===== ===== 4.3.4 Ausbreitung quer zur Windrichtung ===== ===== 4.3.5 Verringerung entgegen der Windrichtung ===== ===== 4.3.6 Gesamter Beitrag einer windabhängigen Punktquelle ===== ===== 4.3.7 Vergleich des Modells ohne und mit Wind ===== == 5. Integration des realen Straßennetzes == === 5.1 Vierte Modellstufe: Straßen als Linienquellen === ==== 5.1.1 Import des realen Straßennetzes ==== ==== 5.1.2 Geometrische Aufbereitung ==== ==== 5.1.3 Auswahl relevanter Straßen ==== === 5.2 Fünfte Modellstufe: Gewichtung der Straßen === ==== 5.2.1 Relative Linienquellenstärke ==== ==== 5.2.2 Besondere Gewichtung der B10 ==== ==== 5.2.3 Bedeutung der Gewichtungswerte ==== ==== 5.2.4 Grafische Darstellung der Gewichtung ==== ==== 5.2.5 Grenzen der Gewichtung ==== === 5.3 Sechste Modellstufe: Diskretisierung der Straßenlinien === ==== 5.3.1 Mathematische Idee ==== ==== 5.3.2 Stärke einer einzelnen Straßenquelle ==== ==== 5.3.3 Umsetzung im R-Code ==== === 5.4 Siebte Modellstufe: Windabhängige Belastung durch das Straßennetz === ==== 5.4.1 Beitrag einer einzelnen Straßenquelle ==== ==== 5.4.2 Überlagerung aller Straßenquellen ==== ==== 5.4.3 Darstellung der berechneten Straßenbelastung ==== ==== 5.4.4 Interpretation ==== == 6. Gesamtbelastung und Visualisierung == === 6.1 Achte Modellstufe: Hintergrundbelastung und Gesamtbelastung === ==== 6.1.1 Mathematische Definition ==== === 6.2 Neunte Modellstufe: Interaktive Belastungskarte === ==== 6.2.1 Transformation in geografische Koordinaten ==== ==== 6.2.2 Farbige Darstellung des Belastungsrasters ==== ==== 6.2.3 Darstellung des Straßennetzes ==== ==== 6.2.4 Abruf der Rasterwerte ==== ==== 6.2.5 Ergebnis der interaktiven Darstellung ==== ==== 6.2.6 Bereitstellung der HTML-Karte ==== == 7. Zusammenfassung des Modellierungsprozesses == == 8. Modellkritik und Grenzen == === 8.1 Modellhafte Emissionsstärken === === 8.2 Vereinfachte Windverhältnisse === === 8.3 Fehlende Topographie === === 8.4 Fehlende Gebäude und Straßenschluchten === === 8.5 Tunnelabschnitte === === 8.6 Angenommene Hintergrundbelastung === === 8.7 Fehlende Validierung === == 9. Mögliche Erweiterungen == === 9.1 Reale Verkehrsdaten === === 9.2 Zeitabhängiges Modell === === 9.3 Topographischer Faktor === === 9.4 Tunnelportale === === 9.5 Messdaten und Kalibrierung === == 10. Fazit == == Zielsetzung und Fragestellung == Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines räumlichen mathematischen Modells zur Beschreibung einer möglichen Schadstoffbelastung im Gebiet von Annweiler am Trifels. Die zentrale Fragestellung lautet: :''Wie kann die räumliche Verteilung einer verkehrsbedingten Schadstoffbelastung in Annweiler mithilfe eines mathematischen Modells beschrieben und auf einer interaktiven Karte dargestellt werden?'' Dazu wird das Untersuchungsgebiet in ein regelmäßiges Raster zerlegt. Jeder Rasterzelle wird ein modellierter Belastungswert zugeordnet. Die Belastungswerte werden anschließend farbig auf einer Karte dargestellt. Durch Anklicken einer Rasterzelle kann der zugehörige Wert abgerufen werden. Das Modell soll schrittweise erweitert werden. Zunächst werden einzelne Punktquellen betrachtet. Anschließend werden reale Straßenverläufe als Linienquellen integriert. Weitere Einflussgrößen wie Straßenart, Wind, Tunnelabschnitte und später möglicherweise die Topographie werden nach und nach ergänzt. Das Ziel besteht nicht darin, unmittelbar ein vollständig physikalisches Ausbreitungsmodell zu entwickeln. Vielmehr soll nachvollziehbar untersucht werden, wie aus einer realen Fragestellung schrittweise ein berechenbares mathematisches Modell entsteht. Die derzeit berechneten Werte stellen deshalb einen relativen Belastungsindex dar. Sie sind noch nicht als reale PM₂,₅-Konzentrationen in <math>\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> zu interpretieren. == Grundidee des mathematischen Modells == Das Untersuchungsgebiet wird als zweidimensionaler Bereich :<math>\Omega\subset\mathbb R^2</math> aufgefasst. Jedem Punkt <math>(x,y)\in\Omega</math> wird ein nichtnegativer Belastungswert zugeordnet. Dadurch entsteht eine räumliche Belastungsfunktion :<math> B:\Omega\longrightarrow\mathbb R_{\geq 0}. </math> Der Wert :<math>B(x,y)</math> beschreibt die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Das Grundmodell setzt sich aus einer Hintergrundbelastung und den Beiträgen einzelner Quellen zusammen: :<math> B(x,y) = B_0+ \sum_{i=1}^{m}Q_i(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>Q_i(x,y)</math> den Beitrag der <math>i</math>-ten Schadstoffquelle, * <math>m</math> die Anzahl der berücksichtigten Quellen. Später werden die Quellen in zwei Gruppen unterteilt: <math> B(x,y) = B_0 + \sum_{i=1}^{m} Q_i^{\mathrm{Strasse}}(x,y) + \sum_{j=1}^{k} Q_j^{\mathrm{Punkt}}(x,y) </math> Die Straßen werden dabei als Linienquellen modelliert. Tunnelportale, Ampeln oder industrielle Anlagen können als zusätzliche Punktquellen berücksichtigt werden. == Wahl des Untersuchungsgebietes und des Koordinatensystems == Als Mittelpunkt des Untersuchungsgebietes werden näherungsweise die geografischen Koordinaten von Annweiler am Trifels verwendet: :<math> \lambda=7{,}967^\circ,\qquad \varphi=49{,}200^\circ. </math> Geografische Längen- und Breitengrade sind für Entfernungsberechnungen jedoch ungeeignet, da sie keine metrischen Koordinaten darstellen. Deshalb werden die Koordinaten in das Bezugssystem ETRS89 / UTM-Zone 32N transformiert. Im R-Code wird dafür das Koordinatenreferenzsystem EPSG:25832 verwendet: <syntaxhighlight lang="r"> zentrum <- st_sfc( st_point(c(annweiler_lon, annweiler_lat)), crs = 4326 ) zentrum_utm <- st_transform( zentrum, 25832 ) </syntaxhighlight> Nach der Transformation werden Entfernungen in Metern angegeben. Dadurch können Rasterweiten, Straßenlängen und Ausbreitungsentfernungen direkt miteinander verrechnet werden. Das Untersuchungsgebiet wird zunächst als Rechteck mit einer Breite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Höhe von <math>6000\,\mathrm m</math> modelliert. == Hinzufügen eines Rasters == Die Belastungsfunktion <math>B(x,y)</math> kann nicht an jedem Punkt eines kontinuierlichen Gebietes einzeln berechnet werden. Deshalb wird das Untersuchungsgebiet diskretisiert. Das rechteckige Gebiet wird in quadratische Rasterzellen mit einer Seitenlänge von :<math>h=50\,\mathrm m</math> zerlegt. Bei einer Gebietsbreite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Gebietshöhe von <math>6000\,\mathrm m</math> entstehen theoretisch :<math> \frac{7000}{50}\cdot\frac{6000}{50} = 140\cdot120 = 16800 </math> Rasterzellen. Jede Rasterzelle besitzt einen Mittelpunkt :<math> P_{ij}=(x_i,y_j). </math> Der Belastungswert der gesamten Zelle wird durch den Wert am Mittelpunkt angenähert: :<math> B_{ij}\approx B(x_i,y_j). </math> Die Belastungswerte können dadurch in einer Matrix angeordnet werden: :<math> M= \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1n}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ B_{m1}&B_{m2}&\cdots&B_{mn} \end{pmatrix}. </math> Jeder Eintrag der Matrix entspricht genau einer räumlichen Rasterzelle. Im Programm wird das Raster mit der Funktion <code>st_make_grid()</code> erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_geometrie <- st_make_grid( gebiet, cellsize = rasterweite, what = "polygons", square = TRUE ) raster <- st_sf( id = seq_along(raster_geometrie), geometry = raster_geometrie ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Mittelpunkte der Rasterzellen bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> rasterpunkte <- st_centroid( st_geometry(raster) ) rasterkoordinaten <- st_coordinates( rasterpunkte ) raster$x <- rasterkoordinaten[, "X"] raster$y <- rasterkoordinaten[, "Y"] </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diskretisierung des Untersuchungsgebietes durch ein 50-m-Raster </div> [[Datei:01_Berechnungsraster.png|700px|zentriert|Raster des Untersuchungsgebietes um Annweiler.]] == Erste Modellstufe: einzelne Testquellen == Bevor das reale Straßennetz berücksichtigt wird, wird die Ausbreitungsfunktion zunächst mithilfe einzelner Testquellen untersucht. Dazu werden vier modellierte Punktquellen verwendet: * westliche Testquelle, * östliche Testquelle, * südöstliche Testquelle, * zentrale Testquelle. Die Bezeichnungen orientieren sich zunächst an möglichen späteren Anwendungen wie Tunnelportalen, Industrie oder einer Ampel. Die Positionen und Quellenstärken sind jedoch noch keine real erhobenen Daten. Die Testquellen besitzen zwei Funktionen: # Sie ermöglichen eine erste Überprüfung der Ausbreitungsfunktion. # Sie machen sichtbar, wie sich Windrichtung, Quellenstärke und Entfernung auf das Belastungsfeld auswirken. Die Testquellen stellen damit Kontrollpunkte des Modells dar. An ihnen kann geprüft werden, ob eine stärkere Quelle tatsächlich eine größere Belastung erzeugt und ob sich die Belastung überwiegend in der festgelegten Windrichtung ausbreitet. <syntaxhighlight lang="r"> quellen <- data.frame( name = c( "Westliches Tunnelportal", "Östliches Tunnelportal", "Industrie", "Ampel" ), x = c( zentrum_x - 1800, zentrum_x + 1100, zentrum_x + 1800, zentrum_x - 300 ), y = c( zentrum_y + 500, zentrum_y + 300, zentrum_y - 1700, zentrum_y - 400 ), staerke = c( 25, 25, 15, 10 ) ) </syntaxhighlight> == Zweite Modellstufe: kreisförmige Ausbreitung ohne Wind == Nachdem die Positionen der Testquellen festgelegt wurden, wird im nächsten Schritt eine erste räumliche Ausbreitungsfunktion eingeführt. Zunächst wird angenommen, dass sich die von einer Punktquelle ausgehende Belastung in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Wind, Gelände, Bebauung und weitere äußere Einflüsse werden in dieser Modellstufe noch nicht berücksichtigt. Die Ausbreitung ist daher radialsymmetrisch. Das bedeutet, dass der Quellenbeitrag nur vom Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt abhängt. === Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt === Eine Punktquelle befinde sich am Ort :<math> Q=(x_Q,y_Q). </math> Ein Rasterpunkt besitzt die Koordinaten :<math> P=(x,y). </math> Der euklidische Abstand zwischen beiden Punkten beträgt :<math> r = \sqrt{ (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 }. </math> Da in der später verwendeten Exponentialfunktion das Quadrat des Abstandes benötigt wird, kann direkt mit :<math> r^2 = (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 </math> gerechnet werden. === Gaußförmige Ausbreitung === Für den Beitrag einer Quelle wird zunächst eine gaußförmige Abnahme angenommen: :<math> Q(x,y) = S\cdot \exp\left( -\frac{ (x-x_Q)^2+(y-y_Q)^2 }{ 2\sigma^2 } \right). </math> Dabei bezeichnet * <math>S</math> die Stärke der Quelle, * <math>\sigma</math> die räumliche Streuung beziehungsweise Reichweite, * <math>Q(x,y)</math> den modellierten Quellenbeitrag am Rasterpunkt <math>(x,y)</math>. Direkt am Standort der Quelle gilt :<math> x=x_Q,\qquad y=y_Q. </math> Damit wird der Exponent gleich null und es folgt :<math> Q(x_Q,y_Q)=S. </math> Die maximale Belastung einer einzelnen Quelle entspricht somit ihrer Quellenstärke. Mit zunehmendem Abstand wird der Exponent negativ. Dadurch nimmt der Quellenbeitrag exponentiell ab. Der Parameter <math>\sigma</math> steuert die Breite des Belastungsfeldes: * Ein kleines <math>\sigma</math> führt zu einer stark lokal begrenzten Belastung. * Ein großes <math>\sigma</math> führt zu einer weiter reichenden Ausbreitung. Im ersten Testmodell wird beispielsweise :<math> \sigma=350\,\mathrm m </math> verwendet. === Umsetzung im R-Code === Die radialsymmetrische Ausbreitung wird als eigene Funktion programmiert: <syntaxhighlight lang="r"> kreisfoermiger_beitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke, sigma = 350 ) { abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) return(beitrag) } </syntaxhighlight> Die Funktion erhält die Koordinaten aller Rasterpunkte sowie die Position und Stärke einer Quelle. Zunächst wird das Quadrat des Abstandes berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 </syntaxhighlight> Anschließend wird der gaußförmige Quellenbeitrag bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) </syntaxhighlight> === Überlagerung mehrerer Quellen === Da vier Testquellen vorhanden sind, wird der Beitrag jeder Quelle einzeln berechnet. Die Gesamtbelastung der Testquellen ergibt sich durch Addition: :<math> B_{\mathrm{Test}}(x,y) = \sum_{i=1}^{4}Q_i(x,y). </math> Dieses Vorgehen entspricht dem Superpositionsprinzip. Jeder Quellenbeitrag wird unabhängig berechnet und anschließend zur Gesamtbelastung addiert. Im R-Code wird zunächst für jede Rasterzelle der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$testbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Testquellen nacheinander addiert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(quellen))) { beitrag_i <- kreisfoermiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = quellen$x[i], quelle_y = quellen$y[i], staerke = quellen$staerke[i] ) raster$testbelastung <- raster$testbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Jeder Rasterzelle wird dadurch ein Belastungswert zugeordnet. === Interpretation der ersten Ausbreitung === Das resultierende Belastungsfeld besitzt um jede Quelle annähernd kreisförmige Konturen. Quellen mit einer größeren Quellenstärke erzeugen höhere Belastungswerte. In Bereichen, in denen sich die Belastungsfelder mehrerer Quellen überlagern, addieren sich ihre Beiträge. Diese erste Modellstufe ist mathematisch übersichtlich und eignet sich gut, um die grundsätzliche Berechnung zu überprüfen. Sie besitzt jedoch eine deutliche Einschränkung: In der Realität breiten sich Schadstoffe nicht in alle Richtungen gleichmäßig aus. Insbesondere der Wind führt dazu, dass Schadstoffe überwiegend in eine bestimmte Richtung transportiert werden. Diese Beobachtung motiviert die nächste Erweiterung des Modells. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kreisförmige Ausbreitung der vier Testquellen ohne Wind </div> [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|700px|zentriert|Modellierte Belastung der vier Testquellen ohne Berücksichtigung des Windes.]] == Dritte Modellstufe: Berücksichtigung des Windes == Im vorherigen Modell wurde eine gleichmäßige Ausbreitung in alle Raumrichtungen angenommen. Diese Annahme ist für eine reale Schadstoffausbreitung nur eingeschränkt geeignet. Wind transportiert Schadstoffe bevorzugt in eine bestimmte Richtung. Deshalb wird das radialsymmetrische Modell nun zu einer gerichteten Ausbreitungsfunktion erweitert. Ziel dieser Modellstufe ist es, aus den kreisförmigen Belastungsfeldern längliche Schadstofffahnen zu erzeugen. === Windrichtung und Ausbreitungsrichtung === Im Modell wird nicht die meteorologische Herkunftsrichtung des Windes angegeben, sondern die Richtung, in welche die Schadstoffe transportiert werden. Ein Winkel von * <math>0^\circ</math> beschreibt eine Ausbreitung nach Osten, * <math>90^\circ</math> eine Ausbreitung nach Norden, * <math>180^\circ</math> eine Ausbreitung nach Westen, * <math>270^\circ</math> eine Ausbreitung nach Süden. Im Programm wird beispielsweise eine Ausbreitungsrichtung von :<math> \alpha=70^\circ </math> gewählt. Da die trigonometrischen Funktionen in R mit dem Bogenmaß arbeiten, erfolgt die Umrechnung durch :<math> \alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha_{\mathrm{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}. </math> Im R-Code lautet dies: <syntaxhighlight lang="r"> ausbreitungsrichtung_grad <- 70 ausbreitungsrichtung_rad <- ausbreitungsrichtung_grad * pi / 180 </syntaxhighlight> === Zerlegung des Abstandsvektors === Für eine Quelle am Punkt :<math> Q=(x_Q,y_Q) </math> und einen Rasterpunkt :<math> P=(x,y) </math> wird zunächst der Differenzvektor berechnet: :<math> \Delta x=x-x_Q, </math> :<math> \Delta y=y-y_Q. </math> Dieser Vektor wird anschließend in zwei Richtungen zerlegt: * eine Komponente parallel zur Ausbreitungsrichtung, * eine Komponente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die parallele Komponente lautet :<math> s = \Delta x\cos(\alpha) + \Delta y\sin(\alpha). </math> Die senkrechte Komponente lautet :<math> q = -\Delta x\sin(\alpha) + \Delta y\cos(\alpha). </math> Dabei bezeichnet * <math>s</math> den Abstand längs der Ausbreitungsrichtung, * <math>q</math> den Abstand quer zur Ausbreitungsrichtung. Mathematisch entspricht diese Berechnung einer Drehung des Koordinatensystems. Im R-Code wird die Transformation folgendermaßen umgesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) </syntaxhighlight> === Abnahme längs der Ausbreitungsrichtung === Mit zunehmender Entfernung von der Quelle soll der Belastungsbeitrag abnehmen. Dazu wird eine exponentielle Abnahme verwendet: :<math> A_{\parallel}(s) = \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right). </math> Der Parameter <math>\lambda</math> bestimmt die Reichweite entlang der Ausbreitungsrichtung. Im aktuellen Modell wird <math>\lambda</math> zusätzlich von der Windstärke abhängig gemacht: :<math> \lambda = 140+60v. </math> Dabei bezeichnet <math>v</math> die modellierte Windgeschwindigkeit. Im R-Code wird die Abnahme durch <syntaxhighlight lang="r"> abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) </syntaxhighlight> beschrieben. === Ausbreitung quer zur Windrichtung === Quer zur Windrichtung wird weiterhin eine Gaußfunktion verwendet: :<math> A_{\perp}(q) = \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die Breite der Schadstofffahne ist jedoch nicht konstant. Sie soll mit zunehmender Entfernung windabwärts wachsen. Dazu wird :<math> \sigma_{\perp} = 25 + 0{,}025\max(s,0) + 7v </math> verwendet. Die Funktion <math>\max(s,0)</math> sorgt dafür, dass nur die Entfernung in Ausbreitungsrichtung berücksichtigt wird. Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke </syntaxhighlight> Die gaußförmige Querverteilung ergibt sich durch <syntaxhighlight lang="r"> verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) </syntaxhighlight> === Verringerung entgegen der Windrichtung === Punkte mit :<math> s\geq0 </math> liegen in Ausbreitungsrichtung. Punkte mit :<math> s<0 </math> liegen entgegen der Ausbreitungsrichtung. Da sich Schadstoffe zwar überwiegend windabwärts ausbreiten, aber eine geringe Belastung auch windaufwärts möglich sein kann, wird ein Richtungsfaktor eingeführt: :<math> R(s) = \begin{cases} 1,&s\geq0,\\ 0{,}03,&s<0. \end{cases} </math> Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) </syntaxhighlight> === Gesamter Beitrag einer windabhängigen Punktquelle === Der Beitrag einer Quelle mit Stärke <math>S</math> ergibt sich damit aus dem Produkt der einzelnen Faktoren: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot A_{\parallel}(s) \cdot A_{\perp}(q). </math> Ausgeschrieben lautet die Modellfunktion: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die entsprechende R-Funktion lautet: <syntaxhighlight lang="r"> quellenbeitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke ) { delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) beitrag <- staerke * richtungsfaktor * abnahme_laengs * verteilung_quer return(beitrag) } </syntaxhighlight> === Vergleich des Modells ohne und mit Wind === Durch die Berücksichtigung der Windrichtung verändert sich die Form des Belastungsfeldes deutlich. Ohne Wind entstehen um die Quellen annähernd kreisförmige Bereiche. Mit Wind werden die Belastungsfelder in Ausbreitungsrichtung verlängert. Entgegen der Windrichtung ist der Beitrag dagegen stark reduziert. Dieser Vergleich zeigt, wie bereits die Ergänzung eines einzelnen Einflussfaktors die Modellergebnisse wesentlich verändert. <div style="display:flex; justify-content:center; gap:20px; flex-wrap:wrap;"> <div style="text-align:center;"> '''Ohne Wind''' [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|500px|Kreisförmige Ausbreitung ohne Wind.]] </div> <div style="text-align:center;"> '''Mit Wind''' [[Datei:04 Windabhaengige Ausbreitung.png|500px|Gerichtete Ausbreitung unter Berücksichtigung des Windes.]] </div> </div> == Vierte Modellstufe: Straßen als Linienquellen == Die bisherigen Testquellen stellen einzelne Punkte dar. Der Straßenverkehr erzeugt Schadstoffe jedoch nicht nur an einzelnen Orten, sondern entlang des gesamten Straßenverlaufs. Straßen werden deshalb im nächsten Schritt als Linienquellen modelliert. === Import des realen Straßennetzes === Die Straßenverläufe werden aus OpenStreetMap-Daten übernommen. Dazu wird eine zuvor heruntergeladene GeoJSON-Datei verwendet. Die Datei enthält neben den Geometrien auch Eigenschaften der Straßen, beispielsweise * die OSM-Straßenklasse <code>highway</code>, * die Straßenbezeichnung <code>ref</code>, * die Information, ob ein Abschnitt als Tunnel gekennzeichnet ist. Die Datei wird in R mit der Funktion <code>st_read()</code> geladen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_sf <- st_read( strassen_datei, quiet = TRUE ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Straßendaten in das metrische Koordinatensystem EPSG:25832 transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- st_transform( strassen_sf, 25832 ) </syntaxhighlight> Nur die Straßen innerhalb des Untersuchungsgebietes werden weiterverwendet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_intersection( strassen_utm, gebiet ) ) </syntaxhighlight> === Geometrische Aufbereitung === OpenStreetMap-Daten können verschiedene Geometrietypen enthalten. Für die weitere Modellierung werden jedoch einzelne Linienzüge vom Typ <code>LINESTRING</code> benötigt. Deshalb werden mehrteilige Linien in einzelne Linien zerlegt: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_collection_extract( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) strassen_utm <- suppressWarnings( st_cast( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) </syntaxhighlight> Leere oder ungültige Geometrien werden entfernt beziehungsweise repariert. === Auswahl relevanter Straßen === Nicht jede in OpenStreetMap enthaltene Linie ist für die verkehrsbedingte Belastung gleichermaßen relevant. Daher werden nur ausgewählte Straßenklassen berücksichtigt: <syntaxhighlight lang="r"> relevante_strassentypen <- c( "motorway", "motorway_link", "trunk", "trunk_link", "primary", "primary_link", "secondary", "secondary_link", "tertiary", "tertiary_link", "residential", "unclassified", "living_street", "service" ) </syntaxhighlight> Andere Wege, beispielsweise reine Fußwege oder Waldpfade, werden im aktuellen Modell nicht als Emissionsquellen behandelt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Importiertes Straßennetz im Untersuchungsgebiet </div> [[Datei:05 Strassennetz Annweiler.png|700px|zentriert|Aus OpenStreetMap importierte Straßen im Untersuchungsgebiet.]] == Fünfte Modellstufe: Gewichtung der Straßen == Die verschiedenen Straßen im Untersuchungsgebiet weisen sehr unterschiedliche Verkehrsaufkommen auf. Eine stark befahrene Bundesstraße mit einem hohen Anteil an Personen- und Lastkraftwagen verursacht grundsätzlich mehr verkehrsbedingte Emissionen als eine kleine Wohn- oder Zufahrtsstraße. Da für die aktuelle Modellversion noch keine vollständigen Verkehrszählungen für alle Straßenabschnitte vorliegen, wird zunächst eine relative Gewichtung anhand der OSM-Straßenklasse vorgenommen. Die Gewichtungswerte sind dimensionslose Modellparameter. Sie stellen keine realen Emissionsmengen dar, sondern beschreiben lediglich die relative Bedeutung der Straßen innerhalb des Modells. === Relative Linienquellenstärke === Jeder Straße wird abhängig von ihrer OSM-Klasse eine relative Linienquellenstärke zugeordnet. Im aktuellen Modell werden folgende Werte verwendet: {| class="wikitable" ! OSM-Straßenklasse ! Modellierte Linienquellenstärke |- | <code>motorway</code> | 10 |- | <code>motorway_link</code> | 7 |- | <code>trunk</code> | 10 |- | <code>trunk_link</code> | 7 |- | <code>primary</code> | 6 |- | <code>primary_link</code> | 5 |- | <code>secondary</code> | 4 |- | <code>secondary_link</code> | 3,5 |- | <code>tertiary</code> | 3 |- | <code>tertiary_link</code> | 2,5 |- | <code>residential</code> | 1,5 |- | <code>unclassified</code> | 1,5 |- | <code>living_street</code> | 1 |- | <code>service</code> | 0,5 |} Die Zuordnung erfolgt im R-Code zunächst durch das Anlegen einer neuen Variablen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke <- 0 </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Straßenklasse ein Wert zugewiesen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary" ] <- 6 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary_link" ] <- 5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary" ] <- 4 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary_link" ] <- 3.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary" ] <- 3 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary_link" ] <- 2.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "residential" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "unclassified" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "living_street" ] <- 1 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "service" ] <- 0.5 </syntaxhighlight> Stark befahrene überregionale Straßen erhalten somit hohe Werte. Wohn- und Nebenstraßen werden deutlich schwächer gewichtet. === Besondere Gewichtung der B10 === Die Bundesstraße B10 stellt im Untersuchungsgebiet die wichtigste Verkehrsachse dar. Auf ihr wird ein deutlich höheres Verkehrsaufkommen und insbesondere ein größerer Lastkraftwagenanteil angenommen. Deshalb wird die B10 zusätzlich über die OSM-Eigenschaften <code>ref</code> und <code>name</code> erkannt. Zunächst wird für alle Straßenabschnitte festgelegt, dass sie nicht zur B10 gehören: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$ist_b10 <- FALSE </syntaxhighlight> Anschließend wird die Spalte <code>ref</code> überprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("ref" %in% names(strassen_relevant)) { ref_text <- as.character( strassen_relevant$ref ) ref_text[is.na(ref_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = ref_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Zusätzlich wird die Straßenbezeichnung in der Spalte <code>name</code> geprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("name" %in% names(strassen_relevant)) { name_text <- as.character( strassen_relevant$name ) name_text[is.na(name_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = name_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Alle erkannten B10-Abschnitte erhalten mindestens die relative Linienquellenstärke :<math> w_{\mathrm{B10}}=12. </math> Die Zuweisung erfolgt durch: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ] <- pmax( strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ], 12 ) </syntaxhighlight> Die Funktion <code>pmax()</code> stellt sicher, dass ein B10-Abschnitt mindestens den Wert 12 erhält. Ein möglicherweise bereits höherer Wert würde jedoch nicht verringert. === Bedeutung der Gewichtungswerte === Die Linienquellenstärke beschreibt die relative Emissionswirkung eines Straßenabschnittes. Für zwei Straßenabschnitte mit den Gewichtungen :<math> w_1=12 </math> und :<math> w_2=1{,}5 </math> gilt im Modell, dass die erste Straße eine achtmal so große Quellenstärke besitzt: :<math> \frac{12}{1{,}5}=8. </math> Damit wird die B10 deutlich stärker berücksichtigt als eine gewöhnliche Wohnstraße. Die Werte dienen jedoch nur dem Vergleich innerhalb des Modells. Aus einer Linienquellenstärke von 12 kann keine reale PM₂,₅-Emission abgeleitet werden. === Grafische Darstellung der Gewichtung === Für die Visualisierung wird aus der Linienquellenstärke eine Linienbreite berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienbreite <- 0.4 + 0.28 * strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> Die Variable <code>linienbreite</code> dient ausschließlich der grafischen Darstellung. Stark gewichtete Straßen werden dadurch breiter gezeichnet als schwach gewichtete Straßen. Die eigentliche Modellgröße bleibt die Variable <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung </div> [[Datei:06 Strassengewichtung.png|700px|zentriert|Darstellung der Straßen mit unterschiedlicher Linienbreite entsprechend ihrer modellierten relativen Quellenstärke.]] === Grenzen der Gewichtung === Die verwendeten Gewichtungswerte beruhen auf Modellannahmen und nicht auf vollständigen Verkehrszählungen. Eine genauere Modellierung müsste unter anderem berücksichtigen: * die Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, * den Anteil an Lastkraftwagen, * die durchschnittliche Geschwindigkeit, * Beschleunigungs- und Bremsvorgänge, * die Fahrzeugtypen, * reale Emissionsfaktoren. Eine mögliche zukünftige Berechnung der Emissionsstärke eines Straßenabschnittes <math>i</math> wäre: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei bezeichnet * <math>N_{\mathrm{PKW},i}</math> die Anzahl der Personenwagen auf Straßenabschnitt <math>i</math>, * <math>N_{\mathrm{LKW},i}</math> die Anzahl der Lastkraftwagen, * <math>e_{\mathrm{PKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Personenwagens, * <math>e_{\mathrm{LKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Lastkraftwagens. Die aktuelle Straßenklassengewichtung stellt somit eine erste Näherung dar, die später durch reale Verkehrsdaten ersetzt oder kalibriert werden kann. == Sechste Modellstufe: Diskretisierung der Straßenlinien == Die gewichteten Straßen liegen zunächst als Liniengeometrien vor. Die zuvor entwickelte windabhängige Ausbreitungsfunktion beschreibt jedoch den Beitrag einzelner Punktquellen. Damit dieselbe Ausbreitungsfunktion auch für Straßen verwendet werden kann, werden die Linienquellen durch eine große Anzahl kleiner Punktquellen angenähert. Dieses Vorgehen wird als Diskretisierung bezeichnet. === Mathematische Idee === Ein Straßenabschnitt <math>L_i</math> wird durch eine endliche Menge von Punkten angenähert: :<math> L_i \approx \left\{ Q_{i,1}, Q_{i,2}, \ldots, Q_{i,n_i} \right\}. </math> Dabei bezeichnet * <math>L_i</math> den <math>i</math>-ten Straßenabschnitt, * <math>Q_{i,j}</math> die <math>j</math>-te Punktquelle auf diesem Abschnitt, * <math>n_i</math> die Anzahl der erzeugten Punktquellen. Die Quellen werden ungefähr im Abstand von :<math> d=50\,\mathrm m </math> entlang der Straßen erzeugt. Eine kürzere Distanz würde die Linienquelle genauer annähern, aber gleichzeitig die Anzahl der Berechnungen deutlich erhöhen. Eine größere Distanz würde die Rechenzeit reduzieren, die Straße jedoch gröber darstellen. Der Wert von <math>50\,\mathrm m</math> stellt daher einen Kompromiss zwischen räumlicher Genauigkeit und Rechenaufwand dar. === Stärke einer einzelnen Straßenquelle === Jede erzeugte Punktquelle übernimmt die relative Gewichtung der Straße, auf der sie liegt. Die Stärke einer Punktquelle wird im Programm durch :<math> S_{i,j} = c\cdot w_i </math> festgelegt. Dabei bezeichnet * <math>w_i</math> die Linienquellenstärke des Straßenabschnittes, * <math>c</math> einen Skalierungsfaktor, * <math>S_{i,j}</math> die Stärke der einzelnen Punktquelle. Im Modell wird :<math> c=0{,}25 </math> verwendet. Damit ergibt sich beispielsweise für eine B10-Quelle: :<math> S_{\mathrm{B10}} = 0{,}25\cdot12 = 3. </math> Für eine Wohnstraße mit <math>w=1{,}5</math> ergibt sich dagegen: :<math> S_{\mathrm{Wohnstrasse}} = 0{,}25\cdot1{,}5 = 0{,}375. </math> Die B10 erzeugt somit an jedem Stützpunkt einen deutlich höheren Beitrag als eine Wohnstraße. === Umsetzung im R-Code === Zunächst wird der Abstand zwischen benachbarten Straßenquellen festgelegt: <syntaxhighlight lang="r"> quellenabstand_strasse <- 50 </syntaxhighlight> Für jeden Straßenabschnitt wird anschließend dessen Länge bestimmt und die erforderliche Anzahl an Punktquellen berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> linienlaenge <- as.numeric( st_length( strassen_relevant[i, ] ) ) anzahl_quellen <- max( 1, ceiling( linienlaenge / quellenabstand_strasse ) ) </syntaxhighlight> Die Punkte werden regelmäßig auf der Linie verteilt: <syntaxhighlight lang="r"> punkte_i <- st_line_sample( st_geometry( strassen_relevant[i, ] ), n = anzahl_quellen, type = "regular" ) punkte_i <- suppressWarnings( st_cast( punkte_i, "POINT" ) ) </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Punktquelle die Gewichtung ihrer Straße zugeordnet: <syntaxhighlight lang="r"> skalierungsfaktor_strassenquelle <- 0.25 strassenquellen$quellenstaerke <- strassenquellen$linienstaerke * skalierungsfaktor_strassenquelle </syntaxhighlight> Durch dieses Verfahren wird jede Straße als Folge vieler kleiner Punktquellen angenähert. == Siebte Modellstufe: Windabhängige Belastung durch das Straßennetz == Nach der Diskretisierung kann für jede erzeugte Straßenquelle dieselbe windabhängige Ausbreitungsfunktion verwendet werden, die zuvor an den künstlichen Testquellen entwickelt wurde. === Beitrag einer einzelnen Straßenquelle === Für eine Straßenquelle <math>Q_k</math> mit der Stärke <math>S_k</math> wird der Beitrag an einem Rasterpunkt <math>(x,y)</math> durch :<math> Q_k(x,y) = S_k \cdot R(s_k) \cdot \exp\left( -\frac{|s_k|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q_k^2}{2\sigma_{\perp,k}^2} \right) </math> berechnet. Dabei werden weiterhin berücksichtigt: * die Lage der Quelle, * die Entfernung zum Rasterpunkt, * die Richtung parallel zum Wind, * die Entfernung quer zum Wind, * die Windstärke, * die relative Emissionsstärke der Straße. === Überlagerung aller Straßenquellen === Die Belastung einer Rasterzelle entsteht durch Addition sämtlicher Straßenquellen: :<math> B_{\mathrm{Strasse}}(x,y) = \sum_{k=1}^{N} Q_k(x,y). </math> Dabei bezeichnet <math>N</math> die Gesamtzahl der erzeugten Straßenquellen. Die Berechnung folgt erneut dem Superpositionsprinzip. Der Beitrag jeder Quelle wird unabhängig bestimmt und anschließend addiert. Im R-Code wird zunächst für alle Rasterzellen der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$strassenbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Straßenquellen überlagert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(strassenquellen))) { beitrag_i <- windabhaengiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = strassenquellen$x[i], quelle_y = strassenquellen$y[i], staerke = strassenquellen$quellenstaerke[i], windstaerke = windstaerke, ausbreitungsrichtung_rad = ausbreitungsrichtung_rad ) raster$strassenbelastung <- raster$strassenbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Da für jede Straßenquelle ein Beitrag an allen 16800 Rasterzellen berechnet wird, ist dieser Schritt deutlich rechenintensiver als die vorherigen Modellstufen. === Darstellung der berechneten Straßenbelastung === Jede Rasterzelle erhält nach der Berechnung einen Wert :<math> B_{\mathrm{Strasse},ij}. </math> Diese Werte werden einer Farbskala zugeordnet: * Weiß und sehr helle Farben kennzeichnen eine geringe Belastung. * Gelbe und orange Farben kennzeichnen eine mittlere Belastung. * Rote und dunkelrote Farben kennzeichnen eine hohe Belastung. Die Darstellung zeigt, dass die höchsten Werte vor allem entlang stark gewichteter Straßen auftreten. Durch die Windkomponente entstehen keine vollkommen symmetrischen Belastungsfelder. Die Belastung wird vielmehr in der festgelegten Ausbreitungsrichtung weitertransportiert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Windabhängige Belastung durch das reale Straßennetz </div> [[Datei:07 Windabhaengige Strassenbelastung.png|700px|zentriert|Modellierte windabhängige Belastung durch die gewichteten Straßenquellen.]] === Interpretation === In der Abbildung sind insbesondere die stark gewichteten Straßenabschnitte erkennbar. Die B10 erzeugt aufgrund ihrer höheren Linienquellenstärke einen größeren Belastungsbeitrag als kleinere Neben- und Wohnstraßen. An Kreuzungen und in Bereichen, in denen mehrere Straßen nahe beieinanderliegen, können sich die Beiträge verschiedener Quellen überlagern. Dadurch entstehen lokal erhöhte Belastungswerte. Die dargestellten Werte bleiben relative Modellwerte. Ein hoher Wert bedeutet daher lediglich eine im Modell höhere Belastung und noch keine konkrete PM₂,₅-Konzentration. == Achte Modellstufe: Hintergrundbelastung und Gesamtbelastung == Neben den lokalen Straßenemissionen existiert in der Realität eine allgemeine Schadstoffbelastung, die beispielsweise durch großräumigen Transport, Haushalte, Gewerbe und weiter entfernte Verkehrsquellen entstehen kann. Im Modell wird deshalb eine konstante Hintergrundbelastung ergänzt. === Mathematische Definition === Die Gesamtbelastung wird definiert durch :<math> B_{\mathrm{gesamt}}(x,y) = B_0 + B_{\mathrm{Strasse}}(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>B_{\mathrm{Strasse}}(x,y)</math> den berechneten Beitrag des Straßennetzes. Im Modell wird beispielhaft :<math> B_0=9 </math> verwendet. Im R-Code ergibt sich: <syntaxhighlight lang="r"> hintergrundbelastung <- 9 raster$gesamtbelastung <- hintergrundbelastung + raster$strassenbelastung </syntaxhighlight> Der Wert 9 ist ebenfalls ein relativer Modellwert. Er wurde gewählt, damit unbelastete Bereiche nicht bei null beginnen und die Gesamtkarte ähnlich wie eine reale Belastungskarte aufgebaut werden kann. Er darf nicht unmittelbar als gemessene Konzentration von <math>9\,\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> interpretiert werden. == Neunte Modellstufe: Interaktive Belastungskarte == Die berechneten Rasterwerte werden abschließend auf einer interaktiven Landkarte dargestellt. Hierfür wird das R-Paket <code>leaflet</code> verwendet. === Transformation in geografische Koordinaten === Die Berechnungen wurden im metrischen Koordinatensystem EPSG:25832 durchgeführt. OpenStreetMap und Leaflet verwenden dagegen geografische Koordinaten im System WGS84 beziehungsweise EPSG:4326. Deshalb werden Raster, Straßen und Untersuchungsgebiet für die Darstellung erneut transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84 <- st_transform( raster, crs = 4326 ) strassen_wgs84 <- st_transform( strassen_relevant, crs = 4326 ) gebiet_wgs84 <- st_transform( gebiet, crs = 4326 ) </syntaxhighlight> Diese Transformation verändert nicht die zuvor berechneten Belastungswerte. Sie dient ausschließlich der korrekten Positionierung auf der Hintergrundkarte. === Farbige Darstellung des Belastungsrasters === Für die Darstellung wird eine Farbskala von hellen Gelbtönen bis zu dunklen Rottönen verwendet. <syntaxhighlight lang="r"> farben <- colorNumeric( palette = "YlOrRd", domain = c( farbuntergrenze, farbobergrenze ), na.color = "transparent" ) </syntaxhighlight> Jede Rasterzelle wird entsprechend ihrem Wert <code>gesamtbelastung</code> eingefärbt. Die Flächen werden halbtransparent dargestellt, damit die darunterliegende OpenStreetMap-Karte weiterhin sichtbar bleibt. <syntaxhighlight lang="r"> addPolygons( data = raster_wgs84, fillColor = ~farben( gesamtbelastung ), fillOpacity = 0.58, color = NA, weight = 0, popup = ~popup_text ) </syntaxhighlight> === Darstellung des Straßennetzes === Das reale Straßennetz wird über das Belastungsraster gelegt: <syntaxhighlight lang="r"> addPolylines( data = strassen_wgs84, color = "grey25", weight = ~( 0.5 + 0.10 * linienstaerke ), opacity = 0.75 ) </syntaxhighlight> Stärker gewichtete Straßen werden dabei mit einer größeren Linienbreite dargestellt. === Abruf der Rasterwerte === Jede Rasterzelle erhält einen Popup-Text. Durch Anklicken der Zelle können unter anderem folgende Informationen angezeigt werden: * Nummer der Rasterzelle, * Gesamtbelastungsindex, * Anteil der modellierten Straßenbelastung. Der Text wird im Programm folgendermaßen erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84$popup_text <- paste0( "<b>Rasterzelle:</b> ", raster_wgs84$id, "<br>", "<b>Belastungsindex:</b> ", round( raster_wgs84$gesamtbelastung, 2 ), "<br>", "<b>Straßenanteil:</b> ", round( raster_wgs84$strassenbelastung, 2 ) ) </syntaxhighlight> === Ergebnis der interaktiven Darstellung === Die fertige Karte verbindet * die reale OpenStreetMap-Hintergrundkarte, * das 50-m-Berechnungsraster, * die windabhängigen Belastungswerte, * die Gewichtung der Straßenarten, * das reale Straßennetz, * eine Farblegende, * anklickbare Rasterzellen. Dadurch kann die modellierte räumliche Belastungsverteilung unmittelbar untersucht werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interaktive Karte der modellierten Gesamtbelastung </div> [[Datei:08 Interaktive Belastungskarte.png|700px|zentriert|Interaktive Belastungskarte mit OpenStreetMap-Hintergrund.]] Die interaktive Karte wird zusätzlich als HTML-Datei gespeichert: <syntaxhighlight lang="r"> saveWidget( widget = karte, file = "08_Interaktive_Belastungskarte.html", selfcontained = TRUE ) </syntaxhighlight> Die vollständig interaktive Karte kann über den folgenden Link geöffnet werden: :[https://DEINE-ADRESSE.de/08_Interaktive_Belastungskarte.html Interaktive Karte der modellierten Feinstaubbelastung] == Zusammenfassung des Modellierungsprozesses == Das Modell wurde schrittweise von einem einfachen räumlichen Raster zu einer interaktiven Belastungskarte erweitert. Die Entwicklung erfolgte in folgenden Schritten: # Festlegung eines rechteckigen Untersuchungsgebietes. # Transformation in ein metrisches Koordinatensystem. # Zerlegung des Gebietes in 16800 Rasterzellen. # Einführung künstlicher Test- und Kontrollquellen. # Modellierung einer kreisförmigen gaußförmigen Ausbreitung. # Erweiterung um eine windabhängige Ausbreitungsrichtung. # Import des realen Straßennetzes aus OpenStreetMap. # Relative Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung. # Diskretisierung der Straßenlinien in einzelne Punktquellen. # Überlagerung der Beiträge sämtlicher Straßenquellen. # Ergänzung einer konstanten Hintergrundbelastung. # Darstellung der Ergebnisse auf einer interaktiven Landkarte. Das Endergebnis ist eine diskrete räumliche Belastungsfunktion :<math> B_{ij} = B_0 + \sum_{k=1}^{N} Q_k(x_i,y_j). </math> Jeder Wert <math>B_{ij}</math> gehört zu genau einer Rasterzelle und kann auf der Karte farbig dargestellt und abgefragt werden. == Modellkritik und Grenzen == Das entwickelte Modell bildet den vollständigen physikalischen Transport von Feinstaub nicht ab. Es handelt sich um ein bewusst vereinfachtes mathematisches Modell. Die Ergebnisse müssen deshalb als relative Belastungsindizes und nicht als reale Messwerte interpretiert werden. === Modellhafte Emissionsstärken === Die Gewichtungen der Straßen beruhen auf ihrer OSM-Straßenklasse und auf plausiblen Annahmen über das Verkehrsaufkommen. Es wurden bislang keine vollständigen Verkehrszählungen für jeden Straßenabschnitt verwendet. Insbesondere die Gewichtung der B10 berücksichtigt zwar ihre besondere verkehrliche Bedeutung, basiert aber noch nicht auf konkreten stündlichen Fahrzeugzahlen. === Vereinfachte Windverhältnisse === Im gesamten Untersuchungsgebiet wird eine konstante Windstärke und eine konstante Ausbreitungsrichtung angenommen. In der Realität ändern sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung zeitlich und räumlich. Außerdem wird die Strömung durch Berge, Täler und Bebauung beeinflusst. === Fehlende Topographie === Die Höhenlage des Geländes ist im aktuellen Berechnungsmodell noch nicht als eigener Faktor enthalten. Die Hintergrundkarte zeigt zwar Berge und Höhenangaben, diese beeinflussen jedoch nicht die berechneten Belastungswerte. Gerade in der Umgebung von Annweiler wäre die Topographie besonders relevant, da das Gelände durch Täler und umliegende Erhebungen geprägt ist. === Fehlende Gebäude und Straßenschluchten === Gebäude können den Luftaustausch behindern und lokal zu erhöhten Schadstoffkonzentrationen führen. Dieser Effekt wird im aktuellen Modell nicht berücksichtigt. === Tunnelabschnitte === Tunnel werden noch nicht gesondert behandelt. Im derzeitigen Modell wirken auch Straßenabschnitte innerhalb eines Tunnels wie gewöhnliche oberirdische Linienquellen. Eine realistischere Modellierung müsste die Emissionen innerhalb des Tunnels entfernen und stattdessen verstärkte Punktquellen an den Tunnelportalen ansetzen. === Hintergrundbelastung === Die Hintergrundbelastung <math>B_0=9</math> ist eine Modellannahme. Sie wurde nicht aus einer konkreten Messreihe für Annweiler bestimmt und darf daher nicht als reale Konzentration interpretiert werden. === Keine direkte Validierung === Eine Validierung mit tatsächlichen Feinstaubmessungen wurde bislang nicht durchgeführt. Ohne Vergleichsdaten kann nicht beurteilt werden, wie gut die räumliche Verteilung des Modells mit der Realität übereinstimmt. == Mögliche Erweiterungen == Das Modell kann in weiteren Arbeitsschritten erweitert und verbessert werden. === Reale Verkehrsdaten === Die relativen Linienquellenstärken könnten durch reale Verkehrszählungen ersetzt werden. Für einen Straßenabschnitt <math>i</math> könnte beispielsweise gelten: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei würden Personenwagen und Lastkraftwagen aufgrund ihrer unterschiedlichen Emissionen getrennt berücksichtigt. === Zeitabhängiges Modell === Die Belastung könnte zusätzlich von der Zeit abhängen: :<math> B=B(x,y,t). </math> Dadurch könnten unter anderem * morgendlicher Berufsverkehr, * abendlicher Berufsverkehr, * nächtliche Verkehrsabnahme, * wechselnde Windrichtungen abgebildet werden. === Topographischer Faktor === Ein digitales Höhenmodell könnte verwendet werden, um jeder Rasterzelle eine Höhe :<math> H(x,y) </math> zuzuordnen. Darauf aufbauend könnten Hangneigung, Talrichtung und Höhenunterschiede zwischen Quelle und Rasterpunkt berücksichtigt werden. === Tunnelportale === Tunnelabschnitte könnten aus der normalen Linienquellenberechnung entfernt werden. An den Ein- und Ausfahrten könnten stattdessen zusätzliche Punktquellen erzeugt werden, deren Stärke von Tunnellänge und Verkehrsaufkommen abhängt. === Messdaten und Kalibrierung === Mobile oder stationäre Messungen könnten verwendet werden, um die Modellparameter anzupassen. Dazu könnten die Abweichungen zwischen Messwerten <math>M_i</math> und Modellwerten <math>B_i</math> beispielsweise durch eine Fehlerfunktion beschrieben werden: :<math> F = \sum_{i=1}^{n} \left( M_i-B_i \right)^2. </math> Die Modellparameter könnten anschließend so gewählt werden, dass diese Fehlerfunktion möglichst klein wird. == Fazit == Das Projekt zeigt, wie eine reale Fragestellung schrittweise in ein mathematisches Modell überführt werden kann. Ausgehend von einem rechteckigen Untersuchungsgebiet wurde zunächst ein diskretes Berechnungsraster erzeugt. An künstlichen Testquellen wurden anschließend eine gaußförmige und eine windabhängige Ausbreitungsfunktion entwickelt. Danach wurde das reale Straßennetz von Annweiler in das Modell aufgenommen. Die Straßen wurden nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichtet, in kleine Punktquellen zerlegt und mit der zuvor entwickelten Ausbreitungsfunktion verknüpft. Das Ergebnis ist eine räumliche Belastungsfunktion, deren Werte auf einer interaktiven Landkarte dargestellt und für einzelne Rasterzellen abgefragt werden können. Das Modell liefert noch keine realen PM₂,₅-Konzentrationen. Es bildet jedoch einen nachvollziehbaren mathematischen Rahmen, der durch Verkehrsdaten, Messwerte, Topographie und eine gesonderte Tunnelmodellierung weiterentwickelt werden kann. d32qtwab3di7vxj0ggdg1a0ohvxov45 1108826 1108825 2026-07-23T16:55:08Z Felix Bohl 41569 /* Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels */ 1108826 wikitext text/x-wiki =Uni Niveau= = Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels = == Zielsetzung und Fragestellung == Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines räumlichen mathematischen Modells zur Beschreibung einer möglichen Schadstoffbelastung im Gebiet von Annweiler am Trifels. Die zentrale Fragestellung lautet: :''Wie kann die räumliche Verteilung einer verkehrsbedingten Schadstoffbelastung in Annweiler mithilfe eines mathematischen Modells beschrieben und auf einer interaktiven Karte dargestellt werden?'' Dazu wird das Untersuchungsgebiet in ein regelmäßiges Raster zerlegt. Jeder Rasterzelle wird ein modellierter Belastungswert zugeordnet. Die Belastungswerte werden anschließend farbig auf einer Karte dargestellt. Durch Anklicken einer Rasterzelle kann der zugehörige Wert abgerufen werden. Das Modell soll schrittweise erweitert werden. Zunächst werden einzelne Punktquellen betrachtet. Anschließend werden reale Straßenverläufe als Linienquellen integriert. Weitere Einflussgrößen wie Straßenart, Wind, Tunnelabschnitte und später möglicherweise die Topographie werden nach und nach ergänzt. Das Ziel besteht nicht darin, unmittelbar ein vollständig physikalisches Ausbreitungsmodell zu entwickeln. Vielmehr soll nachvollziehbar untersucht werden, wie aus einer realen Fragestellung schrittweise ein berechenbares mathematisches Modell entsteht. Die derzeit berechneten Werte stellen deshalb einen relativen Belastungsindex dar. Sie sind noch nicht als reale PM₂,₅-Konzentrationen in <math>\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> zu interpretieren. == Grundidee des mathematischen Modells == Das Untersuchungsgebiet wird als zweidimensionaler Bereich :<math>\Omega\subset\mathbb R^2</math> aufgefasst. Jedem Punkt <math>(x,y)\in\Omega</math> wird ein nichtnegativer Belastungswert zugeordnet. Dadurch entsteht eine räumliche Belastungsfunktion :<math> B:\Omega\longrightarrow\mathbb R_{\geq 0}. </math> Der Wert :<math>B(x,y)</math> beschreibt die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Das Grundmodell setzt sich aus einer Hintergrundbelastung und den Beiträgen einzelner Quellen zusammen: :<math> B(x,y) = B_0+ \sum_{i=1}^{m}Q_i(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>Q_i(x,y)</math> den Beitrag der <math>i</math>-ten Schadstoffquelle, * <math>m</math> die Anzahl der berücksichtigten Quellen. Später werden die Quellen in zwei Gruppen unterteilt: <math> B(x,y) = B_0 + \sum_{i=1}^{m} Q_i^{\mathrm{Strasse}}(x,y) + \sum_{j=1}^{k} Q_j^{\mathrm{Punkt}}(x,y) </math> Die Straßen werden dabei als Linienquellen modelliert. Tunnelportale, Ampeln oder industrielle Anlagen können als zusätzliche Punktquellen berücksichtigt werden. == Wahl des Untersuchungsgebietes und des Koordinatensystems == Als Mittelpunkt des Untersuchungsgebietes werden näherungsweise die geografischen Koordinaten von Annweiler am Trifels verwendet: :<math> \lambda=7{,}967^\circ,\qquad \varphi=49{,}200^\circ. </math> Geografische Längen- und Breitengrade sind für Entfernungsberechnungen jedoch ungeeignet, da sie keine metrischen Koordinaten darstellen. Deshalb werden die Koordinaten in das Bezugssystem ETRS89 / UTM-Zone 32N transformiert. Im R-Code wird dafür das Koordinatenreferenzsystem EPSG:25832 verwendet: <syntaxhighlight lang="r"> zentrum <- st_sfc( st_point(c(annweiler_lon, annweiler_lat)), crs = 4326 ) zentrum_utm <- st_transform( zentrum, 25832 ) </syntaxhighlight> Nach der Transformation werden Entfernungen in Metern angegeben. Dadurch können Rasterweiten, Straßenlängen und Ausbreitungsentfernungen direkt miteinander verrechnet werden. Das Untersuchungsgebiet wird zunächst als Rechteck mit einer Breite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Höhe von <math>6000\,\mathrm m</math> modelliert. == Hinzufügen eines Rasters == Die Belastungsfunktion <math>B(x,y)</math> kann nicht an jedem Punkt eines kontinuierlichen Gebietes einzeln berechnet werden. Deshalb wird das Untersuchungsgebiet diskretisiert. Das rechteckige Gebiet wird in quadratische Rasterzellen mit einer Seitenlänge von :<math>h=50\,\mathrm m</math> zerlegt. Bei einer Gebietsbreite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Gebietshöhe von <math>6000\,\mathrm m</math> entstehen theoretisch :<math> \frac{7000}{50}\cdot\frac{6000}{50} = 140\cdot120 = 16800 </math> Rasterzellen. Jede Rasterzelle besitzt einen Mittelpunkt :<math> P_{ij}=(x_i,y_j). </math> Der Belastungswert der gesamten Zelle wird durch den Wert am Mittelpunkt angenähert: :<math> B_{ij}\approx B(x_i,y_j). </math> Die Belastungswerte können dadurch in einer Matrix angeordnet werden: :<math> M= \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1n}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ B_{m1}&B_{m2}&\cdots&B_{mn} \end{pmatrix}. </math> Jeder Eintrag der Matrix entspricht genau einer räumlichen Rasterzelle. Im Programm wird das Raster mit der Funktion <code>st_make_grid()</code> erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_geometrie <- st_make_grid( gebiet, cellsize = rasterweite, what = "polygons", square = TRUE ) raster <- st_sf( id = seq_along(raster_geometrie), geometry = raster_geometrie ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Mittelpunkte der Rasterzellen bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> rasterpunkte <- st_centroid( st_geometry(raster) ) rasterkoordinaten <- st_coordinates( rasterpunkte ) raster$x <- rasterkoordinaten[, "X"] raster$y <- rasterkoordinaten[, "Y"] </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diskretisierung des Untersuchungsgebietes durch ein 50-m-Raster </div> [[Datei:01_Berechnungsraster.png|700px|zentriert|Raster des Untersuchungsgebietes um Annweiler.]] == Erste Modellstufe: einzelne Testquellen == Bevor das reale Straßennetz berücksichtigt wird, wird die Ausbreitungsfunktion zunächst mithilfe einzelner Testquellen untersucht. Dazu werden vier modellierte Punktquellen verwendet: * westliche Testquelle, * östliche Testquelle, * südöstliche Testquelle, * zentrale Testquelle. Die Bezeichnungen orientieren sich zunächst an möglichen späteren Anwendungen wie Tunnelportalen, Industrie oder einer Ampel. Die Positionen und Quellenstärken sind jedoch noch keine real erhobenen Daten. Die Testquellen besitzen zwei Funktionen: # Sie ermöglichen eine erste Überprüfung der Ausbreitungsfunktion. # Sie machen sichtbar, wie sich Windrichtung, Quellenstärke und Entfernung auf das Belastungsfeld auswirken. Die Testquellen stellen damit Kontrollpunkte des Modells dar. An ihnen kann geprüft werden, ob eine stärkere Quelle tatsächlich eine größere Belastung erzeugt und ob sich die Belastung überwiegend in der festgelegten Windrichtung ausbreitet. <syntaxhighlight lang="r"> quellen <- data.frame( name = c( "Westliches Tunnelportal", "Östliches Tunnelportal", "Industrie", "Ampel" ), x = c( zentrum_x - 1800, zentrum_x + 1100, zentrum_x + 1800, zentrum_x - 300 ), y = c( zentrum_y + 500, zentrum_y + 300, zentrum_y - 1700, zentrum_y - 400 ), staerke = c( 25, 25, 15, 10 ) ) </syntaxhighlight> == Zweite Modellstufe: kreisförmige Ausbreitung ohne Wind == Nachdem die Positionen der Testquellen festgelegt wurden, wird im nächsten Schritt eine erste räumliche Ausbreitungsfunktion eingeführt. Zunächst wird angenommen, dass sich die von einer Punktquelle ausgehende Belastung in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Wind, Gelände, Bebauung und weitere äußere Einflüsse werden in dieser Modellstufe noch nicht berücksichtigt. Die Ausbreitung ist daher radialsymmetrisch. Das bedeutet, dass der Quellenbeitrag nur vom Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt abhängt. === Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt === Eine Punktquelle befinde sich am Ort :<math> Q=(x_Q,y_Q). </math> Ein Rasterpunkt besitzt die Koordinaten :<math> P=(x,y). </math> Der euklidische Abstand zwischen beiden Punkten beträgt :<math> r = \sqrt{ (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 }. </math> Da in der später verwendeten Exponentialfunktion das Quadrat des Abstandes benötigt wird, kann direkt mit :<math> r^2 = (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 </math> gerechnet werden. === Gaußförmige Ausbreitung === Für den Beitrag einer Quelle wird zunächst eine gaußförmige Abnahme angenommen: :<math> Q(x,y) = S\cdot \exp\left( -\frac{ (x-x_Q)^2+(y-y_Q)^2 }{ 2\sigma^2 } \right). </math> Dabei bezeichnet * <math>S</math> die Stärke der Quelle, * <math>\sigma</math> die räumliche Streuung beziehungsweise Reichweite, * <math>Q(x,y)</math> den modellierten Quellenbeitrag am Rasterpunkt <math>(x,y)</math>. Direkt am Standort der Quelle gilt :<math> x=x_Q,\qquad y=y_Q. </math> Damit wird der Exponent gleich null und es folgt :<math> Q(x_Q,y_Q)=S. </math> Die maximale Belastung einer einzelnen Quelle entspricht somit ihrer Quellenstärke. Mit zunehmendem Abstand wird der Exponent negativ. Dadurch nimmt der Quellenbeitrag exponentiell ab. Der Parameter <math>\sigma</math> steuert die Breite des Belastungsfeldes: * Ein kleines <math>\sigma</math> führt zu einer stark lokal begrenzten Belastung. * Ein großes <math>\sigma</math> führt zu einer weiter reichenden Ausbreitung. Im ersten Testmodell wird beispielsweise :<math> \sigma=350\,\mathrm m </math> verwendet. === Umsetzung im R-Code === Die radialsymmetrische Ausbreitung wird als eigene Funktion programmiert: <syntaxhighlight lang="r"> kreisfoermiger_beitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke, sigma = 350 ) { abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) return(beitrag) } </syntaxhighlight> Die Funktion erhält die Koordinaten aller Rasterpunkte sowie die Position und Stärke einer Quelle. Zunächst wird das Quadrat des Abstandes berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 </syntaxhighlight> Anschließend wird der gaußförmige Quellenbeitrag bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) </syntaxhighlight> === Überlagerung mehrerer Quellen === Da vier Testquellen vorhanden sind, wird der Beitrag jeder Quelle einzeln berechnet. Die Gesamtbelastung der Testquellen ergibt sich durch Addition: :<math> B_{\mathrm{Test}}(x,y) = \sum_{i=1}^{4}Q_i(x,y). </math> Dieses Vorgehen entspricht dem Superpositionsprinzip. Jeder Quellenbeitrag wird unabhängig berechnet und anschließend zur Gesamtbelastung addiert. Im R-Code wird zunächst für jede Rasterzelle der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$testbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Testquellen nacheinander addiert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(quellen))) { beitrag_i <- kreisfoermiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = quellen$x[i], quelle_y = quellen$y[i], staerke = quellen$staerke[i] ) raster$testbelastung <- raster$testbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Jeder Rasterzelle wird dadurch ein Belastungswert zugeordnet. === Interpretation der ersten Ausbreitung === Das resultierende Belastungsfeld besitzt um jede Quelle annähernd kreisförmige Konturen. Quellen mit einer größeren Quellenstärke erzeugen höhere Belastungswerte. In Bereichen, in denen sich die Belastungsfelder mehrerer Quellen überlagern, addieren sich ihre Beiträge. Diese erste Modellstufe ist mathematisch übersichtlich und eignet sich gut, um die grundsätzliche Berechnung zu überprüfen. Sie besitzt jedoch eine deutliche Einschränkung: In der Realität breiten sich Schadstoffe nicht in alle Richtungen gleichmäßig aus. Insbesondere der Wind führt dazu, dass Schadstoffe überwiegend in eine bestimmte Richtung transportiert werden. Diese Beobachtung motiviert die nächste Erweiterung des Modells. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kreisförmige Ausbreitung der vier Testquellen ohne Wind </div> [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|700px|zentriert|Modellierte Belastung der vier Testquellen ohne Berücksichtigung des Windes.]] == Dritte Modellstufe: Berücksichtigung des Windes == Im vorherigen Modell wurde eine gleichmäßige Ausbreitung in alle Raumrichtungen angenommen. Diese Annahme ist für eine reale Schadstoffausbreitung nur eingeschränkt geeignet. Wind transportiert Schadstoffe bevorzugt in eine bestimmte Richtung. Deshalb wird das radialsymmetrische Modell nun zu einer gerichteten Ausbreitungsfunktion erweitert. Ziel dieser Modellstufe ist es, aus den kreisförmigen Belastungsfeldern längliche Schadstofffahnen zu erzeugen. === Windrichtung und Ausbreitungsrichtung === Im Modell wird nicht die meteorologische Herkunftsrichtung des Windes angegeben, sondern die Richtung, in welche die Schadstoffe transportiert werden. Ein Winkel von * <math>0^\circ</math> beschreibt eine Ausbreitung nach Osten, * <math>90^\circ</math> eine Ausbreitung nach Norden, * <math>180^\circ</math> eine Ausbreitung nach Westen, * <math>270^\circ</math> eine Ausbreitung nach Süden. Im Programm wird beispielsweise eine Ausbreitungsrichtung von :<math> \alpha=70^\circ </math> gewählt. Da die trigonometrischen Funktionen in R mit dem Bogenmaß arbeiten, erfolgt die Umrechnung durch :<math> \alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha_{\mathrm{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}. </math> Im R-Code lautet dies: <syntaxhighlight lang="r"> ausbreitungsrichtung_grad <- 70 ausbreitungsrichtung_rad <- ausbreitungsrichtung_grad * pi / 180 </syntaxhighlight> === Zerlegung des Abstandsvektors === Für eine Quelle am Punkt :<math> Q=(x_Q,y_Q) </math> und einen Rasterpunkt :<math> P=(x,y) </math> wird zunächst der Differenzvektor berechnet: :<math> \Delta x=x-x_Q, </math> :<math> \Delta y=y-y_Q. </math> Dieser Vektor wird anschließend in zwei Richtungen zerlegt: * eine Komponente parallel zur Ausbreitungsrichtung, * eine Komponente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die parallele Komponente lautet :<math> s = \Delta x\cos(\alpha) + \Delta y\sin(\alpha). </math> Die senkrechte Komponente lautet :<math> q = -\Delta x\sin(\alpha) + \Delta y\cos(\alpha). </math> Dabei bezeichnet * <math>s</math> den Abstand längs der Ausbreitungsrichtung, * <math>q</math> den Abstand quer zur Ausbreitungsrichtung. Mathematisch entspricht diese Berechnung einer Drehung des Koordinatensystems. Im R-Code wird die Transformation folgendermaßen umgesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) </syntaxhighlight> === Abnahme längs der Ausbreitungsrichtung === Mit zunehmender Entfernung von der Quelle soll der Belastungsbeitrag abnehmen. Dazu wird eine exponentielle Abnahme verwendet: :<math> A_{\parallel}(s) = \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right). </math> Der Parameter <math>\lambda</math> bestimmt die Reichweite entlang der Ausbreitungsrichtung. Im aktuellen Modell wird <math>\lambda</math> zusätzlich von der Windstärke abhängig gemacht: :<math> \lambda = 140+60v. </math> Dabei bezeichnet <math>v</math> die modellierte Windgeschwindigkeit. Im R-Code wird die Abnahme durch <syntaxhighlight lang="r"> abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) </syntaxhighlight> beschrieben. === Ausbreitung quer zur Windrichtung === Quer zur Windrichtung wird weiterhin eine Gaußfunktion verwendet: :<math> A_{\perp}(q) = \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die Breite der Schadstofffahne ist jedoch nicht konstant. Sie soll mit zunehmender Entfernung windabwärts wachsen. Dazu wird :<math> \sigma_{\perp} = 25 + 0{,}025\max(s,0) + 7v </math> verwendet. Die Funktion <math>\max(s,0)</math> sorgt dafür, dass nur die Entfernung in Ausbreitungsrichtung berücksichtigt wird. Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke </syntaxhighlight> Die gaußförmige Querverteilung ergibt sich durch <syntaxhighlight lang="r"> verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) </syntaxhighlight> === Verringerung entgegen der Windrichtung === Punkte mit :<math> s\geq0 </math> liegen in Ausbreitungsrichtung. Punkte mit :<math> s<0 </math> liegen entgegen der Ausbreitungsrichtung. Da sich Schadstoffe zwar überwiegend windabwärts ausbreiten, aber eine geringe Belastung auch windaufwärts möglich sein kann, wird ein Richtungsfaktor eingeführt: :<math> R(s) = \begin{cases} 1,&s\geq0,\\ 0{,}03,&s<0. \end{cases} </math> Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) </syntaxhighlight> === Gesamter Beitrag einer windabhängigen Punktquelle === Der Beitrag einer Quelle mit Stärke <math>S</math> ergibt sich damit aus dem Produkt der einzelnen Faktoren: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot A_{\parallel}(s) \cdot A_{\perp}(q). </math> Ausgeschrieben lautet die Modellfunktion: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die entsprechende R-Funktion lautet: <syntaxhighlight lang="r"> quellenbeitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke ) { delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) beitrag <- staerke * richtungsfaktor * abnahme_laengs * verteilung_quer return(beitrag) } </syntaxhighlight> === Vergleich des Modells ohne und mit Wind === Durch die Berücksichtigung der Windrichtung verändert sich die Form des Belastungsfeldes deutlich. Ohne Wind entstehen um die Quellen annähernd kreisförmige Bereiche. Mit Wind werden die Belastungsfelder in Ausbreitungsrichtung verlängert. Entgegen der Windrichtung ist der Beitrag dagegen stark reduziert. Dieser Vergleich zeigt, wie bereits die Ergänzung eines einzelnen Einflussfaktors die Modellergebnisse wesentlich verändert. <div style="display:flex; justify-content:center; gap:20px; flex-wrap:wrap;"> <div style="text-align:center;"> '''Ohne Wind''' [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|500px|Kreisförmige Ausbreitung ohne Wind.]] </div> <div style="text-align:center;"> '''Mit Wind''' [[Datei:04 Windabhaengige Ausbreitung.png|500px|Gerichtete Ausbreitung unter Berücksichtigung des Windes.]] </div> </div> == Vierte Modellstufe: Straßen als Linienquellen == Die bisherigen Testquellen stellen einzelne Punkte dar. Der Straßenverkehr erzeugt Schadstoffe jedoch nicht nur an einzelnen Orten, sondern entlang des gesamten Straßenverlaufs. Straßen werden deshalb im nächsten Schritt als Linienquellen modelliert. === Import des realen Straßennetzes === Die Straßenverläufe werden aus OpenStreetMap-Daten übernommen. Dazu wird eine zuvor heruntergeladene GeoJSON-Datei verwendet. Die Datei enthält neben den Geometrien auch Eigenschaften der Straßen, beispielsweise * die OSM-Straßenklasse <code>highway</code>, * die Straßenbezeichnung <code>ref</code>, * die Information, ob ein Abschnitt als Tunnel gekennzeichnet ist. Die Datei wird in R mit der Funktion <code>st_read()</code> geladen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_sf <- st_read( strassen_datei, quiet = TRUE ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Straßendaten in das metrische Koordinatensystem EPSG:25832 transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- st_transform( strassen_sf, 25832 ) </syntaxhighlight> Nur die Straßen innerhalb des Untersuchungsgebietes werden weiterverwendet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_intersection( strassen_utm, gebiet ) ) </syntaxhighlight> === Geometrische Aufbereitung === OpenStreetMap-Daten können verschiedene Geometrietypen enthalten. Für die weitere Modellierung werden jedoch einzelne Linienzüge vom Typ <code>LINESTRING</code> benötigt. Deshalb werden mehrteilige Linien in einzelne Linien zerlegt: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_collection_extract( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) strassen_utm <- suppressWarnings( st_cast( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) </syntaxhighlight> Leere oder ungültige Geometrien werden entfernt beziehungsweise repariert. === Auswahl relevanter Straßen === Nicht jede in OpenStreetMap enthaltene Linie ist für die verkehrsbedingte Belastung gleichermaßen relevant. Daher werden nur ausgewählte Straßenklassen berücksichtigt: <syntaxhighlight lang="r"> relevante_strassentypen <- c( "motorway", "motorway_link", "trunk", "trunk_link", "primary", "primary_link", "secondary", "secondary_link", "tertiary", "tertiary_link", "residential", "unclassified", "living_street", "service" ) </syntaxhighlight> Andere Wege, beispielsweise reine Fußwege oder Waldpfade, werden im aktuellen Modell nicht als Emissionsquellen behandelt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Importiertes Straßennetz im Untersuchungsgebiet </div> [[Datei:05 Strassennetz Annweiler.png|700px|zentriert|Aus OpenStreetMap importierte Straßen im Untersuchungsgebiet.]] == Fünfte Modellstufe: Gewichtung der Straßen == Die verschiedenen Straßen im Untersuchungsgebiet weisen sehr unterschiedliche Verkehrsaufkommen auf. Eine stark befahrene Bundesstraße mit einem hohen Anteil an Personen- und Lastkraftwagen verursacht grundsätzlich mehr verkehrsbedingte Emissionen als eine kleine Wohn- oder Zufahrtsstraße. Da für die aktuelle Modellversion noch keine vollständigen Verkehrszählungen für alle Straßenabschnitte vorliegen, wird zunächst eine relative Gewichtung anhand der OSM-Straßenklasse vorgenommen. Die Gewichtungswerte sind dimensionslose Modellparameter. Sie stellen keine realen Emissionsmengen dar, sondern beschreiben lediglich die relative Bedeutung der Straßen innerhalb des Modells. === Relative Linienquellenstärke === Jeder Straße wird abhängig von ihrer OSM-Klasse eine relative Linienquellenstärke zugeordnet. Im aktuellen Modell werden folgende Werte verwendet: {| class="wikitable" ! OSM-Straßenklasse ! Modellierte Linienquellenstärke |- | <code>motorway</code> | 10 |- | <code>motorway_link</code> | 7 |- | <code>trunk</code> | 10 |- | <code>trunk_link</code> | 7 |- | <code>primary</code> | 6 |- | <code>primary_link</code> | 5 |- | <code>secondary</code> | 4 |- | <code>secondary_link</code> | 3,5 |- | <code>tertiary</code> | 3 |- | <code>tertiary_link</code> | 2,5 |- | <code>residential</code> | 1,5 |- | <code>unclassified</code> | 1,5 |- | <code>living_street</code> | 1 |- | <code>service</code> | 0,5 |} Die Zuordnung erfolgt im R-Code zunächst durch das Anlegen einer neuen Variablen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke <- 0 </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Straßenklasse ein Wert zugewiesen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary" ] <- 6 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary_link" ] <- 5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary" ] <- 4 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary_link" ] <- 3.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary" ] <- 3 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary_link" ] <- 2.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "residential" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "unclassified" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "living_street" ] <- 1 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "service" ] <- 0.5 </syntaxhighlight> Stark befahrene überregionale Straßen erhalten somit hohe Werte. Wohn- und Nebenstraßen werden deutlich schwächer gewichtet. === Besondere Gewichtung der B10 === Die Bundesstraße B10 stellt im Untersuchungsgebiet die wichtigste Verkehrsachse dar. Auf ihr wird ein deutlich höheres Verkehrsaufkommen und insbesondere ein größerer Lastkraftwagenanteil angenommen. Deshalb wird die B10 zusätzlich über die OSM-Eigenschaften <code>ref</code> und <code>name</code> erkannt. Zunächst wird für alle Straßenabschnitte festgelegt, dass sie nicht zur B10 gehören: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$ist_b10 <- FALSE </syntaxhighlight> Anschließend wird die Spalte <code>ref</code> überprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("ref" %in% names(strassen_relevant)) { ref_text <- as.character( strassen_relevant$ref ) ref_text[is.na(ref_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = ref_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Zusätzlich wird die Straßenbezeichnung in der Spalte <code>name</code> geprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("name" %in% names(strassen_relevant)) { name_text <- as.character( strassen_relevant$name ) name_text[is.na(name_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = name_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Alle erkannten B10-Abschnitte erhalten mindestens die relative Linienquellenstärke :<math> w_{\mathrm{B10}}=12. </math> Die Zuweisung erfolgt durch: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ] <- pmax( strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ], 12 ) </syntaxhighlight> Die Funktion <code>pmax()</code> stellt sicher, dass ein B10-Abschnitt mindestens den Wert 12 erhält. Ein möglicherweise bereits höherer Wert würde jedoch nicht verringert. === Bedeutung der Gewichtungswerte === Die Linienquellenstärke beschreibt die relative Emissionswirkung eines Straßenabschnittes. Für zwei Straßenabschnitte mit den Gewichtungen :<math> w_1=12 </math> und :<math> w_2=1{,}5 </math> gilt im Modell, dass die erste Straße eine achtmal so große Quellenstärke besitzt: :<math> \frac{12}{1{,}5}=8. </math> Damit wird die B10 deutlich stärker berücksichtigt als eine gewöhnliche Wohnstraße. Die Werte dienen jedoch nur dem Vergleich innerhalb des Modells. Aus einer Linienquellenstärke von 12 kann keine reale PM₂,₅-Emission abgeleitet werden. === Grafische Darstellung der Gewichtung === Für die Visualisierung wird aus der Linienquellenstärke eine Linienbreite berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienbreite <- 0.4 + 0.28 * strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> Die Variable <code>linienbreite</code> dient ausschließlich der grafischen Darstellung. Stark gewichtete Straßen werden dadurch breiter gezeichnet als schwach gewichtete Straßen. Die eigentliche Modellgröße bleibt die Variable <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung </div> [[Datei:06 Strassengewichtung.png|700px|zentriert|Darstellung der Straßen mit unterschiedlicher Linienbreite entsprechend ihrer modellierten relativen Quellenstärke.]] === Grenzen der Gewichtung === Die verwendeten Gewichtungswerte beruhen auf Modellannahmen und nicht auf vollständigen Verkehrszählungen. Eine genauere Modellierung müsste unter anderem berücksichtigen: * die Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, * den Anteil an Lastkraftwagen, * die durchschnittliche Geschwindigkeit, * Beschleunigungs- und Bremsvorgänge, * die Fahrzeugtypen, * reale Emissionsfaktoren. Eine mögliche zukünftige Berechnung der Emissionsstärke eines Straßenabschnittes <math>i</math> wäre: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei bezeichnet * <math>N_{\mathrm{PKW},i}</math> die Anzahl der Personenwagen auf Straßenabschnitt <math>i</math>, * <math>N_{\mathrm{LKW},i}</math> die Anzahl der Lastkraftwagen, * <math>e_{\mathrm{PKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Personenwagens, * <math>e_{\mathrm{LKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Lastkraftwagens. Die aktuelle Straßenklassengewichtung stellt somit eine erste Näherung dar, die später durch reale Verkehrsdaten ersetzt oder kalibriert werden kann. == Sechste Modellstufe: Diskretisierung der Straßenlinien == Die gewichteten Straßen liegen zunächst als Liniengeometrien vor. Die zuvor entwickelte windabhängige Ausbreitungsfunktion beschreibt jedoch den Beitrag einzelner Punktquellen. Damit dieselbe Ausbreitungsfunktion auch für Straßen verwendet werden kann, werden die Linienquellen durch eine große Anzahl kleiner Punktquellen angenähert. Dieses Vorgehen wird als Diskretisierung bezeichnet. === Mathematische Idee === Ein Straßenabschnitt <math>L_i</math> wird durch eine endliche Menge von Punkten angenähert: :<math> L_i \approx \left\{ Q_{i,1}, Q_{i,2}, \ldots, Q_{i,n_i} \right\}. </math> Dabei bezeichnet * <math>L_i</math> den <math>i</math>-ten Straßenabschnitt, * <math>Q_{i,j}</math> die <math>j</math>-te Punktquelle auf diesem Abschnitt, * <math>n_i</math> die Anzahl der erzeugten Punktquellen. Die Quellen werden ungefähr im Abstand von :<math> d=50\,\mathrm m </math> entlang der Straßen erzeugt. Eine kürzere Distanz würde die Linienquelle genauer annähern, aber gleichzeitig die Anzahl der Berechnungen deutlich erhöhen. Eine größere Distanz würde die Rechenzeit reduzieren, die Straße jedoch gröber darstellen. Der Wert von <math>50\,\mathrm m</math> stellt daher einen Kompromiss zwischen räumlicher Genauigkeit und Rechenaufwand dar. === Stärke einer einzelnen Straßenquelle === Jede erzeugte Punktquelle übernimmt die relative Gewichtung der Straße, auf der sie liegt. Die Stärke einer Punktquelle wird im Programm durch :<math> S_{i,j} = c\cdot w_i </math> festgelegt. Dabei bezeichnet * <math>w_i</math> die Linienquellenstärke des Straßenabschnittes, * <math>c</math> einen Skalierungsfaktor, * <math>S_{i,j}</math> die Stärke der einzelnen Punktquelle. Im Modell wird :<math> c=0{,}25 </math> verwendet. Damit ergibt sich beispielsweise für eine B10-Quelle: :<math> S_{\mathrm{B10}} = 0{,}25\cdot12 = 3. </math> Für eine Wohnstraße mit <math>w=1{,}5</math> ergibt sich dagegen: :<math> S_{\mathrm{Wohnstrasse}} = 0{,}25\cdot1{,}5 = 0{,}375. </math> Die B10 erzeugt somit an jedem Stützpunkt einen deutlich höheren Beitrag als eine Wohnstraße. === Umsetzung im R-Code === Zunächst wird der Abstand zwischen benachbarten Straßenquellen festgelegt: <syntaxhighlight lang="r"> quellenabstand_strasse <- 50 </syntaxhighlight> Für jeden Straßenabschnitt wird anschließend dessen Länge bestimmt und die erforderliche Anzahl an Punktquellen berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> linienlaenge <- as.numeric( st_length( strassen_relevant[i, ] ) ) anzahl_quellen <- max( 1, ceiling( linienlaenge / quellenabstand_strasse ) ) </syntaxhighlight> Die Punkte werden regelmäßig auf der Linie verteilt: <syntaxhighlight lang="r"> punkte_i <- st_line_sample( st_geometry( strassen_relevant[i, ] ), n = anzahl_quellen, type = "regular" ) punkte_i <- suppressWarnings( st_cast( punkte_i, "POINT" ) ) </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Punktquelle die Gewichtung ihrer Straße zugeordnet: <syntaxhighlight lang="r"> skalierungsfaktor_strassenquelle <- 0.25 strassenquellen$quellenstaerke <- strassenquellen$linienstaerke * skalierungsfaktor_strassenquelle </syntaxhighlight> Durch dieses Verfahren wird jede Straße als Folge vieler kleiner Punktquellen angenähert. == Siebte Modellstufe: Windabhängige Belastung durch das Straßennetz == Nach der Diskretisierung kann für jede erzeugte Straßenquelle dieselbe windabhängige Ausbreitungsfunktion verwendet werden, die zuvor an den künstlichen Testquellen entwickelt wurde. === Beitrag einer einzelnen Straßenquelle === Für eine Straßenquelle <math>Q_k</math> mit der Stärke <math>S_k</math> wird der Beitrag an einem Rasterpunkt <math>(x,y)</math> durch :<math> Q_k(x,y) = S_k \cdot R(s_k) \cdot \exp\left( -\frac{|s_k|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q_k^2}{2\sigma_{\perp,k}^2} \right) </math> berechnet. Dabei werden weiterhin berücksichtigt: * die Lage der Quelle, * die Entfernung zum Rasterpunkt, * die Richtung parallel zum Wind, * die Entfernung quer zum Wind, * die Windstärke, * die relative Emissionsstärke der Straße. === Überlagerung aller Straßenquellen === Die Belastung einer Rasterzelle entsteht durch Addition sämtlicher Straßenquellen: :<math> B_{\mathrm{Strasse}}(x,y) = \sum_{k=1}^{N} Q_k(x,y). </math> Dabei bezeichnet <math>N</math> die Gesamtzahl der erzeugten Straßenquellen. Die Berechnung folgt erneut dem Superpositionsprinzip. Der Beitrag jeder Quelle wird unabhängig bestimmt und anschließend addiert. Im R-Code wird zunächst für alle Rasterzellen der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$strassenbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Straßenquellen überlagert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(strassenquellen))) { beitrag_i <- windabhaengiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = strassenquellen$x[i], quelle_y = strassenquellen$y[i], staerke = strassenquellen$quellenstaerke[i], windstaerke = windstaerke, ausbreitungsrichtung_rad = ausbreitungsrichtung_rad ) raster$strassenbelastung <- raster$strassenbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Da für jede Straßenquelle ein Beitrag an allen 16800 Rasterzellen berechnet wird, ist dieser Schritt deutlich rechenintensiver als die vorherigen Modellstufen. === Darstellung der berechneten Straßenbelastung === Jede Rasterzelle erhält nach der Berechnung einen Wert :<math> B_{\mathrm{Strasse},ij}. </math> Diese Werte werden einer Farbskala zugeordnet: * Weiß und sehr helle Farben kennzeichnen eine geringe Belastung. * Gelbe und orange Farben kennzeichnen eine mittlere Belastung. * Rote und dunkelrote Farben kennzeichnen eine hohe Belastung. Die Darstellung zeigt, dass die höchsten Werte vor allem entlang stark gewichteter Straßen auftreten. Durch die Windkomponente entstehen keine vollkommen symmetrischen Belastungsfelder. Die Belastung wird vielmehr in der festgelegten Ausbreitungsrichtung weitertransportiert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Windabhängige Belastung durch das reale Straßennetz </div> [[Datei:07 Windabhaengige Strassenbelastung.png|700px|zentriert|Modellierte windabhängige Belastung durch die gewichteten Straßenquellen.]] === Interpretation === In der Abbildung sind insbesondere die stark gewichteten Straßenabschnitte erkennbar. Die B10 erzeugt aufgrund ihrer höheren Linienquellenstärke einen größeren Belastungsbeitrag als kleinere Neben- und Wohnstraßen. An Kreuzungen und in Bereichen, in denen mehrere Straßen nahe beieinanderliegen, können sich die Beiträge verschiedener Quellen überlagern. Dadurch entstehen lokal erhöhte Belastungswerte. Die dargestellten Werte bleiben relative Modellwerte. Ein hoher Wert bedeutet daher lediglich eine im Modell höhere Belastung und noch keine konkrete PM₂,₅-Konzentration. == Achte Modellstufe: Hintergrundbelastung und Gesamtbelastung == Neben den lokalen Straßenemissionen existiert in der Realität eine allgemeine Schadstoffbelastung, die beispielsweise durch großräumigen Transport, Haushalte, Gewerbe und weiter entfernte Verkehrsquellen entstehen kann. Im Modell wird deshalb eine konstante Hintergrundbelastung ergänzt. === Mathematische Definition === Die Gesamtbelastung wird definiert durch :<math> B_{\mathrm{gesamt}}(x,y) = B_0 + B_{\mathrm{Strasse}}(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>B_{\mathrm{Strasse}}(x,y)</math> den berechneten Beitrag des Straßennetzes. Im Modell wird beispielhaft :<math> B_0=9 </math> verwendet. Im R-Code ergibt sich: <syntaxhighlight lang="r"> hintergrundbelastung <- 9 raster$gesamtbelastung <- hintergrundbelastung + raster$strassenbelastung </syntaxhighlight> Der Wert 9 ist ebenfalls ein relativer Modellwert. Er wurde gewählt, damit unbelastete Bereiche nicht bei null beginnen und die Gesamtkarte ähnlich wie eine reale Belastungskarte aufgebaut werden kann. Er darf nicht unmittelbar als gemessene Konzentration von <math>9\,\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> interpretiert werden. == Neunte Modellstufe: Interaktive Belastungskarte == Die berechneten Rasterwerte werden abschließend auf einer interaktiven Landkarte dargestellt. Hierfür wird das R-Paket <code>leaflet</code> verwendet. === Transformation in geografische Koordinaten === Die Berechnungen wurden im metrischen Koordinatensystem EPSG:25832 durchgeführt. OpenStreetMap und Leaflet verwenden dagegen geografische Koordinaten im System WGS84 beziehungsweise EPSG:4326. Deshalb werden Raster, Straßen und Untersuchungsgebiet für die Darstellung erneut transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84 <- st_transform( raster, crs = 4326 ) strassen_wgs84 <- st_transform( strassen_relevant, crs = 4326 ) gebiet_wgs84 <- st_transform( gebiet, crs = 4326 ) </syntaxhighlight> Diese Transformation verändert nicht die zuvor berechneten Belastungswerte. Sie dient ausschließlich der korrekten Positionierung auf der Hintergrundkarte. === Farbige Darstellung des Belastungsrasters === Für die Darstellung wird eine Farbskala von hellen Gelbtönen bis zu dunklen Rottönen verwendet. <syntaxhighlight lang="r"> farben <- colorNumeric( palette = "YlOrRd", domain = c( farbuntergrenze, farbobergrenze ), na.color = "transparent" ) </syntaxhighlight> Jede Rasterzelle wird entsprechend ihrem Wert <code>gesamtbelastung</code> eingefärbt. Die Flächen werden halbtransparent dargestellt, damit die darunterliegende OpenStreetMap-Karte weiterhin sichtbar bleibt. <syntaxhighlight lang="r"> addPolygons( data = raster_wgs84, fillColor = ~farben( gesamtbelastung ), fillOpacity = 0.58, color = NA, weight = 0, popup = ~popup_text ) </syntaxhighlight> === Darstellung des Straßennetzes === Das reale Straßennetz wird über das Belastungsraster gelegt: <syntaxhighlight lang="r"> addPolylines( data = strassen_wgs84, color = "grey25", weight = ~( 0.5 + 0.10 * linienstaerke ), opacity = 0.75 ) </syntaxhighlight> Stärker gewichtete Straßen werden dabei mit einer größeren Linienbreite dargestellt. === Abruf der Rasterwerte === Jede Rasterzelle erhält einen Popup-Text. Durch Anklicken der Zelle können unter anderem folgende Informationen angezeigt werden: * Nummer der Rasterzelle, * Gesamtbelastungsindex, * Anteil der modellierten Straßenbelastung. Der Text wird im Programm folgendermaßen erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84$popup_text <- paste0( "<b>Rasterzelle:</b> ", raster_wgs84$id, "<br>", "<b>Belastungsindex:</b> ", round( raster_wgs84$gesamtbelastung, 2 ), "<br>", "<b>Straßenanteil:</b> ", round( raster_wgs84$strassenbelastung, 2 ) ) </syntaxhighlight> === Ergebnis der interaktiven Darstellung === Die fertige Karte verbindet * die reale OpenStreetMap-Hintergrundkarte, * das 50-m-Berechnungsraster, * die windabhängigen Belastungswerte, * die Gewichtung der Straßenarten, * das reale Straßennetz, * eine Farblegende, * anklickbare Rasterzellen. Dadurch kann die modellierte räumliche Belastungsverteilung unmittelbar untersucht werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interaktive Karte der modellierten Gesamtbelastung </div> [[Datei:08 Interaktive Belastungskarte.png|700px|zentriert|Interaktive Belastungskarte mit OpenStreetMap-Hintergrund.]] Die interaktive Karte wird zusätzlich als HTML-Datei gespeichert: <syntaxhighlight lang="r"> saveWidget( widget = karte, file = "08_Interaktive_Belastungskarte.html", selfcontained = TRUE ) </syntaxhighlight> Die vollständig interaktive Karte kann über den folgenden Link geöffnet werden: :[https://DEINE-ADRESSE.de/08_Interaktive_Belastungskarte.html Interaktive Karte der modellierten Feinstaubbelastung] == Zusammenfassung des Modellierungsprozesses == Das Modell wurde schrittweise von einem einfachen räumlichen Raster zu einer interaktiven Belastungskarte erweitert. Die Entwicklung erfolgte in folgenden Schritten: # Festlegung eines rechteckigen Untersuchungsgebietes. # Transformation in ein metrisches Koordinatensystem. # Zerlegung des Gebietes in 16800 Rasterzellen. # Einführung künstlicher Test- und Kontrollquellen. # Modellierung einer kreisförmigen gaußförmigen Ausbreitung. # Erweiterung um eine windabhängige Ausbreitungsrichtung. # Import des realen Straßennetzes aus OpenStreetMap. # Relative Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung. # Diskretisierung der Straßenlinien in einzelne Punktquellen. # Überlagerung der Beiträge sämtlicher Straßenquellen. # Ergänzung einer konstanten Hintergrundbelastung. # Darstellung der Ergebnisse auf einer interaktiven Landkarte. Das Endergebnis ist eine diskrete räumliche Belastungsfunktion :<math> B_{ij} = B_0 + \sum_{k=1}^{N} Q_k(x_i,y_j). </math> Jeder Wert <math>B_{ij}</math> gehört zu genau einer Rasterzelle und kann auf der Karte farbig dargestellt und abgefragt werden. == Modellkritik und Grenzen == Das entwickelte Modell bildet den vollständigen physikalischen Transport von Feinstaub nicht ab. Es handelt sich um ein bewusst vereinfachtes mathematisches Modell. Die Ergebnisse müssen deshalb als relative Belastungsindizes und nicht als reale Messwerte interpretiert werden. === Modellhafte Emissionsstärken === Die Gewichtungen der Straßen beruhen auf ihrer OSM-Straßenklasse und auf plausiblen Annahmen über das Verkehrsaufkommen. Es wurden bislang keine vollständigen Verkehrszählungen für jeden Straßenabschnitt verwendet. Insbesondere die Gewichtung der B10 berücksichtigt zwar ihre besondere verkehrliche Bedeutung, basiert aber noch nicht auf konkreten stündlichen Fahrzeugzahlen. === Vereinfachte Windverhältnisse === Im gesamten Untersuchungsgebiet wird eine konstante Windstärke und eine konstante Ausbreitungsrichtung angenommen. In der Realität ändern sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung zeitlich und räumlich. Außerdem wird die Strömung durch Berge, Täler und Bebauung beeinflusst. === Fehlende Topographie === Die Höhenlage des Geländes ist im aktuellen Berechnungsmodell noch nicht als eigener Faktor enthalten. Die Hintergrundkarte zeigt zwar Berge und Höhenangaben, diese beeinflussen jedoch nicht die berechneten Belastungswerte. Gerade in der Umgebung von Annweiler wäre die Topographie besonders relevant, da das Gelände durch Täler und umliegende Erhebungen geprägt ist. === Fehlende Gebäude und Straßenschluchten === Gebäude können den Luftaustausch behindern und lokal zu erhöhten Schadstoffkonzentrationen führen. Dieser Effekt wird im aktuellen Modell nicht berücksichtigt. === Tunnelabschnitte === Tunnel werden noch nicht gesondert behandelt. Im derzeitigen Modell wirken auch Straßenabschnitte innerhalb eines Tunnels wie gewöhnliche oberirdische Linienquellen. Eine realistischere Modellierung müsste die Emissionen innerhalb des Tunnels entfernen und stattdessen verstärkte Punktquellen an den Tunnelportalen ansetzen. === Hintergrundbelastung === Die Hintergrundbelastung <math>B_0=9</math> ist eine Modellannahme. Sie wurde nicht aus einer konkreten Messreihe für Annweiler bestimmt und darf daher nicht als reale Konzentration interpretiert werden. === Keine direkte Validierung === Eine Validierung mit tatsächlichen Feinstaubmessungen wurde bislang nicht durchgeführt. Ohne Vergleichsdaten kann nicht beurteilt werden, wie gut die räumliche Verteilung des Modells mit der Realität übereinstimmt. == Mögliche Erweiterungen == Das Modell kann in weiteren Arbeitsschritten erweitert und verbessert werden. === Reale Verkehrsdaten === Die relativen Linienquellenstärken könnten durch reale Verkehrszählungen ersetzt werden. Für einen Straßenabschnitt <math>i</math> könnte beispielsweise gelten: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei würden Personenwagen und Lastkraftwagen aufgrund ihrer unterschiedlichen Emissionen getrennt berücksichtigt. === Zeitabhängiges Modell === Die Belastung könnte zusätzlich von der Zeit abhängen: :<math> B=B(x,y,t). </math> Dadurch könnten unter anderem * morgendlicher Berufsverkehr, * abendlicher Berufsverkehr, * nächtliche Verkehrsabnahme, * wechselnde Windrichtungen abgebildet werden. === Topographischer Faktor === Ein digitales Höhenmodell könnte verwendet werden, um jeder Rasterzelle eine Höhe :<math> H(x,y) </math> zuzuordnen. Darauf aufbauend könnten Hangneigung, Talrichtung und Höhenunterschiede zwischen Quelle und Rasterpunkt berücksichtigt werden. === Tunnelportale === Tunnelabschnitte könnten aus der normalen Linienquellenberechnung entfernt werden. An den Ein- und Ausfahrten könnten stattdessen zusätzliche Punktquellen erzeugt werden, deren Stärke von Tunnellänge und Verkehrsaufkommen abhängt. === Messdaten und Kalibrierung === Mobile oder stationäre Messungen könnten verwendet werden, um die Modellparameter anzupassen. Dazu könnten die Abweichungen zwischen Messwerten <math>M_i</math> und Modellwerten <math>B_i</math> beispielsweise durch eine Fehlerfunktion beschrieben werden: :<math> F = \sum_{i=1}^{n} \left( M_i-B_i \right)^2. </math> Die Modellparameter könnten anschließend so gewählt werden, dass diese Fehlerfunktion möglichst klein wird. == Fazit == Das Projekt zeigt, wie eine reale Fragestellung schrittweise in ein mathematisches Modell überführt werden kann. Ausgehend von einem rechteckigen Untersuchungsgebiet wurde zunächst ein diskretes Berechnungsraster erzeugt. An künstlichen Testquellen wurden anschließend eine gaußförmige und eine windabhängige Ausbreitungsfunktion entwickelt. Danach wurde das reale Straßennetz von Annweiler in das Modell aufgenommen. Die Straßen wurden nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichtet, in kleine Punktquellen zerlegt und mit der zuvor entwickelten Ausbreitungsfunktion verknüpft. Das Ergebnis ist eine räumliche Belastungsfunktion, deren Werte auf einer interaktiven Landkarte dargestellt und für einzelne Rasterzellen abgefragt werden können. Das Modell liefert noch keine realen PM₂,₅-Konzentrationen. Es bildet jedoch einen nachvollziehbaren mathematischen Rahmen, der durch Verkehrsdaten, Messwerte, Topographie und eine gesonderte Tunnelmodellierung weiterentwickelt werden kann. 497o7b3ddq7d3xseuqzsqo3mb81fpyy 1108827 1108826 2026-07-23T16:55:23Z Felix Bohl 41569 /* Uni Niveau */ 1108827 wikitext text/x-wiki = Räumliches Feinstaubmodell für Annweiler am Trifels = == Zielsetzung und Fragestellung == Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines räumlichen mathematischen Modells zur Beschreibung einer möglichen Schadstoffbelastung im Gebiet von Annweiler am Trifels. Die zentrale Fragestellung lautet: :''Wie kann die räumliche Verteilung einer verkehrsbedingten Schadstoffbelastung in Annweiler mithilfe eines mathematischen Modells beschrieben und auf einer interaktiven Karte dargestellt werden?'' Dazu wird das Untersuchungsgebiet in ein regelmäßiges Raster zerlegt. Jeder Rasterzelle wird ein modellierter Belastungswert zugeordnet. Die Belastungswerte werden anschließend farbig auf einer Karte dargestellt. Durch Anklicken einer Rasterzelle kann der zugehörige Wert abgerufen werden. Das Modell soll schrittweise erweitert werden. Zunächst werden einzelne Punktquellen betrachtet. Anschließend werden reale Straßenverläufe als Linienquellen integriert. Weitere Einflussgrößen wie Straßenart, Wind, Tunnelabschnitte und später möglicherweise die Topographie werden nach und nach ergänzt. Das Ziel besteht nicht darin, unmittelbar ein vollständig physikalisches Ausbreitungsmodell zu entwickeln. Vielmehr soll nachvollziehbar untersucht werden, wie aus einer realen Fragestellung schrittweise ein berechenbares mathematisches Modell entsteht. Die derzeit berechneten Werte stellen deshalb einen relativen Belastungsindex dar. Sie sind noch nicht als reale PM₂,₅-Konzentrationen in <math>\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> zu interpretieren. == Grundidee des mathematischen Modells == Das Untersuchungsgebiet wird als zweidimensionaler Bereich :<math>\Omega\subset\mathbb R^2</math> aufgefasst. Jedem Punkt <math>(x,y)\in\Omega</math> wird ein nichtnegativer Belastungswert zugeordnet. Dadurch entsteht eine räumliche Belastungsfunktion :<math> B:\Omega\longrightarrow\mathbb R_{\geq 0}. </math> Der Wert :<math>B(x,y)</math> beschreibt die modellierte Schadstoffbelastung am Ort <math>(x,y)</math>. Das Grundmodell setzt sich aus einer Hintergrundbelastung und den Beiträgen einzelner Quellen zusammen: :<math> B(x,y) = B_0+ \sum_{i=1}^{m}Q_i(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>Q_i(x,y)</math> den Beitrag der <math>i</math>-ten Schadstoffquelle, * <math>m</math> die Anzahl der berücksichtigten Quellen. Später werden die Quellen in zwei Gruppen unterteilt: <math> B(x,y) = B_0 + \sum_{i=1}^{m} Q_i^{\mathrm{Strasse}}(x,y) + \sum_{j=1}^{k} Q_j^{\mathrm{Punkt}}(x,y) </math> Die Straßen werden dabei als Linienquellen modelliert. Tunnelportale, Ampeln oder industrielle Anlagen können als zusätzliche Punktquellen berücksichtigt werden. == Wahl des Untersuchungsgebietes und des Koordinatensystems == Als Mittelpunkt des Untersuchungsgebietes werden näherungsweise die geografischen Koordinaten von Annweiler am Trifels verwendet: :<math> \lambda=7{,}967^\circ,\qquad \varphi=49{,}200^\circ. </math> Geografische Längen- und Breitengrade sind für Entfernungsberechnungen jedoch ungeeignet, da sie keine metrischen Koordinaten darstellen. Deshalb werden die Koordinaten in das Bezugssystem ETRS89 / UTM-Zone 32N transformiert. Im R-Code wird dafür das Koordinatenreferenzsystem EPSG:25832 verwendet: <syntaxhighlight lang="r"> zentrum <- st_sfc( st_point(c(annweiler_lon, annweiler_lat)), crs = 4326 ) zentrum_utm <- st_transform( zentrum, 25832 ) </syntaxhighlight> Nach der Transformation werden Entfernungen in Metern angegeben. Dadurch können Rasterweiten, Straßenlängen und Ausbreitungsentfernungen direkt miteinander verrechnet werden. Das Untersuchungsgebiet wird zunächst als Rechteck mit einer Breite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Höhe von <math>6000\,\mathrm m</math> modelliert. == Hinzufügen eines Rasters == Die Belastungsfunktion <math>B(x,y)</math> kann nicht an jedem Punkt eines kontinuierlichen Gebietes einzeln berechnet werden. Deshalb wird das Untersuchungsgebiet diskretisiert. Das rechteckige Gebiet wird in quadratische Rasterzellen mit einer Seitenlänge von :<math>h=50\,\mathrm m</math> zerlegt. Bei einer Gebietsbreite von <math>7000\,\mathrm m</math> und einer Gebietshöhe von <math>6000\,\mathrm m</math> entstehen theoretisch :<math> \frac{7000}{50}\cdot\frac{6000}{50} = 140\cdot120 = 16800 </math> Rasterzellen. Jede Rasterzelle besitzt einen Mittelpunkt :<math> P_{ij}=(x_i,y_j). </math> Der Belastungswert der gesamten Zelle wird durch den Wert am Mittelpunkt angenähert: :<math> B_{ij}\approx B(x_i,y_j). </math> Die Belastungswerte können dadurch in einer Matrix angeordnet werden: :<math> M= \begin{pmatrix} B_{11}&B_{12}&\cdots&B_{1n}\\ B_{21}&B_{22}&\cdots&B_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ B_{m1}&B_{m2}&\cdots&B_{mn} \end{pmatrix}. </math> Jeder Eintrag der Matrix entspricht genau einer räumlichen Rasterzelle. Im Programm wird das Raster mit der Funktion <code>st_make_grid()</code> erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_geometrie <- st_make_grid( gebiet, cellsize = rasterweite, what = "polygons", square = TRUE ) raster <- st_sf( id = seq_along(raster_geometrie), geometry = raster_geometrie ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Mittelpunkte der Rasterzellen bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> rasterpunkte <- st_centroid( st_geometry(raster) ) rasterkoordinaten <- st_coordinates( rasterpunkte ) raster$x <- rasterkoordinaten[, "X"] raster$y <- rasterkoordinaten[, "Y"] </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diskretisierung des Untersuchungsgebietes durch ein 50-m-Raster </div> [[Datei:01_Berechnungsraster.png|700px|zentriert|Raster des Untersuchungsgebietes um Annweiler.]] == Erste Modellstufe: einzelne Testquellen == Bevor das reale Straßennetz berücksichtigt wird, wird die Ausbreitungsfunktion zunächst mithilfe einzelner Testquellen untersucht. Dazu werden vier modellierte Punktquellen verwendet: * westliche Testquelle, * östliche Testquelle, * südöstliche Testquelle, * zentrale Testquelle. Die Bezeichnungen orientieren sich zunächst an möglichen späteren Anwendungen wie Tunnelportalen, Industrie oder einer Ampel. Die Positionen und Quellenstärken sind jedoch noch keine real erhobenen Daten. Die Testquellen besitzen zwei Funktionen: # Sie ermöglichen eine erste Überprüfung der Ausbreitungsfunktion. # Sie machen sichtbar, wie sich Windrichtung, Quellenstärke und Entfernung auf das Belastungsfeld auswirken. Die Testquellen stellen damit Kontrollpunkte des Modells dar. An ihnen kann geprüft werden, ob eine stärkere Quelle tatsächlich eine größere Belastung erzeugt und ob sich die Belastung überwiegend in der festgelegten Windrichtung ausbreitet. <syntaxhighlight lang="r"> quellen <- data.frame( name = c( "Westliches Tunnelportal", "Östliches Tunnelportal", "Industrie", "Ampel" ), x = c( zentrum_x - 1800, zentrum_x + 1100, zentrum_x + 1800, zentrum_x - 300 ), y = c( zentrum_y + 500, zentrum_y + 300, zentrum_y - 1700, zentrum_y - 400 ), staerke = c( 25, 25, 15, 10 ) ) </syntaxhighlight> == Zweite Modellstufe: kreisförmige Ausbreitung ohne Wind == Nachdem die Positionen der Testquellen festgelegt wurden, wird im nächsten Schritt eine erste räumliche Ausbreitungsfunktion eingeführt. Zunächst wird angenommen, dass sich die von einer Punktquelle ausgehende Belastung in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet. Wind, Gelände, Bebauung und weitere äußere Einflüsse werden in dieser Modellstufe noch nicht berücksichtigt. Die Ausbreitung ist daher radialsymmetrisch. Das bedeutet, dass der Quellenbeitrag nur vom Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt abhängt. === Abstand zwischen Quelle und Rasterpunkt === Eine Punktquelle befinde sich am Ort :<math> Q=(x_Q,y_Q). </math> Ein Rasterpunkt besitzt die Koordinaten :<math> P=(x,y). </math> Der euklidische Abstand zwischen beiden Punkten beträgt :<math> r = \sqrt{ (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 }. </math> Da in der später verwendeten Exponentialfunktion das Quadrat des Abstandes benötigt wird, kann direkt mit :<math> r^2 = (x-x_Q)^2 + (y-y_Q)^2 </math> gerechnet werden. === Gaußförmige Ausbreitung === Für den Beitrag einer Quelle wird zunächst eine gaußförmige Abnahme angenommen: :<math> Q(x,y) = S\cdot \exp\left( -\frac{ (x-x_Q)^2+(y-y_Q)^2 }{ 2\sigma^2 } \right). </math> Dabei bezeichnet * <math>S</math> die Stärke der Quelle, * <math>\sigma</math> die räumliche Streuung beziehungsweise Reichweite, * <math>Q(x,y)</math> den modellierten Quellenbeitrag am Rasterpunkt <math>(x,y)</math>. Direkt am Standort der Quelle gilt :<math> x=x_Q,\qquad y=y_Q. </math> Damit wird der Exponent gleich null und es folgt :<math> Q(x_Q,y_Q)=S. </math> Die maximale Belastung einer einzelnen Quelle entspricht somit ihrer Quellenstärke. Mit zunehmendem Abstand wird der Exponent negativ. Dadurch nimmt der Quellenbeitrag exponentiell ab. Der Parameter <math>\sigma</math> steuert die Breite des Belastungsfeldes: * Ein kleines <math>\sigma</math> führt zu einer stark lokal begrenzten Belastung. * Ein großes <math>\sigma</math> führt zu einer weiter reichenden Ausbreitung. Im ersten Testmodell wird beispielsweise :<math> \sigma=350\,\mathrm m </math> verwendet. === Umsetzung im R-Code === Die radialsymmetrische Ausbreitung wird als eigene Funktion programmiert: <syntaxhighlight lang="r"> kreisfoermiger_beitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke, sigma = 350 ) { abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) return(beitrag) } </syntaxhighlight> Die Funktion erhält die Koordinaten aller Rasterpunkte sowie die Position und Stärke einer Quelle. Zunächst wird das Quadrat des Abstandes berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> abstand_quadrat <- (raster_x - quelle_x)^2 + (raster_y - quelle_y)^2 </syntaxhighlight> Anschließend wird der gaußförmige Quellenbeitrag bestimmt: <syntaxhighlight lang="r"> beitrag <- staerke * exp( -abstand_quadrat / (2 * sigma^2) ) </syntaxhighlight> === Überlagerung mehrerer Quellen === Da vier Testquellen vorhanden sind, wird der Beitrag jeder Quelle einzeln berechnet. Die Gesamtbelastung der Testquellen ergibt sich durch Addition: :<math> B_{\mathrm{Test}}(x,y) = \sum_{i=1}^{4}Q_i(x,y). </math> Dieses Vorgehen entspricht dem Superpositionsprinzip. Jeder Quellenbeitrag wird unabhängig berechnet und anschließend zur Gesamtbelastung addiert. Im R-Code wird zunächst für jede Rasterzelle der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$testbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Testquellen nacheinander addiert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(quellen))) { beitrag_i <- kreisfoermiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = quellen$x[i], quelle_y = quellen$y[i], staerke = quellen$staerke[i] ) raster$testbelastung <- raster$testbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Jeder Rasterzelle wird dadurch ein Belastungswert zugeordnet. === Interpretation der ersten Ausbreitung === Das resultierende Belastungsfeld besitzt um jede Quelle annähernd kreisförmige Konturen. Quellen mit einer größeren Quellenstärke erzeugen höhere Belastungswerte. In Bereichen, in denen sich die Belastungsfelder mehrerer Quellen überlagern, addieren sich ihre Beiträge. Diese erste Modellstufe ist mathematisch übersichtlich und eignet sich gut, um die grundsätzliche Berechnung zu überprüfen. Sie besitzt jedoch eine deutliche Einschränkung: In der Realität breiten sich Schadstoffe nicht in alle Richtungen gleichmäßig aus. Insbesondere der Wind führt dazu, dass Schadstoffe überwiegend in eine bestimmte Richtung transportiert werden. Diese Beobachtung motiviert die nächste Erweiterung des Modells. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kreisförmige Ausbreitung der vier Testquellen ohne Wind </div> [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|700px|zentriert|Modellierte Belastung der vier Testquellen ohne Berücksichtigung des Windes.]] == Dritte Modellstufe: Berücksichtigung des Windes == Im vorherigen Modell wurde eine gleichmäßige Ausbreitung in alle Raumrichtungen angenommen. Diese Annahme ist für eine reale Schadstoffausbreitung nur eingeschränkt geeignet. Wind transportiert Schadstoffe bevorzugt in eine bestimmte Richtung. Deshalb wird das radialsymmetrische Modell nun zu einer gerichteten Ausbreitungsfunktion erweitert. Ziel dieser Modellstufe ist es, aus den kreisförmigen Belastungsfeldern längliche Schadstofffahnen zu erzeugen. === Windrichtung und Ausbreitungsrichtung === Im Modell wird nicht die meteorologische Herkunftsrichtung des Windes angegeben, sondern die Richtung, in welche die Schadstoffe transportiert werden. Ein Winkel von * <math>0^\circ</math> beschreibt eine Ausbreitung nach Osten, * <math>90^\circ</math> eine Ausbreitung nach Norden, * <math>180^\circ</math> eine Ausbreitung nach Westen, * <math>270^\circ</math> eine Ausbreitung nach Süden. Im Programm wird beispielsweise eine Ausbreitungsrichtung von :<math> \alpha=70^\circ </math> gewählt. Da die trigonometrischen Funktionen in R mit dem Bogenmaß arbeiten, erfolgt die Umrechnung durch :<math> \alpha_{\mathrm{rad}} = \alpha_{\mathrm{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}. </math> Im R-Code lautet dies: <syntaxhighlight lang="r"> ausbreitungsrichtung_grad <- 70 ausbreitungsrichtung_rad <- ausbreitungsrichtung_grad * pi / 180 </syntaxhighlight> === Zerlegung des Abstandsvektors === Für eine Quelle am Punkt :<math> Q=(x_Q,y_Q) </math> und einen Rasterpunkt :<math> P=(x,y) </math> wird zunächst der Differenzvektor berechnet: :<math> \Delta x=x-x_Q, </math> :<math> \Delta y=y-y_Q. </math> Dieser Vektor wird anschließend in zwei Richtungen zerlegt: * eine Komponente parallel zur Ausbreitungsrichtung, * eine Komponente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Die parallele Komponente lautet :<math> s = \Delta x\cos(\alpha) + \Delta y\sin(\alpha). </math> Die senkrechte Komponente lautet :<math> q = -\Delta x\sin(\alpha) + \Delta y\cos(\alpha). </math> Dabei bezeichnet * <math>s</math> den Abstand längs der Ausbreitungsrichtung, * <math>q</math> den Abstand quer zur Ausbreitungsrichtung. Mathematisch entspricht diese Berechnung einer Drehung des Koordinatensystems. Im R-Code wird die Transformation folgendermaßen umgesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) </syntaxhighlight> === Abnahme längs der Ausbreitungsrichtung === Mit zunehmender Entfernung von der Quelle soll der Belastungsbeitrag abnehmen. Dazu wird eine exponentielle Abnahme verwendet: :<math> A_{\parallel}(s) = \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right). </math> Der Parameter <math>\lambda</math> bestimmt die Reichweite entlang der Ausbreitungsrichtung. Im aktuellen Modell wird <math>\lambda</math> zusätzlich von der Windstärke abhängig gemacht: :<math> \lambda = 140+60v. </math> Dabei bezeichnet <math>v</math> die modellierte Windgeschwindigkeit. Im R-Code wird die Abnahme durch <syntaxhighlight lang="r"> abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) </syntaxhighlight> beschrieben. === Ausbreitung quer zur Windrichtung === Quer zur Windrichtung wird weiterhin eine Gaußfunktion verwendet: :<math> A_{\perp}(q) = \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die Breite der Schadstofffahne ist jedoch nicht konstant. Sie soll mit zunehmender Entfernung windabwärts wachsen. Dazu wird :<math> \sigma_{\perp} = 25 + 0{,}025\max(s,0) + 7v </math> verwendet. Die Funktion <math>\max(s,0)</math> sorgt dafür, dass nur die Entfernung in Ausbreitungsrichtung berücksichtigt wird. Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke </syntaxhighlight> Die gaußförmige Querverteilung ergibt sich durch <syntaxhighlight lang="r"> verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) </syntaxhighlight> === Verringerung entgegen der Windrichtung === Punkte mit :<math> s\geq0 </math> liegen in Ausbreitungsrichtung. Punkte mit :<math> s<0 </math> liegen entgegen der Ausbreitungsrichtung. Da sich Schadstoffe zwar überwiegend windabwärts ausbreiten, aber eine geringe Belastung auch windaufwärts möglich sein kann, wird ein Richtungsfaktor eingeführt: :<math> R(s) = \begin{cases} 1,&s\geq0,\\ 0{,}03,&s<0. \end{cases} </math> Im R-Code: <syntaxhighlight lang="r"> richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) </syntaxhighlight> === Gesamter Beitrag einer windabhängigen Punktquelle === Der Beitrag einer Quelle mit Stärke <math>S</math> ergibt sich damit aus dem Produkt der einzelnen Faktoren: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot A_{\parallel}(s) \cdot A_{\perp}(q). </math> Ausgeschrieben lautet die Modellfunktion: :<math> Q(x,y) = S \cdot R(s) \cdot \exp\left( -\frac{|s|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q^2}{2\sigma_{\perp}^2} \right). </math> Die entsprechende R-Funktion lautet: <syntaxhighlight lang="r"> quellenbeitrag <- function( raster_x, raster_y, quelle_x, quelle_y, staerke ) { delta_x <- raster_x - quelle_x delta_y <- raster_y - quelle_y laengs <- delta_x * cos(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * sin(ausbreitungsrichtung_rad) quer <- -delta_x * sin(ausbreitungsrichtung_rad) + delta_y * cos(ausbreitungsrichtung_rad) entfernung_windabwaerts <- pmax( laengs, 0 ) richtungsfaktor <- ifelse( laengs >= 0, 1, 0.03 ) sigma_quer <- 25 + 0.025 * entfernung_windabwaerts + 7 * windstaerke abnahme_laengs <- exp( -abs(laengs) / (140 + 60 * windstaerke) ) verteilung_quer <- exp( -quer^2 / (2 * sigma_quer^2) ) beitrag <- staerke * richtungsfaktor * abnahme_laengs * verteilung_quer return(beitrag) } </syntaxhighlight> === Vergleich des Modells ohne und mit Wind === Durch die Berücksichtigung der Windrichtung verändert sich die Form des Belastungsfeldes deutlich. Ohne Wind entstehen um die Quellen annähernd kreisförmige Bereiche. Mit Wind werden die Belastungsfelder in Ausbreitungsrichtung verlängert. Entgegen der Windrichtung ist der Beitrag dagegen stark reduziert. Dieser Vergleich zeigt, wie bereits die Ergänzung eines einzelnen Einflussfaktors die Modellergebnisse wesentlich verändert. <div style="display:flex; justify-content:center; gap:20px; flex-wrap:wrap;"> <div style="text-align:center;"> '''Ohne Wind''' [[Datei:03 Kreisfoermige Ausbreitung.png|500px|Kreisförmige Ausbreitung ohne Wind.]] </div> <div style="text-align:center;"> '''Mit Wind''' [[Datei:04 Windabhaengige Ausbreitung.png|500px|Gerichtete Ausbreitung unter Berücksichtigung des Windes.]] </div> </div> == Vierte Modellstufe: Straßen als Linienquellen == Die bisherigen Testquellen stellen einzelne Punkte dar. Der Straßenverkehr erzeugt Schadstoffe jedoch nicht nur an einzelnen Orten, sondern entlang des gesamten Straßenverlaufs. Straßen werden deshalb im nächsten Schritt als Linienquellen modelliert. === Import des realen Straßennetzes === Die Straßenverläufe werden aus OpenStreetMap-Daten übernommen. Dazu wird eine zuvor heruntergeladene GeoJSON-Datei verwendet. Die Datei enthält neben den Geometrien auch Eigenschaften der Straßen, beispielsweise * die OSM-Straßenklasse <code>highway</code>, * die Straßenbezeichnung <code>ref</code>, * die Information, ob ein Abschnitt als Tunnel gekennzeichnet ist. Die Datei wird in R mit der Funktion <code>st_read()</code> geladen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_sf <- st_read( strassen_datei, quiet = TRUE ) </syntaxhighlight> Anschließend werden die Straßendaten in das metrische Koordinatensystem EPSG:25832 transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- st_transform( strassen_sf, 25832 ) </syntaxhighlight> Nur die Straßen innerhalb des Untersuchungsgebietes werden weiterverwendet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_intersection( strassen_utm, gebiet ) ) </syntaxhighlight> === Geometrische Aufbereitung === OpenStreetMap-Daten können verschiedene Geometrietypen enthalten. Für die weitere Modellierung werden jedoch einzelne Linienzüge vom Typ <code>LINESTRING</code> benötigt. Deshalb werden mehrteilige Linien in einzelne Linien zerlegt: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_utm <- suppressWarnings( st_collection_extract( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) strassen_utm <- suppressWarnings( st_cast( strassen_utm, "LINESTRING" ) ) </syntaxhighlight> Leere oder ungültige Geometrien werden entfernt beziehungsweise repariert. === Auswahl relevanter Straßen === Nicht jede in OpenStreetMap enthaltene Linie ist für die verkehrsbedingte Belastung gleichermaßen relevant. Daher werden nur ausgewählte Straßenklassen berücksichtigt: <syntaxhighlight lang="r"> relevante_strassentypen <- c( "motorway", "motorway_link", "trunk", "trunk_link", "primary", "primary_link", "secondary", "secondary_link", "tertiary", "tertiary_link", "residential", "unclassified", "living_street", "service" ) </syntaxhighlight> Andere Wege, beispielsweise reine Fußwege oder Waldpfade, werden im aktuellen Modell nicht als Emissionsquellen behandelt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Importiertes Straßennetz im Untersuchungsgebiet </div> [[Datei:05 Strassennetz Annweiler.png|700px|zentriert|Aus OpenStreetMap importierte Straßen im Untersuchungsgebiet.]] == Fünfte Modellstufe: Gewichtung der Straßen == Die verschiedenen Straßen im Untersuchungsgebiet weisen sehr unterschiedliche Verkehrsaufkommen auf. Eine stark befahrene Bundesstraße mit einem hohen Anteil an Personen- und Lastkraftwagen verursacht grundsätzlich mehr verkehrsbedingte Emissionen als eine kleine Wohn- oder Zufahrtsstraße. Da für die aktuelle Modellversion noch keine vollständigen Verkehrszählungen für alle Straßenabschnitte vorliegen, wird zunächst eine relative Gewichtung anhand der OSM-Straßenklasse vorgenommen. Die Gewichtungswerte sind dimensionslose Modellparameter. Sie stellen keine realen Emissionsmengen dar, sondern beschreiben lediglich die relative Bedeutung der Straßen innerhalb des Modells. === Relative Linienquellenstärke === Jeder Straße wird abhängig von ihrer OSM-Klasse eine relative Linienquellenstärke zugeordnet. Im aktuellen Modell werden folgende Werte verwendet: {| class="wikitable" ! OSM-Straßenklasse ! Modellierte Linienquellenstärke |- | <code>motorway</code> | 10 |- | <code>motorway_link</code> | 7 |- | <code>trunk</code> | 10 |- | <code>trunk_link</code> | 7 |- | <code>primary</code> | 6 |- | <code>primary_link</code> | 5 |- | <code>secondary</code> | 4 |- | <code>secondary_link</code> | 3,5 |- | <code>tertiary</code> | 3 |- | <code>tertiary_link</code> | 2,5 |- | <code>residential</code> | 1,5 |- | <code>unclassified</code> | 1,5 |- | <code>living_street</code> | 1 |- | <code>service</code> | 0,5 |} Die Zuordnung erfolgt im R-Code zunächst durch das Anlegen einer neuen Variablen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke <- 0 </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Straßenklasse ein Wert zugewiesen: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "motorway_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk" ] <- 10 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "trunk_link" ] <- 7 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary" ] <- 6 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "primary_link" ] <- 5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary" ] <- 4 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "secondary_link" ] <- 3.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary" ] <- 3 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "tertiary_link" ] <- 2.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "residential" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "unclassified" ] <- 1.5 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "living_street" ] <- 1 strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$highway == "service" ] <- 0.5 </syntaxhighlight> Stark befahrene überregionale Straßen erhalten somit hohe Werte. Wohn- und Nebenstraßen werden deutlich schwächer gewichtet. === Besondere Gewichtung der B10 === Die Bundesstraße B10 stellt im Untersuchungsgebiet die wichtigste Verkehrsachse dar. Auf ihr wird ein deutlich höheres Verkehrsaufkommen und insbesondere ein größerer Lastkraftwagenanteil angenommen. Deshalb wird die B10 zusätzlich über die OSM-Eigenschaften <code>ref</code> und <code>name</code> erkannt. Zunächst wird für alle Straßenabschnitte festgelegt, dass sie nicht zur B10 gehören: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$ist_b10 <- FALSE </syntaxhighlight> Anschließend wird die Spalte <code>ref</code> überprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("ref" %in% names(strassen_relevant)) { ref_text <- as.character( strassen_relevant$ref ) ref_text[is.na(ref_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = ref_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Zusätzlich wird die Straßenbezeichnung in der Spalte <code>name</code> geprüft: <syntaxhighlight lang="r"> if ("name" %in% names(strassen_relevant)) { name_text <- as.character( strassen_relevant$name ) name_text[is.na(name_text)] <- "" strassen_relevant$ist_b10 <- strassen_relevant$ist_b10 | grepl( pattern = "(^|[^0-9])B[[:space:]]*10([^0-9]|$)", x = name_text, ignore.case = TRUE ) } </syntaxhighlight> Alle erkannten B10-Abschnitte erhalten mindestens die relative Linienquellenstärke :<math> w_{\mathrm{B10}}=12. </math> Die Zuweisung erfolgt durch: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ] <- pmax( strassen_relevant$linienstaerke[ strassen_relevant$ist_b10 ], 12 ) </syntaxhighlight> Die Funktion <code>pmax()</code> stellt sicher, dass ein B10-Abschnitt mindestens den Wert 12 erhält. Ein möglicherweise bereits höherer Wert würde jedoch nicht verringert. === Bedeutung der Gewichtungswerte === Die Linienquellenstärke beschreibt die relative Emissionswirkung eines Straßenabschnittes. Für zwei Straßenabschnitte mit den Gewichtungen :<math> w_1=12 </math> und :<math> w_2=1{,}5 </math> gilt im Modell, dass die erste Straße eine achtmal so große Quellenstärke besitzt: :<math> \frac{12}{1{,}5}=8. </math> Damit wird die B10 deutlich stärker berücksichtigt als eine gewöhnliche Wohnstraße. Die Werte dienen jedoch nur dem Vergleich innerhalb des Modells. Aus einer Linienquellenstärke von 12 kann keine reale PM₂,₅-Emission abgeleitet werden. === Grafische Darstellung der Gewichtung === Für die Visualisierung wird aus der Linienquellenstärke eine Linienbreite berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienbreite <- 0.4 + 0.28 * strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> Die Variable <code>linienbreite</code> dient ausschließlich der grafischen Darstellung. Stark gewichtete Straßen werden dadurch breiter gezeichnet als schwach gewichtete Straßen. Die eigentliche Modellgröße bleibt die Variable <syntaxhighlight lang="r"> strassen_relevant$linienstaerke </syntaxhighlight> <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung </div> [[Datei:06 Strassengewichtung.png|700px|zentriert|Darstellung der Straßen mit unterschiedlicher Linienbreite entsprechend ihrer modellierten relativen Quellenstärke.]] === Grenzen der Gewichtung === Die verwendeten Gewichtungswerte beruhen auf Modellannahmen und nicht auf vollständigen Verkehrszählungen. Eine genauere Modellierung müsste unter anderem berücksichtigen: * die Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, * den Anteil an Lastkraftwagen, * die durchschnittliche Geschwindigkeit, * Beschleunigungs- und Bremsvorgänge, * die Fahrzeugtypen, * reale Emissionsfaktoren. Eine mögliche zukünftige Berechnung der Emissionsstärke eines Straßenabschnittes <math>i</math> wäre: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei bezeichnet * <math>N_{\mathrm{PKW},i}</math> die Anzahl der Personenwagen auf Straßenabschnitt <math>i</math>, * <math>N_{\mathrm{LKW},i}</math> die Anzahl der Lastkraftwagen, * <math>e_{\mathrm{PKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Personenwagens, * <math>e_{\mathrm{LKW}}</math> den Emissionsfaktor eines Lastkraftwagens. Die aktuelle Straßenklassengewichtung stellt somit eine erste Näherung dar, die später durch reale Verkehrsdaten ersetzt oder kalibriert werden kann. == Sechste Modellstufe: Diskretisierung der Straßenlinien == Die gewichteten Straßen liegen zunächst als Liniengeometrien vor. Die zuvor entwickelte windabhängige Ausbreitungsfunktion beschreibt jedoch den Beitrag einzelner Punktquellen. Damit dieselbe Ausbreitungsfunktion auch für Straßen verwendet werden kann, werden die Linienquellen durch eine große Anzahl kleiner Punktquellen angenähert. Dieses Vorgehen wird als Diskretisierung bezeichnet. === Mathematische Idee === Ein Straßenabschnitt <math>L_i</math> wird durch eine endliche Menge von Punkten angenähert: :<math> L_i \approx \left\{ Q_{i,1}, Q_{i,2}, \ldots, Q_{i,n_i} \right\}. </math> Dabei bezeichnet * <math>L_i</math> den <math>i</math>-ten Straßenabschnitt, * <math>Q_{i,j}</math> die <math>j</math>-te Punktquelle auf diesem Abschnitt, * <math>n_i</math> die Anzahl der erzeugten Punktquellen. Die Quellen werden ungefähr im Abstand von :<math> d=50\,\mathrm m </math> entlang der Straßen erzeugt. Eine kürzere Distanz würde die Linienquelle genauer annähern, aber gleichzeitig die Anzahl der Berechnungen deutlich erhöhen. Eine größere Distanz würde die Rechenzeit reduzieren, die Straße jedoch gröber darstellen. Der Wert von <math>50\,\mathrm m</math> stellt daher einen Kompromiss zwischen räumlicher Genauigkeit und Rechenaufwand dar. === Stärke einer einzelnen Straßenquelle === Jede erzeugte Punktquelle übernimmt die relative Gewichtung der Straße, auf der sie liegt. Die Stärke einer Punktquelle wird im Programm durch :<math> S_{i,j} = c\cdot w_i </math> festgelegt. Dabei bezeichnet * <math>w_i</math> die Linienquellenstärke des Straßenabschnittes, * <math>c</math> einen Skalierungsfaktor, * <math>S_{i,j}</math> die Stärke der einzelnen Punktquelle. Im Modell wird :<math> c=0{,}25 </math> verwendet. Damit ergibt sich beispielsweise für eine B10-Quelle: :<math> S_{\mathrm{B10}} = 0{,}25\cdot12 = 3. </math> Für eine Wohnstraße mit <math>w=1{,}5</math> ergibt sich dagegen: :<math> S_{\mathrm{Wohnstrasse}} = 0{,}25\cdot1{,}5 = 0{,}375. </math> Die B10 erzeugt somit an jedem Stützpunkt einen deutlich höheren Beitrag als eine Wohnstraße. === Umsetzung im R-Code === Zunächst wird der Abstand zwischen benachbarten Straßenquellen festgelegt: <syntaxhighlight lang="r"> quellenabstand_strasse <- 50 </syntaxhighlight> Für jeden Straßenabschnitt wird anschließend dessen Länge bestimmt und die erforderliche Anzahl an Punktquellen berechnet: <syntaxhighlight lang="r"> linienlaenge <- as.numeric( st_length( strassen_relevant[i, ] ) ) anzahl_quellen <- max( 1, ceiling( linienlaenge / quellenabstand_strasse ) ) </syntaxhighlight> Die Punkte werden regelmäßig auf der Linie verteilt: <syntaxhighlight lang="r"> punkte_i <- st_line_sample( st_geometry( strassen_relevant[i, ] ), n = anzahl_quellen, type = "regular" ) punkte_i <- suppressWarnings( st_cast( punkte_i, "POINT" ) ) </syntaxhighlight> Anschließend wird jeder Punktquelle die Gewichtung ihrer Straße zugeordnet: <syntaxhighlight lang="r"> skalierungsfaktor_strassenquelle <- 0.25 strassenquellen$quellenstaerke <- strassenquellen$linienstaerke * skalierungsfaktor_strassenquelle </syntaxhighlight> Durch dieses Verfahren wird jede Straße als Folge vieler kleiner Punktquellen angenähert. == Siebte Modellstufe: Windabhängige Belastung durch das Straßennetz == Nach der Diskretisierung kann für jede erzeugte Straßenquelle dieselbe windabhängige Ausbreitungsfunktion verwendet werden, die zuvor an den künstlichen Testquellen entwickelt wurde. === Beitrag einer einzelnen Straßenquelle === Für eine Straßenquelle <math>Q_k</math> mit der Stärke <math>S_k</math> wird der Beitrag an einem Rasterpunkt <math>(x,y)</math> durch :<math> Q_k(x,y) = S_k \cdot R(s_k) \cdot \exp\left( -\frac{|s_k|}{\lambda} \right) \cdot \exp\left( -\frac{q_k^2}{2\sigma_{\perp,k}^2} \right) </math> berechnet. Dabei werden weiterhin berücksichtigt: * die Lage der Quelle, * die Entfernung zum Rasterpunkt, * die Richtung parallel zum Wind, * die Entfernung quer zum Wind, * die Windstärke, * die relative Emissionsstärke der Straße. === Überlagerung aller Straßenquellen === Die Belastung einer Rasterzelle entsteht durch Addition sämtlicher Straßenquellen: :<math> B_{\mathrm{Strasse}}(x,y) = \sum_{k=1}^{N} Q_k(x,y). </math> Dabei bezeichnet <math>N</math> die Gesamtzahl der erzeugten Straßenquellen. Die Berechnung folgt erneut dem Superpositionsprinzip. Der Beitrag jeder Quelle wird unabhängig bestimmt und anschließend addiert. Im R-Code wird zunächst für alle Rasterzellen der Wert null gesetzt: <syntaxhighlight lang="r"> raster$strassenbelastung <- 0 </syntaxhighlight> Danach werden die Beiträge aller Straßenquellen überlagert: <syntaxhighlight lang="r"> for (i in seq_len(nrow(strassenquellen))) { beitrag_i <- windabhaengiger_beitrag( raster_x = raster$x, raster_y = raster$y, quelle_x = strassenquellen$x[i], quelle_y = strassenquellen$y[i], staerke = strassenquellen$quellenstaerke[i], windstaerke = windstaerke, ausbreitungsrichtung_rad = ausbreitungsrichtung_rad ) raster$strassenbelastung <- raster$strassenbelastung + beitrag_i } </syntaxhighlight> Da für jede Straßenquelle ein Beitrag an allen 16800 Rasterzellen berechnet wird, ist dieser Schritt deutlich rechenintensiver als die vorherigen Modellstufen. === Darstellung der berechneten Straßenbelastung === Jede Rasterzelle erhält nach der Berechnung einen Wert :<math> B_{\mathrm{Strasse},ij}. </math> Diese Werte werden einer Farbskala zugeordnet: * Weiß und sehr helle Farben kennzeichnen eine geringe Belastung. * Gelbe und orange Farben kennzeichnen eine mittlere Belastung. * Rote und dunkelrote Farben kennzeichnen eine hohe Belastung. Die Darstellung zeigt, dass die höchsten Werte vor allem entlang stark gewichteter Straßen auftreten. Durch die Windkomponente entstehen keine vollkommen symmetrischen Belastungsfelder. Die Belastung wird vielmehr in der festgelegten Ausbreitungsrichtung weitertransportiert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Windabhängige Belastung durch das reale Straßennetz </div> [[Datei:07 Windabhaengige Strassenbelastung.png|700px|zentriert|Modellierte windabhängige Belastung durch die gewichteten Straßenquellen.]] === Interpretation === In der Abbildung sind insbesondere die stark gewichteten Straßenabschnitte erkennbar. Die B10 erzeugt aufgrund ihrer höheren Linienquellenstärke einen größeren Belastungsbeitrag als kleinere Neben- und Wohnstraßen. An Kreuzungen und in Bereichen, in denen mehrere Straßen nahe beieinanderliegen, können sich die Beiträge verschiedener Quellen überlagern. Dadurch entstehen lokal erhöhte Belastungswerte. Die dargestellten Werte bleiben relative Modellwerte. Ein hoher Wert bedeutet daher lediglich eine im Modell höhere Belastung und noch keine konkrete PM₂,₅-Konzentration. == Achte Modellstufe: Hintergrundbelastung und Gesamtbelastung == Neben den lokalen Straßenemissionen existiert in der Realität eine allgemeine Schadstoffbelastung, die beispielsweise durch großräumigen Transport, Haushalte, Gewerbe und weiter entfernte Verkehrsquellen entstehen kann. Im Modell wird deshalb eine konstante Hintergrundbelastung ergänzt. === Mathematische Definition === Die Gesamtbelastung wird definiert durch :<math> B_{\mathrm{gesamt}}(x,y) = B_0 + B_{\mathrm{Strasse}}(x,y). </math> Dabei bezeichnet * <math>B_0</math> die räumlich konstante Hintergrundbelastung, * <math>B_{\mathrm{Strasse}}(x,y)</math> den berechneten Beitrag des Straßennetzes. Im Modell wird beispielhaft :<math> B_0=9 </math> verwendet. Im R-Code ergibt sich: <syntaxhighlight lang="r"> hintergrundbelastung <- 9 raster$gesamtbelastung <- hintergrundbelastung + raster$strassenbelastung </syntaxhighlight> Der Wert 9 ist ebenfalls ein relativer Modellwert. Er wurde gewählt, damit unbelastete Bereiche nicht bei null beginnen und die Gesamtkarte ähnlich wie eine reale Belastungskarte aufgebaut werden kann. Er darf nicht unmittelbar als gemessene Konzentration von <math>9\,\mu\mathrm g/\mathrm m^3</math> interpretiert werden. == Neunte Modellstufe: Interaktive Belastungskarte == Die berechneten Rasterwerte werden abschließend auf einer interaktiven Landkarte dargestellt. Hierfür wird das R-Paket <code>leaflet</code> verwendet. === Transformation in geografische Koordinaten === Die Berechnungen wurden im metrischen Koordinatensystem EPSG:25832 durchgeführt. OpenStreetMap und Leaflet verwenden dagegen geografische Koordinaten im System WGS84 beziehungsweise EPSG:4326. Deshalb werden Raster, Straßen und Untersuchungsgebiet für die Darstellung erneut transformiert: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84 <- st_transform( raster, crs = 4326 ) strassen_wgs84 <- st_transform( strassen_relevant, crs = 4326 ) gebiet_wgs84 <- st_transform( gebiet, crs = 4326 ) </syntaxhighlight> Diese Transformation verändert nicht die zuvor berechneten Belastungswerte. Sie dient ausschließlich der korrekten Positionierung auf der Hintergrundkarte. === Farbige Darstellung des Belastungsrasters === Für die Darstellung wird eine Farbskala von hellen Gelbtönen bis zu dunklen Rottönen verwendet. <syntaxhighlight lang="r"> farben <- colorNumeric( palette = "YlOrRd", domain = c( farbuntergrenze, farbobergrenze ), na.color = "transparent" ) </syntaxhighlight> Jede Rasterzelle wird entsprechend ihrem Wert <code>gesamtbelastung</code> eingefärbt. Die Flächen werden halbtransparent dargestellt, damit die darunterliegende OpenStreetMap-Karte weiterhin sichtbar bleibt. <syntaxhighlight lang="r"> addPolygons( data = raster_wgs84, fillColor = ~farben( gesamtbelastung ), fillOpacity = 0.58, color = NA, weight = 0, popup = ~popup_text ) </syntaxhighlight> === Darstellung des Straßennetzes === Das reale Straßennetz wird über das Belastungsraster gelegt: <syntaxhighlight lang="r"> addPolylines( data = strassen_wgs84, color = "grey25", weight = ~( 0.5 + 0.10 * linienstaerke ), opacity = 0.75 ) </syntaxhighlight> Stärker gewichtete Straßen werden dabei mit einer größeren Linienbreite dargestellt. === Abruf der Rasterwerte === Jede Rasterzelle erhält einen Popup-Text. Durch Anklicken der Zelle können unter anderem folgende Informationen angezeigt werden: * Nummer der Rasterzelle, * Gesamtbelastungsindex, * Anteil der modellierten Straßenbelastung. Der Text wird im Programm folgendermaßen erzeugt: <syntaxhighlight lang="r"> raster_wgs84$popup_text <- paste0( "<b>Rasterzelle:</b> ", raster_wgs84$id, "<br>", "<b>Belastungsindex:</b> ", round( raster_wgs84$gesamtbelastung, 2 ), "<br>", "<b>Straßenanteil:</b> ", round( raster_wgs84$strassenbelastung, 2 ) ) </syntaxhighlight> === Ergebnis der interaktiven Darstellung === Die fertige Karte verbindet * die reale OpenStreetMap-Hintergrundkarte, * das 50-m-Berechnungsraster, * die windabhängigen Belastungswerte, * die Gewichtung der Straßenarten, * das reale Straßennetz, * eine Farblegende, * anklickbare Rasterzellen. Dadurch kann die modellierte räumliche Belastungsverteilung unmittelbar untersucht werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interaktive Karte der modellierten Gesamtbelastung </div> [[Datei:08 Interaktive Belastungskarte.png|700px|zentriert|Interaktive Belastungskarte mit OpenStreetMap-Hintergrund.]] Die interaktive Karte wird zusätzlich als HTML-Datei gespeichert: <syntaxhighlight lang="r"> saveWidget( widget = karte, file = "08_Interaktive_Belastungskarte.html", selfcontained = TRUE ) </syntaxhighlight> Die vollständig interaktive Karte kann über den folgenden Link geöffnet werden: :[https://DEINE-ADRESSE.de/08_Interaktive_Belastungskarte.html Interaktive Karte der modellierten Feinstaubbelastung] == Zusammenfassung des Modellierungsprozesses == Das Modell wurde schrittweise von einem einfachen räumlichen Raster zu einer interaktiven Belastungskarte erweitert. Die Entwicklung erfolgte in folgenden Schritten: # Festlegung eines rechteckigen Untersuchungsgebietes. # Transformation in ein metrisches Koordinatensystem. # Zerlegung des Gebietes in 16800 Rasterzellen. # Einführung künstlicher Test- und Kontrollquellen. # Modellierung einer kreisförmigen gaußförmigen Ausbreitung. # Erweiterung um eine windabhängige Ausbreitungsrichtung. # Import des realen Straßennetzes aus OpenStreetMap. # Relative Gewichtung der Straßen nach ihrer verkehrlichen Bedeutung. # Diskretisierung der Straßenlinien in einzelne Punktquellen. # Überlagerung der Beiträge sämtlicher Straßenquellen. # Ergänzung einer konstanten Hintergrundbelastung. # Darstellung der Ergebnisse auf einer interaktiven Landkarte. Das Endergebnis ist eine diskrete räumliche Belastungsfunktion :<math> B_{ij} = B_0 + \sum_{k=1}^{N} Q_k(x_i,y_j). </math> Jeder Wert <math>B_{ij}</math> gehört zu genau einer Rasterzelle und kann auf der Karte farbig dargestellt und abgefragt werden. == Modellkritik und Grenzen == Das entwickelte Modell bildet den vollständigen physikalischen Transport von Feinstaub nicht ab. Es handelt sich um ein bewusst vereinfachtes mathematisches Modell. Die Ergebnisse müssen deshalb als relative Belastungsindizes und nicht als reale Messwerte interpretiert werden. === Modellhafte Emissionsstärken === Die Gewichtungen der Straßen beruhen auf ihrer OSM-Straßenklasse und auf plausiblen Annahmen über das Verkehrsaufkommen. Es wurden bislang keine vollständigen Verkehrszählungen für jeden Straßenabschnitt verwendet. Insbesondere die Gewichtung der B10 berücksichtigt zwar ihre besondere verkehrliche Bedeutung, basiert aber noch nicht auf konkreten stündlichen Fahrzeugzahlen. === Vereinfachte Windverhältnisse === Im gesamten Untersuchungsgebiet wird eine konstante Windstärke und eine konstante Ausbreitungsrichtung angenommen. In der Realität ändern sich Windgeschwindigkeit und Windrichtung zeitlich und räumlich. Außerdem wird die Strömung durch Berge, Täler und Bebauung beeinflusst. === Fehlende Topographie === Die Höhenlage des Geländes ist im aktuellen Berechnungsmodell noch nicht als eigener Faktor enthalten. Die Hintergrundkarte zeigt zwar Berge und Höhenangaben, diese beeinflussen jedoch nicht die berechneten Belastungswerte. Gerade in der Umgebung von Annweiler wäre die Topographie besonders relevant, da das Gelände durch Täler und umliegende Erhebungen geprägt ist. === Fehlende Gebäude und Straßenschluchten === Gebäude können den Luftaustausch behindern und lokal zu erhöhten Schadstoffkonzentrationen führen. Dieser Effekt wird im aktuellen Modell nicht berücksichtigt. === Tunnelabschnitte === Tunnel werden noch nicht gesondert behandelt. Im derzeitigen Modell wirken auch Straßenabschnitte innerhalb eines Tunnels wie gewöhnliche oberirdische Linienquellen. Eine realistischere Modellierung müsste die Emissionen innerhalb des Tunnels entfernen und stattdessen verstärkte Punktquellen an den Tunnelportalen ansetzen. === Hintergrundbelastung === Die Hintergrundbelastung <math>B_0=9</math> ist eine Modellannahme. Sie wurde nicht aus einer konkreten Messreihe für Annweiler bestimmt und darf daher nicht als reale Konzentration interpretiert werden. === Keine direkte Validierung === Eine Validierung mit tatsächlichen Feinstaubmessungen wurde bislang nicht durchgeführt. Ohne Vergleichsdaten kann nicht beurteilt werden, wie gut die räumliche Verteilung des Modells mit der Realität übereinstimmt. == Mögliche Erweiterungen == Das Modell kann in weiteren Arbeitsschritten erweitert und verbessert werden. === Reale Verkehrsdaten === Die relativen Linienquellenstärken könnten durch reale Verkehrszählungen ersetzt werden. Für einen Straßenabschnitt <math>i</math> könnte beispielsweise gelten: :<math> E_i = N_{\mathrm{PKW},i}\,e_{\mathrm{PKW}} + N_{\mathrm{LKW},i}\,e_{\mathrm{LKW}}. </math> Dabei würden Personenwagen und Lastkraftwagen aufgrund ihrer unterschiedlichen Emissionen getrennt berücksichtigt. === Zeitabhängiges Modell === Die Belastung könnte zusätzlich von der Zeit abhängen: :<math> B=B(x,y,t). </math> Dadurch könnten unter anderem * morgendlicher Berufsverkehr, * abendlicher Berufsverkehr, * nächtliche Verkehrsabnahme, * wechselnde Windrichtungen abgebildet werden. === Topographischer Faktor === Ein digitales Höhenmodell könnte verwendet werden, um jeder Rasterzelle eine Höhe :<math> H(x,y) </math> zuzuordnen. Darauf aufbauend könnten Hangneigung, Talrichtung und Höhenunterschiede zwischen Quelle und Rasterpunkt berücksichtigt werden. === Tunnelportale === Tunnelabschnitte könnten aus der normalen Linienquellenberechnung entfernt werden. An den Ein- und Ausfahrten könnten stattdessen zusätzliche Punktquellen erzeugt werden, deren Stärke von Tunnellänge und Verkehrsaufkommen abhängt. === Messdaten und Kalibrierung === Mobile oder stationäre Messungen könnten verwendet werden, um die Modellparameter anzupassen. Dazu könnten die Abweichungen zwischen Messwerten <math>M_i</math> und Modellwerten <math>B_i</math> beispielsweise durch eine Fehlerfunktion beschrieben werden: :<math> F = \sum_{i=1}^{n} \left( M_i-B_i \right)^2. </math> Die Modellparameter könnten anschließend so gewählt werden, dass diese Fehlerfunktion möglichst klein wird. == Fazit == Das Projekt zeigt, wie eine reale Fragestellung schrittweise in ein mathematisches Modell überführt werden kann. Ausgehend von einem rechteckigen Untersuchungsgebiet wurde zunächst ein diskretes Berechnungsraster erzeugt. An künstlichen Testquellen wurden anschließend eine gaußförmige und eine windabhängige Ausbreitungsfunktion entwickelt. Danach wurde das reale Straßennetz von Annweiler in das Modell aufgenommen. Die Straßen wurden nach ihrer verkehrlichen Bedeutung gewichtet, in kleine Punktquellen zerlegt und mit der zuvor entwickelten Ausbreitungsfunktion verknüpft. Das Ergebnis ist eine räumliche Belastungsfunktion, deren Werte auf einer interaktiven Landkarte dargestellt und für einzelne Rasterzellen abgefragt werden können. Das Modell liefert noch keine realen PM₂,₅-Konzentrationen. Es bildet jedoch einen nachvollziehbaren mathematischen Rahmen, der durch Verkehrsdaten, Messwerte, Topographie und eine gesonderte Tunnelmodellierung weiterentwickelt werden kann. 6rg78ivmdj1w921unkzf40qs3e0uagg 106 170536 1108838 1080151 2026-07-24T05:44:00Z Bocardodarapti 2041 1108838 wikitext text/x-wiki {{Aktuellbox|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Aktuelles}} {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Navigation}} {{ inputbild |ZahlenAspekte|png|700px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocadodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Information/Inhalt}} [[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]] [[Kategorie:Kurs an einer Universität]] nz9ar4jhn3c0x018cq588eqshn65sus 106 170547 1108839 1080163 2026-07-24T05:45:08Z Bocardodarapti 2041 1108839 wikitext text/x-wiki Typische Fragen sind: {{ Aufzählung8 |Warum ist das schriftliche Addieren {{ Zusatz/Klammer |text=Multiplizieren, Subtrahieren, Dividieren| |ISZ=|ESZ= }} korrekt? Was ist die Definition der Addition? |Warum darf man nicht durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen? |Welche Bedeutungen hat das Minuszeichen? |Warum ist das Produkt zweier negativer Zahlen positiv? |Ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|4|6}} || {{op:Bruch|6|9}} || || || |SZ=? }} Warum? |Wann darf man bei der schriftlichen Division aufhören? |Ist {{ Relationskette/display | 0{,} \overline{9} || 1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der Strich bezeichnet Periode, also unendlich viele Neuner| |ISZ=|ESZ=. }} Ist {{mathl|term= 0{,} \overline{9} |SZ=}} überhaupt eine korrekte Darstellung für eine Zahl? |Ist {{math|term=\infty|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=unendlich| |ISZ=|ESZ= }} eine Zahl? 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{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Mathematik/Logik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implikation/Ähnliche Voraussetzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implikationen/Indirekte Beispiele/Wenn dann Aussagen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implikationen/Indirekte Beispiele/Wenn dann Aussagen/Kontraposition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implikation/Negation/Konjunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Implikationen/Regenwürmer und Kinder/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |MustafaMueller3|png|200px {{!}} right {{!}} |Text=Mustafa Müller |Autor=Bocardodarapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Implikationen/Schneit/Mustafa Müller/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Snooker/Verlieren und gewinnen/Logik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pokal/Wildberg/Bayern 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|Kinder/Schulpause/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputbild |LucySonnenschein2|png|200px {{!}} right {{!}} | |Text=Lucy Sonnenschein |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Lucy Sonnenschein/Hochzeiten/Negation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vorlesung/Sau/Negation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quantorenlogik/Verschiedene literarische Zitate/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quantorenlogik/Einige arithmetische Prädikate/Formuliere/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Venn diagram coloured|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Venn_diagram_coloured| |Text=Ein abstraktes und |Autor= |Benutzer=Ring0 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Alphabete/Verschiedene Mengen/Aufgabe||zusatz1=ein konkretes Mengendiagramm. |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pause/Essen/Mengen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Mengen/Explizit/Beziehungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengendiagramm/Schule/Aspekte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/4 Mengen/Skizziere vollständiges Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Mengendiagramm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Einfaches Mengengesetz/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Einfache Mengengesetze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Teilmengen von N/Gerade, ungerade, Quadratzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Charakterisierung der Inklusion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Disjunkte Mengen/Umlegung/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Aussagenlogik und Mengen/Parallelen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Igel/Stachel/Allaussage/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quantorenlogik/Einige arithmetische Prädikate/Formuliere/4/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierecke/Mengenlehre/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mengentheorie/Aristotelische Schlüsse/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} ajv4qxwjpssn1db03cacd09ucrtbjhj 106 170608 1108821 1108568 2026-07-23T16:25:22Z Bocardodarapti 2041 1108821 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Produktmenge/NxN/Reell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Lehrpersonen/Titel/Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Black cat sitting on a round straw bale|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Black_cat_sitting_on_a_round_straw_bale |Text=Wie kann man den runden Strohballen (ohne die Katze) als eine Produktmenge beschreiben? |Autor= |Benutzer=Flickr upload bot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Geometrische Beispiele/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen. {{ inputaufgabe |Produktmenge/Distributivgesetz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Durchschnitt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Binomische Formel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktmenge/Reihenfolge/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Personen/Vornamen und Nachnamen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Nachfolgernehmen/Wertetabelle/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Schule/Beispiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Polynomgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Non-injective function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Non-injective_function| |Text= |Autor= |Benutzer=Fulvio314 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 1.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Graph (Abbildung)/R nach R/Injektiv und surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Neutrales Element/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Farbenmischen/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Namensverbindung/Assoziativ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Doppelnamen/Endseitige Namensverbindung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/4 Faktoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Einsundeins/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Strichsystem/Addition/Reihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Heute_und_Morgen/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Zahlsysteme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/Feste Addition/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kleine Einsundeins/Anzahl der Additionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Addition/Strichsystem/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahl/5/Summendarstellung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Additionstabelle/N/Volle Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/Multiplikation/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Addition/N/Nicht tragfähig für Q/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kapitän/Alter/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Verschiedene Teilmengen im R^2/Skizziere/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verknüpfung/Assoziativ/5 Faktoren/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Intervalle/Addition/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= Anleitung: Führe{{n Sie}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Natürliche Zahlen/Intervalle/Nachfolgerintervall/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Formel für Durchschnitt und Vereinigung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vereinigung/Abziehregel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} bmw8cj2jq2x20fmqvz82lu3vxb93mbv 106 170610 1108828 1108576 2026-07-23T17:07:16Z Bocardodarapti 2041 1108828 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|11| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Um 1000/Größenverhältnisse/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Kleine Eins größergleich eine/Erstelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ordnung/Größergleich/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ordnung/Größergleich/Intervall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ordnung/Bezug auf Anfangssegment/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/a geq b/Alternative/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ordnung/Größergleich und echt größer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/3^n größer gleich n^3/Ab 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzzahl/Um 1000000/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Über Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Über Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/Lexikographisch/Definiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Personen/Größenvergleich/Modellierung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilmengen/Endlich gdw Maximum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Teilmenge hat maximal die Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Ordnung/Diagnose/Hintergrund/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahlvergleich/Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Winnetou und Old Shatterhand/Sternschnuppen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Professor/Socken und Schuhe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Differenz/Vorgängernehmen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Differenz/Nachfolger/Minus 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Differenz/Nachfolger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Schriftliches_Subtrahieren/Einersystem/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ordnung/Differenz/Verschiebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Ordnung/Differenz/Umkehrung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche_Zahlen/Ordnung/Differenz/Zweifache_Subtraktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche_Zahlen/Ordnung/Differenz/Zweifache_Subtraktion/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenz/Doppelsumme/Größenverhältnis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Differenz/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Operationen/Mengeninterpretation/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zählen/Heute und Morgen/Nichtnegative Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Absteigende Induktion/Klausurberechtigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Antimonoton/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ordnung/N/a geq b/2ab/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zeitumstellung/Deutschland und Paraguay/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Differenz/Inhaltliche Interpretation/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Natürliche Zahlen/Differenzbetrag/Definition|}} {{ inputaufgabe |Vierertupel/Differenzbetrag/Einführung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Vierzahlenabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierertupel/Differenzbetrag/Abbildungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierertupel/Differenzbetrag/Abstieg/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierertupel/Differenzbetrag/25/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Gabi Hochster/Größergleich als Verknüpfung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Menge/Surjektives Bild/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aussage verwendet, dass sich jede natürliche Zahl {{ Relationskette | n |\geq| 1 || || || |SZ= }} eindeutig als Produkt {{ Relationskette | n || 2^k u || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k |\in| \N || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | u | \in | \N || || || |SZ= }} ungerade schreiben lässt. {{ inputaufgabe |Ordnung/Auf N/Zweierpotenzen rausziehen/Totale Ordnung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Kasperletheater|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Bei dieser Szene ruft Mustafa: {{Anführung|Nicht die Oma schlagen!|}} |Autor= |Benutzer=AndreasPraefcke |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Theater/Sitzreihen/Herausnahme/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/ab 5/2^n größer n^2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} ltd2eszfkuqrxd8nu8amc1l0rh0b9mn 106 170612 1108832 1108581 2026-07-23T17:50:13Z Bocardodarapti 2041 1108832 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Teileranzahl/Bis 20/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit (N)/Begriffe/Sortieren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N^2-1/Parität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N^2-N/Parität/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilerdiagramm/25,30,36/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Aufteilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Menge/Teiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Menge/Teiler/Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/N/Kürzungsregel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilerbeziehung/Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilerauflistung/Quadratwurzelschranke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vielfache/a und b/Bijektion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweierpotenzen/Teilbarkeit und natürliche Ordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilen/0/Paradoxe Formulierung/Tipp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Größergleichordnung/Analogien/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe beschreibt, wie sich in {{ Faktlink |Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} unter den gegebenen Teilbarkeitsvoraussetzungen die Brüche {{ Zusatz/Klammer |text=wir haben also nach wie vor keine rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} verhalten. {{ inputaufgabe |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Bruchversion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe sollte man in Analogie zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Differenz/Rechengesetze/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen. {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Brüche/Rechengesetze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äpfel und Schokoriegel/Verteilen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/ggT und kgV/105 und 150/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teiler/GgT und kgV/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Größter gemeinsamer Teiler/3 Zahlen/Sukzessive/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahlen/Adventskalender/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahlen/n^2+n+41/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Goldbach/Ab 12/Summe von zusammengesetzen Zahlen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primfaktorzerlegung/1728/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primfaktorzerlegung/1025/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N^2-1/Wann prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primfaktorzerlegung (Z)/Finde Teiler/2^(25)-1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primzahl/Kleinstes Produkt +1 nicht prim/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primfaktorzerlegung/Finde Teiler/2^(25)+1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primfaktorzerlegung (Z)/2^33-1 und 2^91-1 und 2^13+1/Finde Teiler/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primfaktorzerlegung (Z)/Primteiler von 2^(35)-1/Finde zwei/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Addition von Brüchen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Addition/Primelement/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Teilbarkeitsbeziehung/Primelemente/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Halbring/Größergleichrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} 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Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] als [[Wegintegral]] :<math> </math> :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bjr5adohftqd68b43qxldg7m4pcu6o9 1108842 1108841 2026-07-24T06:52:13Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1: Trigonometrisches Integral */ 1108842 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s8azry36h1whyyjlpqhc2j87tl90ko7 1108843 1108842 2026-07-24T06:53:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1: Trigonometrisches Integral */ 1108843 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0eng1e62r3mhjnvrptlmngvo814i0bo 1108844 1108843 2026-07-24T07:06:00Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition */ 1108844 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l532yrdwazoaofp5sth2gcbc18xoqoy 1108845 1108844 2026-07-24T07:07:24Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus */ 1108845 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil <math>\mathfrak{Re}(z)</math> einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über eine Summe von <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] miskeh1cmikhooom57a4i2vysgxmib8 1108857 1108845 2026-07-24T07:42:30Z Bert Niehaus 20843 /* 1.5 - Residuen berechnen */ 1108857 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> \mathrm{Res}(f,+i)</math> erfolgt über: :<math> \mathrm{Res}(f,+i) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> \mathrm{Res}(f,-i) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil <math>\mathfrak{Re}(z)</math> einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über eine Summe von <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dnqctwcvqr77myi67z4nunvrg5esdpg 1108858 1108857 2026-07-24T07:42:59Z Bert Niehaus 20843 /* 1.6 - Residuensatz anwenden */ 1108858 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> \mathrm{Res}(f,+i)</math> erfolgt über: :<math> \mathrm{Res}(f,+i) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> \mathrm{Res}(f,-i) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}(f,+i) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil <math>\mathfrak{Re}(z)</math> einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über eine Summe von <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jcftywsivwczdsott5e77g9i1jwbd09 1108859 1108858 2026-07-24T07:43:50Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden */ 1108859 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> \mathrm{Res}(f,+i)</math> erfolgt über: :<math> \mathrm{Res}(f,+i) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> \mathrm{Res}(f,-i) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}(f,+i) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil <math>\mathfrak{Re}(z)</math> einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über eine Summe von <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(f, -\tfrac{1}{2}\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b5wxw07iutefbmopzp0wrm1c6kozufd 1108860 1108859 2026-07-24T07:44:17Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 2.6 - Residuen berechnen */ 1108860 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> \mathrm{Res}(f,+i)</math> erfolgt über: :<math> \mathrm{Res}(f,+i) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> \mathrm{Res}(f,-i) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}(f,+i) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil <math>\mathfrak{Re}(z)</math> einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über eine Summe von <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(f, -\tfrac{1}{2}\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}(f,i) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}(f,2i) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 942hgqu5wwal9hn9toinmtp1y5kz3io 1108861 1108860 2026-07-24T07:45:13Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3.5 - Residuen berechnen */ 1108861 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> \mathrm{Res}(f,+i)</math> erfolgt über: :<math> \mathrm{Res}(f,+i) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> \mathrm{Res}(f,-i) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}(f,+i) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil <math>\mathfrak{Re}(z)</math> einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über eine Summe von <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(f, -\tfrac{1}{2}\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}(f,i) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}(f,2i) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}(f,+ai) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}(f,-ai) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k9wfeuixiy4rzqaaofue2lm04la7dfl 1108864 1108861 2026-07-24T07:51:43Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1108864 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> \mathrm{Res}(f,+i)</math> erfolgt über: :<math> \mathrm{Res}(f,+i) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> \mathrm{Res}(f,-i) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \mathrm{Res}(f,+i) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Mit der folgenden [[Konvexkombination]] zwischen <math>0\in \mathbb{C}</math> und <math>2\pi\in \mathbb{C}</math> als [[Integrationsweg]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = (1-t)\cdot 0 + t\cdot 2\pi = 2\pi t \end{array} </math> wird nun das folgende [[Wegintegral]] berechnet: :<math> \int_{\gamma} \frac{1}{5 + 4\cos(z)} \, dz </math> ==== Schritt 1.1 - Interpretation als reelles Integral ==== Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.2 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil <math>\mathfrak{Re}(z)</math> einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über eine Summe von <math>z</math> und <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.3 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.4 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.5 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird im Integrand der Faktor 1 ergänzt und mit <math>i\cdot e^{ix}</math> erweitert, um im Zähler die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> für die Definition des Wegintegrals zu erhalten. ==== Schritt 1.6 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Bemerkung 1.7 ==== Von Schritt 1.5 zu Schritt 1.6 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.8 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.9 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.10 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.11 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.12 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(f, -\tfrac{1}{2}\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}(f,i) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}(f,2i) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}(f,+ai) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}(f,-ai) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe 1 für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> === Aufgabe 2 für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = i + R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und die Darstellung der Funktion in der [[Laurent-Reihe]] in der [[w:de:wesentliche Singularität|wesentlichen Singularität]] <math>z_0=i</math>: :<math> \int_{\gamma_R} \exp\left(\frac{2+3i}{z-i}\right) \, dz </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8s9w9e9x4c58jkihva1kvn2dl8zxpny 0 171317 1108767 1092802 2026-07-23T12:32:24Z Bocardodarapti 2041 1108767 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Geraden. Bei {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }} gibt es nur eine Gerade und damit zwei Hälften, denen wir unterschiedliche Farben geben. Zum Induktionsschluss setzen wir voraus, dass es zu je {{math|term= n |SZ=}} Geraden eine erlaubte Färbung der Gebiete gibt. Es seien {{math|term= n+1 |SZ=}} Geraden {{mathl|term= G_1 {{kommadots|}} G_n, G_{n+1} |SZ=}} gegeben. Es sei eine erlaubte Färbung der Gebiete gegeben, die durch die Geraden {{mathl|term= G_1 {{kommadots|}} G_n |SZ=}} festgelegt werden {{ Zusatz/Klammer |text=alte Gebiete| |ISZ=|ESZ=, }} was es nach Induktionsvoraussetzung gibt. Die hinzukommende Gerade {{ Relationskette/display | H || G_{n+1} || || || |SZ= }} verändert natürlich einen Großteil der Gebiete, und zwar zerlegt sie diejenigen Gebiete, die durch {{math|term= H |SZ=}} echt zerschnitten werden, in zwei neue Gebiete. Ferner zerlegt {{math|term= H |SZ=}} die Gesamtebene in zwei Hälften, die wir {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nennen. Ein Gebiet zur größeren Geradenkonfiguration liegt somit ganz in {{math|term= A |SZ=}} oder in {{math|term= B |SZ=.}} Wir definieren eine neue Färbung der neuen Gebietsaufteilung durch folgende Vorschrift: Ein {{ Zusatz/Klammer |text=neues| |ISZ=|ESZ= }} Gebiet, das in {{math|term= A |SZ=}} liegt, behält seine Farbe, ein Gebiet, das in {{math|term= B |SZ=}} liegt, ändert seine Farbe. Wir behaupten, dass diese neue Färbung die Bedingung erfüllt. Es seien dazu {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} benachbarte Gebiete, es sei {{math|term= G |SZ=}} die Gerade, die eine Grenze zwischen {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} bildet. Bei {{ Relationskette | G | \neq | H || || || |SZ= }} liegen beide Gebiete in {{math|term= A |SZ=}} oder in {{math|term= B |SZ=}} und die beiden Gebiete waren in der alten Situation schon Teile von benachbarten Gebieten. Wenn beide in {{math|term= A |SZ=}} liegen, so hatten sie in der alten Färbung verschiedene Farben, und dies wurde übernommen. Wenn beide in {{math|term= B |SZ=}} liegen, so hatten sie in der alten Färbung verschiedene Farben, und diese wurden jeweils verändert, die Farben sind also auch in der neuen Färbung verschieden. Bei {{ Relationskette | G || H || || || |SZ= }} entstanden die Gebiete aus einem alten Gebiet durch die Trennung mit der neuen Geraden. In der alten Färbung hatten sie {{ Zusatz/Klammer |text=als Teil eines gemeinsamen Gebietes| |ISZ=|ESZ= }} die gleiche Farbe. Eines der Gebiete liegt in {{math|term= A |SZ=}} und eines in {{math|term= B |SZ=,}} d.h., eines behält seine Farbe und eines wird umgefärbt, die Farben in der neuen Färbung sind also verschieden. | }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} k69lqm4junzenaml88lezjx46xjs4xm 0 171425 1108770 1093453 2026-07-23T12:44:53Z Bocardodarapti 2041 1108770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|V|}} || n || || || |SZ=, }} wir betrachten die Gradabbildung {{ Abbildung/display |name= d | V | \{0,1 {{kommadots}} n-1 \} | v | d(v) |SZ=. }} Der Zielbereich ist dabei richtig gewählt, da ja jeder Punkt höchstens mit jedem anderen Punkt in Verbindung steht. Wir machen eine Fallunterscheidung. {{parskip}} Fall 1. Im Graphen gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath= |isolierten Punkt| |Kontext=Graph| |SZ=. }} Dann kommt der Wert {{mathl|term= n-1 |SZ=}} in der Gradabbildung nicht vor, jeder Punkt ist höchstens mit {{mathl|term= n-2 |SZ=}} Punkten verbunden. Dann kann man die Zielmenge durch {{mathl|term= \{ 0, 1 {{kommadots}} n-2 \} |SZ=}} ersetzen, die {{math|term= n-1 |SZ=}} Elemente besitzt, und die Aussage folgt aus {{ Faktlink |Präwort=dem|Schubfachprinzip|Faktseitenname= Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{parskip}} Fall 2. Im Graphen gibt es keinen isolierten Punkt. Dann kann man die Zielmenge durch {{mathl|term= \{ 1 {{kommadots}} n-1 \} |SZ=}} ersetzen, die wieder {{math|term= n-1 |SZ=}} Elemente besitzt, und die Aussage folgt aus dem Schubfachprinzip. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} by256v5e0qtj62xvfpr1z2lq1jrm84t 106 171532 1108776 1108438 2026-07-23T12:53:11Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108776 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. esut5l3hcaz4x4t5dvlfgxtmo9qf0af 1108777 1108776 2026-07-23T12:55:10Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108777 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 14hg4gecaiei7ch0m62jf5jf7okpiul 1108780 1108777 2026-07-23T12:57:00Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108780 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise *die Windstärke, *der Abstand zu Häusern, *die Naturverträglichkeit, *die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, *die Anzahl betroffener Menschen, *mögliche Vogelzuggebiete, *die landwirtschaftliche Nutzung und *die Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 9ehcy9idrtqmdtkmqvlbzw4xdj14e4d 1108781 1108780 2026-07-23T12:57:45Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108781 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise *die Windstärke, *der Abstand zu Häusern, *die Naturverträglichkeit, *die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, *die Anzahl betroffener Menschen, *mögliche Vogelzuggebiete, *die landwirtschaftliche Nutzung und *die Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von '''1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv)''' und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine '''Gesamtpunktzahl''' errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. eo4teno4k2v0uvt1fe8bcs63sqgmval 1108785 1108781 2026-07-23T13:01:34Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108785 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Arithmetik und Prozentrechnung:''' Berechnung von Gewichtungen und gewichteten Bewertungen. * '''Statistik und Datenanalyse:''' Strukturierung, Vergleich und Interpretation der Standortdaten mithilfe von LibreOffice. * '''Mittelwerte und Gewichtungen:''' Berechnung des gewichteten Mittelwerts zur Gesamtbewertung. * '''Funktionen und lineare Zusammenhänge:''' Anwendung linearer Funktionen bei der Interpolation zwischen Datenpunkten. * '''Vereinfachte numerische Approximation:''' Annäherung realer Daten durch vereinfachte mathematische Modelle. ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise *die Windstärke, *der Abstand zu Häusern, *die Naturverträglichkeit, *die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, *die Anzahl betroffener Menschen, *mögliche Vogelzuggebiete, *die landwirtschaftliche Nutzung und *die Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von '''1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv)''' und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine '''Gesamtpunktzahl''' errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 5e4lv316ahn6sxwildq7fu2sw7z5ezm 1108794 1108785 2026-07-23T13:17:37Z Björn Henrich 41518 /* Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus */ 1108794 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Arithmetik und Prozentrechnung:''' Berechnung von Gewichtungen und gewichteten Bewertungen. * '''Statistik und Datenanalyse:''' Strukturierung, Vergleich und Interpretation der Standortdaten mithilfe von LibreOffice. * '''Mittelwerte und Gewichtungen:''' Berechnung des gewichteten Mittelwerts zur Gesamtbewertung. * '''Funktionen und lineare Zusammenhänge:''' Anwendung linearer Funktionen bei der Interpolation zwischen Datenpunkten. * '''Vereinfachte numerische Approximation:''' Annäherung realer Daten durch vereinfachte mathematische Modelle. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von LibreOfficeCalc als Tabellenkalkulationsprogramm beim Modellierungszyklus. ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise *die Windstärke, *der Abstand zu Häusern, *die Naturverträglichkeit, *die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, *die Anzahl betroffener Menschen, *mögliche Vogelzuggebiete, *die landwirtschaftliche Nutzung und *die Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von '''1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv)''' und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine '''Gesamtpunktzahl''' errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 8jihg6mh7x6inp2hgtctkkkuwlhxjbf 1108795 1108794 2026-07-23T13:18:51Z Björn Henrich 41518 /* Umsetzung */ 1108795 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Arithmetik und Prozentrechnung:''' Berechnung von Gewichtungen und gewichteten Bewertungen. * '''Statistik und Datenanalyse:''' Strukturierung, Vergleich und Interpretation der Standortdaten mithilfe von LibreOffice. * '''Mittelwerte und Gewichtungen:''' Berechnung des gewichteten Mittelwerts zur Gesamtbewertung. * '''Funktionen und lineare Zusammenhänge:''' Anwendung linearer Funktionen bei der Interpolation zwischen Datenpunkten. * '''Vereinfachte numerische Approximation:''' Annäherung realer Daten durch vereinfachte mathematische Modelle. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von LibreOfficeCalc als Tabellenkalkulationsprogramm beim Modellierungszyklus. ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise *die Windstärke, *der Abstand zu Häusern, *die Naturverträglichkeit, *die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, *die Anzahl betroffener Menschen, *mögliche Vogelzuggebiete, *die landwirtschaftliche Nutzung und *die Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von '''1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv)''' und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine '''Gesamtpunktzahl''' errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. Ein Beispiel für mögliche Gewichtungen wäre: [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 1qmjies7kuplj6tgli0aja15qw1tcfa 1108796 1108795 2026-07-23T13:20:52Z Björn Henrich 41518 /* Umsetzung */ 1108796 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Arithmetik und Prozentrechnung:''' Berechnung von Gewichtungen und gewichteten Bewertungen. * '''Statistik und Datenanalyse:''' Strukturierung, Vergleich und Interpretation der Standortdaten mithilfe von LibreOffice. * '''Mittelwerte und Gewichtungen:''' Berechnung des gewichteten Mittelwerts zur Gesamtbewertung. * '''Funktionen und lineare Zusammenhänge:''' Anwendung linearer Funktionen bei der Interpolation zwischen Datenpunkten. * '''Vereinfachte numerische Approximation:''' Annäherung realer Daten durch vereinfachte mathematische Modelle. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von LibreOfficeCalc als Tabellenkalkulationsprogramm beim Modellierungszyklus. ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise *die Windstärke, *der Abstand zu Häusern, *die Naturverträglichkeit, *die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, *die Anzahl betroffener Menschen, *mögliche Vogelzuggebiete, *die landwirtschaftliche Nutzung und *die Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von '''1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv)''' und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine '''Gesamtpunktzahl''' errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. Ein Beispiel für mögliche Gewichtungen wäre: [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert 2 festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 5gmk9wxrqlds4o5gud3u9nfkyncngah 1108797 1108796 2026-07-23T13:32:28Z Björn Henrich 41518 /* Umsetzung */ 1108797 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Arithmetik und Prozentrechnung:''' Berechnung von Gewichtungen und gewichteten Bewertungen. * '''Statistik und Datenanalyse:''' Strukturierung, Vergleich und Interpretation der Standortdaten mithilfe von LibreOffice. * '''Mittelwerte und Gewichtungen:''' Berechnung des gewichteten Mittelwerts zur Gesamtbewertung. * '''Funktionen und lineare Zusammenhänge:''' Anwendung linearer Funktionen bei der Interpolation zwischen Datenpunkten. * '''Vereinfachte numerische Approximation:''' Annäherung realer Daten durch vereinfachte mathematische Modelle. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von LibreOfficeCalc als Tabellenkalkulationsprogramm beim Modellierungszyklus. ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 bietet sich die mathematische Umsetzung einer aus der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode an. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt (siehe auch Literatur- und Quellennachweise). Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise *die Windstärke, *der Abstand zu Häusern, *die Naturverträglichkeit, *die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, *die Anzahl betroffener Menschen, *mögliche Vogelzuggebiete, *die landwirtschaftliche Nutzung und *die Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von '''1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv)''' und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine '''Gesamtpunktzahl''' errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und reflektiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Diese Formel berechnet den gewichteten Mittelwert. Dabei werden die einzelnen Bewertungen zunächst mit ihrer jeweiligen Gewichtung multipliziert und anschließend addiert. Durch die Division durch die Summe aller Gewichtungen erhält man eine Gesamtbewertung, bei der wichtigere Kriterien stärker berücksichtigt werden. Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten also für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Diese Formel bestimmt den prozentualen Anteil einer Gewichtung an der Summe aller Gewichtungen. Dadurch lässt sich die Bedeutung jedes einzelnen Kriteriums als Prozentwert darstellen. Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert (G), also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Mit dieser Formel wird berechnet, wie viele Punkte ein Kriterium entsprechend seiner prozentualen Gewichtung zur Gesamtbewertung beiträgt. Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: <math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Die gewichteten Punktwerte aller Kriterien werden addiert. Das Ergebnis entspricht der Gesamtbewertung des jeweiligen Standortes und ist identisch zum gewichteten Mittelwert. Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (→ Näheres im Kapitel ''Umsetzung''). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung|800px]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. Ein Beispiel für mögliche Gewichtungen wäre: [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter|800px]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen|800px]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien|800px]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel|800px]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung|800px]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert 2 festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung der Zwei-Punkte-Form: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> , <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x-(-15)) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. An den Knotenpunkten direkt ist der mathematische Fehler gleich 0, da die Knotenpunkte ja zur linearen Interpolation dienten. Zwischen diesen Knotenpunkte wird der Fehler aber größer als 0 sein. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 8axs5l30ink81qszsl64fdom0zpudj0 106 171533 1108787 1108603 2026-07-23T13:02:56Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108787 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Analysis:''' Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen, Extremwertbestimmung und Analyse von Hoch- und Tiefpunkten. * '''Funktionen und funktionale Zusammenhänge:''' Modellierung der Windgeschwindigkeit und Leistung durch Funktionen sowie Untersuchung von Abhängigkeiten. * '''Regression und Statistik:''' Annäherung von Messdaten durch eine polynomiale Regressionsfunktion. * '''Numerische Verfahren:''' Anwendung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung von Extremstellen. * '''Optimierung:''' Suche nach dem optimalen Standort durch Maximierung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Leistung. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von GeoGebra zur Regression, Visualisierung und Analyse mathematischer Modelle. ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden (siehe Quellennachweise): <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *<math> x=-15 </math> steht für die nördliche Landesgrenze Deutschlands *<math> x=0 </math> repräsentiert die Mitte Deutschlands *<math> x=15 </math> steht für die südliche Landesgrenze Deutschlands Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (x-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> [[File:Regressionskurve.png|thumb|800px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. == Bestimmung des Maximums mit der abc-Formel / Mitternachtsformel == Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form <math>ax^2+bx+c=0</math> verwendet. Formel: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Dabei sind: * <math>a</math> = Koeffizient vor <math>x^2</math> * <math>b</math> = Koeffizient vor <math>x</math> * <math>c</math> = konstante Zahl Mit der Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden. In unserem Fall sind die Koeffizienten <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math>. Die Diskriminante der abc-Formel ist: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> Die Lösungen sind entsprechend: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben/links gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten/rechts gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4. Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5. Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich <math>[-15; -3]</math> keine innere Extremstelle besitzt, muss ein lokales Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>f(-15) = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>f(-3) = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> Auffallend ist, dass der Funktionswert am linken Rand höher ist als der Funktionswert am berechneten lokalen Maximum bei <math> x = 11,22 </math>. Dementsprechend ist <math> x = -15 </math> das globale Maximum im gegebenen Definitionsbereich der Funktion und wir nehmen es als unseren idealen Standort an. === 6. Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage an der nördlichen Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. == Bestimmung des Maximums mit dem Newton-Verfahren == === Das Newton-Verfahren === Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion. Ausgangspunkt ist ein Startwert <math>x_0</math>, der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Ausgehend von diesem Startwert wird schrittweise eine bessere Näherung berechnet. Grundlage des Verfahrens ist die Tangente an den Funktionsgraphen, deren Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse als neuer Näherungswert verwendet wird. [[File:Newtonsches Näherungsverfahren.png|centre|]] Herleitung des Newton-Verfahren Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math>. Gesucht ist eine Nullstelle <math>x^*</math> mit <math> f(x^*) = 0 </math> Man beginnt mit einer Näherung <math>x_n</math>. Im Punkt<math>(x_n,f(x_n))</math> wird die Tangente an den Graphen von<math>f</math> betrachtet. Die Tangentengleichung lautet <math> y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Als nächste Näherung wird der Schnittpunkt der Tangente mit der <math>x</math>-Achse verwendet. Dazu setzt man <math>y=0</math>: <math> 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Umstellen nach <math>x</math> ergibt <math> f'(x_n)(x-x_n) = -f(x_n) </math> <math> x-x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> und schließlich <math> x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Diese neue Näherung wird mit <math>x_{n+1}</math> bezeichnet. Damit erhält man die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte nur noch geringfügig unterscheiden oder der Funktionswert ausreichend nahe bei Null liegt. Zur Bestimmung von Extremstellen wird das Newton-Verfahren nicht auf die Funktion selbst, sondern auf ihre erste Ableitung angewendet. Da Extremstellen die Bedingung <math> f'(x)=0 </math> erfüllen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Hierfür wird zusätzlich die zweite Ableitung benötigt. Die Iterationsvorschrift lautet dann <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} </math> Der so berechnete Wert liefert eine stationäre Stelle der Funktion. Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich anschließend bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt: * Ist <math>f''(x)<0</math>, so liegt ein lokales Maximum vor. * Ist <math>f''(x)>0</math>, so liegt ein lokales Minimum vor. Wird das globale Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall gesucht, müssen zusätzlich die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls mit den gefundenen Extremstellen verglichen werden. === Anwendung des Newton-Verfahrens === Gegeben sei die Funktion <math> f(x)=-0.0013x^3+0.0155x^2+0.1433x+6.037. </math> Gesucht ist das Maximum der Funktion im Intervall <math>[-15,15]</math>. Zunächst werden die erste und zweite Ableitung bestimmt: <math> f'(x)=-0.0039x^2+0.031x+0.1433, </math> <math> f''(x)=-0.0078x+0.031. </math> Da Extremstellen durch <math>f'(x)=0</math> gegeben sind, wird das Newton-Verfahren auf die erste Ableitung angewendet. Die Iterationsvorschrift lautet <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. </math> Als Startwert wird <math> x_0=10 </math> gewählt. '' 1. Iteration '' <math> f'(10)=-0.0039\cdot100+0.031\cdot10+0.1433=0.0633 </math> <math> f''(10)=-0.0078\cdot10+0.031=-0.047 </math> <math> x_1 =10-\frac{0.0633}{-0.047} =11.3468 </math> '' 2. Iteration '' <math> f'(11.3468)\approx-0.00707 </math> <math> f''(11.3468)\approx-0.05751 </math> <math> x_2 =11.3468-\frac{-0.00707}{-0.05751} \approx11.2239 </math> '' 3. Iteration '' <math> f'(11.2239)\approx-0.00008 </math> <math> f''(11.2239)\approx-0.05655 </math> <math> x_3 =11.2239-\frac{-0.00008}{-0.05655} \approx11.2225 </math> Da sich der Wert praktisch nicht mehr ändert, ist die Extremstelle gefunden: <math> x^*\approx11.2225. </math> Zur Klassifikation wird die zweite Ableitung betrachtet: <math> f''(11.2225)\approx-0.0565<0. </math> Damit handelt es sich um ein '''lokales Maximum'''. Der zugehörige Funktionswert beträgt <math> f(11.2225)\approx7.32. </math> Da das Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[-15,15]</math> gesucht ist, müssen zusätzlich die Randpunkte überprüft werden. <math> f(-15) =-0.0013(-15)^3+0.0155(-15)^2+0.1433(-15)+6.037 =11.7625 </math> <math> f(15) =-0.0013(15)^3+0.0155(15)^2+0.1433(15)+6.037 =7.2865 </math> Vergleich der Funktionswerte: <math> f(-15)=11.7625, </math> <math> f(11.2225)\approx7.32, </math> <math> f(15)=7.2865. </math> Damit ergibt sich: * '''Lokales Maximum:''' <math>x\approx11.22</math> * '''Globales Maximum auf dem Intervall <math>[-15,15]</math>:''' <math>x=-15</math> mit <math>f(-15)=11.7625</math>. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Zyklus der [[/Sekundarstufe 1/]] wird die lineare Interpolation am Ende vorgestellt. Im Rahmen der Umsetzung in der Sekundarstufe 2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. ea0746yldad2u5zgqci8wvj38tz0eef 1108792 1108787 2026-07-23T13:12:57Z Björn Henrich 41518 /* Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus */ 1108792 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Analysis:''' Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen, Extremwertbestimmung und Analyse von Hoch- und Tiefpunkten. * '''Funktionen und funktionale Zusammenhänge:''' Modellierung der Windgeschwindigkeit und Leistung durch Funktionen sowie Untersuchung von Abhängigkeiten. * '''Regression:''' Annäherung von Messdaten durch eine polynomiale Regressionsfunktion. * '''Numerische Verfahren:''' Anwendung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung von Extremstellen. * '''Optimierung:''' Suche nach dem optimalen Standort durch Maximierung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Leistung. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von GeoGebra zur Regression, Visualisierung und Analyse mathematischer Modelle. ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden (siehe Quellennachweise): <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *<math> x=-15 </math> steht für die nördliche Landesgrenze Deutschlands *<math> x=0 </math> repräsentiert die Mitte Deutschlands *<math> x=15 </math> steht für die südliche Landesgrenze Deutschlands Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (x-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> [[File:Regressionskurve.png|thumb|800px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. == Bestimmung des Maximums mit der abc-Formel / Mitternachtsformel == Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form <math>ax^2+bx+c=0</math> verwendet. Formel: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Dabei sind: * <math>a</math> = Koeffizient vor <math>x^2</math> * <math>b</math> = Koeffizient vor <math>x</math> * <math>c</math> = konstante Zahl Mit der Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden. In unserem Fall sind die Koeffizienten <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math>. Die Diskriminante der abc-Formel ist: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> Die Lösungen sind entsprechend: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben/links gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten/rechts gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4. Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5. Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich <math>[-15; -3]</math> keine innere Extremstelle besitzt, muss ein lokales Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>f(-15) = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>f(-3) = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> Auffallend ist, dass der Funktionswert am linken Rand höher ist als der Funktionswert am berechneten lokalen Maximum bei <math> x = 11,22 </math>. Dementsprechend ist <math> x = -15 </math> das globale Maximum im gegebenen Definitionsbereich der Funktion und wir nehmen es als unseren idealen Standort an. === 6. Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage an der nördlichen Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. == Bestimmung des Maximums mit dem Newton-Verfahren == === Das Newton-Verfahren === Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion. Ausgangspunkt ist ein Startwert <math>x_0</math>, der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Ausgehend von diesem Startwert wird schrittweise eine bessere Näherung berechnet. Grundlage des Verfahrens ist die Tangente an den Funktionsgraphen, deren Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse als neuer Näherungswert verwendet wird. [[File:Newtonsches Näherungsverfahren.png|centre|]] Herleitung des Newton-Verfahren Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math>. Gesucht ist eine Nullstelle <math>x^*</math> mit <math> f(x^*) = 0 </math> Man beginnt mit einer Näherung <math>x_n</math>. Im Punkt<math>(x_n,f(x_n))</math> wird die Tangente an den Graphen von<math>f</math> betrachtet. Die Tangentengleichung lautet <math> y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Als nächste Näherung wird der Schnittpunkt der Tangente mit der <math>x</math>-Achse verwendet. Dazu setzt man <math>y=0</math>: <math> 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Umstellen nach <math>x</math> ergibt <math> f'(x_n)(x-x_n) = -f(x_n) </math> <math> x-x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> und schließlich <math> x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Diese neue Näherung wird mit <math>x_{n+1}</math> bezeichnet. Damit erhält man die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte nur noch geringfügig unterscheiden oder der Funktionswert ausreichend nahe bei Null liegt. Zur Bestimmung von Extremstellen wird das Newton-Verfahren nicht auf die Funktion selbst, sondern auf ihre erste Ableitung angewendet. Da Extremstellen die Bedingung <math> f'(x)=0 </math> erfüllen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Hierfür wird zusätzlich die zweite Ableitung benötigt. Die Iterationsvorschrift lautet dann <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} </math> Der so berechnete Wert liefert eine stationäre Stelle der Funktion. Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich anschließend bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt: * Ist <math>f''(x)<0</math>, so liegt ein lokales Maximum vor. * Ist <math>f''(x)>0</math>, so liegt ein lokales Minimum vor. Wird das globale Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall gesucht, müssen zusätzlich die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls mit den gefundenen Extremstellen verglichen werden. === Anwendung des Newton-Verfahrens === Gegeben sei die Funktion <math> f(x)=-0.0013x^3+0.0155x^2+0.1433x+6.037. </math> Gesucht ist das Maximum der Funktion im Intervall <math>[-15,15]</math>. Zunächst werden die erste und zweite Ableitung bestimmt: <math> f'(x)=-0.0039x^2+0.031x+0.1433, </math> <math> f''(x)=-0.0078x+0.031. </math> Da Extremstellen durch <math>f'(x)=0</math> gegeben sind, wird das Newton-Verfahren auf die erste Ableitung angewendet. Die Iterationsvorschrift lautet <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. </math> Als Startwert wird <math> x_0=10 </math> gewählt. '' 1. Iteration '' <math> f'(10)=-0.0039\cdot100+0.031\cdot10+0.1433=0.0633 </math> <math> f''(10)=-0.0078\cdot10+0.031=-0.047 </math> <math> x_1 =10-\frac{0.0633}{-0.047} =11.3468 </math> '' 2. Iteration '' <math> f'(11.3468)\approx-0.00707 </math> <math> f''(11.3468)\approx-0.05751 </math> <math> x_2 =11.3468-\frac{-0.00707}{-0.05751} \approx11.2239 </math> '' 3. Iteration '' <math> f'(11.2239)\approx-0.00008 </math> <math> f''(11.2239)\approx-0.05655 </math> <math> x_3 =11.2239-\frac{-0.00008}{-0.05655} \approx11.2225 </math> Da sich der Wert praktisch nicht mehr ändert, ist die Extremstelle gefunden: <math> x^*\approx11.2225. </math> Zur Klassifikation wird die zweite Ableitung betrachtet: <math> f''(11.2225)\approx-0.0565<0. </math> Damit handelt es sich um ein '''lokales Maximum'''. Der zugehörige Funktionswert beträgt <math> f(11.2225)\approx7.32. </math> Da das Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[-15,15]</math> gesucht ist, müssen zusätzlich die Randpunkte überprüft werden. <math> f(-15) =-0.0013(-15)^3+0.0155(-15)^2+0.1433(-15)+6.037 =11.7625 </math> <math> f(15) =-0.0013(15)^3+0.0155(15)^2+0.1433(15)+6.037 =7.2865 </math> Vergleich der Funktionswerte: <math> f(-15)=11.7625, </math> <math> f(11.2225)\approx7.32, </math> <math> f(15)=7.2865. </math> Damit ergibt sich: * '''Lokales Maximum:''' <math>x\approx11.22</math> * '''Globales Maximum auf dem Intervall <math>[-15,15]</math>:''' <math>x=-15</math> mit <math>f(-15)=11.7625</math>. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Zyklus der [[/Sekundarstufe 1/]] wird die lineare Interpolation am Ende vorgestellt. Im Rahmen der Umsetzung in der Sekundarstufe 2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. 1rn9huupjq7jczrfki3pd8fbsofjbse 1108793 1108792 2026-07-23T13:15:06Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108793 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Analysis:''' Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen, Extremwertbestimmung und Analyse von Hoch- und Tiefpunkten. * '''Funktionen und funktionale Zusammenhänge:''' Modellierung der Windgeschwindigkeit und Leistung durch Funktionen sowie Untersuchung von Abhängigkeiten. * '''Regression:''' Annäherung von Messdaten durch eine polynomiale Regressionsfunktion. * '''Numerische Verfahren:''' Anwendung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung von Extremstellen. * '''Optimierung:''' Suche nach dem optimalen Standort durch Maximierung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Leistung. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von GeoGebra zur Regression, Visualisierung und Analyse mathematischer Modelle. ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden (siehe Literatur- und Quellennachweise): <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *<math> x=-15 </math> steht für die nördliche Landesgrenze Deutschlands *<math> x=0 </math> repräsentiert die Mitte Deutschlands *<math> x=15 </math> steht für die südliche Landesgrenze Deutschlands Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (x-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> [[File:Regressionskurve.png|thumb|800px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. == Bestimmung des Maximums mit der abc-Formel / Mitternachtsformel == Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form <math>ax^2+bx+c=0</math> verwendet. Formel: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Dabei sind: * <math>a</math> = Koeffizient vor <math>x^2</math> * <math>b</math> = Koeffizient vor <math>x</math> * <math>c</math> = konstante Zahl Mit der Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden. In unserem Fall sind die Koeffizienten <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math>. Die Diskriminante der abc-Formel ist: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> Die Lösungen sind entsprechend: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben/links gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten/rechts gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4. Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5. Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich <math>[-15; -3]</math> keine innere Extremstelle besitzt, muss ein lokales Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>f(-15) = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>f(-3) = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> Auffallend ist, dass der Funktionswert am linken Rand höher ist als der Funktionswert am berechneten lokalen Maximum bei <math> x = 11,22 </math>. Dementsprechend ist <math> x = -15 </math> das globale Maximum im gegebenen Definitionsbereich der Funktion und wir nehmen es als unseren idealen Standort an. === 6. Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage an der nördlichen Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. == Bestimmung des Maximums mit dem Newton-Verfahren == === Das Newton-Verfahren === Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion. Ausgangspunkt ist ein Startwert <math>x_0</math>, der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Ausgehend von diesem Startwert wird schrittweise eine bessere Näherung berechnet. Grundlage des Verfahrens ist die Tangente an den Funktionsgraphen, deren Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse als neuer Näherungswert verwendet wird. [[File:Newtonsches Näherungsverfahren.png|centre|]] Herleitung des Newton-Verfahren Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math>. Gesucht ist eine Nullstelle <math>x^*</math> mit <math> f(x^*) = 0 </math> Man beginnt mit einer Näherung <math>x_n</math>. Im Punkt<math>(x_n,f(x_n))</math> wird die Tangente an den Graphen von<math>f</math> betrachtet. Die Tangentengleichung lautet <math> y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Als nächste Näherung wird der Schnittpunkt der Tangente mit der <math>x</math>-Achse verwendet. Dazu setzt man <math>y=0</math>: <math> 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Umstellen nach <math>x</math> ergibt <math> f'(x_n)(x-x_n) = -f(x_n) </math> <math> x-x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> und schließlich <math> x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Diese neue Näherung wird mit <math>x_{n+1}</math> bezeichnet. Damit erhält man die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte nur noch geringfügig unterscheiden oder der Funktionswert ausreichend nahe bei Null liegt. Zur Bestimmung von Extremstellen wird das Newton-Verfahren nicht auf die Funktion selbst, sondern auf ihre erste Ableitung angewendet. Da Extremstellen die Bedingung <math> f'(x)=0 </math> erfüllen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Hierfür wird zusätzlich die zweite Ableitung benötigt. Die Iterationsvorschrift lautet dann <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} </math> Der so berechnete Wert liefert eine stationäre Stelle der Funktion. Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich anschließend bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt: * Ist <math>f''(x)<0</math>, so liegt ein lokales Maximum vor. * Ist <math>f''(x)>0</math>, so liegt ein lokales Minimum vor. Wird das globale Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall gesucht, müssen zusätzlich die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls mit den gefundenen Extremstellen verglichen werden. === Anwendung des Newton-Verfahrens === Gegeben sei die Funktion <math> f(x)=-0.0013x^3+0.0155x^2+0.1433x+6.037. </math> Gesucht ist das Maximum der Funktion im Intervall <math>[-15,15]</math>. Zunächst werden die erste und zweite Ableitung bestimmt: <math> f'(x)=-0.0039x^2+0.031x+0.1433, </math> <math> f''(x)=-0.0078x+0.031. </math> Da Extremstellen durch <math>f'(x)=0</math> gegeben sind, wird das Newton-Verfahren auf die erste Ableitung angewendet. Die Iterationsvorschrift lautet <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. </math> Als Startwert wird <math> x_0=10 </math> gewählt. '' 1. Iteration '' <math> f'(10)=-0.0039\cdot100+0.031\cdot10+0.1433=0.0633 </math> <math> f''(10)=-0.0078\cdot10+0.031=-0.047 </math> <math> x_1 =10-\frac{0.0633}{-0.047} =11.3468 </math> '' 2. Iteration '' <math> f'(11.3468)\approx-0.00707 </math> <math> f''(11.3468)\approx-0.05751 </math> <math> x_2 =11.3468-\frac{-0.00707}{-0.05751} \approx11.2239 </math> '' 3. Iteration '' <math> f'(11.2239)\approx-0.00008 </math> <math> f''(11.2239)\approx-0.05655 </math> <math> x_3 =11.2239-\frac{-0.00008}{-0.05655} \approx11.2225 </math> Da sich der Wert praktisch nicht mehr ändert, ist die Extremstelle gefunden: <math> x^*\approx11.2225. </math> Zur Klassifikation wird die zweite Ableitung betrachtet: <math> f''(11.2225)\approx-0.0565<0. </math> Damit handelt es sich um ein '''lokales Maximum'''. Der zugehörige Funktionswert beträgt <math> f(11.2225)\approx7.32. </math> Da das Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[-15,15]</math> gesucht ist, müssen zusätzlich die Randpunkte überprüft werden. <math> f(-15) =-0.0013(-15)^3+0.0155(-15)^2+0.1433(-15)+6.037 =11.7625 </math> <math> f(15) =-0.0013(15)^3+0.0155(15)^2+0.1433(15)+6.037 =7.2865 </math> Vergleich der Funktionswerte: <math> f(-15)=11.7625, </math> <math> f(11.2225)\approx7.32, </math> <math> f(15)=7.2865. </math> Damit ergibt sich: * '''Lokales Maximum:''' <math>x\approx11.22</math> * '''Globales Maximum auf dem Intervall <math>[-15,15]</math>:''' <math>x=-15</math> mit <math>f(-15)=11.7625</math>. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Zyklus der [[/Sekundarstufe 1/]] wird die lineare Interpolation am Ende vorgestellt. Im Rahmen der Umsetzung in der Sekundarstufe 2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. h09wx5kbg7cq8zkffdbzvk17wytjfgb 106 171867 1108790 1108652 2026-07-23T13:09:12Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1108790 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Mehrdimensionale Analysis''': Untersuchung mehrdimensionaler Funktionen. *'''Numerische Verfahren''': Vorstellung des Gradientenverfahrens als Optimierungsverfahren mehrdimensionaler Funktionen. == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|center|800px]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> grad\ E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird bei <math> n = 0. </math> Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> grad\ E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha\ grad\ E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> grad\ E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Alle weiteren Iterationen werden im Folgenden nur noch aufgeführt, das Verfahren wird iterativ wie zuvor immer gleich durchgeführt. Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6875,\;3.5904).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.84375,\;3.67232).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.921875,\;3.737856).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.9951,\;3.8926).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.999995,\;3.98847).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt ist dann <math>(3.000000,\;3.99876).</math> Die Iterationspunkte nähern sich mit jeder weiteren Iteration dem Maximum bei <math>(3,4)</math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> grad\ K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> erneut den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird wieder bei <math> n = 0. </math> Als zufälligen Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> grad\ K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha\ grad\ K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> grad\ K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt ist <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6244,\;1.9683).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.3620,\;1.7715).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.1258,\;1.5943).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(1.3947,\;1.0460).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(0.4863,\;0.3647).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt lautet beispielsweise <math>(0.1695,\;0.1271).</math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |} Der Ortsvektor ist dann: <math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math> und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung <math>E(z)</math> zu maximieren, wobei <math>E(z)</math> von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. Dabei gilt: *<math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math>: Ortsvektor *<math>f(z_n)</math>: Zielfunktion *<math>grad\ f(z_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y_n}(x_n,y_n) \right)</math>: Gradient der Funktion *<math> \alpha_{n} > 0 </math>: adaptive Schrittweite in Iteration n Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> \begin{align} G(x,y) &=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5x^2+30x-45-2y^2+16y-32-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=-5{,}5x^2-2{,}5y^2+30x+16y-27 \end{align} </math> '''Gradient''' <math> grad\ G(x_n,y_n)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x_n}\\[1ex] \dfrac{\partial G}{\partial y_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x_n+30\\ -5y_n+16 \end{pmatrix} </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Als vereinfachende Annahme wurde das Höhenprofil als Basis für die Energieertragsfunktion verwendet, da in topographisch höheren Lagen höhere Windgeschwindigkeiten und umgekehrt in niedrigeren Lagen niedrigere Windgeschwindigkeiten zu erwarten sind. Es existiert also ein direkt proportionaler Zusammenhang zwischen topographischer Höhe und Windgeschwindigkeit. Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. ===Kurzfristige Betrachtung nach einem Jahr=== In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> ===Mittelfristige Betrachtung nach 10 Jahren=== Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im Vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ===Langfristige Betrachtung nach 20 Jahren=== In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== === Bezug zum Gradientenabstiegsverfashren=== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Diskretes Gradientenverfahren 1.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 1|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 2.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 2|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 3.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 3|800px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. Ähnlich wie beim [[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]] kann nun noch das Durchlaufen des Codes bzw. Verfahrens visualisiert werden. Die folgende Abbildung zeigt, wie von einem Startpunkt ausgehend immer zu höchsten Nachbarpunkt übergegangen wird, bis schließlich ein lokales Maximum erreicht ist. [[File:Visualisierung des diskreten "Aufstiegverfahrens".png|thumb|Visualisierung anhand der Differenzfunktion nach 20 Jahren|800px|center]] ===Weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. iz2sdqiw1m3dbiqyo4awatjcpwkx3j3 1108791 1108790 2026-07-23T13:10:54Z Björn Henrich 41518 /* Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus */ 1108791 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Mehrdimensionale Analysis''': Untersuchung mehrdimensionaler Funktionen. *'''Numerische Verfahren''': Vorstellung des Gradientenverfahrens als Optimierungsverfahren mehrdimensionaler Funktionen. *'''Digitale Mathematikwerkzeuge''': Einsatz von Octave zum Plotten von Funktionen und zur Implemtation des Gradientenverfahrens. *'''Lineare Algebra''': Betrachtung verschiedener Matrizen zu verschiedenen Zeitpunkten, Deutung der Werte. == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|center|800px]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> grad\ E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird bei <math> n = 0. </math> Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> grad\ E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha\ grad\ E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> grad\ E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Alle weiteren Iterationen werden im Folgenden nur noch aufgeführt, das Verfahren wird iterativ wie zuvor immer gleich durchgeführt. Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6875,\;3.5904).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.84375,\;3.67232).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.921875,\;3.737856).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.9951,\;3.8926).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.999995,\;3.98847).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt ist dann <math>(3.000000,\;3.99876).</math> Die Iterationspunkte nähern sich mit jeder weiteren Iteration dem Maximum bei <math>(3,4)</math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> grad\ K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> erneut den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird wieder bei <math> n = 0. </math> Als zufälligen Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> grad\ K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha\ grad\ K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> grad\ K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt ist <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6244,\;1.9683).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.3620,\;1.7715).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.1258,\;1.5943).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(1.3947,\;1.0460).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(0.4863,\;0.3647).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt lautet beispielsweise <math>(0.1695,\;0.1271).</math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |} Der Ortsvektor ist dann: <math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math> und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung <math>E(z)</math> zu maximieren, wobei <math>E(z)</math> von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. Dabei gilt: *<math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math>: Ortsvektor *<math>f(z_n)</math>: Zielfunktion *<math>grad\ f(z_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y_n}(x_n,y_n) \right)</math>: Gradient der Funktion *<math> \alpha_{n} > 0 </math>: adaptive Schrittweite in Iteration n Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> \begin{align} G(x,y) &=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5x^2+30x-45-2y^2+16y-32-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=-5{,}5x^2-2{,}5y^2+30x+16y-27 \end{align} </math> '''Gradient''' <math> grad\ G(x_n,y_n)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x_n}\\[1ex] \dfrac{\partial G}{\partial y_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x_n+30\\ -5y_n+16 \end{pmatrix} </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Als vereinfachende Annahme wurde das Höhenprofil als Basis für die Energieertragsfunktion verwendet, da in topographisch höheren Lagen höhere Windgeschwindigkeiten und umgekehrt in niedrigeren Lagen niedrigere Windgeschwindigkeiten zu erwarten sind. Es existiert also ein direkt proportionaler Zusammenhang zwischen topographischer Höhe und Windgeschwindigkeit. Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. ===Kurzfristige Betrachtung nach einem Jahr=== In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> ===Mittelfristige Betrachtung nach 10 Jahren=== Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im Vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ===Langfristige Betrachtung nach 20 Jahren=== In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== === Bezug zum Gradientenabstiegsverfashren=== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Diskretes Gradientenverfahren 1.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 1|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 2.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 2|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 3.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 3|800px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. Ähnlich wie beim [[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]] kann nun noch das Durchlaufen des Codes bzw. Verfahrens visualisiert werden. Die folgende Abbildung zeigt, wie von einem Startpunkt ausgehend immer zu höchsten Nachbarpunkt übergegangen wird, bis schließlich ein lokales Maximum erreicht ist. [[File:Visualisierung des diskreten "Aufstiegverfahrens".png|thumb|Visualisierung anhand der Differenzfunktion nach 20 Jahren|800px|center]] ===Weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. qqyy142si37t2ip956e22hpi4r46fsu 1108840 1108791 2026-07-24T06:40:55Z Björn Henrich 41518 /* Realer Modellierungszyklus */ 1108840 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Mehrdimensionale Analysis''': Untersuchung mehrdimensionaler Funktionen. *'''Numerische Verfahren''': Vorstellung des Gradientenverfahrens als Optimierungsverfahren mehrdimensionaler Funktionen. *'''Digitale Mathematikwerkzeuge''': Einsatz von Octave zum Plotten von Funktionen und zur Implemtation des Gradientenverfahrens. *'''Lineare Algebra''': Betrachtung verschiedener Matrizen zu verschiedenen Zeitpunkten, Deutung der Werte. == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|center|800px]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> grad\ E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird bei <math> n = 0. </math> Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> grad\ E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha\ grad\ E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> grad\ E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Alle weiteren Iterationen werden im Folgenden nur noch aufgeführt, das Verfahren wird iterativ wie zuvor immer gleich durchgeführt. Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6875,\;3.5904).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.84375,\;3.67232).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.921875,\;3.737856).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.9951,\;3.8926).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.999995,\;3.98847).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt ist dann <math>(3.000000,\;3.99876).</math> Die Iterationspunkte nähern sich mit jeder weiteren Iteration dem Maximum bei <math>(3,4)</math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> grad\ K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> erneut den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird wieder bei <math> n = 0. </math> Als zufälligen Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> grad\ K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha\ grad\ K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> grad\ K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt ist <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6244,\;1.9683).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.3620,\;1.7715).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.1258,\;1.5943).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(1.3947,\;1.0460).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(0.4863,\;0.3647).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt lautet beispielsweise <math>(0.1695,\;0.1271).</math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |} Der Ortsvektor ist dann: <math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math> und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung <math>E(z)</math> zu maximieren, wobei <math>E(z)</math> von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. Dabei gilt: *<math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math>: Ortsvektor *<math>f(z_n)</math>: Zielfunktion *<math>grad\ f(z_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y_n}(x_n,y_n) \right)</math>: Gradient der Funktion *<math> \alpha_{n} > 0 </math>: adaptive Schrittweite in Iteration n Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> \begin{align} G(x,y) &=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5x^2+30x-45-2y^2+16y-32-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=-5{,}5x^2-2{,}5y^2+30x+16y-27 \end{align} </math> '''Gradient''' <math> grad\ G(x_n,y_n)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x_n}\\[1ex] \dfrac{\partial G}{\partial y_n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x_n+30\\ -5y_n+16 \end{pmatrix} </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Als vereinfachende Annahme wurde das Höhenprofil als Basis für die Energieertragsfunktion verwendet, da in topographisch höheren Lagen höhere Windgeschwindigkeiten und umgekehrt in niedrigeren Lagen niedrigere Windgeschwindigkeiten zu erwarten sind. Wir nehmen vereinfachend also dann, dass ein direkt proportionaler Zusammenhang zwischen topographischer Höhe und Windgeschwindigkeit existiert. Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. ===Kurzfristige Betrachtung nach einem Jahr=== In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> ===Mittelfristige Betrachtung nach 10 Jahren=== Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im Vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ===Langfristige Betrachtung nach 20 Jahren=== In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== === Bezug zum Gradientenabstiegsverfashren=== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Diskretes Gradientenverfahren 1.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 1|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 2.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 2|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 3.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 3|800px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. Ähnlich wie beim [[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]] kann nun noch das Durchlaufen des Codes bzw. Verfahrens visualisiert werden. Die folgende Abbildung zeigt, wie von einem Startpunkt ausgehend immer zu höchsten Nachbarpunkt übergegangen wird, bis schließlich ein lokales Maximum erreicht ist. [[File:Visualisierung des diskreten "Aufstiegverfahrens".png|thumb|Visualisierung anhand der Differenzfunktion nach 20 Jahren|800px|center]] ===Weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. ggx6wub4e4yyw3v725qbloylq0qh3a0 1108848 1108840 2026-07-24T07:15:27Z Björn Henrich 41518 /* Zielfunktion */ 1108848 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Mehrdimensionale Analysis''': Untersuchung mehrdimensionaler Funktionen. *'''Numerische Verfahren''': Vorstellung des Gradientenverfahrens als Optimierungsverfahren mehrdimensionaler Funktionen. *'''Digitale Mathematikwerkzeuge''': Einsatz von Octave zum Plotten von Funktionen und zur Implemtation des Gradientenverfahrens. *'''Lineare Algebra''': Betrachtung verschiedener Matrizen zu verschiedenen Zeitpunkten, Deutung der Werte. == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|center|800px]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> grad\ E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird bei <math> n = 0. </math> Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> grad\ E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha\ grad\ E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> grad\ E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Alle weiteren Iterationen werden im Folgenden nur noch aufgeführt, das Verfahren wird iterativ wie zuvor immer gleich durchgeführt. Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6875,\;3.5904).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.84375,\;3.67232).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.921875,\;3.737856).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.9951,\;3.8926).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.999995,\;3.98847).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt ist dann <math>(3.000000,\;3.99876).</math> Die Iterationspunkte nähern sich mit jeder weiteren Iteration dem Maximum bei <math>(3,4)</math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> grad\ K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> erneut den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird wieder bei <math> n = 0. </math> Als zufälligen Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> grad\ K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha\ grad\ K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> grad\ K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt ist <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6244,\;1.9683).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.3620,\;1.7715).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.1258,\;1.5943).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(1.3947,\;1.0460).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(0.4863,\;0.3647).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt lautet beispielsweise <math>(0.1695,\;0.1271).</math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |} Der Ortsvektor ist dann: <math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math> und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung <math>E(z)</math> zu maximieren, wobei <math>E(z)</math> von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. Dabei gilt: *<math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math>: Ortsvektor *<math>f(z_n)</math>: Zielfunktion *<math>grad\ f(z_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y_n}(x_n,y_n) \right)</math>: Gradient der Funktion *<math> \alpha_{n} > 0 </math>: adaptive Schrittweite in Iteration n Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> \begin{align} G(x,y) &=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5x^2+30x-45-2y^2+16y-32-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=-5{,}5x^2-2{,}5y^2+30x+16y-27 \end{align} </math> '''Gradient''' <math> grad\ G(x,y)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x}\\[1ex] \dfrac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+16 \end{pmatrix} </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Als vereinfachende Annahme wurde das Höhenprofil als Basis für die Energieertragsfunktion verwendet, da in topographisch höheren Lagen höhere Windgeschwindigkeiten und umgekehrt in niedrigeren Lagen niedrigere Windgeschwindigkeiten zu erwarten sind. Wir nehmen vereinfachend also dann, dass ein direkt proportionaler Zusammenhang zwischen topographischer Höhe und Windgeschwindigkeit existiert. Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. ===Kurzfristige Betrachtung nach einem Jahr=== In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> ===Mittelfristige Betrachtung nach 10 Jahren=== Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im Vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ===Langfristige Betrachtung nach 20 Jahren=== In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== === Bezug zum Gradientenabstiegsverfashren=== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Diskretes Gradientenverfahren 1.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 1|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 2.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 2|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 3.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 3|800px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. Ähnlich wie beim [[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]] kann nun noch das Durchlaufen des Codes bzw. Verfahrens visualisiert werden. Die folgende Abbildung zeigt, wie von einem Startpunkt ausgehend immer zu höchsten Nachbarpunkt übergegangen wird, bis schließlich ein lokales Maximum erreicht ist. [[File:Visualisierung des diskreten "Aufstiegverfahrens".png|thumb|Visualisierung anhand der Differenzfunktion nach 20 Jahren|800px|center]] ===Weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. jvjo15pjyofk0xf3b63y7ssemno2d00 2 171969 1108819 1108599 2026-07-23T15:55:34Z Bocardodarapti 2041 1108819 wikitext text/x-wiki [https://colab.research.google.com/github/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/blob/main/euclidean.ipynb Link zu euklidischem Algorithmus über colab] Anweisung Mit dem Anklicken öffnet sich eine interaktives Werkzeug (eine Maschine, eine Notebook in der Cloud), wo der Algorithmus läuft. In der linken Spalte steht ein Programm, das auf jpynb endet. Dort ist die Vorgehensweise wie folgt: Doppelklick auf das Programm ...jpynb Auf das Programm gehen und mit dem Dreieckspfeil laufen lassen (lädt das Programm) Eventuell muss man das gleiche mit den darüber liegenden Installationsprogrammen machen, also eine Zeile wie %pip install sympy ebenso mit dem Dreieckspfeil aktivieren. Anschließend:Zahlen (oder Polynome) eingeben und laufen lassen, mit shift+return. Binderlinks: [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Division-mit-Rest-Z/HEAD Division mit Rest (Z)] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/HEAD Euklidischer Algorithmus] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/EuklidischerAlgorithmusLineareKombination/HEAD Linearkombination des GgT] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Polynomdivision/HEAD Polynomdivision] speziell für BEU [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Termumformer/HEAD Termumformer] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Geldscheinmaschine/HEAD Geldfälscher] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Wahrheitstabelle/HEAD Wahrheitstabelle] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Primfaktorzerlegung/HEAD Primfaktorzerlegung] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Polynomgraph/Head Polynomgraph] siehe [[:Kategorie:Hilfsmittel_der_Mathematik/Aufgaben]] hthiv6asr0w7ddkrh8vdv0pwzdbdnqo 1108834 1108819 2026-07-23T17:53:35Z Bocardodarapti 2041 1108834 wikitext text/x-wiki [https://colab.research.google.com/github/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/blob/main/euclidean.ipynb Link zu euklidischem Algorithmus über colab] Anweisung Mit dem Anklicken öffnet sich eine interaktives Werkzeug (eine Maschine, eine Notebook in der Cloud), wo der Algorithmus läuft. In der linken Spalte steht ein Programm, das auf jpynb endet. Dort ist die Vorgehensweise wie folgt: Doppelklick auf das Programm ...jpynb Auf das Programm gehen und mit dem Dreieckspfeil laufen lassen (lädt das Programm) Eventuell muss man das gleiche mit den darüber liegenden Installationsprogrammen machen, also eine Zeile wie %pip install sympy ebenso mit dem Dreieckspfeil aktivieren. Anschließend:Zahlen (oder Polynome) eingeben und laufen lassen, mit shift+return. Binderlinks: [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Division-mit-Rest-Z/HEAD Division mit Rest (Z)] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/HEAD Euklidischer Algorithmus] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/EuklidischerAlgorithmusLineareKombination/HEAD Linearkombination des GgT] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Polynomdivision/HEAD Polynomdivision] siehe [[:Kategorie:Hilfsmittel_der_Mathematik/Aufgaben]] 2x34at3a4yst93v11b52k9dfnnwhfqz 1108837 1108834 2026-07-23T18:07:33Z Bocardodarapti 2041 1108837 wikitext text/x-wiki [https://colab.research.google.com/github/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/blob/main/euclidean.ipynb Link zu euklidischem Algorithmus über colab] Binderlinks: [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Division-mit-Rest-Z/HEAD Division mit Rest (Z)] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/HEAD Euklidischer Algorithmus] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/EuklidischerAlgorithmusLineareKombination/HEAD Linearkombination des GgT] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Polynomdivision/HEAD Polynomdivision] siehe [[:Kategorie:Hilfsmittel_der_Mathematik/Aufgaben]] ob9yx0zp4igsvoctc8l8q0uggipx446 106 172116 1108764 2026-07-23T12:25:17Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108764 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe| ||Kurs=|}} o314rsolfsk05ed4dfmklqlb2h5advz 1108765 1108764 2026-07-23T12:26:04Z Bocardodarapti 2041 1108765 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5||Kurs=|}} psit2yy4ghgkefjfkfaqnkwyi7pmx4s 1108766 1108765 2026-07-23T12:26:44Z Bocardodarapti 2041 1108766 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|12|Kurs=|}} ndhsguvexj3umzt67ql57bdbjvtyvx9 0 172117 1108778 2026-07-23T12:55:10Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer Termumformer {{Algorithmuslink|Termumformer}} Damit können Sie Terme wie die obigen ausrechnen und umformen. 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Bitte ausprobieren! |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Terme |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} m3lbvz4tsdzdw7okjb5xb7y61y01n8a 10 172118 1108779 2026-07-23T12:55:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108779 wikitext text/x-wiki [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Termumformer/HEAD Termumformer] 06vq3jo7hezil0xwr9tf4o0tn103xj2 1108782 1108779 2026-07-23T12:58:43Z Bocardodarapti 2041 1108782 wikitext text/x-wiki [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-2}}|}}/HEAD | {{{1|}}}] 6qycbyn3xf72qpopap16jxvsxpzdsi5 1108783 1108782 2026-07-23T12:59:33Z Bocardodarapti 2041 1108783 wikitext text/x-wiki [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-2}}/HEAD | {{{1|}}}] k9oe2grou97kd521nhww051r2mflv2v 1108784 1108783 2026-07-23T13:00:21Z Bocardodarapti 2041 1108784 wikitext text/x-wiki [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-2}}/HEAD {{{1|}}}] czyu0t644zekc3rsmvtgroda82m1abt 1108788 1108784 2026-07-23T13:03:23Z Bocardodarapti 2041 1108788 wikitext text/x-wiki [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/{{{1|}}}/HEAD {{{1|}}}] ropm5sdv9nnq7mjrn6on0zxbaiya6pw 0 172119 1108798 2026-07-23T13:37:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108798 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In diesem Kurs werden an geeigneten Stellen Links zu zu algorithmischen Werkzeugen bereitgestellt. Mit dem Anklicken öffnet sich {{ Zusatz/Klammer |text=nach einigen Sekunden| |ISZ=|ESZ= }} eine interaktives Programm (ein sogenanntes Jupyter-Notebook, das ist eine Maschine, ein Computer in der Cloud), wo der Algorithmus implementiert ist. Dort können Sie rumprobieren, Zahlen, Terme, etc. eingeben, Sachen berechnen. Achtung! Diese Algorithmen sind kein Ersatz für Ihre geistige Entwicklung! Sie sollten zuerst die Algorithmen im Kopf und per Hand sicher beherrschen. Bei größeren Zahlen, wenn das schriftliche Ausrechnen sehr zeitintensiv würde, dienen solche Implementierungen als eine Arbeitserleichterung. Der Link führt Sie auf , das läuft in der Cloud, Sie müssen nichts installieren und Sie können da nichts kaputt machen. In der linken Spalte steht dort ein Programm, das auf jpynb endet. Dort ist die Vorgehensweise wie folgt: {{ Aufzählung4 |Doppelklick auf das Programm ...jpynb zur Ansicht des Programms (danach sieht man den Programmcode in Python) |Auf den Programmcode (die code-Zellen) gehen und mit dem Dreieckspfeil oben aktivieren (lädt das Programm bzw. die in ihm definierten Funktionen) |Eventuell muss man das gleiche mit den darüber liegenden Installationsprogrammen machen, also eine Zeile wie %pip install sympy ebenso mit dem Dreieckspfeil aktivieren. |Anschließend: In das darunterliegende Fenster Zahlen (oder Terme, Polynome) eingeben und mit shift+return laufen lassen. Das Ergebnis wird dann ausgegeben. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} gvyhuwt4afp9w2pqy8hjq8si95o9075 1108799 1108798 2026-07-23T13:38:15Z Bocardodarapti 2041 1108799 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= In diesem Kurs werden an geeigneten Stellen Links zu zu algorithmischen Werkzeugen bereitgestellt. Mit dem Anklicken öffnet sich {{ Zusatz/Klammer |text=nach einigen Sekunden| |ISZ=|ESZ= }} eine interaktives Programm (ein sogenanntes Jupyter-Notebook, das ist eine Maschine, ein Computer in der Cloud), wo der Algorithmus implementiert ist. Dort können Sie rumprobieren, Zahlen, Terme, etc. eingeben, Sachen berechnen. Achtung! Diese Algorithmen sind kein Ersatz für Ihre geistige Entwicklung! Sie sollten zuerst die Algorithmen im Kopf und per Hand sicher beherrschen. Bei größeren Zahlen, wenn das schriftliche Ausrechnen sehr zeitintensiv würde, dienen solche Implementierungen als eine Arbeitserleichterung. Der Link führt Sie auf , das läuft in der Cloud, Sie müssen nichts installieren und Sie können da nichts kaputt machen. In der linken Spalte steht dort ein Programm, das auf jpynb endet. Dort ist die Vorgehensweise wie folgt: {{ Aufzählung4 |Doppelklick auf das Programm ...jpynb zur Ansicht des Programms (danach sieht man den Programmcode in Python) |Auf den Programmcode (die code-Zellen) gehen und mit dem Dreieckspfeil oben aktivieren (lädt das Programm bzw. die in ihm definierten Funktionen) |Eventuell muss man das gleiche mit den darüber liegenden Installationsprogrammen machen, also eine Zeile wie %pip install sympy ebenso mit dem Dreieckspfeil aktivieren. |Anschließend: In das darunterliegende Fenster Zahlen (oder Terme, Polynome) eingeben und mit shift+return laufen lassen. 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Sie sind kein Ersatz für das Verständnis der zugrunde liegenden mathematischen Prinzipien. Sie sollten zuerst die Algorithmen im Kopf und per Hand sicher beherrschen, bevor Sie die digitale Unterstützung nutzen. Da das Notebook in der Cloud läuft, müssen Sie nichts installieren und Sie können dort auch nichts kaputt machen. In der linken Spalte steht dort ein Programm, das auf jpynb endet. Die Vorgehensweise ist wie folgt: {{ Aufzählung4 |Doppelklick auf das Programm ...jpynb zur Ansicht des Programms (danach sieht man den Programmcode in Python) |Auf den Programmcode (die code-Zellen) gehen und mit dem Dreieckspfeil oben aktivieren (lädt das Programm bzw. die in ihm definierten Funktionen) |Eventuell muss man das gleiche mit den darüber liegenden Installationsprogrammen machen, also eine Zeile wie %pip install sympy ebenso mit dem Dreieckspfeil aktivieren. |Anschließend: In das darunterliegende Fenster (Eingabebereich) Zahlen (oder Terme, Polynome) eingeben und mit shift+return laufen lassen. Das Ergebnis wird dann ausgegeben. }} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Materialien zur Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} hn11sp11ebmg5ka0ahsq2pziz0doviw 0 172120 1108802 2026-07-23T15:07:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108802 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich eine algorithmische Geldscheinmaschine {{Algorithmuslink|Geldscheinmaschine}} Damit können Sie zu gegebenen Geldscheinwerten bestimmen, welche Beträge Sie damit bezahlen können. Bitte ausprobieren! |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} k4ddzli0f6rldreq57kccejq6fuunk5 1108806 1108802 2026-07-23T15:39:05Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Algorithmus/Geldscheinmaschine/Aufgabe]] nach [[Externer Algorithmus/Geldscheinmaschine/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1108802 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich eine algorithmische Geldscheinmaschine {{Algorithmuslink|Geldscheinmaschine}} Damit können Sie zu gegebenen Geldscheinwerten bestimmen, welche Beträge Sie damit bezahlen können. Bitte ausprobieren! |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} k4ddzli0f6rldreq57kccejq6fuunk5 1108808 1108806 2026-07-23T15:45:06Z Bocardodarapti 2041 1108808 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich eine algorithmische Geldscheinmaschine {{Algorithmuslink|Geldscheinmaschine}} Damit können Sie zu gegebenen Geldscheinwerten bestimmen, welche Beträge Sie damit bezahlen können. Bitte ausprobieren! |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} lzw0zktdhsof16vuvexethhsd8p3l8x 0 172121 1108804 2026-07-23T15:12:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108804 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer Berechner von Wahrheitstabellen. {{Algorithmuslink|Wahrheitstabelle}} Dort können Sie einen aussagenlogischen Ausdruck eingeben und dazu die Wahrheitstabelle bestimmen lassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3okpndut6k8u0mhbounuo76rajao70m 1108812 1108804 2026-07-23T15:47:40Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Algorithmus/Wahrheitstabelle/Aufgabe]] nach [[Externer Algorithmus/Wahrheitstabelle/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1108804 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer Berechner von Wahrheitstabellen. {{Algorithmuslink|Wahrheitstabelle}} Dort können Sie einen aussagenlogischen Ausdruck eingeben und dazu die Wahrheitstabelle bestimmen lassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3okpndut6k8u0mhbounuo76rajao70m 1108813 1108812 2026-07-23T15:47:48Z Bocardodarapti 2041 1108813 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer Berechner von Wahrheitstabellen. {{Algorithmuslink|Wahrheitstabelle}} Dort können Sie einen aussagenlogischen Ausdruck eingeben und dazu die Wahrheitstabelle bestimmen lassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 2biuuu0petynxux6pyolpz92nt5xngb 14 172122 1108809 2026-07-23T15:45:17Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108809 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 14 172123 1108810 2026-07-23T15:45:54Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108810 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Materialen zur Mathematik|Hilfsmittel ||}} kfx2ygcdqwyr9q6f6303u159w8mdovw 1108811 1108810 2026-07-23T15:46:08Z Bocardodarapti 2041 1108811 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Materialien zur Mathematik|Hilfsmittel ||}} h1k0470347dwqadaw3v50huzra0di4g 0 172124 1108818 2026-07-23T15:52:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108818 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer Skizzierer für Mengendiagramme. {{Algorithmuslink|Mengendiagramm}} Damit können Sie Mengenausdrücke als Mengendiagramme darstellen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} t69wcajw5itnuah65zrz4wsfxzz9vg7 0 172125 1108820 2026-07-23T16:24:40Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108820 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer Zeichner für den Graphen von Polynomen. {{Algorithmuslink|Polynomgraph}} Damit können Sie den Graphen eines Polynoms {{ Zusatz/Klammer |text=mit rationalen Koeffizienten| |ISZ=|ESZ= }} zeichnen lassen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} aeob4rcjs2glm5svlzf3sfqlyee25w7 0 172126 1108830 2026-07-23T17:13:12Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108830 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer Rechner für die in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vierertupel/Differenzbetrag/Einführung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} beschriebene {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} {{Algorithmuslink|Vierzahlenabbildung}} Geben Sie ruhig große Zahlen ein. 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Versuchen Sie dabei, dass die Anzahl der Iterationen möglichst groß wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3=Hilfsmittel der Mathematik |Objektkategorie=Vier-Zahlen-Problem |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} pdt7dnhrb1scelu94bgsvhi2s8cr8bd 0 172127 1108833 2026-07-23T17:52:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108833 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmisches Werkzeug, mit dem man die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl bestimmen kann. {{Algorithmuslink|Primfaktorzerlegung}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6n3h2vh77llbdqaffgcg9uiz3fbjz9y 1108835 1108833 2026-07-23T17:54:50Z Bocardodarapti 2041 1108835 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmisches Werkzeug, mit dem man die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl bestimmen kann. Insbesondere kann man damit untersuchen, ob eine Zahl prim ist oder nicht. {{Algorithmuslink|Primfaktorzerlegung}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ct7wn84lezgel0okn5fi96jcibw5jzl 1108836 1108835 2026-07-23T17:58:10Z Bocardodarapti 2041 1108836 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmisches Werkzeug, mit dem man die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl bestimmen kann. Insbesondere kann man damit untersuchen, ob eine Zahl prim ist oder nicht. {{Algorithmuslink|Primfaktorzerlegung}} Ab wie vielen Ziffern wird es spürbar schwieriger, eine Primzahl zu erwischen? Wer findet die größte Primzahl? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} r9651dxhjjrdx1lm59u9y23irwe9smo 0 172128 1108849 2026-07-24T07:17:56Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108849 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer schriftlicher Addierer. {{Algorithmuslink|SchriftlicheAddition|Schriftliche Addition}} Welche Geschwindigkeitsstufe entspricht Ihrer Additionsgeschwindigkeit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} g0t3helcd9hx1idorvnu631bufwocho 1108850 1108849 2026-07-24T07:19:08Z Bocardodarapti 2041 1108850 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer schriftlicher Addierer. {{Algorithmuslink|SchriftlicheAddition|Schriftliche Addition}} Welcher Geschwindigkeitsstufe des Algorithmus entspricht Ihre Additionsgeschwindigkeit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d8487n43t7xhpvqc0q70sry47q36wze 0 172129 1108862 2026-07-24T07:46:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108862 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer schriftlicher Addierer für das Siebenersystem. {{Algorithmuslink|SchriftlicheAdditionSiebenersystem|Schriftliche Addition im Siebenersystem}} Welcher Geschwindigkeitsstufe des Algorithmus entspricht Ihre Additionsgeschwindigkeit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7fhyhp61r5ayhmvaw89i9uwpzxl1vkr