Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.12 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1108908 1105460 2026-07-24T12:25:21Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) */ 1108908 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) :::::::Gut! [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:05, 12. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|Diskussion]])</bdi> 19:12, 23. Jun. 2026 (CEST) == Einbindung des Links zu den Rechts- und Sicherheitskontakten in die Fußzeile Ihres Wikis == <section begin="Message"/> '''Rechtliche Hinweise und Sicherheitshinweise''' Hallo Community, die Wikimedia Foundation hat eine [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|zentrale Kontaktseite für Rechts- und Sicherheitsfragen]] bereitgestellt, die in der Fußzeile eures Wikis verlinkt werden soll, um den Zugriff auf korrekte rechtliche Informationen zu gewährleisten. Dies ist eine gesetzliche Vorgabe. Wir haben bereits Links zu den englischen, deutschen, italienischen, spanischen und anderen Wikis eingerichtet und werden diese in Kürze auch in eurem Wiki einrichten. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Bitte lest mehr dazu auf der Projektseite]] und hinterlasst eure Kommentare in diesem Thread oder auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|Diskussionsseite]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25. Jun. 2026 (CEST) == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24. Jul. 2026 (CEST) </bdi> s6497xpnlnz08fbyk3x5y9kz1ijnlmf 1109029 1108908 2026-07-24T22:00:03Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt nach [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2026]] archiviert – letzte Bearbeitung: [[user:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] (24.07.2026 14:25:21) 1109029 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) :::::::Gut! [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:05, 12. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. 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Wir haben bereits Links zu den englischen, deutschen, italienischen, spanischen und anderen Wikis eingerichtet und werden diese in Kürze auch in eurem Wiki einrichten. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Bitte lest mehr dazu auf der Projektseite]] und hinterlasst eure Kommentare in diesem Thread oder auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|Diskussionsseite]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25. Jun. 2026 (CEST) == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies if this has not yet been translated into your wiki's language. {{int:Please-translate}} You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 14:25, 24. Jul. 2026 (CEST) </bdi> f3b0smbdqhqn42ffijxjhngk7xyzth5 106 12769 1109004 1108204 2026-07-24T17:24:49Z Bert Niehaus 20843 /* Singularität und Residuen */ 1109004 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> jojk5mryzvgj3dqnr9y16v7o298yyv0 1109033 1109004 2026-07-25T07:16:22Z Bert Niehaus 20843 /* Kurven und Wegintegrale */ 1109033 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] ** [[/Wegintegral ohne Wegableitung/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Randwegtransformation für Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], ** [[/Flächenintegrale und Residuen/]] * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Vektorfeld"></span> * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Wege in Vektorfeldern|holomorphe Wege in Vektorfeldern]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Wege%20in%20Vektorfeldern&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Wege als Lösungen von Differentialgleichungen/]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 4b1iuzvlpnex36h1hbybifd562wcokp 106 170031 1108903 1078004 2026-07-24T12:07:38Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke */ 1108903 wikitext text/x-wiki == Definition - Doppelintegral über Real- und Imaginärteil == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] bei der die Eckpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in K\subseteq G</math> und eine weiterer Punkt <math>z_o\in K </math> auf einer konvexen offenen Teilmengen <math>K\subseteq G</math>. Das Rechteck <math>R</math> sei mit <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in \mathbb{R}</math> als <math>R:= [a_1 ,b_1] +i\cdot [a_2,b_2]</math> gegeben. Dann wird das Doppelintegral über Real- und Imaginärteil von <math> f: G \to \mathbb{C} </math> wie folgt definiert: :<math id="Doppelintegral"> \iint_{R} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{b_1} f(x+iy) \, dx\, dy </math> === Bemerkung 1 - Bezug zur mehrdimensionalen Analysis === Die Integration in der mehrdimensionalen Analysis betrachtet integrable Funktionen <math>g: U \to \mathbb{R} </math>, die von <math>U\subseteq \mathbb{R}^n</math> nach <math>\mathbb{R}</math> abbilden. Wenn <math>g \geq 0</math> gilt, kann man das mehrdimensional Integral kann man zwischen :<math>R:= [a_1 ,b_1] \times \ldots \times [b_n,b_n] \subset U</math> und dem Graph von <math>g</math> eingeschlossene Volumen interpretieren. Allgemein ist das oben genannte Doppelintegral ein Spezialfall des Mehrfachintegral in der reellen Analysis: :<math> \int_{a_n}^{b_n} \ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots ,x_n) \, dx_1\, \ldots \, dx_n </math> === Bemerkung 2 - Zerlegung in Realteil- und Imaginärteilfunktion === Um den Bezug zur reellen Analysis deutlich zu machen, wird <math>\mathbb{C}</math> mit <math>\mathbb{R}^2</math> identifiziert und die Funktion <math>f</math> in die Realteilfunktion <math>f=f_1+i\cdot f_2</math> zerlegt: :<math> \begin{array}{rcl} f_{_\mathbb{R}}(x,y) & := & f(x+i\cdot y) = f_1(x+i\cdot y) +i\cdot f_2(x+i\cdot y) \\ & = & f_{_{\mathbb{R},1}}(x,y) +i\cdot f_{_{\mathbb{R},2}}(x, y) \\ \end{array} </math> Dabei gilt <math> f_{_{\mathbb{R}}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}</math> und die Funktionen <math> f_{_{\mathbb{R},1}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> und <math> f_{_{\mathbb{R},2}} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> sind klassische Funktionen aus der reellen mehrdimensionalen Analysis. <span id="Rechtecke"></span> == Beispiel 1 - Doppelintegral über Rechtecke == Sei <math>R:=[-1,+2]+i\cdot [+3,+5]</math> und <math>f(z):=z^2</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_R \!\!\! f(x+iy) \, dx\, dy & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} f(x + iy) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \int_{-1}^{+2} (x^2- y^2) + i\cdot(2 \cdot x\cdot y) \, dx \, dy \\ & = & \displaystyle \int_{+3}^{+5} \left[\left( \tfrac{x^3}{3} - xy^2\right) + i x^2y \right]_{-1}^{+2} \, dy \\ & = & \displaystyle \left[ \left[ \left( \tfrac{x^3y- xy^3}{3} + i \tfrac{x^2y^2}{2} \right) \right]_{-1}^{+2} \right]_{+3}^{+5} =-92 + 24i \\ \end{array} </math> <span id="Kreisschreiben"></span> == Beispiel 2 - Doppelintegral über Kreisscheiben == Wendet man die Definition des Doppelintegrals für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math> an. Im Beispiel erhält man als Integral auf der Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit der [[Transformationsformel]] für den Mittelpunkt <math>z_0 := 2+i \not=0</math> und [[Transformationsformel/Polarkoordinaten|Polarkoordinatentransformation]] der Kreisscheibe und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> den Wert über die folgende Berechnung. === Berechnung des Doppelintegrals === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} f(x+iy) \, dx \, dy & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\cdot r\cdot e^{it}\cdot z_{o} + (r\cdot e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \tfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \!\!\!\! z_0^2 \cdot r_o^2 \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \!\!\!\! \tfrac{2}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \cdot r_o^3 \cdot e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o^2 \cdot \pi}_{\in \mathbb{R}} = (3+4i)\cdot 9 \cdot \pi = 27\pi + 36\pi \cdot i \not=0 \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. == Aufgabe für Studierende == Erläutern Sie die Unterschiede in der Integraldefinition von folgenden 3 Integralbegriffen für [[holomorphe Funktion|holomorphe Funktionen]] <math> f : G \to \mathbb{C} </math> auf einem Gebiet <math>G</math>: * [[Wegintegral]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Definition_Flächenintegrale|komplexes Flächenintegral über Stammfunktionen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil#Doppelintegral|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[komplexe Flächenintegrale über Stammfunktionen|Definition - komplexe Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Wegintegrale und Flächenintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 7jz1g48981gxv6o1b072uhsvwysa42v 106 170062 1108899 1108898 2026-07-24T12:00:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe */ 1108899 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ec1kmvmzu09zwziuvy2nopswqcmofjs 1108901 1108899 2026-07-24T12:04:38Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche */ 1108901 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ebazswgwv3ffcpmhaai4fp74xhkvju0 1108904 1108901 2026-07-24T12:11:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe */ 1108904 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 00jimt4rf97301y8ipel7b42uzl3cpz 1108905 1108904 2026-07-24T12:14:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche */ 1108905 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 3zxws6taoeb4q1ipz1f9s9hk5r1urw6 1108906 1108905 2026-07-24T12:20:44Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche */ 1108906 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4n4uooylqy22xk76w2cm4a1k8fx0j38 1108907 1108906 2026-07-24T12:23:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 4 - Ellipse */ 1108907 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Beispiel 3.2 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert des Flächenintegrals über die [[orientierte Fläche]] verschwindet im Vergleich zu Beispiel 3.1 in diesem Fall(siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Integral0|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(r_oe^{2\pi}) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] c9q6lbinyc4zbmewy0kqg4muxjpt6fa 1108909 1108907 2026-07-24T12:28:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.2 - Integral über orientierten Kreisfläche */ 1108909 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits, die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] korrekt darstellen und andererseits verträglich mit [[Wegintegral|Wegintegralen]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Beispiel 3.2 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert des Flächenintegrals über die [[orientierte Fläche]] verschwindet im Vergleich zu Beispiel 3.1 in diesem Fall unbehängig vom Kreismittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_o > 0</math> (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Integral0|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\Box(z_0+r_oe^{2\pi i}) - F_\Box(z_0+0e^{2\pi})- F_\Box(z_0+r_oe^{0i}) + F_\Box(z_0+0e^{0i})\\ & = & F_\Box(z_0+r_o) - F_\Box(z_0)- F_\Box(z_0+r_o) + F_\Box(z_0)\\ & = & 0 \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] cfrdw9r070shg7nntsr5yxwe2hrt06l 1108998 1108909 2026-07-24T17:09:49Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1108998 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] analog zu mehrdimensionalen [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] darstellen und andererseits verträglich mit dem Begriff der [[Wegintegral|Wegintegrale]] für holomorphe Funktionen sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Beispiel 3.2 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert des Flächenintegrals über die [[orientierte Fläche]] verschwindet im Vergleich zu Beispiel 3.1 in diesem Fall unbehängig vom Kreismittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_o > 0</math> (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Integral0|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\Box(z_0+r_oe^{2\pi i}) - F_\Box(z_0+0e^{2\pi})- F_\Box(z_0+r_oe^{0i}) + F_\Box(z_0+0e^{0i})\\ & = & F_\Box(z_0+r_o) - F_\Box(z_0)- F_\Box(z_0+r_o) + F_\Box(z_0)\\ & = & 0 \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] p44esyv6ddzyk0owzaygg5j18j23xzv 1108999 1108998 2026-07-24T17:11:06Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1108999 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] analog zu mehrdimensionalen [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] darstellen und andererseits eine [[orientierte Fläche]] verträglich mit dem Begriff der [[Wegintegral|Wegintegrale]] für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Beispiel 3.2 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert des Flächenintegrals über die [[orientierte Fläche]] verschwindet im Vergleich zu Beispiel 3.1 in diesem Fall unbehängig vom Kreismittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_o > 0</math> (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Integral0|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\Box(z_0+r_oe^{2\pi i}) - F_\Box(z_0+0e^{2\pi})- F_\Box(z_0+r_oe^{0i}) + F_\Box(z_0+0e^{0i})\\ & = & F_\Box(z_0+r_o) - F_\Box(z_0)- F_\Box(z_0+r_o) + F_\Box(z_0)\\ & = & 0 \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 11z9c976ghipb6qt7e4gp6scm0nx1ug 1109021 1108999 2026-07-24T18:50:13Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe */ 1109021 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] analog zu mehrdimensionalen [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] darstellen und andererseits eine [[orientierte Fläche]] verträglich mit dem Begriff der [[Wegintegral|Wegintegrale]] für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Beispiel 3.2 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert des Flächenintegrals über die [[orientierte Fläche]] verschwindet im Vergleich zu Beispiel 3.1 in diesem Fall unbehängig vom Kreismittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_o > 0</math> (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Integral0|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\Box(z_0+r_oe^{2\pi i}) - F_\Box(z_0+0e^{2\pi})- F_\Box(z_0+r_oe^{0i}) + F_\Box(z_0+0e^{0i})\\ & = & F_\Box(z_0+r_o) - F_\Box(z_0)- F_\Box(z_0+r_o) + F_\Box(z_0)\\ & = & 0 \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 45jb6wd99beoa4kq219nady4tp8xnh7 1109026 1109021 2026-07-24T18:55:46Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1109026 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei den Flächenintegralen betrachtet man Stammfunktionen zweiter Ordnung (also Stammfunktionen von Stammfunktionen). Die Flächenintegralen sollen dabei einerseits die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] analog zu mehrdimensionalen [[Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktionen]] darstellen und andererseits eine [[orientierte Fläche]] verträglich mit dem Begriff der [[Wegintegral|Wegintegrale]] für holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> sein. == Definition - Lebesgue-Maß für holomorphe Funktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]]. Die Rechtecke in <math>G</math> stellen den Erzeuger der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen]] <math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> auf einer konvexen Menge <math>G</math>. Das Flächenintegral über Stammfunktionen ist das [[w:de:Lebesgue-Maß|Lebesgue-Maß]] auf dem Funktionenraum der integrablen Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, dass von dem Erzeuger aller abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]\subset G</math> auf ganz <math>\mathcal{B}(G)</math> [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|erweitert]] wird. === Bemerkung - Maßerweiterung - Mengenring === Das Erzeugendensystem der abschlossenen konvexen Rechtecke <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> wird für die Maßerweiterung auf <math>\mathcal{B}(G)</math> zu einem [[w:de:Ring (Mengensystem)|Mengenring]] erweitert und dann mit dem [[w:de:Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] zu einem Maß auf <math>\mathcal{B}(G)</math> erweitert. Die Maßtheorie ist allerdings kein Gegenstand der Vorlesung zu [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] und wird daher nicht weiter ausgeführt. === Rechtecke als Spezialfall für komplexe Flächen === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> oder eine offene Kreisscheibe <math>D_r(z_0)= \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_o| < r \}</math> um <math>z_0</math> mit Radius <math> r > 0 </math> sind Spezialfälle für messbare Mengen. Für eine Behandlung von komplexen Flächen in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden komplex orientierte Flächen analog zum Wegintegral <math>\gamma :[a,b] \to \mathbb{C}</math> als Abbildung von einem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> betrachtet. [[File:Flaechenintegration v10.png|thumb|Rechteck mit vier Eckpunkten in den komplexen Zahlen]] <span id="orientierteFlaeche"></span> == Definition - komplexe orientierte Fläche == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann bezeichnet <math>\gamma</math> eine komplexe orientierte Fläche und [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. === Veranschaulichung - orientierte Fläche als Animation === [[Datei:Flaechenintegral Rechteck v3.gif|400px|center|alternativtext=orientierte Fläche als Animation|orientierte Fläche als Animation]] == Definition - normalisierte orientierte Fläche == Eine komplexwertige orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> heißt normalisiert, wenn der Definitionsbereich der orientierten Fläche das Einheitsqudrat in <math>[0,1]\times [0,1] \subseteq \mathbb{R}^2</math> ist. === Beispiel 1 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Menge wird als Abbildung beschrieben. Das Rechteck <math>R</math> kann man als komplexe [[orientierte Fläche]] auffassen, wenn man Bild von <math>R</math> z.B. durch die Abbildung <math>\gamma(t_1,t_2)=t_1+i\cdot t_2</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> beschreibt. Die Orientierung ist dann <math>Grad(\gamma)(t_1,t_2)=(1,i)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Beispiel 1.1 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Behält man das Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> als Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> bei, so kann man die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma</math> mit dem Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> über die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration als Spezialfall der [[Transformationsformel]] für die Transformation von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,1]\times [0,1]</math>. Die Orientierung verändert sich durch Umparametrisierung und ist dann <math>Grad(\gamma_1)(t_1,t_2)=\big(b_1-a_1,i\cdot (b_2-a_2) \big)\in \mathbb{C}^2</math> in <math>\gamma_1(t_1,t_2)</math> definiert. ==== Aufgabe 1.2 - Normalisierung der orientierten Fläche ==== Zeigen Sie, dass sich das Flächenintegral durch die Normalisierung von <math>\gamma</math> zu <math>\gamma_1</math> nicht verändert. Verwenden Sie dazu die [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] der Integration! === Beispiel 2 - Rechteck === Ein Rechteck <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> ist eine Teilmenge von <math>\mathbb{C}</math> und die Orientierung hängt von der Wahl der Abbildung <math>\gamma</math> ab. Dazu definiert man die Eckpunkte von <math>R</math> als komplexe Zahlen ==== Definition der Eckpunkte vom Rechteck ==== Die Eckpunkte ergeben sich auf der Intervalldarstellung von <math>R=[a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math>: * <math>z_1 = a_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_2 = b_1 + i\cdot a_2</math> * <math>z_3 = a_1 + i\cdot b_2</math> * <math>z_4 = a_2 + i\cdot b_2</math> ==== Rechteck als Konvexkombination ==== Das Rechteck <math>R</math> kann man nun alternativ auch über [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] darstellen. Die komplexe orientierte Fläche <math>\widehat{\gamma}</math> ist dann die Abbildung: :<math> \widehat{\gamma}(t_1,t_2) = z_1 +t_1\cdot (z_2 - z_1) \,\,\, +\,\,\, t_2\cdot (z_3-z_1) </math> Die Orientierung ist dann über den Gradienten :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(z_2-z_1,z_3-z_1)\in \mathbb{C}^2 </math> in <math>\widehat{\gamma}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beispiel 2 - Dreieck - Konvexkombinationen === Ein abgeschlossenes Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)\subset \mathbb{C}</math> bezeichnet die Menge aller [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] der Eckpunkte (siehe auch [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]). Jeder Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,z_3)</math> lässt sich damit über <math>0 \le \lambda_i \le 1</math> und <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> wie folgt beschreiben (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]): : <math> z = \lambda_1 \cdot z_1 + \lambda_2 \cdot z_2 + \lambda_3 \cdot z_3 </math> ==== Dreieck als Abbildung ==== Durch die Abhängigkeit der Skalare <math>\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1 </math> kann man das Dreieck wie folgt über ein Einheitsquadrat <math>[0,1] \times [0,1]</math> als Definitionbereich der komplexen Fläche definieren. Eine Konvexkombination ist dabei :<math> K(t,z,\widehat{z\,}):= (1-t)\cdot z + t \cdot \widehat{z\,} </math> ==== Orientierte Fläche über Konvexkombinationen ==== Die komplex orientierte Fläche kann nun als Konvexkombination von zwei Konvexkombinationen beschrieben werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta} : [0,1] \times [0,1] & \to & \mathbb{C} \\ (t_1,t_2) & \mapsto & K\big(t_2,K(t_1,z_1,z_2),K(t_1,z_1,z_3)\big) \end{array} </math> ==== Abbildung in Abhängigkeit von den Eckpunkten ==== Durch Einsetzen der Definition der [[Konvexkombination]] erster Ordnung erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & (1-t_2)\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_2 }_{=z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1} \big) + t_2\big( \underbrace{ (1-t_1) z_1 + t_1 z_3 }_{=z_1+(z_3-z_1)\cdot t_1} \big) \\ & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \end{array} </math> Dabei wurde <math>(1-t_2)\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> und <math>t_2\cdot \big( z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1\big)</math> zu <math>z_1+(z_2-z_1)\cdot t_1</math> zusammengefasst. Analog wurde dies für den zweiten Term <math>(z_3-z_1)\cdot t_2</math> durchgeführt. ==== Veranschaulichung 1 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1, während <math>t_2=\tfrac{1}{5}</math> gewählt wurde. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2a.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Veranschaulichung 2 - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Die folgenden Veranschaulichung zeigt den Zusammenhang zu Wegintegralen, die in diesem Fall als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombinationen dargestellt werden. In der Animation wächst <math>t_1</math> von 0 zu 1. In diesem Fall ist aber das <math>t_2</math> mit <math>t_2=\tfrac{3}{4}</math> gewählt worden. Dadurch bewegen sich der Punkt <math>z=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> bei wachsendem <math>t_1</math> an einer anderen Stelle durch die Dreiecksfläche. Insgesamt werden alle Punkt <math>z\in \Delta(z_1,z_2,3)</math> über <math>\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)=z</math> mit <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> dargestellt. [[File:Flaechenintegral Intergrationwege v2b.gif|350px|center|Triangle and line integral - Animation with a small t2 - Geogebra GIF export]] ==== Bemerkung - Konvexkombination von Konvexkombinationen ==== Der rote animierte Integration ist die Konvexkombination der Konvexkombination. Dazu werden zunächst der Anfangspunkt und Endpunkt als Konvexkombinationen <math>z_{2,t_1}:=K(t_1,z_1,z_2)</math> und <math>z_{3,t_1}:=K(t_1,z_1,z_3)</math> gewählt und dann auf dem roten Integrationsweg <math>\gamma_{3,t_1}</math> der Punkt <math>z\in\mathbb{C}</math> als Konvexkombination <math>\gamma_{3,t_1}(t_2)=K(t_2,z_{2,t_1},z_{2,t_1})</math> berechnet. <span id="OrientierungDreieck"></span> ==== Gradient - Orientierung von Punkte der Fläche ==== Der Gradient der Fläche ist mit der Umrechnung der Darstellung über Konvexkombinationen direkt abzulesen: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_\Delta}(t_1,t_2) & = & z_1 + (z_2-z_1)\cdot t_1 + (z_3-z_2)\cdot t_1 \cdot t_2 \\ Grad\left(\gamma_{_\Delta}\right)(t_1,t_2) & = & \bigg((z_2-z_1) + (z_3-z_2)\cdot t_2\,\,\, , \,\,\, (z_3-z_2)\cdot t_1 \bigg) \in \mathbb{C}^2 \end{array} </math> ==== Veranschaulichung - Gradient für orientierte Flächen ==== Der Gradient einer orientierten Fläche besteht mit den partiellen Ableitungen aus zwei komplexen Zahlen. Diese komplexen Zahlen wurden in der folgenden Animation als Vektoren in grün an der Stelle <math>z=\gamma(t_1,t_2)</math> im Dreieck <math>\Delta(z_1,z_2,z_3)</math> eingetragen. [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|350px|center|Visualization of gradient for surface integral in complex analysis]] === Beispiel 3 - Kreisscheibe === Eine abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}=\{z\in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0|\leq r \}</math> parametrisiert man analog zu den Wegintegralen über Kreisränder (siehe [[Cauchy-Integralformel]]) mit [[w:de:Polarkoordinaten|Polarkoordninaten]] für eine Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe. Man kann nun unterschiedliche orientierte Flächen auf der abgeschlossenen Kreisscheibe definieren, dessen Integral unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Orientierung auf <math>\overline{D_r(z_0)}</math> liefert. ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> ==== Beispiel 3.1 - Animation der orientierten Kreisfläche ==== Die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|geometrische Herleitung]] findet sich in der Lerneinheit zu [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]: [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispiel 3.1 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert der Integration über die [[orientierte Fläche]] ist nicht 0 (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#GeoOrientedSurface|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. ==== Beispiel 3.2 - orientierte Kreisscheibe über Radius und Rotation ==== <math>\gamma</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma : [0,r] \times [0,2\pi] & \to & \mathbb{C} \quad \quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad\quad \quad \quad \\ (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma(t_1,t_2) = z_0 + t_1\cdot e^{i\cdot t_2} \\ \end{array} </math> ==== Beispiel 3.2 - Gradient der orientierte Kreisscheibe ==== Die Orientierung an der Stelle <math> \gamma_\circ(t_1,t_2) </math> kann wieder über den Gradienten direkt angeben: :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=\big(e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 e^{i\cdot t_2} \big)</math> ==== Beispiel 3.2 - Animation für orientierte Kreisscheibe ==== Wenn man die folgende Animation mit der Animation aus Beispiel 3.1 vergleicht, erkennt man die unterschiedliche Orientierung in den Punkten der Kreisscheibe: [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Beispiel 3.2 - Integral über orientierten Kreisfläche ==== Der Wert des Flächenintegrals über die [[orientierte Fläche]] verschwindet im Vergleich zu Beispiel 3.1 in diesem Fall unbehängig vom Kreismittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_o > 0</math> (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Integral0|Details der Berechnung]]) :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\Box(z_0+r_oe^{2\pi i}) - F_\Box(z_0+0e^{2\pi})- F_\Box(z_0+r_oe^{0i}) + F_\Box(z_0+0e^{0i})\\ & = & F_\Box(z_0+r_o) - F_\Box(z_0)- F_\Box(z_0+r_o) + F_\Box(z_0)\\ & = & 0 \end{array} </math> In einem konvexen Gebiet <math>G</math> hängt da [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] über eine [[orientierte Fläche]] von Bildpunkten der Ecken des Definitionsbereiches <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> von <math>\gamma_\circ </math> und der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> von <math>f</math> ab. === Beispiel 4 - Ellipse === <span id="Definition"></span> == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Ellipsen|Flächenintegrale über Ellipsen]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] sls8kbsv8wkuz0ealmia4gv31jrlnsq 106 170179 1108900 1108895 2026-07-24T12:02:03Z Bert Niehaus 20843 /* Geometrische Herleitung */ 1108900 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kuol78xfdl1r71bub6itxu4y1opvpwq 1108902 1108900 2026-07-24T12:05:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben */ 1108902 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4bgai6pavoqyn2w5q0an86o56vhr77k 1108910 1108902 2026-07-24T12:29:50Z Bert Niehaus 20843 /* Verschwindende orientierte Kreisflächen */ 1108910 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lchc82cmjibf33lt6w5hqittfvprwo9 1108911 1108910 2026-07-24T12:30:19Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals */ 1108911 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_\circ(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0ty52jmzp8j296x6tgf17dheau1nthl 1108912 1108911 2026-07-24T12:30:47Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals */ 1108912 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_\circ(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_\circ(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_\circ(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_\circ(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jasrjbivz6l7pas8ykuv2qeh5r2yg90 1108913 1108912 2026-07-24T12:31:04Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals */ 1108913 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] altplc3x1woegikzx78eld8l1n7lja9 1108914 1108913 2026-07-24T12:31:25Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals */ 1108914 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r1enp31tt6420n8b55gdazo1e5nvifs 1108915 1108914 2026-07-24T12:32:14Z Bert Niehaus 20843 /* Integralgrenzen der orientierte Fläche */ 1108915 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der Berechnungsformel für Flächenintegral für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7i9nee6linqyvvosvygayl5x6vit44n 1108916 1108915 2026-07-24T12:33:23Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals */ 1108916 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der [[Berechnungsformel für Flächenintegral]] für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c1s8buixypwlanu9hhwe99w4l5whdia 1108977 1108916 2026-07-24T16:33:56Z Bert Niehaus 20843 /* Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 */ 1108977 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der [[Berechnungsformel für Flächenintegral]] für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(0)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>. Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>0</math> werden später um <math>z_0</math> auf die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>z_0</math> verschoben: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qc5gynsrnvu60prahkavdxipjwqqu9x 1108978 1108977 2026-07-24T16:34:27Z Bert Niehaus 20843 /* Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 */ 1108978 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der [[Berechnungsformel für Flächenintegral]] für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(0)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>. Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>0</math> werden später um <math>z_0</math> auf die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>z_0</math> verschoben: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen dann auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ez5flpf6h86l3s8gx5i1m1vra8ysdyi 1108979 1108978 2026-07-24T16:35:36Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 */ 1108979 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der [[Berechnungsformel für Flächenintegral]] für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(0)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>. Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>0</math> werden später um <math>z_0</math> auf die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>z_0</math> verschoben: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen dann auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] stpvx8tdaeqwivx0l0qpa3u9253rxoz 1108980 1108979 2026-07-24T16:37:20Z Bert Niehaus 20843 /* Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 */ 1108980 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der [[Berechnungsformel für Flächenintegral]] für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>. Eine [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>0</math> wird dabei mit <math>z_0</math> auf die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>z_0</math> verschoben: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_0 + r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen dann auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fan68atvx9uxk8qhst8d1d87qhc6oty 1109003 1108980 2026-07-24T17:23:35Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1109003 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine [[Wegintegral|Wegintergale]] über Kreisränder, sondern [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|Flächenintegrale]] über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der [[Berechnungsformel für Flächenintegral]] für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>. Eine [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>0</math> wird dabei mit <math>z_0</math> auf die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>z_0</math> verschoben: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_0 + r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen dann auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7jv4mh5hsgg4um0r0k7feuik2vfq01p 4 170347 1109030 1081356 2026-07-24T22:00:09Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt aus [[Wikiversity:Cafeteria]] archiviert 1109030 wikitext text/x-wiki {{Archiv|Wikiversity:Cafeteria}} == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:44, 16. Jan. 2026 (CET) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:11, 3. Apr. 2026 (CEST) == Jährliche Überprüfung des Universal Code of Conduct und der Durchsetzungsrichtlinien == <section begin="announcement-content" /> Ich möchte euch gerne darüber informieren, dass die jährliche Überprüfungsphase für den Universal Code of Conduct und die Durchsetzungsrichtlinien nun begonnen hat. Ihr könnt bis zum 9. Februar 2026 Änderungsvorschläge einreichen. Dies ist der erste von mehreren Teilschritten, die im Rahmen der jährlichen Überprüfung unternommen werden. Weitere Informationen und eine Diskussion, an der ihr teilnehmen könnt, finden sich auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|UCoC-Seite auf Meta]]. Das [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und einheitliche Umsetzung des UCoC einsetzt. Diese jährliche Überprüfung wird vom U4C geplant und durchgeführt. Weitere Informationen und die Aufgaben des U4C findet ihr in der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|U4C-Satzung]]. Bitte leitet diese Informationen an andere Mitglieder aus eurer Community weiter, wo immer dies angemessen ist. -- In Zusammenarbeit mit dem U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|Diskussion]])<section end="announcement-content" /> 22:02, 19. Jan. 2026 (CET) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == [[Benutzer:Methodios]]‘ Sperre in Wikipedia == Da der entsprechende Benutzer [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Vandalismusmeldung&diff=prev&oldid=264177803 in der Wikipedia wegen klarem Rassismus (11. Februar 2026) gesperrt] wurde, sollte man auch hier darüber nachdenken, ob man dem Benutzer die Schreibrechte entzieht. Ich meine, er ist ja auch hier oft wegen ähnlicher Aussagen aufgefallen. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-94362-3|&#126;2026-94362-3]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-94362-3|Diskussion]]) 13:43, 11. Feb. 2026 (CET) : Was hätte man anderes erwarten sollen? Das musste ja so kommen. -[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-12113-21|&#126;2026-12113-21]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-12113-21|Diskussion]]) 19:21, 23. Feb. 2026 (CET) :: Anscheinend versucht Herr Methodios die Diskussion zu stören. Kein Wunder, wo man jetzt seine Gesinnung entlarvt hat. Die falsche Unterschrift habe ich jedenfalls entfernt, da es Vandalismus war.-[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-19907-85|&#126;2026-19907-85]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-19907-85|Diskussion]]) 16:42, 31. Mär. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == Jährliche Überprüfung des Universal Code of Conduct und der Durchsetzungsrichtlinien == <section begin="announcement-content" /> Ich möchte euch gerne darüber informieren, dass die jährliche Überprüfungsphase für den Universal Code of Conduct und die Durchsetzungsrichtlinien nun begonnen hat. Ihr könnt bis zum 9. Februar 2026 Änderungsvorschläge einreichen. Dies ist der erste von mehreren Teilschritten, die im Rahmen der jährlichen Überprüfung unternommen werden. Weitere Informationen und eine Diskussion, an der ihr teilnehmen könnt, finden sich auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|UCoC-Seite auf Meta]]. Das [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) ist eine globale Gruppe, die sich für eine gerechte und einheitliche Umsetzung des UCoC einsetzt. Diese jährliche Überprüfung wird vom U4C geplant und durchgeführt. Weitere Informationen und die Aufgaben des U4C findet ihr in der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|U4C-Satzung]]. Bitte leitet diese Informationen an andere Mitglieder aus eurer Community weiter, wo immer dies angemessen ist. -- In Zusammenarbeit mit dem U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|Diskussion]])<section end="announcement-content" /> 22:02, 19. Jan. 2026 (CET) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == [[Benutzer:Methodios]]‘ Sperre in Wikipedia == Da der entsprechende Benutzer [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikipedia:Vandalismusmeldung&diff=prev&oldid=264177803 in der Wikipedia wegen klarem Rassismus (11. Februar 2026) gesperrt] wurde, sollte man auch hier darüber nachdenken, ob man dem Benutzer die Schreibrechte entzieht. Ich meine, er ist ja auch hier oft wegen ähnlicher Aussagen aufgefallen. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-94362-3|&#126;2026-94362-3]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-94362-3|Diskussion]]) 13:43, 11. Feb. 2026 (CET) : Was hätte man anderes erwarten sollen? Das musste ja so kommen. -[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-12113-21|&#126;2026-12113-21]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-12113-21|Diskussion]]) 19:21, 23. Feb. 2026 (CET) :: Anscheinend versucht Herr Methodios die Diskussion zu stören. Kein Wunder, wo man jetzt seine Gesinnung entlarvt hat. Die falsche Unterschrift habe ich jedenfalls entfernt, da es Vandalismus war.-[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-19907-85|&#126;2026-19907-85]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-19907-85|Diskussion]]) 16:42, 31. Mär. 2026 (CEST) :<small>Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 17:37, 25. Mai 2026 (CEST)</small> == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) f6r875h2ierrilq8wpv5ctqnb4o1c8p 106 170614 1108955 1108583 2026-07-24T15:35:00Z Bocardodarapti 2041 1108955 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Die Pausenaufgabe}} {{ inputaufgabe |Oma Müller/Viele Kekse/Division mit Rest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Rechenbeispiel/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Rechenbeispiel/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/N/Konfiguration/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Teilbarkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/N/qd+s/Rest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Hundert/Durch d/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest/Durch 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Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] 9r5au9mtag3apt4txz4dqoy8ovexick 1108982 1108981 2026-07-24T16:41:58Z Bert Niehaus 20843 /* Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche */ 1108982 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen Stammfunktionen 2. Ordnung (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] atitx5uhgca4n90lby7dfd0vpbg2yyx 1108983 1108982 2026-07-24T16:42:58Z Bert Niehaus 20843 /* Notation - Flächenintegrale */ 1108983 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. === Aufgabe für Studierende === Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] 96dq1cpmzxyqpdfmzvqil5k8j99baaq 1108984 1108983 2026-07-24T16:44:20Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1108984 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen Gebieten lautet: == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] j3pib5ez53npg86jbsodqyrp2hglafj 1108985 1108984 2026-07-24T16:46:37Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnungsformel für Flächenintegrale */ 1108985 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math>: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = </math> == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] p57ggn68t7hxzd6nra582hs291qz7m6 1108986 1108985 2026-07-24T16:47:36Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnungsformel für Flächenintegrale */ 1108986 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = </math> == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] ktk40x4hvrlesjmuxsrc6rd08x4s5yl 1108987 1108986 2026-07-24T16:51:42Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnungsformel für Flächenintegrale */ 1108987 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) </math> Dabei sind <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> die Bildpunkte der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math>. === Bemerkung - Position der Bildpunkte === Die Bildpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math> müssen nicht die Eckpunkte eines Rechtecks in der Gaußenschen Zahlenebene darstellen. == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] kdfvqj7cw9rs0of85hj0x5zvijnpnz9 1108988 1108987 2026-07-24T16:51:52Z Bert Niehaus 20843 /* Lerneinheiten */ 1108988 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) </math> Dabei sind <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> die Bildpunkte der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math>. === Bemerkung - Position der Bildpunkte === Die Bildpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math> müssen nicht die Eckpunkte eines Rechtecks in der Gaußenschen Zahlenebene darstellen. == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] 1rzcnipq7q32cyi7hrrtmhstwb1bc9u 1108989 1108988 2026-07-24T16:52:07Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1108989 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) </math> Dabei sind <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> die Bildpunkte der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math>. === Bemerkung - Position der Bildpunkte === Die Bildpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math> müssen nicht die Eckpunkte eines Rechtecks in der Gaußenschen Zahlenebene darstellen. == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Residuen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] a5j2aakm36rd0q75oh8ip19gghaw6ps 1108990 1108989 2026-07-24T16:54:54Z Bert Niehaus 20843 /* Residuen */ 1108990 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) </math> Dabei sind <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> die Bildpunkte der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math>. === Bemerkung - Position der Bildpunkte === Die Bildpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math> müssen nicht die Eckpunkte eines Rechtecks in der Gaußenschen Zahlenebene darstellen. == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Residuen und orientierte Flächen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). * [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] können ebenfalls Polstellen einschließen und damit einen Beitrag zum Flächenintegral liefern. == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] dqez9fvoro8wxkqwnqav7ft2ge80kvp 1108991 1108990 2026-07-24T16:56:12Z Bert Niehaus 20843 /* Residuen und orientierte Flächen */ 1108991 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) </math> Dabei sind <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> die Bildpunkte der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math>. === Bemerkung - Position der Bildpunkte === Die Bildpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math> müssen nicht die Eckpunkte eines Rechtecks in der Gaußenschen Zahlenebene darstellen. == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Residuen und orientierte Flächen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). * [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] können ebenfalls Polstellen einschließen und damit einen Beitrag zum Flächenintegral liefern (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale und Residuen|Flächenintegrale und Residuen]]). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] chmkw91clcuxnzdj0ep8zhciy939ztq 1108992 1108991 2026-07-24T16:56:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1108992 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) </math> Dabei sind <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> die Bildpunkte der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math>. === Bemerkung - Position der Bildpunkte === Die Bildpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math> müssen nicht die Eckpunkte eines Rechtecks in der Gaußenschen Zahlenebene darstellen. == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Residuen und orientierte Flächen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). * [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] können ebenfalls Polstellen einschließen und damit einen Beitrag zum Flächenintegral liefern (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale und Residuen|Flächenintegrale und Residuen]]). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale und Residuen|Flächenintegrale und Residuen]] hwoeaev7codr4ii594eur1r44kko7k0 1109002 1108992 2026-07-24T17:22:23Z Bert Niehaus 20843 /* Berechnungsformel für Flächenintegrale */ 1109002 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Flächenintegrale haben im Vergleich zu Wegintegralen ist eine Intergal über eine [[orientierte Fläche]], die einen zweidimensionalen Definitionsbereich <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\subset \mathbb{R}^2</math> besitzt. Ein Wegintegral hat nur einen eindimensionalen Defintionsbereiche <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math>. Das Flächenintegral ist dabei von der Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] abhängig. === Lerneinheiten === * [[Definition Flächenintegral]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Definition - orientiertes Flächenintegral == Sei <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> eine komplexe [[orientierte Fläche]] eine stetigen [[w:de:Partielle_Ableitung|partiellen Ableitungen]] <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, dann wird das Flächenintegral über <math>\gamma</math> wie folgt definiert: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> === Notation - Flächenintegrale === Die Flächenintegral über <math>\gamma</math> werden mit einem Doppenintegral <math>\iint_\gamma \ldots </math> und <math>\ldots \, d^2\!z\, </math> notiert, um diese von einem [[Wegintegral]] über einen Integrationsweg <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> von einem Flächenintegral über eine komplexe orientierte Fläche <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> unterscheiden zu können. Ferner zeigt <math> d^2\!z\, </math>, dass bei dem Flächenintegralen [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen 2. Ordnung]] (d.h. Stammfunktion einer Stammfunktion) bei der Berechnung eine wesentliche Rolle spielen. === Bemerkung - Wegintegral - Flächenintegral === Die stetigen partiellen Ableitung aus dem Gradienten [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math> gehen wie bei der Definition der [[Wegintegral|Wegintegralen]] jeweils komponentenweisen für <math>t_1</math> und <math>t_2</math> in die Definition der Wegintegrale für das Flächenintegral mit ein. Die obigen Animationen für das Dreieck zeigt, wie man diese Doppelintegral aus zwei Wegintegralen definieren kann. <span id="Berechnungsformel"></span> == Berechnungsformel für Flächenintegrale == Die Berechnungsformel für Flächenintegrale auf konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] <math>G</math> lautet für eine holomorphe Funktion <math>f: G\to \mathbb{C}</math> mit [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> lautet: :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z = F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{3}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) </math> Dabei sind <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> die Bildpunkte der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math>. === Bemerkung - Position der Bildpunkte === Die Bildpunkte <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> der Ecken von dem Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] </math> müssen nicht die Eckpunkte eines Rechtecks in der Gaußenschen Zahlenebene darstellen. == Aufgabe für Studierende == Welchen Bedeutung hat der Gradient <math>Grad(\gamma)=(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2})</math>? Versuchen Sie den Gradienten geometrisch zu interpretieren, indem Sie ein Argument <math>t_2</math> festhalten und dann <math>\tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2)</math> in die Gaußsche Zahlenebene an der Stelle <math>\gamma(t_1,t_2)</math> als komplexen Vektor mit Anfangspunkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\mathbb{C}</math> einzeichnen. === Bemerkungen zu Geogebra === Wenn man in [[Geogebra]] einen Punkt <math>Z\in\mathbb{R}^2</math> als komplexe Zahl <math>z=z_1+iz_2\in \mathbb{C}</math> interpretieren möchte, so kann man den Realteil <math>z_1</math> über <math>x(Z)</math> und den Imaginärteil <math>z_1</math> über <math>y(Z)</math> darstellen. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen <math>a=a_1+ia_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>A</math> und <math>b=b_1+ib_2\in \mathbb{C}</math> als Punkt <math>B</math> kann so auch algebraisch dargestellt werden: M : ( x(A)*x(B)-y(A)*y(B) , x(A)*y(B)+y(A)*x(B) ) === Abhängigkeit - Definition der orientierten Fläche === * Im Gegensatz zu [[Wegintegral|Wegintegralen]] holomorpher Funktionen sind Flächenintegrale im Allgemeinen von der [[orientierte Fläche|Orientierung der Fläche]] abhängig. * Ist <math>f: G \to \mathbb{C}</math> holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet <math>G</math>, das das Bild der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] enthält, dann ist das Integral nur von den 4 Eckpunkte <math>\gamma(a_1,a_2),\, \gamma(a_1,b_2),\, \gamma(b_1,a_2),\, \gamma(b_1,b_2) \in G </math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in diesem Gebiet <math>G</math>. === Residuen und orientierte Flächen === * Das [[Residuum]] einer Funktion <math>f(z)</math> an einer isolierten Singularität <math>z_0</math> misst den Beitrag zum Integral bei Umrundung dieser Singularität. * Es gibt Formeln zur Berechnung von [[Residuum|Residuen]], abhängig von der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Ordnung des Pols]] (z.B. einfacher Pol). * [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] können ebenfalls Polstellen einschließen und damit einen Beitrag zum Flächenintegral liefern (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale und Residuen|Flächenintegrale und Residuen]]). == Siehe auch == * [[Definition Flächenintegral]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuum#Pole|Pole und Ordnung der Pole]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale und Residuen|Flächenintegrale und Residuen]] 3o1imlo2tt3ih3rywmnw1uskv4h4c1n 106 171533 1109039 1108793 2026-07-25T08:22:24Z Björn Henrich 41518 /* Das Newton-Verfahren */ 1109039 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Analysis:''' Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen, Extremwertbestimmung und Analyse von Hoch- und Tiefpunkten. * '''Funktionen und funktionale Zusammenhänge:''' Modellierung der Windgeschwindigkeit und Leistung durch Funktionen sowie Untersuchung von Abhängigkeiten. * '''Regression:''' Annäherung von Messdaten durch eine polynomiale Regressionsfunktion. * '''Numerische Verfahren:''' Anwendung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung von Extremstellen. * '''Optimierung:''' Suche nach dem optimalen Standort durch Maximierung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Leistung. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von GeoGebra zur Regression, Visualisierung und Analyse mathematischer Modelle. ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden (siehe Literatur- und Quellennachweise): <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *<math> x=-15 </math> steht für die nördliche Landesgrenze Deutschlands *<math> x=0 </math> repräsentiert die Mitte Deutschlands *<math> x=15 </math> steht für die südliche Landesgrenze Deutschlands Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (x-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> [[File:Regressionskurve.png|thumb|800px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. == Bestimmung des Maximums mit der abc-Formel / Mitternachtsformel == Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form <math>ax^2+bx+c=0</math> verwendet. Formel: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Dabei sind: * <math>a</math> = Koeffizient vor <math>x^2</math> * <math>b</math> = Koeffizient vor <math>x</math> * <math>c</math> = konstante Zahl Mit der Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden. In unserem Fall sind die Koeffizienten <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math>. Die Diskriminante der abc-Formel ist: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> Die Lösungen sind entsprechend: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben/links gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten/rechts gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4. Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5. Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich <math>[-15; -3]</math> keine innere Extremstelle besitzt, muss ein lokales Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>f(-15) = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>f(-3) = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> Auffallend ist, dass der Funktionswert am linken Rand höher ist als der Funktionswert am berechneten lokalen Maximum bei <math> x = 11,22 </math>. Dementsprechend ist <math> x = -15 </math> das globale Maximum im gegebenen Definitionsbereich der Funktion und wir nehmen es als unseren idealen Standort an. === 6. Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage an der nördlichen Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. == Bestimmung des Maximums mit dem Newton-Verfahren == === Das Newton-Verfahren === Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion. Ausgangspunkt ist ein Startwert <math>x_0</math>, der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Ausgehend von diesem Startwert wird schrittweise eine bessere Näherung berechnet. Grundlage des Verfahrens ist die Tangente an den Funktionsgraphen, deren Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse als neuer Näherungswert verwendet wird. [[File:Newtonsches Näherungsverfahren.png|centre|]] Herleitung des Newton-Verfahrens: Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math>. Gesucht ist eine Nullstelle <math>x^*</math> mit <math> f(x^*) = 0 </math> Man beginnt mit einer Näherung <math>x_n</math>. Im Punkt<math>(x_n,f(x_n))</math> wird die Tangente an den Graphen von<math>f</math> betrachtet. Die Tangentengleichung in der Punkt-Steigungs-Form lautet <math> y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Als Näherung der tatsächlichen Nullstelle wird der Schnittpunkt der Tangente mit der <math>x</math>-Achse verwendet. Dazu setzt man <math>y=0</math>: <math> 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Umstellen nach <math>x</math> ergibt <math> f'(x_n)(x-x_n) = -f(x_n) </math> <math> x-x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> und schließlich <math> x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Diese neue Näherung wird mit <math>x_{n+1}</math> bezeichnet. Damit erhält man die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte nur noch geringfügig unterscheiden oder der Funktionswert ausreichend nahe bei Null liegt. Zur Bestimmung von Extremstellen wird das Newton-Verfahren nicht auf die Funktion selbst, sondern auf ihre erste Ableitung angewendet. Da Extremstellen die Bedingung <math> f'(x)=0 </math> erfüllen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Hierfür wird zusätzlich die zweite Ableitung benötigt. Die Iterationsvorschrift lautet dann <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} </math> Der so berechnete Wert liefert eine stationäre Stelle der Funktion. Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich anschließend bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt: * Ist <math>f''(x)<0</math>, so liegt ein lokales Maximum vor. * Ist <math>f''(x)>0</math>, so liegt ein lokales Minimum vor. Wird das globale Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall gesucht, müssen zusätzlich die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls mit den gefundenen Extremstellen verglichen werden. === Anwendung des Newton-Verfahrens === Gegeben sei die Funktion <math> f(x)=-0.0013x^3+0.0155x^2+0.1433x+6.037. </math> Gesucht ist das Maximum der Funktion im Intervall <math>[-15,15]</math>. Zunächst werden die erste und zweite Ableitung bestimmt: <math> f'(x)=-0.0039x^2+0.031x+0.1433, </math> <math> f''(x)=-0.0078x+0.031. </math> Da Extremstellen durch <math>f'(x)=0</math> gegeben sind, wird das Newton-Verfahren auf die erste Ableitung angewendet. Die Iterationsvorschrift lautet <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. </math> Als Startwert wird <math> x_0=10 </math> gewählt. '' 1. Iteration '' <math> f'(10)=-0.0039\cdot100+0.031\cdot10+0.1433=0.0633 </math> <math> f''(10)=-0.0078\cdot10+0.031=-0.047 </math> <math> x_1 =10-\frac{0.0633}{-0.047} =11.3468 </math> '' 2. Iteration '' <math> f'(11.3468)\approx-0.00707 </math> <math> f''(11.3468)\approx-0.05751 </math> <math> x_2 =11.3468-\frac{-0.00707}{-0.05751} \approx11.2239 </math> '' 3. Iteration '' <math> f'(11.2239)\approx-0.00008 </math> <math> f''(11.2239)\approx-0.05655 </math> <math> x_3 =11.2239-\frac{-0.00008}{-0.05655} \approx11.2225 </math> Da sich der Wert praktisch nicht mehr ändert, ist die Extremstelle gefunden: <math> x^*\approx11.2225. </math> Zur Klassifikation wird die zweite Ableitung betrachtet: <math> f''(11.2225)\approx-0.0565<0. </math> Damit handelt es sich um ein '''lokales Maximum'''. Der zugehörige Funktionswert beträgt <math> f(11.2225)\approx7.32. </math> Da das Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[-15,15]</math> gesucht ist, müssen zusätzlich die Randpunkte überprüft werden. <math> f(-15) =-0.0013(-15)^3+0.0155(-15)^2+0.1433(-15)+6.037 =11.7625 </math> <math> f(15) =-0.0013(15)^3+0.0155(15)^2+0.1433(15)+6.037 =7.2865 </math> Vergleich der Funktionswerte: <math> f(-15)=11.7625, </math> <math> f(11.2225)\approx7.32, </math> <math> f(15)=7.2865. </math> Damit ergibt sich: * '''Lokales Maximum:''' <math>x\approx11.22</math> * '''Globales Maximum auf dem Intervall <math>[-15,15]</math>:''' <math>x=-15</math> mit <math>f(-15)=11.7625</math>. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Zyklus der [[/Sekundarstufe 1/]] wird die lineare Interpolation am Ende vorgestellt. Im Rahmen der Umsetzung in der Sekundarstufe 2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. da3b1uzxqvd7jclupsywvl1an6h98v1 1109040 1109039 2026-07-25T08:26:55Z Björn Henrich 41518 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1109040 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Analysis:''' Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen, Extremwertbestimmung und Analyse von Hoch- und Tiefpunkten. * '''Funktionen und funktionale Zusammenhänge:''' Modellierung der Windgeschwindigkeit und Leistung durch Funktionen sowie Untersuchung von Abhängigkeiten. * '''Regression:''' Annäherung von Messdaten durch eine polynomiale Regressionsfunktion. * '''Numerische Verfahren:''' Anwendung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung von Extremstellen. * '''Optimierung:''' Suche nach dem optimalen Standort durch Maximierung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Leistung. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von GeoGebra zur Regression, Visualisierung und Analyse mathematischer Modelle. ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden (siehe Literatur- und Quellennachweise): <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *<math> x=-15 </math> steht für die nördliche Landesgrenze Deutschlands *<math> x=0 </math> repräsentiert die Mitte Deutschlands *<math> x=15 </math> steht für die südliche Landesgrenze Deutschlands Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (x-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> [[File:Regressionskurve.png|thumb|800px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. == Bestimmung des Maximums mit der abc-Formel / Mitternachtsformel == Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form <math>ax^2+bx+c=0</math> verwendet. Formel: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Dabei sind: * <math>a</math> = Koeffizient vor <math>x^2</math> * <math>b</math> = Koeffizient vor <math>x</math> * <math>c</math> = konstante Zahl Mit der Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden. In unserem Fall sind die Koeffizienten <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math>. Die Diskriminante der abc-Formel ist: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> Die Lösungen sind entsprechend: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben/links gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten/rechts gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4. Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5. Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich <math>[-15; -3]</math> keine innere Extremstelle besitzt, muss ein lokales Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>f(-15) = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>f(-3) = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> Auffallend ist, dass der Funktionswert am linken Rand höher ist als der Funktionswert am berechneten lokalen Maximum bei <math> x = 11,22 </math>. Dementsprechend ist <math> x = -15 </math> das globale Maximum im gegebenen Definitionsbereich der Funktion und wir nehmen es als unseren idealen Standort an. === 6. Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage an der nördlichen Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. == Bestimmung des Maximums mit dem Newton-Verfahren == === Das Newton-Verfahren === Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion. Ausgangspunkt ist ein Startwert <math>x_0</math>, der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Ausgehend von diesem Startwert wird schrittweise eine bessere Näherung berechnet. Grundlage des Verfahrens ist die Tangente an den Funktionsgraphen, deren Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse als neuer Näherungswert verwendet wird. [[File:Newtonsches Näherungsverfahren.png|centre|]] Herleitung des Newton-Verfahrens: Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math>. Gesucht ist eine Nullstelle <math>x^*</math> mit <math> f(x^*) = 0 </math> Man beginnt mit einer Näherung <math>x_n</math>. Im Punkt<math>(x_n,f(x_n))</math> wird die Tangente an den Graphen von<math>f</math> betrachtet. Die Tangentengleichung in der Punkt-Steigungs-Form lautet <math> y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Als Näherung der tatsächlichen Nullstelle wird der Schnittpunkt der Tangente mit der <math>x</math>-Achse verwendet. Dazu setzt man <math>y=0</math>: <math> 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Umstellen nach <math>x</math> ergibt <math> f'(x_n)(x-x_n) = -f(x_n) </math> <math> x-x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> und schließlich <math> x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Diese neue Näherung wird mit <math>x_{n+1}</math> bezeichnet. Damit erhält man die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte nur noch geringfügig unterscheiden oder der Funktionswert ausreichend nahe bei Null liegt. Zur Bestimmung von Extremstellen wird das Newton-Verfahren nicht auf die Funktion selbst, sondern auf ihre erste Ableitung angewendet. Da Extremstellen die Bedingung <math> f'(x)=0 </math> erfüllen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Hierfür wird zusätzlich die zweite Ableitung benötigt. Die Iterationsvorschrift lautet dann <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} </math> Der so berechnete Wert liefert eine stationäre Stelle der Funktion. Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich anschließend bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt: * Ist <math>f''(x)<0</math>, so liegt ein lokales Maximum vor. * Ist <math>f''(x)>0</math>, so liegt ein lokales Minimum vor. Wird das globale Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall gesucht, müssen zusätzlich die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls mit den gefundenen Extremstellen verglichen werden. === Anwendung des Newton-Verfahrens === Gegeben sei die Funktion <math> f(x)=-0.0013x^3+0.0155x^2+0.1433x+6.037. </math> Gesucht ist das Maximum der Funktion im Intervall <math>[-15,15]</math>. Zunächst werden die erste und zweite Ableitung bestimmt: <math> f'(x)=-0.0039x^2+0.031x+0.1433, </math> <math> f''(x)=-0.0078x+0.031. </math> Da Extremstellen durch <math>f'(x)=0</math> gegeben sind, wird das Newton-Verfahren auf die erste Ableitung angewendet. Die Iterationsvorschrift lautet <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. </math> Als Startwert wird <math> x_0=10 </math> gewählt. '' 1. Iteration '' <math> f'(10)=-0.0039\cdot100+0.031\cdot10+0.1433=0.0633 </math> <math> f''(10)=-0.0078\cdot10+0.031=-0.047 </math> <math> x_1 =10-\frac{0.0633}{-0.047} =11.3468 </math> '' 2. Iteration '' <math> f'(11.3468)\approx-0.00707 </math> <math> f''(11.3468)\approx-0.05751 </math> <math> x_2 =11.3468-\frac{-0.00707}{-0.05751} \approx11.2239 </math> '' 3. Iteration '' <math> f'(11.2239)\approx-0.00008 </math> <math> f''(11.2239)\approx-0.05655 </math> <math> x_3 =11.2239-\frac{-0.00008}{-0.05655} \approx11.2225 </math> Da sich der Wert praktisch nicht mehr ändert, ist die Extremstelle gefunden: <math> x^*\approx11.2225. </math> Zur Klassifikation wird die zweite Ableitung betrachtet: <math> f''(11.2225)\approx-0.0565<0. </math> Damit handelt es sich um ein '''lokales Maximum'''. Der zugehörige Funktionswert beträgt <math> f(11.2225)\approx7.32. </math> Da das Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[-15,15]</math> gesucht ist, müssen zusätzlich die Randpunkte überprüft werden. <math> f(-15) =-0.0013(-15)^3+0.0155(-15)^2+0.1433(-15)+6.037 =11.7625 </math> <math> f(15) =-0.0013(15)^3+0.0155(15)^2+0.1433(15)+6.037 =7.2865 </math> Vergleich der Funktionswerte: <math> f(-15)=11.7625, </math> <math> f(11.2225)\approx7.32, </math> <math> f(15)=7.2865. </math> Damit ergibt sich: * '''Lokales Maximum:''' <math>x\approx11.22</math> * '''Globales Maximum auf dem Intervall <math>[-15,15]</math>:''' <math>x=-15</math> mit <math>f(-15)=11.7625</math>. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Zyklus der [[/Sekundarstufe 1/]] wird die lineare Interpolation am Ende vorgestellt. Im Rahmen der Umsetzung in der Sekundarstufe 2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. 6r6vhtzz6hqk6x9opypqya74de55pri 1109041 1109040 2026-07-25T08:28:34Z Björn Henrich 41518 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1109041 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Analysis:''' Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen, Extremwertbestimmung und Analyse von Hoch- und Tiefpunkten. * '''Funktionen und funktionale Zusammenhänge:''' Modellierung der Windgeschwindigkeit und Leistung durch Funktionen sowie Untersuchung von Abhängigkeiten. * '''Regression:''' Annäherung von Messdaten durch eine polynomiale Regressionsfunktion. * '''Numerische Verfahren:''' Anwendung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung von Extremstellen. * '''Optimierung:''' Suche nach dem optimalen Standort durch Maximierung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Leistung. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von GeoGebra zur Regression, Visualisierung und Analyse mathematischer Modelle. ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden (siehe Literatur- und Quellennachweise): <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *<math> x=-15 </math> steht für die nördliche Landesgrenze Deutschlands *<math> x=0 </math> repräsentiert die Mitte Deutschlands *<math> x=15 </math> steht für die südliche Landesgrenze Deutschlands Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (x-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> [[File:Regressionskurve.png|thumb|800px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. == Bestimmung des Maximums mit der abc-Formel / Mitternachtsformel == Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form <math>ax^2+bx+c=0</math> verwendet. Formel: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Dabei sind: * <math>a</math> = Koeffizient vor <math>x^2</math> * <math>b</math> = Koeffizient vor <math>x</math> * <math>c</math> = konstante Zahl Mit der Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden. In unserem Fall sind die Koeffizienten <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math>. Die Diskriminante der abc-Formel ist: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> Die Lösungen sind entsprechend: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben/links gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten/rechts gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4. Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5. Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich <math>[-15; -3]</math> keine innere Extremstelle besitzt, muss ein lokales Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>f(-15) = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>f(-3) = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> Auffallend ist, dass der Funktionswert am linken Rand höher ist als der Funktionswert am berechneten lokalen Maximum bei <math> x = 11,22 </math>. Dementsprechend ist <math> x = -15 </math> das globale Maximum im gegebenen Definitionsbereich der Funktion und wir nehmen es als unseren idealen Standort an. === 6. Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage an der nördlichen Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. == Bestimmung des Maximums mit dem Newton-Verfahren == === Das Newton-Verfahren === Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion. Ausgangspunkt ist ein Startwert <math>x_0</math>, der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Ausgehend von diesem Startwert wird schrittweise eine bessere Näherung berechnet. Grundlage des Verfahrens ist die Tangente an den Funktionsgraphen, deren Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse als neuer Näherungswert verwendet wird. [[File:Newtonsches Näherungsverfahren.png|centre|]] Herleitung des Newton-Verfahrens: Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math>. Gesucht ist eine Nullstelle <math>x^*</math> mit <math> f(x^*) = 0 </math> Man beginnt mit einer Näherung <math>x_n</math>. Im Punkt<math>(x_n,f(x_n))</math> wird die Tangente an den Graphen von<math>f</math> betrachtet. Die Tangentengleichung in der Punkt-Steigungs-Form lautet <math> y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Als Näherung der tatsächlichen Nullstelle wird der Schnittpunkt der Tangente mit der <math>x</math>-Achse verwendet. Dazu setzt man <math>y=0</math>: <math> 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Umstellen nach <math>x</math> ergibt <math> f'(x_n)(x-x_n) = -f(x_n) </math> <math> x-x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> und schließlich <math> x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Diese neue Näherung wird mit <math>x_{n+1}</math> bezeichnet. Damit erhält man die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte nur noch geringfügig unterscheiden oder der Funktionswert ausreichend nahe bei Null liegt. Zur Bestimmung von Extremstellen wird das Newton-Verfahren nicht auf die Funktion selbst, sondern auf ihre erste Ableitung angewendet. Da Extremstellen die Bedingung <math> f'(x)=0 </math> erfüllen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Hierfür wird zusätzlich die zweite Ableitung benötigt. Die Iterationsvorschrift lautet dann <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} </math> Der so berechnete Wert liefert eine stationäre Stelle der Funktion. Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich anschließend bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt: * Ist <math>f''(x)<0</math>, so liegt ein lokales Maximum vor. * Ist <math>f''(x)>0</math>, so liegt ein lokales Minimum vor. Wird das globale Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall gesucht, müssen zusätzlich die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls mit den gefundenen Extremstellen verglichen werden. === Anwendung des Newton-Verfahrens === Gegeben sei die Funktion <math> f(x)=-0.0013x^3+0.0155x^2+0.1433x+6.037. </math> Gesucht ist das Maximum der Funktion im Intervall <math>[-15,15]</math>. Zunächst werden die erste und zweite Ableitung bestimmt: <math> f'(x)=-0.0039x^2+0.031x+0.1433, </math> <math> f''(x)=-0.0078x+0.031. </math> Da Extremstellen durch <math>f'(x)=0</math> gegeben sind, wird das Newton-Verfahren auf die erste Ableitung angewendet. Die Iterationsvorschrift lautet <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. </math> Als Startwert wird <math> x_0=10 </math> gewählt. '' 1. Iteration '' <math> f'(10)=-0.0039\cdot100+0.031\cdot10+0.1433=0.0633 </math> <math> f''(10)=-0.0078\cdot10+0.031=-0.047 </math> <math> x_1 =10-\frac{0.0633}{-0.047} =11.3468 </math> '' 2. Iteration '' <math> f'(11.3468)\approx-0.00707 </math> <math> f''(11.3468)\approx-0.05751 </math> <math> x_2 =11.3468-\frac{-0.00707}{-0.05751} \approx11.2239 </math> '' 3. Iteration '' <math> f'(11.2239)\approx-0.00008 </math> <math> f''(11.2239)\approx-0.05655 </math> <math> x_3 =11.2239-\frac{-0.00008}{-0.05655} \approx11.2225 </math> Da sich der Wert praktisch nicht mehr ändert, ist die Extremstelle gefunden: <math> x^*\approx11.2225. </math> Zur Klassifikation wird die zweite Ableitung betrachtet: <math> f''(11.2225)\approx-0.0565<0. </math> Damit handelt es sich um ein '''lokales Maximum'''. Der zugehörige Funktionswert beträgt <math> f(11.2225)\approx7.32. </math> Da das Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[-15,15]</math> gesucht ist, müssen zusätzlich die Randpunkte überprüft werden. <math> f(-15) =-0.0013(-15)^3+0.0155(-15)^2+0.1433(-15)+6.037 =11.7625 </math> <math> f(15) =-0.0013(15)^3+0.0155(15)^2+0.1433(15)+6.037 =7.2865 </math> Vergleich der Funktionswerte: <math> f(-15)=11.7625, </math> <math> f(11.2225)\approx7.32, </math> <math> f(15)=7.2865. </math> Damit ergibt sich: * '''Lokales Maximum:''' <math>x\approx11.22</math> * '''Globales Maximum auf dem Intervall <math>[-15,15]</math>:''' <math>x=-15</math> mit <math>f(-15)=11.7625</math>. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sekundarstufe 2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Zyklus der [[/Sekundarstufe 1/]] wird die lineare Interpolation am Ende vorgestellt. Im Rahmen der Umsetzung in der Sekundarstufe 2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. 6vfuyvh5ucnq66ybbu6lnfva10ob170 1109042 1109041 2026-07-25T08:29:47Z Björn Henrich 41518 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1109042 wikitext text/x-wiki == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Analysis:''' Untersuchung von Funktionen mithilfe von Ableitungen, Extremwertbestimmung und Analyse von Hoch- und Tiefpunkten. * '''Funktionen und funktionale Zusammenhänge:''' Modellierung der Windgeschwindigkeit und Leistung durch Funktionen sowie Untersuchung von Abhängigkeiten. * '''Regression:''' Annäherung von Messdaten durch eine polynomiale Regressionsfunktion. * '''Numerische Verfahren:''' Anwendung des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Bestimmung von Extremstellen. * '''Optimierung:''' Suche nach dem optimalen Standort durch Maximierung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Leistung. * '''Digitale Mathematikwerkzeuge:''' Nutzung von GeoGebra zur Regression, Visualisierung und Analyse mathematischer Modelle. ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden (siehe Literatur- und Quellennachweise): <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *<math> x=-15 </math> steht für die nördliche Landesgrenze Deutschlands *<math> x=0 </math> repräsentiert die Mitte Deutschlands *<math> x=15 </math> steht für die südliche Landesgrenze Deutschlands Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (x-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> [[File:Regressionskurve.png|thumb|800px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. == Bestimmung des Maximums mit der abc-Formel / Mitternachtsformel == Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel wird zum Lösen quadratischer Gleichungen der Form <math>ax^2+bx+c=0</math> verwendet. Formel: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> Dabei sind: * <math>a</math> = Koeffizient vor <math>x^2</math> * <math>b</math> = Koeffizient vor <math>x</math> * <math>c</math> = konstante Zahl Mit der Formel können die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet werden. In unserem Fall sind die Koeffizienten <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math>. Die Diskriminante der abc-Formel ist: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> Die Lösungen sind entsprechend: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben/links gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten/rechts gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4. Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5. Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich <math>[-15; -3]</math> keine innere Extremstelle besitzt, muss ein lokales Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>f(-15) = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>f(-3) = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> Auffallend ist, dass der Funktionswert am linken Rand höher ist als der Funktionswert am berechneten lokalen Maximum bei <math> x = 11,22 </math>. Dementsprechend ist <math> x = -15 </math> das globale Maximum im gegebenen Definitionsbereich der Funktion und wir nehmen es als unseren idealen Standort an. === 6. Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage an der nördlichen Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. == Bestimmung des Maximums mit dem Newton-Verfahren == === Das Newton-Verfahren === Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen einer differenzierbaren Funktion. Ausgangspunkt ist ein Startwert <math>x_0</math>, der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle liegt. Ausgehend von diesem Startwert wird schrittweise eine bessere Näherung berechnet. Grundlage des Verfahrens ist die Tangente an den Funktionsgraphen, deren Schnittpunkt mit der <math>x</math>-Achse als neuer Näherungswert verwendet wird. [[File:Newtonsches Näherungsverfahren.png|centre|]] Herleitung des Newton-Verfahrens: Gegeben sei eine Funktion <math>f(x)</math>. Gesucht ist eine Nullstelle <math>x^*</math> mit <math> f(x^*) = 0 </math> Man beginnt mit einer Näherung <math>x_n</math>. Im Punkt<math>(x_n,f(x_n))</math> wird die Tangente an den Graphen von<math>f</math> betrachtet. Die Tangentengleichung in der Punkt-Steigungs-Form lautet <math> y = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Als Näherung der tatsächlichen Nullstelle wird der Schnittpunkt der Tangente mit der <math>x</math>-Achse verwendet. Dazu setzt man <math>y=0</math>: <math> 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) </math> Umstellen nach <math>x</math> ergibt <math> f'(x_n)(x-x_n) = -f(x_n) </math> <math> x-x_n = -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> und schließlich <math> x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Diese neue Näherung wird mit <math>x_{n+1}</math> bezeichnet. Damit erhält man die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} </math> Die Berechnung wird so lange wiederholt, bis sich zwei aufeinanderfolgende Näherungswerte nur noch geringfügig unterscheiden oder der Funktionswert ausreichend nahe bei Null liegt. Zur Bestimmung von Extremstellen wird das Newton-Verfahren nicht auf die Funktion selbst, sondern auf ihre erste Ableitung angewendet. Da Extremstellen die Bedingung <math> f'(x)=0 </math> erfüllen, werden die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet. Hierfür wird zusätzlich die zweite Ableitung benötigt. Die Iterationsvorschrift lautet dann <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} </math> Der so berechnete Wert liefert eine stationäre Stelle der Funktion. Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich anschließend bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt: * Ist <math>f''(x)<0</math>, so liegt ein lokales Maximum vor. * Ist <math>f''(x)>0</math>, so liegt ein lokales Minimum vor. Wird das globale Maximum oder Minimum auf einem abgeschlossenen Intervall gesucht, müssen zusätzlich die Funktionswerte an den Randpunkten des Intervalls mit den gefundenen Extremstellen verglichen werden. === Anwendung des Newton-Verfahrens === Gegeben sei die Funktion <math> f(x)=-0.0013x^3+0.0155x^2+0.1433x+6.037. </math> Gesucht ist das Maximum der Funktion im Intervall <math>[-15,15]</math>. Zunächst werden die erste und zweite Ableitung bestimmt: <math> f'(x)=-0.0039x^2+0.031x+0.1433, </math> <math> f''(x)=-0.0078x+0.031. </math> Da Extremstellen durch <math>f'(x)=0</math> gegeben sind, wird das Newton-Verfahren auf die erste Ableitung angewendet. Die Iterationsvorschrift lautet <math> x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}. </math> Als Startwert wird <math> x_0=10 </math> gewählt. '' 1. Iteration '' <math> f'(10)=-0.0039\cdot100+0.031\cdot10+0.1433=0.0633 </math> <math> f''(10)=-0.0078\cdot10+0.031=-0.047 </math> <math> x_1 =10-\frac{0.0633}{-0.047} =11.3468 </math> '' 2. Iteration '' <math> f'(11.3468)\approx-0.00707 </math> <math> f''(11.3468)\approx-0.05751 </math> <math> x_2 =11.3468-\frac{-0.00707}{-0.05751} \approx11.2239 </math> '' 3. Iteration '' <math> f'(11.2239)\approx-0.00008 </math> <math> f''(11.2239)\approx-0.05655 </math> <math> x_3 =11.2239-\frac{-0.00008}{-0.05655} \approx11.2225 </math> Da sich der Wert praktisch nicht mehr ändert, ist die Extremstelle gefunden: <math> x^*\approx11.2225. </math> Zur Klassifikation wird die zweite Ableitung betrachtet: <math> f''(11.2225)\approx-0.0565<0. </math> Damit handelt es sich um ein '''lokales Maximum'''. Der zugehörige Funktionswert beträgt <math> f(11.2225)\approx7.32. </math> Da das Maximum auf dem abgeschlossenen Intervall <math>[-15,15]</math> gesucht ist, müssen zusätzlich die Randpunkte überprüft werden. <math> f(-15) =-0.0013(-15)^3+0.0155(-15)^2+0.1433(-15)+6.037 =11.7625 </math> <math> f(15) =-0.0013(15)^3+0.0155(15)^2+0.1433(15)+6.037 =7.2865 </math> Vergleich der Funktionswerte: <math> f(-15)=11.7625, </math> <math> f(11.2225)\approx7.32, </math> <math> f(15)=7.2865. </math> Damit ergibt sich: * '''Lokales Maximum:''' <math>x\approx11.22</math> * '''Globales Maximum auf dem Intervall <math>[-15,15]</math>:''' <math>x=-15</math> mit <math>f(-15)=11.7625</math>. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sekundarstufe 2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sekundarstufe 1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein Vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sekundarstufe 2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. Im Zyklus der [[/Sekundarstufe 1/]] wird die lineare Interpolation am Ende vorgestellt. kyavd0w8yc60g9guyiub8hzp4wso6r8 106 171837 1109044 1105435 2026-07-25T09:04:56Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109044 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|26|12|Kurs=|}} g4k28gxh0uv0pctmndo16mr1hteolur 106 171867 1109047 1108848 2026-07-25T09:11:55Z Björn Henrich 41518 /* Zielfunktion */ 1109047 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Mehrdimensionale Analysis''': Untersuchung mehrdimensionaler Funktionen. *'''Numerische Verfahren''': Vorstellung des Gradientenverfahrens als Optimierungsverfahren mehrdimensionaler Funktionen. *'''Digitale Mathematikwerkzeuge''': Einsatz von Octave zum Plotten von Funktionen und zur Implemtation des Gradientenverfahrens. *'''Lineare Algebra''': Betrachtung verschiedener Matrizen zu verschiedenen Zeitpunkten, Deutung der Werte. == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|center|800px]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> grad\ E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird bei <math> n = 0. </math> Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> grad\ E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha\ grad\ E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> grad\ E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Alle weiteren Iterationen werden im Folgenden nur noch aufgeführt, das Verfahren wird iterativ wie zuvor immer gleich durchgeführt. Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6875,\;3.5904).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.84375,\;3.67232).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.921875,\;3.737856).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.9951,\;3.8926).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.999995,\;3.98847).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt ist dann <math>(3.000000,\;3.99876).</math> Die Iterationspunkte nähern sich mit jeder weiteren Iteration dem Maximum bei <math>(3,4)</math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> grad\ K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> erneut den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird wieder bei <math> n = 0. </math> Als zufälligen Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> grad\ K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha\ grad\ K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> grad\ K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt ist <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6244,\;1.9683).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.3620,\;1.7715).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.1258,\;1.5943).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(1.3947,\;1.0460).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(0.4863,\;0.3647).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt lautet beispielsweise <math>(0.1695,\;0.1271).</math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |} Der Ortsvektor ist dann: <math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math> und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung <math>E(z)</math> zu maximieren, wobei <math>E(z)</math> von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. Dabei gilt: *<math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math>: Ortsvektor *<math>f(z_n)</math>: Zielfunktion *<math>grad\ f(z_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y_n}(x_n,y_n) \right)</math>: Gradient der Funktion *<math> \alpha_{n} > 0 </math>: adaptive Schrittweite in Iteration n Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> \begin{align} G(x,y) &=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5x^2+30x-45-2y^2+16y-32-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=-5{,}5x^2-2{,}5y^2+30x+16y-27 \end{align} </math> '''Gradient''' <math> grad\ G(x,y)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x}\\[1ex] \dfrac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+16 \end{pmatrix} </math> Die Zielfunktion kann nun verwendet werden, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Als vereinfachende Annahme wurde das Höhenprofil als Basis für die Energieertragsfunktion verwendet, da in topographisch höheren Lagen höhere Windgeschwindigkeiten und umgekehrt in niedrigeren Lagen niedrigere Windgeschwindigkeiten zu erwarten sind. Wir nehmen vereinfachend also dann, dass ein direkt proportionaler Zusammenhang zwischen topographischer Höhe und Windgeschwindigkeit existiert. Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. ===Kurzfristige Betrachtung nach einem Jahr=== In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> ===Mittelfristige Betrachtung nach 10 Jahren=== Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im Vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ===Langfristige Betrachtung nach 20 Jahren=== In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== === Bezug zum Gradientenabstiegsverfashren=== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Diskretes Gradientenverfahren 1.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 1|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 2.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 2|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 3.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 3|800px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. Ähnlich wie beim [[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]] kann nun noch das Durchlaufen des Codes bzw. Verfahrens visualisiert werden. Die folgende Abbildung zeigt, wie von einem Startpunkt ausgehend immer zu höchsten Nachbarpunkt übergegangen wird, bis schließlich ein lokales Maximum erreicht ist. [[File:Visualisierung des diskreten "Aufstiegverfahrens".png|thumb|Visualisierung anhand der Differenzfunktion nach 20 Jahren|800px|center]] ===Weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. ffbtkx7f1cbq4eo1fn4hlq8pcibn5ab 1109062 1109047 2026-07-25T09:19:24Z Björn Henrich 41518 /* Realer Modellierungszyklus */ 1109062 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Relevante mathematische Überthemen in diesem Zyklus == * '''Mehrdimensionale Analysis''': Untersuchung mehrdimensionaler Funktionen. *'''Numerische Verfahren''': Vorstellung des Gradientenverfahrens als Optimierungsverfahren mehrdimensionaler Funktionen. *'''Digitale Mathematikwerkzeuge''': Einsatz von Octave zum Plotten von Funktionen und zur Implemtation des Gradientenverfahrens. *'''Lineare Algebra''': Betrachtung verschiedener Matrizen zu verschiedenen Zeitpunkten, Deutung der Werte. == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|center|800px]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> grad\ E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird bei <math> n = 0. </math> Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> grad\ E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert (an flachen Stellen der Funktion), sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha\ grad\ E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> grad\ E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Alle weiteren Iterationen werden im Folgenden nur noch aufgeführt, das Verfahren wird iterativ wie zuvor immer gleich durchgeführt. Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6875,\;3.5904).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.84375,\;3.67232).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.921875,\;3.737856).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.9951,\;3.8926).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(2.999995,\;3.98847).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt ist dann <math>(3.000000,\;3.99876).</math> Die Iterationspunkte nähern sich mit jeder weiteren Iteration dem Maximum bei <math>(3,4)</math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> grad\ K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Von nun an bezeichnet der Index <math> n </math> erneut den n-ten Iterationsschritt und wird bei <math> x </math> und <math> y </math> mitgeführt. Gestartet wird wieder bei <math> n = 0. </math> Als zufälligen Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> grad\ K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha\ grad\ K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> grad\ K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> grad\ K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt ist <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Der vierte Iterationspunkt ist <math>(2.6244,\;1.9683).</math> Der fünfte Iterationspunkt ist <math>(2.3620,\;1.7715).</math> Der sechste Iterationspunkt ist <math>(2.1258,\;1.5943).</math> <math>\vdots</math> Der zehnte Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(1.3947,\;1.0460).</math> <math>\vdots</math> Der zwanzigste Iterationspunkt ist beispielsweise <math>(0.4863,\;0.3647).</math> <math>\vdots</math> Der dreißigste Iterationspunkt lautet beispielsweise <math>(0.1695,\;0.1271).</math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}*\ grad\ f(\mathbf{z}_n)</math> |} Der Ortsvektor ist dann: <math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math> und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung <math>E(z)</math> zu maximieren, wobei <math>E(z)</math> von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. Dabei gilt: *<math>z_n=(x_n,y_n)^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^2</math>: Ortsvektor *<math>f(z_n)</math>: Zielfunktion *<math>grad\ f(z_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_n}(x_n,y_n), \frac{\partial f}{\partial y_n}(x_n,y_n) \right)</math>: Gradient der Funktion *<math> \alpha_{n} > 0 </math>: adaptive Schrittweite in Iteration n Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> \begin{align} G(x,y) &=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5(x^2-6x+9)-2(y^2-8y+16)-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=50-5x^2+30x-45-2y^2+16y-32-0{,}5x^2-0{,}5y^2\\[1ex] &=-5{,}5x^2-2{,}5y^2+30x+16y-27 \end{align} </math> '''Gradient''' <math> grad\ G(x,y)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial G}{\partial x}\\[1ex] \dfrac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+16 \end{pmatrix} </math> Die Zielfunktion kann nun verwendet werden, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Als vereinfachende Annahme wurde das Höhenprofil als Basis für die Energieertragsfunktion verwendet, da in topographisch höheren Lagen höhere Windgeschwindigkeiten und umgekehrt in niedrigeren Lagen niedrigere Windgeschwindigkeiten zu erwarten sind. Wir nehmen vereinfachend also an, dass ein direkt proportionaler Zusammenhang zwischen topographischer Höhe und Windgeschwindigkeit existiert. Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Die Kosten orientieren sich linear an dem Höhenprofil der Landschaft. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. ===Kurzfristige Betrachtung nach einem Jahr=== In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> ===Mittelfristige Betrachtung nach 10 Jahren=== Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im Vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> ===Langfristige Betrachtung nach 20 Jahren=== In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== === Bezug zum Gradientenabstiegsverfashren=== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Diskretes Gradientenverfahren 1.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 1|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 2.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 2|800px|center]] [[File:Diskretes Gradientenverfahren 3.png|thumb|Diskretes Gradientenverfahren 3|800px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. Ähnlich wie beim [[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]] kann nun noch das Durchlaufen des Codes bzw. Verfahrens visualisiert werden. Die folgende Abbildung zeigt, wie von einem Startpunkt ausgehend immer zu höchsten Nachbarpunkt übergegangen wird, bis schließlich ein lokales Maximum erreicht ist. [[File:Visualisierung des diskreten "Aufstiegverfahrens".png|thumb|Visualisierung anhand der Differenzfunktion nach 20 Jahren|800px|center]] ===Weitere Einflussfaktoren=== In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. 8ccefoiearjk3y330mcxi3tw9u5o47r 106 171965 1108917 1108433 2026-07-24T12:47:33Z Bert Niehaus 20843 /* Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat */ 1108917 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt 4 und 5 - Verschobener Kreismittelpunkt === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == qtxllmotslsekn1moe9qjd7c9u5el9x 1108918 1108917 2026-07-24T12:50:07Z Bert Niehaus 20843 /* Realteil als Summe von Randwegen */ 1108918 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt 4 und 5 - Verschobener Kreismittelpunkt === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == r2d320oheobwbouomz41gm1tli7orjb 1108919 1108918 2026-07-24T13:02:49Z Bert Niehaus 20843 /* Realteil als Summe von Randwegen */ 1108919 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt 4 und 5 - Verschobener Kreismittelpunkt === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 62subh1t5hbjtyowkap85b0y2mdbf6o 1108920 1108919 2026-07-24T13:10:38Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Schritt 4 und 5 - Verschobener Kreismittelpunkt */ 1108920 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> dargestellt wird. === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == szgyd2vsdpdtrb030pegjyo6vzn58cd 1108921 1108920 2026-07-24T13:12:34Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege */ 1108921 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_3(t_1) - z_0 & = & e^{i} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == qkcav1n523yoa4l8785cbipn3nyfjes 1108922 1108921 2026-07-24T13:14:47Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108922 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 8k2j7ybb1ufqi48ck772wfj5v3la1ve 1108923 1108922 2026-07-24T13:17:01Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108923 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{3}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{7}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 8dh98v7c6b21p25arua2kap3lupwpo0 1108924 1108923 2026-07-24T13:18:40Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108924 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == ltgrsw5yl1fwnene2xn3jietra95g0w 1108925 1108924 2026-07-24T13:24:20Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108925 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 0h79g0fzkzuzlx83mok7kdvcf37tzfh 1108926 1108925 2026-07-24T13:40:25Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108926 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \overline{\gamma_3(t_1) - z_0} & = & \overline{e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} \\ \overline{\gamma_4(t_1) - z_0} & = & \overline{e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == s9bbhj3yunguqv7zyrbl16bxaabbcbc 1108927 1108926 2026-07-24T13:49:18Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108927 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{-i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{-\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 54bwtkel01qm8inu1p84vys2nvruitk 1108928 1108927 2026-07-24T13:58:40Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 */ 1108928 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{-i\tfrac{\pi}{2}}}_{=-i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == as1zh5woztzjcimamsi42ta1huyvcu8 1108929 1108928 2026-07-24T14:02:04Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 */ 1108929 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{\pi}{2}}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & - i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 27w7wxey1kdloid2v31sqvvneu5s5yg 1108930 1108929 2026-07-24T14:10:56Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 */ 1108930 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == r10h0wanmw46iafiozzwmp1f2uehdzo 1108931 1108930 2026-07-24T14:12:08Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 */ 1108931 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == sjluey2qwgs5vac6nkhq8k1qh06wf5d 1108932 1108931 2026-07-24T14:18:20Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108932 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 15j8bkg6a2793u99le0ija3eo4b35c6 1108933 1108932 2026-07-24T14:26:19Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108933 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot \overline{e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == n7r4qlkuuqdygaf984qnnhhunw8kdgy 1108934 1108933 2026-07-24T14:29:59Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108934 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & & \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} & & \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 4fgkvzjwsac7ubvri8svd9qbrf1nmvz 1108935 1108934 2026-07-24T14:31:25Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 */ 1108935 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & & \\ \gamma_2(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} & & \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ \gamma_4(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == f2mn6z6d3z71kr68utk2gu7qpc62va3 1108936 1108935 2026-07-24T14:32:26Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108936 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & & \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} & & \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 98kbgq1v4gyifhi8i1q02tf5ptbsr3y 1108939 1108936 2026-07-24T14:42:08Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108939 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & & \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i & & \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \pi}} \cdot i & = & r\cdot r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{3}{2}\pi} } \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == p7kfxcufkhwvr8xpsphzllej4rug807 1108940 1108939 2026-07-24T14:43:58Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108940 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & & \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \pi}} \cdot i & = & r\cdot r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == k2n2tgxc6aw1kq5cqw6kxmnchwj6r10 1108941 1108940 2026-07-24T14:58:15Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108941 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> <math>e^{-i\pi}= -i</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot -i \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \pi}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == lwk2cuippfmmcmr7rd8l2ko7qfau51z 1108942 1108941 2026-07-24T14:59:40Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108942 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> <math>e^{-i\pi}= -i</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i & = & e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \pi}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 16dazs55iin9keukilx9lpqags3yjiq 1108943 1108942 2026-07-24T15:02:09Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108943 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> <math>e^{-i\pi}= -i</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi}} \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \pi}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 5zco6r6wn5tqme0sysbi3silmamlr4a 1108944 1108943 2026-07-24T15:06:18Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108944 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot (-i) \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \pi}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 67kv19dm0chx4kno5rdc14l94jt22mk 1108945 1108944 2026-07-24T15:06:47Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108945 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot (-i) \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \pi}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == bb4ra9zwevqmabslk097ohyhyw05tp5 1108946 1108945 2026-07-24T15:07:46Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108946 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot (-i) \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot \underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == iuch62y5h0utrpt86lx8u5h63pvdikc 1108947 1108946 2026-07-24T15:08:53Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108947 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot (-i) \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 4oos8pv88o3d2lwtrkyintzhwrlz32l 1108948 1108947 2026-07-24T15:16:45Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108948 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == lfr802dmyk2qax4eif7kxupcidkb5z9 1108951 1108948 2026-07-24T15:28:47Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 */ 1108951 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 8 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == qcq1uhf7pg826148n5u6vkja7luag53 1108952 1108951 2026-07-24T15:29:04Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen für die Randwege - Schritt 8 */ 1108952 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen für die Randwege - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == q71q5cppp41scjpm7d01chmz7qwywim 1108953 1108952 2026-07-24T15:32:26Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108953 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen für die Randwege - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == d99zpiwdw44g376n1w64i1h5fvuvfe7 1108954 1108953 2026-07-24T15:34:25Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen für die Randwege - Schritt 8 */ 1108954 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen für die Randwege - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == bfw7pagopqfdlcplsuu62oivnpktc05 1108959 1108954 2026-07-24T15:43:20Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 */ 1108959 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == kfp5jq8plod7w0dargsra5qooyv250x 1108961 1108959 2026-07-24T15:45:15Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 */ 1108961 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == fthuhxyc613cxq9joadk1g2nldyolr8 1108964 1108961 2026-07-24T15:49:27Z Bert Niehaus 20843 /* Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 */ 1108964 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == jtoe2z9b7442ksrx4z5vjn90e854gl6 1108966 1108964 2026-07-24T15:58:02Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 */ 1108966 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == fath34rzvl5856kuja1aa4ta7fgqt3m 1108967 1108966 2026-07-24T16:01:16Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Konvexkombination von Randwegen */ 1108967 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == c07r0eagmh4ek9gckbbportngxmlws9 1108968 1108967 2026-07-24T16:04:48Z Bert Niehaus 20843 /* Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation */ 1108968 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == rx26ynbkpnt5t1zbghda1iqul9nm2q4 1108969 1108968 2026-07-24T16:08:12Z Bert Niehaus 20843 /* Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation */ 1108969 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == sp93scfou0653dzpv03d2si4pzklgyu 1108970 1108969 2026-07-24T16:09:48Z Bert Niehaus 20843 /* Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation */ 1108970 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == cwc5ivu6fjgz1gfzk6s1av9s66rpylp 1108971 1108970 2026-07-24T16:13:12Z Bert Niehaus 20843 /* Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation */ 1108971 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 4vyt6a9gssl08emnj9rzrq9lph4ognk 1108972 1108971 2026-07-24T16:15:46Z Bert Niehaus 20843 /* Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation */ 1108972 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == plzoozrzw9tvxehhjwyc0v4rtja1788 1108973 1108972 2026-07-24T16:21:19Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 */ 1108973 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 7nj2zcbxtp5dro424a2axxqk9bz9ova 1108974 1108973 2026-07-24T16:26:56Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 */ 1108974 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == k811lp1f4m7xzeiidt8drxsleliin7p 1108975 1108974 2026-07-24T16:28:46Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 */ 1108975 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 4tgjnaadc9mge44drim63apqv0fatu9 1108976 1108975 2026-07-24T16:30:49Z Bert Niehaus 20843 /* Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation */ 1108976 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die orientierte Flächenintegrale für Kreisscheiben sind wie bei einem Wegintegral über [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängende]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebiete]] unabhängig von der speziell gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], wenn die Bildpunkte der Eckpunkte des Rechtecks <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> für <math>\gamma_\circ</math> mit den Bildpunkten der Eckpunkt von <math>\left[\widehat{a_1},\widehat{b_1}\right]\times \left[\widehat{a_2},\widehat{b_2}\right]</math> für <math>\widehat{\gamma_\circ}</math> übereinstimmen. === Bilder der Eckpunkte === Mit der Gleichheit der Bilder von Eckpunkten ist gemeint: :<math> \begin{array}{rclcrcl} \gamma_\circ(a_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(a_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{a_1},\widehat{b_2} ) \\ \gamma_\circ(b_1,a_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{a_2} ) & \quad & \gamma_\circ(b_1,b_2) & = & \widehat{\gamma_\circ}( \widehat{b_1},\widehat{b_2} ) \\ \end{array} </math> Da das Integral über das Einsetzen in die Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}</math> der holomorphen Funktion <math>f:G\to\mathbb{C}</math> berechnet wird, ist auch das Flächenintegral unter diesen Voraussetzungen unabhängig von der gewählten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Orientierte Kreisfläche mit Randwegstransformation == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Transformation von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 & + & \gamma_1 (t_1) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 1 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) + \\ & & \left( z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \right) \cdot (\tfrac{1}{2}-t_1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 2 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (\tfrac{1}{2}-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } \,\, + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> === Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 === :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 \,\, + \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1 \cdot t_2 \\ & & & + \,\, r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1) \cdot t_2 \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>\tfrac{5}{4}\pi=-\tfrac{3}{4}\pi + 2\pi </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{i\cdot (\gamma_2(t_2) - z_0)} & = & \overline{\underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i} \cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{\tfrac{1}{2} -\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = \underbrace{e^{i\tfrac{1}{2}\pi}}_{=i}\cdot r\cdot e^{i \big(-\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \\ & = & i\cdot r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} = i\cdot (\gamma_4(t_2) - z_0) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 6 === Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschhoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in den folgenden Schritten notwendig sein, allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion zu betrachten, der durch die Terme <math>\gamma_k(t_i) - z_0</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> und <math>i\in\{1,2\}</math> dargestellt wird. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{6}{4}\pi} \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{2}{4}\pi} } \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{-i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} } & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{4}{4}\pi} } \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 7 === Der Term <math>r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}</math> bzw. <math>r\cdot \overline{e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}}</math> wurde jeweils mit eine komplexen Zahl <math>e^{i\cdot \alpha}</math> um 0 und dem Winkel <math>\alpha </math> gedreht. Dieser Faktor wird nun mit <math>e^{i\tfrac{\pi}{2}}= i</math> und <math>e^{-i\pi}= -1</math> für die weiteren Berechnungen transformiert. :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ i \cdot (\gamma_2(t_2) - z_0) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ i \cdot ( \gamma_4(t_2) - z_0 ) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot \overline{\underbrace{e^{-i \pi}}_{=-1}} \cdot i & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \\ \end{array} </math> === Umparametrisierung der Wege - Schritt 8 === Für die Terme <math>\gamma_2</math> bzw. <math>\gamma_4</math> steht jeweils noch ein <math>i</math>. Für Ersetzung in dem Funktionsterm wird dies noch mit <math>-i</math> multipliziert. Dann erhält man: :<math> \begin{array}{rclcl} \gamma_1(t_1) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{i \frac{3}{2}\pi} & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \\ \gamma_2(t_2) - z_0 & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot i \cdot (-i) & = & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \\ \gamma_3(t_1) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot e^{-i \frac{1}{2}\pi}} & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \\ \gamma_4(t_2) - z_0 & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-i) \cdot (-i) & = & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \\ \end{array} </math> === Einsetzen für die Randwege - Schritt 9 === Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (-i) \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) + \\ & & r\cdot e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)}} \cdot i \cdot (t_2-\tfrac{1}{2}) \\ & & r\cdot \overline{ e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} } \cdot (-1) \cdot (t_1-\tfrac{1}{2}) \\ \end{array} </math> === Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 === Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> === Orientierte Kreisscheibe mit Randwegen === === Realteil als Summe von Randwegen === Mit <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und der algebraischen Eigenschaft für <math>e^{i\alpha} + \overline{e^{i\alpha}} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cdot \cos(\alpha)</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ (t_1,t_2) & = & z_0 + \\ & & \, + \, (t_1-\tfrac{1}{2}) \cdot \overbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }^{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \\ & & \, + \, (t_2-\tfrac{1}{2}) \cdot \underbrace{ \left( e^{i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} + e^{-i\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \right) }_{=2\cdot \cos\big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big)} \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> == Siehe auch == 2pguhfvl77wte4k1ddswlk00locb6fl 2 171969 1108958 1108837 2026-07-24T15:39:22Z Bocardodarapti 2041 1108958 wikitext text/x-wiki [https://colab.research.google.com/github/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/blob/main/euclidean.ipynb Link zu euklidischem Algorithmus über colab] Binderlinks: [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/HEAD Euklidischer Algorithmus] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/EuklidischerAlgorithmusLineareKombination/HEAD Linearkombination des GgT] [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Polynomdivision/HEAD Polynomdivision] siehe [[:Kategorie:Hilfsmittel_der_Mathematik/Aufgaben]] td2gdm2frgclpbks6k2wxxannuj8yc2 1108963 1108958 2026-07-24T15:49:21Z Bocardodarapti 2041 1108963 wikitext text/x-wiki [https://colab.research.google.com/github/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/blob/main/euclidean.ipynb Link zu euklidischem Algorithmus über colab] Binderlinks: [https://mybinder.org/v2/gh/Bocardodarapti/Polynomdivision/HEAD Polynomdivision] siehe [[:Kategorie:Hilfsmittel_der_Mathematik/Aufgaben]] 7zhhg2zb8b87oxxmb650abkzw7b9yuh 1109031 1108963 2026-07-25T07:00:13Z Bocardodarapti 2041 1109031 wikitext text/x-wiki [https://colab.research.google.com/github/Bocardodarapti/Euklidischer-Algorithmus/blob/main/euclidean.ipynb Link zu euklidischem Algorithmus über colab] noch nicht eingebunden: {{ inputaufgabe |Externer Algorithmus/Polynomdivision/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} siehe [[:Kategorie:Hilfsmittel_der_Mathematik/Aufgaben]] t9508eg2cz9hg34650lc5jljr1hgvxl 106 171993 1109054 1108626 2026-07-25T09:16:41Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109054 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|16|22|Kurs=|}} ghall7ux283nzf4vdpvy5ceq5sdo2dk 106 172013 1109060 1108649 2026-07-25T09:17:41Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109060 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|23|Kurs=|}} clv3dfef62jf44f57dvpok05g4ba015 106 172027 1109052 1108664 2026-07-25T09:16:21Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109052 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|13|44|Kurs=|}} s0hvw9imce7mrq20i4133zuf5ztqm9i 106 172034 1109051 1108671 2026-07-25T09:16:11Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109051 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|13|37|Kurs=|}} ef67xn4dz471k4hnwpqd2triog5u6d5 106 172038 1109053 1108675 2026-07-25T09:16:31Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109053 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|18|Kurs=|}} db1v0mbd8e3ohwn1ojtkeq5m328vcpp 106 172043 1109055 1108680 2026-07-25T09:16:51Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109055 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|17|13|Kurs=|}} m6txs5rg8p4vcu510y8hx4vfp7yb1xd 106 172045 1109056 1108682 2026-07-25T09:17:01Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109056 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|17|21|Kurs=|}} 1ndb0lkgwcqbmc9swefbi3mssetcox0 106 172068 1109057 1108705 2026-07-25T09:17:11Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109057 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|28|Kurs=|}} 9ft2o4u4jmxibwco1v0bqdarc43nbq0 106 172107 1109058 1108744 2026-07-25T09:17:21Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109058 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|3|22|Kurs=|}} mmz2s8fec56ntosygehmj5jt7de8vwr 106 172113 1109059 1108750 2026-07-25T09:17:31Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109059 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|5|17|Kurs=|}} 1usknwhj1fb5wqjko20h2amz9gal1do 106 172115 1109061 1108752 2026-07-25T09:17:51Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1109061 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|35|Kurs=|}} 7a9a58f2rz6f5hc0jaob8q17z4lkcd8 0 172130 1108937 2026-07-24T14:39:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108937 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer schriftlicher Multiplizierer. {{Algorithmuslink|SchriftlicheMultiplikation|Schriftliche Multiplikation}} Welcher Geschwindigkeitsstufe des Algorithmus entspricht Ihre Multiplikationsgeschwindigkeit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0nvlgm3bvjtxodvqwktl1zg4ko45bv9 0 172131 1108949 2026-07-24T15:27:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108949 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmischer schriftlicher Multiplizierer für Zahlen im Siebenersystem. {{Algorithmuslink|SchriftlicheMultiplikationSiebenersystem|Schriftliche Multiplikation im Siebenersystem}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} f8qrdf0igs4qijxp4mnlhumchnp2mjj 0 172132 1108957 2026-07-24T15:38:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108957 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmisches Werkzeug, das die Division mit Rest für natürliche Zahlen ausführt. {{Algorithmuslink|Division-mit-Rest-Z|Division mit Rest}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} mevllamej6deogijtjnigoc6x1cny8a 0 172133 1108962 2026-07-24T15:47:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108962 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein Werkzeug, das den euklidischen Algorithmus für zwei ganze Zahlen ausführt und insbesondere deren größten gemeinsamen Teiler ausrechnet. {{Algorithmuslink|Euklidischer-Algorithmus|Euklidischer Algorithmus}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 99qrohvwtys6gloytbvw2rcap5iecyb 0 172134 1108965 2026-07-24T15:49:52Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108965 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein Werkzeug, das, aufbauend auf dem euklidischen Algorithmus, für zwei ganze Zahlen eine Darstellung ihres größten gemeinsamen Teiler als eine Linearkombination bestimmt. {{Algorithmuslink|EuklidischerAlgorithmusLineareKombination|Linearkombination für den GgT}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2=Hilfsmittel der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6iujdpd7fsz3vo9zbf5j8n50aglouxz 106 172135 1108993 2026-07-24T16:59:26Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1108993 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[orientierte Fläche]] * [[Residuensatz]] mcqljakx719afqbq1ilbwuue6m571rz 1108994 1108993 2026-07-24T16:59:52Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1108994 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] 8b1xozxhyukjk0c7sknhdd2io2yvgvs 1108995 1108994 2026-07-24T17:00:40Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1108995 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] bafxljlb0y1kc35baahq8ut1tzftwy5 1108996 1108995 2026-07-24T17:00:50Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1108996 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] fvayo7e3ycye7ho07vf1vcjmmyky7na 1108997 1108996 2026-07-24T17:06:35Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1108997 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring wird wie folgt als orientierte Fläche betrachtet: == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] 8f0ti5it962u0768hk5a2gaqy5yfz4j 1109000 1108997 2026-07-24T17:20:51Z Bert Niehaus 20843 /* Kreisring als orientierte Fläche */ 1109000 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] eje7b8tcysr9cim1hlvrzsjbrg11i03 1109005 1109000 2026-07-24T17:28:15Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Kreisring als orientierte Fläche */ 1109005 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] togio7lqgapz6wmex154gwpcn5iu8ue 1109006 1109005 2026-07-24T17:30:51Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierte Kreisrings */ 1109006 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] b3fzw9z0fzp1nmruv78r6bp06qtfxix 1109007 1109006 2026-07-24T17:37:22Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierte Kreisrings */ 1109007 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math> und <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_\gamma f(z) \, d^2\!z := \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] 2gxrd6hhb33o8jmhplddw5tiykenor9 1109008 1109007 2026-07-24T17:44:36Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegrale über Kreisringe */ 1109008 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] o7rylhd5lmmzxm2nuz52q45q2qpbtn7 1109009 1109008 2026-07-24T17:51:49Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegrale über Kreisringe */ 1109009 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. === Anwendung des Residuensatzes === Dennoch kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \bigg( 2\pi i \cdot \underbrace{ n\big(\gamma_{_K}(\cdot ,t_2),z_1\big)}_{=1} \cdot Res(f,z_1) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] rcdposv4pydecligdvc0lcx1acfeq5s 1109010 1109009 2026-07-24T17:57:08Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung des Residuensatzes */ 1109010 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. === Anwendung des Residuensatzes === Dennoch kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \bigg( 2\pi i \cdot \underbrace{ n\big(\gamma_{_K}(\cdot ,t_2),z_1\big)}_{=1} \cdot Res(f,z_1) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Dabei ist <math>\gamma_{_K}(\cdot ,t_2)</math> eine [[Integrationsweg]] mit dem Argument <math>t_1</math>, wobei das <math>t_2</math> eine Konstante des [[Wegintegral|Wegintegrals]] ist: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K}(\cdot ,t_2) : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] 1z1xcpb0qkcl5dx11e607pi7lajrm25 1109011 1109010 2026-07-24T18:00:48Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung des Residuensatzes */ 1109011 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. === Anwendung des Residuensatzes === Dennoch kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( 2\pi i \cdot \underbrace{ n\big(\gamma_{_K}(\cdot ,t_2),z_1\big)}_{=1} \cdot Res(f,z_1) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (R-r) \cdot Res(f,z_1) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Umlaufzahl für orientierten Flächen === Dabei ist <math>\gamma_{_K}(\cdot ,t_2)</math> eine [[Integrationsweg]] mit dem Argument <math>t_1</math>, wobei das <math>t_2</math> eine Konstante des [[Wegintegral|Wegintegrals]] ist: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K}(\cdot ,t_2) : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] bunezcq2mm5ibd3e4nojmraxge84hha 1109012 1109011 2026-07-24T18:05:24Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Umlaufzahl für orientierten Flächen */ 1109012 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. === Anwendung des Residuensatzes === Dennoch kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( 2\pi i \cdot \underbrace{ n\big(\gamma_{_K}(\cdot ,t_2),z_1\big)}_{=1} \cdot Res(f,z_1) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (R-r) \cdot Res(f,z_1) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Umlaufzahl für orientierten Flächen === Dabei ist <math>\gamma_{_K}(\cdot ,t_2)</math> eine [[Integrationsweg]] mit dem Argument <math>t_1</math>, wobei das <math>t_2</math> eine Konstante des [[Wegintegral|Wegintegrals]] ist: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K}(\cdot ,t_2) : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> == Beispiel - Flächenintegral über Kreisring == Die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> hat einen Pol 1. Ordnung als Singularität in <math>z_0=0</math>. Mit <math>\overline{K_1^5(z)} </math> als abgeschlossener Kreisring und der obigen orientierten Fläche <math>\gamma_{_K}(t_1 ,t_2)=t_2\cdot e^{it_1}</math> liefert dann als Flächenintegral: :<math> </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] l0afcmiqqrq7n2up82hbetcv3a2i1rj 1109013 1109012 2026-07-24T18:11:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Flächenintegral über Kreisring */ 1109013 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. === Anwendung des Residuensatzes === Dennoch kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( 2\pi i \cdot \underbrace{ n\big(\gamma_{_K}(\cdot ,t_2),z_1\big)}_{=1} \cdot Res(f,z_1) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (R-r) \cdot Res(f,z_1) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Umlaufzahl für orientierten Flächen === Dabei ist <math>\gamma_{_K}(\cdot ,t_2)</math> eine [[Integrationsweg]] mit dem Argument <math>t_1</math>, wobei das <math>t_2</math> eine Konstante des [[Wegintegral|Wegintegrals]] ist: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K}(\cdot ,t_2) : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> == Beispiel - Flächenintegral über Kreisring == Die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> hat einen Pol 1. Ordnung als Singularität in <math>z_0=0</math>. Mit <math>\overline{K_1^5(z)} </math> als abgeschlossener Kreisring und der obigen orientierten Fläche <math>\gamma_{_K}(t_1 ,t_2)=t_2\cdot e^{it_1}</math> liefert dann als Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} \frac{1}{z} \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{t_2\cdot e^{it_1}} \cdot \underbrace{t_2\cdot i \cdot e^{it_1}}_{\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)} \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{t_2\cdot e^{it_1}} \cdot \underbrace{t_2\cdot i \cdot e^{it_1}}_{\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)}\, dt_1 \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (R-r) \cdot Res(f,z_1) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] juhdonvpyg0g5jpho9w7d0w88v7un34 1109014 1109013 2026-07-24T18:15:13Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Flächenintegral über Kreisring */ 1109014 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. === Anwendung des Residuensatzes === Dennoch kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( 2\pi i \cdot \underbrace{ n\big(\gamma_{_K}(\cdot ,t_2),z_1\big)}_{=1} \cdot Res(f,z_1) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (R-r) \cdot Res(f,z_1) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Umlaufzahl für orientierten Flächen === Dabei ist <math>\gamma_{_K}(\cdot ,t_2)</math> eine [[Integrationsweg]] mit dem Argument <math>t_1</math>, wobei das <math>t_2</math> eine Konstante des [[Wegintegral|Wegintegrals]] ist: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K}(\cdot ,t_2) : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> == Beispiel - Flächenintegral über Kreisring == Die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> hat einen Pol 1. Ordnung als Singularität in <math>z_0=0</math>. Mit <math>\overline{K_1^5(z)} </math> als abgeschlossener Kreisring und der obigen orientierten Fläche <math>\gamma_{_K}(t_1 ,t_2)=t_2\cdot e^{it_1}</math> liefert dann als Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} \frac{1}{z} \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{t_2\cdot e^{it_1}} \cdot \underbrace{t_2\cdot i \cdot e^{it_1}}_{\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)}\, dt_1 \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle \int_{1}^{5} \underbrace{\bigg( \int_{0}^{2\pi} i \ \, dt_1 \bigg)}_{=2\pi i} \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (5-1) \cdot \underbrace{Res(f,0)}_{=1} = 8\pi i \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] qejbvrbb64ueuf8usfoiauqgyvypsca 1109015 1109014 2026-07-24T18:23:38Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Flächenintegral über Kreisring */ 1109015 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] wurden bisher Integrale über Rechtecke, Dreiecke, Kreisscheiben und Ellipsen als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] und somit konvexen [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] behandelt. === Lernvoraussetzungen === Für diese Lerneinheit wird vorausgesetzt: * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] auf konvexen Gebieten, * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] und [[Laurent-Reihe]] * [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] == Integration über Kreisringe == Kreisringe sind bereits bei der Entwicklung einer holomorphen Funktionen mit isolierten Singularitäten als Konvergenzbereich von [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] aufgetreten. Nun werden Kreisringe als [[orientierte Fläche]] betrachtet, === Kreisring als orientierte Fläche === Der Kreisring <math>K_r^R(z_0):=\{z\in \mathbb{C}\, : \, r < | z-z_0| < R \}</math> wird wie folgt als orientierte Fläche <math>\gamma_{_K} :[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> als eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] dargestellt, die die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> besitzt. Die Spur bezeichnet <math>Spur(\gamma_{_K})=\overline{K_r^R(z_0)}</math> ist dann der abgeschlossene Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)} = \{z\in \mathbb{C}\, : \, r \leq | z-z_0| \leq R \}</math> === Definition - Kreisring als orientierte Fläche === Die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_K}</math> über einen abgeschlossenen Kreisring <math>\overline{K_r^R(z_0)}</math> wird wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K} : & [0,2\pi] \times [r,R]& \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> === Gradient der orientierte Kreisrings === Der [[w:de:Gradient|Gradient]] des orientierten Kreisring <math>Grad(\gamma_{_K})=(\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1},\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2})</math> gibt in einem Punkt <math>\gamma_{_K}(t_1,t_2)\in\overline{K_r^R(z_0)} \subset \mathbb{C}</math> des abgeschlossenen Kreisringes die komplexe Orientierung <math>Grad(\gamma_{_K})(t_1,t_2)\in \mathbb{C}^2</math> an. :<math> Grad(\widehat{\gamma})(t_1,t_2)=(t_2\cdot i \cdot e^{it_1} \,\, , \,\, e^{it_1})\in \mathbb{C}^2 </math> === Flächenintegrale über Kreisringe === Sei <math>f: G \to \mathbb{C}</math> eine Funktion mit genau einer isolierten Singularität <math>z_1 \in D_r(z_0)</math> und <math>S\subset G</math>, <math>S \cap \overline{K_r^R(z_0)} = \emptyset </math> und <math>\overline{D_R(z_0)}\subset G</math>. :<math> \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z := \int_{r}^{R} \left( \int_{0}^{2\pi} f(\gamma(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Auf einer Umgung von dem Kreisring <math> \overline{K_r^R(z_0)}</math> gibt es nicht notwendigerweise eine Stammfunktion und damit auch keine [[Flächenstammfunktion]]. === Anwendung des Residuensatzes === Dennoch kann man das Integral mit dem Residuensatz berechnen. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} f(z) \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( 2\pi i \cdot \underbrace{ n\big(\gamma_{_K}(\cdot ,t_2),z_1\big)}_{=1} \cdot Res(f,z_1) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (R-r) \cdot Res(f,z_1) \\ \end{array} </math> === Bemerkung - Umlaufzahl für orientierten Flächen === Dabei ist <math>\gamma_{_K}(\cdot ,t_2)</math> eine [[Integrationsweg]] mit dem Argument <math>t_1</math>, wobei das <math>t_2</math> eine Konstante des [[Wegintegral|Wegintegrals]] ist: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_K}(\cdot ,t_2) : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t_1 & \mapsto & \gamma_{_K}(t_1,t_2) = t_2\cdot e^{i\cdot t_1} \end{array} </math> == Beispiel - Flächenintegral über Kreisring == Die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> hat einen Pol 1. Ordnung als Singularität in <math>z_0=0</math>. Mit <math>\overline{K_r^R(z_0)} =\overline{K_3^7(0)} </math> als abgeschlossener Kreisring und der obigen orientierten Fläche <math>\gamma_{_K}(t_1 ,t_2)=t_2\cdot e^{it_1}</math> liefert dann als Flächenintegral: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_K}} \frac{1}{z} \, d^2\!z &= & \displaystyle \int_{r}^{R} \bigg( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{t_2\cdot e^{it_1}} \cdot \underbrace{t_2\cdot i \cdot e^{it_1}}_{\tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2)}\, dt_1 \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle \int_{3}^{7} \underbrace{\bigg( \int_{0}^{2\pi} i \ \, dt_1 \bigg)}_{=2\pi i} \cdot \tfrac{d\gamma_{_K}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &= & \displaystyle 2\pi i \cdot (7-3) \cdot \underbrace{Res(f,0)}_{=1} = 8\pi i \\ \end{array} </math> === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie das Flächenintegral über den orientierten Kreisring <math>\overline{K_3^7(0)} </math> aus dem obigen Beispiel bzgl. der Funktion <math>\widehat{f}(z)=\exp\left(\tfrac{2+3i}{z-i}\right)</math> und bestimmen Sie dazu das Residuum von <math>\widehat{f}(z)=\exp\left(\tfrac{2+3i}{z-i}\right)</math> in der wesentlichen Singularität in <math>z_0=i</math>. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Gebiet (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] d69wm24ume0mdof5yawta3od1tam932 0 172136 1109001 2026-07-24T17:21:58Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale#Berechnungsformel]] erstellt 1109001 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale#Berechnungsformel]] gp6s8e999nl44f10spb8etsqp8gg3w3 106 172137 1109016 2026-07-24T18:31:59Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1109016 wikitext text/x-wiki == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> d9npfh85w4g59jtnldm6qfzhtdgzt1a 1109017 1109016 2026-07-24T18:35:18Z Bert Niehaus 20843 /* Ellipse als orientierte Fläche */ 1109017 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> 8g7xf0t1qgrf9m4rco4j6rqwaldk0y7 1109018 1109017 2026-07-24T18:37:08Z Bert Niehaus 20843 /* Ellipse als orientierte Fläche */ 1109018 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> ==== Beispiel 3.1 - Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat ==== Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> rsn628gmq9cigpwkh1gx2g23sjxxv36 1109019 1109018 2026-07-24T18:48:00Z Bert Niehaus 20843 /* Ellipse als orientierte Fläche */ 1109019 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> 3um2invxtg661oskj82enihjmiqs86v 1109020 1109019 2026-07-24T18:48:31Z Bert Niehaus 20843 /* Ellipse als orientierte Fläche */ 1109020 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Ellipsenfläche === == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> 1cej24y64m22wkfqzt02ej5p0a89qfu 1109022 1109020 2026-07-24T18:52:29Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierten Ellipsenfläche */ 1109022 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Ellipsenfläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1},\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)\in\overline{D_{(a,b)}(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Ellipsenfläche <math>\overline{D_{(a,b)}(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> pi0rduj9hnxa5hp7u43vzcpdgjvhz5b 1109023 1109022 2026-07-24T18:53:34Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierten Ellipsenfläche */ 1109023 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Ellipsenfläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1},\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)\in\overline{D_{(a,b)}(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Ellipsenfläche <math>\overline{D_{(a,b)}(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} \right) </math> == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> 13nn5heqidlaqgf6aytlubsufrnjjis 1109024 1109023 2026-07-24T18:54:05Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1109024 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Ellipsenfläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1},\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)\in\overline{D_{(a,b)}(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Ellipsenfläche <math>\overline{D_{(a,b)}(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} \right) </math> == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> == Siehe auch == k2nz53kldmbbpt49fqprt8th3yt61hd 1109025 1109024 2026-07-24T18:54:24Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1109025 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Ellipsenfläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1},\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)\in\overline{D_{(a,b)}(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Ellipsenfläche <math>\overline{D_{(a,b)}(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} \right) </math> == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] ksbk6g8b584y81o3vphgg3lesl2j9ev 1109027 1109025 2026-07-24T18:56:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1109027 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Ellipsenfläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1},\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)\in\overline{D_{(a,b)}(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Ellipsenfläche <math>\overline{D_{(a,b)}(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} \right) </math> == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] 7xqpykzkhbpmm7p0waps1ll2nmcgp1x 1109028 1109027 2026-07-24T19:03:22Z Bert Niehaus 20843 /* Gradient der orientierten Ellipsenfläche */ 1109028 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[w:de:Ellipse|Ellipsen]] als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] verallgemeinern die [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]]. == Ellipse als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Fläche einer Ellipse <math> \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit den Halbachsen <math> a,b > 0 </math> um <math>z_o</math> ab. Als Definitionsbereich der orientierten Ellipsenfläche wird das Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math> gewählt: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_{(a,b)}(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Ellipsenfläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma_\circ)=\left(\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1},\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)\in\overline{D_{(a,b)}(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Ellipsenfläche <math>\overline{D_{(a,b)}(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma_\circ)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Ellipsenfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot a \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot b \cdot i \end{array} \right) </math> === Animation für orientierte Ellipsenfläche === [[File:Ellipse orientierte flaeche v1 0 gradient.gif|350px|center|Ellipse as oriented surface with gradient as GIF export from Geogebra]] == Aufgabe für Studierende == Berechnen Sie das Flächenintegral für eine holomorphe Funktion mit der orientierten Fläche als Ellipse: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,2\pi] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + t_2\cdot (a\cdot \cos(t_1) + i\cdot b\cdot \sin(t_1)) \end{array} </math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] sxehhfih8wzlinnmvgmaqwa7x95yjgg 0 172138 1109032 2026-07-25T07:03:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1109032 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Über den folgenden Link öffnet sich ein algorithmisches Werkzeug, das die Division mit Rest für Polynome in einer Variablen über den rationalen Zahlen ausführt. {{Algorithmuslink|Polynomdivision}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Division mit Rest (Polynomring) |Kategorie2=Hilfsmittel_der_Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 3axck920lnvke6pd09v3uommn07m1wp 106 172139 1109034 2026-07-25T07:56:09Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1109034 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. 12ftw0q4f4ogvzdb4fdzz70i5ca2jov 1109035 1109034 2026-07-25T08:14:05Z Bert Niehaus 20843 /* Fehlen der Wegableitung */ 1109035 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> nn2zkb2wqd4ha96q43fw05yvqiuopvs 1109036 1109035 2026-07-25T08:17:50Z Bert Niehaus 20843 /* Erweiterung des Integranden */ 1109036 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> === Lokale Umkehrbarkeit === Man kann dieses Integral '''ohne explizite Kenntnis von <math> \gamma'(t) </math>''' berechnen, '''wenn man eine Substitution durchführen kann''', die auf der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math> basiert. === Idee: Substitution mit der Umkehrfunktion === Angenommen, <math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math>. Dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' (Satz über die lokale Umkehrbarkeit). Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \mathbb{R}ightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. fe2ht1vexsyebkx8nb5oi3buiw9oo3v 1109037 1109036 2026-07-25T08:19:08Z Bert Niehaus 20843 /* Erweiterung des Integranden */ 1109037 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Lokale Umkehrbarkeit === Man kann dieses Integral '''ohne explizite Kenntnis von <math> \gamma'(t) </math>''' berechnen, '''wenn man eine Substitution durchführen kann''', die auf der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math> basiert. === Idee: Substitution mit der Umkehrfunktion === Angenommen, <math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math>. Dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' (Satz über die lokale Umkehrbarkeit). Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \mathbb{R}ightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. d4nx5xl1u6zo2mvm73299ydcufwzep8 1109038 1109037 2026-07-25T08:19:38Z Bert Niehaus 20843 /* Lokale Umkehrbarkeit */ 1109038 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. === Idee: Substitution mit der Umkehrfunktion === Angenommen, <math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math>. Dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' (Satz über die lokale Umkehrbarkeit). Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \mathbb{R}ightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 0wc85270jkhigk2u7sbamkpanae7njv 1109043 1109038 2026-07-25T09:01:51Z Bert Niehaus 20843 /* Idee: Substitution mit der Umkehrfunktion */ 1109043 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Angenommen, <math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{C} </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math>. Dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' (Satz über die lokale Umkehrbarkeit). Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. acw5q641jydbuc229r9605hpm89fkza 1109045 1109043 2026-07-25T09:08:05Z Bert Niehaus 20843 /* Substitution mit der Umkehrfunktion */ 1109045 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Wegen der [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math>. Dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' (Satz über die lokale Umkehrbarkeit). Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. odbcxc5cjolzhkupnw4cx3oqseyoy50 1109046 1109045 2026-07-25T09:09:59Z Bert Niehaus 20843 /* Substitution mit der Umkehrfunktion */ 1109046 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt. Dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' (Satz über die lokale Umkehrbarkeit). Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 6tag1ywr1e5x14n5z16z6f6dhh1s364 1109048 1109046 2026-07-25T09:12:15Z Bert Niehaus 20843 /* Substitution mit der Umkehrfunktion */ 1109048 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität === Dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' (Satz über die lokale Umkehrbarkeit). === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 644le0uki06xd1mu8sqfxg2uclr6tt5 1109063 1109048 2026-07-25T09:27:52Z Bert Niehaus 20843 /* Lokale Injektivität */ 1109063 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall t_1, t_2 \in U_{t_o}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. > '''Hinweis:''' Lokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität und wird oft durch Differenzierbarkeit und nichtverschwindende Ableitung (z. B. <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>) gewährleistet. --- === 2. Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U) \to U </math> gibt, sodass: :<math> \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \quad \text{für alle } t \in U, </math> und :<math> \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in \gamma(U). </math> Das heißt: Die Einschränkung <math> \gamma|_U </math> ist bijektiv und hat eine stetige Umkehrfunktion. > '''Wichtig:''' Da <math> \gamma </math> ein Weg ist, also eine Abbildung von einem '''eindimensionalen''' Intervall in <math> \mathbb{C} </math>, ist <math> \gamma(U) </math> eine eindimensionale Kurve (eine 1-Mannigfaltigkeit). Die lokale Umkehrbarkeit bedeutet dann, dass <math> \gamma </math> in einer Umgebung von <math> t_0 </math> eine '''stetige Umkehrfunktion''' besitzt – also eine lokale „Injektivität mit stetiger Umkehrung“. --- === Zusammenhang zwischen lokaler Injektivität und lokaler Umkehrbarkeit === * Wenn <math> \gamma </math> '''stetig differenzierbar''' ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' und '''lokal umkehrbar''' an <math> t_0 </math> (nach dem '''Satz über die lokale Umkehrbarkeit''' für differenzierbare Funktionen, analog zum Umkehrsatz). * Die lokale Umkehrbarkeit impliziert automatisch lokale Injektivität. * Umgekehrt: Wenn <math> \gamma </math> stetig differenzierbar ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> lokal umkehrbar (und damit lokal injektiv). --- === Zusammenfassung === | Begriff | Definition | |--------|------------| | '''Lokal injektiv''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> injektiv ist. | | '''Lokal umkehrbar''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> bijektiv ist und die Umkehrfunktion stetig ist. | > '''Hinweis:''' Bei Wegen in <math> \mathbb{C} </math> ist lokale Umkehrbarkeit oft mit <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> verbunden. Dies ist besonders relevant bei der Berechnung von Pfadintegralen, da es sicherstellt, dass der Weg in der Nähe von <math> t_0 </math> keine Selbstüberschneidungen hat und sich gut „umkehren“ lässt. --- Wenn du möchtest, kann ich dir auch ein Beispiel geben, wie diese Begriffe bei der Berechnung von Pfadintegralen (z. B. <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>) eine Rolle spielen – insbesondere im Kontext der lokalen Injektivität, die die Gültigkeit von Substitutionen oder der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sichert. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 5l7g1hay332sqml3f7exstn3gr4pwri 1109067 1109063 2026-07-25T09:39:40Z Bert Niehaus 20843 /* Lokale Injektivität von Wegen */ 1109067 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. --- === 2. Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U) \to U </math> gibt, sodass: :<math> \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \quad \text{für alle } t \in U, </math> und :<math> \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in \gamma(U). </math> Das heißt: Die Einschränkung <math> \gamma|_U </math> ist bijektiv und hat eine stetige Umkehrfunktion. > '''Wichtig:''' Da <math> \gamma </math> ein Weg ist, also eine Abbildung von einem '''eindimensionalen''' Intervall in <math> \mathbb{C} </math>, ist <math> \gamma(U) </math> eine eindimensionale Kurve (eine 1-Mannigfaltigkeit). Die lokale Umkehrbarkeit bedeutet dann, dass <math> \gamma </math> in einer Umgebung von <math> t_0 </math> eine '''stetige Umkehrfunktion''' besitzt – also eine lokale „Injektivität mit stetiger Umkehrung“. --- === Zusammenhang zwischen lokaler Injektivität und lokaler Umkehrbarkeit === * Wenn <math> \gamma </math> '''stetig differenzierbar''' ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' und '''lokal umkehrbar''' an <math> t_0 </math> (nach dem '''Satz über die lokale Umkehrbarkeit''' für differenzierbare Funktionen, analog zum Umkehrsatz). * Die lokale Umkehrbarkeit impliziert automatisch lokale Injektivität. * Umgekehrt: Wenn <math> \gamma </math> stetig differenzierbar ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> lokal umkehrbar (und damit lokal injektiv). --- === Zusammenfassung === | Begriff | Definition | |--------|------------| | '''Lokal injektiv''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> injektiv ist. | | '''Lokal umkehrbar''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> bijektiv ist und die Umkehrfunktion stetig ist. | > '''Hinweis:''' Bei Wegen in <math> \mathbb{C} </math> ist lokale Umkehrbarkeit oft mit <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> verbunden. Dies ist besonders relevant bei der Berechnung von Pfadintegralen, da es sicherstellt, dass der Weg in der Nähe von <math> t_0 </math> keine Selbstüberschneidungen hat und sich gut „umkehren“ lässt. --- Wenn du möchtest, kann ich dir auch ein Beispiel geben, wie diese Begriffe bei der Berechnung von Pfadintegralen (z. B. <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>) eine Rolle spielen – insbesondere im Kontext der lokalen Injektivität, die die Gültigkeit von Substitutionen oder der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sichert. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. lu5uy18cbldonejuzwvwomab3nmy2uv 1109068 1109067 2026-07-25T09:40:03Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - globale und lokale Injektivität */ 1109068 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === 2. Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U) \to U </math> gibt, sodass: :<math> \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \quad \text{für alle } t \in U, </math> und :<math> \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in \gamma(U). </math> Das heißt: Die Einschränkung <math> \gamma|_U </math> ist bijektiv und hat eine stetige Umkehrfunktion. > '''Wichtig:''' Da <math> \gamma </math> ein Weg ist, also eine Abbildung von einem '''eindimensionalen''' Intervall in <math> \mathbb{C} </math>, ist <math> \gamma(U) </math> eine eindimensionale Kurve (eine 1-Mannigfaltigkeit). Die lokale Umkehrbarkeit bedeutet dann, dass <math> \gamma </math> in einer Umgebung von <math> t_0 </math> eine '''stetige Umkehrfunktion''' besitzt – also eine lokale „Injektivität mit stetiger Umkehrung“. --- === Zusammenhang zwischen lokaler Injektivität und lokaler Umkehrbarkeit === * Wenn <math> \gamma </math> '''stetig differenzierbar''' ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' und '''lokal umkehrbar''' an <math> t_0 </math> (nach dem '''Satz über die lokale Umkehrbarkeit''' für differenzierbare Funktionen, analog zum Umkehrsatz). * Die lokale Umkehrbarkeit impliziert automatisch lokale Injektivität. * Umgekehrt: Wenn <math> \gamma </math> stetig differenzierbar ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> lokal umkehrbar (und damit lokal injektiv). --- === Zusammenfassung === | Begriff | Definition | |--------|------------| | '''Lokal injektiv''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> injektiv ist. | | '''Lokal umkehrbar''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> bijektiv ist und die Umkehrfunktion stetig ist. | > '''Hinweis:''' Bei Wegen in <math> \mathbb{C} </math> ist lokale Umkehrbarkeit oft mit <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> verbunden. Dies ist besonders relevant bei der Berechnung von Pfadintegralen, da es sicherstellt, dass der Weg in der Nähe von <math> t_0 </math> keine Selbstüberschneidungen hat und sich gut „umkehren“ lässt. --- Wenn du möchtest, kann ich dir auch ein Beispiel geben, wie diese Begriffe bei der Berechnung von Pfadintegralen (z. B. <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>) eine Rolle spielen – insbesondere im Kontext der lokalen Injektivität, die die Gültigkeit von Substitutionen oder der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sichert. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 9d1xw8w7io8ulmt1e73mk174pkaowli 1109069 1109068 2026-07-25T09:40:21Z Bert Niehaus 20843 /* Geometrische Interpretation */ 1109069 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === 2. Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U) \to U </math> gibt, sodass: :<math> \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \quad \text{für alle } t \in U, </math> und :<math> \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z \quad \text{für alle } z \in \gamma(U). </math> Das heißt: Die Einschränkung <math> \gamma|_U </math> ist bijektiv und hat eine stetige Umkehrfunktion. > '''Wichtig:''' Da <math> \gamma </math> ein Weg ist, also eine Abbildung von einem '''eindimensionalen''' Intervall in <math> \mathbb{C} </math>, ist <math> \gamma(U) </math> eine eindimensionale Kurve (eine 1-Mannigfaltigkeit). Die lokale Umkehrbarkeit bedeutet dann, dass <math> \gamma </math> in einer Umgebung von <math> t_0 </math> eine '''stetige Umkehrfunktion''' besitzt – also eine lokale „Injektivität mit stetiger Umkehrung“. --- === Zusammenhang zwischen lokaler Injektivität und lokaler Umkehrbarkeit === * Wenn <math> \gamma </math> '''stetig differenzierbar''' ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' und '''lokal umkehrbar''' an <math> t_0 </math> (nach dem '''Satz über die lokale Umkehrbarkeit''' für differenzierbare Funktionen, analog zum Umkehrsatz). * Die lokale Umkehrbarkeit impliziert automatisch lokale Injektivität. * Umgekehrt: Wenn <math> \gamma </math> stetig differenzierbar ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> lokal umkehrbar (und damit lokal injektiv). --- === Zusammenfassung === | Begriff | Definition | |--------|------------| | '''Lokal injektiv''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> injektiv ist. | | '''Lokal umkehrbar''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> bijektiv ist und die Umkehrfunktion stetig ist. | > '''Hinweis:''' Bei Wegen in <math> \mathbb{C} </math> ist lokale Umkehrbarkeit oft mit <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> verbunden. Dies ist besonders relevant bei der Berechnung von Pfadintegralen, da es sicherstellt, dass der Weg in der Nähe von <math> t_0 </math> keine Selbstüberschneidungen hat und sich gut „umkehren“ lässt. --- Wenn du möchtest, kann ich dir auch ein Beispiel geben, wie diese Begriffe bei der Berechnung von Pfadintegralen (z. B. <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>) eine Rolle spielen – insbesondere im Kontext der lokalen Injektivität, die die Gültigkeit von Substitutionen oder der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sichert. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. flaa6el6otpfm6xzx4wiutek3uwe9ex 1109070 1109069 2026-07-25T09:54:42Z Bert Niehaus 20843 /* 2. Lokale Umkehrbarkeit von Wegen */ 1109070 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. === Zusammenhang zwischen lokaler Injektivität und lokaler Umkehrbarkeit === * Wenn <math> \gamma </math> '''stetig differenzierbar''' ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> '''lokal injektiv''' und '''lokal umkehrbar''' an <math> t_0 </math> (nach dem '''Satz über die lokale Umkehrbarkeit''' für differenzierbare Funktionen, analog zum Umkehrsatz). * Die lokale Umkehrbarkeit impliziert automatisch lokale Injektivität. * Umgekehrt: Wenn <math> \gamma </math> stetig differenzierbar ist und <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math>, dann ist <math> \gamma </math> lokal umkehrbar (und damit lokal injektiv). --- === Zusammenfassung === | Begriff | Definition | |--------|------------| | '''Lokal injektiv''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> injektiv ist. | | '''Lokal umkehrbar''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> bijektiv ist und die Umkehrfunktion stetig ist. | > '''Hinweis:''' Bei Wegen in <math> \mathbb{C} </math> ist lokale Umkehrbarkeit oft mit <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> verbunden. Dies ist besonders relevant bei der Berechnung von Pfadintegralen, da es sicherstellt, dass der Weg in der Nähe von <math> t_0 </math> keine Selbstüberschneidungen hat und sich gut „umkehren“ lässt. --- Wenn du möchtest, kann ich dir auch ein Beispiel geben, wie diese Begriffe bei der Berechnung von Pfadintegralen (z. B. <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>) eine Rolle spielen – insbesondere im Kontext der lokalen Injektivität, die die Gültigkeit von Substitutionen oder der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sichert. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 28c4nc4qso0b42r25qc4ypkinh4fqiv 1109071 1109070 2026-07-25T09:56:35Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenhang zwischen lokaler Injektivität und lokaler Umkehrbarkeit */ 1109071 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. === Zusammenfassung === | Begriff | Definition | |--------|------------| | '''Lokal injektiv''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> injektiv ist. | | '''Lokal umkehrbar''' | Es gibt eine Umgebung <math> U </math> von <math> t_0 </math>, sodass <math> \gamma|_U </math> bijektiv ist und die Umkehrfunktion stetig ist. | > '''Hinweis:''' Bei Wegen in <math> \mathbb{C} </math> ist lokale Umkehrbarkeit oft mit <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> verbunden. Dies ist besonders relevant bei der Berechnung von Pfadintegralen, da es sicherstellt, dass der Weg in der Nähe von <math> t_0 </math> keine Selbstüberschneidungen hat und sich gut „umkehren“ lässt. --- Wenn du möchtest, kann ich dir auch ein Beispiel geben, wie diese Begriffe bei der Berechnung von Pfadintegralen (z. B. <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>) eine Rolle spielen – insbesondere im Kontext der lokalen Injektivität, die die Gültigkeit von Substitutionen oder der Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung sichert. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 2ip0acunrmmjp9tqca7w8mizxtqcurm 1109072 1109071 2026-07-25T10:15:07Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenfassung */ 1109072 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> '''global injektiv''' ist (also streng monoton in einem geeigneten Sinne), dann existiert die '''Umkehrfunktion''' <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math>, und sie ist stetig differenzierbar. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. 3fv8hy8xsw3mejz9w55bbvdlm8sjyss 1109073 1109072 2026-07-25T10:21:07Z Bert Niehaus 20843 /* Globale Injektivität */ 1109073 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. === Globale Injektivität === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. gs2f5gfqyrgowag2fpca7zgkewxl9lm 1109074 1109073 2026-07-25T10:21:32Z Bert Niehaus 20843 /* Globale Injektivität */ 1109074 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. qr2whm3ienhhwtqpzf6r4n7n79qtig5 1109075 1109074 2026-07-25T10:28:20Z Bert Niehaus 20843 /* Lokale Umkehrbarkeit von Wegen */ 1109075 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Fazit == :<math> \boxed{ \begin{aligned} &\text{Das Integral } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt \text{ kann ohne } \gamma'(t) \text{ berechnet werden,} \\ &\text{indem man die Substitution } z = \gamma(t) \text{ anwendet, falls } \gamma \text{ injektiv und } \gamma'(t) \ne 0. \\ &\text{Dann gilt: } \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz. \\ &\text{Die lokale Umkehrbarkeit ist notwendig, damit } \gamma^{-1} \text{ existiert.} \end{aligned} } </math> --- === Hinweis: === * Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral <math> \int_\gamma f(z)\,dz </math>, das <math> \gamma'(t) </math> enthält. * Hier wird '''nur die Parameterisierung''' verwendet, aber '''nicht die Tangente'''. * Die Methode ist nützlich, wenn man die Integration über die Kurve in Bezug auf die '''Parameterzeit''' verstehen möchte – z. B. bei zeitabhängigen Prozessen auf Kurven. jbuv9uod3zgzhy36kr55axh4cy69412 1109076 1109075 2026-07-25T10:29:09Z Bert Niehaus 20843 /* Fazit */ 1109076 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] 0ncbi12rp113apjxkd42rj6tsq863ro 1109077 1109076 2026-07-25T11:12:51Z Bert Niehaus 20843 /* Globale Injektivität von Wegen */ 1109077 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die Funktion ist global umgek === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] 3y1rfjdeft55v8xb91j8mmi7d02zehz 1109078 1109077 2026-07-25T11:16:45Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Affine Funktion */ 1109078 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma^{-1}(z) </math> ist global umgek === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] s9ugwsmm5405a9okd0qlldanqjjvip8 1109079 1109078 2026-07-25T11:25:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Affine Funktion */ 1109079 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung Affine Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] jcno3l8qyhlzgyrbwg8ze76bt5zkwwz 1109080 1109079 2026-07-25T11:26:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 2 - Ableitung Affine Funktion */ 1109080 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Dann wird: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] ihalas7baw0q39b9c3qg45rwcueatf8 1109081 1109080 2026-07-25T11:32:57Z Bert Niehaus 20843 /* Lokale Umkehrbarkeit von Wegen */ 1109081 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man : :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> → '''Das Integral wird in ein Integral über die Kurve <math> \gamma([a,b]) </math> transformiert''', aber '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>''' statt <math> \gamma'(t) </math>. --- === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] nsouawg7ixpr31sa7gxxppx1bugngf7 1109082 1109081 2026-07-25T11:36:32Z Bert Niehaus 20843 /* Substitutionsregel */ 1109082 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Wichtig: Dies ist '''nicht''' das komplexe Wegintegral! === Das klassische Wegintegral ist: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt </math> Aber hier haben wir: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Also: '''Das Integral über <math> dt </math> entspricht einem Integral über <math> dz </math> mit Gewicht <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] jy2x3wie4t8w8l6hkq6aq1i7311tz2f 1109083 1109082 2026-07-25T11:37:00Z Bert Niehaus 20843 /* Wichtig: Dies ist nicht das komplexe Wegintegral! */ 1109083 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] es6fd8sf7ij37pu6vlqmk6urvbh88n7 1109084 1109083 2026-07-25T11:37:17Z Bert Niehaus 20843 /* Lokale Umkehrbarkeit von Wegen */ 1109084 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. == 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit == Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' → man kann keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] 0wzspw9gibte8rbnpby48nfv60w4k9n 1109085 1109084 2026-07-25T11:39:36Z Bert Niehaus 20843 /* 3. Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit */ 1109085 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' und man kann so in dem Integranden nicht die Division durch keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] hsdeh500iacmgpg0s2496ugflbwhpn5 1109086 1109085 2026-07-25T11:47:31Z Bert Niehaus 20843 /* Erweiterung des Integranden */ 1109086 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. <span id="Integranderweiterung"></span> === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''' und man kann so in dem Integranden nicht die Division durch keine Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> definieren. * Ohne <math> \gamma^{-1} </math> kann man die Substitution <math> z = \gamma(t) </math> '''nicht durchführen'''. * Also: '''Die Möglichkeit, <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> zu berechnen, indem man auf die Kurve zurückgeht, hängt direkt von der lokalen Umkehrbarkeit ab.''' --- == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] s6rpa26qzx1710m4qyme308ob3a67eg 1109087 1109086 2026-07-25T11:50:30Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit */ 1109087 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. <span id="Integranderweiterung"></span> === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die '''lokale Umkehrbarkeit''' ist entscheidend, weil: * Ohne <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist <math> \gamma </math> '''nicht lokal invertierbar''', weil man die Umkehrfunktion nicht definieren kann. * Ferner kann man so die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Erweiterung des Integranden]] so wegen Division durch <math>0=\gamma{\,}'(t)</math> nicht durchführen. == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] nftl7evl8juogyka4mfz8e3lqku7skh 1109088 1109087 2026-07-25T11:54:53Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit */ 1109088 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird untersucht, wann eine Integral der folgenden Form in der komplexen Analysis berechnet werden kann. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> Das Integral steht in dem Zusammenhang mit einem [[Weg-Zeit-Risikointegral]], bei dem der Wert des Integral nicht nur vom Anfangspunkt <math>\gamma(a)</math> und dem Endpunkt <math>\gamma(b)</math> abhängt, sondern auch von der <math>Spur(\gamma)</math>. === Anwendungsbezug === Wenn man zwei Wege <math>\gamma_1 : [a,b]\to G</math>, <math>\gamma_2 : [a,b]\to G</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] betrachtet, die den gleichen Anfangspunkt <math>\gamma_1(a)=z_1=\gamma_2(a)</math> und den gleichen Endpunkt <math>\gamma_1(b)= z_2=\gamma_2(b)</math>, dann liefern die Integrale im Allgemeinen unterschiedliche Werte. :<math> \int_a^b f(\gamma_1(t)) \, dt \not= \int_a^b f(\gamma_2(t)) \, dt </math> Dies ist auch inhaltlich nachvollziehbar, da ein Individuum, das sich auf dem Weg <math>\gamma_1</math> von <math>z_1</math> nach <math>z_2</math> bewegt, ggf. ein anderes Risiko (z.B. Strahlung) im Vergleich zu <math>\gamma_2</math> aussetzt. === Grundlegendes Fragen der Lerneinheit === * Wie kann man dieses Integral '''ohne''' die Webableitung <math> \gamma{\,}'(t) </math> berechnen? * Welchen Zusammenhang hat dies Fragestellung mit dem Begriff der '''lokalen Umkehrbarkeit''' von <math> \gamma </math>? == Bedeutung der Wegableitung == Mit der [[w:de:Integration durch Substitution|Substitutionsregel]] bzw. [[Transformationsformel]] für ein komplexes [[Wegintegral]] von <math>f:G\to\mathbb{C}</math> über einen Weg <math>\gamma : [a,b]\to G</math> kann man bei existierende Stammfunktion <math>F</math> das Wegintegral wie folgt berechnen: :<math> \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t)\,dt = F(\gamma(b))-F(\gamma(a))</math> Das Wegintegral ist damit wegunabhängig in <math>G</math> und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt <math>\gamma(a)</math> und <math>\gamma(b)</math> ab. === Fehlen der Wegableitung === Fehlt die Wegableitung <math>\gamma{\,}'(t)</math> im Integranden, erhält man zwei ''reelle Integrale'' über das Parameterintervall <math> [a,b] </math> und den beiden Funktionen <math>h_1 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> und Imaginärteilfunktionen <math>h_2 :[a,b]\to \mathbb{R}</math> als Realteil- und Imaginärteilfunktion von <math>f\circ \gamma = h= h_1 + i\cdot h_2</math>. :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_a^b h(t) \, dt = \int_a^b h_1(t) \, dt + i\cdot \int_a^b h_2(t) \, dt </math> === Berechnung des Wegintegrals ohne Wegableitung === Wenn man das berechnet man <math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt </math> ohne <math> \gamma{\,}'(t) </math> im Integranden berechnen möchte, versucht man über eine andere Funktion <math>\widehat{f}=\tfrac{f}{g}</math> zu integrieren, wobei <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> gilt. Dabei ist der Weg <math>\gamma</math> Integration durch Substitution> und <math>\gamma{\,}' </math> bekannt und man sucht eine Funktion <math>g</math> mit der Differentialgleichung, die die Eigenschaft <math>g\circ \gamma = \gamma{\,}' </math> erfüllt. <span id="Integranderweiterung"></span> === Erweiterung des Integranden === Wenn man verlangt, dass <math>\gamma{\,}'(t) \not= 0 </math> für alle <math>t\in[a,b]</math> gilt, kann man den Integranden mit <math>g(\gamma(t))= \gamma{\,}'(t) </math> wie folgt erweitern: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{\gamma{\,}'(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_a^b \frac{f(\gamma(t))}{g(\gamma(t))} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt \\ & = & \displaystyle \int_\gamma \frac{f(z)}{g(z)} \, dz = \int_\gamma \widehat{f}(z) \, dz \end{array} </math> Damit hätte man das Ausgangsintegral in ein klassische [[Wegintegral]] aus der Funktionentheorie mit Wegableitung <math>\gamma{\,}'</math> überführt. == Substitution mit der Umkehrfunktion == Man betrachtet zunächst eine holomorphe Funktion <math> \gamma_{_U} : U \to G </math> mit <math>[a,b]\subset U \subset \mathbb{C} </math> offen und einem Integrationsweg <math> \gamma: [a,b] \to G </math> mit <math> \gamma_{_U}(t)=\gamma(t)</math> für alle ist <math>t\in [a,b]</math>. Die [[holomorphie/Kriterien|Holomorphie]] von <math>\gamma_{_U}</math> liefert hier, dass <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ferner wird im Folgenden verlangt, dass <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b] </math> gilt, um die obige Erweiterung des Integranden <math>f(\gamma(t))</math> durchführen zu können. === Lokale Injektivität von Wegen === Sei <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> ein [[Integrationsweg]] (stetig differenzierbar.) Ein Weg <math> \gamma </math> heißt lokal injektiv an einem Punkt <math> t_o \in [a, b] </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_o \in [a,b]</math> mit <math>t_o\in U_{t_o}</math> gibt, sodass die Einschränkung <math> \gamma|_{U_{_{t_o}}}: U_{_{t_o}} \to \mathbb{C} </math> von <math>U_t</math> injektiv ist. Das heißt: :<math> \forall_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \Rightarrow \gamma(t_1) \ne \gamma(t_2). </math> ==== Geometrische Interpretation ==== In einer kleinen Umgebung von <math> t_0 </math> verläuft der Weg auf einer Spur <math>Spur(\gamma)</math>, auf der sich <math>\gamma</math> nicht selbst überlappend – er "schneidet sich selbst" nicht in der Nähe von <math> t_0 </math>. Ein Schnittpunkt ist die Negation der obigen Injektivitätsbedingung: :<math> \exist_{\,t_1, t_2 \in U_{t_o}}: \quad t_1 \ne t_2 \wedge \gamma(t_1) = \gamma(t_2). </math> Für zwei unterschiedliche Zeitpunkte <math>t_1, t_2</math> kehrt <math>\gamma</math> an den gleichen Ort <math>\gamma(t_1) = \gamma(t_2)</math> zurück. ==== Bemerkung - globale und lokale Injektivität ==== Die kokale Injektivität ist schwächer als globale Injektivität. Die obige Eigenschaft der Differenzierbarkeit und einer nichtverschwindende Ableitung <math> \gamma'(t_0) \ne 0 </math> für alle <math>t\in [a,b]</math> gewährleistet, die lokale Injektivität, aber nicht die globale Injektivität, denn für den Integrationsweg <math>\gamma :[0,2\pi]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = z_0 +r\cdot e^{it}</math> gilt <math>\gamma{\,}'(t) =r\cdot i \cdot e^{it} \not= 0</math> und es gilt <math>\gamma(0)=\gamma(2\pi)= z_0 + 1</math>. === Globale Injektivität von Wegen === Wenn <math> \gamma </math> global injektiv ist, dann existiert die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1}: \gamma([a,b]) \to [a,b] </math> und diese ist stetig differenzierbar, wenn <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist. Ist <math>\gamma</math> zusätzlich in einer Umgebung <math>U\subset \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b]\subset U</math> holomorph, dann kann man mit der [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] auch die Ableitung angeben: :<math> (\gamma^{-1})'(z) = \frac{1}{\gamma{\,}'(\gamma^{-1}(z))} </math> ==== Beispiel 1 - Affine Funktion ==== Sei <math>\gamma(t):=a_1 \cdot t + a_0</math> eine [[affine Funktion]] mit <math>a_1\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>. Die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_\mathbb{C}} : & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1 \cdot z + a_0 \end{array} </math> besitzt eine Umkehrfunktion: :<math> \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}(w) = \tfrac{w- a_0}{a_1} </math> ==== Beispiel 2 - Ableitung der affinen Funktion ==== Die Ableitung von <math>\gamma_{_\mathbb{C}}(z) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma_{_\mathbb{C}}^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math>. Dies gilt analog für die Einschränkung auf <math>[a,b]</math> den Definitionsbereich des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t) = a_1</math> konstant und <math>\left( \gamma^{-1}\right)'(w) = \tfrac{1}{a_1}</math> für <math>w\in Spur(\gamma)</math>. === Lokale Umkehrbarkeit von Wegen === Ein Weg <math> \gamma: [a, b] \to \mathbb{C} </math> heißt '''lokal umkehrbar''' an einem Punkt <math> t_0 \in (a, b) </math>, falls es eine Umgebung <math> U_{t_o} \subset [a, b] </math> von <math> t_0 </math> und eine stetige Abbildung <math> \gamma^{-1}: \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o} </math> gibt, sodass folgende Eigenschaft gilt: :<math> \forall_{ t \in U_{t_o}}: \ \gamma^{-1}(\gamma(t)) = t \wedge \forall_{ r \in \gamma(U_{t_o})}: \gamma(\gamma^{-1}(z)) = z </math> Die injektive Einschränkung <math> \gamma_{_{t_o}}:= \gamma|_{U_{t_o}} </math> auf <math>U_{t_o}</math> existiert für jedes <math>t_o\in [a,b]</math>. Diese Funktionen <math> \gamma_{_{t_o}}</math> sind jeweils bijektiv und haben eine stetige Umkehrfunktion <math> \gamma_{_{t_o}}^{-1} : \gamma(U_{t_o}) \to U_{t_o}</math>. ==== Substitutionsregel ==== Dann kann man die Substitution: :<math> z = \gamma(t) \quad \Rightarrow \quad t = \gamma^{-1}(z), \quad dt = (\gamma^{-1})'(z)\, dz </math> verwenden. Wenn man diese anwenden würde, erhält man: :<math> \int_a^b f(\gamma(t)) \, dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z) \, dz </math> Die Integralgrenzen <math>\gamma(a),\gamma(b)\in \mathbb{C}</math> sind komplexe Zahlen und nicht notwendig reelle Integralgrenzen im Sinne es Wegintegral über <math>\gamma^{-1}</math>. Dies wird im Folgenden weiter untersucht. === Zusammenhang mit der lokalen Umkehrbarkeit === Die Eigenschaft <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> liefert die ''"lokale Umkehrbarkeit"'' und die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Integrandenerweitung]], weil: * <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> ist eine notwendige Voraussetzung ist, damit <math> \gamma </math> lokal invertierbar ist. Stückweise lokale Umkehrbarkeit und die Kompaktheit der <math>Spur(\gamma)</math> ermöglicht eine endliche stückweise Berechnung für offene Überdeckungen der Spur. * Ferner kann man so die [[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral ohne Wegableitung#Integrandenerweiterung|Erweiterung des Integranden]] so wegen Division durch <math>0=\gamma{\,}'(t)</math> nicht durchführen. == 4. Beispiel: Einheitskreis == Sei <math> \gamma(t) = e^{it} </math>, <math> t \in [0, 2\pi] </math> * <math> \gamma'(t) = i e^{it} \ne 0 </math> → lokal umkehrbar * Aber <math> \gamma </math> ist '''nicht global injektiv''': <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math> → Also '''keine globale Umkehrfunktion'''. Aber '''lokal''' existiert <math> \gamma^{-1} </math>: z. B. auf <math> (0, 2\pi) </math>, dann ist <math> \gamma^{-1}(z) = \arg z </math> (mit Definitionslücke). Dann gilt: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> Aber: <math> \gamma(0) = \gamma(2\pi) = 1 </math>, und <math> \gamma^{-1} </math> hat eine Sprungstelle → man kann die Substitution '''nicht global''' anwenden. → Also: '''Man kann das Integral nicht einfach über die Kurve schreiben''', weil die Umkehrfunktion nicht wohldefiniert ist. Aber: Wenn man <math> \gamma </math> auf ein '''offenes Intervall''' wie <math> (0, 2\pi) </math> einschränkt, dann ist <math> \gamma </math> injektiv, und man kann: :<math> \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(0)}^{\gamma(2\pi)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> aber nur '''wenn man die Endpunkte nicht identifiziert''' – also '''nicht''' auf dem geschlossenen Kreis. --- == 5. Wann ist die Substitution möglich? == Die Substitution <math> z = \gamma(t) </math>, <math> dt = (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> ist '''gültig''', wenn: 1. <math> \gamma </math> ist '''stetig differenzierbar''' und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math> auf <math> [a,b] </math> → lokale Umkehrbarkeit. 2. <math> \gamma </math> ist '''injektiv''' auf <math> [a,b] </math> → globale Umkehrbarkeit. 3. Dann ist <math> \gamma^{-1} </math> stetig differenzierbar, und die Substitution gilt: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> → Das Integral wird '''in ein Integral über die Kurve''' transformiert, '''mit dem Faktor <math> (\gamma^{-1})'(z) </math>'''. --- == 6. Zusammenfassung: Antwort auf die Frage == > '''Wie kann man <math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt </math> ohne <math> \gamma'(t) </math> berechnen?''' '''Durch Substitution mit der Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math>''', '''wenn <math> \gamma </math> injektiv und <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>''' ist: :<math> \int_a^b f(\gamma(t))\,dt = \int_{\gamma(a)}^{\gamma(b)} f(z) \cdot (\gamma^{-1})'(z)\,dz </math> > '''Welchen Zusammenhang hat das mit der lokalen Umkehrbarkeit?''' '''Die lokale Umkehrbarkeit (durch <math> \gamma'(t) \ne 0 </math>) ist notwendig, damit die Umkehrfunktion <math> \gamma^{-1} </math> lokal existiert.''' → Ohne lokale Umkehrbarkeit kann man die Substitution '''nicht durchführen'''. → Die '''globale Injektivität''' ist zusätzlich erforderlich, um die Substitution '''über das ganze Intervall''' anwenden zu können. --- == Siehe auch == * [[w:de:Umkehrregel|Ableitungsregel für die Umkehrfunktionen]] * [[Holomorphie]] 8caikpqctlmecgxwp43wyyd3au0v2ak 106 172140 1109049 2026-07-25T09:15:51Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1109049 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|11|40|Kurs=|}} psr1rn17m31t402aoikmup6d2noz9de 106 172141 1109050 2026-07-25T09:16:01Z Arbota 36910 Bot: Referenzseite erstellt. 1109050 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|11|39|Kurs=|}} jrqq16rilbnnvvp6kryhb7egyf2378c 106 172142 1109064 2026-07-25T09:29:54Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1109064 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Verfahren|16||Kurs=|}} 096cla8c17o0ygncwtu90209urfjykt 14 172143 1109065 2026-07-25T09:30:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1109065 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I/Hilfsstruktur]] h0rqfv442b27y0ndktcos5i70e2uw2n 106 172144 1109066 2026-07-25T09:31:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1109066 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Verfahren|17||Kurs=|}} ek4kjo9c4ouj5dyug0uu9823w2guhi3