Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 11923 1110736 1110362 2026-08-09T13:43:26Z Bocardodarapti 2041 1110736 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | R || A_D || || || |SZ=. }} Wir betrachten den Restklassenring {{ Relationskette | L || R/(p) || || || |SZ=, }} der eine quadratische Erweiterung des Körpers {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} ist. Damit gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt |SZ= }} die drei Möglichkeiten: {{Aufzählung3 | {{math|term= L |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ=. }} | {{math|term= L |SZ=}} ist von der Form {{ Relationskette |L || {{op:Zmod| p |}} [\epsilon]/\epsilon^2 || || || |SZ=. }} | {{math|term= L |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |Produktring| |SZ= }} {{ Relationskette |L | \cong| {{op:Zmod| p |}} \times {{op:Zmod| p |}} || || || |SZ=. }} }} Im ersten Fall ist {{math|term= p |SZ=}} ein Primelement in {{math|term= R |SZ=.}} Im zweiten Fall besitzt {{math|term= L |SZ=}} genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=.}} Nach der in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe |SZ= }} bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | (p) | \subseteq | {{idealp}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das dem Ideal {{math|term= (\epsilon) |SZ=}} im Restklassenring entspricht| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist {{ Relationskette | {{idealp}} || (p, \epsilon) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei hier {{math|term= \epsilon |SZ=}} ein Repräsentant in {{math|term= R |SZ=}} sei| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette | {{idealp}}^2 || (p) || || || |SZ=. }} Im dritten Fall besitzt {{math|term= L |SZ=}} zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach {{math|term= R |SZ=}} heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} und {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} gibt mit {{ Relationskette | (p) | \subset | {{idealp}}, {{idealq}} || || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | (p) || {{idealp}} \cap {{idealq}} || || || || |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Produkt und Durchschnitt von zwei verschiedenen Primidealen/Aufgabe |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{idealp}} \cap {{idealq}} || {{idealp}} \cdot {{idealq}} || || || |SZ=. }} Mit {{ Relationskette |(p) | \subset | {{idealp}} || || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette |(p) | \subset | \overline{ {{idealp}} } || || || || |SZ=. }} Wir zeigen, dass {{ Relationskette | \overline{ {{idealp}} } || {{idealq}} || || || |SZ= }} ist, d.h., dass die beiden Primideale über {{math|term= p |SZ=}} konjugiert vorliegen. Da nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Teiler der Diskriminante/Verzweigt/Fakt |SZ= }} bei {{mathl|term= p {{|}} \Delta |SZ=}} der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass {{math|term= p |SZ=}} die Diskriminante nicht teilt. {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} ist {{math|term= p |SZ=}} ungerade und {{math|term= D |SZ=}} ist ein Quadratrest modulo {{math|term= p |SZ=.}} Es seien {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= -a |SZ=}} die beiden verschiedenen {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} Quadratwurzeln modulo {{math|term= p |SZ=.}} Dann werden die beiden Primideale durch {{mathl|term= (p, a \pm \sqrt{D}) |SZ=}} beschrieben, und diese sind konjugiert. {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{math|term= p |SZ=}} ungerade ist nach der {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Faserringe/Bemerkung |SZ= }} über die explizite Beschreibung der Faserringe {{math|term= D |SZ=}} wieder ein Quadratrest modulo {{math|term= p |SZ=.}} Es seien {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= -a|SZ=}} die beiden verschiedenen {{ Zusatz/Klammer |text=!| |ISZ=|ESZ= }} Quadratwurzeln von {{math|term= D |SZ=}} modulo {{math|term= p |SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette | \omega - \frac{1}{2} || \pm \frac{a}{2} || || || |SZ= }} und daher sind die beiden Primideale gleich {{ Relationskette | {{makl| p, \omega \pm a -\frac{1}{2} |}} || {{makl| p, \frac{a \pm \sqrt{D} }{2} |}} || || || |SZ=, }} sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt. {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist nach der {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Faserringe/Bemerkung |SZ= }} {{ Relationskette | D || 1 \mod 8 || || || |SZ=. }} Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= 1 |SZ=.}} Daher sind die Primideale darüber gegeben durch {{mathl|term= (2, \omega) |SZ=}} und {{mathl|term= (2, \omega - 1) |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | (2,\omega) || {{makl| 2, \frac{\sqrt{D}+1}{2} |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | (2, \omega - 1) || {{makl| 2, \frac{\sqrt{D}+1}{2} - 1 |}} || {{makl| 2, \frac{\sqrt{D}-1}{2} |}} || || |SZ=, }} sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cfv05j5lys15t0g67ncjndnf26sbd2w 0 14637 1110774 1002483 2026-08-09T14:26:34Z Bocardodarapti 2041 1110774 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe |Nr= |SZ= }} entsprechen die Ideale im Restklassenring {{math|term= R/{{idealm|}} |SZ=}} eindeutig den Idealen in {{math|term= R |SZ=}} zwischen {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} und {{math|term= R |SZ=.}} Nun ist {{math|term= R/{{idealm|}} |SZ=}} ein Körper genau dann, wenn es genau zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn {{ Relationskette | {{idealm|}} | \neq | R || || || || |SZ= }} ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} maximal ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2id7cbv1jtv94y5ndfe3tjb95ebu50i 0 14917 1110801 1044992 2026-08-09T14:57:02Z Bocardodarapti 2041 1110801 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Dann gibt es genau {{math|term= n |SZ=}} Einbettungen von {{math|term= L |SZ=}} in die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über komplexe Einbettungen |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ijm0mli556qqsea0u8p2glh3c0u15f7 0 16300 1110868 1102420 2026-08-09T16:00:45Z Bocardodarapti 2041 1110868 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | D |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{math|term= A_D |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlbereich/Diskriminante/Definition |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=.}} |Voraussetzung=Es sei vorausgesetzt, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |p | \leq | \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{| \Delta |}} } }{\pi} & \mbox{ bei } \, D < 0 \, , \\ \frac{ \sqrt{ {{| \Delta |}} } }{2} & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases} || || || |SZ= }} in {{math|term= A_D |SZ=}} eine Primfaktorzerlegung besitzt. |Übergang= |Folgerung=Dann ist {{math|term= A_D |SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Faktoriell |Faktname= |Abfrage=Faktorialitätskriterium für quadratische Zahlbereiche |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 29wn9v0yc5bhw4izjgfzxm4yh6az1nc 0 16512 1110869 1103635 2026-08-09T16:01:13Z Bocardodarapti 2041 1110869 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || \Z[\sqrt{-5}] || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | D || -5 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \Delta || -20 || || || |SZ=. }} Jede Idealklasse enthält nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Ideal {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} der Norm {{ Relationskette/display | N ({{ideala}}) | \leq| {{op:Bruch| 2 \sqrt{20} | \pi }} || || || || |SZ=, }} sodass nur Ideale mit Norm {{math|term= 2 |SZ=}} zu betrachten sind. Ein Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | N ({{ideala|}}) || 2 || || || |SZ= }} ist ein Primideal {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{idealp}} \cap \Z || (2) || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | {{idealp}} || {{makl| 2,1+ \sqrt{-5} |}} || {{makl| 2,1- \sqrt{-5} |}} || || |SZ= }} die einzige Möglichkeit. Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} kein Hauptideal. Daher ist die {{ Definitionslink |Idealklassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod| 2 |}} |SZ=,}} wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren {{ Zusatz/Klammer |text=oder Hauptideale| |ISZ=|ESZ= }} repräsentiert wird und das andere Element durch {{math|term= {{idealp}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort=Klassengruppe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9zcfvz4tbouwbbxz67wvcgupwaidwgt 0 16644 1110870 1105526 2026-08-09T16:01:42Z Bocardodarapti 2041 1110870 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || A_{-19} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette | D ||-19 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | A_{-19} || \Z[\frac{1+ \sqrt{-19} }{2}] || || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | A_{-19} |\cong| \Z[Y]/ {{makl| Y^2-Y+5 |}} || || || || |SZ=. }} Wir wissen aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Numerische Charakterisierung für negatives D/Fakt |SZ=, }} dass {{math|term= R |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |euklidisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition |SZ= }} ist. Dennoch ist {{math|term= R |SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |SZ= }} und nach {{ Faktlink{{{optlink1|}}} |Faktseitenname= Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt |Faktseitenname2= Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Hauptidealbereich| |Kontext=| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Klassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} ist trivial. Hierfür benutzen wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |SZ=, }} d.h. wir haben für alle Primzahlen {{ Relationskette |p |\leq|\frac{2 \sqrt{ {{|\Delta|}} } }{\pi} || || || |SZ= }} zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R |SZ=}} besitzen. Diese Abschätzung wird nur von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} erfüllt. Für {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist der Restklassenring {{ Relationskette/display | R/(2) | \cong | {{op:Zmod|2|}} [Y]/ {{makl| Y^2+Y+1 |}} || || || |SZ= }} ein Körper, sodass {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Definitionslink |träge| |Kontext=Primzahl| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=}} ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -19 |Stichwort=Klassengruppe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 565ujur6r3yb6eb56b399dczs4dcuc6 0 16847 1110775 1096003 2026-08-09T14:28:25Z Bocardodarapti 2041 1110775 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Zuerst zeigen wir, dass {{math|term= R |SZ=}} ein Unterring des Körpers {{math|term= K |SZ=}} ist. Es ist {{ Relationskette | 0 | \in | R || || || |SZ=. }} Da {{math|term= \nu |SZ=}} ein Gruppenhomomorphismus ist, muss {{ Relationskette | \nu(1) || 0 || || || |SZ= }} sein. Für Elemente {{ Relationskette | f,g | \in | R || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | \nu(f), \nu(g) | \geq | 0 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette | \nu(f \cdot g) || \nu(f) + \nu(g) | \geq | 0 || || |SZ=, }} da ein Gruppenhomomorphismus vorliegt, und ebenso {{ Relationskette/display | \nu(f+g) | \geq | {{op:Minimumpaar|\nu(f)|\nu(g)}} | \geq | 0 || || |SZ= }} nach Voraussetzung, sodass {{math|term= R |SZ=}} multiplikativ und additiv abgeschlossen ist. Ferner ist {{ Relationskette | \nu(-1) + \nu(-1) || \nu ( (-1)^2) || \nu (1) || 0 || |SZ=, }} woraus aber {{ Relationskette | \nu(-1) || 0 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | -1 | \in | R || || || |SZ= }} folgt. Also gehören auch die Negativen zu {{math|term= R |SZ=,}} und somit liegt ein kommutativer Ring vor. Weiterhin muss {{math|term= R |SZ=}} ein lokaler Ring sein. Wir behaupten, dass {{ Relationskette/display | {{idealm}} | {{defeq|}} | {{Mengebed| f \in K^\times | \nu(f) \geq 1 }} \cup \{0\} | \subseteq | R || || |SZ= }} das einzige maximale Ideal ist. Die {{math|term= 0 |SZ=}} gehört dazu und wegen {{ Relationskette | \nu(f+g) | \geq | {{op:Minimumpaar| \nu(f)| \nu(g)}} | \geq | 1 || || |SZ= }} ist die Menge additiv abgeschlossen. Für {{ Relationskette | f | \in | {{idealm|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g | \in | R || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | \nu(f) | \geq | 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \nu(g) | \geq | 0 || || || || |SZ= }} und daher {{ Relationskette | \nu(gf) || \nu(g) + \nu(f) | \geq | 1 || || |SZ=, }} sodass die Menge abgeschlossen unter Skalarmultiplikation ist. Also liegt ein Ideal vor. Das Komplement {{mathl|term= R \setminus {{idealm}} |SZ=}} besteht aus allen Elementen {{ Relationskette | h | \in | K || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \nu(h) || 0 || || || |SZ=. }} Dann ist aber auch {{ Relationskette | \nu(h^{-1}) || 0 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette | h^{-1} | \in | R || || || |SZ=, }} d.h. diese Elemente sind alle Einheiten. Daher ist {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} maximal. {{parskip}} Wir müssen noch zeigen, dass ein diskreter Bewertungsring vorliegt. Es sei hierzu {{ Relationskette | p | \in | K || || || |SZ= }} ein Element mit {{ Relationskette | \nu(p) || 1 || || || |SZ=, }} was es wegen der vorausgesetzten Surjektivität gibt. Wir wollen zeigen, dass {{math|term= p |SZ=}} prim ist. Es gilt generell, dass {{math|term= y |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= x |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | x, y | \in | R || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist genau dann, wenn {{ Relationskette | \nu(y) | \geq | \nu(x) || || || || |SZ= }} ist, da ja die Teilbarkeitsbeziehung zu {{ Relationskette | y/x | \in | R || || || |SZ= }} äquivalent ist. Aus {{mathl|term= p {{|}} xy |SZ=}} mit {{ Relationskette | x,y | \in | R || || || |SZ=, }} folgt nun {{ Relationskette | 1 ||\nu(p) | \leq | \nu(xy) || \nu(x) + \nu(y) || |SZ= }} und dann muss {{ Relationskette | \nu(x) | \geq | 1 || || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | \nu(y) | \geq | 1 || || || || |SZ= }} sein, sodass eines ein Vielfaches von {{math|term= p |SZ=}} ist. Also ist {{math|term= p |SZ=}} prim. {{parskip}} Mit dem gleichen Argument folgt, dass jedes Element {{ Relationskette | x | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | n || \nu(x) || || || |SZ= }} assoziiert zu {{math|term= p^n |SZ=}} ist. Es liegt also ein Hauptidealbereich mit genau den Idealen {{math|term= 0 |SZ=}} und {{ mathbed|term= (p^n) ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} vor. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hmmzag1eo8h10scj8fdo438zzmdlpg9 0 28578 1110717 1107150 2026-08-09T13:01:42Z Bocardodarapti 2041 1110717 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Bijektivität impliziert nach Definition stets die Surjektivität. Es sei {{math|term= \mu_f |SZ=}} surjektiv. Dann gibt es insbesondere ein Urbild der {{math|term= 1 |SZ=,}} also ein Element {{ Relationskette | g | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | fg || 1 || || || |SZ=. }} Dies bedeutet, dass {{math|term= f |SZ=}} eine Einheit ist. Wegen der Distributivität ist die Abbildung {{math|term= \mu_f |SZ=}} ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppe {{math|term= (R,+,0) |SZ=.}} Um die Injektivität zu zeigen, wenden wir das Kernkriterium an. Es sei also {{ Relationskette | fg || 0 || || || |SZ=. }} Dann ist aber {{ Relationskette/display | 0 || g(fh) ||(fg)h || h || |SZ=,}} sodass der Kern nur aus einem Element besteht. Es sei {{ Relationskette | R || \Z || || || |SZ=. }} Dann ist die Multiplikation mit {{ Relationskette | f || 2 || || || |SZ= }} injektiv, aber nicht surjektiv, da nur gerade Zahlen im Bild liegen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2e2kk2p9gefqxjvcejsf0chdkcbpvxf 10 47988 1110677 1070421 2026-08-09T12:27:04Z Bocardodarapti 2041 1110677 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Bemerkung zu verweisen. Im kontextfreien Textbaustein wird der Link neutral durch {{Anführung|Bemerkung}} repräsentiert. In einem Haupttext steht dagegen Bemerkung zusammen mit der Referenznummer im Kurs.}} Der Eintrag sollte zum Beispiel so aussehen: <pre> {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= /Bemerkung |SZ= }} </pre> </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs= {{#ifexist:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer |{{#if:{{{refb|}}}|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{{refb|}}} {{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=23}}]]{{{SZ|}}}|{{{Präwort|}}} {{#ifeq:{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}}||[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}}]]|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:Kurs:{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}} ({{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}})]]}}{{{SZ|}}}}}|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}}]]{{{SZ|}}}}} |{{{Präwort|}}} [[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|Bemerkung]] [[{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|*****]]{{{SZ|}}} {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex= |kontrolle |default=[[Kategorie:Mathematische Hilfskategorie/Es fehlen noch kursinterne Referenzen]] }} }} |#default={{{Präwort|}}} [[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|Bemerkung]]{{{SZ|}}}}}</includeonly> 8ez4eq7qc5rtdbin9hygonu4l0dr67b 1110678 1110677 2026-08-09T12:31:03Z Bocardodarapti 2041 1110678 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Bemerkung zu verweisen. 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In einem Haupttext steht dagegen Bemerkung zusammen mit der Referenznummer im Kurs.}} Der Eintrag sollte zum Beispiel so aussehen: <pre> {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= /Bemerkung |SZ= }} </pre> </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs= {{#ifexist:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer |{{#if:{{{refb|}}}|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{{refb|}}} {{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=23}}]]{{{SZ|}}} |{{{Präwort|}}} {{#ifeq:{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}}||[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}}]]|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:Kurs:{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}} ({{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}})]]}}{{{SZ|}}}}}|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}}]]{{{SZ|}}}}} |{{{Präwort|}}} [[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|Bemerkung]] [[{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|*****]]{{{SZ|}}} {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex= |kontrolle |default=[[Kategorie:Mathematische Hilfskategorie/Es fehlen noch kursinterne Referenzen]] }} }} |#default={{{Präwort|}}} [[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|Bemerkung]]{{{SZ|}}}}}</includeonly> ps5t5x5ijer1gqp39il22ewhfuovrgd 1110680 1110678 2026-08-09T12:37:19Z Bocardodarapti 2041 1110680 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Bemerkung zu verweisen. Im kontextfreien Textbaustein wird der Link neutral durch {{Anführung|Bemerkung}} repräsentiert. In einem Haupttext steht dagegen Bemerkung zusammen mit der Referenznummer im Kurs.}} Der Eintrag sollte zum Beispiel so aussehen: <pre> {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= /Bemerkung |SZ= }} </pre> </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs= {{#ifexist:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer |{{#if:{{{refb|}}}|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{{refb|}}} {{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=23}}]]{{{SZ|}}} |{{{Präwort|}}} {{#ifeq:{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}}||[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}}]]|[[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|{{:Kurs:{{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer}} ({{:{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|opt=Kurs}})]]}}{{{SZ|}}}}} |{{{Präwort|}}} [[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|Bemerkung]] [[{{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1}}/{{{Bemerkungsseitenname}}}/Bemerkungreferenznummer|*****]]{{{SZ|}}} {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex= |kontrolle |default=[[Kategorie:Mathematische Hilfskategorie/Es fehlen noch kursinterne Referenzen]] }} }} |#default={{{Präwort|}}} [[{{{term|{{{Bemerkungsseitenname}}}}}}|Bemerkung]]{{{SZ|}}}}}</includeonly> 6qxj7936f7jqkqn6ly0pnkddrxj59sq 0 73887 1110770 964101 2026-08-09T14:22:49Z Bocardodarapti 2041 1110770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Das Element {{math|term= e |SZ=}} heißt {{Stichwort/Abfrage|idempotent|SZ=,}} wenn {{ Relationskette | e^2 || e || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n83w901sx8fknxayz4gmpipcviebn8o 0 85781 1110738 1086937 2026-08-09T13:43:42Z Bocardodarapti 2041 1110738 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Norm ist eine quadratische Form auf {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} mit Werten in {{math|term= \Z |SZ=.}} Zu jedem Element {{ Relationskette | f | \in | {{ideala|}} || || || |SZ= }} liegt ein surjektiver Restklassenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | R/(f) | R/ {{ideala|}} || |SZ= }} vor. Beide Restklassenringe sind {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt |Nr= |SZ= }} endlich, und somit ist die Anzahl von {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} ein Teiler der Anzahl von {{mathl|term= R/(f) |SZ=.}} Diese Anzahlen sind aber nach Definition bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf das Vorzeichen| |ISZ=|ESZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Element und Hauptideal/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ mathkor|term1= N( {{ideala|}} ) |bzw.|term2= N(f) |SZ=. }} Die Quotienten {{mathl|term= {{op:Bruch| N(f)| N( {{ideala}} ) }} |SZ=}} liegen also in {{math|term= \Z |SZ=}} und es liegt eine ganzzahlige quadratische Form vor. Diese ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt |Nr= |SZ= }} binär. Mit einer beliebigen {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{mathl|term= s,t |SZ=}} des Ideals {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ist die durch die Norm gegebene binäre quadratische Form durch die Werte {{mathl|term= N(s), N(s+t),N(t) |SZ=}} festgelegt, und zwar lautet die explizite Beschreibung {{ Math/display|term= N(s)X^2 +( N(s+t)-N(s)-N(t) )XY + N(t)Y^2 |SZ=. }} Mit der Konjugation gilt {{ Relationskette/display |N(s) || s \overline{s} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |N(t) || t \overline{t} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | N(s+t) || (s+t) \overline{(s+t) } || s \overline{s} +s \overline{t} + t\overline{s} + t \overline{t} || || |SZ=. }} Somit ist der mittlere Koeffizient der quadratischen Form gleich {{ Relationskette/display | N(s+t)-N(s)-N(t) || s \overline{t} + t\overline{s} || || || |SZ= }} und die Diskriminante der quadratischen Form ist gleich {{ Relationskette/display | ( s \overline{t} + t \overline{s})^2-4 N(s)N(t) || ( s \overline{t} - t \overline{s})^2 || || || |SZ=. }} Wir ziehen nun die Basis {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} des Ideals {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |SZ= }} heran. Die Diskriminante ist dann {{ Relationskette/display | (a \overline{b} - \overline{a} b )^2 || a^2 (\overline{b} - b)^2 || || || |SZ=. }} Je nach Fall ist die Klammer rechts gleich {{mathl|term= 2 \beta \sqrt{D} |SZ=}} bzw. gleich {{mathl|term= 2 \beta \omega- \beta |SZ=.}} Im ersten Fall ist das Quadrat davon gleich {{mathl|term= 4 \beta^2 D |SZ=.}} Im zweiten Fall ist das Quadrat davon gleich {{ Relationskette | \beta^2 (2 \omega -1)^2 || \beta^2 D || || || |SZ=. }} Wenn man also die Norm durch die Norm des Ideals dividiert, die ja nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit Basis/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= a \beta |SZ=}} ist, so ergibt sich in beiden Fällen eine quadratische Form, deren Diskriminante gleich der Diskriminante des Zahlbereiches ist. Die Einfachheit ergibt sich aus {{ Aufgabelink |Präwort=|| Aufgabeseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Norm/GgT der Elementnormen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6yk4pq4bps6emdc6d76u9ium1nnpo7x 0 85876 1110741 1085335 2026-08-09T13:47:09Z Bocardodarapti 2041 1110741 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten im {{ Definitionslink |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zu {{ Relationskette | D || -5 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-5}) || || || |SZ=. }} Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |SZ= }} vorliegt. Die Normen der beiden Elemente sind {{ Relationskette/display | N(2) || 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | N {{makl| 1 + \sqrt{-5} |}} || {{makl| 1 + \sqrt{-5} |}} {{makl| 1 - \sqrt{-5} |}} || 6 || || |SZ=. }} Der Restklassenring ist {{ Relationskette/display | A_{-5}/ {{idealp|}} || A_{-5}/ (2, 1+ \sqrt{-5}) || {{op:Zmod| 2 |}} [ \sqrt{-5} ] / {{makl| 1+ \sqrt{-5} |}} || {{op:Zmod| 2 |}} || |SZ= }} und besitzt zwei Elemente. Da dieser Restklassenring ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} ist, ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -5 |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q2hyztaag2e69x6rwadtanifu3yt4fr 0 86731 1110967 1095816 2026-08-09T18:24:20Z Bocardodarapti 2041 1110967 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir suchen unter den quadratischen Zahlbereichen. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |SZ= }} ist ihre additive Struktur stets gleich {{math|term= \Z^2 |SZ=,}} einen additiven Isomorphismus gibt es also stets. Zu verschiedenen quadratfreien Zahlen {{ Relationskette | D,E |\neq| 0,1 || || || |SZ= }} sind die Ringe {{ mathkor|term1= A_D |und|term2= A_E |SZ= }} nicht isomorph, da in {{math|term= A_D |SZ=}} die Zahl {{math|term= E |SZ=}} keine Quadratwurzel besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt sogar in den Quotientenkörpern, und ein Ringisomorphismus der Ringe würde einen Körperisomorphismus auf den Quotientenkörpern induzieren| |ISZ=|ESZ=. }} Um einen Isomorphismus der multiplikativen Struktur zu erhalten, such wir nach Beispielen, wo diese besonders einfach ist. Dies trifft im faktoriellen Fall zu, dann dann jedes von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Element {{math|term= f |SZ=}} eine Darstellung {{ Relationskette/display | f || u p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r} || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term= u |SZ=}} besitzt, und wobei die {{math|term= p_i |SZ=}} bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt sind. Um Komplikationen mit Einheiten aus dem Weg zu gehen, betrachten wir imaginär-quadratische Zahlkörper zu {{ Relationskette/display | D | \leq | -5 || || || |SZ=, }} da dort nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} Einheiten sind. Somit betrachten wir die beiden quadratischen Zahlbereiche {{math|term= A_D|SZ=}} zu {{ Relationskette | D || -7 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | D || -11 || || || |SZ=, }} die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Numerische Charakterisierung für negatives D/Fakt |Nr= |SZ= }} faktoriell sind. In beiden Ringen gibt es abzählbar unendlich viele Primelemente und man wählt in beiden Ringen Assoziiertheitsklassen {{ mathkor|term1= p_n \in A_{-7},\, n \in \N, |bzw.|term2= q_n \in A_{-11},\, n \in \N, |SZ= }} aus Primelementen aus. Dann erhält man durch die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= | A_{-7} | A_{-11} | \pm \prod_{n \in \N} p_n^{k_n} | \pm \prod_{n \in \N} q_n^{k_n} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= 0 |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} einen Monoidisomorphismus. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trxf9tzln5wjmimh2i7uhxo50l386lo 0 87776 1110772 1093121 2026-08-09T14:24:17Z Bocardodarapti 2041 1110772 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=\Q \subseteq L |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} und {{math|term= R |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Dann ist {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |freie abelsche Gruppe vom Rang| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i20hz9lrv5eml3tqhun5pcmz5umfkbt 0 87944 1110715 1091775 2026-08-09T12:57:57Z Bocardodarapti 2041 1110715 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort/Antwort|Primideal|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=kommutativ| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp|}} | \neq | R || || || || |SZ=, }} das die folgende Eigenschaft erfüllt: Für {{ Relationskette | r,s | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | r \cdot s | \in | {{idealp|}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | r | \in | {{idealp|}} || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | s | \in | {{idealp|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ni50fw4ekbfukhmjwo2rliwn2toc5y8 0 102840 1110777 1029401 2026-08-09T14:30:20Z Bocardodarapti 2041 1110777 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{mathl|term= \zeta^3 |SZ=}} eine primitive dritte Einheitswurzel und daher ist {{ Relationskette/display | 1+ \zeta^3 + \zeta^6 || 0 || || || |SZ=. }} Unter Verwendung dieser Beobachtung ist {{ Relationskette/align | {{makl| \zeta+ \zeta^8 |}}^3 -3 {{makl| \zeta+ \zeta^8 |}} +1 || \zeta^3 +3 \zeta^2 \zeta^8+ 3 \zeta \zeta^{16} + \zeta^{24} -3 \zeta -3 \zeta^8 +1 || \zeta^3 +3 \zeta^{10} + 3 \zeta^{17} + \zeta^{24} -3 \zeta -3 \zeta^8 +1 || \zeta^3 +3 \zeta + 3 \zeta^{8} + \zeta^{6} -3 \zeta -3 \zeta^8 +1 || \zeta^3+ \zeta^6 +1 || 0 |SZ=. }} Da primitive Einheitswurzeln grundsätzlich gleichberechtigt sind und da es sich bei allen drei Elementen um die Summe einer primitiven neunten Einheitswurzel mit seinem Inversen handelt, gilt die entsprechende Gleichung auch für die beiden anderen Elemente. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} byl9rjnk6igwvmg5qec8hmjn0h0bc5j 0 120877 1110864 1102621 2026-08-09T15:58:32Z Bocardodarapti 2041 1110864 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=}} und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei {{ Relationskette | {{ideala}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= Es sei {{math|term= d_\tau|SZ=}} eine Familie von {{math|term= n |SZ=}} positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte {{ Relationskette/display | \prod_\tau d_\tau | > | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\Delta|}} } N( {{ideala||}} ) || || || |SZ= }} |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es ein {{ mathbed|term= f \in {{ideala}} ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Eigenschaft {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| \tau (f)|}} | < | d_\tau || || || |SZ= }} für alle {{math|term= \tau|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fiip6an5y5antwv3lek7z41a72asm9i 0 120888 1110862 1102627 2026-08-09T15:57:24Z Bocardodarapti 2041 1110862 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| | |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=}} und mit {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. Dann enthält jede Idealklasse aus der {{ Definitionslink |Klassengruppe| | |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |SZ= }} {{ Relationskette | {{ideala}} | \subseteq | R || || || |SZ=, }} das die Normschranke {{ Relationskette/display | N ({{ideala}} ) | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Fakt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Normschranke für Idealvertreter einer Idealklasse |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahkdq7gpzb1fkfqz5x9nbffo6n6bnsj 0 120890 1110866 1102623 2026-08-09T15:59:29Z Bocardodarapti 2041 1110866 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| | |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=}} und mit {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann enthält jedes Ideal {{ Relationskette | {{ideala}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein Element {{ Relationskette | f | \in | {{ideala|}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | f |\neq| 0 || || || |SZ=, }} das die Normschranke {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| N(f) ||}} | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } N( {{ideala}} ) || || || |SZ= }} erfüllt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o3uuukvc3s42tdj4oid42xs43nddnif 0 120891 1110863 1105527 2026-08-09T15:58:08Z Bocardodarapti 2041 1110863 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= {{idealc|}} |SZ=}} die Idealklasse. Die inverse Idealklasse {{math|term= {{idealc|}}^{-1} |SZ=}} sei durch das Ideal {{ Relationskette | {{idealb}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} repräsentiert, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette | f | \in | {{idealb}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | N(f) | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } N( {{idealb}} ) || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= f \cdot {{idealb}}^{-1} |SZ=}} ein Ideal, da ja {{math|term= {{idealb}}^{-1} |SZ=}} alle Elemente aus {{math|term= {{idealb}} |SZ=}} nach {{math|term= R |SZ=}} multipliziert, und das {{math|term= {{idealc|}} |SZ=}} repräsentiert. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | N {{makl| f \cdot {{idealb}}^{-1} |}} || N(f) N( {{idealb|}} )^{-1} | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } N( {{idealb}} ) N( {{idealb|}} )^{-1} || {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m15kh7myaoyh5q9hti4y4kxyxh6g5ai 0 121175 1110780 1093881 2026-08-09T14:38:26Z Bocardodarapti 2041 1110780 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche|Faktseitenname= Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | S/ {{idealp|}}S || S/ {{idealq}}_1^{e_1 } {{timesdots}} S/ {{idealq|}}_k^{e_k } || || || |SZ=. }} Wir können über dem {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsring| |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} argumentieren, also davon ausgehen, dass {{math|term= R |SZ=}} ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist {{math|term= S |SZ=}} ein freier {{math|term= R |SZ=-}}Modul vom Rang {{math|term= n |SZ=}} und somit ist {{ Relationskette/display | S/{{idealp}} S || S {{tensor|R}} R/{{idealp}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R/{{idealp}} |Vektorraum| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Oben rechts steht das Produkt der {{math|term= R/{{idealp}} |SZ=-}}Vektorräume {{mathl|term= S/{{idealq}}_j^{e_j } |SZ=}} und es ist zu zeigen, dass deren {{math|term= R/{{idealp}} |SZ=-}}Dimension gleich {{mathl|term= e_jf_j |SZ=}} ist. Dies zeigen wir durch Induktion über {{ Relationskette | e || e_j || || || |SZ=, }} wobei der Induktionsanfang für {{ Relationskette | e || 1 || || || |SZ= }} die Definition des Trägheitsgrades {{math|term= f_j |SZ=}} ist. Wegen {{ Relationskette | {{idealq}}^{e+1} | \subseteq | {{idealq}}^{e} || || || |SZ= }} liegt eine {{ Definitionslink |kurze exakte Sequenz| |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/display| {{idealq}}^{e} / {{idealq}}^{e+1} | S/{{idealq}}^{e+1} | S/ {{idealq}}^{e} }} vor. Dabei ist {{ Relationskette/display | {{idealq}}^{e} / {{idealq}}^{e+1} || {{idealq}}^{e} S_{{idealq}} / {{idealq}}^{e+1} S_{{idealq}} || S_{{idealq}} / {{idealq}} S_{{idealq}} || S/ {{idealq}} || |SZ=. }} Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Additivität für die Vektorraumdimension in kurzen exakten Sequenzen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pf6t0kqu92iuqis9rekhi5614mlwxg8 0 123859 1110865 1102612 2026-08-09T15:59:02Z Bocardodarapti 2041 1110865 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=}} und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. |Voraussetzung= Es sei {{math|term= d_\tau |SZ=}} eine Familie von positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte {{ Relationskette/display | \prod_\tau d_\tau | > | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } || || || |SZ= }} |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es ein {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Eigenschaft {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| \tau (f)|}} | < | d_\tau || || || |SZ= }} für alle {{math|term= \tau|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ezx04zvgss6se1c5fbesphjwidzl6l2 0 123953 1110861 1102418 2026-08-09T15:56:01Z Bocardodarapti 2041 1110861 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} der {{ Definitionslink |imaginär-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann stimmt die {{ Definitionslink |Einheitengruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten| R |}} |SZ=}} mit der Einheitswurzelgruppe {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} |SZ=}} überein. Für diese gibt es die folgenden drei Möglichkeiten. {{ Aufzählung3 |Bei {{ Relationskette | \Delta || -3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} | \cong| {{op:Zmod| 6 |}} || || || |SZ=. }} |Bei {{ Relationskette | \Delta || -4 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} | \cong | {{op:Zmod| 4 |}} || || || |SZ=. }} |Bei {{ Relationskette | \Delta | \leq | -5 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Einheitswurzelgruppe|| R}} || \{1,-1\} | \cong| {{op:Zmod| 2 |}} || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln in einem kommutativen Ring |Kategorie2=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3=Theorie der Einheiten in quadratischen Zahlbereichen |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Einheiten in imaginär-quadratischen Zahlbereichen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rk5eelzhay9m6xpraawd4i2jsjeb979 0 123972 1110932 1091029 2026-08-09T17:39:18Z Bocardodarapti 2041 1110932 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Familie von {{ Definitionslink |Einheiten| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | u_1 {{kommadots|}} u_m | \in | R || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} heißt ein System von {{ Definitionswort |Fundamentaleinheiten| |msw=Fundamentaleinheit |SZ=, }} wenn man jede Einheit {{math|term= u |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} in eindeutiger Weise als {{ Relationskette/display | u || \zeta u_1^{n_1 } \cdots u_m^{n_m } || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \zeta |SZ=}} und ganzzahligen Exponenten {{math|term= n_j |SZ=}} schreiben kann. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Fundamentaleinheit |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kt3c3a2slejlqh7u57477ao5wmow8et 0 124161 1110837 1086581 2026-08-09T15:31:31Z Bocardodarapti 2041 1110837 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungspolynom| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} || X^{p-1} +X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 || {{makl| X- \zeta |}} {{makl| X- \zeta^2 |}} \cdots {{makl| X-\zeta^{p-1} |}} || || || |SZ=. }} Es ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Potenzbasis/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align | \Delta {{makl| 1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2} |}} || \prod_{0 \leq i < j \leq p-2 } {{makl| \zeta^i - \zeta^j |}}^2 || \pm \prod_{0 \leq i , j \leq p-2, \, i \neq j } {{makl| \zeta^i - \zeta^j |}} || || |SZ=. }} Wenn man die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen {{ mathkor|term1= 1,\zeta, \zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2} |und|term2= \zeta, \zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2}, \zeta^{p-1} |SZ= }} betrachtet, so ist deren Determinante gleich {{math|term= \pm 1 |SZ=}} und deshalb kann man {{ Faktlink |Präwort=wegen||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} genauso gut {{mathl|term= \pm \prod_{1 \leq i , j \leq p-1, \, i \neq j } {{makl| \zeta^i - \zeta^j |}} |SZ=}} berechnen. {{parskip|}} Wir verwenden nun zwei verschiedene Möglichkeiten, die Ableitung des Kreisteilungspolynoms zu bestimmen. Die Ableitung von {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} |SZ=}} ist nach der Produktregel gleich {{ Math/display|term= \sum_{k {{=}} 1}^{p-1} {{makl| X- \zeta |}} {{makl| X- \zeta^2 |}} \cdots {{makl| X-\zeta^{p-1} |}} / {{makl| X- \zeta^k |}} |SZ=. }} Wenn man darin {{ mathbed|term= \zeta^i ||bedterm1= i = 1 {{kommadots|}} p-1 ||bedterm2= |SZ=, }} einsetzt, so werden alle Summanden mit der einzigen Ausnahme für {{ Relationskette | k || i || || || |SZ= }} zu {{math|term= 0 |SZ=,}} und der verbleibende Summand ist {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta^i |}} || \prod_{1 \leq j \leq p-1, \, j \neq i } {{makl| \zeta^i- \zeta^j |}} || || || |SZ=. }} Somit ist die Diskriminante gleich {{ Relationskette/display | \pm \prod_{ i {{=}} 1}^{p-1} {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta^i |}} || \pm \prod_{ \varphi } {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \varphi {{makl| \zeta |}} |}} || \pm \prod_{ \varphi } \varphi {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta |}} |}} || \pm N {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' {{makl| \zeta |}} |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \varphi |SZ=}} die Galoisgruppe von {{math|term= K_p |SZ=}} über {{math|term= \Q |SZ=}} durchläuft und {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |SZ= }} verwendet wurde. {{parskip|}} Aufgrund von {{ Relationskette/display | X^p-1 || (X-1) {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} || || || |SZ= }} gilt für die Ableitung auch die Beziehung {{ Relationskette/display | pX^{p-1} || (X-1) {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' - {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} || || || |SZ=. }} Wenn man darin {{math|term= \zeta |SZ=}} einsetzt, so erhält man {{ Relationskette/display | p \zeta^{p-1} || p \zeta^{-1} || {{makl| \zeta-1 |}} {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' (\zeta) || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' (\zeta) || p \zeta^{-1} (\zeta-1)^{-1} || || || |SZ=. }} Die Norm von {{math|term= \zeta -1 |SZ=}} ist {{ Relationskette/display |N( \zeta -1) || \prod_{ k {{=}} 1}^{p-1} {{makl| \zeta^k -1 |}} || \pm {{op:Kreisteilungspolynom| p |}} (1) || \pm p || |SZ=. }} Deshalb ist die Diskriminante nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Norm eines Elementes/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptideal zu ganzer Zahl/Norm/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align | \pm N {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom| p |}}' (\zeta) |}} || \pm N {{makl| p \zeta^{-1} (\zeta-1)^{-1} |}} || \pm N ( p ) N {{makl| \zeta^{-1} |}} N {{makl| (\zeta-1)^{-1} |}} || \pm p^{p-1} \cdot {{op:Bruch| 1 |p}} || \pm p^{p-2} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dacvxzmmhjav8dasi25k5ttxmln4xji 0 128175 1110867 1102629 2026-08-09T16:00:02Z Bocardodarapti 2041 1110867 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=}} und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von {{ Definitionslink |komplexen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |SZ=. }} |Voraussetzung= Es sei vorausgesetzt, dass jedes {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=,}} das die Normbedingung {{ Relationskette/display | N({{idealp}} ) | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } || || || |SZ= }} erfüllt, ein {{ Definitionslink |Hauptideal| |Kontext=| |Refname= {{{def5|}}} |SZ= }} sei. |Übergang= |Folgerung=Dann ist {{math|term= R |SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |Refname= {{{def6|}}} |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8oxv3zj1f7ynrsxecigkgc3tgpm893v 0 128178 1110773 1107057 2026-08-09T14:25:19Z Bocardodarapti 2041 1110773 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= \Delta |SZ=}} und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von {{ Definitionslink |komplexen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |SZ=. }} |Voraussetzung= Es sei vorausgesetzt, dass jede {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= p |SZ=,}} die die Normbedingung {{ Relationskette/display | p | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag| \Delta |}} } || || || |SZ= }} erfüllt, eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R |SZ=}} besitzt. |Übergang= |Folgerung=Dann ist {{math|term= R |SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Faktorialitätstest für Zahlbereiche |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e83bh070525bbpawweczssf6wx4qexm 0 128319 1110778 1094787 2026-08-09T14:33:07Z Bocardodarapti 2041 1110778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | R_5 || \Z[X]/{{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || || || |SZ=, }} die vier komplexen Einbettungen sind durch {{mathl|term= X \mapsto \zeta, \zeta^2, \zeta^3, \zeta^4 |SZ=}} gegeben, wobei die beiden äußeren und die beiden inneren zueinander konjugiert sind. Die beiden für die reelle Gesamteinbettung relevanten Einbettungen sind also {{ Abbildung/display |name= \varphi | R_5 | {{CC}} \cong \R^2 | X | \zeta |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name= \psi | R_5 | {{CC}} \cong \R^2 | X | \zeta^2 |SZ=. }} Dabei wird die Ganzheitsbasis auf {{ Relationskette/align | {{op:Zeilenvektor| \varphi(X) | \varphi(X^2 )| \varphi(X^3) | \varphi(X^4 )}} || {{op:Zeilenvektor| \zeta | \zeta^2| \zeta^3 | \zeta^4 }} || {{op:Zeilenvektor| {{op:cos| {{op:Bruch| 2 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| {{op:Bruch| 2 \pi | 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 4 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| {{op:Bruch| 4 \pi | 5}} |}} | {{op:cos|{{op:Bruch| 6 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| {{op:Bruch| 6 \pi | 5}} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 8 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| {{op:Bruch| 8 \pi| 5}} |}} | }} || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/align | {{op:Zeilenvektor| \psi(X) | \psi(X^2 )| \psi(X^3) | \psi(X^4 )}} || {{op:Zeilenvektor| \zeta^2 | \zeta^4 | \zeta | \zeta^3 }} || {{op:Zeilenvektor| {{op:cos| {{op:Bruch| 4 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| {{op:Bruch| 4 \pi| 5}} |}} | {{op:cos|{{op:Bruch| 8 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| {{op:Bruch| 8 \pi | 5}} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 2 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}}{{op:sin| {{op:Bruch| 2 \pi | 5}} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 6 \pi | 5}} |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| {{op:Bruch| 6 \pi | 5}} |}} | }} || || |SZ= }} bzw. abgebildet. Die reelle Ganzheitsmatrix ist demnach {{ Math/display|term= {{op:Matrix44|{{op:cos| {{op:Bruch| 2 \pi | 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 4 \pi | 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 6 \pi | 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 8 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 2 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 4 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 6 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 8 \pi | 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 4 \pi | 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 8 \pi| 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 2 \pi | 5 }} |}} | {{op:cos| {{op:Bruch| 6 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 4 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 8 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 2 \pi | 5 }} |}} | {{op:sin| {{op:Bruch| 6 \pi | 5 }} |}} }} |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jbpgt8hpcazrtcbw2a73ys1y90v6bae 0 128344 1110781 1095949 2026-08-09T14:42:10Z Bocardodarapti 2041 1110781 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Der achte Kreisteilungskörper {{mathl|term= \Q[X]/ {{makl| X^4+1 |}} |SZ=}} hat den Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und besitzt vier komplexe Einbettungen, also {{ Relationskette | s || 2 || || || |SZ=. }} Die Diskriminante ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Primzahlpotenz/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= \pm 256 |SZ=.}} Die Normschranke aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(| 2 | \pi }}^2 \sqrt{ 256 } || {{op:Bruch| 64 | \pi^2 }} | < | 7 || || |SZ=. }} Es ist also zu überprüfen, ob {{math|term= 2,3,5 |SZ=}} eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R_8 |SZ=}} besitzen. {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 2 || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 2|}}[X]/ {{makl| X^4+1 |}} || {{op:Zmod| 2|}}[X]/ {{makl| X +1 |}}^4 || || || |SZ=, }} das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} in {{math|term= R_4 |SZ=}} ist {{mathl|term= (2,X+1) |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | {{makl| \Z [X]/ {{makl| X^4+1 |}} |}} /(X+1) || \Z [X]/ {{makl| X^4+1, X+1 |}} || {{op:Zmod| 2|}} || || |SZ= }} ist {{math|term= X+1 |SZ=}} prim und somit ist {{ Relationskette/display | (2) || (X+1)^4 || || || |SZ= }} die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und {{math|term= 2 |SZ=}} besitzt eine Primfaktorzerlegung. {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 3 || || || |SZ=. }} {{parskip}} In {{mathl|term= {{op:Zmod| 3|}}[X] |SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+1 || {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} || || || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in {{math|term= {{op:Zmod| 3|}} |SZ=}} besitzen. Über {{math|term= (3) |SZ=}} liegen somit die Primideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}}_1 = {{makl| 3,X^2+X-1 |}} |und|term2= {{idealp|}}_2 = {{makl| 3,X^2-X-1 |}} |SZ=. }} In {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | X^4 +1 || {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} + 3X^2 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= X |SZ=}} in {{math|term= R_8 |SZ=}} eine Einheit ist, folgt, dass {{math|term= 3 |SZ=}} in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig ist und diese Primhauptideale sind. Somit liegt eine Primfaktorzerlegung für {{math|term= 3 |SZ=}} vor {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{ Relationskette/k | 3 || -X^2 {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 5 || || || |SZ=. }} In {{mathl|term= {{op:Zmod| 5|}}[X] |SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+1 || {{makl| X^2-2 |}} {{makl| X^2+2 |}} || || || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} keine Quadrate in {{math|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} sind. Über {{math|term= (5) |SZ=}} liegen somit die Primideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}}_1 = {{makl| 5,X^2-2 |}} |und|term2= {{idealp|}}_2 = {{makl| 5,X^2+2 |}} |SZ=. }} In {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | X^4 +1 || {{makl| X^2-2 |}} {{makl| X^2+2 |}} + 5 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die {{math|term= 5 |SZ=}} in den beiden Primidealen überflüssig ist. Somit sind beide Primhaupideale und {{ Relationskette/display | 5 || {{makl| X^2-2 |}} {{makl| X^2+2 |}} || || || |SZ= }} ist die Primfaktorzerlegung. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} js7zf9mfm5g1x5tqh27eelxgtpwyeum 1110783 1110781 2026-08-09T14:43:01Z Bocardodarapti 2041 1110783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Der achte Kreisteilungskörper {{mathl|term= \Q[X]/ {{makl| X^4+1 |}} |SZ=}} hat den Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und besitzt vier komplexe Einbettungen, also {{ Relationskette | s || 2 || || || |SZ=. }} Die Diskriminante ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Primzahlpotenz/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= \pm 256 |SZ=.}} Die Normschranke aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(| 2 | \pi }}^2 \sqrt{ 256 } || {{op:Bruch| 64 | \pi^2 }} | < | 7 || || |SZ=. }} Es ist also zu überprüfen, ob {{math|term= 2,3,5 |SZ=}} eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R_8 |SZ=}} besitzen. {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 2 || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 2|}}[X]/ {{makl| X^4+1 |}} || {{op:Zmod| 2|}}[X]/ {{makl| X +1 |}}^4 || || || |SZ=, }} das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} in {{math|term= R_4 |SZ=}} ist {{mathl|term= (2,X+1) |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | {{makl| \Z [X]/ {{makl| X^4+1 |}} |}} /(X+1) || \Z [X]/ {{makl| X^4+1, X+1 |}} || {{op:Zmod| 2|}} || || |SZ= }} ist {{math|term= X+1 |SZ=}} prim und somit ist {{ Relationskette/display | (2) || (X+1)^4 || || || |SZ= }} die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und {{math|term= 2 |SZ=}} besitzt eine Primfaktorzerlegung. {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 3 || || || |SZ=. }} {{parskip}} In {{mathl|term= {{op:Zmod| 3|}}[X] |SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+1 || {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} || || || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in {{math|term= {{op:Zmod| 3|}} |SZ=}} besitzen. Über {{math|term= (3) |SZ=}} liegen somit die Primideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}}_1 = {{makl| 3,X^2+X-1 |}} |und|term2= {{idealp|}}_2 = {{makl| 3,X^2-X-1 |}} |SZ=. }} In {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | X^4 +1 || {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} + 3X^2 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= X |SZ=}} in {{math|term= R_8 |SZ=}} eine Einheit ist, folgt, dass {{math|term= 3 |SZ=}} in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig ist und diese Primhauptideale sind. Somit liegt eine Primfaktorzerlegung für {{math|term= 3 |SZ=}} vor {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{ Relationskette/k | 3 || -X^2 {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 5 || || || |SZ=. }} In {{mathl|term= {{op:Zmod| 5|}}[X] |SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+1 || {{makl| X^2-2 |}} {{makl| X^2+2 |}} || || || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 3 |SZ= }} keine Quadrate in {{math|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} sind. Über {{math|term= (5) |SZ=}} liegen somit die Primideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}}_1 = {{makl| 5,X^2-2 |}} |und|term2= {{idealp|}}_2 = {{makl| 5,X^2+2 |}} |SZ=. }} In {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | X^4 +1 || {{makl| X^2-2 |}} {{makl| X^2+2 |}} + 5 || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass die {{math|term= 5 |SZ=}} in den beiden Primidealen überflüssig ist. Somit sind beide Primhauptideale und {{ Relationskette/display | 5 || {{makl| X^2-2 |}} {{makl| X^2+2 |}} || || || |SZ= }} ist die Primfaktorzerlegung. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eyljgnlw98kkivwig1yulxk7y4oa89b 1110786 1110783 2026-08-09T14:43:58Z Bocardodarapti 2041 1110786 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Der achte Kreisteilungskörper {{mathl|term= \Q[X]/ {{makl| X^4+1 |}} |SZ=}} hat den Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und besitzt vier komplexe Einbettungen, also {{ Relationskette | s || 2 || || || |SZ=. }} Die Diskriminante ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Primzahlpotenz/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich {{mathl|term= \pm 256 |SZ=.}} Die Normschranke aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(| 2 | \pi }}^2 \sqrt{ 256 } || {{op:Bruch| 64 | \pi^2 }} | < | 7 || || |SZ=. }} Es ist also zu überprüfen, ob {{math|term= 2, 3, 5 |SZ=}} eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R_8 |SZ=}} besitzen. {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 2 || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Zmod| 2|}}[X]/ {{makl| X^4+1 |}} || {{op:Zmod| 2|}}[X]/ {{makl| X +1 |}}^4 || || || |SZ=, }} das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} in {{math|term= R_8 |SZ=}} ist {{mathl|term= (2,X+1) |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette/display | {{makl| \Z [X]/ {{makl| X^4+1 |}} |}} /(X+1) || \Z [X]/ {{makl| X^4+1, X+1 |}} || {{op:Zmod| 2|}} || || |SZ= }} ist {{math|term= X+1 |SZ=}} prim und somit ist {{ Relationskette/display | (2) || (X+1)^4 || || || |SZ= }} die Idealzerlegung in ein Produkt von Primhauptidealen und {{math|term= 2 |SZ=}} besitzt eine Primfaktorzerlegung. {{parskip}} {{ Relationskette/display | p || 3 || || || |SZ=. }} {{parskip}} In {{mathl|term= {{op:Zmod| 3|}}[X] |SZ=}} gilt die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+1 || {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} || || || |SZ=, }} wobei die beiden Faktoren irreduzibel sind, da sie keine Nullstelle in {{math|term= {{op:Zmod| 3|}} |SZ=}} besitzen. Über {{math|term= (3) |SZ=}} liegen somit die Primideale {{ mathkor|term1= {{idealp|}}_1 = {{makl| 3,X^2+X-1 |}} |und|term2= {{idealp|}}_2 = {{makl| 3,X^2-X-1 |}} |SZ=. }} In {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | X^4 +1 || {{makl| X^2+X-1 |}} {{makl| X^2-X-1 |}} + 3X^2 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= X |SZ=}} in {{math|term= R_8 |SZ=}} eine Einheit ist, folgt, dass {{math|term= 3 |SZ=}} in den beiden Primidealen als Erzeuger überflüssig ist und diese Primhauptideale sind. 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Somit sind beide Primhauptideale und {{ Relationskette/display | 5 || {{makl| X^2-2 |}} {{makl| X^2+2 |}} || || || |SZ= }} ist die Primfaktorzerlegung. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} npsebkm9lqcg5jw4wxn9yibc6728gdv 0 128473 1110716 1096031 2026-08-09T12:58:54Z Bocardodarapti 2041 1110716 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir gehen von dem surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | G |H || |SZ= }} mit dem Kern {{math|term= N |SZ=}} aus. Dieser sendet einen Körperautomorphismus {{ Relationskette |\tau | \in | G || || || |SZ= }} auf die Einschränkung {{ Relationskette | \sigma || \tau {{|}}_L || || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt |Nr= |SZ=. }} Entsprechendes gilt gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} für die Ringautomorphismen. Sei {{ Relationskette |\tau | \in | {{op:Zerlegungsgruppe| G | {{idealr|}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |s | \in | {{idealq}} || {{idealr}} \cap S || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette | \sigma (s) || \tau (s) | \in | {{idealq}} || || |SZ=, }} da {{math|term= \tau |SZ=}} zur Zerlegungsgruppe von {{math|term= {{idealr|}} |SZ=}} gehört, und {{ Relationskette | \sigma (s) | \in | S || || || |SZ=, }} da die Einschränkung eben einen wohldefinierten Automorphismus auf {{math|term= S |SZ=}} ergibt. Also ist {{ Relationskette | \sigma | \in | {{op:Zerlegungsgruppe| H | {{idealq|}} }} || || || |SZ=. }} Zum Nachweis der Surjektivität sei nun ein {{ Relationskette | \sigma | \in | {{op:Zerlegungsgruppe| H | {{idealq|}} }} || || || |SZ= }} gegeben, und es sei {{ Relationskette |\tau | \in | G || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |\tau {{|}}_S || \sigma || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette/display | \tau^{-1}( {{idealr|}} ) || {{idealr}}' || || || |SZ=. }} Dabei gilt {{ Relationskette/display | {{idealr}}' \cap S || \tau^{-1}( {{idealr|}} ) \cap S || \sigma^{-1} ( {{idealr|}} \cap S ) || \sigma^{-1} ( {{idealq}} ) || {{idealq}} |SZ=, }} d.h. {{math|term= {{idealr|}}' |SZ=}} gehört zur Faser über {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette |S || T^H || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette |\alpha | \in | N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \alpha^{-1}( {{idealr|}}' ) || {{idealr}} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/display | ( \tau \circ \alpha )^{-1} ({{idealr}}) || {{idealr}} || || || |SZ=. }} Somit gehört {{math|term= \tau \circ \alpha |SZ=}} zur Zerlegungsgruppe {{math|term= {{op:Zerlegungsgruppe| G |{{idealr}} }} |SZ=}} und dieses Element wird unter der Restriktion auf {{math|term= \sigma|SZ=}} abgebildet, da ja die Restriktion von {{math|term= \alpha|SZ=}} die Identität auf {{math|term= S |SZ=}} ist. Der Zusatz über den Kern ist klar. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8tq8gpmzz8scx2wex21jj2z0abnx5u0 0 128553 1110957 1101861 2026-08-09T18:17:54Z Bocardodarapti 2041 1110957 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Zunächst ist wegen dem Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt |Nr= |SZ= }} das Bild der Einheiten in der Tat ein Gitter in {{math|term= H |SZ=.}} Dabei steht {{math|term= H |SZ=}} senkrecht auf dem Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| 1 |\vdots| 1}} |SZ=,}} dessen Länge ist gleich {{mathl|term= \sqrt{r+s} |SZ=.}} Das kanonische Volumen auf {{math|term= H |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das durch die euklidische Struktur gegeben ist| |ISZ=|ESZ= }} des durch {{mathl|term= L(u_1) {{kommadots|}} L(u_{r+s-1}) |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eben der Grundmasche| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= P |SZ=}} stimmt bis auf den Faktor {{math|term= \sqrt{r+s} |SZ=}} mit dem Volumen des Parallelotops {{math|term= P'|SZ=}} im {{math|term= \R^{r+s} |SZ=}} überein, das zusätzlich von {{math|term= {{op:Spaltenvektor| 1 |\vdots| 1}} |SZ=}} erzeugt wird {{ Zusatz/Klammer |text=das Maß eines orthogonalen Zylinders ist Grundvolumen mal Höhe| |ISZ=|ESZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt |Nr= |SZ= }} ist dieses Volumen der Betrag der Determinante der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix44| 1 | L_1(u_1)| \ldots|L_1(u_{r+s-1})|\vdots|\vdots| \ddots|\vdots| 1 | L_{r+s-1}(u_1)| \ldots | L_{r+s-1} (u_{r+s-1}) | 1 | L_{r+s}(u_1)| \ldots | L_{r+s} (u_{r+s-1}) }} |SZ=. }} Wenn man aus dieser Matrix, nennen wir sie {{math|term= M'|SZ=,}} die erste Spalte und die letzte Zeile herausnimmt, so erhält man diejenige Matrix {{math|term= M |SZ=,}} deren Determinantenbetrag nach Definition der Regulator ist. Wir addieren nun zur letzten Zeile von {{math|term= M'|SZ=}} nacheinander jede der übrigen Zeilen hinzu. Dies ergibt in der ersten Spalte den Eintrag {{math|term= r+s|SZ=}} und in den übrigen Spalten den Eintrag {{math|term= 0 |SZ=,}} da ja eben {{ Relationskette |L(u_j) | \in | H || || || |SZ= }} ist. Somit ist, da sich bei den Zeilenumformungen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt |SZ= }} die Determinante nicht ändert, nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Entwicklungssatz|Faktseitenname= Determinante/Körper/Entwicklungssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | \sqrt{r+s} \operatorname{vol} (P) || \operatorname{vol} (P') || {{op:Betrag| {{op:Determinante|M'|}} |}} || (r+s) {{op:Betrag| {{op:Determinante| M |}} |}} || (r+s) {{op:Regulator| R |}} || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | \operatorname{vol} (P) || \sqrt{r+s} {{op:Regulator| R |}} || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gj4dgcznfamjwi3l41ygsctos45ppst 0 128694 1110776 1095047 2026-08-09T14:29:37Z Bocardodarapti 2041 1110776 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Es ist {{ Relationskette/display |F' || 3X^2+2 || || || |SZ=. }} Wir führen den euklidischen Algorithmus für Polynome in {{math|term= \Q[X] |SZ=}} durch. Es ist {{ Relationskette/display | X^3+2X-1 || {{makl| 3X^2+2 |}} {{op:Bruch| 1| 3}} X + {{op:Bruch| 4| 3}} X -1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 3X^2+2 || {{makl| {{op:Bruch| 4| 3}} X -1 |}} {{makl| {{op:Bruch| 9| 4}}X + {{op:Bruch| 27| 16}} |}} + {{op:Bruch| 59| 16}} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/align | {{op:Bruch| 59| 16}} || {{makl| 3X^2+2 |}} - {{makl| {{op:Bruch| 4| 3}} X -1 |}} {{makl| {{op:Bruch| 9| 4}}X + {{op:Bruch| 27| 16}} |}} || {{makl| 3X^2+2 |}} - {{makl| X^3+2X-1 - {{makl| 3X^2+2 |}} {{op:Bruch| 1| 3}} X |}} {{makl| {{op:Bruch| 9| 4}}X + {{op:Bruch| 27| 16}} |}} || {{makl| X^3+2X-1 |}} {{makl| - {{op:Bruch| 9| 4}}X - {{op:Bruch| 27| 16}} |}} + {{makl| 3X^2+2 |}} {{makl| 1 + {{op:Bruch| 1| 3}} X {{makl| {{op:Bruch| 9| 4}}X + {{op:Bruch| 27| 16}} |}} }} || {{makl| X^3+2X-1 |}} {{makl| - {{op:Bruch| 9| 4}}X - {{op:Bruch| 27| 16}} |}} + {{makl| 3X^2+2 |}} {{makl| {{op:Bruch| 3| 4}} X^2 + {{op:Bruch| 9| 16}}X +1 }} |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/display | 1 || {{makl| X^3+2X-1 |}} {{makl| - {{op:Bruch| 36| 59}}X - {{op:Bruch| 27| 59}} |}} + {{makl| 3X^2+2 |}} {{makl| {{op:Bruch| 12| 59}} X^2 + {{op:Bruch| 9| 59}}X + {{op:Bruch| 16| 59}} }} || || || |SZ=. }} |In {{math|term= \Z[X] |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | 59 || {{makl| X^3+2X-1 |}} {{makl| - 36 X - 27 |}} + {{makl| 3X^2+2 |}} {{makl| 12 X^2 + 9 X + 16 }} || || || |SZ=. }} |Wir verwenden, dass {{math|term= {{op:Zmod| p |}} [X]/(F) |SZ=}} genau dann nicht reduziert ist, wenn in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= F |SZ=}} in {{math|term= {{op:Zmod| p |}}[X] |SZ=}} ein Faktor mehrfach vorkommt, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn {{math|term= F |SZ=}} und {{math|term= F'|SZ=}} einen gemeinsamen nichttrivialen Faktor besitzen. Dies ist für {{ Relationskette | p | \neq | 59 || || || |SZ= }} nicht der Fall, was direkt aus der Darstellung der {{math|term= 59 |SZ=}} folgt, die ja modulo {{math|term= p |SZ=}} eine Einheit wird. Den Fall {{ Relationskette | p || 59 || || || |SZ= }} erledigen wir im nächsten Teil. |Wir arbeiten in {{math|term= {{op:Zmod| 59|}}[X] |SZ=.}} Es ist {{math|term= 14 |SZ=}} eine Nullstelle der Ableitung {{mathl|term= 3X^2+2 |SZ=,}} wegen {{ Relationskette/display | 3 \cdot 14^2 +2 || 3 \cdot 196 +2 || 590 || 0 || |SZ=. }} Dies ergibt die Faktorzerlegung der Ableitung {{ Relationskette/display | 3X^2+2 || 3 (X-14)(X-45) || 3 (X+45)(X+14) || || |SZ= }} und insbesondere die andere Nullstelle {{ Relationskette/display | -14 || 45 || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | (-14)^3 + 2 \cdot (-14) -1 || - 14 \cdot 196 -29 || - 14 \cdot 19 -29 || -266 -29 || 295 || 0 |SZ= }} ist {{math|term= -14 |SZ=}} auch eine Nullstelle von {{math|term= F |SZ=}} und damit eine doppelte Nullstelle von {{math|term= F |SZ=.}} Die Faktorzerlegung ist {{ Relationskette/display | X^3 +2X-1 || (X+14)(X+14) ( X +31) || || || |SZ=. }} |Das Polynom {{math|term= X^3+2X-1 |SZ=}} ist irreduzibel in {{math|term= \Z[X] |SZ=,}} da dies beispielsweise modulo {{math|term= 3 |SZ=}} gilt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Ableitungsbedingung/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Normalisierung von {{math|term= R |SZ=}} an den Primidealen oberhalb von allen Primzahlen {{ Relationskette |p |\neq| 59 || || || |SZ= }} normal. Wir betrachten also die Situation über der Lokalisierung {{math|term= \Z_{(59)} |SZ=.}} Das Primideal {{mathl|term= (59,X+31 ) |SZ=}} ist an seiner Lokalisierung ein Hauptideal, da es in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= F |SZ=}} einfach vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche den Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Relationskette/display | F(-14) || - 2773 || - 59 \cdot 47 || || |SZ= }} gehört {{math|term= 59 |SZ=}} zu {{mathl|term= ( F,X+14) |SZ=}} in {{mathl|term= \Z_{(59)}[X] |SZ=.}} Dies bedeutet, dass das Primideal {{ Relationskette |(X+14,59) || (X+14) || || || |SZ= }} in {{mathl|term= \Z_{(59)}[X]/(F) |SZ=}} ein Hauptideal ist und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Also ist {{math|term= R |SZ=}} normal und ein Zahlbereich. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kyqik0v38rcwwgc23f7wcypso9t680e 0 128878 1110764 1095029 2026-08-09T14:17:37Z Bocardodarapti 2041 1110764 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Polynomring/Z/Ideal/Erzeuger/Beispiel/Aufgabe |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/align | {{op:Kählermodul|R_9|\Z}} || R_9/ {{makl| 6Y^5 +3Y^2 |}} dY || \Z[Y] / {{makl| Y^6+Y^3+1, 6Y^5 +3Y^2 |}} dY || \Z[Y] / {{makl| Y^6+Y^3+1, 3Y^3 -3 , 9 |}} dY || {{op:Zmod| 9|}} [Y]/ {{makl| Y^6+Y^3+1, 3Y^3 -3 |}} dY || |SZ=. }} Die Elemente lassen sich also eindeutig als {{ Math/display|term= {{makl| a+bY+cY^2+eY^3+fY^4+gY^5 |}} dY |SZ= }} mit {{ Relationskette | a,b,c | \in | {{op:Zmod| 9|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | e,f,g | \in | \{0,1,2\} || || || |SZ= }} schreiben, mit {{ Relationskette | 3Y^3 dY || 3 dY || || || |SZ=, }} mit {{ Relationskette | 3Y^4 dY || 3 Y dY || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 3Y^5 dY || 3Y^2 dY || || || |SZ=. }} Dieser Modul besitzt somit {{mathl|term= 9^3 \cdot 3^3 |SZ=}} Elemente. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ews350bb4lm7jn7qycoupf1a9o5rcos 0 129019 1110779 1110486 2026-08-09T14:36:24Z Bocardodarapti 2041 1110779 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(| \sqrt{2} + \sqrt{-10}| 2}}^2 || {{op:Bruch| 2-10 + 2 \sqrt{-20} | 4}} || {{op:Bruch| -8 + 4 \sqrt{-5} | 4}} || -2 + \sqrt{-5} || |SZ=. }} Daher erfüllt {{math|term= z |SZ=}} die Ganzheitsgleichung {{ Relationskette/display |Z^2 +2- \sqrt{-5} || 0 || || || |SZ= }} über {{math|term= \Z[ \sqrt{-5}] |SZ=.}} Wegen der Transitivität der Ganzheit ist dann {{math|term= z |SZ=}} auch ganz über {{math|term= \Z|SZ=.}} |Aus dieser Rechnung folgt direkt, dass {{ Relationskette | \sqrt{-5} | \in | \Z[z] || || || |SZ= }} ist. |Dies wurde unter (1) mitbewiesen. |Es ist {{ Relationskette/align | z^3 || {{makl| -2 + \sqrt{-5} |}} {{op:Bruch| \sqrt{2} + \sqrt{-10}| 2}} || {{op:Bruch| -2 \sqrt{2} -2 \sqrt{-10} + \sqrt{-5} \sqrt{2} + \sqrt{-5} \sqrt{-10} | 2}} || {{op:Bruch| 3 \sqrt{2} - \sqrt{-10} | 2}} || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | z^4 || {{makl| -2 + \sqrt{-5} |}}^2 || -1-4 \sqrt{-5} || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette | Z^4 +4Z^2 +9 || 0 || || || |SZ= }} eine Ganzheitsgleichung für {{math|term= z |SZ=}} über {{math|term= \Z |SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette/display | z^3 +z || 2 \sqrt{2} || || || |SZ=. }} Da in {{math|term= \Z[z] |SZ=}} nur ganzzahlige Kombinationen der Potenzen {{ mathbed|term= z^j ||bedterm1= j =0,1,2,3 ||bedterm2= |SZ=, }} enthalten sind und diese linear unabhängig sind, gehört {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} nicht dazu. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bpgadqui13g7dmuhymkiw7zblbbo2o 0 129201 1110937 850690 2026-08-09T17:42:35Z Bocardodarapti 2041 1110937 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Faserring| |msw= |SZ= }} zu einem Ringhomomorphismus {{ Abbildung |name= \varphi | R | S || |SZ= }} über einem Primideal {{ Relationskette | {{idealq}} | \subset | R || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ii3kcc9zoj3f8e7zvvyli9y3ye1soqd 0 129204 1110934 849714 2026-08-09T17:40:27Z Bocardodarapti 2041 1110934 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein System von {{ Stichwort/Abfrage |Fundamentaleinheiten| |msw= |SZ= }} in einem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qynrjnmrcvc1smjn8xrtkud8sx03n6h 106 160375 1110939 1093602 2026-08-09T17:44:48Z Bocardodarapti 2041 1110939 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20{{{opt|}}} |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Rechteck/Seiten ganzzahlig/Fläche und Umfang/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Eulersche Zahl/Teilsumme/Nicht ganz/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper (Z)/Summe von zwei Quadraten/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenringe/Z/Mod 2 und mod 5/Surjektiv/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitsbeziehung/a^2-1 teilt b^2+1/Aufgabe|p||| |Determinante/6 10 15/Ergänzung/Finde/Aufgabe|p||| |Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Einheitskreis/Rationaler Punkt/Abstand zu 1 irrational/Aufgabe|p||| |Einheitskreis/Rationaler Punkt/Zweite Potenz/Abstand zu 1 rational/Aufgabe|p||| |Ganzzahlige Matrix/Charakteristisches Polynom/Zahlbereich/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} t47895pz2oxwkflt96x3yxb2zl3fiih 0 164663 1110754 1033971 2026-08-09T14:00:32Z Bocardodarapti 2041 1110754 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | D | < | 0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette | D || 2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette | A_{D} || \Z[\sqrt{D}] || \Z \oplus \Z \sqrt{D} || \Z \oplus \Z \sqrt{-D} {{imaginäre Einheit|}} | \subseteq| {{CC}} || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=, }} den wir als {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} auffassen. Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{ideala|}} | \neq | 0 || || || |SZ= }} als Gitter ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} aus zwei Erzeugern besitzt, die senkrecht aufeinander stehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der imaginär-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Gitter |Kategorie3=Idealtheorie für quadratische Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4hazg0wnq66xsinqebzo0t6b6ksl2yt 0 164855 1110706 1110391 2026-08-09T12:49:43Z Bocardodarapti 2041 1110706 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Diskriminante ist {{mathl|term= -84 |SZ=,}} jede Idealklasse wird nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt |Nr= |SZ= }} durch ein Ideal der Norm {{mathl|term= \leq \frac{2 \sqrt{ {{|\Delta|}} } }{\pi} |SZ=}} repräsentiert, also {{math|term= \leq 6 |SZ=.}} Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf {{mathl|term= (2),(3) |SZ=}} oder {{mathl|term= (5) |SZ=}} runterschneiden. Der Ganzheitsring ist {{ Relationskette/display | \Z[ \sqrt{-21} ] |\cong| \Z[Y]/(Y^2 +21) || || || |SZ=. }} Für ein Element {{mathl|term= a+b \sqrt{-21} |SZ=}} ist die Norm gleich {{mathl|term= a^2 +21 b^2 |SZ=.}} Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +21) |}} /(2) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y^2 +1) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y +1)^2 || || |SZ=. }} Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} ist also {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-21}) || || || |SZ=. }} Dessen Norm ist {{math|term= 2 |SZ=,}} es ist kein Hauptideal, da {{math|term= 2 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (2) || {{idealp|}}^2 || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{mathl|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} in der Klassengruppe. Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +21) |}} /(3) || {{op:Zmod|3|}} [Y]/(Y^2) || || || |SZ=. }} Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (3) |SZ=}} ist also {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || (3, \sqrt{-21}) || || || |SZ=. }} Dessen Norm ist {{math|term= 3 |SZ=,}} es ist kein Hauptideal, da {{math|term= 3 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (3) || {{idealq|}}^2 || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{mathl|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} in der Klassengruppe. Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +21) |}} /(5) || {{op:Zmod|5|}} [Y]/(Y^2 +1) || {{op:Zmod|5|}} [Y]/(Y +2)(Y+3) || || |SZ=. }} Die Primideale oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} sind also {{ Relationskette/display | {{idealr|}} || (5, 2+ \sqrt{-21}) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | (5, 3+ \sqrt{-21}) || (5, -2 + \sqrt{-21}) || (5, 2 - \sqrt{-21}) || \overline{ {{idealr|}} } || |SZ=. }} Die Norm der beiden Ideale ist {{math|term= 5 |SZ=,}} es sind keine Hauptideale, da {{math|term= 5 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (5) || {{idealr|}} \overline{ {{idealr|}} } || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{idealr|}} {{idealr|}} || (25, 10+5 \sqrt{-21}, -17 +4 \sqrt{-21} ) || || || |SZ= }} mit der Norm {{math|term= 25 |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display | -25+ {{makl| 10+5 \sqrt{-21} |}} - {{makl| -17 +4 \sqrt{-21} |}} || 2 + \sqrt{-21} |\in | {{idealr|}}^2 || || |SZ=. }} Dieses Element besitzt die Norm {{math|term= 25 |SZ=}} und somit ist dieses Ideal nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Hauptideal/Norm/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ein Hauptideal. Daher ist {{mathl|term= {{idealr|}} |SZ=}} ebenfalls ein Element der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} in der Klassengruppe. Wir wissen also, dass die Klassengruppe von den drei Primidealen {{mathl|term= {{idealp|}} , {{idealq|}} , {{idealr|}} |SZ=}} erzeugt wird, die alle die Ordnung zwei haben. Es kann aber zwischen diesen Elementen noch Relationen geben. Die Zweierprodukte {{mathl|term= {{idealp|}} {{idealq|}} , {{idealp|}} {{idealr|}} , {{idealq|}} {{idealr|}} |SZ=}} besitzen die Normen {{mathl|term= 6,10, 15 |SZ=,}} die nicht als Normen von Elementen auftreten. Diese Produkte sind also keine Hauptideale. Betrachten wir das Produkt {{ Relationskette/align | {{idealp|}} {{idealq|}} {{idealr|}} || {{makl| 2, 1+ \sqrt{-21} |}} {{makl| 3, \sqrt{-21} |}} {{makl| 5, 2+ \sqrt{-21} |}} || {{makl| 30, 12+6 \sqrt{-21} , 10 \sqrt{-21}, 15 + 15 \sqrt{-21} , ... |}} || || |SZ=. }} Das Element {{ Relationskette/display | {{makl| 12+6 \sqrt{-21} |}} +10 \sqrt{-21}- {{makl| 15 + 15 \sqrt{-21} |}} || -3 + \sqrt{-21} || || || |SZ= }} gehört zu diesem Produktideal. Es besitzt die Norm {{math|term= 30 |SZ=}} wie das Ideal, deshalb ist es ein Hauptideal. Daher ist dieses Ideal in der Klassengruppe trivial. Deshalb ist die Klassengruppe isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4utst8gjju1v69clidn25tkhy2f7kxd 0 165044 1110761 1110392 2026-08-09T14:15:57Z Bocardodarapti 2041 1110761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Diskriminante ist {{mathl|term= -116 |SZ=,}} jede Idealklasse wird nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt |Nr= |SZ= }} durch ein Ideal der Norm {{mathl|term= \leq \frac{2 \sqrt{ {{|\Delta|}} } }{\pi} |SZ=}} repräsentiert, also echt kleiner als {{math|term= 7 |SZ=.}} Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf {{mathl|term= (2),(3) |SZ=}} oder {{mathl|term= (5) |SZ=}} runterschneiden. Der Ganzheitsring ist {{ Relationskette/display | \Z[ \sqrt{-29} ] |\cong| \Z[Y]/(Y^2 +29) || || || |SZ=. }} Für ein Element {{mathl|term= a+b \sqrt{-29} |SZ=}} ist die Norm gleich {{mathl|term= a^2 +29 b^2 |SZ=.}} Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +29) |}} /(2) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y^2 +1) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y +1)^2 || || |SZ=. }} Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} ist also {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-29}) || || || |SZ=. }} Dessen Norm ist {{math|term= 2 |SZ=,}} es ist kein Hauptideal, da {{math|term= 2 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (2) || {{idealp|}}^2 || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{mathl|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} in der Klassengruppe. Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +2) |}} /(3) || {{op:Zmod|3|}} [Y]/(Y+1)(Y+2) || || || |SZ=. }} Die Primideale oberhalb von {{math|term= (3) |SZ=}} sind also {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || (3, 1 +\sqrt{-29}) || || || |SZ= }} und dazu konjugiert {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || (3, 1 -\sqrt{-29}) || || || |SZ= }} Deren Norm ist {{math|term= 3 |SZ=,}} sie sind keine Hauptideale, da {{math|term= 3 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (3) || {{idealq|}} \overline{ {{idealq|}} } || || || |SZ=. }} Aufgrund der Normeigenschaften folgt, dass auch {{mathl|term= {{idealq}}^2, {{idealq}}^3 |SZ=}} keine Hauptideale sind. Wir betrachten {{ Relationskette/align | {{idealp|}} {{idealq|}}^3 || (2, 1+ \sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29}) || (54, 18+18 \sqrt{-29}, 27+27 \sqrt{-29}, ... ) || || |SZ=. }} Dies hat die Norm {{mathl|term= 54 |SZ=.}} Das Element {{ Relationskette/display | (1 + \sqrt{-29})^3 || -86-26 \sqrt{-29} || || || |SZ= }} gehört ebenfalls dazu, da das Doppelte und das Dreifache davon dazugehören. Deshalb gehört auch {{ Relationskette/display | 54+ -86-26 \sqrt{-29} + 27+27 \sqrt{-29} || -5 + \sqrt{-29} || || || |SZ= }} dazu. Da dieses die Norm {{math|term= 54 |SZ=}} besitzt, ist dieses Ideal ein Hauptideal. Insbesondere ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} äquivalent zu {{math|term= {{idealq|}}^3 |SZ=}} und braucht nicht weiter berücksichtigt zu werden. Zugleich ergibt sich, dass {{math|term= {{idealq|}}^6 |SZ=}} ein Hauptideal ist. Deshalb definiert {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein Element in der Klassengruppe mit Ordnung {{math|term= 6 |SZ=.}} Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +4) |}} /(5) || {{op:Zmod|5|}} [Y]/(Y +1)(Y+4) || || || |SZ=. }} Die Primideale oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} sind also {{ Relationskette/display | {{idealr|}} || (5, 1+ \sqrt{-29}) || || || |SZ= }} und das dazu konjugierte Ideal, beide mit Norm {{math|term= 5 |SZ=.}} Wir betrachten das Ideal {{ Relationskette/align | {{idealp|}} {{idealq|}} {{idealr|}} || (2, 1 +\sqrt{-29}) (3, 1 +\sqrt{-29}) (5, 1+ \sqrt{-29}) || (30, 1+ \sqrt{-29},...) || || |SZ=. }} Das Element {{mathl|term= 1+ \sqrt{-29} |SZ=}} besitzt die Norm {{math|term= 30 |SZ=,}} deshalb liegt ein Hauptideal vor. Die Klassengruppe ist also isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod|6|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} e21o9tohyoc4inslguiv2fcowr7ea44 1110766 1110761 2026-08-09T14:19:34Z Bocardodarapti 2041 1110766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Diskriminante ist {{mathl|term= -116 |SZ=,}} jede Idealklasse wird nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt |Nr= |SZ= }} durch ein Ideal der Norm {{mathl|term= \leq \frac{2 \sqrt{ {{|\Delta|}} } }{\pi} |SZ=}} repräsentiert, also echt kleiner als {{math|term= 7 |SZ=.}} Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf {{mathl|term= (2),(3) |SZ=}} oder {{mathl|term= (5) |SZ=}} runterschneiden. Der Ganzheitsring ist {{ Relationskette/display | \Z[ \sqrt{-29} ] |\cong| \Z[Y]/(Y^2 +29) || || || |SZ=. }} Für ein Element {{mathl|term= a+b \sqrt{-29} |SZ=}} ist die Norm gleich {{mathl|term= a^2 +29 b^2 |SZ=.}} Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +29) |}} /(2) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y^2 +1) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y +1)^2 || || |SZ=. }} Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} ist also {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-29}) || || || |SZ=. }} Dessen Norm ist {{math|term= 2 |SZ=,}} es ist kein Hauptideal, da {{math|term= 2 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (2) || {{idealp|}}^2 || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{mathl|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} in der Klassengruppe. Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +2) |}} /(3) || {{op:Zmod|3|}} [Y]/(Y+1)(Y+2) || || || |SZ=. }} Die Primideale oberhalb von {{math|term= (3) |SZ=}} sind also {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || (3, 1 +\sqrt{-29}) || || || |SZ= }} und dazu konjugiert {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || (3, 1 -\sqrt{-29}) || || || |SZ= }} Deren Norm ist {{math|term= 3 |SZ=,}} sie sind keine Hauptideale, da {{math|term= 3 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (3) || {{idealq|}} \overline{ {{idealq|}} } || || || |SZ=. }} Aufgrund der Normeigenschaften folgt, dass auch {{mathl|term= {{idealq}}^2, {{idealq}}^3 |SZ=}} keine Hauptideale sind. Wir betrachten {{ Relationskette/align | {{idealp|}} {{idealq|}}^3 || (2, 1+ \sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29}) || (54, 18+18 \sqrt{-29}, 27+27 \sqrt{-29}, ... ) || || |SZ=. }} Dies hat die Norm {{mathl|term= 54 |SZ=.}} Das Element {{ Relationskette/display | (1 + \sqrt{-29})^3 || -86-26 \sqrt{-29} || || || |SZ= }} gehört ebenfalls dazu, da das Doppelte und das Dreifache davon dazugehören. Deshalb gehört auch {{ Relationskette/display | 54 -86-26 \sqrt{-29} + 27+27 \sqrt{-29} || -5 + \sqrt{-29} || || || |SZ= }} dazu. Da dieses die Norm {{math|term= 54 |SZ=}} besitzt, ist dieses Ideal ein Hauptideal. Insbesondere ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} äquivalent zu {{math|term= {{idealq|}}^3 |SZ=}} und muss nicht weiter berücksichtigt zu werden. Zugleich ergibt sich, dass {{math|term= {{idealq|}}^6 |SZ=}} ein Hauptideal ist. Deshalb definiert {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein Element in der Klassengruppe mit Ordnung {{math|term= 6 |SZ=.}} Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +4) |}} /(5) || {{op:Zmod|5|}} [Y]/(Y +1)(Y+4) || || || |SZ=. }} Die Primideale oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} sind also {{ Relationskette/display | {{idealr|}} || (5, 1+ \sqrt{-29}) || || || |SZ= }} und das dazu konjugierte Ideal, beide mit Norm {{math|term= 5 |SZ=.}} Wir betrachten das Ideal {{ Relationskette/align | {{idealp|}} {{idealq|}} {{idealr|}} || (2, 1 +\sqrt{-29}) (3, 1 +\sqrt{-29}) (5, 1+ \sqrt{-29}) || (30, 1+ \sqrt{-29},...) || || |SZ=. }} Das Element {{mathl|term= 1+ \sqrt{-29} |SZ=}} besitzt die Norm {{math|term= 30 |SZ=,}} deshalb liegt ein Hauptideal vor. Die Klassengruppe ist also isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod|6|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qzt1cmnqw5h63biz7dvrw7li266wqeo 1110768 1110766 2026-08-09T14:21:15Z Bocardodarapti 2041 1110768 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Diskriminante ist {{mathl|term= -116 |SZ=,}} jede Idealklasse wird nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt |Nr= |SZ= }} durch ein Ideal der Norm {{mathl|term= \leq \frac{2 \sqrt{ {{|\Delta|}} } }{\pi} |SZ=}} repräsentiert, also echt kleiner als {{math|term= 7 |SZ=.}} Da die Idealklassengruppe durch Primideale erzeugt wird, müssen wir nur Primideale betrachten, die auf {{mathl|term= (2),(3) |SZ=}} oder {{mathl|term= (5) |SZ=}} runterschneiden. Der Ganzheitsring ist {{ Relationskette/display | \Z[ \sqrt{-29} ] |\cong| \Z[Y]/(Y^2 +29) || || || |SZ=. }} Für ein Element {{mathl|term= a+b \sqrt{-29} |SZ=}} ist die Norm gleich {{mathl|term= a^2 +29 b^2 |SZ=.}} Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +29) |}} /(2) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y^2 +1) || {{op:Zmod|2|}} [Y]/(Y +1)^2 || || |SZ=. }} Das einzige Primideal oberhalb von {{math|term= (2) |SZ=}} ist also {{ Relationskette/display | {{idealp|}} || (2, 1+ \sqrt{-29}) || || || |SZ=. }} Dessen Norm ist {{math|term= 2 |SZ=,}} es ist kein Hauptideal, da {{math|term= 2 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (2) || {{idealp|}}^2 || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{mathl|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Element der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} in der Klassengruppe. Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 3 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +2) |}} /(3) || {{op:Zmod|3|}} [Y]/(Y+1)(Y+2) || || || |SZ=. }} Die Primideale oberhalb von {{math|term= (3) |SZ=}} sind also {{ Relationskette/display | {{idealq|}} || (3, 1 +\sqrt{-29}) || || || |SZ= }} und dazu konjugiert {{ Relationskette/display | \overline{ {{idealq|}} } || (3, 1 -\sqrt{-29}) || || || |SZ= }} Deren Norm ist {{math|term= 3 |SZ=,}} sie sind keine Hauptideale, da {{math|term= 3 |SZ=}} nicht die Norm eines Elementes ist, und es ist {{ Relationskette/display | (3) || {{idealq|}} \overline{ {{idealq|}} } || || || |SZ=. }} Aufgrund der Normeigenschaften folgt, dass auch {{mathl|term= {{idealq}}^2, {{idealq}}^3 |SZ=}} keine Hauptideale sind. Wir betrachten {{ Relationskette/align | {{idealp|}} {{idealq|}}^3 || (2, 1+ \sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29})(3, 1 +\sqrt{-29}) || (54, 18+18 \sqrt{-29}, 27+27 \sqrt{-29}, ... ) || || |SZ=. }} Dies hat die Norm {{mathl|term= 54 |SZ=.}} Das Element {{ Relationskette/display | (1 + \sqrt{-29})^3 || -86-26 \sqrt{-29} || || || |SZ= }} gehört ebenfalls dazu, da das Doppelte und das Dreifache davon dazugehören. Deshalb gehört auch {{ Relationskette/display | 54 -86-26 \sqrt{-29} + 27+27 \sqrt{-29} || -5 + \sqrt{-29} || || || |SZ= }} dazu. Da dieses die Norm {{math|term= 54 |SZ=}} besitzt, ist dieses Ideal ein Hauptideal. Insbesondere ist {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} äquivalent zu {{math|term= {{idealq|}}^3 |SZ=}} und muss nicht weiter berücksichtigt zu werden. Zugleich ergibt sich, dass {{math|term= {{idealq|}}^6 |SZ=}} ein Hauptideal ist. Deshalb definiert {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein Element in der Klassengruppe mit Ordnung {{math|term= 6 |SZ=.}} Der Ring oberhalb von {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| \Z[Y]/(Y^2 +4) |}} /(5) || {{op:Zmod|5|}} [Y]/(Y +1)(Y+4) || || || |SZ=. }} Die Primideale oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} sind also {{ Relationskette/display | {{idealr|}} || (5, 1+ \sqrt{-29}) || || || |SZ= }} und das dazu konjugierte Ideal, beide mit Norm {{math|term= 5 |SZ=.}} Wir betrachten das Ideal {{ Relationskette/align | {{idealp|}} {{idealq|}} {{idealr|}} || (2, 1 +\sqrt{-29}) (3, 1 +\sqrt{-29}) (5, 1+ \sqrt{-29}) || (30, 1+ \sqrt{-29},...) || || |SZ=. }} Das Element {{mathl|term= 1+ \sqrt{-29} |SZ=}} besitzt die Norm {{math|term= 30 |SZ=,}} deshalb liegt ein Hauptideal vor. Die Klassengruppe ist also isomorph zu {{mathl|term= {{op:Zmod|6|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} oxj365065ckoyio8wq10qzv9mdvt0xj 106 167013 1110968 1110020 2026-08-10T07:27:29Z Paul Sutermeister 37610 1110968 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (erstellt von [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 2 Lektionen à 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10. August 2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 17. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 24. August || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''': <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 31. August || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 7. September || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 14. September || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 21. September || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 12. Oktober || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 19. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 26. Oktober || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 2. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 9. November || Indirekte Rede → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 16. November || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 23. November || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 30. November || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (gleich wie Modulprüfung)<ref name="hilfsmittelliste"/>, 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 7. Dezember 2026 || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | '''14. Dezember 2026''' || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | <span style="color:red;">'''4. Januar 2027'''</span> || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: closed book, siehe Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (nur Duden erlaubt)<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] n8ak40bwqmu8ohk7nkyqatqf3jk7ca2 106 167054 1110969 1110019 2026-08-10T07:29:47Z Paul Sutermeister 37610 1110969 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Kurstag (jeweils 45 Minuten) ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 10. August 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 17. August | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 24. August | '''Arbeiten im Team''':</br>Johari-Fenster, Teamrollen, Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 31. August | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 7. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 14. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], Teamphasen (Tuckman) | Seiten 48-51 |- | 21. September | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 12. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 19. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 26. Oktober | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 2. November | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 9. November | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 16. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 23. November | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 30. November | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 7. Dezember 2026 | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 14. Dezember 2026 | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | '''4. Januar 2027''' | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span>: keine Hilfsmittel erlaubt (gemäss Hilfsmittelliste des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]])<ref name="hilfsmittelliste">[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Hilfsmittelliste-2025_HD-kZu_rev_Brand_V1.pdf Hilfsmittelliste] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] (Stand 2025)</ref> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] tu0wiy4hy0hsbngwjdbqy8jdh2o95sn 106 168818 1110930 1110204 2026-08-09T17:36:52Z Bocardodarapti 2041 1110930 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Modultheorie (kommutative Algebra)/Einführung/Textabschnitt|Moduln]] *[[Lemma von Gauß (Z)/Eisenstein-Kriterium/Einführung/Textabschnitt|Eisenstein-Kriterium]] *[[Zahlentheorie/Euklidischer Bereich/Einführung/Textabschnitt|Euklidische Bereiche]] *[[Zahlentheorie/Gaußsche Zahlen/Bild/Primfaktorlinks|Primfaktorzerlegung in {{math|term=\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}}]] *[[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Textabschnitt|Spektrumsabbildung bei Ganzheit]] *[[Spur/Kommutativer Ring/Matrix/Lineare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|Spur]] *[[Ganzzahlige Matrix/Determinante/Restklassengruppe/Textabschnitt|Ganzzahlige Matrizen]] *[[Endliche Algebra/Separabel/Ableitung/Textabschnitt|Separabilität]] *[[Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt|Differentiale]] *[[Restklassenring/Z/Quadratische Reste/Ergänzungssätze/Einführung/Textabschnitt|Quadratreste]] *[[Projekt:Minkowski Gitterpunktsatz/Animationen|Animationen zum Gitterpunktsatz]] *[[Summe von 4 Quadraten/Gitterpunktsatz/Textabschnitt|Der 4-Quadrate-Satz]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/Klausuren|Beispielklausuren]] <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> fqyz2x64kic3qahsa9irq3j5frxu0jm 0 169696 1110739 1073609 2026-08-09T13:46:00Z Bocardodarapti 2041 1110739 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |SZ= }} vorliegt. Die Normen der beiden Elemente sind {{ Relationskette/display | N(2) || 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | N(1 + \sqrt{-5}) || (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}) || 6 || || |SZ=. }} Der Restklassenring ist {{ Relationskette/display | A_{-5}/ {{idealp|}} || A_{-5}/ (2, 1+ \sqrt{-5}) || {{op:Zmod| 2 |}} [ \sqrt{-5} ] / {{makl| 1+ \sqrt{-5} |}} || {{op:Zmod| 2 |}} || |SZ= }} und besitzt zwei Elemente. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} boj35sppbvgqxk6yazypc90dsv3wlkx 1110740 1110739 2026-08-09T13:46:34Z Bocardodarapti 2041 1110740 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine {{ Definitionslink |Prämath=\Z |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |SZ= }} vorliegt. Die Normen der beiden Elemente sind {{ Relationskette/display | N(2) || 4 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | N {{makl| 1 + \sqrt{-5} |}} || {{makl| 1 + \sqrt{-5} |}} {{makl| 1 - \sqrt{-5} |}} || 6 || || |SZ=. }} Der Restklassenring ist {{ Relationskette/display | A_{-5}/ {{idealp|}} || A_{-5}/ (2, 1+ \sqrt{-5}) || {{op:Zmod| 2 |}} [ \sqrt{-5} ] / {{makl| 1+ \sqrt{-5} |}} || {{op:Zmod| 2 |}} || |SZ= }} und besitzt zwei Elemente. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1eckuxpg8ejnyb4v4q1qsi7af4uie1o 106 170179 1110718 1109003 2026-08-09T13:05:13Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1110718 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine [[Wegintegral|Wegintergale]] über Kreisränder, sondern [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|Flächenintegrale]] über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. <span id="RealImaginaerIntegral"></span> === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math id="Doppelintegral"> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> === Transformationsformel === Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. === Wegintegrale und Flächenintegrale === Im Vergleich zu Wegintegralen mit Definitionsbereich <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> hat eine Flächenintegral als Definitionsbereich ein Rechteck <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2 </math> als zweidimensionalen Definitionsbereich. ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> == Kreisscheibe als orientierte Fläche == Eine [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] bildet ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> bijektiv auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> um <math>z_o</math> ab: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ \end{array} </math> == Beispiel für orientierte Kreisfläche == Die unten angegebene [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird im Folgenden als Beispiel für eine orientierte Kreisfläche verwendet. Dabei werden sowohl die partiellen Ableitungen konkret berechnet als auch die folgende Definition der Abbildung <math>\gamma_\circ</math> geometrisch hergeleitet. === Orientierte Kreisscheibe auf einem Einheitsquadrat === Als Definitionsbereich des Beispiels der orientierten Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> wird erfolgt auf dem Einheitsquadrat <math> [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb{R}^2</math>: :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \to & \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) \ = \ z_0 + \\ & & & \, + \, (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & & \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Partielle Ableitungen der orientierten Fläche === Mit der oben definierten [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_\circ :[0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> erhält man eine stetig [[w:de:Partielle_Ableitung|partiell differenzierbare Abbildung]] mit den beiden partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2)\in \mathbb{C}</math>, die wie folgt definiert sind: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) & = & 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & - \ (2t_2-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \cdot i \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) & = & - \ (2t_1-1) \cdot \sin \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot \frac{\pi}{2} \cdot r \\ & & + \ 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> === Gradient der orientierten Fläche === Durch die mit <math>\gamma_\circ</math> bezeichnete [[orientierte Fläche]] liefert [[w:de:Gradient|Gradient]] <math>Grad(\gamma)=\left(\tfrac{d\gamma}{dt_1},\tfrac{d\gamma}{dt_2}\right)</math> zu jedem Punkt <math>\gamma(t_1,t_2)\in\overline{D_r(z_o)}\subset \mathbb{C}</math> der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math> die komplexe zweidimensionale Orientierung <math>Grad(\gamma)\big(t_1,t_2\big)\in \mathbb{C}^2</math> an. Für die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> werden im Gradienten die oben definierten partiellen Ableitungen an der Stelle <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> ausgewertet. :<math> Grad(\gamma)(t_1,t_2) = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_1}(t_1,t_2) \\ \displaystyle \frac{d\gamma_\circ}{dt_2}(t_1,t_2) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \displaystyle 2 \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} \right) </math> <span id="GeoOrientedSurface"></span> === Geometrische Herleitung === Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z:= \gamma_\circ(t_1,t_2) \in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> auf dem Kreisrand über trigonometrische Funktionen erzeugt werden kann. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2 gradient.gif|350px|center|oriented surface of a disk with the center z0 and twodimensional gradient in the complex number plane]] ==== Beispielparameter - Animation ==== In der obigen [[Geogebra]]-Animation wurden folgenden Parameter verwendet: * <math>z_0=6+5i</math> Mittelpunkt der Kreisscheibe * <math>r=4</math> Radius der Kreisscheibe ==== Bildpunkte der Ecken des Einheitsquadrat==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi} = \left( 6+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi} = \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) + i\left( 5+\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) </math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Berechnung 1 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die holomorphe Funktion <math>f(z)=6 z</math> bestimmt man zunächst eine [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\circ</math> von <math>f</math> mit <math>F_\circ(z)=z^3</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> in der folgenden Weise ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F_\circ(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F_\circ(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F_\circ(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F_\circ(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Berechnung 2 des orientierten Flächenintegrals ==== Der Definitionsbereich der orientierten Fläche <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]:=[0,1]\times [0,1]</math> ist das Einheitsquadrat. Durch Einsetzen in Berechnungsformel erhält man :<math> \begin{array}{rcl} \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,1)}_{=w_{3}}) - F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,1)}_{=w_{4}})- F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(1,0)}_{=w_{2}}) + F_\circ(\underbrace{\gamma_\circ(0,0)}_{=w_{1}}) \\ & = & F_\circ(w_3) - F_\circ(w_4)- F_\circ(w_2) + F_\circ(w_1) \end{array} </math> ==== Berechnung 3 des orientierten Flächenintegrals ==== Für die Berechnung von <math>F_\Box(w_k)</math> mit <math>k\in\{1,2,3,4\}</math> verwendet man Potenzgesetze und den [[w:de:binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]]. Dies wird exemplarisch für <math>w_1 = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi}</math> durchgeführt: :<math> \begin{array}{rcl} F_\Box(w_1) & = & \left( z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} \right)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot \bigg(re^{i \tfrac{5}{4}\pi}\bigg)^2 + \bigg( re^{i \tfrac{5}{4}\pi} \bigg)^3 \\ & = & z_o^3 + 3z_0^2\cdot re^{i \tfrac{5}{4}\pi} + 3z_0\cdot r^2e^{i \tfrac{5}{2}\pi} +r^3 e^{i \tfrac{15}{4}\pi} \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 4 des orientierten Flächenintegrals ==== Durch Einsetzen von <math>z_0=6+5i</math> und <math>r=4</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F_{_\Box}(w_1) & = & \mathfrak{Re}(F_\circ(w_1)) + i\cdot \mathfrak{Im}(F_\circ(w_1)) \\ & = & 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right) \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^2 + \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \\ & & + i \left( 3 \cdot \left( 6-\left(\sqrt{2}\right)^3 \right)^2 \cdot \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right) - \left( 5-\left(\sqrt{2}\right)\right)^3 \right) \\ & \approx & -12.97 + i\cdot 55.29 \in \mathbb{C} \end{array} </math> ==== Berechnung 5 des orientierten Flächenintegrals ==== Berechnet man analog die anderen Werte für <math>F_\circ(w_k)</math> mit <math>k\in \{2,3,4\}</math>, die dann für das gesamte Flächenintegral verwendet werden: :<math> \begin{array}{rcrcl} F_{_\Box}(w_1) & \approx & -12.97 & + & i\cdot 55.29 \\ F_{_\Box}(w_2) & \approx & 563.2 & + & i\cdot 497.52 \\ F_{_\Box}(w_3) & \approx & -935.03 & + & i\cdot 1350.7 \\ F_{_\Box}(w_4) & \approx & -551.2 & + & i\cdot 243.52 \\ \end{array} </math> ==== Berechnung 6 des orientierten Flächenintegrals ==== Mit der [[Berechnungsformel für Flächenintegral]] für konvexe Gebiete erhält man das Integral über die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> wie folgt: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z & = & F_{_\Box}(w_3) - F_{_\Box}(w_4)- F_{_\Box}(w_2) + F_{_\Box}(w_1)\\ & = & 956 + 1152i \end{array} </math> ==== Bemerkung zur Animation - orientierte Kreisfläche ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2)</math> aus dem Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Spur einer orientierten Fläche ==== Die Spur <math>Spur(\gamma_\circ):=\{\gamma_\circ(t_1,t_2) \ : \ (t_1,t_2) \in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2\} = \overline{D_r(z_o)}</math> durchläuft alle Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. Im Gegensatz zur Spur <math>Spur(\gamma)</math> eine Weges <math>\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}</math> erhält man <math>Spur(\gamma_\circ)</math> eine Fläche als Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene. ==== Randwege auf dem Kreisrand - Schritt 1 ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_0)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>. Eine [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>0</math> wird dabei mit <math>z_0</math> auf die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] um <math>z_0</math> verschoben: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_0 + r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen dann auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Konvexkombination - Randwege über Kreissegmente - Schritt 2 ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Der Exponent der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] ist eine [[Konvexkombination]] in der obigen Animation zwischen <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1 \in [0,1]</math> bzw. <math>t_2\in [0,1]</math>. Die in der Animation angegebenen Punkte <math>w_1,w_2,w_3,w_4</math> sind jeweils die Anfangs- bzw. Endpunkte der Randwege <math>\gamma_k</math>, die im nächsten Schritt konkret angegeben werden. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 3 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. <span id="Schritt3Abb"></span> ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 4 ==== Zunächst liefern die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> und <math>\gamma_3</math> durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> die beiden Vektoren <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 5 ==== Man betrachtet dazu eine waagerechte Gerade <math>g_1</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_2</math>, um den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}(t_2)</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_2(t_2)</math> auf die Gerade <math>g_1</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> gehört ein grün markierter Winkel <math>\alpha_1 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_1</math> für die Orthogonalprojektion hängt von <math>t_2\in[0,1]</math> ab und diesen kann man wie folgt aus <math>t_2</math> berechnen: :<math> \alpha_1 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_2}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 6 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_1}</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos(\alpha_1) \cdot r \cdot (1+0i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_2 -1) \big) \cdot r \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \end{array} </math> Der Parameter <math>t_2</math> besitzt in dem Ausgangsquadrat <math>[0,1]\times[0,1]</math> eine senkrechte Orientierung. Daher erhält man die "unpassend" wirkende Indizierung von <math>\alpha_1</math> für den waagerechten Vektor <math>v_1</math> und der senkrechten Orientierung von <math>t_2</math>. ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 7 ==== Für den zweiten blau markierten Vektor <math>v_2</math> in der [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Schritt3Abb|Animation aus Schritt 3]] betrachtet nun eine senkrechte Gerade <math>g_2</math> durch die Punkte <math>z_0</math> und <math>z_3</math>, um den blau markierten Vektor <math>v_2</math> als Orthogonalprojektion von <math>\gamma_3(t_1)</math> auf die Gerade <math>g_2</math> zu bestimmen. Zu dem [[w:de:Kreissegment|Kreissegment]] zwischen <math>w_3</math> und <math>z_4</math> gehört ein blau markierte Winkel <math>\alpha_2 \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right]</math>. Der Winkel <math>\alpha_2</math> hängt von <math>t_1</math> ab und diesen kann man wie folgt berechnen: :<math> \alpha_2 := \frac{\pi}{4}\cdot \underbrace{(2\cdot \overbrace{t_1}^{\in[0,1]} - 1)}_{\in [-1,+1]} \in \left[-\frac{\pi}{4}, +\frac{\pi}{4}\right] </math> ==== Erläuterung zu Projektionen von Randwegen - Schritt 8 ==== Damit kann man den grün markierten Vektor <math>\widehat{v_2}(t_1)</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in[0,1]</math> wie folgt darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_2} & = & \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot (0+1i) = \cos(\alpha_2) \cdot r \cdot i\\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{4} \cdot (2\cdot t_1 -1) \big) \cdot r \cdot i \\ & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Vektorielle Darstellung der orientierten Fläche - Schritt 9 ==== Die beiden Orthogonalprojektionen <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> sind Funktionen, die mit der obigen Darstellung jeweils von <math>t_2</math> bzw. <math>t_1</math> abhängen, daher werden diese Vektoren durch Abbildungen <math>\widehat{v_1}(t_2)\in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1)\in \mathbb{C}</math> ersetzt und die [[orientierte Fläche]] vektoriell dargestellt. :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{v_1}(t_2) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ \widehat{v_2}(t_1) & = & \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 10 ==== Die beiden vektorwertigen Funktionen <math>\widehat{v_1}(t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\widehat{v_2}(t_1) \in \mathbb{C}</math>, die die Vektoren <math>\widehat{v_1}</math> und <math>\widehat{v_2}</math> aus Schritt 3 in Abhängigkeit von Skalaren <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> darstellen, werden nun mit Skalaren <math>\widehat{t_1}, \widehat{t_2} \in [-1,+1]</math> gestreckt, die von <math>t_1,t_2\in [0,1]</math> über Parametertransformation abhängen. Die Parametertransformation ist dabei wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rcl} \widehat{t_1} & := & 2\cdot \overbrace{t_1}^{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \widehat{t_2} & := & 2\cdot \underbrace{t_2}_{\in [0,1]} - 1 \in [-1 , +1 ] \\ \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> für die Kreisscheibe mit <math>\gamma_\circ(t_1,t_2) = z \in \overline{D_r(z_0)} </math> aus der Animation kann nun wie folgt definiert werden: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & z_0 + \underbrace{\widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}(t_2)}_{=v_1} + \underbrace{\widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}(t_1)}_{=v_2} \\ & = & z_0 + (2t_1-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_2 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \\ & & \quad \, + \, (2t_2-1) \cdot \cos \big( \frac{\pi}{2} \cdot t_1 -\frac{\pi}{4} \big) \cdot r \cdot i \end{array} </math> ==== Animation der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die folgende Animation zeigt die grüne waagerechte gestrichelte Linie den Bereich, in dem <math>v_1= \widehat{t_1} \cdot \widehat{v_1}</math> liegen kann und die senkrechte blau gestrichelte Linie durch <math>z_0</math> kennzeichnet den Bereich, in dem <math>v_2= \widehat{t_2} \cdot \widehat{v_2}</math> liegen kann. Der rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese nun auch als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 14 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 15 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math> erzeugen, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> wie in der obigen Animation oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. == Abbildung der Ecken auf Kreisrand == Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Diese Bilder der Eckpunkte liefert bei der Existenz von [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] den Wert des [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie|orientierten Flächenintegralen]] in der Funktionenfunktion. === Bemerkung zu Wegintegralen und Stammfunktionen === Dies gilt analog zu Wegintegralen über eine Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math>, die auf dem Gebiet <math>G</math> eine Stammfunktionen <math>F:G\to \mathbb{C}</math> besitzt. Dabei hängt das Integral nur von der Auswertung des Integrals am Anfangs- <math>\gamma(a)</math> und Endpunkt <math>\gamma(b)</math> des Weges <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{C}</math> ab. :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a)) </math> === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. == Unterschiede - Wegintegral, Doppelintegral und Flächenintegral == In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass sich das [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] oder dem Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> bzgl. Kreisscheiben wesentlich von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten unterscheidet. === Wegintegral === Das Wegintegral über <math>\gamma : [a,b]\to G</math> in der Funktionentheorie benötigt nur eine Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, die in der Definition des Wegintegrals eingeht: :<math> \int_{\gamma} f(z)\, dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt </math> === Wegintegral über den Kreisrand === Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. === Doppelintegral über Real- und Imaginärteil === Beim [[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil]] geht die [[w:de:Funktionaldeterminante|Funktionaldeterminante]] <math>r</math> für die [[Transformationsformel]] ein (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben#Doppelintegral|oben]]). :<math id="Doppelintegral2"> \iint_{\overline{D_r(z_o)}} f(x+iy) \, dx\, dy = \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt </math> Dabei integriert man über das Rechteck <math> [0,r_o]\times [0,2\pi]</math>. === Flächenintegral über Kreisscheiben === Bei einem Flächenintegral über Kreisscheiben verwendet man im Gegensatz zum Wegintegral zwei partielle Ableitungen nach <math>t_1</math> bzw. nach <math>t_2</math>. <span id="Integral0"></span> == Verschwindende orientierte Kreisflächen == Wenn jeweils paarweise zwei Bilder von Eckpunkte von <math>[a_1,b_1] \times [a_2,b_2]</math> zusammenfallen, dann verschwindet analog zur Existenz von Stammfunktionen auch eine [[orientierte Fläche]]. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. === Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche === Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. === Animation - orientierte Kreisscheibe === [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] === Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung === Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> === Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche === Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F_{_\Box}(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] aj3alk9fow7ztqmb6yxelp9x1q29zt3 106 170301 1110696 1078888 2026-08-09T12:46:30Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1110696 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen === In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombination auf den Seiten <math>\langle z_1, z_2 \rangle</math> und <math>\langle z_4, z_3 \rangle</math> gebildet wurde. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] icytc9cpwtyvf9riicn23n7pyhz653x 106 171627 1110856 1110637 2026-08-09T15:53:01Z Bocardodarapti 2041 1110856 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Verzweigung/Erläuterung/Aufgabe|p||| |Gaußsche Zahlen/Beal-Vermutung/Gegenbeispiel/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganzzahlige Matrix/Charakteristisches Polynom/Zahlbereich/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Restklassenkörper/Primzahlpotenz/Aufgabe|p||| |Chinesischer Restsatz/RX modulo X^3-7X^2+3X-21/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Divisor/Effektivität/Aufgabe|p||| |Gaußsche Zahlen/Gebrochenes Ideal/5/7 und -8+6i/5/Ein Erzeuger/Aufgabe|p||| |Wurzel -5/Standardideal/i/Trivialisierung/Aufgabe|p||| |Reeller Kreisteilungskörper/15/Einzelne Primzahlen/Verzweigung/Aufgabe|p||| |Biquadratische Erweiterung/-15/Kähler-Differentiale/Unverzweigt/Aufgabe|p||| |Kreisteilungsring/7/Zerlegungsverhalten/Numerische Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist 7/Faktoriell/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} k7s6frfcjc6x71nec0n34eki28o2w2v 1110858 1110856 2026-08-09T15:53:58Z Bocardodarapti 2041 1110858 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Verzweigung/Erläuterung/Aufgabe|p||| |Gaußsche Zahlen/Beal-Vermutung/Gegenbeispiel/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Restklassenkörper/Primzahlpotenz/Aufgabe|p||| |Chinesischer Restsatz/RX modulo X^3-7X^2+3X-21/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Divisor/Effektivität/Aufgabe|p||| |Gaußsche Zahlen/Gebrochenes Ideal/5/7 und -8+6i/5/Ein Erzeuger/Aufgabe|p||| |Wurzel -5/Standardideal/i/Trivialisierung/Aufgabe|p||| |Reeller Kreisteilungskörper/15/Einzelne Primzahlen/Verzweigung/Aufgabe|p||| |Biquadratische 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|Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Ableitung/Aufgabe|p||| |Polynom/X^6-1/Primfaktorzerlegung über Q, R, C, Z mod 7, Z mod 5/Aufgabe|p||| |Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganze Erweiterung/Integritätsbereich/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe|p||| |Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Basis/Charakteristik 0/Nicht 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratische Erweiterungen von Z/D ist -11/Nichteinheit mit minimaler Norm/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Ideal/Basis/Aufgabe|p||| |Polynom/Q X modulo X^4-1/Produkt von Körpern/Restklasse von X^3+X/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist 14/Hauptdivisor zu 3/5 - 1/7 sqrt(14)/Berechne/Aufgabe|p||| |Kreisteilungsring/8/Kähler-Differentiale/Aufgabe|p||| |Dritter Kreisteilungsring/Kubische Erweiterung zu 2/Zerlegungsgruppe/Aufgabe|p||| |Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Keine reelle Einbettung/Norm positiv/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist -19/Faktoriell/Aufgabe|p||| |Einheit/Keine Wurzel/Fundamentaleinheit/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} d4gdr4784ml2k13x56ve1uk06knzpiz 106 171648 1110813 1110638 2026-08-09T15:06:11Z Bocardodarapti 2041 1110813 wikitext text/x-wiki {{ Klausur15 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Zerlegung/Erläuterung/Aufgabe|p||| |Polynomring/Primelement bleibt prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratische Körpererweiterung/Z mod 2/Matrizen, Norm, Spur/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/Wurzel 3/Norm 13/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Reine kubische Gleichung/Z/Norm/Spur/Charakteristisches Polynom/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/Kähler-Differentiale/Explizit/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. 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1110826 wikitext text/x-wiki {{ Klausur14 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Möbiusband/Beziehung/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 1 mod 4/Einheit/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bewertungstheorie/Körper mit diskreter Bewertung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist -6/Hauptdivisor zu 4/5 + 2/3 sqrt(-6)/Berechne/Aufgabe|p||| |Kubische Ringerweiterung/Z/X^3+2X-1/Faserring zu 59/Aufgabe|p||| |Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstellen/Kombinationen aus neunten Einheitswurzeln/Aufgabe|p||| |Fünfter Kreisteilungsring/Gitter/Ganzheitsbasis der Potenzen/Reelle 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Matrizen/Charakteristisches Polynom/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe|p||| |Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Diskreter Bewertungsring/Zwischenringe im Quotientenkörper/Aufgabe|p||| |Biqadratische Erweiterung/Wurzel -5 2/Ganzes Element/Aufgabe|p||| |Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe|p||| |Siebter Kreisteilungsring/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe|p||| |Kreisteilungsring/9/Kähler-Differentiale über 3/Aufgabe|p||| |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gaußsche Zahlen/Untergitter/Kein Ideal/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist 11/Faktoriell/Aufgabe|p||| |Achter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Mögliche Wurzeln/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} d1fktnx7ztaksmdw0a1irnhjfjcxhib 1110925 1110922 2026-08-09T17:05:01Z Bocardodarapti 2041 1110925 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/1+a ist Einheit/Aufgabe|p||| |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadratischer Zahlbereich/D ist -7/Berechne Diskriminante/3/2 + 5/2 sqrt(-7)/Multiplikationsmatrix Norm Spur/ganz?/Aufgabe|p||| |Ganzzahlige Matrizen/Charakteristisches Polynom/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe|p||| |Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Biqadratische Erweiterung/Wurzel -5 2/Ganzes Element/Aufgabe|p||| |Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe|p||| |Siebter Kreisteilungsring/Quadratischer 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einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Beschreibung1 </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 2hi1t8xf31402g74ktyvxzrfnmk5p2t 1110721 1110719 2026-08-09T13:17:33Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110721 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). tkcvqh4be0lmtan58duxsi04inkqplj 1110725 1110721 2026-08-09T13:23:51Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110725 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Beschreibung1 </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). i7knchj8hmykfv0xpuboty8xqkc0wf5 1110727 1110725 2026-08-09T13:28:10Z Clara Schug 41691 /* Implementierung in COMSOL */ 1110727 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 1xtife7zi367qr91hb5tinl59slqm0v 1110728 1110727 2026-08-09T13:32:22Z Clara Schug 41691 /* Implementierung in COMSOL */ 1110728 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). rpqijebolqedxpnpc7bf2j7cdvy16uj 1110729 1110728 2026-08-09T13:33:54Z Clara Schug 41691 /* Implementierung in COMSOL */ 1110729 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 6jstyjo1llabzxu1p96wcy9mc6l1t7c 1110730 1110729 2026-08-09T13:34:44Z Clara Schug 41691 /* Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum */ 1110730 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). q58ed8anca2drnrnijcoo1890ce1oes 1110731 1110730 2026-08-09T13:35:05Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110731 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Bild 10.07.26 um 10.36.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.37.png|thumb|Darstellung von einem Raum und zwei Personen in COMSOL]] [[File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Modell Raucher (links) und Nicht-Raucher (rechts)]] [[File:Zufluss durch das Fenster.png|thumb|Zufluss durch das Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). rqahij4c9iyz1ocj5tsemd90zyqbr3d 1110732 1110731 2026-08-09T13:35:50Z Clara Schug 41691 /* Implementierung in COMSOL */ 1110732 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 1nu3t3demx614rgox0hceojz32hsnwc 1110733 1110732 2026-08-09T13:42:18Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110733 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). auvuj212u3h5vuqzcsiknmfzqrbggos 1110734 1110733 2026-08-09T13:42:52Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110734 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). lbm2fduk7pcnbpwnt70rx0fn6ige5ur 1110735 1110734 2026-08-09T13:43:14Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110735 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 5f5upah12huc9evecw7t6powf6f8l3a 1110737 1110735 2026-08-09T13:43:30Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110737 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). obpjxamkc30d1cojfyyb8i02dursg1f 1110742 1110737 2026-08-09T13:47:58Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110742 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Gesamte Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). p6olzz5gs7zlqwzdfx33vd476wsba1y 1110743 1110742 2026-08-09T13:48:17Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110743 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Bild 10.07.26 um 10.40 (1).png|thumb|Raucher mit Rauchquelle (links) und Nicht-Raucher (rechts) Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3l0yqtcja5plyvmwa0qqv5bd08pl1qg 1110744 1110743 2026-08-09T13:48:48Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110744 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). hdiy4936yubwrj2fpjbfh8mveiyujwi 1110745 1110744 2026-08-09T13:50:13Z Clara Schug 41691 /* Materialauswahl */ 1110745 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft in COMSOL gewählt, da die Eigenschaften sehr ähnlich sind. Luft fungiert hier als Träger der Partikelteilchen des Rauches. Es wird "Transport verdünnter Spezies" für dieses Fall in COMSOL berücksichtigt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). i77658yv9oqaqbaectn6rvh6zy5cpkj 1110746 1110745 2026-08-09T13:51:23Z Clara Schug 41691 /* Materialauswahl */ 1110746 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 8qzyof6phya07uzw9qxlqk8ut1cr6h4 1110747 1110746 2026-08-09T13:51:51Z Clara Schug 41691 /* Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum */ 1110747 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). qosrsubvz48pk8c871spuifgkob45hn 1110748 1110747 2026-08-09T13:52:03Z Clara Schug 41691 /* laminare Strömung */ 1110748 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). bpusq8skp4omc5obifu9db4fa96dgqg 1110749 1110748 2026-08-09T13:57:48Z Clara Schug 41691 /* Netz */ 1110749 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 5zdj8ik4u0hmnatehjqemp121iqkhh1 1110750 1110749 2026-08-09T13:58:07Z Clara Schug 41691 /* Netz */ 1110750 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. [[File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster]] ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). hw8ytnl6kcx1cgp79c6pvb1cn33w362 1110751 1110750 2026-08-09T13:58:38Z Clara Schug 41691 /* Netz */ 1110751 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 5zdj8ik4u0hmnatehjqemp121iqkhh1 1110752 1110751 2026-08-09T13:58:48Z Clara Schug 41691 /* Netz */ 1110752 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). hdmuii8zcv1dzzc4g4qc6bj0ltuk2a7 1110753 1110752 2026-08-09T13:59:30Z Clara Schug 41691 /* Netz */ 1110753 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). jvh32du7dcslevsgid1m146jvv0836u 1110755 1110753 2026-08-09T14:02:06Z Clara Schug 41691 /* Netz */ 1110755 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). pk0uva2f7c5fm74pehsuv9a6eyccfh8 1110756 1110755 2026-08-09T14:02:28Z Clara Schug 41691 /* Netz */ 1110756 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 6f6nt1acnfyjvownurgwzto18ok86yb 1110757 1110756 2026-08-09T14:06:47Z Clara Schug 41691 /* Implementierung in COMSOL */ 1110757 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 0y8s2a7351cblwfuzfoc32rt6qnpco7 1110758 1110757 2026-08-09T14:10:59Z Clara Schug 41691 /* laminare und turbulente Strömung */ 1110758 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> ==Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet == ===Anfangsbedingung=== Die Anfangsbedingungen definieren den Zustand des Modells zum Beginn der Simulation (t = 0). Für die Simulation der Rauchausbreitung beim Ausatmen wird angenommen, dass sich die Luft im geschlossenen Raum zu Beginn in Ruhe befindet. Daher wird die Strömungsgeschwindigkeit in allen Raumbereichen auf 0 m/s gesetzt. Der Relativdruck wird mit 0 Pa als Referenzdruck definiert. Zudem wird angenommen, dass sich zu Beginn noch kein Rauch im Raum befindet, sodass die Rauchkonzentration den Wert 0 besitzt. Der Wärmetransport wird zunächst nicht berücksichtigt, so wird eine einheitliche Anfangstemperatur für den gesamten Raum vorgegeben (Bsp.: 298,15 Kelvin). Diese Anfangsbedingungen stellen sicher, dass die Entwicklung der Strömung und die Ausbreitung des Rauchs ausschließlich durch die während der Simulation definierten Randbedingungen beeinflusst werden. ===Randbedingung=== ===Geschlossener Raum=== Für die Simulation wird zunächst ein geschlossener Raum betrachtet, in dem keine Lüftung oder Luftaustausch mit der Umgebung stattfindet. Alle Raumbegrenzungen (Wände, Boden und Decke) werden als '''No-Slip-Wände''' definiert. Dadurch wird angenommen, dass die Luft an den festen Oberflächen haftet und die Strömungsgeschwindigkeit dort 0 m/s beträgt. Der Mund der rauchenden Person wird als Einlass für die ausgeatmete Luft modelliert. Während des Ausatmens wird eine konstante Ausatemgeschwindigkeit von 2 m/s vorgegeben. Über diesen Einlass gelangen sowohl die ausgeatmete Luft als auch die Rauchpartikel beziehungsweise die Rauchkonzentration in den Raum. Da der Raum geschlossen ist, werden keine Ein- oder Auslässe für die Umgebungsluft definiert. Diese Randbedingungen ermöglichen die Untersuchung der Ausbreitung und Verteilung des Rauchs innerhalb eines geschlossenen Raumes. Die Luftbewegung wird dabei ausschließlich durch den Ausatemstrom der rauchenden Person sowie durch die Wechselwirkung mit den festen Raumbegrenzungen bestimmt. ===offenes Fenster im geschlossenen Raum=== Im nächsten Schritt wird die Simulation für einen geschlossenen Raum mit einem geöffneten Fenster betrachtet. Im Gegensatz zur vorherigen Situation wirkt hier zusätzlich ein Luftstrom auf den Rauch. Dieser Wind strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s durch das geöffnete Fenster und beeinflusst dadurch die Ausbreitung des Rauchs im Raum. Für den einströmenden Fluss wird eine Konzentration von '''10 mol/m³''' festgelegt. Dieser Wert gibt an, wie viel Rauch mit dem einströmenden Medium in das Modell gelangt. Eine höhere Konzentration bedeutet, dass mehr Rauch in den Raum eingebracht wird und sich dort ausbreiten kann. == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). tgkaaf4ulzdx4nwxjdoparyi754vgnw 1110759 1110758 2026-08-09T14:11:56Z Clara Schug 41691 /* Wird noch an richtige Stellen bei Implementierung in COmsol eingearbeitet */ 1110759 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 9iiuvpif4q8ii063mqhnj085dg9rapt 1110762 1110759 2026-08-09T14:17:10Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110762 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ft0wxdwm0cs68q4imphespa16ws15zt 1110763 1110762 2026-08-09T14:17:20Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110763 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 6iim5oqkhgjaxj6n3ial0vfd79fsg2a 1110765 1110763 2026-08-09T14:17:37Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110765 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). m9hwaz063wq8zflr4gsle9mzrppjx4w 1110767 1110765 2026-08-09T14:20:28Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110767 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Im Falle der "no-slip" Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). hiunwya482er7y9ma2ja8ctyagl6l8r 1110769 1110767 2026-08-09T14:22:37Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110769 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 4h7fwfgwduzdn9frz3g02ip16q6spz0 1110771 1110769 2026-08-09T14:23:14Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110771 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). bqj8bqiktdd12rr843ffmfvaiok3vpd 1110782 1110771 2026-08-09T14:42:42Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110782 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. XXXX * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). jkz4qgh8lid9tovim88p9kbwlv060r3 1110784 1110782 2026-08-09T14:43:18Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110784 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). on373kpq08nkhl98elt2gg4ygsc9se7 1110785 1110784 2026-08-09T14:43:43Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110785 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). Im Rahmen dessen wurden hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). lh1dxcp7tvuxdalfkt38otn1rixji8n 1110787 1110785 2026-08-09T14:44:07Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110787 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). eonveg2jmpiua4ilxvx2z1li29ou9li 1110788 1110787 2026-08-09T14:45:23Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110788 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen 4m*5m*2.5m soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). acksesqxvlmwk0wwhpuwpuat08q8w4t 1110789 1110788 2026-08-09T14:45:52Z Clara Schug 41691 /* Geometrieerstellung */ 1110789 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). rejwhw4kdequjoopdmtsv4pxfkdm384 1110790 1110789 2026-08-09T14:46:19Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110790 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass u=0, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). m7i6pweyl6ho24kafs2v7jvj1tk2ji3 1110791 1110790 2026-08-09T14:46:54Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110791 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). myarrc457r6wjfemwhcbn5nxrros2f8 1110792 1110791 2026-08-09T14:49:17Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110792 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <gallery> File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches </gallery> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 4no4rddcyd7xaqhrqgqvds9ank2bxj3 1110793 1110792 2026-08-09T14:49:31Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110793 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). q7ezk8uk6qmnv3y33dvfduo0j3zlgqt 1110794 1110793 2026-08-09T14:49:49Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110794 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). hcb04m237t2mf5fmdvi4gs5rjssrnu5 1110795 1110794 2026-08-09T14:50:08Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110795 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). rvh2rn2rrkfwt1k6nfvtkmiy2nwx15z 1110796 1110795 2026-08-09T14:53:51Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110796 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: : <math>\pw1(x):= \begin{cases} 0, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,sin(x-0.5), & \; \text{falls} \quad x=0, \\ 0, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). fsk5to42j39l4xtlq0rgvnxwx0ddc5v 1110797 1110796 2026-08-09T14:54:34Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110797 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: : <math>\sgn(x):= \begin{cases} +1, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,0, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ -1, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). scehnrq2msddvh4aje3sdp0mujdgu25 1110798 1110797 2026-08-09T14:55:09Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110798 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: : <math>\pw1(x):= \begin{cases} 0, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,sin(x-0,5), & \; \text{falls} \quad x=0, \\ 0, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). r2isb0epzvmxef269hyk5hs06su3msz 1110799 1110798 2026-08-09T14:55:41Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110799 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: : <math>\pw1(x):= \begin{cases} 0, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,\text{sin}(x-0,5), & \; \text{falls} \quad x=0, \\ 0, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 6z4p64l1q58iubkban8t4h8e2zbmdf3 1110800 1110799 2026-08-09T14:56:01Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110800 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: : <math>\pw1(x):= \begin{cases} 0, & \; \text{falls} \quad x>0, \\ \;\;\,1, & \; \text{falls} \quad x=0, \\ 0, & \; \text{falls} \quad x<0. \\ \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 40e4vbir37jalizxghx462gefc9bx97 1110803 1110800 2026-08-09T14:58:07Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110803 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 5x7nd8cftkz5ubuihwt97j7f30ltqyk 1110807 1110803 2026-08-09T14:59:14Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110807 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). dh3wuh6a1bfh9ch4tfmxy1mmxtelwuc 1110812 1110807 2026-08-09T15:05:25Z Clara Schug 41691 /* Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum */ 1110812 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides inkompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). fo8pt4z7vjc3iw3l7c1z4u0hd9bokcd 1110814 1110812 2026-08-09T15:06:26Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110814 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides inkompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 32s66gagzasmdmthwnlkgxm6x1nu9zp 1110819 1110814 2026-08-09T15:08:36Z Clara Schug 41691 /* Laminare Strömung */ 1110819 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ml5l4j8uqpve1o1dbubj5we5u2av5tg 1110828 1110819 2026-08-09T15:19:07Z Clara Schug 41691 /* Transport verdünnter Spezies */ 1110828 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). h4ixoongxwqde3cz33yu3qlxh1d5869 1110829 1110828 2026-08-09T15:19:30Z Clara Schug 41691 /* Transport verdünnter Spezies */ 1110829 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). laqzb3vuliyrc35dnpqu9ceaten77jm 1110830 1110829 2026-08-09T15:23:15Z Clara Schug 41691 /* Materialauswahl */ 1110830 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Raum ausgewählt. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 334hfbnomcvntoq73nx9twz8ftxauz1 1110831 1110830 2026-08-09T15:23:28Z Clara Schug 41691 /* Materialauswahl */ 1110831 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). mtwou8uyr232mlaneob31kh1o77n933 1110832 1110831 2026-08-09T15:24:39Z Clara Schug 41691 /* Transport verdünnter Spezies */ 1110832 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: wieder auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). sfx0hopgmyz9bnyqt3l97cosd9fdwx4 1110833 1110832 2026-08-09T15:25:05Z Clara Schug 41691 /* Transport verdünnter Spezies */ 1110833 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} ===Mathematische und physikalische Hintergründe === ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 2vyrodt150un4n643dbzwrrzb9tbfip 1110834 1110833 2026-08-09T15:27:57Z Clara Schug 41691 1110834 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). cfqy09mheuh19nh1zdebjig7udgkpp9 1110835 1110834 2026-08-09T15:29:18Z Clara Schug 41691 /* Diskussion */ 1110835 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 5ja0fwp0fhj7772s3mdlteezjtw4nxm 1110836 1110835 2026-08-09T15:29:31Z Clara Schug 41691 /* Diskussion */ 1110836 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 41wjqyfnb7or20nczrso2r8kba4t6gg 1110970 1110836 2026-08-10T08:26:34Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110970 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: M = v / c Dabei ist M die Mach-Zahl, v die Geschwindigkeit des Fluides und c die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). l3rih3ew2gbp0megnr8xzzbqsmibdt4 1110971 1110970 2026-08-10T08:27:24Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110971 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math>\mathit {M=v/c} </math> Dabei ist M die Mach-Zahl, v die Geschwindigkeit des Fluides und c die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). l2dxhm4721cf0a59t8mcxheisaq0ihh 1110972 1110971 2026-08-10T08:27:40Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110972 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math>\mathit {M=v/c} </math> Dabei ist M die Mach-Zahl, v die Geschwindigkeit des Fluides und c die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). tgcouadd4ypz5tmxuux71t8ye9w3shm 1110973 1110972 2026-08-10T08:28:02Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110973 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit {M=v/c} </math> Dabei ist M die Mach-Zahl, v die Geschwindigkeit des Fluides und c die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). dwwev1fmz4f4wou0czecpxvnrfxulpn 1110974 1110973 2026-08-10T08:29:32Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110974 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist M die Mach-Zahl, v die Geschwindigkeit des Fluides und c die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). g6gb2s2yh6gccuq8869q91068yqa6kz 1110975 1110974 2026-08-10T08:30:56Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110975 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math>die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). d663rqbqw3gmtwgw41z2i0deyizpnud 1110976 1110975 2026-08-10T08:34:32Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110976 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Die Schallgeschwindigkeit XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). d5nij92ihmn5weerd4lg8ao8rhbc5c0 1110977 1110976 2026-08-10T09:14:28Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110977 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Kurz zur Schallgeschwindigkeit: XXX Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei ist die Mach-Zahl insofern für die Modellierung in COMSOL relevant, da für <math>M>0,3</math>gilt, dass das betrachtete Fluid als kompressibel gilt und dies entsprechend ausgewählt werden sollte. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 67isrf4r568v0u6tkmevsir8cma6oo5 1110978 1110977 2026-08-10T09:15:51Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110978 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit im Selben in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. XXX Die Mach-Zahl ist insofern für die Modellierung in COMSOL relevant, da für <math>M>0,3</math>gilt, dass das betrachtete Fluid als kompressibel gilt und dies entsprechend ausgewählt werden sollte. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). phnrk7fll84q3z9ya2h322y5x1yjsz6 1110979 1110978 2026-08-10T09:17:09Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110979 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. XXX Die Mach-Zahl ist insofern für die Modellierung in COMSOL relevant, da für <math>M>0,3</math>gilt, dass das betrachtete Fluid als kompressibel gilt und dies entsprechend ausgewählt werden sollte. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). faywlhzpprtf2ofbdcfezypgknhmven 1110980 1110979 2026-08-10T09:17:21Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110980 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. XXX Die Mach-Zahl ist insofern für die Modellierung in COMSOL relevant, da für <math>M>0,3</math> gilt, dass das betrachtete Fluid als kompressibel gilt und dies entsprechend ausgewählt werden sollte. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). k0wq8xzq6s95yjcolbwu98zje736hwf 1110981 1110980 2026-08-10T09:19:41Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110981 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. XXX Die Mach-Zahl ist insofern für die Modellierung in COMSOL relevant, da für <math>M<0,3</math> gilt, dass das betrachtete Fluid als kompressibel gilt und dies entsprechend ausgewählt werden sollte. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). q84reux8z3vrj15ovqhsh7jnhitcxem 1110982 1110981 2026-08-10T09:42:30Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110982 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ayc5dl1k8gkix4ldm4kc59bnekfjs5q 1110983 1110982 2026-08-10T10:36:28Z Clara Schug 41691 /* Literaturverzeichnis */ 1110983 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). c6qh8bztpmqu21dmlszjd656jyylg1e 1110984 1110983 2026-08-10T10:38:03Z Clara Schug 41691 /* Literaturverzeichnis */ 1110984 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). fhevldwxg9u04ehvudtbr95we5623pc 1110985 1110984 2026-08-10T10:40:07Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110985 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) wird nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024) folgendermaßen berechnet: ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). jutea5r5ixj8q8u7s6drswtp8zhv972 1110986 1110985 2026-08-10T10:44:01Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110986 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) wird nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024) folgendermaßen berechnet: Die Schallgeschwindigkeit <math>c></math> in einem idealen Gas hängt direkt von der absoluten Temperatur <math>T</math> in Kelvin ab: :<math>c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T}</math> Kenngrößen für Luft bei 25 °C: * '''Absolute Temperatur (<math>T</math>):''' :<math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * '''Isentropenexponent (<math>\kappa</math>):''' Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * '''Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>):''' Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. Daraus folgt: :<math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ipq99d7a91f2ssy1y9s5zelr79ziv58 1110987 1110986 2026-08-10T10:46:01Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110987 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c></math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet: <math>c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 °C sind hierbei gegebenen durch: * '''Absolute Temperatur (<math>T</math>):''' :<math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * '''Isentropenexponent (<math>\kappa</math>):''' Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * '''Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>):''' Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). nx0mjm58c805psx9lpitj7ifkr2rjkz 1110988 1110987 2026-08-10T10:46:46Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110988 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c></math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet: <math>c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 °C sind hierbei gegebenen durch: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). gqfdrto1mz4zxjw6m28g4sqtte2nvws 1110989 1110988 2026-08-10T10:47:25Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110989 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet: <math>c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 °C sind hierbei gegebenen durch: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). oeqpzqh0ia24icipxrl02fmn4hq04tv 1110990 1110989 2026-08-10T10:51:54Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110990 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math>c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T}</math> = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 °C sind hierbei gegebenen durch: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). muzftdmpb79erajr890lea3occ0l0eg 1110991 1110990 2026-08-10T10:53:25Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110991 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math>c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 °C sind hierbei gegebenen durch: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 9sl23rbd6xekawrhrdujq91ca8m5rgo 1110992 1110991 2026-08-10T10:56:57Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110992 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math>c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 °C sind hierbei gegebenen durch: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math>/rho</math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). s488d8oz807ilgrksrbc9l98zgho887 1110993 1110992 2026-08-10T10:57:43Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110993 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 °C sind hierbei gegebenen durch: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). msf0say8l4752se8zyz46h0q7ybpf9h 1110994 1110993 2026-08-10T11:02:05Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110994 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). dz7wp3p5nfr85g0zp4pmq8g3ajyqkmt 1110995 1110994 2026-08-10T11:05:29Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110995 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}</math> <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}</math> <math>c \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 7y6bymidapib0jdfpyr0zzsy45p93qg 1110996 1110995 2026-08-10T11:06:35Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110996 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}</math> \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). m01r03bw0ddl5w9v5lgpfr35fhlwpgt 1110998 1110996 2026-08-10T11:07:35Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1110998 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3daavr2lcl51w2q88tgtvftore67lto 1111000 1110998 2026-08-10T11:13:20Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111000 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Alleridngs wird auch auf eine Näherungsformel in XXX: 224 verwiesen: <math> \mathit c(\vartheta) \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwidigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>\vartheta = 25\,\mathrm{^\circ C}</math> ==== :<math>c(25\,\mathrm{^\circ C}) \approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). kkrliykm6leehfibym8hqz4p9mhp8cz 1111001 1111000 2026-08-10T11:15:07Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111001 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwidigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). j1my1xkkv0guedt204n9ta5riez3twk 1111002 1111001 2026-08-10T11:16:53Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111002 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwidigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). lvjf4g4y22caz7hrhes7ka7zw8n7ev2 1111003 1111002 2026-08-10T11:18:04Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111003 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). irqq3jwyp7vqt05lwbgkuqqh7tfkutr 1111004 1111003 2026-08-10T11:23:55Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111004 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). dl7fpvvmq2mmgk8znp03ssqgqc0drl7 1111005 1111004 2026-08-10T11:27:36Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111005 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von 346,1 m/s gerechtfertigt ist. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 3pinh1m2mojz2e8mv0xsb14s4ok9fi8 1111006 1111005 2026-08-10T11:29:01Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111006 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346,1 \mathrm{\frac{m}{s} </math> gerechtfertigt ist. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). bg66s9xlzgxowuaihflgsmjg52a9i4r 1111007 1111006 2026-08-10T11:29:55Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111007 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346,1\,\mathrm{\frac{m}{s} </math> gerechtfertigt ist. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). enhzmx11k48byia3icops1zb8ew0f37 1111008 1111007 2026-08-10T11:30:38Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111008 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346,1 m/s </math> gerechtfertigt ist. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 96qskml8n785y6guj123cesfo78lw5c 1111009 1111008 2026-08-10T11:31:30Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111009 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 9iwuee6q7x5j8hsihbpxlri7usm0kp7 1111010 1111009 2026-08-10T11:33:38Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111010 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit M=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>M</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 984cajs7nwoykb4f8dxol0x3nnqd0gi 1111011 1111010 2026-08-10T11:34:42Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111011 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 77zhj3rrr6eq8udxry09ouwoeuf113t 1111012 1111011 2026-08-10T11:41:08Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111012 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel und einsetzen der Schallgeschwindigkeit: <math>\frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> :<math>v > 0{,}3 \cdot 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> :<math>v > 103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}} \quad (\approx 373{,}8\,\mathrm{km/h})</math> Daraus folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird. Dies ist von Bedeutung, da... XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). dqhsb7p1pqhg0l0tkzmn91j5ztb4neq 1111013 1111012 2026-08-10T11:41:45Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111013 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel: <math>\frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> :<math>v > 0{,}3 \cdot 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> :<math>v > 103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}} \quad (\approx 373{,}8\,\mathrm{km/h})</math> Daraus folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird. Dies ist von Bedeutung, da... XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). ary8gj7eq5ffe8omigip1pnl8j5s72c 1111014 1111013 2026-08-10T11:42:37Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111014 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel: <math>\frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt :<math>v > 0{,}3 \cdot 346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> :<math>v > 103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}} \quad (\approx 373{,}8\,\mathrm{km/h})</math> Daraus folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird. Dies ist von Bedeutung, da... XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). mocwq17x2x1e4wiylun944ykg997c1r 1111015 1111014 2026-08-10T11:44:50Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111015 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel: <math>\frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird. Dies ist von Bedeutung, da... XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). 2ds0ppsa8cdu5o3z7gv8snh3xez6y2f 1111016 1111015 2026-08-10T11:47:53Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111016 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird. Dies ist von Bedeutung, da... XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). a6jt73me52o3onxx42mnygqcqy4z55y 1111017 1111016 2026-08-10T11:51:36Z Clara Schug 41691 /* Mach-Zahl */ 1111017 wikitext text/x-wiki == Gruppenteilnehmer == * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug == Thema & Fragestellung == Ausbreitung von Zigarettenrauch * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum befindet? == Relevanz == Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Beim Passivrauchen werden sowohl der Nebenstromrauch (Glimmen der Zigarette) wie auch der Hauptstromrauch (Rauch den der Raucher ausatmet) von einer anderen Person eingeatmet. Der Rauch enthält viele (ca. 250) giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung vom Hauptstromrauch den der Raucher beim Rauchen inhaliert in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Der Nebenstromrauch (das glimmen der Zigarette) wird hierbei nicht beachtet. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. == Mathematische und physikalische Hintergründe == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die Reynolds-Zahl verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids, <math>v</math> ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit und <math>L</math> eine charakteristische Länge des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die Viskosität des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). Kleine Reynolds-Zahlen sprechen für eine laminare Strömung, während bei großen Reynolds-Zahlen turbulente Strömungen auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Mach-Zahl ==== Die Mach-Zahl dient zur Beschreibung des Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts (in unserem Fall eines Fluides) zur Schallgeschwindigkeit in dem Medium, in dem es sich bewegt. Konkret wird die Mach-Zahl nach Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 163) folgendermaßen bestimmt: <math> \mathit Ma=\frac{v}{c} </math> Dabei ist <math>Ma</math> die Mach-Zahl, <math>v</math> die Geschwindigkeit des Fluides und <math>c</math> die Schallgeschwindigkeit im Medium, durch welches sich das Fluid bewegt. Dabei kann sich die Schallgeschwindigkeit verändern, wenn zum Beispiel die Temperatur im Medium Veränderungen unterliegt. Dadurch kann sich die Mach-Zahl bei gleichbleibender Geschwindigkeit des selben betrachteten Fluids je nach Bedingungen verändern. Die nachfolgende Berechnung der Schallgeschwindigkeit für Luft bei 25 Grad Celsius (Temperatur, die in der Modellierung nachfolgend betrachtet wird) bezieht sich auf die Informationen aus Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024). Demnach wird die Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in einem idealen Gas folgendermaßen berechnet (vgl. ebd.: 87): <math> \mathit c = \sqrt{\kappa \cdot R_{\text{spez}} \cdot T} = \sqrt{\kappa \cdot \frac{p}{\rho}}</math> Die relevanten Kenngrößen für Luft bei 25 Grad Celsius: * Temperatur in Kelvin(<math>T</math>): <math>T = 273{,}15 + 25 = 298{,}15\,\mathrm{K}</math> * Isentropenexponent (<math>\kappa</math>): Für zweiatomige Gase wie Luft gilt <math>\kappa \approx 1{,}40</math>. * Spezifische Gaskonstante (<math>R_{\text{spez}}</math>): Für trockene Luft gilt <math>R_{\text{spez}} \approx 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}}</math>. * Druck von Luft (<math>p</math>) * Dichte von Luft (<math> \rho </math>) Daraus folgt: <math>c = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{J}{kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}} = \sqrt{1{,}40 \cdot 287\,\mathrm{\frac{kg \cdot m^2}{s^2 \cdot kg \cdot K}} \cdot 298{,}15\,\mathrm{K}}= \sqrt{119802{,}483\,\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}} \approx 346{,}13\,\mathrm{\frac{m}{s}} </math> Allerdings wird auch auf eine Näherungsformel in Kurzweil, Frenzel & Gebhard (2024: 224) verwiesen: <math> \mathit c \approx c_0 + 0{,}6 \cdot \vartheta</math> Wobei <math>c_0 = 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> die Schallgeschwindigkeit bei <math>0\,\mathrm{^\circ C}</math> und <math>\vartheta</math> die Temperatur in °C angibt. Für die Berechnung der Schallgeschwindigkeit über diese Näherungsformel ergibt sich <math>c\approx 331{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}} + 0{,}6 \cdot 25 = 346{,}5\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> Diese beiden Berechnungen liefern sehr ähnliche Werte und liefern daher auch die Grundlage dafür, dass zur Bestimmung der Mach-Zahl der Wert der Schallgeschwindigkeit von Luft bei 25 Grad Celsius von <math>346{,}1\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math> gerechtfertigt ist. Mit diesem Wert lässt sich bestimmen, ab welcher Geschwindigkeit die Mach-Zahl von Luft den Wert von 0,3 überschreitet. Für die Mach-Zahl <math>Ma > 0{,}3</math> ergibt sich durch Umstellen der Formel im Falle von <math>c > 0</math>: <math> \mathit \frac{v}{c} > 0{,}3 \iff v > 0{,}3 \cdot c</math> Nach Einsetzen der Schallgeschwindigkeit folgt, dass die Mach-Zahl für Luft (bei 25 °C) ab einer Geschwindigkeit von mehr als '''<math>103{,}83\,\mathrm{\frac{m}{s}}</math>''' (ca. '''<math>373{,}8\,\mathrm{km/h}</math>''') größer als 0,3 ist. Somit kann man sagen, dass dieser Wert erst für sehr hohe Geschwindigkeiten überschritten wird. Dies ist von Bedeutung, da... XXX ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die Dichte des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die Navier-Stokes-Gleichungen. Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. In allgemeiner Form lautet diese folgendermaßen: XXX Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der Finite-Elemente-Methode: Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Fakten zu Zigarettenrauch == === Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch === Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. u.a: '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. Für die Rauchquelle wird ein Diffusionskoeffizient von '''7 · 10⁻⁶ m²/s''' (entspricht '''0,07 cm²/s''') verwendet. Der Diffusionskoeffizient beschreibt, wie schnell sich der Rauch aufgrund der natürlichen Bewegung der Teilchen in der Luft ausbreitet. === Materialparameter Zigarettenrauch === {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Temperatur ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Temperatur an Zigarettenspitze || 600-900° || |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |- |Geschwindigkeit beim Ausatmen || 0,1 - 0,2 m/s || |} == Implementierung in COMSOL== In dem Modell wird nur der Hauptstromrauch betrachtet und modelliert, der beim Ausatmen um eine rauchende Person entsteht. Der Nebenstromrauch als Rauch der angezündeten und weiter glühenden Zigarette wird nicht berücksichtigt. Im Rahmen der Modellierung wird zum einen das Rauchen in einem geschlossenen Raum betrachtet, zum anderen in einem Raum mit einem offenen Fenster. In beiden Fällen werden zwei Personen betrachtet - eine aktiv rauchende und eine passiv rauchende Person. === Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader und zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_geschlossenerRaum.png|Gesamte Geometrieerstellung im geschlossenen Raum </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht ohne Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im geschlossenen Raum </gallery> === Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === ==== Geometrieerstellung ==== Die zentralen Elemente sind ein Quader, zwei weitere geometrische Objekte im Quader, die durch die Vereinigung von Kugeln, Zylinder und Ellipsoiden modelliert sind sowie ein quadratischer Ausschnitt aus dem Quader. Der Quader mit den Maßen <math> 4m*5m*2.5m </math> soll dabei den Grundraum für das Modell darstellen. Dieser wurde bewusst eher klein gewählt, um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten. Der Ausschnitt aus dem Quader soll ein geöffnetes Fenster darstellen. Die Vereinigung der genannten geometrischen Objekte stellt schematisch Menschen dar. Im Rahmen dieser Modellierung ist eine der beiden Personen Raucher, die andere Person Passivraucher. Bei der rauchenden Person wurde eine kreisförmige Fläche auf der Oberfläche des Kopfes modelliert, die nachfolgend als Rauchquelle bezeichnet wird. Des Weiteren wurde eine Kugel vor die Rauchquelle gesetzt, die für das Gitternetz relevant ist. <gallery> Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid.png|Person erzeugt durch Vereinigung von Kugel, Zylinder und Ellipsoid File:Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle.png|thumb|Rauchende Person mit erkennbarer Rauchquelle Geometrieerstellung_Rauchquelle_KugelfuerGitterverfeinerung.png|Ansicht mit erkennbarer Rauchquelle und Kugel für lokale Gitterverfeinerung vor Rauchquelle Geometrieerstellung_mitFenster.png|Gesamte Geometrieerstellung des Raumes mit einem Fenster </gallery> ==== Materialauswahl ==== Als Material wurde Luft für den gesamten Innenraum ausgewählt. Als Innenraum wird hierbei die Differenz aus dem grundraumdefinierenden Quader, der Rauchquelle und den beiden Menschen im Raum verstanden. Dies ist dadurch zu begründen, dass ein Fluid nicht durch einen Menschen hindurchströmen kann. ==== Laminare Strömung ==== [[File:Stückweise definierte Funktion für Einlass des Rauches.png|thumb|Stückweise definierte Funktion für den Einlass des Rauches]] Die Modellierung erfolgt mit der laminaren Strömung (siehe Diskussion). * Im Rahmen des physikalischen Modells wurde für die Kompressibilität des Fluides schwach kompressibel gewählt. Das Referenzdrucklevel liegt bei 1 atm und die Temperatur wurde auf 298,15K, also 25 Grad Celsius eingestellt. * Die Fluideigenschaften wurden aus dem Materialknoten der Luft übernommen. * Die Anfangswerte wurden auf 0 gesetzt. * Die Wand wurde folgendermaßen modelliert: Hinsichtlich der auszuwählenden Randbedingungen für die Wand wurden zwei unterschiedliche Randbedingungen ausgewertet. Zum einen "Laminare Strömung 1 - no slip" und zum anderen "Laminare Strömung 2 - slip". Entsprechend der Benennung wurde auch die Randbedingungen ausgewählt. Bei der "no-slip"-Randbedingung gilt, dass <math> u=0 </math>, also dass das Fluid an der Wand keine Geschwindigkeit hat. Für die "slip"-Randbedingung gilt, dass ein Fluid reibungsfrei an einer Wand entlanggleitet. Das Fluid kann die Wand nicht durchdringen, wird aber parallel zur Oberfläche nicht abgebremst. * Der Einlass wurde für die Rauchquelle definiert. Dabei wurde ein Geschwindigkeitsfeld über eine vordefinierte Funktion für den Einlass definiert, wodurch ein möglichst realistischer Ausatmungsprozess modelliert werden soll. Diese Funktion ist folgendermaßen definiert: <math> pw_1(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } 0 \le x < 0{,}5 \\ \sin(x - 0{,}5) & \text{für } 0{,}5 \le x \le 0{,}5 + \pi \\ 0 & \text{für } 0{,}5 + \pi < x \le 5 \end{cases} </math> ==== Transport verdünnter Spezies ==== * Im Rahmen des Transports verdünnter Spezies wird auch als zusätzlicher Transportmechanismus die Konvektion betrachtet. * Transporteigenschaften: Temperatur 298,15K, Difussion mit Difussionskoeffizient von 7e-6[m^2/s] * Anfangswerte: auf null gesetzt * Einströmender Fluss: bei Rauchquelle mit einer Konzentration von 10[mol/m^3] ==== Netz ==== Aufgrund der turbulenten Eigenschaften des Rauchs wurde das Gitter lokal verfeinert. So lässt sich der hohe Rechenaufwand bei feiner Gitterwahl auf besonders relevante Stellen im Raum für die Rauchausbreitung reduzieren. Das allgemeine Netz wurde dabei auf "normal" gestellt, die lokale Verfeinerung auf "feiner". <gallery> File:Netz mit lokaler Verfeinerung gut sichtbar.png|thumb|lokale Verfeinerung des Netzes um Rauchquelle File:Netz in übersichtlicher Ansicht mit Fenster.png|thumb|Netz in übersichtlicher Ansicht im Raum mit Fenster </gallery> == Ergebnisse == ===Ergebnisse Modellierung 1 - Rauchen im geschlossenen Raum === ====Geschwindigkeit==== ====Druck==== ====Stromlinien==== === Ergebnisse Modellierung 2 - Rauchen im Raum mit Fenster === == Diskussion == * Laminare Strömung als gewählte Physik ist nicht ideal, um Zigarettenrauch zu modellieren. Besser wäre turbulente Strömung, allerdings ist diese in der COMSOL-Classroom-Lizenz der RPTU nicht enthalten. Genau genommen ist über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob eine laminare oder turbulente Strömung vorliegt. * Der Nebenstromrauch wurde vernachlässigt, trägt aber auch zur Konzentration von Rauch im Raum bei. Um die 3D-Modellierung realitätsnäher zu gestalten, könnten zusätzlich folgende Bedingungen beachtet werden: * Wärmeleitungsgleichung, da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs. * Ein längeres Zeitintervall und nicht nur der einmalige Prozess des Ausatmens von Zigarettenrauch. Aufgrund der hohen Rechenkapazität wurde in dieser Modellierung allerdings darauf verzichtet. == Fazit == == Literaturverzeichnis == Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026). Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026). Hundertmark, A. (2026): ''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung, Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau'', Sommersemester 2026. Ivanov, Martin: "Exhaled air speed measurements of respiratory air flow generated by ten different human subject, under uncontrolled conditions". In: E3S Web of Conferences, Nr. 111, Sofia 2019. https://doi.org/10.1051/e3sconf/2019111020 (10.07.2026). Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kurzweil, P., Frenzel, B. & Genhard, F. (2024): ''Physik Formelsammlung. Mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieurberufe und Naturwissenschaften''. 6. Auflage. Wiesbaden: Springer Vieweg. https://doi.org/10.1007/978-3-658-45491-3. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026). et26max95smcx5xekzolqul2wmuu42x 106 171938 1110720 1110234 2026-08-09T13:14:54Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Einordnung der laminaren Modellannahme */ 1110720 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema und Fragestellung = In diesem Projekt wird die Umströmung eines Lachses und eines Wals mithilfe von COMSOL Multiphysics simuliert. Ziel ist es, die Strömungsverhältnisse um die beiden Tiere sichtbar zu machen und zu untersuchen, wie sich ihre unterschiedliche Körpergröße und -form auf das Strömungsbild auswirken. Durch den Vergleich der beiden Simulationen soll ein grundlegendes Verständnis dafür gewonnen werden, wie die Geometrie eines Körpers das Verhalten einer Wasserströmung beeinflusst. = Relevanz = Die Untersuchung von Strömungen gehört zu den zentralen Themen der Fluiddynamik. Am Beispiel eines Lachses und eines Wals lässt sich anschaulich zeigen, wie sich unterschiedliche Körperformen und -größen auf das Strömungsverhalten des Wassers auswirken. Das Verständnis solcher Zusammenhänge ist sowohl für die Forschung als auch für die Entwicklung nachhaltiger Technologien von Bedeutung. Erkenntnisse aus der Natur dienen häufig als Vorbild für technische Innovationen, beispielsweise bei der strömungsgünstigen Gestaltung von Fahrzeugen, Schiffen oder Unterwasserrobotern (Bionik). Gleichzeitig können Strömungssimulationen dazu beitragen, natürliche Lebensräume besser zu verstehen und Auswirkungen von Veränderungen in Gewässern auf Wasserlebewesen zu untersuchen. Das Projekt zeigt außerdem, wie reale Fragestellungen mithilfe von COMSOL Multiphysics modelliert, simuliert und ausgewertet werden können. = Modellierung = Um die Strömung um einen Lachs und einen Wal untersuchen zu können, wurden zunächst vereinfachte Modelle der realen Situation erstellt. Dabei wurden die wesentlichen Eigenschaften der Tiere und ihres Gewässers berücksichtigt, während weniger relevante Einflüsse vernachlässigt wurden. Die folgenden Modellannahmen und Parameter bilden die Grundlage für die Simulationen in COMSOL Multiphysics. Für den Lachs und den Wal wurde jeweils ein zweidimensionales (2D) sowie ein dreidimensionales (3D) Modell erstellt. Dabei wurden für beide Modelle eines Tieres dieselben Modellparameter und Randbedingungen verwendet. {| class="wikitable" |+ Modellparameter |- ! Parameter !! Lachs !! Wal |- | Gewässer || Rhein || Nordatlantik |- | Körperlänge || 0,7m || 17m |- | Fließgeschwindigkeit || 1,2m/s || 1,2m/s |- |} Im Nordatlantik sind die Strömungsgeschwindigkeiten in der Regel geringer. Für die Simulation wurde jedoch eine höhere Einlassgeschwindigkeit gewählt, um die Strömungsverhältnisse und Stromlinien besser veranschaulichen zu können ===== Simulationsgebiet ===== Abmessungen des Modellgebiets Lachs: Das Simulationsgebiet bildet einen 20 m langen und 5 m tiefen Ausschnitt des Rheins ab. Abmessungen des Modellgebiets Wal: Das Simulationsgebiet bildet einen 200 m langen und 75 m tiefen Ausschnitt des Nordatlantiks ab ===== Weitere Modellannahmen ===== * Die Tiere werden als starre Körper betrachtet, d. h. ihre Form verändert sich während der Simulation nicht. *Es wird angenommen, dass das Wasser gleichmäßige Eigenschaften besitzt und sich seine Dichte während der Strömung nicht verändert. *Es wird jeweils nur ein Tier im Strömungsfeld betrachtet. = Implementierung des Modells in Comsol Multiphysiks = Nach der Festlegung der Modellparameter und Modellannahmen erfolgte die Umsetzung des Modells in COMSOL Multiphysics. Im Folgenden wird zunächst die Implementierung der 2D-Modelle und anschließend die der 3D-Modelle beschrieben. Dabei werden die einzelnen Schritte von der Erstellung der Geometrie über die Definition der Randbedingungen bis hin zur Berechnung der Strömungssimulation erläutert. == Erstellung der 2D-Modelle == Die Erstellung der 2D-Modelle erfolgte für den Lachs und den Wal nach demselben Vorgehen. Die einzelnen Modellierungsschritte waren identisch. Unterschiede bestanden lediglich in den verwendeten Modellparametern, wie der Körpergröße, dem Gewässer, der Einlassgeschwindigkeit und den Abmessungen des Simulationsgebiets. ==== Auswahl des Modells und der Physik ==== Zu Beginn wurde im Modell-Assistenten ein zweidimensionales (2D) Modell erstellt. Als physikalische Schnittstelle wurde unter Fluid Flow die Physik Laminar Flow (Laminare Strömung) ausgewählt. Diese eignet sich zur Simulation inkompressibler Flüssigkeiten bei laminarer Strömung und bildet die Grundlage für die Berechnung der Wasserströmung um die Tiere. ==== Erstellung der Geometrie ==== Als Simulationsgebiet wurde zunächst ein Rechteck erstellt, das den betrachteten Gewässerausschnitt repräsentiert. Die Abmessungen wurden entsprechend der zuvor festgelegten Modellparameter gewählt. Anschließend wurden die Umrisse des Lachses bzw. des Wals über die Funktion „Bild zu Kurve“ (Image to Curve) in COMSOL importiert und skaliert. Mithilfe der Booleschen Operation „Differenz“ wurde die Tiergeometrie aus dem Rechteck ausgeschnitten. Dadurch entsteht ein Strömungsgebiet, in dem das Tier als festes Hindernis vom Wasser umströmt wird. ==== Materialauswahl ==== [[File:Rampe.png|thumb|Rampe]] Dem gesamten Strömungsgebiet wurde anschließend das Material Water, liquid zugewiesen. Dadurch verwendet COMSOL automatisch die erforderlichen Materialeigenschaften des Wassers, insbesondere Dichte und dynamische Viskosität. ==== Definition der Randbedingungen ==== [[File:Netz Lachs.png|thumb|Netz des 2D-Modells des Lachses]] Für die Simulation wurden geeignete Randbedingungen festgelegt. Am linken Rand des Simulationsgebiets wurde ein Einlass mit einer vorgegebenen Einlassgeschwindigkeit definiert. Um einen sprunghaften Beginn der Strömung zu vermeiden, wurde diese Geschwindigkeit mit einer Rampenfunktion multipliziert. Dadurch steigt die Geschwindigkeit zu Beginn der Simulation kontinuierlich auf den gewünschten Wert an und numerische Instabilitäten werden vermieden. Einströmgeschwindigkeit: U₀=1.2•rampe(t)m/s Am rechten Rand wurde ein Auslass definiert, sodass das Wasser das Rechengebiet verlassen kann. Die obere und untere Begrenzung des Simulationsgebiets wurden als Gleitwand (Slip) modelliert. Dadurch kann das Wasser entlang dieser Ränder ohne Reibung strömen. Die Oberfläche des Tieres wurde dagegen mit einer Haftbedingung (No Slip) versehen, sodass die Strömungsgeschwindigkeit direkt an der Tieroberfläche null ist. Als Anfangswerte wurden für Geschwindigkeit und Druck jeweils 0 vorgegeben. ==== Vernetzung ==== [[File:Netz des 2D-Modells des Wals.png|thumb|Netz des 2D-Modells des Wals]] Vor der Berechnung erzeugte COMSOL automatisch ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz (Mesh). Im Bereich der Tiergeometrie wurde das Netz deutlich feiner aufgelöst als im übrigen Simulationsgebiet. Dadurch können die Strömungsverhältnisse an der Körperoberfläche sowie die Wirbelbildung hinter dem Tier genauer berechnet werden. ==== Berechnung und Darstellung ==== Für die Simulation wurde eine zeitabhängige Studie (Time Dependent Study) eingerichtet. Dadurch kann die Entwicklung der Strömung vom Einschalten der Einlassgeschwindigkeit bis zum Erreichen eines stationären Zustands verfolgt werden. Nach erfolgreicher Berechnung wurden verschiedene Ergebnisdarstellungen erstellt. Hierzu zählen insbesondere die Geschwindigkeitsverteilung sowie die Stromlinien. Die Geschwindigkeitsverteilung wird über eine Farbskala dargestellt, während die Stromlinien den Verlauf der Wasserströmung um das Tier visualisieren. Besonders im Nachlauf des Tieres werden Wirbel und Strömungsablösungen deutlich sichtbar. <gallery mode="packed" heights="250"> Datei:Stromlinien Lachs mit Geschwindigkeit.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Lachses. Datei:Stromlinien Wal.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Wals. </gallery> == Erstellung der 3D-Modelle == Nach der erfolgreichen Umsetzung der 2D-Modelle wurden der Lachs und der Wal zusätzlich als dreidimensionale Modelle in COMSOL Multiphysics implementiert. Das Vorgehen war bei beiden Tieren grundsätzlich gleich; Unterschiede bestanden vor allem in den Abmessungen der Tiermodelle und der jeweiligen Simulationsgebiete. Da die ursprünglichen 3D-Dateien nicht unmittelbar für die Verwendung in COMSOL geeignet waren, mussten sie vor dem Import zunächst in Blender überarbeitet werden. === Vorbereitung der 3D-Geometrien in Blender === Die dreidimensionalen Tiermodelle wurden zunächst in Blender geometrisch überarbeitet und geglättet. Dabei wurden unregelmäßige Bereiche der Oberflächen bereinigt, um möglichst gleichmäßige und geschlossene Modelle für den anschließenden Import in COMSOL zu erhalten. Diese Vorbereitung war notwendig, damit die Geometrien in COMSOL weiterverarbeitet und vernetzt werden konnten. Bei der Bearbeitung der 3D-Modelle wurden wir von '''Tristan Probst''' fachkundig unterstützt, wofür wir uns herzlich bedanken. [[File:Wal in kleinem Quader.png|thumb|3D Wal in kleinerem quaderförmigen Bereich]] [[File:Wal in Quader 2.jpg|thumb|3D Wal]] === Auswahl des Modells und der Physik === Im Modell-Assistenten wurde ein dreidimensionales Modell erstellt. Als physikalische Schnittstelle wurde erneut unter Fluid Flow die laminare Strömung ausgewählt. Für die Berechnung wurde wie bei den 2D-Modellen eine zeitabhängige Studie verwendet, sodass sich der Aufbau des Strömungsfeldes nach dem Einschalten der Einlassströmung untersuchen lässt. Die Auswahl der Physik und der Studie war bei Lachs und Wal identisch. === Import und Erstellung der Geometrie === Die in Blender vorbereiteten Tiermodelle wurden anschließend in COMSOL importiert und innerhalb eines großen Quaders positioniert. Dieser Quader stellt das dreidimensionale Strömungsgebiet des Wassers dar. Mithilfe einer booleschen Differenz wurde die Geometrie des Tieres aus dem Wassergebiet ausgeschnitten. Der Wal beziehungsweise der Lachs bildet dadurch eine feste Begrenzung, um die das Wasser herumströmen muss. Für die spätere Darstellung wurde zusätzlich ein kleinerer quaderförmiger Bereich um das Tier beziehungsweise um einzelne Körperbereiche angelegt. Dieser Auswertungsquader ermöglicht es, die Darstellung der Stromlinien auf einen begrenzten Bereich zu konzentrieren. Dadurch lassen sich die Strömung und mögliche Verwirbelungen in der unmittelbaren Umgebung des Tieres übersichtlicher darstellen. === Materialauswahl === Dem Strömungsgebiet wurde das Material Wasser zugewiesen. Dadurch verwendet COMSOL die für die Berechnung benötigten Materialeigenschaften, insbesondere die Dichte und die dynamische Viskosität. Die Tiergeometrie wird nicht als strömendes Gebiet behandelt, sondern bildet eine feste Oberfläche innerhalb des Wassers. [[File:Wal Netz.png|thumb|Oberflächennetz des dreidimensionalen Walmodells]] [[File:3D Lachs Netz.jpg|thumb|Oberflächennetz des dreidimensionalen Lachsmodells]] === Definition der Randbedingungen === Zu Beginn der Berechnung wurden Geschwindigkeit und Druck im gesamten Strömungsgebiet auf null gesetzt. An einer äußeren Fläche des Quaders wurde anschließend der Einlass definiert. Die Einlassgeschwindigkeit beträgt wie bei den 2D-Modellen: v_ein=1,2 m/s. Die Geschwindigkeit wurde erneut mit der Rampenfunktion multipliziert, sodass sie zu Beginn der Simulation gleichmäßig von null auf den gewünschten Wert ansteigt. Die entsprechenden offenen Randflächen ermöglichen, dass das Wasser das Simulationsgebiet wieder verlassen kann. Dort wurde eine Normalspannung von null vorgegeben. Die Tieroberfläche wurde als stationäre Wand mit Haftbedingung (no slip) behandelt. Dadurch bleibt das Tier unbewegt, während das Wasser an seiner Oberfläche abgebremst und um den Körper herumgeführt wird === Vernetzung === kleine Volumenelemente unterteilt. In der Nähe der Tieroberfläche ist eine feinere Vernetzung besonders wichtig, da sich dort Geschwindigkeit und Strömungsrichtung stark verändern. Weiter entfernt vom Tier kann das Netz gröber ausfallen, wodurch der Rechenaufwand begrenzt wird. === Berechnung und Darstellung === Für die Berechnung wurde eine zeitabhängige Studie verwendet. COMSOL berechnet dabei für die einzelnen Zeitpunkte das dreidimensionale Geschwindigkeits- und Druckfeld im gesamten Wassergebiet. Zur Darstellung der Ergebnisse wurden unter anderem der Geschwindigkeitsbetrag und die Stromlinien ausgewählt. Die Stromlinien wurden in Form von Röhren dargestellt und entsprechend der jeweiligen Strömungsgeschwindigkeit eingefärbt. Die Röhren sind dabei lediglich eine grafische Darstellung der Stromlinien und keine realen Röhren im Modell. Durch die dreidimensionale Darstellung kann nachvollzogen werden, wie das Wasser oberhalb, unterhalb und seitlich an den Tierkörpern vorbeiströmt. Da eine Darstellung der Stromlinien im gesamten Simulationsgebiet schnell unübersichtlich wird, wurden sie teilweise nur innerhalb des kleineren Auswertungsquaders angezeigt. Zusätzlich wurde eine Animation erstellt, in der das Modell aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet werden kann. = Modellierungsergebnisse = == Ergebnisse der 2D Modelle == === Strömungsverlauf und Geschwindigkeitsverteilung === In beiden Modellen strömt das Wasser von links nach rechts auf das Tier zu. Vor der Kopfpartie wird die Strömung zunächst abgebremst und anschließend oberhalb und unterhalb des Körpers umgelenkt. Entlang der Körperoberfläche steigt die Geschwindigkeit an, während hinter den Tieren Bereiche mit deutlich geringeren Geschwindigkeiten entstehen. Beim Lachs verteilt sich die Beschleunigung auf mehrere Stellen entlang des Rückens und der Bauchseite. Die maximale Geschwindigkeit liegt bei etwa 1,8 m/s. Beim Wal folgt die Strömung dem vergleichsweise glatten Hauptkörper zunächst gleichmäßiger. An der stark gekrümmten oberen Schwanzflosse tritt jedoch eine kleinräumige Geschwindigkeitsspitze von ungefähr 3.24 m/s auf. Dieser lokale Höchstwert sollte aufgrund der scharfen Geometrie und der vereinfachten zweidimensionalen, laminaren Modellierung vorsichtig interpretiert werden. <gallery mode="packed" heights="210"> Datei:Geschwindigkeit Lachs.png|Geschwindigkeitsverteilung des Lachses Datei:Geschwindigkeitsfeld Wal.png|Geschwindigkeitsverteilung des Wals </gallery> === Stromlinien und Wirbelbildung === Die Stromlinien zeigen, dass das Wasser bei beiden Tieren größtenteils der Körperkontur folgt. Beim Lachs führen die unregelmäßige Körperform und die Flossen zu mehreren Ablösungen und Wirbelbereichen. Diese entstehen vor allem hinter den Flossen, entlang der Bauchseite sowie im Nachlauf der Schwanzflosse. Beim Wal verläuft die Strömung entlang des großen Hauptkörpers insgesamt gleichmäßiger. Deutliche Ablösungen und Wirbel treten überwiegend im Bereich der Schwanzflosse auf. Insgesamt entstehen beim Lachs mehrere kleinere, über den Körper verteilte Wirbel, während sich die Wirbelbildung beim Wal stärker auf den hinteren Körperbereich konzentriert. <gallery mode="packed" heights="200"> Datei:Stromlinien Lachs mit Geschwindigkeit.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Lachses. Datei:Stromlinien Wal.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Wals. File:Wal Flosse Verwirbelung.png|thumb|Verwirbelung Flosse des Wals </gallery> === Quantitative Auswertung === Zur quantitativen Auswertung wurden ausgewählte Kenngrößen der Strömung für den Lachs und den Wal bestimmt. Die folgende Tabelle stellt die Einlass- und Maximalgeschwindigkeiten sowie die Geschwindigkeiten und die Ausdehnung des Nachlaufbereichs gegenüber. Für die quantitative Auswertung wurde zunächst die maximale Strömungsgeschwindigkeit im gesamten Wassergebiet bestimmt. Zusätzlich wurde die mittlere Geschwindigkeit entlang senkrechter Messlinien im nahen und weiteren Nachlauf der Tiere berechnet. Die Verwendung eines Mittelwerts verhindert, dass einzelne lokale Geschwindigkeitsspitzen das Ergebnis zu stark beeinflussen. Als Ende der Nachlaufzone wurde der Punkt festgelegt, an dem die Geschwindigkeit wieder mindestens 95 % der Einlassgeschwindigkeit von 1,2 m/s erreicht und anschließend annähernd konstant bleibt. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von 1,14 m/s. Um Lachs und Wal trotz ihrer unterschiedlichen Größe vergleichen zu können, wurde die Nachlauflänge zusätzlich ins Verhältnis zur jeweiligen Körperlänge gesetzt. Bemerkung: Die beim Wal auftretende maximale Geschwindigkeit von etwa 3.24 m/s befindet sich nur in einem sehr kleinen Bereich an der stark gekrümmten oberen Schwanzflosse und wird daher aufgrund der scharfkantigen Geometrie sowie der vereinfachten Modellierung nur als lokaler Spitzenwert betrachtet. {| class="wikitable" |+ Ergebnistabelle |- ! Kenngröße !! Lachs !! Wal |- | Körperlänge L || 0.7m || 17m |- | Einlassgeschwindigkeit v_ein || 1.2 m/s || 1.2 m/s |- | maximale Geschwindigkeit v_max || 1.815 m/s || 3.24 m/s |- | Verhältnis v_max/v_ein || 1.512 || 2.7 |- | Mittlere Geschwindigkeit bei 0.25L hinter dem Tier || 0.694 m/s || 1.088 m/s |- | Mittlere Geschwindigkeit bei 1L hinter dem Tier || 1.134 || 1.18 |- | Nachlauflänge L_Nachlauf || 0.8m || 12m |- | Relative Nachlauflänge L_Nachlauf/L || 1.143 || 0.71 |} === Vergleich und Auswertung der Modelle === Die quantitative Auswertung bestätigt die Unterschiede, die bereits in den Strömungsbildern sichtbar werden. Beim Lachs sinkt die Geschwindigkeit im nahen Nachlauf mit 0,694 m/s deutlich unter die Einlassgeschwindigkeit ab. Erst nach ungefähr einer Körperlänge nähert sie sich mit 1,134 m/s wieder dem Ausgangswert von 1,2 m/s an. Daraus ergibt sich eine Nachlauflänge von etwa 1,14 Körperlängen. Dies weist darauf hin, dass die unregelmäßigere Körperkontur und die verschiedenen Flossen des Lachses die Strömung stärker abbremsen und mehrere kleinere Wirbelbereiche erzeugen. Beim Wal ist die absolute Nachlauflänge mit 12 m zwar wesentlich größer, sie entspricht jedoch nur etwa 0,71 Körperlängen. Im Verhältnis zur Größe des Tieres erholt sich die Strömung somit schneller. Ein möglicher Grund dafür ist die insgesamt gleichmäßigere und stromlinienförmigere Gestalt des großen Hauptkörpers, an dem das Wasser über weite Bereiche vergleichsweise ruhig entlangströmt. Deutliche Ablösungen treten hauptsächlich im Bereich der Schwanzflosse auf. Dort entsteht auch die maximale Geschwindigkeit von 3,24 m/s, die als kleinräumiger lokaler Spitzenwert zu verstehen ist. Insgesamt besitzt der Lachs in der Simulation einen relativ längeren und stärker verlangsamten Nachlauf, während beim Wal vor allem örtlich begrenzte, dafür stärkere Beschleunigungen auftreten. == 3D Modelle == Die dreidimensionalen Modelle wurden ergänzend zu den 2D-Modellen erstellt, um den räumlichen Verlauf der Strömung um die Tiere sichtbar zu machen. Da die Darstellung der 3D-Ergebnisse stark vom gewählten Blickwinkel, der Platzierung und Anzahl der Stromlinien sowie dem dargestellten Ausschnitt abhängt, erfolgt die Auswertung überwiegend qualitativ. Die quantitative Gegenüberstellung von Lachs und Wal basiert daher hauptsächlich auf den übersichtlicheren 2D-Modellen. === Strömungsverlauf und Geschwindigkeitsverteilung === Die dreidimensionale Darstellung zeigt, dass das Wasser den Körper nicht nur oberhalb und unterhalb, sondern auch seitlich umströmen kann. In unmittelbarer Nähe der Tieroberfläche wird die Strömung aufgrund der Haftbedingung stark abgebremst. An stärker gekrümmten Körperstellen sowie im Bereich der Flossen und der Schwanzflosse wird das Wasser deutlich umgelenkt und teilweise lokal beschleunigt. Hinter dem Tier bildet sich eine Nachlaufzone mit geringeren Geschwindigkeiten aus. Gegenüber dem 2D-Modell kann sich die Strömung im dreidimensionalen Raum jedoch zusätzlich seitlich ausbreiten, wodurch das Strömungsfeld räumlich komplexer wird. <gallery mode="packed" heights="230"> File:Geschwindigkeit.png|thumb|Wal Geschwindigkeitsfeld File:Geschwindigkeitsfeld Lachs.png|thumb|Lachs Geschwindigkeitsfeld </gallery> === Stromlinien und räumliche Wirbelbildung === Die Stromlinien teilen sich vor dem Tier auf und verlaufen anschließend oberhalb, unterhalb und seitlich am Körper entlang. Besonders im Bereich der Flossen und der Schwanzflosse werden sie stark gekrümmt und räumlich abgelenkt. Teilweise sind zurücklaufende oder schleifenförmige Verläufe zu erkennen, die auf Ablösungs- und Rezirkulationsbereiche hindeuten. Die Wirbel besitzen im 3D-Modell eine räumliche Ausdehnung und können daher nicht vollständig in einer einzelnen Ansicht dargestellt werden. Erst durch verschiedene Blickwinkel wird erkennbar, wie sich die Strömung um die einzelnen Körperbereiche herum entwickelt. <gallery mode="packed" heights="180"> File:Flosse wal 2.jpg|thumb|zentriert|Flosse Wal File:Flosse wal 1.jpg|thumb|Flosse Wal File:Mehr Stromlinien Lachs.jpg|thumb|Stromlinien Lachs File:Stromlinien Lachs.jpg|thumb|Lachs </gallery> === Quantitative Ergänzung der 3D-Modelle === Ergänzend zur qualitativen Darstellung wurde für die 3D-Modelle eine begrenzte quantitative Auswertung durchgeführt. Sie dient vor allem der Kontrolle der Randbedingungen und ermöglicht eine grobe Einordnung der Geschwindigkeitsänderungen in der Umgebung der Tiere. Da die Ergebnisse im dreidimensionalen Modell stärker von der Lage und Größe der gewählten Auswerteflächen abhängen, werden nur wenige zentrale Kenngrößen betrachtet. {| class="wikitable" |+ Ergebnistabelle |- ! Überschrift !! Lachs !! Wal |- | v_ein || 1,2 m/s || 1,2 m/s |- | v_max || 1,32 m/s || 1,84 m/s |- | v_max/v_ein || 1,1 || 1,53 |} === Auswertung === Bei gleicher Einlassgeschwindigkeit von 1,2m/s zeigen beide 3D-Modelle eine lokale Beschleunigung der Strömung. Beim Lachs beträgt die maximale Geschwindigkeit 1,32m/s und damit etwa das 1,1-Fache der Einlassgeschwindigkeit. Beim Wal wird mit 1,84m/s beziehungsweise dem 1,53-Fachen eine deutlich stärkere lokale Beschleunigung erreicht. Damit bestätigen auch die quantitativen Werte die in den Geschwindigkeitsfeldern und Stromlinien sichtbaren Unterschiede zwischen den beiden Tiergeometrien. = Schlussfolgerungen = Die durchgeführten Simulationen ermöglichen eine zusammenfassende Bewertung der Strömungsverhältnisse um Lachs und Wal sowie der verwendeten 2D- und 3D-Modellierungsansätze. Im Folgenden werden die zentralen Erkenntnisse zusammengeführt und im Hinblick auf die ursprüngliche Fragestellung eingeordnet. === Beantwortung der Fragestellung === Die Simulationen zeigen, dass die Körperform von Lachs und Wal einen deutlichen Einfluss auf den Verlauf der Wasserströmung besitzt. Das Wasser wird beim Auftreffen auf die Tiere um den Körper herumgeführt, lokal beschleunigt und hinter dem Körper teilweise stark abgebremst. Insbesondere an Flossen, stark gekrümmten Körperstellen und im Bereich des Schwanzes entstehen deutliche Änderungen der Geschwindigkeit und des Strömungsverlaufs. Hinter den Tieren bilden sich zudem Nachlauf- und Wirbelbereiche. Die Untersuchung zeigt damit, dass sich die Umströmung abhängig von Größe und Geometrie der Tiere deutlich unterscheidet. === Vergleich von Lachs und Wal === Der Lachs besitzt insgesamt eine stärker stromlinienförmige Körperform, wodurch die Strömung vergleichsweise gleichmäßig um den Körper geführt wird. Beim Wal führen insbesondere der deutlich größere Körper sowie die ausgeprägten Flossen und die Schwanzgeometrie zu stärkeren lokalen Umlenkungen und Beschleunigungen. Dies zeigt sich sowohl in den 2D- als auch in den 3D-Modellen. Gleichzeitig ergab die 2D-Auswertung, dass die Nachlaufzone des Wals bezogen auf seine Körperlänge kürzer ausfällt als beim Lachs. Eine größere lokale Beschleunigung bedeutet somit nicht automatisch, dass auch der relative Nachlauf länger sein muss. === Vergleich der 2D- und 3D-Modelle === Zwischen den beiden Modellierungsansätzen treten deutliche Unterschiede auf. In den 2D-Modellen wurden höhere maximale Geschwindigkeiten ermittelt: beim Lachs etwa 1,82m/s und beim Wal 3,24m/s, während die entsprechenden 3D-Werte bei 1,32m/s beziehungsweise 1,84m/s liegen. Dieser Unterschied lässt sich durch die zusätzliche räumliche Ausweichmöglichkeit im 3D-Modell erklären. Im zweidimensionalen Modell kann das Wasser lediglich oberhalb und unterhalb des Tierumrisses vorbeiströmen und wird dadurch stärker eingeengt. Im dreidimensionalen Modell kann die Strömung zusätzlich seitlich am Tier vorbeifließen, wodurch sich die Strömung auf einen größeren Raum verteilt und lokale Geschwindigkeitsspitzen geringer ausfallen können. Die 2D-Modelle eignen sich dadurch besonders gut für eine übersichtliche quantitative Auswertung, während die 3D-Modelle den tatsächlichen räumlichen Strömungsverlauf anschaulicher darstellen. === Gesamtbewertung des Projekts === Insgesamt konnte mit den erstellten Modellen der Einfluss unterschiedlicher Tiergeometrien auf eine Wasserströmung anschaulich untersucht werden. Besonders die Kombination aus 2D- und 3D-Modellen erwies sich als sinnvoll: Die 2D-Modelle ermöglichten eine gut vergleichbare quantitative Auswertung, während die 3D-Modelle zusätzliche Informationen über die räumliche Umströmung lieferten. Gleichzeitig stellen die Modelle Vereinfachungen der Realität dar. Die Tiere wurden als starre Körper betrachtet und natürliche Bewegungen der Flossen und des Körpers wurden nicht berücksichtigt. Dennoch ermöglichen die Simulationen eine nachvollziehbare Darstellung grundlegender strömungsmechanischer Effekte und liefern eine geeignete Grundlage für den Vergleich von Lachs und Wal. = Optimierung des Projekts = Im Verlauf des Projekts wurden verschiedene Möglichkeiten zur Verbesserung der Modelle deutlich. Diese betreffen sowohl die technische Umsetzung in COMSOL als auch mögliche Erweiterungen der untersuchten Fragestellung. === Optimierung der Modellierung und Auswertung === Die Modelle könnten durch realistischere und stärker geglättete Tiergeometrien sowie eine gezielte Verfeinerung des Netzes an Flossen, Schwanz und im Nachlauf verbessert werden. Besonders bei den 3D-Modellen wäre eine sorgfältigere Vorbereitung der Geometrien in Blender sinnvoll, um Probleme beim Import und bei der Vernetzung zu vermeiden. Zudem könnte anstelle der rein laminaren Strömung ein geeignetes Turbulenzmodell verwendet werden. Eine genauere Auswertung wäre durch zusätzliche Messlinien, eine Untersuchung der Druckverteilung und die Berechnung der Widerstandskräfte möglich. === Erweiterung der Untersuchung === Das Projekt könnte durch die Simulation unterschiedlicher Strömungs- beziehungsweise Schwimmgeschwindigkeiten erweitert werden. Ebenso wären der Vergleich weiterer Tierarten und Körpergrößen oder die Untersuchung mehrerer Tiere hinter- oder nebeneinander denkbar. Eine besonders realitätsnahe Erweiterung wäre die Modellierung einer beweglichen Schwanzflosse oder eines sich durch das Wasser bewegenden Tieres =Mathematische Hintergründe = Die in COMSOL dargestellten Geschwindigkeitsfelder und Stromlinien werden nicht lediglich grafisch erzeugt, sondern beruhen auf der numerischen Lösung physikalischer Gleichungen. Im vorliegenden Modell berechnet COMSOL für jeden Punkt des Strömungsgebiets die Geschwindigkeit des Wassers sowie den zugehörigen Druck. Als mathematische Grundlage dienen die Navier-Stokes-Gleichungen und die Kontinuitätsgleichung. === Navier-Stokes-Gleichungen === Für ein inkompressibles, newtonsches Fluid wie Wasser kann die im Projekt verwendete Bewegungsgleichung vereinfacht folgendermaßen dargestellt werden: <math> \rho \left( \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \right) = -\nabla p + \mu\Delta\vec{u} </math> Dabei bedeuten: * ρ: Dichte des Wassers * <math>\vec{u}</math>: Geschwindigkeitsvektor der Strömung * p: Druck * μ: dynamische Viskosität des Wassers * t: Zeit Der Ausdruck <math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}</math> beschreibt die zeitliche Veränderung der Strömung. Der Term <math>(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}</math> berücksichtigt, dass sich die Geschwindigkeit beim Durchströmen verschiedener Bereiche verändert. Auf der rechten Seite stehen die durch Druckunterschiede und die Viskosität des Wassers hervorgerufenen Kräfte. Da Wasser im Modell als inkompressibel betrachtet wird, wird zusätzlich die Kontinuitätsgleichung verwendet: <math> \nabla\cdot\vec{u}=0 </math> Sie beschreibt die Erhaltung der Masse. Vereinfacht ausgedrückt kann sich Wasser im Modell weder ansammeln noch verschwinden: Die in das Simulationsgebiet einströmende Wassermenge muss es auch wieder verlassen. COMSOL löst für die Laminar-Flow-Schnittstelle die Impuls- und Kontinuitätsgleichung gemeinsam, um Geschwindigkeit und Druck zu bestimmen. === Bezug zu den Randbedingungen === Damit die Gleichungen eindeutig gelöst werden können, werden die bereits beschriebenen Randbedingungen benötigt. Am Einlass wird die zeitabhängige Geschwindigkeit vorgegeben: <math> \vec{u}_{\mathrm{ein}}(t) = 1{,}2\,r(t)\,\vec{e}_x </math> Dabei bezeichnet r(t) die verwendete Rampenfunktion. Sie erhöht die Geschwindigkeit zu Beginn schrittweise von null auf 1,2m/s. An der Oberfläche der Tiere gilt aufgrund der Haftbedingung die Geschwindigkeit u=0. Das Wasser wird dort abgebremst und anschließend um den Körper herumgeleitet. === Numerische Berechnung in COMSOL === Die Navier-Stokes-Gleichungen können für die komplexen Konturen von Lachs und Wal nicht einfach durch eine geschlossene Formel gelöst werden. COMSOL verwendet deshalb die Finite-Elemente-Methode. Hierzu wird das Strömungsgebiet durch das Mesh in zahlreiche kleine Elemente unterteilt. Innerhalb jedes Elements werden Geschwindigkeit und Druck durch mathematische Ansatzfunktionen angenähert. Aus den Differentialgleichungen entsteht dadurch ein großes Gleichungssystem, das COMSOL numerisch löst. Bei einer zeitabhängigen Studie wird diese Berechnung für aufeinanderfolgende Zeitpunkte durchgeführt. Ein feineres Netz ermöglicht insbesondere in Bereichen mit starken Geschwindigkeitsänderungen eine genauere Annäherung, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. Die von COMSOL verwendete schwache Form der Gleichungen eignet sich besonders für die Diskretisierung mit der Finite-Elemente-Methode. Das erklärt auch, weshalb das Netz in der Nähe der Tieroberflächen dichter ist: Dort verändern sich Geschwindigkeit und Strömungsrichtung besonders stark. Weiter entfernt vom Tier kann das Netz gröber sein, da die Strömung dort gleichmäßiger verläuft. === Berechnung des Geschwindigkeitsbetrags === In den Ergebnisdarstellungen wird überwiegend der Geschwindigkeitsbetrag angezeigt. In einem zweidimensionalen Modell wird dieser aus den beiden Geschwindigkeitskomponenten u und v berechnet: <math> U=\sqrt{u^2+v^2} </math> Im dreidimensionalen Modell kommt die dritte Komponente w hinzu: <math> U=\sqrt{u^2+v^2+w^2} </math> Der Geschwindigkeitsbetrag entspricht in COMSOL der Größe spf.U und wird durch die Farbskala dargestellt. Die Stromlinien verlaufen dagegen an jedem Punkt in Richtung des jeweiligen Geschwindigkeitsvektors. Eng beieinanderliegende und stark gekrümmte Stromlinien zeigen Bereiche mit deutlicher Umlenkung; geschlossene oder zurücklaufende Linien kennzeichnen Rezirkulations- und Wirbelbereiche. === Einordnung der laminaren Modellannahme === Für die Beurteilung einer Strömung kann die Reynolds-Zahl verwendet werden: <math> \mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,L}{\mu} </math> Sie setzt die Trägheitskräfte der Strömung ins Verhältnis zu den viskosen Kräften. Mit er Dichte und der Viskosität von Wasser, einer Einlassgeschwindigkeit von 1,2m/s und den verwendeten Körperlängen ergeben sich näherungsweise: <math> \mathrm{Re}_{\mathrm{Lachs}} \approx 8{,}4\cdot10^5 </math> <math> \mathrm{Re}_{\mathrm{Wal}} \approx 2{,}0\cdot10^7 </math> Diese hohen Werte zeigen, dass reale Strömungen um die Tiere wahrscheinlich nicht vollständig laminar wären. Die Auswahl der laminaren Strömung stellt daher eine bewusste Vereinfachung des Projekts dar. COMSOL weist darauf hin, dass bei höheren Reynolds-Zahlen Störungen anwachsen und ein Übergang zu turbulenten Strömungen auftreten kann. Die Ergebnisse sollten deshalb vor allem als qualitativer Vergleich der beiden modellierten Körperformen und nicht als exakte Abbildung der realen Strömung verstanden werden. = Literaturverzeichnis = * COMSOL AB (2023): ''COMSOL Multiphysics® Reference Manual, Version 6.2''. COMSOL AB, Stockholm, Sweden. * COMSOL AB (2023): ''CFD Module User’s Guide, Version 6.2''. COMSOL AB, Stockholm, Sweden. * Hundertmark, Anna, Prof. Dr.:''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung'', Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026. 0x06y2x8m8zdx50np8hzjh0knbfrezg 1110722 1110720 2026-08-09T13:17:41Z Julius.Stutzenberger 38549 /* Einordnung der laminaren Modellannahme */ 1110722 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema und Fragestellung = In diesem Projekt wird die Umströmung eines Lachses und eines Wals mithilfe von COMSOL Multiphysics simuliert. Ziel ist es, die Strömungsverhältnisse um die beiden Tiere sichtbar zu machen und zu untersuchen, wie sich ihre unterschiedliche Körpergröße und -form auf das Strömungsbild auswirken. Durch den Vergleich der beiden Simulationen soll ein grundlegendes Verständnis dafür gewonnen werden, wie die Geometrie eines Körpers das Verhalten einer Wasserströmung beeinflusst. = Relevanz = Die Untersuchung von Strömungen gehört zu den zentralen Themen der Fluiddynamik. Am Beispiel eines Lachses und eines Wals lässt sich anschaulich zeigen, wie sich unterschiedliche Körperformen und -größen auf das Strömungsverhalten des Wassers auswirken. Das Verständnis solcher Zusammenhänge ist sowohl für die Forschung als auch für die Entwicklung nachhaltiger Technologien von Bedeutung. Erkenntnisse aus der Natur dienen häufig als Vorbild für technische Innovationen, beispielsweise bei der strömungsgünstigen Gestaltung von Fahrzeugen, Schiffen oder Unterwasserrobotern (Bionik). Gleichzeitig können Strömungssimulationen dazu beitragen, natürliche Lebensräume besser zu verstehen und Auswirkungen von Veränderungen in Gewässern auf Wasserlebewesen zu untersuchen. Das Projekt zeigt außerdem, wie reale Fragestellungen mithilfe von COMSOL Multiphysics modelliert, simuliert und ausgewertet werden können. = Modellierung = Um die Strömung um einen Lachs und einen Wal untersuchen zu können, wurden zunächst vereinfachte Modelle der realen Situation erstellt. Dabei wurden die wesentlichen Eigenschaften der Tiere und ihres Gewässers berücksichtigt, während weniger relevante Einflüsse vernachlässigt wurden. Die folgenden Modellannahmen und Parameter bilden die Grundlage für die Simulationen in COMSOL Multiphysics. Für den Lachs und den Wal wurde jeweils ein zweidimensionales (2D) sowie ein dreidimensionales (3D) Modell erstellt. Dabei wurden für beide Modelle eines Tieres dieselben Modellparameter und Randbedingungen verwendet. {| class="wikitable" |+ Modellparameter |- ! Parameter !! Lachs !! Wal |- | Gewässer || Rhein || Nordatlantik |- | Körperlänge || 0,7m || 17m |- | Fließgeschwindigkeit || 1,2m/s || 1,2m/s |- |} Im Nordatlantik sind die Strömungsgeschwindigkeiten in der Regel geringer. Für die Simulation wurde jedoch eine höhere Einlassgeschwindigkeit gewählt, um die Strömungsverhältnisse und Stromlinien besser veranschaulichen zu können ===== Simulationsgebiet ===== Abmessungen des Modellgebiets Lachs: Das Simulationsgebiet bildet einen 20 m langen und 5 m tiefen Ausschnitt des Rheins ab. Abmessungen des Modellgebiets Wal: Das Simulationsgebiet bildet einen 200 m langen und 75 m tiefen Ausschnitt des Nordatlantiks ab ===== Weitere Modellannahmen ===== * Die Tiere werden als starre Körper betrachtet, d. h. ihre Form verändert sich während der Simulation nicht. *Es wird angenommen, dass das Wasser gleichmäßige Eigenschaften besitzt und sich seine Dichte während der Strömung nicht verändert. *Es wird jeweils nur ein Tier im Strömungsfeld betrachtet. = Implementierung des Modells in Comsol Multiphysiks = Nach der Festlegung der Modellparameter und Modellannahmen erfolgte die Umsetzung des Modells in COMSOL Multiphysics. Im Folgenden wird zunächst die Implementierung der 2D-Modelle und anschließend die der 3D-Modelle beschrieben. Dabei werden die einzelnen Schritte von der Erstellung der Geometrie über die Definition der Randbedingungen bis hin zur Berechnung der Strömungssimulation erläutert. == Erstellung der 2D-Modelle == Die Erstellung der 2D-Modelle erfolgte für den Lachs und den Wal nach demselben Vorgehen. Die einzelnen Modellierungsschritte waren identisch. Unterschiede bestanden lediglich in den verwendeten Modellparametern, wie der Körpergröße, dem Gewässer, der Einlassgeschwindigkeit und den Abmessungen des Simulationsgebiets. ==== Auswahl des Modells und der Physik ==== Zu Beginn wurde im Modell-Assistenten ein zweidimensionales (2D) Modell erstellt. Als physikalische Schnittstelle wurde unter Fluid Flow die Physik Laminar Flow (Laminare Strömung) ausgewählt. Diese eignet sich zur Simulation inkompressibler Flüssigkeiten bei laminarer Strömung und bildet die Grundlage für die Berechnung der Wasserströmung um die Tiere. ==== Erstellung der Geometrie ==== Als Simulationsgebiet wurde zunächst ein Rechteck erstellt, das den betrachteten Gewässerausschnitt repräsentiert. Die Abmessungen wurden entsprechend der zuvor festgelegten Modellparameter gewählt. Anschließend wurden die Umrisse des Lachses bzw. des Wals über die Funktion „Bild zu Kurve“ (Image to Curve) in COMSOL importiert und skaliert. Mithilfe der Booleschen Operation „Differenz“ wurde die Tiergeometrie aus dem Rechteck ausgeschnitten. Dadurch entsteht ein Strömungsgebiet, in dem das Tier als festes Hindernis vom Wasser umströmt wird. ==== Materialauswahl ==== [[File:Rampe.png|thumb|Rampe]] Dem gesamten Strömungsgebiet wurde anschließend das Material Water, liquid zugewiesen. Dadurch verwendet COMSOL automatisch die erforderlichen Materialeigenschaften des Wassers, insbesondere Dichte und dynamische Viskosität. ==== Definition der Randbedingungen ==== [[File:Netz Lachs.png|thumb|Netz des 2D-Modells des Lachses]] Für die Simulation wurden geeignete Randbedingungen festgelegt. Am linken Rand des Simulationsgebiets wurde ein Einlass mit einer vorgegebenen Einlassgeschwindigkeit definiert. Um einen sprunghaften Beginn der Strömung zu vermeiden, wurde diese Geschwindigkeit mit einer Rampenfunktion multipliziert. Dadurch steigt die Geschwindigkeit zu Beginn der Simulation kontinuierlich auf den gewünschten Wert an und numerische Instabilitäten werden vermieden. Einströmgeschwindigkeit: U₀=1.2•rampe(t)m/s Am rechten Rand wurde ein Auslass definiert, sodass das Wasser das Rechengebiet verlassen kann. Die obere und untere Begrenzung des Simulationsgebiets wurden als Gleitwand (Slip) modelliert. Dadurch kann das Wasser entlang dieser Ränder ohne Reibung strömen. Die Oberfläche des Tieres wurde dagegen mit einer Haftbedingung (No Slip) versehen, sodass die Strömungsgeschwindigkeit direkt an der Tieroberfläche null ist. Als Anfangswerte wurden für Geschwindigkeit und Druck jeweils 0 vorgegeben. ==== Vernetzung ==== [[File:Netz des 2D-Modells des Wals.png|thumb|Netz des 2D-Modells des Wals]] Vor der Berechnung erzeugte COMSOL automatisch ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz (Mesh). Im Bereich der Tiergeometrie wurde das Netz deutlich feiner aufgelöst als im übrigen Simulationsgebiet. Dadurch können die Strömungsverhältnisse an der Körperoberfläche sowie die Wirbelbildung hinter dem Tier genauer berechnet werden. ==== Berechnung und Darstellung ==== Für die Simulation wurde eine zeitabhängige Studie (Time Dependent Study) eingerichtet. Dadurch kann die Entwicklung der Strömung vom Einschalten der Einlassgeschwindigkeit bis zum Erreichen eines stationären Zustands verfolgt werden. Nach erfolgreicher Berechnung wurden verschiedene Ergebnisdarstellungen erstellt. Hierzu zählen insbesondere die Geschwindigkeitsverteilung sowie die Stromlinien. Die Geschwindigkeitsverteilung wird über eine Farbskala dargestellt, während die Stromlinien den Verlauf der Wasserströmung um das Tier visualisieren. Besonders im Nachlauf des Tieres werden Wirbel und Strömungsablösungen deutlich sichtbar. <gallery mode="packed" heights="250"> Datei:Stromlinien Lachs mit Geschwindigkeit.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Lachses. Datei:Stromlinien Wal.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Wals. </gallery> == Erstellung der 3D-Modelle == Nach der erfolgreichen Umsetzung der 2D-Modelle wurden der Lachs und der Wal zusätzlich als dreidimensionale Modelle in COMSOL Multiphysics implementiert. Das Vorgehen war bei beiden Tieren grundsätzlich gleich; Unterschiede bestanden vor allem in den Abmessungen der Tiermodelle und der jeweiligen Simulationsgebiete. Da die ursprünglichen 3D-Dateien nicht unmittelbar für die Verwendung in COMSOL geeignet waren, mussten sie vor dem Import zunächst in Blender überarbeitet werden. === Vorbereitung der 3D-Geometrien in Blender === Die dreidimensionalen Tiermodelle wurden zunächst in Blender geometrisch überarbeitet und geglättet. Dabei wurden unregelmäßige Bereiche der Oberflächen bereinigt, um möglichst gleichmäßige und geschlossene Modelle für den anschließenden Import in COMSOL zu erhalten. Diese Vorbereitung war notwendig, damit die Geometrien in COMSOL weiterverarbeitet und vernetzt werden konnten. Bei der Bearbeitung der 3D-Modelle wurden wir von '''Tristan Probst''' fachkundig unterstützt, wofür wir uns herzlich bedanken. [[File:Wal in kleinem Quader.png|thumb|3D Wal in kleinerem quaderförmigen Bereich]] [[File:Wal in Quader 2.jpg|thumb|3D Wal]] === Auswahl des Modells und der Physik === Im Modell-Assistenten wurde ein dreidimensionales Modell erstellt. Als physikalische Schnittstelle wurde erneut unter Fluid Flow die laminare Strömung ausgewählt. Für die Berechnung wurde wie bei den 2D-Modellen eine zeitabhängige Studie verwendet, sodass sich der Aufbau des Strömungsfeldes nach dem Einschalten der Einlassströmung untersuchen lässt. Die Auswahl der Physik und der Studie war bei Lachs und Wal identisch. === Import und Erstellung der Geometrie === Die in Blender vorbereiteten Tiermodelle wurden anschließend in COMSOL importiert und innerhalb eines großen Quaders positioniert. Dieser Quader stellt das dreidimensionale Strömungsgebiet des Wassers dar. Mithilfe einer booleschen Differenz wurde die Geometrie des Tieres aus dem Wassergebiet ausgeschnitten. Der Wal beziehungsweise der Lachs bildet dadurch eine feste Begrenzung, um die das Wasser herumströmen muss. Für die spätere Darstellung wurde zusätzlich ein kleinerer quaderförmiger Bereich um das Tier beziehungsweise um einzelne Körperbereiche angelegt. Dieser Auswertungsquader ermöglicht es, die Darstellung der Stromlinien auf einen begrenzten Bereich zu konzentrieren. Dadurch lassen sich die Strömung und mögliche Verwirbelungen in der unmittelbaren Umgebung des Tieres übersichtlicher darstellen. === Materialauswahl === Dem Strömungsgebiet wurde das Material Wasser zugewiesen. Dadurch verwendet COMSOL die für die Berechnung benötigten Materialeigenschaften, insbesondere die Dichte und die dynamische Viskosität. Die Tiergeometrie wird nicht als strömendes Gebiet behandelt, sondern bildet eine feste Oberfläche innerhalb des Wassers. [[File:Wal Netz.png|thumb|Oberflächennetz des dreidimensionalen Walmodells]] [[File:3D Lachs Netz.jpg|thumb|Oberflächennetz des dreidimensionalen Lachsmodells]] === Definition der Randbedingungen === Zu Beginn der Berechnung wurden Geschwindigkeit und Druck im gesamten Strömungsgebiet auf null gesetzt. An einer äußeren Fläche des Quaders wurde anschließend der Einlass definiert. Die Einlassgeschwindigkeit beträgt wie bei den 2D-Modellen: v_ein=1,2 m/s. Die Geschwindigkeit wurde erneut mit der Rampenfunktion multipliziert, sodass sie zu Beginn der Simulation gleichmäßig von null auf den gewünschten Wert ansteigt. Die entsprechenden offenen Randflächen ermöglichen, dass das Wasser das Simulationsgebiet wieder verlassen kann. Dort wurde eine Normalspannung von null vorgegeben. Die Tieroberfläche wurde als stationäre Wand mit Haftbedingung (no slip) behandelt. Dadurch bleibt das Tier unbewegt, während das Wasser an seiner Oberfläche abgebremst und um den Körper herumgeführt wird === Vernetzung === kleine Volumenelemente unterteilt. In der Nähe der Tieroberfläche ist eine feinere Vernetzung besonders wichtig, da sich dort Geschwindigkeit und Strömungsrichtung stark verändern. Weiter entfernt vom Tier kann das Netz gröber ausfallen, wodurch der Rechenaufwand begrenzt wird. === Berechnung und Darstellung === Für die Berechnung wurde eine zeitabhängige Studie verwendet. COMSOL berechnet dabei für die einzelnen Zeitpunkte das dreidimensionale Geschwindigkeits- und Druckfeld im gesamten Wassergebiet. Zur Darstellung der Ergebnisse wurden unter anderem der Geschwindigkeitsbetrag und die Stromlinien ausgewählt. Die Stromlinien wurden in Form von Röhren dargestellt und entsprechend der jeweiligen Strömungsgeschwindigkeit eingefärbt. Die Röhren sind dabei lediglich eine grafische Darstellung der Stromlinien und keine realen Röhren im Modell. Durch die dreidimensionale Darstellung kann nachvollzogen werden, wie das Wasser oberhalb, unterhalb und seitlich an den Tierkörpern vorbeiströmt. Da eine Darstellung der Stromlinien im gesamten Simulationsgebiet schnell unübersichtlich wird, wurden sie teilweise nur innerhalb des kleineren Auswertungsquaders angezeigt. Zusätzlich wurde eine Animation erstellt, in der das Modell aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet werden kann. = Modellierungsergebnisse = == Ergebnisse der 2D Modelle == === Strömungsverlauf und Geschwindigkeitsverteilung === In beiden Modellen strömt das Wasser von links nach rechts auf das Tier zu. Vor der Kopfpartie wird die Strömung zunächst abgebremst und anschließend oberhalb und unterhalb des Körpers umgelenkt. Entlang der Körperoberfläche steigt die Geschwindigkeit an, während hinter den Tieren Bereiche mit deutlich geringeren Geschwindigkeiten entstehen. Beim Lachs verteilt sich die Beschleunigung auf mehrere Stellen entlang des Rückens und der Bauchseite. Die maximale Geschwindigkeit liegt bei etwa 1,8 m/s. Beim Wal folgt die Strömung dem vergleichsweise glatten Hauptkörper zunächst gleichmäßiger. An der stark gekrümmten oberen Schwanzflosse tritt jedoch eine kleinräumige Geschwindigkeitsspitze von ungefähr 3.24 m/s auf. Dieser lokale Höchstwert sollte aufgrund der scharfen Geometrie und der vereinfachten zweidimensionalen, laminaren Modellierung vorsichtig interpretiert werden. <gallery mode="packed" heights="210"> Datei:Geschwindigkeit Lachs.png|Geschwindigkeitsverteilung des Lachses Datei:Geschwindigkeitsfeld Wal.png|Geschwindigkeitsverteilung des Wals </gallery> === Stromlinien und Wirbelbildung === Die Stromlinien zeigen, dass das Wasser bei beiden Tieren größtenteils der Körperkontur folgt. Beim Lachs führen die unregelmäßige Körperform und die Flossen zu mehreren Ablösungen und Wirbelbereichen. Diese entstehen vor allem hinter den Flossen, entlang der Bauchseite sowie im Nachlauf der Schwanzflosse. Beim Wal verläuft die Strömung entlang des großen Hauptkörpers insgesamt gleichmäßiger. Deutliche Ablösungen und Wirbel treten überwiegend im Bereich der Schwanzflosse auf. Insgesamt entstehen beim Lachs mehrere kleinere, über den Körper verteilte Wirbel, während sich die Wirbelbildung beim Wal stärker auf den hinteren Körperbereich konzentriert. <gallery mode="packed" heights="200"> Datei:Stromlinien Lachs mit Geschwindigkeit.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Lachses. Datei:Stromlinien Wal.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Wals. File:Wal Flosse Verwirbelung.png|thumb|Verwirbelung Flosse des Wals </gallery> === Quantitative Auswertung === Zur quantitativen Auswertung wurden ausgewählte Kenngrößen der Strömung für den Lachs und den Wal bestimmt. Die folgende Tabelle stellt die Einlass- und Maximalgeschwindigkeiten sowie die Geschwindigkeiten und die Ausdehnung des Nachlaufbereichs gegenüber. Für die quantitative Auswertung wurde zunächst die maximale Strömungsgeschwindigkeit im gesamten Wassergebiet bestimmt. Zusätzlich wurde die mittlere Geschwindigkeit entlang senkrechter Messlinien im nahen und weiteren Nachlauf der Tiere berechnet. Die Verwendung eines Mittelwerts verhindert, dass einzelne lokale Geschwindigkeitsspitzen das Ergebnis zu stark beeinflussen. Als Ende der Nachlaufzone wurde der Punkt festgelegt, an dem die Geschwindigkeit wieder mindestens 95 % der Einlassgeschwindigkeit von 1,2 m/s erreicht und anschließend annähernd konstant bleibt. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von 1,14 m/s. Um Lachs und Wal trotz ihrer unterschiedlichen Größe vergleichen zu können, wurde die Nachlauflänge zusätzlich ins Verhältnis zur jeweiligen Körperlänge gesetzt. Bemerkung: Die beim Wal auftretende maximale Geschwindigkeit von etwa 3.24 m/s befindet sich nur in einem sehr kleinen Bereich an der stark gekrümmten oberen Schwanzflosse und wird daher aufgrund der scharfkantigen Geometrie sowie der vereinfachten Modellierung nur als lokaler Spitzenwert betrachtet. {| class="wikitable" |+ Ergebnistabelle |- ! Kenngröße !! Lachs !! Wal |- | Körperlänge L || 0.7m || 17m |- | Einlassgeschwindigkeit v_ein || 1.2 m/s || 1.2 m/s |- | maximale Geschwindigkeit v_max || 1.815 m/s || 3.24 m/s |- | Verhältnis v_max/v_ein || 1.512 || 2.7 |- | Mittlere Geschwindigkeit bei 0.25L hinter dem Tier || 0.694 m/s || 1.088 m/s |- | Mittlere Geschwindigkeit bei 1L hinter dem Tier || 1.134 || 1.18 |- | Nachlauflänge L_Nachlauf || 0.8m || 12m |- | Relative Nachlauflänge L_Nachlauf/L || 1.143 || 0.71 |} === Vergleich und Auswertung der Modelle === Die quantitative Auswertung bestätigt die Unterschiede, die bereits in den Strömungsbildern sichtbar werden. Beim Lachs sinkt die Geschwindigkeit im nahen Nachlauf mit 0,694 m/s deutlich unter die Einlassgeschwindigkeit ab. Erst nach ungefähr einer Körperlänge nähert sie sich mit 1,134 m/s wieder dem Ausgangswert von 1,2 m/s an. Daraus ergibt sich eine Nachlauflänge von etwa 1,14 Körperlängen. Dies weist darauf hin, dass die unregelmäßigere Körperkontur und die verschiedenen Flossen des Lachses die Strömung stärker abbremsen und mehrere kleinere Wirbelbereiche erzeugen. Beim Wal ist die absolute Nachlauflänge mit 12 m zwar wesentlich größer, sie entspricht jedoch nur etwa 0,71 Körperlängen. Im Verhältnis zur Größe des Tieres erholt sich die Strömung somit schneller. Ein möglicher Grund dafür ist die insgesamt gleichmäßigere und stromlinienförmigere Gestalt des großen Hauptkörpers, an dem das Wasser über weite Bereiche vergleichsweise ruhig entlangströmt. Deutliche Ablösungen treten hauptsächlich im Bereich der Schwanzflosse auf. Dort entsteht auch die maximale Geschwindigkeit von 3,24 m/s, die als kleinräumiger lokaler Spitzenwert zu verstehen ist. Insgesamt besitzt der Lachs in der Simulation einen relativ längeren und stärker verlangsamten Nachlauf, während beim Wal vor allem örtlich begrenzte, dafür stärkere Beschleunigungen auftreten. == 3D Modelle == Die dreidimensionalen Modelle wurden ergänzend zu den 2D-Modellen erstellt, um den räumlichen Verlauf der Strömung um die Tiere sichtbar zu machen. Da die Darstellung der 3D-Ergebnisse stark vom gewählten Blickwinkel, der Platzierung und Anzahl der Stromlinien sowie dem dargestellten Ausschnitt abhängt, erfolgt die Auswertung überwiegend qualitativ. Die quantitative Gegenüberstellung von Lachs und Wal basiert daher hauptsächlich auf den übersichtlicheren 2D-Modellen. === Strömungsverlauf und Geschwindigkeitsverteilung === Die dreidimensionale Darstellung zeigt, dass das Wasser den Körper nicht nur oberhalb und unterhalb, sondern auch seitlich umströmen kann. In unmittelbarer Nähe der Tieroberfläche wird die Strömung aufgrund der Haftbedingung stark abgebremst. An stärker gekrümmten Körperstellen sowie im Bereich der Flossen und der Schwanzflosse wird das Wasser deutlich umgelenkt und teilweise lokal beschleunigt. Hinter dem Tier bildet sich eine Nachlaufzone mit geringeren Geschwindigkeiten aus. Gegenüber dem 2D-Modell kann sich die Strömung im dreidimensionalen Raum jedoch zusätzlich seitlich ausbreiten, wodurch das Strömungsfeld räumlich komplexer wird. <gallery mode="packed" heights="230"> File:Geschwindigkeit.png|thumb|Wal Geschwindigkeitsfeld File:Geschwindigkeitsfeld Lachs.png|thumb|Lachs Geschwindigkeitsfeld </gallery> === Stromlinien und räumliche Wirbelbildung === Die Stromlinien teilen sich vor dem Tier auf und verlaufen anschließend oberhalb, unterhalb und seitlich am Körper entlang. Besonders im Bereich der Flossen und der Schwanzflosse werden sie stark gekrümmt und räumlich abgelenkt. Teilweise sind zurücklaufende oder schleifenförmige Verläufe zu erkennen, die auf Ablösungs- und Rezirkulationsbereiche hindeuten. Die Wirbel besitzen im 3D-Modell eine räumliche Ausdehnung und können daher nicht vollständig in einer einzelnen Ansicht dargestellt werden. Erst durch verschiedene Blickwinkel wird erkennbar, wie sich die Strömung um die einzelnen Körperbereiche herum entwickelt. <gallery mode="packed" heights="180"> File:Flosse wal 2.jpg|thumb|zentriert|Flosse Wal File:Flosse wal 1.jpg|thumb|Flosse Wal File:Mehr Stromlinien Lachs.jpg|thumb|Stromlinien Lachs File:Stromlinien Lachs.jpg|thumb|Lachs </gallery> === Quantitative Ergänzung der 3D-Modelle === Ergänzend zur qualitativen Darstellung wurde für die 3D-Modelle eine begrenzte quantitative Auswertung durchgeführt. Sie dient vor allem der Kontrolle der Randbedingungen und ermöglicht eine grobe Einordnung der Geschwindigkeitsänderungen in der Umgebung der Tiere. Da die Ergebnisse im dreidimensionalen Modell stärker von der Lage und Größe der gewählten Auswerteflächen abhängen, werden nur wenige zentrale Kenngrößen betrachtet. {| class="wikitable" |+ Ergebnistabelle |- ! Überschrift !! Lachs !! Wal |- | v_ein || 1,2 m/s || 1,2 m/s |- | v_max || 1,32 m/s || 1,84 m/s |- | v_max/v_ein || 1,1 || 1,53 |} === Auswertung === Bei gleicher Einlassgeschwindigkeit von 1,2m/s zeigen beide 3D-Modelle eine lokale Beschleunigung der Strömung. Beim Lachs beträgt die maximale Geschwindigkeit 1,32m/s und damit etwa das 1,1-Fache der Einlassgeschwindigkeit. Beim Wal wird mit 1,84m/s beziehungsweise dem 1,53-Fachen eine deutlich stärkere lokale Beschleunigung erreicht. Damit bestätigen auch die quantitativen Werte die in den Geschwindigkeitsfeldern und Stromlinien sichtbaren Unterschiede zwischen den beiden Tiergeometrien. = Schlussfolgerungen = Die durchgeführten Simulationen ermöglichen eine zusammenfassende Bewertung der Strömungsverhältnisse um Lachs und Wal sowie der verwendeten 2D- und 3D-Modellierungsansätze. Im Folgenden werden die zentralen Erkenntnisse zusammengeführt und im Hinblick auf die ursprüngliche Fragestellung eingeordnet. === Beantwortung der Fragestellung === Die Simulationen zeigen, dass die Körperform von Lachs und Wal einen deutlichen Einfluss auf den Verlauf der Wasserströmung besitzt. Das Wasser wird beim Auftreffen auf die Tiere um den Körper herumgeführt, lokal beschleunigt und hinter dem Körper teilweise stark abgebremst. Insbesondere an Flossen, stark gekrümmten Körperstellen und im Bereich des Schwanzes entstehen deutliche Änderungen der Geschwindigkeit und des Strömungsverlaufs. Hinter den Tieren bilden sich zudem Nachlauf- und Wirbelbereiche. Die Untersuchung zeigt damit, dass sich die Umströmung abhängig von Größe und Geometrie der Tiere deutlich unterscheidet. === Vergleich von Lachs und Wal === Der Lachs besitzt insgesamt eine stärker stromlinienförmige Körperform, wodurch die Strömung vergleichsweise gleichmäßig um den Körper geführt wird. Beim Wal führen insbesondere der deutlich größere Körper sowie die ausgeprägten Flossen und die Schwanzgeometrie zu stärkeren lokalen Umlenkungen und Beschleunigungen. Dies zeigt sich sowohl in den 2D- als auch in den 3D-Modellen. Gleichzeitig ergab die 2D-Auswertung, dass die Nachlaufzone des Wals bezogen auf seine Körperlänge kürzer ausfällt als beim Lachs. Eine größere lokale Beschleunigung bedeutet somit nicht automatisch, dass auch der relative Nachlauf länger sein muss. === Vergleich der 2D- und 3D-Modelle === Zwischen den beiden Modellierungsansätzen treten deutliche Unterschiede auf. In den 2D-Modellen wurden höhere maximale Geschwindigkeiten ermittelt: beim Lachs etwa 1,82m/s und beim Wal 3,24m/s, während die entsprechenden 3D-Werte bei 1,32m/s beziehungsweise 1,84m/s liegen. Dieser Unterschied lässt sich durch die zusätzliche räumliche Ausweichmöglichkeit im 3D-Modell erklären. Im zweidimensionalen Modell kann das Wasser lediglich oberhalb und unterhalb des Tierumrisses vorbeiströmen und wird dadurch stärker eingeengt. Im dreidimensionalen Modell kann die Strömung zusätzlich seitlich am Tier vorbeifließen, wodurch sich die Strömung auf einen größeren Raum verteilt und lokale Geschwindigkeitsspitzen geringer ausfallen können. Die 2D-Modelle eignen sich dadurch besonders gut für eine übersichtliche quantitative Auswertung, während die 3D-Modelle den tatsächlichen räumlichen Strömungsverlauf anschaulicher darstellen. === Gesamtbewertung des Projekts === Insgesamt konnte mit den erstellten Modellen der Einfluss unterschiedlicher Tiergeometrien auf eine Wasserströmung anschaulich untersucht werden. Besonders die Kombination aus 2D- und 3D-Modellen erwies sich als sinnvoll: Die 2D-Modelle ermöglichten eine gut vergleichbare quantitative Auswertung, während die 3D-Modelle zusätzliche Informationen über die räumliche Umströmung lieferten. Gleichzeitig stellen die Modelle Vereinfachungen der Realität dar. Die Tiere wurden als starre Körper betrachtet und natürliche Bewegungen der Flossen und des Körpers wurden nicht berücksichtigt. Dennoch ermöglichen die Simulationen eine nachvollziehbare Darstellung grundlegender strömungsmechanischer Effekte und liefern eine geeignete Grundlage für den Vergleich von Lachs und Wal. = Optimierung des Projekts = Im Verlauf des Projekts wurden verschiedene Möglichkeiten zur Verbesserung der Modelle deutlich. Diese betreffen sowohl die technische Umsetzung in COMSOL als auch mögliche Erweiterungen der untersuchten Fragestellung. === Optimierung der Modellierung und Auswertung === Die Modelle könnten durch realistischere und stärker geglättete Tiergeometrien sowie eine gezielte Verfeinerung des Netzes an Flossen, Schwanz und im Nachlauf verbessert werden. Besonders bei den 3D-Modellen wäre eine sorgfältigere Vorbereitung der Geometrien in Blender sinnvoll, um Probleme beim Import und bei der Vernetzung zu vermeiden. Zudem könnte anstelle der rein laminaren Strömung ein geeignetes Turbulenzmodell verwendet werden. Eine genauere Auswertung wäre durch zusätzliche Messlinien, eine Untersuchung der Druckverteilung und die Berechnung der Widerstandskräfte möglich. === Erweiterung der Untersuchung === Das Projekt könnte durch die Simulation unterschiedlicher Strömungs- beziehungsweise Schwimmgeschwindigkeiten erweitert werden. Ebenso wären der Vergleich weiterer Tierarten und Körpergrößen oder die Untersuchung mehrerer Tiere hinter- oder nebeneinander denkbar. Eine besonders realitätsnahe Erweiterung wäre die Modellierung einer beweglichen Schwanzflosse oder eines sich durch das Wasser bewegenden Tieres =Mathematische Hintergründe = Die in COMSOL dargestellten Geschwindigkeitsfelder und Stromlinien werden nicht lediglich grafisch erzeugt, sondern beruhen auf der numerischen Lösung physikalischer Gleichungen. Im vorliegenden Modell berechnet COMSOL für jeden Punkt des Strömungsgebiets die Geschwindigkeit des Wassers sowie den zugehörigen Druck. Als mathematische Grundlage dienen die Navier-Stokes-Gleichungen und die Kontinuitätsgleichung. === Navier-Stokes-Gleichungen === Für ein inkompressibles, newtonsches Fluid wie Wasser kann die im Projekt verwendete Bewegungsgleichung vereinfacht folgendermaßen dargestellt werden: <math> \rho \left( \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \right) = -\nabla p + \mu\Delta\vec{u} </math> Dabei bedeuten: * ρ: Dichte des Wassers * <math>\vec{u}</math>: Geschwindigkeitsvektor der Strömung * p: Druck * μ: dynamische Viskosität des Wassers * t: Zeit Der Ausdruck <math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}</math> beschreibt die zeitliche Veränderung der Strömung. Der Term <math>(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u}</math> berücksichtigt, dass sich die Geschwindigkeit beim Durchströmen verschiedener Bereiche verändert. Auf der rechten Seite stehen die durch Druckunterschiede und die Viskosität des Wassers hervorgerufenen Kräfte. Da Wasser im Modell als inkompressibel betrachtet wird, wird zusätzlich die Kontinuitätsgleichung verwendet: <math> \nabla\cdot\vec{u}=0 </math> Sie beschreibt die Erhaltung der Masse. Vereinfacht ausgedrückt kann sich Wasser im Modell weder ansammeln noch verschwinden: Die in das Simulationsgebiet einströmende Wassermenge muss es auch wieder verlassen. COMSOL löst für die Laminar-Flow-Schnittstelle die Impuls- und Kontinuitätsgleichung gemeinsam, um Geschwindigkeit und Druck zu bestimmen. === Bezug zu den Randbedingungen === Damit die Gleichungen eindeutig gelöst werden können, werden die bereits beschriebenen Randbedingungen benötigt. Am Einlass wird die zeitabhängige Geschwindigkeit vorgegeben: <math> \vec{u}_{\mathrm{ein}}(t) = 1{,}2\,r(t)\,\vec{e}_x </math> Dabei bezeichnet r(t) die verwendete Rampenfunktion. Sie erhöht die Geschwindigkeit zu Beginn schrittweise von null auf 1,2m/s. An der Oberfläche der Tiere gilt aufgrund der Haftbedingung die Geschwindigkeit u=0. Das Wasser wird dort abgebremst und anschließend um den Körper herumgeleitet. === Numerische Berechnung in COMSOL === Die Navier-Stokes-Gleichungen können für die komplexen Konturen von Lachs und Wal nicht einfach durch eine geschlossene Formel gelöst werden. COMSOL verwendet deshalb die Finite-Elemente-Methode. Hierzu wird das Strömungsgebiet durch das Mesh in zahlreiche kleine Elemente unterteilt. Innerhalb jedes Elements werden Geschwindigkeit und Druck durch mathematische Ansatzfunktionen angenähert. Aus den Differentialgleichungen entsteht dadurch ein großes Gleichungssystem, das COMSOL numerisch löst. Bei einer zeitabhängigen Studie wird diese Berechnung für aufeinanderfolgende Zeitpunkte durchgeführt. Ein feineres Netz ermöglicht insbesondere in Bereichen mit starken Geschwindigkeitsänderungen eine genauere Annäherung, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. Die von COMSOL verwendete schwache Form der Gleichungen eignet sich besonders für die Diskretisierung mit der Finite-Elemente-Methode. Das erklärt auch, weshalb das Netz in der Nähe der Tieroberflächen dichter ist: Dort verändern sich Geschwindigkeit und Strömungsrichtung besonders stark. Weiter entfernt vom Tier kann das Netz gröber sein, da die Strömung dort gleichmäßiger verläuft. === Berechnung des Geschwindigkeitsbetrags === In den Ergebnisdarstellungen wird überwiegend der Geschwindigkeitsbetrag angezeigt. In einem zweidimensionalen Modell wird dieser aus den beiden Geschwindigkeitskomponenten u und v berechnet: <math> U=\sqrt{u^2+v^2} </math> Im dreidimensionalen Modell kommt die dritte Komponente w hinzu: <math> U=\sqrt{u^2+v^2+w^2} </math> Der Geschwindigkeitsbetrag entspricht in COMSOL der Größe spf.U und wird durch die Farbskala dargestellt. Die Stromlinien verlaufen dagegen an jedem Punkt in Richtung des jeweiligen Geschwindigkeitsvektors. Eng beieinanderliegende und stark gekrümmte Stromlinien zeigen Bereiche mit deutlicher Umlenkung; geschlossene oder zurücklaufende Linien kennzeichnen Rezirkulations- und Wirbelbereiche. === Einordnung der laminaren Modellannahme === Für die Beurteilung einer Strömung kann die Reynolds-Zahl verwendet werden: <math> \mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,L}{\mu} </math> Sie setzt die Trägheitskräfte der Strömung ins Verhältnis zu den viskosen Kräften. Mit der Dichte und der Viskosität von Wasser, einer Einlassgeschwindigkeit von 1,2m/s und den verwendeten Körperlängen ergeben sich näherungsweise: <math> \mathrm{Re}_{\mathrm{Lachs}} \approx 8{,}4\cdot10^5 </math> <math> \mathrm{Re}_{\mathrm{Wal}} \approx 2{,}0\cdot10^7 </math> Diese hohen Werte zeigen, dass reale Strömungen um die Tiere wahrscheinlich nicht vollständig laminar wären. Die Auswahl der laminaren Strömung stellt daher eine bewusste Vereinfachung des Projekts dar. COMSOL weist darauf hin, dass bei höheren Reynolds-Zahlen Störungen anwachsen und ein Übergang zu turbulenten Strömungen auftreten kann. Die Ergebnisse sollten deshalb vor allem als qualitativer Vergleich der beiden modellierten Körperformen und nicht als exakte Abbildung der realen Strömung verstanden werden. = Literaturverzeichnis = * COMSOL AB (2023): ''COMSOL Multiphysics® Reference Manual, Version 6.2''. COMSOL AB, Stockholm, Sweden. * COMSOL AB (2023): ''CFD Module User’s Guide, Version 6.2''. COMSOL AB, Stockholm, Sweden. * Hundertmark, Anna, Prof. Dr.:''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung'', Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026. q62yzecew2jcd12ld74pg207n2ancze 1111018 1110722 2026-08-10T11:56:46Z Zachmann12 38584 /* Mathematische Hintergründe */ 1111018 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Lenny Dörr * Julius Stutzenberger * Lena Erb = Thema und Fragestellung = In diesem Projekt wird die Umströmung eines Lachses und eines Wals mithilfe von COMSOL Multiphysics simuliert. Ziel ist es, die Strömungsverhältnisse um die beiden Tiere sichtbar zu machen und zu untersuchen, wie sich ihre unterschiedliche Körpergröße und -form auf das Strömungsbild auswirken. Durch den Vergleich der beiden Simulationen soll ein grundlegendes Verständnis dafür gewonnen werden, wie die Geometrie eines Körpers das Verhalten einer Wasserströmung beeinflusst. = Relevanz = Die Untersuchung von Strömungen gehört zu den zentralen Themen der Fluiddynamik. Am Beispiel eines Lachses und eines Wals lässt sich anschaulich zeigen, wie sich unterschiedliche Körperformen und -größen auf das Strömungsverhalten des Wassers auswirken. Das Verständnis solcher Zusammenhänge ist sowohl für die Forschung als auch für die Entwicklung nachhaltiger Technologien von Bedeutung. Erkenntnisse aus der Natur dienen häufig als Vorbild für technische Innovationen, beispielsweise bei der strömungsgünstigen Gestaltung von Fahrzeugen, Schiffen oder Unterwasserrobotern (Bionik). Gleichzeitig können Strömungssimulationen dazu beitragen, natürliche Lebensräume besser zu verstehen und Auswirkungen von Veränderungen in Gewässern auf Wasserlebewesen zu untersuchen. Das Projekt zeigt außerdem, wie reale Fragestellungen mithilfe von COMSOL Multiphysics modelliert, simuliert und ausgewertet werden können. = Modellierung = Um die Strömung um einen Lachs und einen Wal untersuchen zu können, wurden zunächst vereinfachte Modelle der realen Situation erstellt. Dabei wurden die wesentlichen Eigenschaften der Tiere und ihres Gewässers berücksichtigt, während weniger relevante Einflüsse vernachlässigt wurden. Die folgenden Modellannahmen und Parameter bilden die Grundlage für die Simulationen in COMSOL Multiphysics. Für den Lachs und den Wal wurde jeweils ein zweidimensionales (2D) sowie ein dreidimensionales (3D) Modell erstellt. Dabei wurden für beide Modelle eines Tieres dieselben Modellparameter und Randbedingungen verwendet. {| class="wikitable" |+ Modellparameter |- ! Parameter !! Lachs !! Wal |- | Gewässer || Rhein || Nordatlantik |- | Körperlänge || 0,7m || 17m |- | Fließgeschwindigkeit || 1,2m/s || 1,2m/s |- |} Im Nordatlantik sind die Strömungsgeschwindigkeiten in der Regel geringer. Für die Simulation wurde jedoch eine höhere Einlassgeschwindigkeit gewählt, um die Strömungsverhältnisse und Stromlinien besser veranschaulichen zu können ===== Simulationsgebiet ===== Abmessungen des Modellgebiets Lachs: Das Simulationsgebiet bildet einen 20 m langen und 5 m tiefen Ausschnitt des Rheins ab. Abmessungen des Modellgebiets Wal: Das Simulationsgebiet bildet einen 200 m langen und 75 m tiefen Ausschnitt des Nordatlantiks ab ===== Weitere Modellannahmen ===== * Die Tiere werden als starre Körper betrachtet, d. h. ihre Form verändert sich während der Simulation nicht. *Es wird angenommen, dass das Wasser gleichmäßige Eigenschaften besitzt und sich seine Dichte während der Strömung nicht verändert. *Es wird jeweils nur ein Tier im Strömungsfeld betrachtet. = Implementierung des Modells in Comsol Multiphysiks = Nach der Festlegung der Modellparameter und Modellannahmen erfolgte die Umsetzung des Modells in COMSOL Multiphysics. Im Folgenden wird zunächst die Implementierung der 2D-Modelle und anschließend die der 3D-Modelle beschrieben. Dabei werden die einzelnen Schritte von der Erstellung der Geometrie über die Definition der Randbedingungen bis hin zur Berechnung der Strömungssimulation erläutert. == Erstellung der 2D-Modelle == Die Erstellung der 2D-Modelle erfolgte für den Lachs und den Wal nach demselben Vorgehen. Die einzelnen Modellierungsschritte waren identisch. Unterschiede bestanden lediglich in den verwendeten Modellparametern, wie der Körpergröße, dem Gewässer, der Einlassgeschwindigkeit und den Abmessungen des Simulationsgebiets. ==== Auswahl des Modells und der Physik ==== Zu Beginn wurde im Modell-Assistenten ein zweidimensionales (2D) Modell erstellt. Als physikalische Schnittstelle wurde unter Fluid Flow die Physik Laminar Flow (Laminare Strömung) ausgewählt. Diese eignet sich zur Simulation inkompressibler Flüssigkeiten bei laminarer Strömung und bildet die Grundlage für die Berechnung der Wasserströmung um die Tiere. ==== Erstellung der Geometrie ==== Als Simulationsgebiet wurde zunächst ein Rechteck erstellt, das den betrachteten Gewässerausschnitt repräsentiert. Die Abmessungen wurden entsprechend der zuvor festgelegten Modellparameter gewählt. Anschließend wurden die Umrisse des Lachses bzw. des Wals über die Funktion „Bild zu Kurve“ (Image to Curve) in COMSOL importiert und skaliert. Mithilfe der Booleschen Operation „Differenz“ wurde die Tiergeometrie aus dem Rechteck ausgeschnitten. Dadurch entsteht ein Strömungsgebiet, in dem das Tier als festes Hindernis vom Wasser umströmt wird. ==== Materialauswahl ==== [[File:Rampe.png|thumb|Rampe]] Dem gesamten Strömungsgebiet wurde anschließend das Material Water, liquid zugewiesen. Dadurch verwendet COMSOL automatisch die erforderlichen Materialeigenschaften des Wassers, insbesondere Dichte und dynamische Viskosität. ==== Definition der Randbedingungen ==== [[File:Netz Lachs.png|thumb|Netz des 2D-Modells des Lachses]] Für die Simulation wurden geeignete Randbedingungen festgelegt. Am linken Rand des Simulationsgebiets wurde ein Einlass mit einer vorgegebenen Einlassgeschwindigkeit definiert. Um einen sprunghaften Beginn der Strömung zu vermeiden, wurde diese Geschwindigkeit mit einer Rampenfunktion multipliziert. Dadurch steigt die Geschwindigkeit zu Beginn der Simulation kontinuierlich auf den gewünschten Wert an und numerische Instabilitäten werden vermieden. Einströmgeschwindigkeit: U₀=1.2•rampe(t)m/s Am rechten Rand wurde ein Auslass definiert, sodass das Wasser das Rechengebiet verlassen kann. Die obere und untere Begrenzung des Simulationsgebiets wurden als Gleitwand (Slip) modelliert. Dadurch kann das Wasser entlang dieser Ränder ohne Reibung strömen. Die Oberfläche des Tieres wurde dagegen mit einer Haftbedingung (No Slip) versehen, sodass die Strömungsgeschwindigkeit direkt an der Tieroberfläche null ist. Als Anfangswerte wurden für Geschwindigkeit und Druck jeweils 0 vorgegeben. ==== Vernetzung ==== [[File:Netz des 2D-Modells des Wals.png|thumb|Netz des 2D-Modells des Wals]] Vor der Berechnung erzeugte COMSOL automatisch ein physikgesteuertes Finite-Elemente-Netz (Mesh). Im Bereich der Tiergeometrie wurde das Netz deutlich feiner aufgelöst als im übrigen Simulationsgebiet. Dadurch können die Strömungsverhältnisse an der Körperoberfläche sowie die Wirbelbildung hinter dem Tier genauer berechnet werden. ==== Berechnung und Darstellung ==== Für die Simulation wurde eine zeitabhängige Studie (Time Dependent Study) eingerichtet. Dadurch kann die Entwicklung der Strömung vom Einschalten der Einlassgeschwindigkeit bis zum Erreichen eines stationären Zustands verfolgt werden. Nach erfolgreicher Berechnung wurden verschiedene Ergebnisdarstellungen erstellt. Hierzu zählen insbesondere die Geschwindigkeitsverteilung sowie die Stromlinien. Die Geschwindigkeitsverteilung wird über eine Farbskala dargestellt, während die Stromlinien den Verlauf der Wasserströmung um das Tier visualisieren. Besonders im Nachlauf des Tieres werden Wirbel und Strömungsablösungen deutlich sichtbar. <gallery mode="packed" heights="250"> Datei:Stromlinien Lachs mit Geschwindigkeit.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Lachses. Datei:Stromlinien Wal.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Wals. </gallery> == Erstellung der 3D-Modelle == Nach der erfolgreichen Umsetzung der 2D-Modelle wurden der Lachs und der Wal zusätzlich als dreidimensionale Modelle in COMSOL Multiphysics implementiert. Das Vorgehen war bei beiden Tieren grundsätzlich gleich; Unterschiede bestanden vor allem in den Abmessungen der Tiermodelle und der jeweiligen Simulationsgebiete. Da die ursprünglichen 3D-Dateien nicht unmittelbar für die Verwendung in COMSOL geeignet waren, mussten sie vor dem Import zunächst in Blender überarbeitet werden. === Vorbereitung der 3D-Geometrien in Blender === Die dreidimensionalen Tiermodelle wurden zunächst in Blender geometrisch überarbeitet und geglättet. Dabei wurden unregelmäßige Bereiche der Oberflächen bereinigt, um möglichst gleichmäßige und geschlossene Modelle für den anschließenden Import in COMSOL zu erhalten. Diese Vorbereitung war notwendig, damit die Geometrien in COMSOL weiterverarbeitet und vernetzt werden konnten. Bei der Bearbeitung der 3D-Modelle wurden wir von '''Tristan Probst''' fachkundig unterstützt, wofür wir uns herzlich bedanken. [[File:Wal in kleinem Quader.png|thumb|3D Wal in kleinerem quaderförmigen Bereich]] [[File:Wal in Quader 2.jpg|thumb|3D Wal]] === Auswahl des Modells und der Physik === Im Modell-Assistenten wurde ein dreidimensionales Modell erstellt. Als physikalische Schnittstelle wurde erneut unter Fluid Flow die laminare Strömung ausgewählt. Für die Berechnung wurde wie bei den 2D-Modellen eine zeitabhängige Studie verwendet, sodass sich der Aufbau des Strömungsfeldes nach dem Einschalten der Einlassströmung untersuchen lässt. Die Auswahl der Physik und der Studie war bei Lachs und Wal identisch. === Import und Erstellung der Geometrie === Die in Blender vorbereiteten Tiermodelle wurden anschließend in COMSOL importiert und innerhalb eines großen Quaders positioniert. Dieser Quader stellt das dreidimensionale Strömungsgebiet des Wassers dar. Mithilfe einer booleschen Differenz wurde die Geometrie des Tieres aus dem Wassergebiet ausgeschnitten. Der Wal beziehungsweise der Lachs bildet dadurch eine feste Begrenzung, um die das Wasser herumströmen muss. Für die spätere Darstellung wurde zusätzlich ein kleinerer quaderförmiger Bereich um das Tier beziehungsweise um einzelne Körperbereiche angelegt. Dieser Auswertungsquader ermöglicht es, die Darstellung der Stromlinien auf einen begrenzten Bereich zu konzentrieren. Dadurch lassen sich die Strömung und mögliche Verwirbelungen in der unmittelbaren Umgebung des Tieres übersichtlicher darstellen. === Materialauswahl === Dem Strömungsgebiet wurde das Material Wasser zugewiesen. Dadurch verwendet COMSOL die für die Berechnung benötigten Materialeigenschaften, insbesondere die Dichte und die dynamische Viskosität. Die Tiergeometrie wird nicht als strömendes Gebiet behandelt, sondern bildet eine feste Oberfläche innerhalb des Wassers. [[File:Wal Netz.png|thumb|Oberflächennetz des dreidimensionalen Walmodells]] [[File:3D Lachs Netz.jpg|thumb|Oberflächennetz des dreidimensionalen Lachsmodells]] === Definition der Randbedingungen === Zu Beginn der Berechnung wurden Geschwindigkeit und Druck im gesamten Strömungsgebiet auf null gesetzt. An einer äußeren Fläche des Quaders wurde anschließend der Einlass definiert. Die Einlassgeschwindigkeit beträgt wie bei den 2D-Modellen: v_ein=1,2 m/s. Die Geschwindigkeit wurde erneut mit der Rampenfunktion multipliziert, sodass sie zu Beginn der Simulation gleichmäßig von null auf den gewünschten Wert ansteigt. Die entsprechenden offenen Randflächen ermöglichen, dass das Wasser das Simulationsgebiet wieder verlassen kann. Dort wurde eine Normalspannung von null vorgegeben. Die Tieroberfläche wurde als stationäre Wand mit Haftbedingung (no slip) behandelt. Dadurch bleibt das Tier unbewegt, während das Wasser an seiner Oberfläche abgebremst und um den Körper herumgeführt wird === Vernetzung === kleine Volumenelemente unterteilt. In der Nähe der Tieroberfläche ist eine feinere Vernetzung besonders wichtig, da sich dort Geschwindigkeit und Strömungsrichtung stark verändern. Weiter entfernt vom Tier kann das Netz gröber ausfallen, wodurch der Rechenaufwand begrenzt wird. === Berechnung und Darstellung === Für die Berechnung wurde eine zeitabhängige Studie verwendet. COMSOL berechnet dabei für die einzelnen Zeitpunkte das dreidimensionale Geschwindigkeits- und Druckfeld im gesamten Wassergebiet. Zur Darstellung der Ergebnisse wurden unter anderem der Geschwindigkeitsbetrag und die Stromlinien ausgewählt. Die Stromlinien wurden in Form von Röhren dargestellt und entsprechend der jeweiligen Strömungsgeschwindigkeit eingefärbt. Die Röhren sind dabei lediglich eine grafische Darstellung der Stromlinien und keine realen Röhren im Modell. Durch die dreidimensionale Darstellung kann nachvollzogen werden, wie das Wasser oberhalb, unterhalb und seitlich an den Tierkörpern vorbeiströmt. Da eine Darstellung der Stromlinien im gesamten Simulationsgebiet schnell unübersichtlich wird, wurden sie teilweise nur innerhalb des kleineren Auswertungsquaders angezeigt. Zusätzlich wurde eine Animation erstellt, in der das Modell aus unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet werden kann. = Modellierungsergebnisse = == Ergebnisse der 2D Modelle == === Strömungsverlauf und Geschwindigkeitsverteilung === In beiden Modellen strömt das Wasser von links nach rechts auf das Tier zu. Vor der Kopfpartie wird die Strömung zunächst abgebremst und anschließend oberhalb und unterhalb des Körpers umgelenkt. Entlang der Körperoberfläche steigt die Geschwindigkeit an, während hinter den Tieren Bereiche mit deutlich geringeren Geschwindigkeiten entstehen. Beim Lachs verteilt sich die Beschleunigung auf mehrere Stellen entlang des Rückens und der Bauchseite. Die maximale Geschwindigkeit liegt bei etwa 1,8 m/s. Beim Wal folgt die Strömung dem vergleichsweise glatten Hauptkörper zunächst gleichmäßiger. An der stark gekrümmten oberen Schwanzflosse tritt jedoch eine kleinräumige Geschwindigkeitsspitze von ungefähr 3.24 m/s auf. Dieser lokale Höchstwert sollte aufgrund der scharfen Geometrie und der vereinfachten zweidimensionalen, laminaren Modellierung vorsichtig interpretiert werden. <gallery mode="packed" heights="210"> Datei:Geschwindigkeit Lachs.png|Geschwindigkeitsverteilung des Lachses Datei:Geschwindigkeitsfeld Wal.png|Geschwindigkeitsverteilung des Wals </gallery> === Stromlinien und Wirbelbildung === Die Stromlinien zeigen, dass das Wasser bei beiden Tieren größtenteils der Körperkontur folgt. Beim Lachs führen die unregelmäßige Körperform und die Flossen zu mehreren Ablösungen und Wirbelbereichen. Diese entstehen vor allem hinter den Flossen, entlang der Bauchseite sowie im Nachlauf der Schwanzflosse. Beim Wal verläuft die Strömung entlang des großen Hauptkörpers insgesamt gleichmäßiger. Deutliche Ablösungen und Wirbel treten überwiegend im Bereich der Schwanzflosse auf. Insgesamt entstehen beim Lachs mehrere kleinere, über den Körper verteilte Wirbel, während sich die Wirbelbildung beim Wal stärker auf den hinteren Körperbereich konzentriert. <gallery mode="packed" heights="200"> Datei:Stromlinien Lachs mit Geschwindigkeit.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Lachses. Datei:Stromlinien Wal.png|Stromlinien und Geschwindigkeitsverteilung des Wals. File:Wal Flosse Verwirbelung.png|thumb|Verwirbelung Flosse des Wals </gallery> === Quantitative Auswertung === Zur quantitativen Auswertung wurden ausgewählte Kenngrößen der Strömung für den Lachs und den Wal bestimmt. Die folgende Tabelle stellt die Einlass- und Maximalgeschwindigkeiten sowie die Geschwindigkeiten und die Ausdehnung des Nachlaufbereichs gegenüber. Für die quantitative Auswertung wurde zunächst die maximale Strömungsgeschwindigkeit im gesamten Wassergebiet bestimmt. Zusätzlich wurde die mittlere Geschwindigkeit entlang senkrechter Messlinien im nahen und weiteren Nachlauf der Tiere berechnet. Die Verwendung eines Mittelwerts verhindert, dass einzelne lokale Geschwindigkeitsspitzen das Ergebnis zu stark beeinflussen. Als Ende der Nachlaufzone wurde der Punkt festgelegt, an dem die Geschwindigkeit wieder mindestens 95 % der Einlassgeschwindigkeit von 1,2 m/s erreicht und anschließend annähernd konstant bleibt. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von 1,14 m/s. Um Lachs und Wal trotz ihrer unterschiedlichen Größe vergleichen zu können, wurde die Nachlauflänge zusätzlich ins Verhältnis zur jeweiligen Körperlänge gesetzt. Bemerkung: Die beim Wal auftretende maximale Geschwindigkeit von etwa 3.24 m/s befindet sich nur in einem sehr kleinen Bereich an der stark gekrümmten oberen Schwanzflosse und wird daher aufgrund der scharfkantigen Geometrie sowie der vereinfachten Modellierung nur als lokaler Spitzenwert betrachtet. {| class="wikitable" |+ Ergebnistabelle |- ! Kenngröße !! Lachs !! Wal |- | Körperlänge L || 0.7m || 17m |- | Einlassgeschwindigkeit v_ein || 1.2 m/s || 1.2 m/s |- | maximale Geschwindigkeit v_max || 1.815 m/s || 3.24 m/s |- | Verhältnis v_max/v_ein || 1.512 || 2.7 |- | Mittlere Geschwindigkeit bei 0.25L hinter dem Tier || 0.694 m/s || 1.088 m/s |- | Mittlere Geschwindigkeit bei 1L hinter dem Tier || 1.134 || 1.18 |- | Nachlauflänge L_Nachlauf || 0.8m || 12m |- | Relative Nachlauflänge L_Nachlauf/L || 1.143 || 0.71 |} === Vergleich und Auswertung der Modelle === Die quantitative Auswertung bestätigt die Unterschiede, die bereits in den Strömungsbildern sichtbar werden. Beim Lachs sinkt die Geschwindigkeit im nahen Nachlauf mit 0,694 m/s deutlich unter die Einlassgeschwindigkeit ab. Erst nach ungefähr einer Körperlänge nähert sie sich mit 1,134 m/s wieder dem Ausgangswert von 1,2 m/s an. Daraus ergibt sich eine Nachlauflänge von etwa 1,14 Körperlängen. Dies weist darauf hin, dass die unregelmäßigere Körperkontur und die verschiedenen Flossen des Lachses die Strömung stärker abbremsen und mehrere kleinere Wirbelbereiche erzeugen. Beim Wal ist die absolute Nachlauflänge mit 12 m zwar wesentlich größer, sie entspricht jedoch nur etwa 0,71 Körperlängen. Im Verhältnis zur Größe des Tieres erholt sich die Strömung somit schneller. Ein möglicher Grund dafür ist die insgesamt gleichmäßigere und stromlinienförmigere Gestalt des großen Hauptkörpers, an dem das Wasser über weite Bereiche vergleichsweise ruhig entlangströmt. Deutliche Ablösungen treten hauptsächlich im Bereich der Schwanzflosse auf. Dort entsteht auch die maximale Geschwindigkeit von 3,24 m/s, die als kleinräumiger lokaler Spitzenwert zu verstehen ist. Insgesamt besitzt der Lachs in der Simulation einen relativ längeren und stärker verlangsamten Nachlauf, während beim Wal vor allem örtlich begrenzte, dafür stärkere Beschleunigungen auftreten. == 3D Modelle == Die dreidimensionalen Modelle wurden ergänzend zu den 2D-Modellen erstellt, um den räumlichen Verlauf der Strömung um die Tiere sichtbar zu machen. Da die Darstellung der 3D-Ergebnisse stark vom gewählten Blickwinkel, der Platzierung und Anzahl der Stromlinien sowie dem dargestellten Ausschnitt abhängt, erfolgt die Auswertung überwiegend qualitativ. Die quantitative Gegenüberstellung von Lachs und Wal basiert daher hauptsächlich auf den übersichtlicheren 2D-Modellen. === Strömungsverlauf und Geschwindigkeitsverteilung === Die dreidimensionale Darstellung zeigt, dass das Wasser den Körper nicht nur oberhalb und unterhalb, sondern auch seitlich umströmen kann. In unmittelbarer Nähe der Tieroberfläche wird die Strömung aufgrund der Haftbedingung stark abgebremst. An stärker gekrümmten Körperstellen sowie im Bereich der Flossen und der Schwanzflosse wird das Wasser deutlich umgelenkt und teilweise lokal beschleunigt. Hinter dem Tier bildet sich eine Nachlaufzone mit geringeren Geschwindigkeiten aus. Gegenüber dem 2D-Modell kann sich die Strömung im dreidimensionalen Raum jedoch zusätzlich seitlich ausbreiten, wodurch das Strömungsfeld räumlich komplexer wird. <gallery mode="packed" heights="230"> File:Geschwindigkeit.png|thumb|Wal Geschwindigkeitsfeld File:Geschwindigkeitsfeld Lachs.png|thumb|Lachs Geschwindigkeitsfeld </gallery> === Stromlinien und räumliche Wirbelbildung === Die Stromlinien teilen sich vor dem Tier auf und verlaufen anschließend oberhalb, unterhalb und seitlich am Körper entlang. Besonders im Bereich der Flossen und der Schwanzflosse werden sie stark gekrümmt und räumlich abgelenkt. Teilweise sind zurücklaufende oder schleifenförmige Verläufe zu erkennen, die auf Ablösungs- und Rezirkulationsbereiche hindeuten. Die Wirbel besitzen im 3D-Modell eine räumliche Ausdehnung und können daher nicht vollständig in einer einzelnen Ansicht dargestellt werden. Erst durch verschiedene Blickwinkel wird erkennbar, wie sich die Strömung um die einzelnen Körperbereiche herum entwickelt. <gallery mode="packed" heights="180"> File:Flosse wal 2.jpg|thumb|zentriert|Flosse Wal File:Flosse wal 1.jpg|thumb|Flosse Wal File:Mehr Stromlinien Lachs.jpg|thumb|Stromlinien Lachs File:Stromlinien Lachs.jpg|thumb|Lachs </gallery> === Quantitative Ergänzung der 3D-Modelle === Ergänzend zur qualitativen Darstellung wurde für die 3D-Modelle eine begrenzte quantitative Auswertung durchgeführt. Sie dient vor allem der Kontrolle der Randbedingungen und ermöglicht eine grobe Einordnung der Geschwindigkeitsänderungen in der Umgebung der Tiere. Da die Ergebnisse im dreidimensionalen Modell stärker von der Lage und Größe der gewählten Auswerteflächen abhängen, werden nur wenige zentrale Kenngrößen betrachtet. {| class="wikitable" |+ Ergebnistabelle |- ! Überschrift !! Lachs !! Wal |- | v_ein || 1,2 m/s || 1,2 m/s |- | v_max || 1,32 m/s || 1,84 m/s |- | v_max/v_ein || 1,1 || 1,53 |} === Auswertung === Bei gleicher Einlassgeschwindigkeit von 1,2m/s zeigen beide 3D-Modelle eine lokale Beschleunigung der Strömung. Beim Lachs beträgt die maximale Geschwindigkeit 1,32m/s und damit etwa das 1,1-Fache der Einlassgeschwindigkeit. Beim Wal wird mit 1,84m/s beziehungsweise dem 1,53-Fachen eine deutlich stärkere lokale Beschleunigung erreicht. Damit bestätigen auch die quantitativen Werte die in den Geschwindigkeitsfeldern und Stromlinien sichtbaren Unterschiede zwischen den beiden Tiergeometrien. = Schlussfolgerungen = Die durchgeführten Simulationen ermöglichen eine zusammenfassende Bewertung der Strömungsverhältnisse um Lachs und Wal sowie der verwendeten 2D- und 3D-Modellierungsansätze. Im Folgenden werden die zentralen Erkenntnisse zusammengeführt und im Hinblick auf die ursprüngliche Fragestellung eingeordnet. === Beantwortung der Fragestellung === Die Simulationen zeigen, dass die Körperform von Lachs und Wal einen deutlichen Einfluss auf den Verlauf der Wasserströmung besitzt. Das Wasser wird beim Auftreffen auf die Tiere um den Körper herumgeführt, lokal beschleunigt und hinter dem Körper teilweise stark abgebremst. Insbesondere an Flossen, stark gekrümmten Körperstellen und im Bereich des Schwanzes entstehen deutliche Änderungen der Geschwindigkeit und des Strömungsverlaufs. Hinter den Tieren bilden sich zudem Nachlauf- und Wirbelbereiche. Die Untersuchung zeigt damit, dass sich die Umströmung abhängig von Größe und Geometrie der Tiere deutlich unterscheidet. === Vergleich von Lachs und Wal === Der Lachs besitzt insgesamt eine stärker stromlinienförmige Körperform, wodurch die Strömung vergleichsweise gleichmäßig um den Körper geführt wird. Beim Wal führen insbesondere der deutlich größere Körper sowie die ausgeprägten Flossen und die Schwanzgeometrie zu stärkeren lokalen Umlenkungen und Beschleunigungen. Dies zeigt sich sowohl in den 2D- als auch in den 3D-Modellen. Gleichzeitig ergab die 2D-Auswertung, dass die Nachlaufzone des Wals bezogen auf seine Körperlänge kürzer ausfällt als beim Lachs. Eine größere lokale Beschleunigung bedeutet somit nicht automatisch, dass auch der relative Nachlauf länger sein muss. === Vergleich der 2D- und 3D-Modelle === Zwischen den beiden Modellierungsansätzen treten deutliche Unterschiede auf. In den 2D-Modellen wurden höhere maximale Geschwindigkeiten ermittelt: beim Lachs etwa 1,82m/s und beim Wal 3,24m/s, während die entsprechenden 3D-Werte bei 1,32m/s beziehungsweise 1,84m/s liegen. Dieser Unterschied lässt sich durch die zusätzliche räumliche Ausweichmöglichkeit im 3D-Modell erklären. Im zweidimensionalen Modell kann das Wasser lediglich oberhalb und unterhalb des Tierumrisses vorbeiströmen und wird dadurch stärker eingeengt. Im dreidimensionalen Modell kann die Strömung zusätzlich seitlich am Tier vorbeifließen, wodurch sich die Strömung auf einen größeren Raum verteilt und lokale Geschwindigkeitsspitzen geringer ausfallen können. Die 2D-Modelle eignen sich dadurch besonders gut für eine übersichtliche quantitative Auswertung, während die 3D-Modelle den tatsächlichen räumlichen Strömungsverlauf anschaulicher darstellen. === Gesamtbewertung des Projekts === Insgesamt konnte mit den erstellten Modellen der Einfluss unterschiedlicher Tiergeometrien auf eine Wasserströmung anschaulich untersucht werden. Besonders die Kombination aus 2D- und 3D-Modellen erwies sich als sinnvoll: Die 2D-Modelle ermöglichten eine gut vergleichbare quantitative Auswertung, während die 3D-Modelle zusätzliche Informationen über die räumliche Umströmung lieferten. Gleichzeitig stellen die Modelle Vereinfachungen der Realität dar. Die Tiere wurden als starre Körper betrachtet und natürliche Bewegungen der Flossen und des Körpers wurden nicht berücksichtigt. Dennoch ermöglichen die Simulationen eine nachvollziehbare Darstellung grundlegender strömungsmechanischer Effekte und liefern eine geeignete Grundlage für den Vergleich von Lachs und Wal. = Optimierung des Projekts = Im Verlauf des Projekts wurden verschiedene Möglichkeiten zur Verbesserung der Modelle deutlich. Diese betreffen sowohl die technische Umsetzung in COMSOL als auch mögliche Erweiterungen der untersuchten Fragestellung. === Optimierung der Modellierung und Auswertung === Die Modelle könnten durch realistischere und stärker geglättete Tiergeometrien sowie eine gezielte Verfeinerung des Netzes an Flossen, Schwanz und im Nachlauf verbessert werden. Besonders bei den 3D-Modellen wäre eine sorgfältigere Vorbereitung der Geometrien in Blender sinnvoll, um Probleme beim Import und bei der Vernetzung zu vermeiden. Zudem könnte anstelle der rein laminaren Strömung ein geeignetes Turbulenzmodell verwendet werden. Eine genauere Auswertung wäre durch zusätzliche Messlinien, eine Untersuchung der Druckverteilung und die Berechnung der Widerstandskräfte möglich. === Erweiterung der Untersuchung === Das Projekt könnte durch die Simulation unterschiedlicher Strömungs- beziehungsweise Schwimmgeschwindigkeiten erweitert werden. Ebenso wären der Vergleich weiterer Tierarten und Körpergrößen oder die Untersuchung mehrerer Tiere hinter- oder nebeneinander denkbar. Eine besonders realitätsnahe Erweiterung wäre die Modellierung einer beweglichen Schwanzflosse oder eines sich durch das Wasser bewegenden Tieres =Mathematische Hintergründe = Die in COMSOL dargestellten Geschwindigkeitsfelder und Stromlinien werden nicht lediglich grafisch erzeugt, sondern beruhen auf der numerischen Lösung physikalischer Gleichungen. Im vorliegenden Modell berechnet COMSOL für das Strömungsgebiet die Geschwindigkeit des Wassers sowie den zugehörigen Druck. Als mathematische Grundlage dienen die Navier-Stokes-Gleichungen und die Kontinuitätsgleichung === Navier-Stokes-Gleichungen === Als Ausgangspunkt kann das aus der Vorlesung bekannte Navier-Stokes-System für ein inkompressibles, newtonsches Fluid verwendet werden: <math> \rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} +\rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} +\nabla p -\nabla\cdot\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) = \rho\vec{f}^{\,b}. </math> Dabei bedeuten: * <math>\rho</math>: Dichte des Wassers * <math>\vec{u}</math>: Geschwindigkeitsvektor der Strömung * <math>p</math>: Druck * <math>\mu</math>: dynamische Viskosität des Wassers * <math>t</math>: Zeit * <math>\vec{f}^{,b}</math>: Volumenkraft pro Masseneinheit, beispielsweise durch die Schwerkraft Der Ausdruck <math> \rho\frac{\partial\vec{u}}{\partial t} </math> beschreibt die zeitliche Änderung der Strömung an einem festen Ort. Dieser Term wird im vorliegenden Projekt nicht grundsätzlich zu null gesetzt, da eine zeitabhängige Studie verwendet und die Einlassgeschwindigkeit über eine Rampenfunktion aufgebaut wird. Während dieser Anlaufphase verändert sich das Geschwindigkeitsfeld mit der Zeit. Nachdem die Einlassgeschwindigkeit vollständig erreicht ist und sich die Strömung weitgehend eingestellt hat, wird der Einfluss dieses Terms entsprechend geringer. Der Term <math> \rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} </math> beschreibt die konvektive Beschleunigung. Er berücksichtigt, dass sich Geschwindigkeit und Strömungsrichtung beim Durchströmen verschiedener Bereiche des Strömungsfeldes ändern. Dieser Effekt ist für die Umströmung von Lachs und Wal besonders wichtig, da das Wasser am Körper umgelenkt und lokal beschleunigt beziehungsweise abgebremst wird. Der Ausdruck <math> \nabla p </math> beschreibt den Einfluss räumlicher Druckunterschiede auf die Strömung. Auch dieser Term bleibt im Modell erhalten. COMSOL bestimmt daher neben dem Geschwindigkeitsfeld gleichzeitig das Druckfeld. Der Term <math> -\nabla\cdot\left(\mu\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right)\right) </math> berücksichtigt die viskosen Kräfte beziehungsweise die innere Reibung des Wassers. Da die dynamische Viskosität <math>\mu</math> im Modell als konstant betrachtet wird und für das inkompressible Wasser <math> \nabla\cdot\vec{u}=0 </math> gilt, lässt sich dieser Ausdruck vereinfachen. Es gilt <math> \nabla\cdot\left(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{T}\right) = \Delta\vec{u}+\nabla(\nabla\cdot\vec{u}). </math> Aufgrund der Inkompressibilität verschwindet der zweite Bestandteil, sodass für den viskosen Term <math> -\mu\Delta\vec{u} </math> übrig bleibt. Die rechte Seite der Ausgangsgleichung beschreibt mögliche Volumenkräfte. Da im vorliegenden Modell keine zusätzliche Volumenkraft wie beispielsweise die Schwerkraft als antreibende Kraft berücksichtigt wird, gilt <math> \vec{f}^{\,b}=0. </math> Damit vereinfacht sich die für das Projekt betrachtete Bewegungsgleichung zu <math> \rho\frac{\partial\vec{u}}{\partial t} +\rho(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} +\nabla p -\mu\Delta\vec{u} =0. </math> Äquivalent kann sie in der bereits verwendeten Form geschrieben werden: <math> \rho\left( \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} \right) = -\nabla p+\mu\Delta\vec{u}. </math> Die zuvor verwendete kürzere Darstellung ist somit keine andere Gleichung, sondern ergibt sich direkt aus der allgemeineren Form des Navier-Stokes-Systems unter den für das Projekt getroffenen Modellannahmen. Für die dreidimensionalen Modelle besteht das Geschwindigkeitsfeld aus drei Komponenten, <math> \vec{u}=(u_1,u_2,u_3)^T, </math> während im zweidimensionalen Modell nur zwei Geschwindigkeitskomponenten <math> \vec{u}=(u,v)^T </math> betrachtet werden. Dadurch besitzt die Strömung im 3D-Modell eine zusätzliche räumliche Ausweichmöglichkeit, die im 2D-Modell nicht vorhanden ist. === Bezug zu den Randbedingungen === Damit das Navier-Stokes-System eindeutig gelöst werden kann, müssen zusätzlich geeignete Rand- und Anfangsbedingungen vorgegeben werden. Am Einlass wird eine zeitabhängige Geschwindigkeit verwendet: <math> \vec{u}_{\mathrm{ein}}(t) = 1{,}2\,r(t)\,\vec{e}_x. </math> Dabei bezeichnet <math>r(t)</math> die verwendete Rampenfunktion. Zu Beginn der Simulation wird die Geschwindigkeit von null auf die vorgegebene Einlassgeschwindigkeit von <math>1{,}2,\mathrm{m/s}</math> erhöht. Dadurch wird ein sprunghafter Beginn der Strömung vermieden. An der Oberfläche der Tiere wird eine Haftbedingung (No-Slip) verwendet: <math> \vec{u}=0. </math> Die Geschwindigkeit des Wassers entspricht unmittelbar an der unbewegten Tieroberfläche somit der Geschwindigkeit des Körpers, die im Modell null beträgt. Das Wasser wird in der Nähe der Oberfläche abgebremst und anschließend um den Körper herumgeleitet. Dadurch entstehen Geschwindigkeitsgradienten, Ablösungen und Nachlaufbereiche. Am Auslass kann das Wasser das Simulationsgebiet wieder verlassen. Die Kombination aus Einlass, Auslass und den übrigen Randbedingungen definiert damit zusammen mit den Navier-Stokes-Gleichungen das zu lösende Strömungsproblem. === Numerische Berechnung in COMSOL === Die Navier-Stokes-Gleichungen können für die komplexen Konturen von Lachs und Wal nicht einfach durch eine geschlossene Formel gelöst werden. COMSOL verwendet deshalb die Finite-Elemente-Methode. Hierzu wird das Strömungsgebiet durch das sogenannte Mesh in zahlreiche kleine Elemente unterteilt. Innerhalb dieser Elemente werden Geschwindigkeit und Druck durch mathematische Ansatzfunktionen angenähert. Aus den ursprünglichen Differentialgleichungen entsteht dadurch ein großes algebraisches Gleichungssystem, das COMSOL numerisch löst. Bei der im Projekt verwendeten zeitabhängigen Studie wird diese Berechnung für aufeinanderfolgende Zeitpunkte durchgeführt. Dadurch kann insbesondere die Anlaufphase der Strömung berücksichtigt werden. Ein feineres Netz ermöglicht vor allem in Bereichen mit starken Geschwindigkeits- und Richtungsänderungen eine genauere Approximation, erhöht jedoch gleichzeitig den benötigten Rechenaufwand. Aus diesem Grund wurde das Netz insbesondere in der Nähe der Tieroberflächen verfeinert. Dort treten durch die Haftbedingung und die Umlenkung des Wassers besonders große Änderungen des Geschwindigkeitsfeldes auf. Weiter entfernt vom Tier verläuft die Strömung wesentlich gleichmäßiger, sodass dort größere Elemente ausreichend sind. Die Finite-Elemente-Methode verwendet dabei eine sogenannte schwache Form der zugrunde liegenden Differentialgleichungen. Diese Form eignet sich besonders dafür, das kontinuierliche Strömungsproblem auf die einzelnen Elemente des Netzes zu übertragen und anschließend numerisch zu lösen. === Berechnung des Geschwindigkeitsbetrags === In den Ergebnisdarstellungen wird überwiegend der Geschwindigkeitsbetrag dargestellt. Im zweidimensionalen Modell besitzt das Geschwindigkeitsfeld zwei Komponenten. Der Betrag ergibt sich daher zu <math> U=\sqrt{u^2+v^2}. </math> Im dreidimensionalen Modell kommt die dritte Geschwindigkeitskomponente <math>w</math> hinzu: <math> U=\sqrt{u^2+v^2+w^2}. </math> Der Geschwindigkeitsbetrag entspricht in COMSOL der Größe spf.U und wird beispielsweise durch die verwendete Farbskala dargestellt. Die Stromlinien zeigen dagegen die Richtung des Geschwindigkeitsfeldes. Sie verlaufen an jedem Punkt tangential zum jeweiligen Geschwindigkeitsvektor. Eng beieinanderliegende und stark gekrümmte Stromlinien weisen auf deutliche Änderungen des Strömungsverlaufs hin. Geschlossene beziehungsweise zurücklaufende Verläufe können Rezirkulations- und Wirbelbereiche sichtbar machen. === Einordnung der laminaren Modellannahme === Zur Beurteilung des Strömungszustands kann die Reynolds-Zahl <math> \mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\mu} </math> verwendet werden. Sie setzt die Trägheitskräfte der Strömung ins Verhältnis zu den viskosen Kräften. Unter Verwendung der Stoffeigenschaften von Wasser, einer Einlassgeschwindigkeit von <math>1{,}2,\mathrm{m/s}</math> und den verwendeten Körperlängen ergeben sich näherungsweise <math> \mathrm{Re}_{\mathrm{Lachs}} \approx 8{,}4\cdot10^5 </math> und <math> \mathrm{Re}_{\mathrm{Wal}} \approx 2{,}0\cdot10^7. </math> Die hohen Reynolds-Zahlen zeigen, dass reale Strömungen um die Tiere wahrscheinlich nicht vollständig laminar wären. Die im Projekt gewählte laminare Strömung stellt daher eine bewusste Vereinfachung des physikalischen Modells dar. Insbesondere bei höheren Reynolds-Zahlen können kleine Störungen anwachsen, sodass Übergänge zu turbulenten Strömungszuständen und komplexere Wirbelstrukturen auftreten können. Die Ergebnisse des Projekts sollten deshalb vor allem als qualitativer und modellbasierter Vergleich der beiden Körperformen und nicht als exakte Abbildung einer realen Strömung verstanden werden. = Literaturverzeichnis = * COMSOL AB (2023): ''COMSOL Multiphysics® Reference Manual, Version 6.2''. COMSOL AB, Stockholm, Sweden. * COMSOL AB (2023): ''CFD Module User’s Guide, Version 6.2''. COMSOL AB, Stockholm, Sweden. * Hundertmark, Anna, Prof. Dr.:''Fluiddynamik / Räumliche Modellbildung'', Vorlesungsunterlagen, RPTU Kaiserslautern-Landau, Sommersemester 2026. qa6iv1vjvs9ftqyqo6mmy85b81xdino 106 172402 1110875 1110421 2026-08-09T16:11:57Z Bocardodarapti 2041 1110875 wikitext text/x-wiki [[Holger Brenner/Klausur/Format|Klausurformat]] [[Benutzer:Bocardodarapti/Klausurbewertung/Linear|Klausurbewertung]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/1/Klausur|Beispielklausur 1]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/1/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/2/Klausur|Beispielklausur 2]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/2/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/3/Klausur|Beispielklausur 3]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/3/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/4/Klausur|Beispielklausur 4]] *[[Kurs:Algebraische Zahlentheorie/4/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Algebraische 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|Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Ideale_haben_nicht_trivialen_Schnitt_mit_Z/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel-1/Einheit/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Galoisgruppe/Wirkung auf Z hoch 2/Matrix/Aufgabe|p||| |Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Logarithmische Ableitung/Aufgabe|p||| |Kreisteilungsring/p/Einheitswurzeln/Logarithmische Ableitung/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Rang/Aufgabe|p||| |Reell-quadratischer Zahlbereich/2/Logarithmische Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8d9aewjlhk3cywsllqeya59emnisnct 1110907 1110848 2026-08-09T16:50:36Z Bocardodarapti 2041 1110907 wikitext text/x-wiki {{ Klausur15 |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel-1/Einheit/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Logarithmische Ableitung/Aufgabe|p||| |Kreisteilungsring/p/Einheitswurzeln/Logarithmische Ableitung/Aufgabe|p||| |Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Rang/Aufgabe|p||| |Reell-quadratischer Zahlbereich/2/Logarithmische Abbildung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 309tael3d6pqmn7a54l99kzc3hyff1e 1110921 1110907 2026-08-09T17:02:14Z Bocardodarapti 2041 1110921 wikitext text/x-wiki {{ Klausur20 |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Fünfzehnter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel-1/Einheit/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Logarithmische Ableitung/Aufgabe|p||| |Kreisteilungsring/p/Einheitswurzeln/Logarithmische Ableitung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 6ibu7lvibpvxbbdqnfguybjh1gbfaqz 106 172417 1110643 2026-08-09T12:00:11Z ~2026-43614-91 41799 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110643 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche ==== ihs76wuytj0omx7u3xfcnxvu3ee7jjn 1110644 1110643 2026-08-09T12:00:23Z ~2026-43614-91 41799 /* Veranschaulichung - orientierte Fläche = */ 1110644 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === shypcf9nt58avf8e4stpchnu5o13ws3 1110679 1110644 2026-08-09T12:34:57Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - orientierte Fläche */ 1110679 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] kuiuy48fty1ehyco1fnnpdhr13d1gyr 1110688 1110679 2026-08-09T12:42:25Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - orientierte Fläche */ 1110688 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] 4heix9q1644kmkfofmihpnktydnfujk 1110714 1110688 2026-08-09T12:56:28Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1110714 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 0fs58m8skewc0tiuus5c3nyeeoaaubn 1110723 1110714 2026-08-09T13:20:46Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - orientierte Fläche */ 1110723 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1 \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 1w6pqshavcqiadhta9kkjef7gefmric 1110724 1110723 2026-08-09T13:22:14Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Konvexkombination von Randwegen */ 1110724 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1 \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1) \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] hvafujww0e6rz03i11kx8z3iosnqenp 1110726 1110724 2026-08-09T13:25:34Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Konvexkombination von Randwegen */ 1110726 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 0emcfgmouhnrrs41gut9ndgcrgj9osu 1110900 1110726 2026-08-09T16:42:12Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Konvexkombination von Randwegen */ 1110900 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 07w5umkfrt2y1cs6wo0s1a07sjrmz26 1110904 1110900 2026-08-09T16:45:50Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung - orientierte Fläche */ 1110904 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 770wqptcpxuovimq6m5betygx646oag 1110913 1110904 2026-08-09T16:54:37Z Bert Niehaus 20843 /* Verschiebung der Randwege */ 1110913 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] kb0098u117h3nhi06lmf8qskp3igzv8 1110917 1110913 2026-08-09T17:00:15Z Bert Niehaus 20843 /* Animation über den 1. Parameter */ 1110917 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 47qraje5lar0ym9rrh97kz4rgj2izaa 1110918 1110917 2026-08-09T17:00:55Z Bert Niehaus 20843 /* Animation über den 2. Parameter */ 1110918 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t2.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t2]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] ouw549ecarxgpje47hh1ldm40jc0gx8 1110923 1110918 2026-08-09T17:04:05Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen */ 1110923 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t2.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t2]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_F} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_F}(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 0rmz5u8l49hj4rxep4e2yh0ndtfo5mj 1110927 1110923 2026-08-09T17:09:06Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen */ 1110927 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t2.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t2]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_F} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_F}(t_1,t_2) & = & w_1 + (\gamma_1 (t_1) - w_1) + (\gamma_4 (t_2)-w_1) \\ & & & & = & \gamma_1 (t_1) + \gamma_4 (t_2) - w_1 \\ \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Definition - Konvexkombination von Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] cireyvd7l40poffanc3ki92xry09hgx 1110928 1110927 2026-08-09T17:30:11Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Konvexkombination von Randwegen */ 1110928 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t2.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t2]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_F} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_F}(t_1,t_2) & = & w_1 + (\gamma_1 (t_1) - w_1) + (\gamma_4 (t_2)-w_1) \\ & & & & = & \gamma_1 (t_1) + \gamma_4 (t_2) - w_1 \\ \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Randweg und Integrale == Die obigen Randwege können auch weitere orientierte Flächen generieren, die eine andere Spur als Bildfläche enthalten. Das Integral über die folgende [[orientierte Fläche]], das über die gleichen Wege <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> aus dem obigen Beispiel erzeugt wird, hat zwar die gleichen Eckpunkte des Integrationsweges <math>w_1,w_2,w_3,w_4 </math> wie die orientierte Fläche <math>\gamma_{_F}</math>, dennoch ist die <math>Spur(\gamma_{_F}) \not= Spur(\gamma_{_\Box})</math>. Ferner können in der folgenden [[orientierte Fläche]] Punkte in der Spur von <math>\gamma_{_\Box}</math> liegen, die nicht der von <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> berandeten Fläche enthalten sein kann. === Definition - Konvexkombination von Randwegen === Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_\Box} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_\Box}(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. === Aufgabe - Geogebra === Erzeugen Sie analog zu den obigen Beispielanimationen mit Schiebereglern für <math>t_1 \in [0,1]</math> und <math>t_2 \in [0,1]</math> in [[Geogebra]]. Erzeugen Sie Randwege aus folgenden [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]: * '''[[Konvexkombination]] 3. Ordnung''' mit Hilfspunkten <math>\widehat(w_1),\widehat(w_2)</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_2</math>. 2. Ordung für <math> für <math>\gamma_1</math>: * '''[[Konvexkombination]] 2. Ordnung''' mit einem Hilfspunkt <math>\widehat(w_3)</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_4</math>. 2. Ordung für <math>\gamma_4</math>: == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 5d56zsq52hzygrj2y0yd4i4its2dx7b 1110929 1110928 2026-08-09T17:36:06Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Geogebra */ 1110929 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t2.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t2]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_F} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_F}(t_1,t_2) & = & w_1 + (\gamma_1 (t_1) - w_1) + (\gamma_4 (t_2)-w_1) \\ & & & & = & \gamma_1 (t_1) + \gamma_4 (t_2) - w_1 \\ \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Randweg und Integrale == Die obigen Randwege können auch weitere orientierte Flächen generieren, die eine andere Spur als Bildfläche enthalten. Das Integral über die folgende [[orientierte Fläche]], das über die gleichen Wege <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> aus dem obigen Beispiel erzeugt wird, hat zwar die gleichen Eckpunkte des Integrationsweges <math>w_1,w_2,w_3,w_4 </math> wie die orientierte Fläche <math>\gamma_{_F}</math>, dennoch ist die <math>Spur(\gamma_{_F}) \not= Spur(\gamma_{_\Box})</math>. Ferner können in der folgenden [[orientierte Fläche]] Punkte in der Spur von <math>\gamma_{_\Box}</math> liegen, die nicht der von <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> berandeten Fläche enthalten sein kann. === Definition - Konvexkombination von Randwegen === Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_\Box} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_\Box}(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. === Aufgabe - Geogebra === Erzeugen Sie analog zu den obigen Beispielanimationen mit Schiebereglern für <math>t_1 \in [0,1]</math> und <math>t_2 \in [0,1]</math> in [[Geogebra]]. Erzeugen Sie Randwege aus folgenden [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]]: * '''[[Konvexkombination]] 3. Ordnung''' mit Hilfspunkten <math>\widehat{w_1},\widehat{w_2}</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_2</math> für <math>\gamma_1</math>: * '''[[Konvexkombination]] 2. Ordnung''' mit einem Hilfspunkt <math>\widehat{w_3}</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_4</math> für <math>\gamma_4</math>: * '''Verschiebung [[Konvexkombination]] 3. Ordnung''' um <math>w_2-w_1</math>, der <math>\gamma_1</math> auf eine Konvexkombination 3. Ordung <math>\gamma_3</math> zwischen <math>w_2</math> verschiebt. * '''Verschiebung [[Konvexkombination]] 2. Ordnung''' um <math>w_4-w_1</math>, der <math>\gamma_4</math> eine Konvexkombination 2. Ordung <math>\gamma_2</math> zwischen <math>w_2</math> und <math>w_3</math> verschiebt. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie#Flaechenintegrale|Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Flächenintegrale über Vierecke]] * [[Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 9zxrdzy4exu0m8xvbj8oh4t7o58fdhe 1110931 1110929 2026-08-09T17:38:14Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Geogebra */ 1110931 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Nun betrachtet man zwei Randweg mit einem gemeinsamen Anfangspunkt <math>w_1</math> und den Endpunkten <math>w_2</math> bzw. <math>w_4</math>. Diese beiden Randweg <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_4</math> werden nun jeweils um den Vektor <math>w_2-w_1</math> bzw. <math>w_4-w_1</math> verschoben. Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t2.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t2]] == Definition - Orientierte Fläche aus verschobenen Randwegen == Die folgende [[orientierte Fläche]] wird aus Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_F} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_F}(t_1,t_2) & = & w_1 + (\gamma_1 (t_1) - w_1) + (\gamma_4 (t_2)-w_1) \\ & & & & = & \gamma_1 (t_1) + \gamma_4 (t_2) - w_1 \\ \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_2, \gamma_3</math> Wege, die durch Verschiebung aus den Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_4</math> entstanden sind. == Randweg und Integrale == Die obigen Randwege können auch weitere orientierte Flächen generieren, die eine andere Spur als Bildfläche enthalten. Das Integral über die folgende [[orientierte Fläche]], das über die gleichen Wege <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> aus dem obigen Beispiel erzeugt wird, hat zwar die gleichen Eckpunkte des Integrationsweges <math>w_1,w_2,w_3,w_4 </math> wie die orientierte Fläche <math>\gamma_{_F}</math>, dennoch ist die <math>Spur(\gamma_{_F}) \not= Spur(\gamma_{_\Box})</math>. Ferner können in der folgenden [[orientierte Fläche]] Punkte in der Spur von <math>\gamma_{_\Box}</math> liegen, die nicht der von <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> berandeten Fläche enthalten sein kann. === Definition - Konvexkombination von Randwegen === Die folgende [[orientierte Fläche]] wird als Konvexkombination von 4 Randwegen <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> über den Kreisrand definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_{_\Box} : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_\Box}(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]], die in der obigen Abbildung veranschaulicht wurde. === Aufgabe - Geogebra === Erzeugen Sie analog zu den obigen Beispielanimationen mit Schiebereglern für <math>t_1 \in [0,1]</math> und <math>t_2 \in [0,1]</math> in [[Geogebra]]. Erzeugen Sie Randwege aus folgenden [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] und visualisieren Sie den Punkt <math>\gamma_{_ \Box}(t_1,t_2)</math> in Abhängigkeit von den Schiebereglern für <math>t_1</math> und <math>t_2</math>: * '''Konvexkombination 3. Ordnung''' mit Hilfspunkten <math>\widehat{w_1},\widehat{w_2}</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_2</math> für <math>\gamma_1</math>: * '''Konvexkombination 2. Ordnung''' mit einem Hilfspunkt <math>\widehat{w_3}</math> für die Konvexkombination zwischen <math>w_1</math> und <math>w_4</math> für <math>\gamma_4</math>: * '''Verschiebung Konvexkombination 3. Ordnung''' um <math>w_2-w_1</math>, der <math>\gamma_1</math> auf eine Konvexkombination 3. Ordung <math>\gamma_3</math> zwischen <math>w_2</math> verschiebt. * '''Verschiebung Konvexkombination 2. Ordnung''' um <math>w_4-w_1</math>, der <math>\gamma_4</math> eine Konvexkombination 2. 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Man erhält nun mit den Randwegen <math>\gamma_1 , \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> erzeugt man eine [[orientierte Fläche]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: [[File:Konvexkombinationen randwegintegral rechteck.png|450px|center|Cavalieri principle - oriented surface - created with Geogebra and exported as PNG]] === Verschiebung der Randwege === Das Viereck <math>\langle w_1,w_2,w_3,w_4 \rangle</math> bildet ein Parallelogramm: * <math>\gamma_3(t_1):= \gamma_1(t_1) + w_4 - w_1</math> * <math>\gamma_4(t_2):= \gamma_2(t_2) + w_2 - w_1</math> === Animation über den 1. Parameter === In der folgenden Animation verändert sich der 1. Parameter <math>t_1 \in [0,1]</math>. Der zweite Parameter <math>t_2\in [0,1]</math> ist fest. [[File:Konvexkombinationen randwegintegral ortientierte flaeche v3 t1.gif|450px|center|Animation for oriented surface - with changing parameter t1]] === Animation über den 2. Parameter === In der zweiten Animation verändert sich der 2. Parameter <math>t_2 \in [0,1]</math>. Der erste Parameter <math>t_1\in [0,1]</math> bleibt konstant. 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Das Integral über die folgende [[orientierte Fläche]], das über die gleichen Wege <math>\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3,\gamma_4</math> aus dem obigen Beispiel erzeugt wird, hat zwar die gleichen Eckpunkte des Integrationsweges <math>w_1,w_2,w_3,w_4 </math> wie die orientierte Fläche <math>\gamma_{_F}</math>, dennoch ist die <math>Spur(\gamma_{_F}) \not= Spur(\gamma_{_\Box})</math>. 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|Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} icnz5de6xobxufw7yiojc4jy8crr2ed 0 172483 1110823 2026-08-09T15:13:07Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110823 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnungen {{ Math/display|term= {{ideala}} \longmapsto {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} \text{ und } D \longmapsto \operatorname{Id}(D) |SZ= }} zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Ideale| |SZ= }} und der Menge der {{ Definitionslink |effektiven Divisoren| |Kontext=Dedekindbereich| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} lsl5nlqbby5g3d45l1p67y4xfo2gjda 0 172484 1110824 2026-08-09T15:13:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110824 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cuv48ix8xwedl9m7b798fijfga3qg22 14 172485 1110825 2026-08-09T15:13:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110825 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a 0 172486 1110838 2026-08-09T15:34:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110838 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Operation der Galoisgruppe auf dem Ganzheitsring. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nq3sx3xrwecv4e7f0bi0b94vzutj0iu 0 172487 1110839 2026-08-09T15:34:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110839 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} dhjx839zlzjsr5f5q4efagpjmpt8ntc 106 172488 1110843 2026-08-09T15:40:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110843 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel| ||Kurs= {{Algebraische Zahlentheorie/Standardkurs}} |}} 8xvi9cno81nbmkyy0iom9al874pzb4j 0 172489 1110844 2026-08-09T15:42:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110844 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Operation der Galoisgruppe auf dem Ganzheitsring. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2wp9oo5wcmx0qosc62axaqsyqh7o8j 0 172490 1110846 2026-08-09T15:46:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110846 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Zerlegung von Primzahlen in einem Kreisteilungsring. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36g1xgdok5zxbo364o12ptbglwpizru 106 172491 1110850 2026-08-09T15:49:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110850 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe|p||| |Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| 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172512 1110938 2026-08-09T17:43:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110938 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Man nennt {{mathl|term= (S/ {{idealq|}}S )_{\varphi (R \setminus {{idealq|}} ) } |SZ=}} den {{ Stichwort/Antwort |Faserring| |msw= |SZ= }} über {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ao12mehn7tmm4jobs6k5qyw0rgzb3y0 106 172513 1110940 2026-08-09T18:03:02Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110940 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Lerneinheit gliedert sich in die folgenden Teile * Das Cavalieri-Prinzip * Das Fubini-Theorem * Anwendungen in der komplexen Analysis * Was besagt das Cavalieri-Prinzip? * Vertauschung von Integrationsreihenfolgen für [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]]. === Einführung bei Doppelintegralen === Zunächst werden in der Lerneinheit der Satz von Fubini (Vertauschung von Integrationreihenfolgen) und die geometrische Motivation des Cavalieri-Prinzip für Doppelintegrale in der komplexen Analysis behandelt. === Doppelintegral und orientierte Flächen === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] und [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. Bei der Berechnung von Flächeninhalten durch Doppelintegralen integriert zunächst über den Realteil und dann über den Imaginärteil. Gleichzeitig hat man eine Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion mit <math>f(z)=f(x+iy)= f_1(x+iy) + i\cdot f_2(x+iy)</math>, auf die Doppelintegrale angewendet werden können, wobei die Indentifikation <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2 </math> verwendet wird, um komplexe Integrale auf reelle Doppelintegrale zurückführen. === Teile der Lerneinheit === Diese Lerneinheit behandelt: * '''Teil 1 - Cavalieri-Prinzip:''' als geometrische Grundlage für die Zerlegung von Flächenintegralen. * '''Teil 2 - Satz von Fubini''' als analytisches Werkzeug zur Berechnung Integrale, wobei Integralreihenfolgen über <math>x</math> bzw. <math>y</math> vertauscht werden können. * '''Teil 3 - Orientierte Fläche''' mit der Anwendungen in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> und orientierte Flächen <math>\gamma_{_\Box} (t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math>. == Grundlagen für Doppelintegrale == Betrachtet werden Doppelintegral in <math> \mathbb{C} </math> === 1.1 Komplexe Funktionen als reelle Funktionen === Eine komplexe Funktion <math> f: D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> lässt sich in Real- und Imaginärteil zerlegen: :<math> f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y), \quad \text{mit } u, v: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}. </math> Ein '''Doppelintegral''' über ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{C} </math> ist definiert als: :<math> \iint_D f(z) \, dA = \iint_D \left( u(x, y) + i v(x, y) \right) dx \, dy = \iint_D u(x, y) \, dx \, dy + i \iint_D v(x, y) \, dx \, dy. </math> Hier ist <math> dA = dx \, dy </math> das '''Flächenelement''' in <math> \mathbb{R}^2 </math>. === 1.2 Wichtige Gebiete in <math> \mathbb{C} </math> === Typische Integrationsgebiete sind: * '''Rechtecke''': <math> D = [a, b] \times [c, d] </math>. * '''Kreise''': <math> D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| \leq r \} </math>. * '''Beliebige messbare Mengen''' (z. B. durch <math> y = g_1(x) </math> und <math> y = g_2(x) </math> begrenzte Gebiete). --- --- == 2. Das Cavalieri-Prinzip: Geometrische Intuition == === 2.1 Historischer Hintergrund === Das '''Cavalieri-Prinzip''' (Bonaventura Cavalieri, 1598–1647) besagt: > *"Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn alle ihre Querschnitte parallel zu einer festen Ebene die gleiche Fläche haben."* In der '''Ebene''' (für Flächen) lautet es: > *"Zwei Gebiete haben die gleiche Fläche, wenn alle ihre Schnitte mit Geraden einer festen Richtung die gleiche Länge haben."* === 2.2 Anwendung auf Doppelintegrale === Betrachte ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{R}^2 </math>. Die '''Fläche von <math> D </math>''' lässt sich berechnen, indem man die Längen der Schnitte mit vertikalen Geraden <math> x = \text{const} </math> integriert: :<math> \text{Fläche}(D) = \iint_D 1 \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{y_{\min}(x)}^{y_{\max}(x)} dy \right) dx = \int_a^b \text{Länge}(D \cap \{x = \text{const}\}) \, dx. </math> '''Beispiel:''' Für den Einheitskreis <math> D = \{ x^2 + y^2 \leq 1 \} </math> ist der Schnitt bei festem <math> x </math> das Intervall <math> y \in [-\sqrt{1 - x^2}, \sqrt{1 - x^2}] </math>, also: :<math> \text{Länge} = 2 \sqrt{1 - x^2}. </math> Die Fläche ist dann: :<math> \int_{-1}^1 2 \sqrt{1 - x^2} \, dx = \pi. </math> === 2.3 Verbindung zu Fubini === Das Cavalieri-Prinzip liefert die '''intuitive Begründung''', warum man Doppelintegrale als '''iterierte Integrale''' schreiben kann: * Man "schneidet" das Gebiet in dünne Streifen und integriert über diese. * Fubini formalisiert dies analytisch. == Satz von Fubini - Analytische Grundlage == === Satz von Fubini für reelle Funktionen === Sei <math> f: D \to \mathbb{R} </math> '''integrierbar''' auf einem '''messbaren''' Gebiet <math> D \subset \mathbb{R}^2 </math>. Dann gilt: :<math> \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, dy \right) dx = \int_{c}^d \left( \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) \, dx \right) dy, </math> falls die inneren Integrale existieren. '''Voraussetzungen:''' * <math> f </math> ist '''absolut integrierbar''' (z. B. stetig auf kompaktem <math> D </math>). * Die Grenzen <math> y_1(x), y_2(x) </math> bzw. <math> x_1(y), x_2(y) </math> beschreiben <math> D </math> korrekt. === Anwendung auf komplexe Funktionen === Für <math> f(z) = u(x, y) + i v(x, y) </math> gilt: :<math> \iint_D f(z) \, dA = \iint_D u(x, y) \, dx \, dy + i \iint_D v(x, y) \, dx \, dy. </math> Jedes der beiden reellen Integrale kann mit Fubini berechnet werden. '''Beispiel 1: Integral von <math> z </math> über den Einheitskreis''' :<math> \iint_{|z| \leq 1} z \, dA = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x + iy) \, dx \, dy = \iint x \, dx \, dy + i \iint y \, dx \, dy. </math> * '''Symmetrieargument''': Beide Integrale sind '''0''', da <math> x </math> und <math> y </math> ungerade Funktionen sind und das Gebiet symmetrisch zum Ursprung ist. * '''Fubini-Berechnung''': :<math> \iint x \, dx \, dy = \int_{-1}^1 x \left( \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} dy \right) dx = \int_{-1}^1 x \cdot 2 \sqrt{1 - x^2} \, dx = 0. </math> (Analog für <math> y </math>.) '''Beispiel 2: Integral von <math> |z|^2 </math> über den Einheitskreis''' :<math> |z|^2 = x^2 + y^2. </math> Mit Fubini: :<math> \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{-1}^1 \left( \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx. </math> Innere Integration: :<math> \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy = 2 x^2 \sqrt{1 - x^2} + \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2}. </math> Das äußere Integral ist aufwendig, aber mit '''Polarkoordinaten''' einfacher: :<math> \iint (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}. </math> === Aussage von Fubini und Grenzen der Anwendung === Fubini gilt '''nicht''', wenn: * <math> f </math> '''nicht integrierbar''' ist (z. B. <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> bei <math> z = 0 </math>). * Die '''Reihenfolge der Integration''' nicht vertauschbar ist (selten bei stetigen Funktionen, aber möglich bei uneigentlichen Integralen). '''Beispiel:''' :<math> \iint_{[0,1]^2} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy </math> existiert, aber die iterierten Integrale <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \right) dy </math> und <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dy \right) dx </math> sind '''nicht gleich''' (Fubini gilt hier nicht, da das Integral nicht absolut konvergiert). == Anwendungen in der komplexen Analysis == In Bergman-Räume betrachtet <math> L^2 </math>-Normen und diese kann man in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: D \to \mathbb{C} </math> mit endlicher Norm anwenden: :<math> \|f\|^2 = \iint_D |f(z)|^2 \, dA < \infty. </math> * '''Fubini''' wird hier genutzt, um <math> |f(z)|^2 = f(z) \overline{f(z)} </math> zu integrieren. * '''Beispiel''': Für <math> f(z) = z^n </math> auf dem Einheitskreis: :<math> \|f\|^2 = \iint_{|z| \leq 1} |z|^{2n} \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^{2n} \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2n + 2} = \frac{\pi}{n + 1}. </math> === Mittelwertsätze für harmonische Funktionen === Für eine '''harmonische Funktion''' <math> u: D \to \mathbb{R} </math> (d. h. <math> \Delta u = 0 </math>) gilt der '''Mittelwertsatz''': :<math> u(z_0) = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{|z - z_0| \leq r} u(z) \, dA. </math> * '''Beweisidee''': Mit Fubini und Polarkoordinaten kann man das Integral in eine Form bringen, die den Mittelwert über den Rand (Kreislinie) liefert. == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] 4nkehw6gifzge8t3ncy818ybpvcsna5 1110941 1110940 2026-08-09T18:03:43Z Bert Niehaus 20843 /* Mittelwertsätze für harmonische Funktionen */ 1110941 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Lerneinheit gliedert sich in die folgenden Teile * Das Cavalieri-Prinzip * Das Fubini-Theorem * Anwendungen in der komplexen Analysis * Was besagt das Cavalieri-Prinzip? * Vertauschung von Integrationsreihenfolgen für [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]]. === Einführung bei Doppelintegralen === Zunächst werden in der Lerneinheit der Satz von Fubini (Vertauschung von Integrationreihenfolgen) und die geometrische Motivation des Cavalieri-Prinzip für Doppelintegrale in der komplexen Analysis behandelt. === Doppelintegral und orientierte Flächen === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] und [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. Bei der Berechnung von Flächeninhalten durch Doppelintegralen integriert zunächst über den Realteil und dann über den Imaginärteil. Gleichzeitig hat man eine Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion mit <math>f(z)=f(x+iy)= f_1(x+iy) + i\cdot f_2(x+iy)</math>, auf die Doppelintegrale angewendet werden können, wobei die Indentifikation <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2 </math> verwendet wird, um komplexe Integrale auf reelle Doppelintegrale zurückführen. === Teile der Lerneinheit === Diese Lerneinheit behandelt: * '''Teil 1 - Cavalieri-Prinzip:''' als geometrische Grundlage für die Zerlegung von Flächenintegralen. * '''Teil 2 - Satz von Fubini''' als analytisches Werkzeug zur Berechnung Integrale, wobei Integralreihenfolgen über <math>x</math> bzw. <math>y</math> vertauscht werden können. * '''Teil 3 - Orientierte Fläche''' mit der Anwendungen in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> und orientierte Flächen <math>\gamma_{_\Box} (t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math>. == Grundlagen für Doppelintegrale == Betrachtet werden Doppelintegral in <math> \mathbb{C} </math> === 1.1 Komplexe Funktionen als reelle Funktionen === Eine komplexe Funktion <math> f: D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> lässt sich in Real- und Imaginärteil zerlegen: :<math> f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y), \quad \text{mit } u, v: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}. </math> Ein '''Doppelintegral''' über ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{C} </math> ist definiert als: :<math> \iint_D f(z) \, dA = \iint_D \left( u(x, y) + i v(x, y) \right) dx \, dy = \iint_D u(x, y) \, dx \, dy + i \iint_D v(x, y) \, dx \, dy. </math> Hier ist <math> dA = dx \, dy </math> das '''Flächenelement''' in <math> \mathbb{R}^2 </math>. === 1.2 Wichtige Gebiete in <math> \mathbb{C} </math> === Typische Integrationsgebiete sind: * '''Rechtecke''': <math> D = [a, b] \times [c, d] </math>. * '''Kreise''': <math> D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| \leq r \} </math>. * '''Beliebige messbare Mengen''' (z. B. durch <math> y = g_1(x) </math> und <math> y = g_2(x) </math> begrenzte Gebiete). --- --- == 2. Das Cavalieri-Prinzip: Geometrische Intuition == === 2.1 Historischer Hintergrund === Das '''Cavalieri-Prinzip''' (Bonaventura Cavalieri, 1598–1647) besagt: > *"Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn alle ihre Querschnitte parallel zu einer festen Ebene die gleiche Fläche haben."* In der '''Ebene''' (für Flächen) lautet es: > *"Zwei Gebiete haben die gleiche Fläche, wenn alle ihre Schnitte mit Geraden einer festen Richtung die gleiche Länge haben."* === 2.2 Anwendung auf Doppelintegrale === Betrachte ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{R}^2 </math>. 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Dann gilt: :<math> \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, dy \right) dx = \int_{c}^d \left( \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) \, dx \right) dy, </math> falls die inneren Integrale existieren. '''Voraussetzungen:''' * <math> f </math> ist '''absolut integrierbar''' (z. B. stetig auf kompaktem <math> D </math>). * Die Grenzen <math> y_1(x), y_2(x) </math> bzw. <math> x_1(y), x_2(y) </math> beschreiben <math> D </math> korrekt. === Anwendung auf komplexe Funktionen === Für <math> f(z) = u(x, y) + i v(x, y) </math> gilt: :<math> \iint_D f(z) \, dA = \iint_D u(x, y) \, dx \, dy + i \iint_D v(x, y) \, dx \, dy. </math> Jedes der beiden reellen Integrale kann mit Fubini berechnet werden. '''Beispiel 1: Integral von <math> z </math> über den Einheitskreis''' :<math> \iint_{|z| \leq 1} z \, dA = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x + iy) \, dx \, dy = \iint x \, dx \, dy + i \iint y \, dx \, dy. </math> * '''Symmetrieargument''': Beide Integrale sind '''0''', da <math> x </math> und <math> y </math> ungerade Funktionen sind und das Gebiet symmetrisch zum Ursprung ist. * '''Fubini-Berechnung''': :<math> \iint x \, dx \, dy = \int_{-1}^1 x \left( \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} dy \right) dx = \int_{-1}^1 x \cdot 2 \sqrt{1 - x^2} \, dx = 0. </math> (Analog für <math> y </math>.) '''Beispiel 2: Integral von <math> |z|^2 </math> über den Einheitskreis''' :<math> |z|^2 = x^2 + y^2. </math> Mit Fubini: :<math> \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{-1}^1 \left( \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx. </math> Innere Integration: :<math> \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy = 2 x^2 \sqrt{1 - x^2} + \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2}. </math> Das äußere Integral ist aufwendig, aber mit '''Polarkoordinaten''' einfacher: :<math> \iint (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}. </math> === Aussage von Fubini und Grenzen der Anwendung === Fubini gilt '''nicht''', wenn: * <math> f </math> '''nicht integrierbar''' ist (z. B. <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> bei <math> z = 0 </math>). * Die '''Reihenfolge der Integration''' nicht vertauschbar ist (selten bei stetigen Funktionen, aber möglich bei uneigentlichen Integralen). '''Beispiel:''' :<math> \iint_{[0,1]^2} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy </math> existiert, aber die iterierten Integrale <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \right) dy </math> und <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dy \right) dx </math> sind '''nicht gleich''' (Fubini gilt hier nicht, da das Integral nicht absolut konvergiert). == Anwendungen in der komplexen Analysis == In Bergman-Räume betrachtet <math> L^2 </math>-Normen und diese kann man in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: D \to \mathbb{C} </math> mit endlicher Norm anwenden: :<math> \|f\|^2 = \iint_D |f(z)|^2 \, dA < \infty. </math> * '''Fubini''' wird hier genutzt, um <math> |f(z)|^2 = f(z) \overline{f(z)} </math> zu integrieren. * '''Beispiel''': Für <math> f(z) = z^n </math> auf dem Einheitskreis: :<math> \|f\|^2 = \iint_{|z| \leq 1} |z|^{2n} \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^{2n} \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2n + 2} = \frac{\pi}{n + 1}. </math> === Mittelwertsätze für harmonische Funktionen === Für eine '''harmonische Funktion''' <math> u: D \to \mathbb{R} </math> (d. h. <math> \Delta u = 0 </math>) gilt der '''Mittelwertsatz''': :<math> u(z_0) = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{|z - z_0| \leq r} u(z) \, dA. </math> * '''Beweisidee''': Mit Fubini und Polarkoordinaten kann man das Integral in eine Form bringen, die den Mittelwert über den Rand (Kreislinie) liefert. === Orientierte Flächen und Cavalieri === == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] 49ro5fi7b5wvtl5vbb1r13nygwco41r 1110997 1110941 2026-08-10T11:07:11Z Bert Niehaus 20843 /* Satz von Fubini - Analytische Grundlage */ 1110997 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Lerneinheit gliedert sich in die folgenden Teile * Das Cavalieri-Prinzip * Das Fubini-Theorem * Anwendungen in der komplexen Analysis * Was besagt das Cavalieri-Prinzip? * Vertauschung von Integrationsreihenfolgen für [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]]. === Einführung bei Doppelintegralen === Zunächst werden in der Lerneinheit der Satz von Fubini (Vertauschung von Integrationreihenfolgen) und die geometrische Motivation des Cavalieri-Prinzip für Doppelintegrale in der komplexen Analysis behandelt. === Doppelintegral und orientierte Flächen === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] und [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. Bei der Berechnung von Flächeninhalten durch Doppelintegralen integriert zunächst über den Realteil und dann über den Imaginärteil. Gleichzeitig hat man eine Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion mit <math>f(z)=f(x+iy)= f_1(x+iy) + i\cdot f_2(x+iy)</math>, auf die Doppelintegrale angewendet werden können, wobei die Indentifikation <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2 </math> verwendet wird, um komplexe Integrale auf reelle Doppelintegrale zurückführen. === Teile der Lerneinheit === Diese Lerneinheit behandelt: * '''Teil 1 - Cavalieri-Prinzip:''' als geometrische Grundlage für die Zerlegung von Flächenintegralen. * '''Teil 2 - Satz von Fubini''' als analytisches Werkzeug zur Berechnung Integrale, wobei Integralreihenfolgen über <math>x</math> bzw. <math>y</math> vertauscht werden können. * '''Teil 3 - Orientierte Fläche''' mit der Anwendungen in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> und orientierte Flächen <math>\gamma_{_\Box} (t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math>. == Grundlagen für Doppelintegrale == Betrachtet werden Doppelintegral in <math> \mathbb{C} </math> === 1.1 Komplexe Funktionen als reelle Funktionen === Eine komplexe Funktion <math> f: D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> lässt sich in Real- und Imaginärteil zerlegen: :<math> f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y), \quad \text{mit } u, v: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}. </math> Ein '''Doppelintegral''' über ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{C} </math> ist definiert als: :<math> \iint_D f(z) \, dA = \iint_D \left( u(x, y) + i v(x, y) \right) dx \, dy = \iint_D u(x, y) \, dx \, dy + i \iint_D v(x, y) \, dx \, dy. </math> Hier ist <math> dA = dx \, dy </math> das '''Flächenelement''' in <math> \mathbb{R}^2 </math>. === 1.2 Wichtige Gebiete in <math> \mathbb{C} </math> === Typische Integrationsgebiete sind: * '''Rechtecke''': <math> D = [a, b] \times [c, d] </math>. * '''Kreise''': <math> D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| \leq r \} </math>. * '''Beliebige messbare Mengen''' (z. B. durch <math> y = g_1(x) </math> und <math> y = g_2(x) </math> begrenzte Gebiete). --- --- == 2. Das Cavalieri-Prinzip: Geometrische Intuition == === 2.1 Historischer Hintergrund === Das '''Cavalieri-Prinzip''' (Bonaventura Cavalieri, 1598–1647) besagt: > *"Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn alle ihre Querschnitte parallel zu einer festen Ebene die gleiche Fläche haben."* In der '''Ebene''' (für Flächen) lautet es: > *"Zwei Gebiete haben die gleiche Fläche, wenn alle ihre Schnitte mit Geraden einer festen Richtung die gleiche Länge haben."* === 2.2 Anwendung auf Doppelintegrale === Betrachte ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{R}^2 </math>. Die '''Fläche von <math> D </math>''' lässt sich berechnen, indem man die Längen der Schnitte mit vertikalen Geraden <math> x = \text{const} </math> integriert: :<math> \text{Fläche}(D) = \iint_D 1 \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{y_{\min}(x)}^{y_{\max}(x)} dy \right) dx = \int_a^b \text{Länge}(D \cap \{x = \text{const}\}) \, dx. </math> '''Beispiel:''' Für den Einheitskreis <math> D = \{ x^2 + y^2 \leq 1 \} </math> ist der Schnitt bei festem <math> x </math> das Intervall <math> y \in [-\sqrt{1 - x^2}, \sqrt{1 - x^2}] </math>, also: :<math> \text{Länge} = 2 \sqrt{1 - x^2}. </math> Die Fläche ist dann: :<math> \int_{-1}^1 2 \sqrt{1 - x^2} \, dx = \pi. </math> === 2.3 Verbindung zu Fubini === Das Cavalieri-Prinzip liefert die '''intuitive Begründung''', warum man Doppelintegrale als '''iterierte Integrale''' schreiben kann: * Man "schneidet" das Gebiet in dünne Streifen und integriert über diese. * Fubini formalisiert dies analytisch. == Satz von Fubini - Analytische Grundlage == Die Sätze von Fubini bzw. Fubini-Tonelli erlaubt die Vertauschung der Integrationsreihenfolge und insgesamt die Berechnung des Integrals über das Produktmaß als sukzessize Integration über einzelne Integrationsvariablen auszudrücken. === Satz von Fubini für reelle Funktionen === Sei <math> f: D \to \mathbb{R} </math> '''integrierbar''' auf einem '''messbaren''' Gebiet <math> D \subset \mathbb{R}^2 </math>. Dann gilt: :<math> \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, dy \right) dx = \int_{c}^d \left( \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) \, dx \right) dy, </math> falls die inneren Integrale existieren. '''Voraussetzungen:''' * <math> f </math> ist '''absolut integrierbar''' (z. B. stetig auf kompaktem <math> D </math>). * Die Grenzen <math> y_1(x), y_2(x) </math> bzw. <math> x_1(y), x_2(y) </math> beschreiben <math> D </math> korrekt. === Anwendung auf komplexe Funktionen === Für <math> f(z) = u(x, y) + i v(x, y) </math> gilt: :<math> \iint_D f(z) \, dA = \iint_D u(x, y) \, dx \, dy + i \iint_D v(x, y) \, dx \, dy. </math> Jedes der beiden reellen Integrale kann mit Fubini berechnet werden. '''Beispiel 1: Integral von <math> z </math> über den Einheitskreis''' :<math> \iint_{|z| \leq 1} z \, dA = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x + iy) \, dx \, dy = \iint x \, dx \, dy + i \iint y \, dx \, dy. </math> * '''Symmetrieargument''': Beide Integrale sind '''0''', da <math> x </math> und <math> y </math> ungerade Funktionen sind und das Gebiet symmetrisch zum Ursprung ist. * '''Fubini-Berechnung''': :<math> \iint x \, dx \, dy = \int_{-1}^1 x \left( \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} dy \right) dx = \int_{-1}^1 x \cdot 2 \sqrt{1 - x^2} \, dx = 0. </math> (Analog für <math> y </math>.) '''Beispiel 2: Integral von <math> |z|^2 </math> über den Einheitskreis''' :<math> |z|^2 = x^2 + y^2. </math> Mit Fubini: :<math> \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{-1}^1 \left( \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx. </math> Innere Integration: :<math> \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} (x^2 + y^2) \, dy = 2 x^2 \sqrt{1 - x^2} + \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2}. </math> Das äußere Integral ist aufwendig, aber mit '''Polarkoordinaten''' einfacher: :<math> \iint (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}. </math> === Aussage von Fubini und Grenzen der Anwendung === Fubini gilt '''nicht''', wenn: * <math> f </math> '''nicht integrierbar''' ist (z. B. <math> f(z) = \frac{1}{z} </math> bei <math> z = 0 </math>). * Die '''Reihenfolge der Integration''' nicht vertauschbar ist (selten bei stetigen Funktionen, aber möglich bei uneigentlichen Integralen). '''Beispiel:''' :<math> \iint_{[0,1]^2} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy </math> existiert, aber die iterierten Integrale <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \right) dy </math> und <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dy \right) dx </math> sind '''nicht gleich''' (Fubini gilt hier nicht, da das Integral nicht absolut konvergiert). == Anwendungen in der komplexen Analysis == In Bergman-Räume betrachtet <math> L^2 </math>-Normen und diese kann man in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: D \to \mathbb{C} </math> mit endlicher Norm anwenden: :<math> \|f\|^2 = \iint_D |f(z)|^2 \, dA < \infty. </math> * '''Fubini''' wird hier genutzt, um <math> |f(z)|^2 = f(z) \overline{f(z)} </math> zu integrieren. * '''Beispiel''': Für <math> f(z) = z^n </math> auf dem Einheitskreis: :<math> \|f\|^2 = \iint_{|z| \leq 1} |z|^{2n} \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^{2n} \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2n + 2} = \frac{\pi}{n + 1}. </math> === Mittelwertsätze für harmonische Funktionen === Für eine '''harmonische Funktion''' <math> u: D \to \mathbb{R} </math> (d. h. <math> \Delta u = 0 </math>) gilt der '''Mittelwertsatz''': :<math> u(z_0) = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{|z - z_0| \leq r} u(z) \, dA. </math> * '''Beweisidee''': Mit Fubini und Polarkoordinaten kann man das Integral in eine Form bringen, die den Mittelwert über den Rand (Kreislinie) liefert. === Orientierte Flächen und Cavalieri === == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] sju2r5h2zu1h04wtys3ly1qs0v1lhth 1110999 1110997 2026-08-10T11:09:04Z Bert Niehaus 20843 /* Satz von Fubini - Analytische Grundlage */ 1110999 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Lerneinheit gliedert sich in die folgenden Teile * Das Cavalieri-Prinzip * Das Fubini-Theorem * Anwendungen in der komplexen Analysis * Was besagt das Cavalieri-Prinzip? * Vertauschung von Integrationsreihenfolgen für [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]]. === Einführung bei Doppelintegralen === Zunächst werden in der Lerneinheit der Satz von Fubini (Vertauschung von Integrationreihenfolgen) und die geometrische Motivation des Cavalieri-Prinzip für Doppelintegrale in der komplexen Analysis behandelt. === Doppelintegral und orientierte Flächen === In der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] werden [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Flächen]] und [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] behandelt. Bei der Berechnung von Flächeninhalten durch Doppelintegralen integriert zunächst über den Realteil und dann über den Imaginärteil. Gleichzeitig hat man eine Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion mit <math>f(z)=f(x+iy)= f_1(x+iy) + i\cdot f_2(x+iy)</math>, auf die Doppelintegrale angewendet werden können, wobei die Indentifikation <math> \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2 </math> verwendet wird, um komplexe Integrale auf reelle Doppelintegrale zurückführen. === Teile der Lerneinheit === Diese Lerneinheit behandelt: * '''Teil 1 - Cavalieri-Prinzip:''' als geometrische Grundlage für die Zerlegung von Flächenintegralen. * '''Teil 2 - Satz von Fubini''' als analytisches Werkzeug zur Berechnung Integrale, wobei Integralreihenfolgen über <math>x</math> bzw. <math>y</math> vertauscht werden können. * '''Teil 3 - Orientierte Fläche''' mit der Anwendungen in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: G \to \mathbb{C} </math> und orientierte Flächen <math>\gamma_{_\Box} (t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math>. == Grundlagen für Doppelintegrale == Betrachtet werden Doppelintegral in <math> \mathbb{C} </math> === 1.1 Komplexe Funktionen als reelle Funktionen === Eine komplexe Funktion <math> f: D \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> lässt sich in Real- und Imaginärteil zerlegen: :<math> f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y), \quad \text{mit } u, v: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}. </math> Ein '''Doppelintegral''' über ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{C} </math> ist definiert als: :<math> \iint_D f(z) \, dA = \iint_D \left( u(x, y) + i v(x, y) \right) dx \, dy = \iint_D u(x, y) \, dx \, dy + i \iint_D v(x, y) \, dx \, dy. </math> Hier ist <math> dA = dx \, dy </math> das '''Flächenelement''' in <math> \mathbb{R}^2 </math>. === 1.2 Wichtige Gebiete in <math> \mathbb{C} </math> === Typische Integrationsgebiete sind: * '''Rechtecke''': <math> D = [a, b] \times [c, d] </math>. * '''Kreise''': <math> D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| \leq r \} </math>. * '''Beliebige messbare Mengen''' (z. B. durch <math> y = g_1(x) </math> und <math> y = g_2(x) </math> begrenzte Gebiete). --- --- == 2. Das Cavalieri-Prinzip: Geometrische Intuition == === 2.1 Historischer Hintergrund === Das '''Cavalieri-Prinzip''' (Bonaventura Cavalieri, 1598–1647) besagt: > *"Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn alle ihre Querschnitte parallel zu einer festen Ebene die gleiche Fläche haben."* In der '''Ebene''' (für Flächen) lautet es: > *"Zwei Gebiete haben die gleiche Fläche, wenn alle ihre Schnitte mit Geraden einer festen Richtung die gleiche Länge haben."* === 2.2 Anwendung auf Doppelintegrale === Betrachte ein Gebiet <math> D \subset \mathbb{R}^2 </math>. Die '''Fläche von <math> D </math>''' lässt sich berechnen, indem man die Längen der Schnitte mit vertikalen Geraden <math> x = \text{const} </math> integriert: :<math> \text{Fläche}(D) = \iint_D 1 \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{y_{\min}(x)}^{y_{\max}(x)} dy \right) dx = \int_a^b \text{Länge}(D \cap \{x = \text{const}\}) \, dx. </math> '''Beispiel:''' Für den Einheitskreis <math> D = \{ x^2 + y^2 \leq 1 \} </math> ist der Schnitt bei festem <math> x </math> das Intervall <math> y \in [-\sqrt{1 - x^2}, \sqrt{1 - x^2}] </math>, also: :<math> \text{Länge} = 2 \sqrt{1 - x^2}. </math> Die Fläche ist dann: :<math> \int_{-1}^1 2 \sqrt{1 - x^2} \, dx = \pi. </math> === 2.3 Verbindung zu Fubini === Das Cavalieri-Prinzip liefert die '''intuitive Begründung''', warum man Doppelintegrale als '''iterierte Integrale''' schreiben kann: * Man "schneidet" das Gebiet in dünne Streifen und integriert über diese. * Fubini formalisiert dies analytisch. == Satz von Fubini - Analytische Grundlage == Die Sätze von Fubini bzw. Fubini-Tonelli erlaubt die Vertauschung der Integrationsreihenfolge und insgesamt kann man die Berechnung des Integrals über das Produktmaß als sukzessize Integration über einzelne Integrationsvariablen auszudrücken. === Satz von Fubini für reelle Funktionen === Sei <math> f: D \to \mathbb{R} </math> '''integrierbar''' auf einem '''messbaren''' Gebiet <math> D \subset \mathbb{R}^2 </math>. Dann gilt: :<math> \iint_D f(x, y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, dy \right) dx = \int_{c}^d \left( \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) \, dx \right) dy, </math> falls die inneren Integrale existieren. '''Voraussetzungen:''' * <math> f </math> ist '''absolut integrierbar''' (z. 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'''Beispiel 1: Integral von <math> z </math> über den Einheitskreis''' :<math> \iint_{|z| \leq 1} z \, dA = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x + iy) \, dx \, dy = \iint x \, dx \, dy + i \iint y \, dx \, dy. </math> * '''Symmetrieargument''': Beide Integrale sind '''0''', da <math> x </math> und <math> y </math> ungerade Funktionen sind und das Gebiet symmetrisch zum Ursprung ist. * '''Fubini-Berechnung''': :<math> \iint x \, dx \, dy = \int_{-1}^1 x \left( \int_{-\sqrt{1 - x^2}}^{\sqrt{1 - x^2}} dy \right) dx = \int_{-1}^1 x \cdot 2 \sqrt{1 - x^2} \, dx = 0. </math> (Analog für <math> y </math>.) 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'''Beispiel:''' :<math> \iint_{[0,1]^2} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy </math> existiert, aber die iterierten Integrale <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \right) dy </math> und <math> \int_0^1 \left( \int_0^1 \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dy \right) dx </math> sind '''nicht gleich''' (Fubini gilt hier nicht, da das Integral nicht absolut konvergiert). == Anwendungen in der komplexen Analysis == In Bergman-Räume betrachtet <math> L^2 </math>-Normen und diese kann man in der komplexen Analysis auf holomorphe Funktionen <math> f: D \to \mathbb{C} </math> mit endlicher Norm anwenden: :<math> \|f\|^2 = \iint_D |f(z)|^2 \, dA < \infty. </math> * '''Fubini''' wird hier genutzt, um <math> |f(z)|^2 = f(z) \overline{f(z)} </math> zu integrieren. * '''Beispiel''': Für <math> f(z) = z^n </math> auf dem Einheitskreis: :<math> \|f\|^2 = \iint_{|z| \leq 1} |z|^{2n} \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^{2n} \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2n + 2} = \frac{\pi}{n + 1}. </math> === Mittelwertsätze für harmonische Funktionen === Für eine '''harmonische Funktion''' <math> u: D \to \mathbb{R} </math> (d. h. <math> \Delta u = 0 </math>) gilt der '''Mittelwertsatz''': :<math> u(z_0) = \frac{1}{\pi r^2} \iint_{|z - z_0| \leq r} u(z) \, dA. </math> * '''Beweisidee''': Mit Fubini und Polarkoordinaten kann man das Integral in eine Form bringen, die den Mittelwert über den Rand (Kreislinie) liefert. === Orientierte Flächen und Cavalieri === == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] d1etj217qv23umq8y4x568f0m9ba8j3 106 172514 1110942 2026-08-09T18:08:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110942 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Algebraische Zahlentheorie/Standardkurs|}} |}} t3l148hka0udrkn2adrqh6n07za2v3p 106 172515 1110943 2026-08-09T18:08:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1110943 wikitext text/x-wiki {{Nummer im 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