Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.17 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 37147 1113577 1009308 2026-08-25T16:40:21Z Bocardodarapti 2041 1113577 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|80| {{Zwischenüberschrift|Produkte von Mannigfaltigkeiten}} {{:Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf einen [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Restklassenräume/Textabschnitt|Anhang]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante, die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßtheorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinante. Da es allerdings keine Einheitswürfel in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste|}} }} hde42xt8661z5rgsqtpcofwdwtdtov2 1113579 1113577 2026-08-25T16:41:19Z Bocardodarapti 2041 1113579 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|80| {{Zwischenüberschrift|Produkte von Mannigfaltigkeiten}} {{:Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf einen [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Restklassenräume/Textabschnitt|Anhang]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante, die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßtheorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, das für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinante. Da es allerdings keine Einheitswürfel in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt|Korollar|| }} {{Fußnotenliste|}} }} 5mqg17om725ia74c3qnpnbaozo8lpa8 106 37152 1113595 1052836 2026-08-26T07:18:36Z Bocardodarapti 2041 1113595 wikitext text/x-wiki {{Umrahmung/grün|{{Kapitelnummer|85| {{ inputbild |Georg Friedrich Bernhard Riemann|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} |Zusname=Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann |Text=[[w:Georg Friedrich Bernhard Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)]] |Autor= |Benutzer=Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htm }} {{Zwischenüberschrift|Riemannsche Mannigfaltigkeiten}} Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius {{math|term=r|SZ=}} besitzt den Flächeninhalt {{mathl|term=4 \pi r^2|SZ=.}} Dies ist ein klassisches Resultat, doch wie kann man den Flächeninhalt einer solchen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit präzise erfassen? Um die Maß- und Integrationstheorie der vorhergehenden Vorlesungen anwenden zu können, brauchen wir eine {{math|term=2|SZ=-}}Form auf der Fläche. Über den Begriff der Riemannschen Metrik werden wir zeigen, dass es auf Flächen, die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, ein natürliches Flächenmaß gibt, mit dem man den Flächeninhalt ausrechnen kann. {{ inputbild |Sphere with three handles|png| 250px {{!}} right {{!}} |Zusname=Sphere_with_three_handles |Text=Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Raum das Skalarprodukt. Dies erlaubt darauf eine sinnvolle Flächenmessung. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrow |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|}} {{Zwischenüberschrift|Vektorfelder und {{math|term=1|SZ=-}}Formen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit}} Böse Zungen behaupten, dass Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und {{math|term=1|SZ=-}}Formen kennen. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten entsprechen sich in der Tat diese Objekte. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt|Lemma||zusatz={{{zusatz2|}}} || }} {{ inputbemerkung |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit}} {{ inputdefinition |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Definition|| }} Das {{ Definitionslink |Prämath=|zugehörige Maß| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} zu dieser positiven Form heißt {{Stichwort|kanonisches Maß|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Wir bezeichnen es mit {{math|term=\lambda_M|SZ=.}} Demnach ist {{mathl|term=\lambda_M(M)|SZ=}} das Gesamtmaß {{ Zusatz/Klammer |text=der Flächeninhalt, das Volumen| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term=M|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Orientiert/Kanonische Volumenform/Lokale Berechnung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Einbettung/Volumenform/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{ inputbeispiel |Parametrisierte Kurve/Als riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurvenlänge/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste|}} {{:Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesung/Fuß|85|}} }} }} tvn2fk5k4z95yzaksuvqbxydtnkdb3b 106 37157 1113613 790988 2026-08-26T07:41:30Z Bocardodarapti 2041 1113613 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|90| {{ inputbild |SS-stokes|jpg| 150px {{!}} right {{!}} |Text=[[w:George Gabriel Stokes|George Stokes (1819 -1903)]] |Autor= |Benutzer=Kelson |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Satz von Stokes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Mathematik. Er stiftet eine direkte Beziehung zwischen dem Integral einer Differentialform über dem Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit und dem Integral der äußeren Ableitung dieser Form über der gesamten Mannigfaltigkeit. Damit handelt es sich um eine weitgehende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung, nach dem das bestimmte Integral einer auf einem Intervall definierten Funktion mittels der Stammfunktion allein durch die Werte am Intervallrand ausgedrückt werden kann. {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes-Quaderversion}} Bevor wir den Satz von Stokes allgemein formulieren und beweisen, geben wir die Quaderversion davon, bei der der Definitionsbereich der Differentialform ein Quader ist, dessen Rand aus seinen Seiten besteht. Damit dieses geometrische Objekt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, müssen wir die {{Anführung|Kanten|}} herausnehmen. Allerdings sind die Kanten auf den Seiten jeweils Nullmengen {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Seiten auf dem Gesamtquader| |ISZ=|ESZ=, }} so dass beim Integrieren diese Teilmengen ignoriert werden können. {{ inputfaktbeweis |Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes}} {{:Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Unter dem Träger einer Differentialform versteht man den topologischen Abschluss der Punkte, auf denen die Form {{mathlk|term=\neq 0|SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }}}} Es gibt viele Möglichkeiten, die Volumenform {{mathl|term=\tau=dx_1 {{wedgedots|}} dx_n|SZ=}} des {{math|term=\R^n|SZ=}} als äußere Ableitung einer {{mathl|term=(n-1)|SZ=-}}Form zu realisieren, bspw. mit {{mathl|term=\omega=x_1dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=.}} Damit kann man die Berechnung des Volumens eines berandeten Körpers auf die Berechnung eines Integrals über den Rand zurückführen. Im ebenen Fall nennt man diese Aussage auch den {{Stichwort|Satz von Green|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote| || }} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt|Korollar|| || }} {{Zwischenüberschrift|Der Brouwersche Fixpunktsatz}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste|}} }} cype2hg1l7b78suvokghe60qr87npsx 0 37542 1113568 1101732 2026-08-25T16:27:21Z Bocardodarapti 2041 1113568 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir setzen {{ Relationskette | Q || 0 || || || |SZ=. }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt |SZ= }} gibt es zu jedem Punkt {{ Relationskette | P | \in | Z || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Relationskette | P | \in | W | \subseteq | G || || |SZ= }} und einen {{ Definitionslink |Prämath=C^1|Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\theta | W | V \times V' || |SZ= }} mit offenen Mengen {{ mathkor|term1= V \subseteq \R^{n - {{{m|m}}} } |und|term2= V' \subseteq \R^{{{m|m}}} |SZ= }} derart, dass {{math|term= \theta |SZ=}} eine Bijektion zwischen {{mathl|term= Z \cap W |SZ=}} und {{ Relationskette | V \times \{0\} | \cong | V || || || || |SZ= }} induziert. Die Einschränkungen dieser Diffeomorphismen auf {{mathl|term= Z \cap W |SZ=}} bzw. {{math|term= V |SZ=}} nehmen wir als Karten für {{math|term= Z |SZ=.}} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Nachweis, dass dies eine differenzierbare Struktur auf {{math|term= Z |SZ=}} definiert, seien offene Umgebungen {{ Zusatz/Klammer |text=im {{math|term= \R^n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= W_1 |und|term2= W_2 |SZ= }} von {{ Relationskette | P | \in | Z || || || |SZ= }} gegeben zusammen mit Diffeomorphismen {{ Abbildung/display |name=\theta_1 |W_1 | V_1 \times V_1' || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\theta_2 |W_2 | V_2 \times V_2' || |SZ=. }} Durch Übergang zu {{ Relationskette | W || W_1 \cap W_2 || || || |SZ= }} können wir annehmen, dass beide offenen Mengen gleich sind. Die Übergangsabbildung {{mathl|term= \theta_2 \circ \theta_1^{-1} |SZ=}} ist ein {{math|term= C^1 |SZ=-}}Diffeomorphismus zwischen {{ Zusatz/Klammer |text=offenen Teilmengen von| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= V_1 \times V_1' |und|term2= V_2 \times V_2' |SZ=, }} der {{mathl|term= V_1 \times \{0\} |SZ=}} in {{mathl|term= V_2 \times \{0\} |SZ=}} überführt. Daher ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Diffeomorphismus/Euklidische Produktmengen/Eingeschränkter Diffeomorphismus/Aufgabe |SZ= }} auch die auf diese Teilmengen eingeschränkte Übergangsabbildung ein {{math|term= C^1 |SZ=-}}Diffeomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen offenen Teilmengen des {{mathlk|term= \R^{n - {{{m|m}}} } |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3guzaoz0ntayf8nipj0cntivtyhruft 0 37554 1113569 1100988 2026-08-25T16:29:19Z Bocardodarapti 2041 1113569 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Reflexivität und die Symmetrie der Relation sind unmittelbar klar. Zum Nachweis der Transitivität seien drei {{ Definitionslink |differenzierbare Kurven| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3 | I | M || |SZ= }} gegeben, wobei wir sofort annehmen dürfen, dass sie auf dem gleichen {{ Definitionslink |offenen Intervall| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | 0 | \in | I | \subseteq |\R || || |SZ= }} definiert sind. Es seien {{ Relationskette |P | \in | U_1,U_2 || || || |SZ= }} offene Mengen, mit denen man die tangentiale Gleichheit von {{ mathkor|term1= \gamma_1 |und|term2= \gamma_2 |SZ= }} bzw. von {{ mathkor|term1= \gamma_2 |und|term2= \gamma_3 |SZ= }} nachweisen kann. Dann kann man nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangential äquivalent/Beliebige offene Umgebung/Fakt |SZ= }} mit {{ Relationskette | U || U_1 \cap U_2 || || || |SZ= }} die tangentiale Gleichheit von {{ mathkor|term1= \gamma_1 |und|term2= \gamma_3 |SZ= }} nachweisen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5cmg5glq5mk48zc24hbexwk35s3vle3 0 37560 1113570 1112725 2026-08-25T16:30:27Z Bocardodarapti 2041 1113570 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{:Mannigfaltigkeit/Punkt/Karte/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung2 |Die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | T_P M | \R^n | [\gamma] | {{makl| \alpha \circ \gamma \vert_{\gamma^{-1}(U)} |}}'(0) |SZ=, }} ist eine wohldefinierte {{ Definitionslink |Bijektion| |Kontext=| |SZ=. }} |Die durch diese Abbildung auf {{mathl|term= T_P M |SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Vektorraumstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ= }} ist unabhängig von der gewählten Karte. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Vektorraumstruktur auf Tangentialraum |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dnnypkyducl1c7dox24r2dsr7tho2vl 0 37561 1113571 1015859 2026-08-25T16:31:13Z Bocardodarapti 2041 1113571 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath/klammer=C^1|differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette | P |\in| M || || || |SZ= }} ein Punkt, {{ Relationskette | P | \in | U | \subseteq | M || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=Topologie| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= \alpha | U | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Karte| |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0a9ybooj7d02ihgq7vhwr6mn9rlpz2t 0 37614 1113592 1113545 2026-08-26T07:15:10Z Bocardodarapti 2041 1113592 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1). Wegen {{ Relationskette | T | \subseteq | U_1 \cap U_2 || || || |SZ= }} können wir {{ Relationskette | U || U_1 || U_2 || || |SZ= }} annehmen {{ Zusatz/Klammer |text=aber mit unterschiedlichen Kartenabbildungen {{ mathkor|term1= \alpha_1 |und|term2= \alpha_2 |SZ= }} nach {{ mathkor|term1= V_1 |bzw.|term2= V_2 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name=\psi= \alpha_2 \circ \alpha_1^{-1} | V_1 | V_2 || |SZ= }} der {{ Definitionslink |diffeomorphe Kartenwechsel| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gelten nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt |SZ= }} und nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Volumenform auf gleichdimensionalem Raum/In Koordinaten/Fakt |SZ=, }} und da wegen der Positivität von {{ Relationskette | f_1 || {{makl| f_2 \circ \psi |}} {{op:Determinante| {{op:Totales Differential| \psi |}} |}} || || || |SZ= }} und von {{math|term= f_2 |SZ=}} auch die Determinante positiv ist, die Gleichheiten {{ Relationskette/align | \nu {{makl| \alpha_2,T |}} || {{op:Integralmaß| f_2 | \alpha_2(T) | \lambda^n }} || {{op:Integralmaß| {{makl| f_2 \circ \psi |}} \mid {{op:Determinante| {{op:Totales Differential| \psi |}} |}} \mid | \alpha_1(T) | \lambda^n }} || {{op:Integralmaß| {{makl| f_2 \circ \psi |}} \cdot {{op:Determinante| {{op:Totales Differential| \psi |}} |}} | \alpha_1(T) | \lambda^n }} || {{op:Integralmaß| f_1 | \alpha_1(T) | \lambda^n }} || \nu {{makl| \alpha_1,T |}} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Es sei {{ mathbed|term= U_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} ein abzählbarer Atlas. Dann kann man die Mengen {{ Relationskette | T_n || T \cap {{makl| U_n \setminus \bigcup_{m < n} U_m |}} || || || |SZ= }} nehmen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3). Es seien {{ Relationskette | T || \biguplus_{i \in I} T_i || \biguplus_{j \in J} S_j || || || |SZ= }} zwei abzählbare disjunkte messbare Zerlegungen, deren Glieder jeweils in Karten enthalten seien. Die Karten seien einerseits {{mathl|term= {{makl| U_i, \alpha_i |}} |SZ=}} mit den die Form beschreibenden Funktionen {{math|term= f_i |SZ=}} und andererseits {{mathl|term= {{makl| V_j, \beta_j |}} |SZ=}} mit den die Form beschreibenden Funktionen {{math|term= g_j |SZ=.}} Wir betrachten die ebenfalls abzählbare Zerlegung, die durch die Mengen {{ mathbed|term= T_i \cap S_j ||bedterm1= (i,j) \in I \times J ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben ist. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Integrierbare Funktion/Abzählbare Zerlegung des Raumes/Fakt |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=angewendet auf die einzelnen Kartenbilder| |ISZ=|ESZ= }} gilt dann unter Verwendung von Teil (1) {{ Relationskette/align | \sum_{i \in I } {{makl| {{op:Integralmaß| f_i | \alpha_i {{makl| T_i |}} | \lambda^n }} |}} || \sum_{i \in I } {{makl| \sum_{j \in J} {{op:Integralmaß| f_i |\alpha_i {{makl| T_i \cap S_j |}} | \lambda^n }} |}} || \sum_{i \in I } {{makl| \sum_{j \in J} {{op:Integralmaß| g_j |\beta_j {{makl| T_i \cap S_j |}} | \lambda^n }} |}} || \sum_{j \in J } {{makl| \sum_{i \in I} {{op:Integralmaß| g_j |\beta_j {{makl| T_i \cap S_j |}} | \lambda^n }} |}} || \sum_{j \in J } {{makl| {{op:Integralmaß| g_j | \beta_j {{makl| S_j |}} | \lambda^n }} |}} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpqbo3tc5ramq1x9xv5o6a12qwisnzr 0 37645 1113591 1087788 2026-08-26T07:12:35Z Bocardodarapti 2041 1113591 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ Relationskette | U | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | V | \subseteq | \R^m || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Teilmengen| |Kontext=| |SZ=, }} deren Koordinaten mit {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} bzw. mit {{mathl|term= y_1 {{kommadots|}} y_m |SZ=}} bezeichnet seien. Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi | U | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=total| |SZ= }} mit {{mathl|term= \varphi_{ i_0 } |SZ=}} konstant für ein {{ Relationskette | i_0 | \in | \{1 {{kommadots|}} m \} || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= \omega |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=k|Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=}} mit der Darstellung {{ Relationskette/display | \omega || f dy_I || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | i_0 | \in | I || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Relationskette | \varphi^*\omega || 0 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie des Zurückziehens von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhx9w94p0hv6wbmehj6dsizdlu73ydd 0 37686 1113589 1092428 2026-08-26T07:03:52Z Bocardodarapti 2041 1113589 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} zwei zweidimensionale reelle Vektorräume mit den Basen {{ mathkor|term1= v_1,v_2 |bzw.|term2= w_1,w_2 |SZ=. }} Es sei eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} gegeben mit {{ Relationskette | \varphi {{makl| v_1 |}} || aw_1 +bw_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \varphi {{makl| v_2 |}} || cw_1 + dw_2 || || || |SZ=. }} Die Matrix, die diese lineare Abbildung beschreibt, ergibt sich, indem man die Koordinaten des Bildvektors des {{math|term= i |SZ=-}}ten Basisvektors als {{math|term= i |SZ=-}}te Spalte schreibt. Bei der gegebenen Nummerierung ergibt sich also die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| a | c | b | d }} |SZ=, }} und ihre Determinante ist {{mathl|term= ad-cb |SZ=.}} Wenn man hingegen die Reihenfolge von {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} vertauscht {{ Zusatz/Klammer |text=also mit der Basis {{ Relationskette | u_1 || v_2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | u_2 || v_1 || || || |SZ= }} arbeitet| |ISZ=|ESZ=, }} so ist die beschreibende Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| c | a | d | b }} |SZ= }} mit der Determinante {{ Relationskette | cb-ad || -(ad-cb) || || || |SZ=. }} Abhängig von der gewählten Basis kann also die Determinante mal positiv, mal negativ sein {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem Endomorphismus kann das nicht passieren, wenn man vorne und hinten stets die gleiche Basis nimmt| |ISZ=|ESZ=. }} Im Folgenden ist es wichtig, dass man unter einer Basis nicht die Menge der Basisvektoren {{mathl|term= \{v_1 {{kommadots|}} v_n\} |SZ=,}} sondern das geordnete Tupel {{mathl|term= {{makl| v_1 {{kommadots|}} v_n |}} |SZ=}} der Basisvektoren versteht. {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierungsgleiche Basen/Definition|| }} Diese Relation zwischen Basen ist eine Äquivalenzrelation, und zwar eine, bei der es nur zwei Äquivalenzklassen {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Orientierungen|msw=Orientierung|SZ=}} oder {{Stichwort|Orientierungsklassen|msw=Orientierungsklasse|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gibt {{ Zusatz/Klammer |text=außer beim Nullraum| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Es ist einfach, zu bestimmen, ob zwei Basen die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung besitzen, es macht aber keinen Sinn, die einzelnen Orientierungen zu benennen. {{ inputbild |Kulifeder|JPG| 250px {{!}} left {{!}} | |Text=Viele Objekte aus Natur und Technik machen deutlich, dass es zwei verschiedene Orientierungen gibt. Es ist einfach, bei gleichartigen Objekten wie Federn die mit der gleichen und die mit der entgegengesetzten Orientierung zu erkennen. |Autor= |Benutzer=Ghinrael |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Ressort de compression|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Ressort_de_compression |Text=Die Benennung der beiden Orientierungen und welchen mathematischen (durch eine Basis repräsentierten) Orientierungen sie entsprechen, ist eine Frage der Konvention. |Autor= |Benutzer=Jean-Jacques MILAN |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition|| }} Ein Vektorraum wird dadurch orientiert, indem man beispielsweise sagt, dass {{math|term= V |SZ=}} die Orientierung tragen möge, die durch die Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} repräsentiert wird. Der Standardraum {{math|term= \R^n |SZ=}} trägt, wenn nichts anderes gesagt wird, die sogenannte {{Stichwort|Standardorientierung|SZ=,}} die durch die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} repräsentiert wird. {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientiert/Isomorphismus/Orientierungstreu/Definition|| }} Es genügt, diese Eigenschaft für eine einzige, die Orientierung repräsentierende Basis nachzuweisen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Linearer Isomorphismus/Orientierungstreu/Test auf einer Basis/Aufgabe |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jlef739c0mrefqglaig58ptye956y4q 0 37726 1113599 1100003 2026-08-26T07:27:28Z Bocardodarapti 2041 1113599 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | \R^2 | \R^3 | (u,v) | ({{op:cos| u |}} {{op:cos| v |}} , {{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} , {{op:sin| u |}} ) |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |SZ= }} auf der {{Stichwort|Einheitssphäre|SZ=}} landet. Geographisch gesprochen gibt {{math|term= u |SZ=}} den {{Stichwort|Breitenkreis|SZ=}} und {{math|term= v |SZ=}} den {{Stichwort|Längenkreis|SZ=}} des entsprechenden Punktes auf der Einheitserde an {{ Zusatz/Klammer |text=in {{Stichwort|geozentrischen Koordinaten|msw=Geozentrische Koordinaten|SZ=;}} die in der Geographie verwendeten Koordinaten weichen davon leicht ab, da die Erde nicht wirklich eine Kugel ist| |ISZ=|ESZ=. }} Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Mathkor/display|term1= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|u}} = {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin| u |}} {{op:cos| v |}} | -{{op:sin| u |}} {{op:sin| v |}} | {{op:cos| u |}} }} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|\varphi|v}} = {{op:Spaltenvektor| - {{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} | {{op:cos| u |}} {{op:cos| v |}} | 0 }} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Einschränkung| |Kontext=| |SZ= }} dieser Abbildung auf das offene Rechteck {{ Math/display|term= {]{- {{op:Bruch| \pi| 2}}}, {{op:Bruch| \pi| 2}} [} \times {]{-\pi}, \pi[} |SZ= }} ist {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ=, }} ihr Bild ist die Einheitssphäre bis auf einen einzigen Längenkreis. Man kann mit diesen Koordinaten also die Kugeloberfläche berechnen. Mit der in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt |SZ= }} verwendeten Notation ist {{ Relationskette/display |E || {{op:sin| u |exp=2}} {{op:cos| v |exp=2}} + {{op:sin| u |exp=2}} {{op:sin| v |exp=2}} + {{op:cos| u |exp=2}} || {{op:sin| u |exp=2}} + {{op:cos| u |exp=2}} || 1 || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |F || {{op:sin| u |}}{{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} {{op:cos| v |}} -{{op:sin| u |}}{{op:cos| u |}} {{op:sin| v |}} {{op:cos| v |}} || 0 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |G || {{op:cos| u |exp=2}} {{op:sin| v |exp=2}} + {{op:cos| u |exp=2}} {{op:cos| v |exp=2}} || {{op:cos| u |exp=2}} || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | \sqrt{EG-F^2 } || \sqrt{ 1 \cdot {{op:cos| u |exp=2}} } || {{op:cos| u |}} || || |SZ=. }} Somit ist die Kugeloberfläche nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Fubini|Faktseitenname= Sigmaendliche Räume/Satz von Fubini/Fakt |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align |A || {{op:Integralform| {{op:cos| u |}} \,du \wedge dv| ]- {{op:Bruch| \pi| 2}} , {{op:Bruch| \pi| 2}} [ \times ]-\pi, \pi[ }} || {{op:Integralmaß| {{op:cos| u |}} | [- {{op:Bruch| \pi| 2}}, {{op:Bruch| \pi| 2}}] \times [-\pi, \pi] | \lambda^2 }} || {{op:Integral| -\pi| \pi|Integrand= {{op:Integral| - {{op:Bruch| \pi| 2}} | {{op:Bruch| \pi| 2}} | Integrand= {{op:cos| u |}} || u}} | |v }} || {{op:Integral| -\pi| \pi|Integrand= 2 | |v }} || 4 \pi |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jz7vgcwl7ogxuv7po5j4ua7ggry6n3h 0 37761 1113572 1073429 2026-08-25T16:34:39Z Bocardodarapti 2041 1113572 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die differenzierbare Struktur auf {{math|term= M |SZ=}} ist durch die eingeschränkten Karten {{ Abbildung/display |name= {{op:Einschränkung| \theta | M }} | M \cap W | {{makl| \R^m \times \{0\} |}} \cap W' || |SZ= }} gegeben. Dass sich die Diffeomorphismuseigenschaft der Kartenwechsel auf die Einschränkungen überträgt, ergibt sich wie im [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/Faser ist Mannigfaltigkeit/Fakt |SZ=. }} Dass eine differenzierbare Abbildung vorliegt, ergibt sich daraus, dass zu einem offenen Kartengebiet {{ Relationskette | W | \subseteq | N || || || |SZ= }} ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| M\cap W | W | M | N }} gehört, wobei die vertikalen Pfeile offene und die horizontalen Pfeile abgeschlossene Einbettungen repräsentieren. Der obere Pfeil korrespondiert über die Kartenwechsel zu {{ Abbildung/display |name= | {{makl| \R^m \times \{0\} |}} \cap W' | W' || |SZ=, }} also zur abgeschlossenen Einbettung eines Koordinatenunterraums, die natür{{drucktrenn}}lich differenzierbar ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3xtz5krare6w10l6bvvpsyhmasbohm 0 37870 1113601 1106990 2026-08-26T07:29:44Z Bocardodarapti 2041 1113601 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Runge theorem|svg| 220px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Runge_theorem |Text=Eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand. Der Rand besteht aus den vier geschlossenen Bögen. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition|| }} Da auch offene Mengen im Halbraum {{math|term= H |SZ=}} zugelassen sind, die den Rand {{ Relationskette | \partial H || 0 \times \R^{n-1} || || || |SZ= }}gar nicht treffen, umfasst dieser Begriff den der differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Bei einer Mannigfaltigkeit mit Rand kann der Rand {{ Zusatz/Klammer |text=den wir gleich in naheliegender Weise definieren| |ISZ=|ESZ= }} eben auch leer sein. Dies ist genau bei den {{Anführung|gewöhnlichen|}} differenzierbaren Mannigfaltigkeiten der Fall. {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Definition|| }} Dabei kann man auf jeder Karte testen, ob ein gegebener Punkt ein Randpunkt ist. {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz2={{{zusatz2|}}} }} Auch die Begriffe differenzierbare Abbildung, Diffeomorphismus und Tangentialraum übertragen sich auf eine Mannigfaltigkeit mit Rand, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Differenzierbare Abbildung/Tangentialraum/Begriffseinführung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist Mannigfaltigkeit/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lrivjzj3i6b5m34g9rs2a9wl2ybu1vv 0 37882 1113602 1047580 2026-08-26T07:30:55Z Bocardodarapti 2041 1113602 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= \partial M |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Ein Punkt {{ Relationskette | P | \in | M || || || |SZ= }} ist genau dann ein Randpunkt, wenn dies für jede {{ Definitionslink |Karte| |Kontext=| |SZ=, }} deren Kartengebiet den Punkt beinhaltet, gilt{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Bei einer topologischen Mannigfaltigkeit mit Rand, wo also die Übergangsabbildungen lediglich Homöomorphien sind, gilt diese Aussage mit anderem Beweis ebenfalls.| |ISZ=|ESZ=. }} |Der Rand {{math|term= \partial M |SZ=}} ist {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=Topologie| |SZ=. }} |Das Komplement {{mathl|term= M \setminus \partial M |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rand| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jh2x4ownqvw025bsapeyqr7o43m0i1 0 38168 1113619 980662 2026-08-26T11:36:38Z Bocardodarapti 2041 1113619 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}elementige Menge und sei {{math|term= k |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Teiler| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= n |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge der Teilmengen von {{math|term= M |SZ=,}} deren Elementanzahl ein {{ Definitionslink |Vielfaches| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= k |SZ=}} ist, ein {{ Definitionslink |Dynkin-System| |Kontext=| |SZ= }} bildet, das bei {{ Relationskette | k |\neq| 1,n || || || |SZ= }} keine {{ Definitionslink |Mengen-Algebra| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Dynkin |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hfxgtdz8pdzcl6hz4r52xs1ht3aif4m 0 38495 1113632 1083889 2026-08-26T11:55:54Z Bocardodarapti 2041 1113632 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathbed|term= (M, {{Mengensystem|A}} ) |und|bedterm1= (N, {{Mengensystem|B}} ) ||bedterm2= |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=| |SZ=, }} die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von {{mathl|term= M \times N |SZ=}} seien mit der durch {{mathl|term= {{Mengensystem|A}} \otimes {{Mengensystem|B}} |SZ=}} {{ Definitionslink |induzierten| |Kontext=Sigmaalgebra| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |Algebra| |Kontext=Sigmaalgebra| |SZ= }} versehen. Es sei {{ Relationskette | S | \subseteq | M || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung5 |{{math|term= S |SZ=}} ist eine messbare Teilmenge von {{math|term= M |SZ=.}} |Es gibt ein {{ Relationskette | y | \in | N || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | S \times \{y\} | \subseteq | M \times \{y\} || || || || |SZ= }} messbar ist. |Für alle {{ Relationskette | y | \in | N || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | S \times \{y\} | \subseteq | M \times \{y\} || || || || |SZ= }} messbar. |Es gibt ein {{mathl|term= y \in N|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= S \times \{y\} |SZ=}} messbar in {{mathl|term= M \times N |SZ=}} ist. |Für alle {{ Relationskette | y | \in | N || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= S \times \{y\} |SZ=}} messbar in {{mathl|term= M \times N |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9nhw47gb1ah8nksztc9vpqfs42xnn96 0 38553 1113566 1102908 2026-08-25T16:25:59Z Bocardodarapti 2041 1113566 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |M|\R || |SZ= }} von einer {{ Definitionslink |differenzierbaren Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} in die reellen Zahlen nennt man auch eine {{math|term= C^k |SZ=-}}{{Stichwort|differenzierbare Funktion|SZ=.}} Nach Definition bedeutet das einfach, dass für jede Karte {{ Abbildung/display |name=\alpha |U|V || |SZ= }} die zusammengesetzte Funktion {{ Abbildung/display |name=f \circ \alpha^{-1} |V|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Funktion| |Kontext=differenzierbar R^n | |SZ= }} ist. Die Menge aller {{math|term= C^k |SZ=-}}Funktionen auf {{math|term= M |SZ=}} wird mit {{mathl|term= C^k(M,\R) |SZ=}} bezeichnet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere bilden die differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit einen {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{ Abbildung/display |name= \alpha | U | V || |SZ= }} eine Karte ist mit {{ Relationskette | V | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen, so liefert jede Projektion {{math|term= x_i |SZ=}} eine differenzierbare Funktion {{ Abbildung/display |name= x_i \circ \alpha | U | \R || |SZ=, }} die meistens wieder mit {{math|term= x_i |SZ=}} bezeichnet wird. Man sagt dann, dass die Funktionen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} {{Stichwort|differenzierbare Koordinaten|msw=Differenzierbare Koordinate|SZ=}} für {{ Relationskette | U | \subseteq| M || || || |SZ= }} bilden. Für eine stetig differenzierbare Funktion {{ Abbildung/display |name=f | U | \R || |SZ= }} ist nach Definition die Funktion {{ Abbildung/display |name= f \circ \alpha^{-1} | V | \R || |SZ= }} {{ Definitionslink | stetig differenzierbar| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. für jedes {{math|term= i |SZ=}} existieren die {{ Definitionslink | partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung| {{makl| f \circ \alpha^{-1} |}} | x_i }} |SZ=, }} die wiederum {{ Zusatz/Klammer |text=stetige| |ISZ=|ESZ= }} Funktionen auf {{math|term= V |SZ=}} sind. Daher sind {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung| {{makl| f \circ \alpha^{-1} |}} | x_i }} \circ \alpha |SZ= }} Funktionen auf {{math|term= U |SZ=.}} Diese werden im Allgemeinen einfach wieder mit {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung| f | x_i}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 759pndro2pddq6atn9je95lj17ojcil 0 38768 1113590 1101537 2026-08-26T07:10:46Z Bocardodarapti 2041 1113590 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Elementare Eigenschaften/Fakt |SZ= }} (2) kann man sich auf den Fall {{ Relationskette | \omega || f_Idy_I || || || |SZ= }} beschränken. Wir setzen {{ Relationskette | f || f_I || || || |SZ= }} und dürfen {{ Relationskette | I || {{menge1k|}} || || || |SZ= }} annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden {{math|term= k |SZ=-}}Formen auf {{math|term= U |SZ=,}} indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt {{ Relationskette | P | \in | U || || || |SZ= }} und jedes Dachprodukt {{mathl|term= e_{j_1 } {{wedgedots|}} e_{j_k } |SZ=}} mit {{ Relationskette | 1 | \leq | j_1 | {{leqdots}} | j_k | \leq | n |SZ= }} den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits {{ Relationskette/align/drucklinks | \varphi^*( f dy_1 {{wedgedots|}} dy_k)(P,e_{j_1 } {{wedgedots|}} e_{j_k } ) || ( f dy_1 {{wedgedots|}} dy_k)(\varphi(P),T_P(\varphi)(e_{j_1 }) {{wedgedots|}} T_P(\varphi)(e_{j_k })) || f(\varphi(P)) (dy_1 {{wedgedots|}} dy_k)( {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_1 | x_{j_1 }|P }} |\vdots| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_m | x_{j_1 }|P }} }} {{wedgedots|}} {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_1 | x_{j_k }|P }} |\vdots| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_m | x_{j_k }|P }} }} ) || f(\varphi(P)) \cdot {{op:Determinante| {{makl| (dy_i) {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_1 | x_{j_\ell}|P }} |\vdots| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_m | x_{j_\ell}|P }} }} |}}_{1 \leq i, \ell \leq k} |}} || f(\varphi(P)) \cdot {{op:Determinante| {{makl| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_i | x_{j_\ell}|P }} |}}_{1 \leq i, \ell \leq k} |}} |SZ=. }} Wenn man andererseits die Summe auf {{mathl|term= e_{j_1 } {{wedgedots|}} e_{j_k } |SZ=}} anwendet, so ist {{ Relationskette | dx_J (e_{j_1 } {{wedgedots|}} e_{j_k }) || 0 || || || |SZ= }} außer bei {{ Relationskette | J || \{j_1 {{kommadots|}} j_k\} || || || |SZ=, }} wo sich der Wert {{math|term= 1 |SZ=}} ergibt, sodass sich also der gleiche Wert ergibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcv7loll8lqrfikwxhmsj6jfqaqbn8m 0 38856 1113596 1101721 2026-08-26T07:21:08Z Bocardodarapti 2041 1113596 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jeden Punkt {{ Relationskette | P | \in | M || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | T_PM | \subseteq | T_PN || || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |SZ=. }} Daher induziert das {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt| -| -}}_P |SZ=}} auf {{mathl|term= T_PN |SZ=}} ein Skalarprodukt auf {{mathl|term= T_PM |SZ=.}} Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei {{ Abbildung/display |name=\theta | W | W' || |SZ= }} eine Karte von {{math|term= N |SZ=}} mit {{ Relationskette | W' | \subseteq |\R^n || || || |SZ=, }} die eine Bijektion {{math|term= \alpha |SZ=}} zwischen {{mathl|term= M \cap W |SZ=}} und {{mathl|term= \R^m \times \{0\} \cap W' |SZ=}} induziere {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | 0 | \in | \R^{m-n} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Unter dieser Identifizierung ist {{ Relationskette | T_PM | \cong| \R^m | \subseteq| \R^n || || || || |SZ= }} mit den Basisvektoren {{ mathbed|term= e_i ||bedterm1= i \leq m ||bedterm2= |SZ=. }} Für Paare {{ mathbed|term= e_i, e_j ||bedterm1= 1 \leq i,j \leq m ||bedterm2= |SZ=, }} solcher Vektoren gelten dann für {{ Relationskette | Q | \in | \R^m \times \{0\} \cap W' || || || |SZ= }} die Gleichheiten {{ Relationskette/align | h_{ij}(Q) | {{defeq}} | {{op:Skalarprodukt| T {{makl| \alpha^{-1} |}} {{makl| e_i |}} | T {{makl| \alpha^{-1} |}} {{makl| e_j |}} }}_{ \alpha^{-1}(Q) } || {{op:Skalarprodukt| T {{makl| \theta^{-1} |}} {{makl| e_i |}} | T {{makl| \theta^{-1} |}} {{makl| e_j |}} }}_{ \theta^{-1}(Q) } || g_{ij}(Q) || |SZ=, }} da ja das Skalarprodukt auf {{mathl|term= T_{\alpha^{-1}(Q)}M |SZ=}} einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf {{mathl|term= T_{\alpha^{-1}(Q)}N |SZ=}} ist und da {{math|term= \alpha |SZ=}} die Einschränkung von {{math|term= \theta |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dywd47hvwf5ogly8d1udkd1igskxxkz 1113597 1113596 2026-08-26T07:23:14Z Bocardodarapti 2041 1113597 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jeden Punkt {{ Relationskette | P | \in | M || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | T_PM | \subseteq | T_PN || || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |SZ=. }} Daher induziert das {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt| -| -}}_P |SZ=}} auf {{mathl|term= T_PN |SZ=}} ein Skalarprodukt auf {{mathl|term= T_PM |SZ=.}} Für die stetige Differenzierbarkeit des Skalarproduktes sei {{ Abbildung/display |name=\theta | W | W' || |SZ= }} eine Karte von {{math|term= N |SZ=}} mit {{ Relationskette | W' | \subseteq |\R^n || || || |SZ=, }} die eine Bijektion {{math|term= \alpha |SZ=}} zwischen {{mathl|term= M \cap W |SZ=}} und {{mathl|term= \R^m \times \{0\} \cap W' |SZ=}} induziere {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | 0 | \in | \R^{n-m} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Unter dieser Identifizierung ist {{ Relationskette | T_PM | \cong| \R^m | \subseteq| \R^n || || || || |SZ= }} mit den Basisvektoren {{ mathbed|term= e_i ||bedterm1= i \leq m ||bedterm2= |SZ=. }} Für Paare {{ mathbed|term= e_i, e_j ||bedterm1= 1 \leq i,j \leq m ||bedterm2= |SZ=, }} solcher Vektoren gelten dann für {{ Relationskette | Q | \in | \R^m \times \{0\} \cap W' || || || |SZ= }} die Gleichheiten {{ Relationskette/align | h_{ij}(Q) | {{defeq}} | {{op:Skalarprodukt| T {{makl| \alpha^{-1} |}} {{makl| e_i |}} | T {{makl| \alpha^{-1} |}} {{makl| e_j |}} }}_{ \alpha^{-1}(Q) } || {{op:Skalarprodukt| T {{makl| \theta^{-1} |}} {{makl| e_i |}} | T {{makl| \theta^{-1} |}} {{makl| e_j |}} }}_{ \theta^{-1}(Q) } || g_{ij}(Q) || |SZ=, }} da ja das Skalarprodukt auf {{mathl|term= T_{\alpha^{-1}(Q)}M |SZ=}} einfach die Einschränkung des Skalarproduktes auf {{mathl|term= T_{\alpha^{-1}(Q)}N |SZ=}} ist und da {{math|term= \alpha |SZ=}} die Einschränkung von {{math|term= \theta |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4z91vkaugkaxxtzowry692lhebpf9qh 0 39886 1113624 1113471 2026-08-26T11:46:11Z Bocardodarapti 2041 1113624 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine Überdeckung aus {{ Definitionslink |offenen Mengen| |Kontext=| |SZ=, }} wobei {{math|term= I|SZ=}} {{ Definitionslink |abzählbar| |Kontext=| |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung3/a |Eine Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | X || || || |SZ= }} ist genau dann eine {{ Definitionslink |Borel-Menge| |Kontext=| |SZ=, }} wenn {{mathl|term= T \cap U_i |SZ=}} eine Borel-Menge ist für jedes {{ Relationskette | i | \in | I || || || |SZ=. }} |Ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \mu |SZ=}} ist durch die Einschränkungen {{ Relationskette | \mu_i || \mu \vert_{U_i } || || || |SZ= }} eindeutig bestimmt. |Es sei für jedes {{ Relationskette | i | \in | I || || || |SZ= }} ein {{math|term= \sigma|SZ=-}}endliches Maß {{math|term= \mu_i |SZ=}} auf {{math|term= U_i |SZ=}} gegeben. Für jedes Paar {{ Relationskette | i,j | \in | I || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette/display | \mu_i \vert_{U_i \cap U_j } || \mu_j \vert_{U_i \cap U_j } || || || |SZ=. }} Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes {{math|term= \sigma |SZ=-}}endliches Maß auf {{math|term= X |SZ=}} mit {{ Relationskette | \mu \vert_{U_i } || \mu_i || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rvgi28dpms2ujx3sjw2ptiirxwo489f 0 40106 1113604 1101535 2026-08-26T07:35:40Z Bocardodarapti 2041 1113604 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die eine Richtung wurde bereits {{ Faktlink |Präwort=in||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |SZ= }} bewiesen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Es sei also umgekehrt {{math|term= M |SZ=}} {{ Definitionslink |orientierbar| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |SZ= }} und ein {{ Definitionslink |abzählbarer| |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierter Atlas| |SZ= }} {{ mathbed|term= {{makl| U_i,V_i,\alpha_i |}} ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term= M |SZ=}} gegeben. Dabei ist {{ Relationskette | V_i | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=R^n | |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Koordinaten| |SZ= }} {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} definieren eine nullstellenfreie stetige {{ Zusatz/Klammer |text=sogar beliebig oft differenzierbare| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Volumenform| |SZ= }} {{mathl|term= dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} auf {{math|term= V_i |SZ=.}} Wir setzen {{ Relationskette/display | \omega_i || \alpha_i^* dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf {{math|term= U_i |SZ=,}} die wir außerhalb von {{math|term= U_i |SZ=}} durch {{math|term= 0 |SZ=}} fortsetzen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Fortsetzung ist natürlich nicht stetig, das spielt aber für das Folgende keine Rolle| |ISZ=.|ESZ=. }} Es sei nun {{ mathbed|term= h_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine der Überdeckung {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} untergeordnete, stetig differenzierbare {{ Definitionslink |Partition der Eins| |SZ=, }} die es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt |SZ= }} gibt. Insbesondere gibt es also für jedes {{math|term= j |SZ=}} ein {{mathl|term= i(j) |SZ=}} derart, dass der {{ Definitionslink |Träger| |Kontext=Funktion| |SZ= }} von {{math|term= h_j |SZ=}} in {{mathl|term= U_{i(j)} |SZ=}} liegt. Daher sind die {{mathl|term= h_j \omega_{i(j)} |SZ=}} {{ Definitionslink |stetige| |Kontext=top| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=-}}Differentialformen auf {{math|term= M |SZ=.}} Wir setzen {{ Relationskette/display | \omega || \sum_{j \in J} h_j \omega_{i(j)} || || || |SZ=. }} Dies ist für jeden Punkt {{ Relationskette | P | \in | M || || || |SZ= }} eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige {{math|term= n |SZ=-}}Differentialform auf {{math|term= M |SZ=.}} Für einen Punkt {{ Relationskette | P | \in | M || || || |SZ= }} und eine die Orientierung repräsentierende {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{mathl|term= T_PM |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \omega(P; v_1 {{kommadots|}} v_n) || \sum_{j \in J} h_j(P) \omega_{i(j)} {{makl| P; v_1 {{kommadots|}} v_n |}} || || || |SZ=. }} Dabei gibt es ein {{math|term= j |SZ=}} mit {{ Relationskette | h_j(P) | > | 0 || || || || |SZ=, }} und für dieses {{math|term= j |SZ=}} ist auch {{ Relationskette | \omega_{i(j)}(P; v_1 {{kommadots|}} v_n) | > | 0 || || || |SZ=, }} da ja {{ Relationskette | P | \in | U_j || || || |SZ= }} liegt, sodass diese Form überall positiv ist. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n764rwlq7jcuu5sl8osah7rxnbx1cmy 0 40818 1113633 1113462 2026-08-26T11:56:39Z Bocardodarapti 2041 1113633 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |topologische Räume| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |abzählbarer Basis der Topologie| |Kontext=| |SZ= }} und mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebren| |Kontext=Sigma| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Borel-Mengen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{Mengensystem| B |}}(X) |und|term2= {{Mengensystem| B |}}(Y) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Mengensystem der Borel-Mengen auf dem {{ Definitionslink |Produktraum| |Kontext=top| |SZ= }} {{mathl|term= X \times Y|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Sigma| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= {{Mengensystem| B |}}(X) |und|term2= {{Mengensystem| B |}}(Y) |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Borel-Mengen |Kategorie2=Theorie der Produkträume |Kategorie3=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yekn1hc94rjvre74udu2tyc6wuvtmf 106 67930 1113615 790636 2026-08-26T07:42:10Z Bocardodarapti 2041 1113615 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|89| {{ inputbild |SS-stokes|jpg| 150px {{!}} right {{!}} |Text=[[w:George Gabriel Stokes|George Stokes (1819 -1903)]] |Autor= |Benutzer=Kelson |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Satz von Stokes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Mathematik. Er stiftet eine direkte Beziehung zwischen dem Integral einer Differentialform über dem Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit und dem Integral der äußeren Ableitung dieser Form über der gesamten Mannigfaltigkeit. Damit handelt es sich um eine weitgehende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung, nach dem das bestimmte Integral einer auf einem Intervall definierten Funktion mittels der Stammfunktion allein durch die Werte am Intervallrand ausgedrückt werden kann. {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes-Quaderversion}} Bevor wir den Satz von Stokes allgemein formulieren und beweisen, geben wir die Quaderversion davon, bei der der Definitionsbereich der Differentialform ein Quader ist, dessen Rand aus seinen Seiten besteht. Damit dieses geometrische Objekt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, müssen wir die {{Anführung|Kanten|}} herausnehmen. Allerdings sind die Kanten auf den Seiten jeweils Nullmengen {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Seiten auf dem Gesamtquader| |ISZ=|ESZ=, }} so dass beim Integrieren diese Teilmengen ignoriert werden können. {{ inputfaktbeweis |Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes}} {{:Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Unter dem Träger einer Differentialform versteht man den topologischen Abschluss der Punkte, auf denen die Form {{mathlk|term=\neq 0|SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }}}} Es gibt viele Möglichkeiten, die Volumenform {{mathl|term=\tau=dx_1 {{wedgedots|}} dx_n|SZ=}} des {{math|term=\R^n|SZ=}} als äußere Ableitung einer {{mathl|term=(n-1)|SZ=-}}Form zu realisieren, beispielsweise mit {{mathl|term=\omega=x_1dx_2 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=.}} Damit kann man die Berechnung des Volumens eines berandeten Körpers auf die Berechnung eines Integrals über den Rand zurückführen. Im ebenen Fall nennt man diese Aussage auch den {{Stichwort|Satz von Green|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote| || }} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Satz von Green/Nicht glatter Rand/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Brouwersche Fixpunktsatz}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste|}} }} lqjqg5ycmo1shxj8xbrrhe7czqenuty 0 68483 1113620 1098711 2026-08-26T11:38:40Z Bocardodarapti 2041 1113620 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{makl| \N_+, {{op:Potenzmenge| \N_+}} |}} |SZ=}} sei mit dem {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |SZ= }} versehen, bei dem die Zahl {{math|term= n |SZ=}} den Wert {{ Relationskette | \mu(n) || {{op:Bruch| 1 |n}} || || || |SZ= }} erhält. Bestimme{{n Sie}} für möglichst viele Teilmengen {{ Relationskette | T | \subseteq | \N_+ || || || |SZ= }} den Wert {{mathl|term= \mu(T) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der reellen Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reihe |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n4o22ruilokj616wew64por2azz7elb 0 68609 1113623 1040684 2026-08-26T11:44:32Z Bocardodarapti 2041 1113623 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=f | [0,1] |\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |streng wachsende Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Zu {{ Relationskette | k | \in | \N_+ || || || |SZ= }} betrachten wir die {{ Definitionslink |äquidistante Unterteilung| |Kontext=| |SZ= }} des Einheitsintervalls in {{math|term= k|SZ=}} gleichlange Teilintervalle und die zugehörige maximale untere {{ Definitionslink |Treppenfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= s_k |SZ=}} von {{math|term= f|SZ=}} und die zugehörige minimale obere Treppenfunktion {{math|term= t_k |SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= S_k |bzw.|term2= T_k |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Subgraphen| |Kontext=| |SZ=. }} {{ Aufzählung4/a |Zeige{{n Sie}}, dass im Allgemeinen {{ mathbed|term= S_{k} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} keine {{ Definitionslink |Ausschöpfung| |Kontext=| |SZ= }} und {{ mathbed|term= T_{k} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} keine {{ Definitionslink |Schrumpfung| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathbed|term= S_{2^n} ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine Ausschöpfung und {{ mathbed|term= T_{2^n} ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} eine Schrumpfung ist. |Welche Mengen werden in (b) ausgeschöpft bzw. geschrumpft, und wie verhalten sich diese Mengen zum Subgraphen von {{math|term= f|SZ=?}} |Wogegen {{ Definitionslink |konvergieren| |Kontext=| |SZ= }} die zugehörigen Folgen von {{ Definitionslink |Treppenintegralen| |Kontext=| |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1axutm1ml0epowg6xgcpeeu48n510a 0 68619 1113625 1098649 2026-08-26T11:47:17Z Bocardodarapti 2041 1113625 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name= \beta |\R^n | \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Belegungsfunktion| |Kontext=| |SZ= }} mit dem zugehörigen Summationsmaß {{math|term= \mu |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | T || {{Mengebed| x \in \R^n | \beta (x) >0 }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlich| |Kontext=sigma| |SZ= }} ist, wenn {{math|term= T |SZ=}} {{ Definitionslink |abzählbar| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9v04g51g9y91zj74h88yzque0m2dtw 1113626 1113625 2026-08-26T11:47:34Z Bocardodarapti 2041 1113626 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name= \beta | \R^k | \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Belegungsfunktion| |Kontext=| |SZ= }} mit dem zugehörigen Summationsmaß {{math|term= \mu |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | T || {{Mengebed| x \in \R^k | \beta (x) >0 }} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlich| |Kontext=sigma| |SZ= }} ist, wenn {{math|term= T |SZ=}} {{ Definitionslink |abzählbar| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Abzählbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ukyhyadd3002ixrysyvcnfrc2kbs4s 0 69331 1113574 1100819 2026-08-25T16:37:25Z Bocardodarapti 2041 1113574 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | P | \in | M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | P | \in | V | \subseteq | N || || |SZ= }} ein Kartengebiet mit der Karte {{ Abbildung/display |name= \alpha | V | V' || |SZ= }} und mit der eingeschränkten Karte {{ Abbildung/display |name= | U {{=}} M \cap V | U' {{=}} \R^m \cap V' || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ= }} haben wir ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| T_PM | T_PN | \R^m | \R^n |abb12= |abb34= {{op:Totales Differential| {{makl| \alpha \circ \varphi \circ \alpha^{-1} |}} | \alpha(P)| }} |SZ=.}} Die untere horizontale Abbildung ist dabei das totale Differential zur Inklusion {{ Abbildung |name= | \R^m \cap V' | V' || |SZ=, }} und diese ist die lineare Inklusion {{ Relationskette | \R^m | \subseteq |\R^n || || || || |SZ=, }} also injektiv. Da die vertikalen Abbildungen bijektiv sind, ist auch die obere horizontale Abbildung injektiv. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q0y05q6iyjhzozdglm3ayq5eouyd909 106 74431 1113617 1008116 2026-08-26T07:45:26Z Bocardodarapti 2041 1113617 wikitext text/x-wiki {{Vorlesungsaufzählung61bis89 |Kurs:Analysis_(Osnabrück_2014-2016)/Teil_III| |V61=Mengensysteme |V62=Maße |V63=Eindeutigkeitssatz |V64=Existenzsatz |V65=Produktmaß |V66=Borel-Lebesgue-Maß |V67=Determinante |V68=Messbare Funktionen |V69=Integrierbare Funktionen |V70=Konvergenzsätze |V71=Cavalieri-Prinzip |V72=Satz von Fubini |V73=Folgerungen |V74=Transformationsformel |V75=Mannigfaltigkeiten |V76=Differenzierbare Abbildungen |V77=Tangentialraum |V78=Untermannigfaltigkeit |V79=Produkte |V80=Dachprodukt |V81=Orientierung |V82=Differentialformen |V83=Volumenform |V84=Riemannsche Mannigfaltigkeiten |V85=Berechnungen |V86=Äußere Ableitung |V87=Ränder |V88=Partition der Eins |V89=Satz von Stokes }} ixwnl1tmg3qwjamdy0f6zxpavq1kwkp 106 74432 1113616 1008133 2026-08-26T07:44:51Z Bocardodarapti 2041 1113616 wikitext text/x-wiki {{Arbeitsblattaufzählung61bis89|Kurs:Analysis_(Osnabrück_2014-2016)/Teil_III}} 5ke3snsor329uen4k864u99w56w7ams 106 74875 1113567 855979 2026-08-25T16:26:47Z Bocardodarapti 2041 1113567 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|76| {{Zwischenüberschrift|Der Satz über implizite Abbildungen und Mannigfaltigkeiten}} Die Einheitssphäre, die wir in der letzten Vorlesung als ein motivierendes Beispiel einer Mannigfaltigkeit besprochen haben, ist die Faser zur differenzierbaren Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \R^3 | \R | (x,y,z) | x^2+y^2+z^2 |SZ=, }} über {{math|term= 1 |SZ=.}} Diese Abbildung ist mit Ausnahme des Nullpunkts {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Satz über implizite Abbildungen macht in dieser Situation weitreichende Aussagen über die lokale Gestalt der Faser zu einer Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | \R^n | \R^m || |SZ=, }} nämlich, dass es lokal Homöomorphismen zwischen der Faser in einem regulären Punkt und einer offenen Menge des {{math|term= \R^k |SZ=}} gibt, wobei {{math|term= k |SZ=}} die Differenz zwischen der Dimension des Ausgangsraumes und der Dimension des Zielraumes ist. Wir werden gleich sehen, dass solche Fasern nicht nur topologische Mannigfaltigkeiten, sondern auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. Wir formulieren den Satz über implizite Abbildungen in einer Version, aus der sich ablesen lässt, dass die regulären Fasern differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. {{:Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Differenzierbare Abbildungen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|Differenzierbare Funktionen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt|}} }} j3zz82xv151r9c3xcfv031pc8smdxdu 106 74877 1113573 1069550 2026-08-25T16:36:25Z Bocardodarapti 2041 1113573 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|78| {{Zwischenüberschrift|Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}} {{:Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Durch die letzte Aussage ergibt sich auch, dass der in einem regulären Punkt {{math|term= P |SZ=}} der Faser {{math|term= M |SZ=}} einer differenzierbaren Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | G | \R^k || |SZ=, }} {{ Relationskette | G | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} offen, als Kern des totalen Differentials {{ Zusatz/Klammer |text=als Untervektorraum von {{ Relationskette/k | \R^n || T_P \R^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an die Faser als einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Der {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} ist aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Untervektorraum von {{ Relationskette | T_P\R^n || \R^n || || || |SZ= }} der Dimension {{mathl|term= n-k |SZ=.}} Auch der Kern des surjektiven totalen Differentials {{ Abbildung |name= {{op:Totales Differential| \varphi | P |}} | \R^n | \R^k || |SZ= }} ist ein {{mathl|term= (n-k) |SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum von {{math|term= \R^n |SZ=.}} Die Gleichheit der beiden Untervektorräume ergibt sich daraus, dass die den abstrakten Tangentialraum definierenden differenzierbaren Kurven {{ Abbildung/display |name=\gamma |I|M || |SZ= }} verknüpft mit {{math|term= \varphi |SZ=}} konstant sind, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Reguläre Faser/Tangentialraum als Kern und zu Mannigfaltigkeit/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Das Tangentialbündel}} {{:Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Torus vectors oblique|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |Zusname=Torus_vectors_oblique |Text=Ein Vektorfeld auf einem Torus. Jedem Punkt des Torus wird eine tangentiale Richtung zugeordnet, dies wird durch die Pfeile angedeutet. |Autor= |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition|| }} Ein Vektorfeld weist also jedem Punkt einen Richtungsvektor in diesem Punkt zu. Man sagt auch kurz, dass ein Vektorfeld ein {{Stichwort|Schnitt|SZ=}} im Tangentialbündel ist. Vektorfelder führen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition|| }} Die Schnitte im Kotangentialbündel heißen {{math|term=1|SZ=-}}Differentialformen. Wir werden darauf ausführlich zurückkommen. {{Fußnotenliste|}} }} 9kj8injz490mkkzlrrbs7l7o00ou1a1 106 74878 1113576 1009309 2026-08-25T16:40:05Z Bocardodarapti 2041 1113576 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|79| {{Zwischenüberschrift|Produkte von Mannigfaltigkeiten}} {{:Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen {{ Zusatz/Klammer |text=also Schnitte im Kotangentialbündel| |ISZ=|ESZ= }} erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf [[Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{ Relationskette | V || K^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßtheorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel {{ Zusatz/Klammer |text=da keine Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste|}} }} 7jyuuekh3gab11974dvxiz6u8y7rr1t 1113578 1113576 2026-08-25T16:40:53Z Bocardodarapti 2041 1113578 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|79| {{Zwischenüberschrift|Produkte von Mannigfaltigkeiten}} {{:Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen {{ Zusatz/Klammer |text=also Schnitte im Kotangentialbündel| |ISZ=|ESZ= }} erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf [[Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{ Relationskette | V || K^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßtheorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, das für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel {{ Zusatz/Klammer |text=da keine Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste|}} }} nvlarrrizrkm8kvbrnzon8zhxdvyjcw 106 74879 1113581 790688 2026-08-25T16:44:31Z Bocardodarapti 2041 1113581 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|80| {{Zwischenüberschrift|Eigenschaften des Dachprodukts}} {{:Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Dimension/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Dachprodukte bei linearen Abbildungen}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} }} icxa6hoheymeopw6mvlo15rnrilbfv2 106 74883 1113593 1052510 2026-08-26T07:16:56Z Bocardodarapti 2041 1113593 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|84| {{ inputbild |Georg Friedrich Bernhard Riemann|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann |Text=[[w:Georg Friedrich Bernhard Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)]] |Autor= |Benutzer=Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htm }} {{Zwischenüberschrift|Riemannsche Mannigfaltigkeiten}} Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius {{math|term= r |SZ=}} besitzt den Flächeninhalt {{mathl|term= 4 \pi r^2 |SZ=.}} Dies ist ein klassisches Resultat, doch wie kann man den Flächeninhalt einer solchen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit präzise erfassen? Um die Maß- und Integrationstheorie der vorhergehenden Vorlesungen anwenden zu können, brauchen wie eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Form auf der Fläche. Über den Begriff der Riemannschen Metrik werden wir zeigen, dass es auf Flächen, die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, ein natürliches Flächenmaß gibt, mit dem man den Flächeninhalt ausrechnen kann. {{ inputbild |Sphere with three handles|png| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Sphere_with_three_handles |Text=Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Raum das Skalarprodukt. Dies erlaubt darauf eine sinnvolle Flächenmessung. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrow |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|}} Die einfachsten Beispiele sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten {{ Relationskette | M |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} wobei sich das Standardskalarprodukt direkt auf {{math|term= M |SZ=}} überträgt. {{Zwischenüberschrift|Vektorfelder und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit}} Böse Zungen behaupten, dass Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen kennen. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten entsprechen sich in der Tat diese Objekte. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt|Lemma||zusatz={{{zusatz2|}}} }} {{ inputbemerkung |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit}} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Volumenform/Einführung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste|}} }} mgo6sgvr46ib7hzg99jzww62m1p6gv5 1113594 1113593 2026-08-26T07:17:50Z Bocardodarapti 2041 1113594 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|84| {{ inputbild |Georg Friedrich Bernhard Riemann|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann |Text=[[w:Georg Friedrich Bernhard Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)]] |Autor= |Benutzer=Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htm }} {{Zwischenüberschrift|Riemannsche Mannigfaltigkeiten}} Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius {{math|term= r |SZ=}} besitzt den Flächeninhalt {{mathl|term= 4 \pi r^2 |SZ=.}} Dies ist ein klassisches Resultat, doch wie kann man den Flächeninhalt einer solchen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit präzise erfassen? Um die Maß- und Integrationstheorie der vorhergehenden Vorlesungen anwenden zu können, brauchen wir eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Form auf der Fläche. Über den Begriff der Riemannschen Metrik werden wir zeigen, dass es auf Flächen, die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, ein natürliches Flächenmaß gibt, mit dem man den Flächeninhalt ausrechnen kann. {{ inputbild |Sphere with three handles|png| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Sphere_with_three_handles |Text=Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Raum das Skalarprodukt. Dies erlaubt darauf eine sinnvolle Flächenmessung. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrow |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|}} Die einfachsten Beispiele sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten {{ Relationskette | M |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} wobei sich das Standardskalarprodukt direkt auf {{math|term= M |SZ=}} überträgt. {{Zwischenüberschrift|Vektorfelder und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit}} Böse Zungen behaupten, dass Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen kennen. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten entsprechen sich in der Tat diese Objekte. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt|Lemma||zusatz={{{zusatz2|}}} }} {{ inputbemerkung |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit}} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Volumenform/Einführung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste|}} }} 64cj3wx4lz2gbb06crhxu0cv6knvuoq 106 74884 1113598 1069552 2026-08-26T07:24:18Z Bocardodarapti 2041 1113598 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|85| In dieser Vorlesung setzen wir die Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten fort und berechnen insbesondere einige Flächeninhalte. {{Zwischenüberschrift|Berechnungen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten}} {{ inputfaktbeweis |Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt|Korollar|| }} Mit diesem Ansatz kann man beispielsweise den Flächeninhalt der Einheitssphäre berechnen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Obere Halbkugel/Graph/Fläche/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt|Korollar||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote }} {{ inputbemerkung |Graph einer Funktion/Zweidimensional/EFG-Formel/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Flächenberechnung/Ignorierung von Nullmengen/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|Rotationsflächen}} {{:Rotationsflächen/Riemannsch/Flächeninhalt/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Kartographie}} Die {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Kartographie beschäftigt sich mit Karten für die Oberfläche einer Kugel. {{ inputbild |Cilinderprojectie-constructie|jpg| 350px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=KoenB |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Flächenberechnung/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Mittelpunktsprojektion/Flächenberechnung/Beispiel|| }} Die {{Stichwort|Mercator-Projektion|SZ=}} geht von der zuletzt genannten Projektion aus, ersetzt aber das unbeschränkte Intervall {{math|term= \R |SZ=}} über eine Diffeomorphie durch ein beschränktes Intervall, so dass eine winkeltreue Karte entsteht. {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} 5z6gdvrwl16igfx138d1fnmsdvluvn6 106 74886 1113600 790696 2026-08-26T07:29:22Z Bocardodarapti 2041 1113600 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|87| {{Zwischenüberschrift|Mannigfaltigkeiten mit Rand}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=Fußnote}} Wir wissen bereits, dass die Faser einer differenzierbaren regulären Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten die Struktur einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit trägt. Auf einem ähnlichen Argument beruht der folgende Satz, der die Existenz von sehr vielen berandeten Mannigfaltigkeiten sichert. {{ inputfaktbeweis |Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Vollkugel/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quader/Ohne Kanten und Ecken/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Rand/Orientierung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} 6e4sr4buqofxqykr1j133c0nrchjown 106 74887 1113603 1069553 2026-08-26T07:33:12Z Bocardodarapti 2041 1113603 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|88| Wir besprechen nun eine wichtige analytische Hilfstechnik namens {{Stichwort|Partition der Eins|SZ=.}} Wir werden sie im Beweis für die Aussage, dass orientierbare Mannigfaltigkeiten eine positive Volumenform besitzen, und für den Beweis des Satzes von Stokes einsetzen. In dieser Vorlesung werden wir Partitionen der Eins konstruieren, wozu wir zunächst einige topologische Begriffe benötigen. {{Zwischenüberschrift|Kompakte Ausschöpfung}} {{ inputbild |Inner point|png|150px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Inner_point |Text=Das offene Innere ist die Vereinigung aller inneren Punkte, also derjenigen Punkte von {{math|term= T|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Bild {{math|term= E |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die mit einer ganzen offenen Umgebung in {{math|term= T |SZ=}} enthalten sind. |Autor= |Benutzer=Zasdfgbnm |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition|| }} Für metrische Räume haben wir den Abschluss als Menge aller Berührpunkte schon in der 35sten Vorlesung eingeführt, siehe auch {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Metrischer Raum/Abschluss/Berührungspunkte/Durchschnitt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition|| }} Diese beiden Begriffe stehen durch {{ Relationskette/display | {{op:Topologischer Abschluss| T |}} || X \setminus {{op:Offene Innere| (X \setminus T)|}} || || || |SZ= }} miteinander in Beziehung. Auch der Begriff des Randes überträgt sich von der metrischen Situation auf beliebige topologische Räume. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition|M=X| }} Man beachte, dass dieser topologische Rand ein anderes Konzept ist als der Rand bei einer berandeten Mannigfaltigkeit, allerdings besteht eine Beziehung, die in {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist topologischer Rand des Komplementes/Aufgabe |Nr= |SZ= }} besprochen wird. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Partitionen der Eins}} {{:Mannigfaltigkeit/Partition der Eins/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten und Volumenformen}} Mit Hilfe von Partitionen der Eins können wir nun die Umkehrung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |SZ= }} beweisen. {{ inputfaktbeweis |Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote }} {{Fußnotenliste|}} }} hwtj7po0p3snuopairxu2q53lreg99l 106 74888 1113605 991960 2026-08-26T07:37:58Z Bocardodarapti 2041 1113605 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|89| {{ inputbild |SS-stokes|jpg| 150px {{!}} right {{!}} | |Text=[[w:George Gabriel Stokes|George Stokes (1819 -1903)]] |Autor= |Benutzer=Kelson |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Satz von Stokes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Mathematik. Er stiftet eine direkte Beziehung zwischen dem Integral einer Differentialform über dem Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit und dem Integral der äußeren Ableitung dieser Form über der gesamten Mannigfaltigkeit. Damit handelt es sich um eine weitgehende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung, nach dem das bestimmte Integral einer auf einem Intervall definierten Funktion mittels der Stammfunktion allein durch die Werte am Intervallrand ausgedrückt werden kann. {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes-Quaderversion}} Bevor wir den Satz von Stokes allgemein formulieren und beweisen, geben wir die Quaderversion davon, bei der der Definitionsbereich der Differentialform ein Quader ist, dessen Rand aus seinen Seiten besteht. Damit dieses geometrische Objekt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, müssen wir die {{Anführung|Kanten|}} herausnehmen. Allerdings sind die Kanten auf den Seiten jeweils Nullmengen {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Seiten auf dem Gesamtquader| |ISZ=|ESZ=, }} so dass beim Integrieren diese Teilmengen ignoriert werden können. {{ inputfaktbeweis |Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes}} {{:Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Unter dem Träger einer Differentialform versteht man den topologischen Abschluss der Punkte, auf denen die Form {{mathlk|term=\neq 0 |SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }}}} Es gibt viele Möglichkeiten, die Volumenform {{ Relationskette | \tau || dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} des {{math|term= \R^n |SZ=}} als äußere Ableitung einer {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}Form zu realisieren, beispielsweise mit {{ Relationskette | \omega || x_1dx_2 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ=. }} Damit kann man die Berechnung des Volumens eines berandeten Körpers auf die Berechung eines Integrals über den Rand zurückführen. Im ebenen Fall nennt man diese Aussage auch den {{Stichwort|Satz von Green|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote| }} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbemerkung |Satz von Green/Nicht glatter Rand/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Satz von Stokes/Divergenzsatz/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Brouwersche Fixpunktsatz}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste|}} }} 1zmwvjvfajcr6155qzzwdzylyggp4wr 1113614 1113605 2026-08-26T07:41:49Z Bocardodarapti 2041 1113614 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|89| {{ inputbild |SS-stokes|jpg| 150px {{!}} right {{!}} | |Text=[[w:George Gabriel Stokes|George Stokes (1819 -1903)]] |Autor= |Benutzer=Kelson |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Satz von Stokes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Mathematik. Er stiftet eine direkte Beziehung zwischen dem Integral einer Differentialform über dem Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit und dem Integral der äußeren Ableitung dieser Form über der gesamten Mannigfaltigkeit. Damit handelt es sich um eine weitgehende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung, nach dem das bestimmte Integral einer auf einem Intervall definierten Funktion mittels der Stammfunktion allein durch die Werte am Intervallrand ausgedrückt werden kann. {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes-Quaderversion}} Bevor wir den Satz von Stokes allgemein formulieren und beweisen, geben wir die Quaderversion davon, bei der der Definitionsbereich der Differentialform ein Quader ist, dessen Rand aus seinen Seiten besteht. Damit dieses geometrische Objekt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, müssen wir die {{Anführung|Kanten|}} herausnehmen. Allerdings sind die Kanten auf den Seiten jeweils Nullmengen {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Seiten auf dem Gesamtquader| |ISZ=|ESZ=, }} so dass beim Integrieren diese Teilmengen ignoriert werden können. {{ inputfaktbeweis |Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes}} {{:Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Unter dem Träger einer Differentialform versteht man den topologischen Abschluss der Punkte, auf denen die Form {{mathlk|term=\neq 0 |SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }}}} Es gibt viele Möglichkeiten, die Volumenform {{ Relationskette | \tau || dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} des {{math|term= \R^n |SZ=}} als äußere Ableitung einer {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}Form zu realisieren, beispielsweise mit {{ Relationskette | \omega || x_1dx_2 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ=. }} Damit kann man die Berechnung des Volumens eines berandeten Körpers auf die Berechnung eines Integrals über den Rand zurückführen. Im ebenen Fall nennt man diese Aussage auch den {{Stichwort|Satz von Green|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote| }} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbemerkung |Satz von Green/Nicht glatter Rand/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Satz von Stokes/Divergenzsatz/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Brouwersche Fixpunktsatz}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste|}} }} 0gimi6hfs64b8ytdpmtqs1o0mcf81a0 106 76061 1113583 433610 2026-08-25T16:45:10Z Bocardodarapti 2041 1113583 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Lineare Algebra/Standardkurs}}|}} sgwy9o9xxovsc5pir0p2yc4xx3a0f1n 106 76062 1113582 433611 2026-08-25T16:44:57Z Bocardodarapti 2041 1113582 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Lineare Algebra/Standardkurs}}|}} sgwy9o9xxovsc5pir0p2yc4xx3a0f1n 106 76627 1113609 899957 2026-08-26T07:39:46Z Bocardodarapti 2041 1113609 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Analysis 3/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Parallelotop/Erzeugter Unterraum/2 0 0 1 und 1 -1 2 0 und -1 0 2 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Mengenausschöpfung/Subgraphen der Indikatorfunktionen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechnung/Aufgabe|p||| |Satz von Green/Direkter Beweis für Dreieck/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Mehrdimensionale Analysis |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} hhk76vqkgtkdby4kryfh7prbstd4g8w 0 76787 1113631 1049249 2026-08-26T11:53:37Z Bocardodarapti 2041 1113631 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name= f | [a,b] | \R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare Funktion| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= T |SZ=}} der {{ Zusatz/Klammer |text=abgeschlossene| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Subgraph| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |äußere Maß| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= T|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zum Rechtecksprämaß| |ISZ=|ESZ= }} gleich dem {{ Definitionslink |bestimmten Integral| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= \int_a^b f(t)dt |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qyxoxbi7unmh7j2swobf145eb0j64w8 0 78508 1113621 1107367 2026-08-26T11:41:28Z Bocardodarapti 2041 1113621 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |M || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=}} 1| y \geq 0}} || || || |SZ= }} der obere Einheitshalbkreis und {{ Abbildung/display |name=p | M | [-1,1] |(x,y)| x |SZ=, }} die Projektion auf die {{math|term= x|SZ=-}}Achse. Zu {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} seien {{mathl|term= n+1|SZ=}} Punkte auf {{math|term= M|SZ=}} gleichverteilt in dem Sinne, dass {{ mathkor|term1= (1,0) |und|term2= (-1,0) |SZ= }} dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist. {{ Aufzählung3/a |Skizziere die Situation für {{ Relationskette |n || 7 || || || |SZ= }} einschließlich der Bildpunkte unter {{math|term= p |SZ=.}} |Es sei {{math|term= \mu_n |SZ=}} das {{ Definitionslink |Zählmaß| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=,}} bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert {{math|term= 1|SZ=}} erhält und es sei {{ Relationskette/display |\nu_n || p_* \mu_n || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= [-1,1] |SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Formel für {{ Math/display|term= \nu_n( [ t ,1] ) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | t | \in | [-1,1] || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mithilfe des {{ Definitionslink |Arkuskosinus| |Kontext=| |SZ= }} an. |Bestimme{{n Sie}} {{ Math/display|term= {{op:Folgenlimes|Glied= \nu_n([1- {{op:Bruch| 2 | n }} ,1]) }} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=4 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btgiwmxwip4eu7ajj43ohb0olw35jvx 0 78509 1113622 1096313 2026-08-26T11:42:46Z Bocardodarapti 2041 1113622 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3/a | {{math|term= \, |SZ=}} |Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | [0,\pi] | M | s | ( {{op:cos| s |}} , {{op:sin| s |}} ) |SZ=, }} die den oberen Halbkreis gleichförmig parametrisiert. Dabei entspricht der angegebenen gleichwinkligen Unterteilung von {{math|term= M |SZ=}} mit {{math|term= n+1 |SZ=}} Punkten die äquidistante Unterteilung des Intervalls {{mathl|term= [0, \pi] |SZ=}} mit dem Abstand {{mathl|term= \pi/n|SZ=,}} das wir {{math|term= \lambda_n |SZ=}} nennen. Das Bildmaß kann man also auch auffassen als Bildmaß zu {{math|term= \lambda_n |SZ=}} unter der Abbildung {{ Abbildung/display |name= | [0, \pi] | [-1,1] | s | {{op:cos| s |}} |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/align | \nu_n [t,1] || \lambda_n {{makl| {{op:arccos| ( [t ,1]) |}} |}} || \lambda_n {{makl| [ 0 , {{op:arccos| t}} ] |}} || {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n {{op:arccos|t}} | \pi}} |}} +1 || |SZ=. }} |Wir behaupten, dass die Folge bestimmt gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} divergiert. Es ist zunächst {{ Relationskette/display | {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|n {{op:arccos| {{makl| 1 - {{op:Bruch| 2|n}} |}} }} | \pi}} |}} +1 | \geq | {{op:Bruch|n {{op:arccos| {{makl| 1 - {{op:Bruch| 2|n}} |}} }} | \pi}} || {{op:Bruch| 2| \pi}} \cdot {{op:Bruch| {{op:arccos| {{makl| 1 - {{op:Bruch| 2|n}} |}} }} | {{op:Bruch| 2|n}} }} || || |SZ=. }} Es genügt also zu zeigen, dass {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| h | 0| {{op:Bruch| {{op:arccos| {{makl| 1 -h |}} }} | h }} |}} ||+ \infty || || || |SZ= }} ist. Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Regel von l'Hospital|Faktseitenname= Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man stattdessen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Bruch| 1| \sqrt{1-(1-h)^2}}} | 1}} || {{op:Bruch| 1| \sqrt{ 2h-h^2 }}} || {{op:Bruch| 1| \sqrt{h} \sqrt{ 2-h }}} || || |SZ= }} betrachten, und dies divergiert bestimmt gegen {{math|term= + \infty |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqdi1f9lo1lziki7h66vcteffccd936 106 82231 1113580 466351 2026-08-25T16:43:01Z Bocardodarapti 2041 1113580 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Lineare Algebra/Standardkurs}} |}} 2m44xltf1m35rp4spyfb9m1o83yepwj 0 98579 1113618 1079170 2026-08-26T10:05:50Z Carl Stiller 32616 /* 1.2.1. Der zugrundegelegte Islam-Begriff */ typo 1113618 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|>>> 2]] {{TOC nonum}} = 1. Grundlegendes, Arabien am Vorabend des Islams = Die erste Sitzung klärt Präliminarien, führt in das Konzept der Vorlesung ein und behandelt dann die religiöse, gesellschaftliche und politische Situation im spätantiken Arabien und ihren Einfluss auf den Islam. Besondere Aufmerksamkeit wird den Spannungen zwischen den verschiedenen religiösen Kulturen gewidmet, die den Hintergrund der Entstehung des Hanīfentums, und damit auch des Islams, bilden. == 1.1. Präliminaria == === 1.1.1. Hinweise zum Arabischen === ==== 1.1.1.1. Das verwendete Umschriftsystem ==== In der deutschsprachigen Wissenschaft wird für die Wiedergabe arabischer Namen und Begriffe üblicherweise die Transliteration der [[w:Deutsche Morgenländische Gesellschaft|Deutschen Morgenländischen Gesellschaft]] verwendet, bei der verschiedene Buchstaben mit [[w:Diakritisches Zeichen|diakritischen Zeichen]] versehen sind. Die genauen Regeln für dieses Transliterationssystem sind in der Broschüre ''Die Transliteration der arabischen Schrift in ihrer Anwendung auf die Hauptliteratursprachen der islamischen Welt. Denkschrift, dem 19. internationalen Orientalistenkongreß in Rom vorgelegt von der Transkriptionskommission der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft'' (Leipzig: F. A. Brockhaus 1935) festgelegt. Der Text ist [http://www.dmg-web.de/pdf/Denkschrift.pdf hier] einsehbar. Zur besseren Lesbarkeit wird in dieser Einführung für die Wiedergabe arabischer Namen und Begriffe jedoch allgemein ein vereinfachtes Umschriftsystem verwendet. Dieses System, das die Mittel der deutschen Orthographie nutzt, um möglichst nahe an die Originalaussprache heranzukommen, wird auch in der deutschsprachigen Wikipedia verwendet und dort unter den sogenannten [[w:Wikipedia:Namenskonventionen/Arabisch|Namenskonventionen/Arabisch]] erklärt. Die DMG-Transliteration wird in dieser Einführung nur in einzelnen Fällen aufgeführt (so bei Buchtiteln, Zitaten und arabischen Fachtermini, die in Klammern einem deutschen Begriff oder Ausdruck nachgestellt werden). Wer bei den anderen arabischen Namen und Begriffen wissen will, wie sie wissenschaftlich transliteriert werden, kann sie in den verlinkten Wikipedia-Artikeln nachschlagen. Dort ist üblicherweise direkt am Anfang auch die DMG-Transliteration aufgeführt. Studierenden, die ein orientalistisches Fach im Hauptfach studieren, ist zu empfehlen, sich bei den betreffenden Worten auch die DMG-Transliteration einzuprägen. Über die Zuordnung der verschiedenen arabischen und lateinischen Buchstaben zueinander gibt die folgende Tabelle Auskunft: {| border="1" style="border-collapse:collapse; text-align:center" cellpadding="2" |- style="background-color:#CAE1FF;" ! Arabischer Buchstabe | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ا</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ب</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ت</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ث</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ج</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ح</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">خ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">د</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ذ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ر</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ز</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">س</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ش</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ص</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ض</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ط</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ظ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ع</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">غ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ف</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ق</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ك</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ل</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">م</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ن</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ه</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">و</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ي</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ء</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ة</span> |- style="background-color:#FFFFFF;" ! Name | [[w:Alif|Alif]] || [[w:bā'|Bā']] | [[w:tā'|Tā']] || [[w:thā'|Thā']] | [[w:Dschīm|Dschīm]] || [[w:ḥā'|Ḥā']] | [[w:Chā'|Chā']] || [[w:dāl|Dāl]] | [[w:Dhāl|Dhāl]] || [[w:rā'|Rā']] | [[w:Zāy|Zāy]] || [[w:sīn|Sīn]] | [[w:Schīn|Schīn]] || [[w:Sād|Sād]] | [[w:dād|Dād]] || [[w:ṭā'|Ṭā']] | [[w:Zā'|Zā']] || [[w:ʿAin|ʿAin]] | [[w:Ghain|Ghain]] || [[w:fā'|Fā']] | [[w:qāf|Qāf]] || [[w:kāf|Kāf]] | [[w:Lām|Lām]] || [[w:mīm|Mīm]] | [[w:nūn|Nūn]] || [[w:hā'|Hā']] | [[w:wāw|Wāw]] || [[w:yā'|Yā']] | style="border-left:2px solid gray;" | [[w:hamza|Hamza]] || [[w:Tā' marbūta|Tā' marbūta]] |- style="background-color:#FFF; font-weight:bold" ! Wikipedia-Umschrift | a, i, u, ā || b || t || th | dsch<br />ddsch || h || ch || d | dh || r || z || s | sch || s || d || t | z || ʿ || gh || f | q || k || l || m | n || h || ū, w, u || ī, y, i|| style="border-left:2px solid gray;" | ' || a, at |- style="background-color:#CAE1FF;" ! [[w:Deutsche Morgenländische Gesellschaft|DMG]]-Transliteration <br /> ([[w:DIN 31635|DIN&nbsp;31635]]) | a, i, u, ā || b || t || ṯ | ǧ || ḥ || ḫ || d | ḏ || r || z || s | š || ṣ || ḍ || ṭ | ẓ || ʿ || ġ || f | q || k || l || m | n || h || ū, w, u|| ī, y, i|| style="border-left:2px solid gray;" | ʾ || a, at |} Informationen zur Aussprache der einzelnen arabischen Buchstaben bzw. zugehörigen Umschriftzeichen erhalten Sie auf den betreffenden verlinkten Seiten. Vokale mit einem Längungsstrich ''ā/ī/ū'' werden grundsätzlich lang ausgesprochen. ==== 1.1.1.2. Der arabische Artikel ==== Immer wieder wird der Leser in dieser Vorlesung auch auf den arabischen, geschlechtsneutralen Artikel ''al-'' begegnen, wie z.B. in ''al-bait'' „das Haus“. Vor den sogenannten [[w:Sonnenbuchstabe|Sonnenbuchstaben]] t (''t/ṭ''), th (''ṯ''), d (''d/ḍ''), dh (''ḏ''), r, s (''s/ṣ''), sch (''š''), z (''z/ẓ''), n wird das l des Artikels den genannten Lauten [[w:Assimilation (Phonologie)|assimiliert]], wie zum Beispiel in asch-Schams (DMG: ''aš-šams'') „die Sonne“. Nach einem Vokal fällt das ''a'' des Artikels weg. ==== 1.1.1.3. Die Morphologie arabischer Wörter ==== Die Wurzel fast aller arabischen Wörter setzt sich aus drei Konsonanten zusammen. Diese Wurzelkonsonanten werden [[w:Radikal (semitische Sprachen)|Radikale]] genannt. Die Radikale werden zur Wortbildung mit verschiedenen Vokalen, [[w:Präfix|Präfixen]], [[w:Infix_(Linguistik)|Infixen]] und [[w:Suffix|Suffixen]] kombiniert. Begriffe, die dieselben Wurzelkonsonanten haben, sind meist semantisch miteinander verwandt. Beispiel: Die Wurzelkonsonanten des arabischen Wortes Dschihād (''ǧihād'') sind dsch-h-d (''ǧ-h-d''). Derjenige, der den Dschihād ausübt, ist ein Mudschāhid (''muǧāhid''). Auch dieses Wort ist von der Wortwurzel dsch-h-d (''ǧ-h-d'') abgeleitet, hat allerdings das Präfix ''mu-'' erhalten. Die Wortwurzel dsch-h-d (''ǧ-h-d'') hat die Bedeutung von „sich bemühen, sich anstrengen“. Das Wort ''ǧihād'' bedeutet ebenfalls Anstrengung, hat allerdings die Spezialbedeutung von „Kampf gegen die Ungläubigen“ erhalten. Ein weiteres Wort, das von der Wortwurzel ''ǧ-h-d'' abgeleitet ist und ein Infix enthält, ist [[w:Idschtihād|Idschtihād]] (''iǧtihād''). Dieses hat die Spezialbedeutung von „eigene Urteilsbemühung“. Derjenige, der Idschtihād übt, wird [[w:Mudschtahid|Mudschtahid]] genannt. Die Kenntnis dieser Zusammenhänge hilft beim Wiedererkennen miteinander verwandter Wörter. === 1.1.2. Der Koran als Arbeitsmittel === [[File:Franz Horny - Friedrich Rückert 1818.jpg|mini|[[w:Friedrich Rückert|Friedrich Rückert]] 1818, der eine besonders einfühlsame deutsche Koranübersetzung erstellte.]] Die Abkürzung Q verweist in dieser Einführung auf Zitate aus dem [[w:Koran|Koran]], dem heiligen Buch des Islams. Der Koran ist auf Arabisch abgefasst und in [[w:Sure|Suren]] gegliedert, wobei diese wiederum in Verse unterteilt sind. Bei Zitaten aus dem Koran folgt auf das einleitende Q jeweils Suren- und Versangabe. Die Stellenangabe Q 2:42 zum Beispiel bedeutet also, dass das Zitat aus Sure 2, Vers 42 stammt. Koranzitate sind in dieser Einführung üblicherweise mit der digitalen Koranausgabe des [[w:Corpus Coranicum|Corpus Coranicum]] verlinkt, die auch eine Transkription und eine Übersetzung des betreffenden Koranverses enthält. Indem Sie diesen Links folgen, können Sie die betreffenden Textstellen selbst nachlesen und in ihrem Sinnzusammenhang nachvollziehen. Die Übersetzung, die vom Corpus Coranicum verwendet wird, wurde von [[w:Rudi Paret|Rudi Paret]] erstellt. Als weitere deutsche Übersetzungen kann ich diejenigen von [[w:Hartmut Bobzin|Hartmut Bobzin]] im [[w:Verlag C.H.Beck|Verlag C.H. Beck]] sowie von [[w:Max Henning|Max Henning]] im [[w:Reclam-Verlag|Reclam-Verlag]] empfehlen. In Veröffentlichungen von muslimischer Seite wird bei Koranzitaten meist nicht auf die Nummer der Sure verwiesen, sondern auf deren arabischen Namen. Ein Vorteil der Henningschen Übersetzung ist, dass sie im Inhaltsverzeichnis einen vollständigen Überblick über diese Surentitel mit ihren deutschen Übersetzungen liefert. Sehr nützlich ist daneben, dass sie im Text neben der heute am meisten verbreiteten Kairiner Verszählung auch die Verszählung von [[w:Gustav Flügel|Gustav Flügel]] berücksichtigt, die noch in mehreren älteren orientalistischen Werken zugrundegelegt worden ist. Zu den literarischen Merkmalen des Korans gehört seine spezielle poetische Sprachform, die auf Arabisch als [[w:Sadschʿ|Sadschʿ]] bezeichnet wird. Es handelt sich um eine Art Reimprosa. Wer trotz fehlender arabischer Sprachkenntnisse etwas von der sprachlichen Ästhetik des Korans erleben will, nimmt am besten die auszugsweise Koranübersetzung des romantischen Dichters [[w:Friedrich Rückert|Friedrich Rückert]] (1788-1866) zur Hand, denn dieser hat sich mehr als jeder andere Übersetzer darum bemüht, den poetischen Reiz des Korans im Deutschen anschaulich zu machen. Hartmut Bobzin hat diese lang vergessene Koranübersetzung 1995 im Ergon-Verlag neu herausgegeben. == 1.2. Zur Konzeption der Einführung == === 1.2.1. Der zugrundegelegte Islam-Begriff === [[File:Map of the Muslim World.png|mini|links|Übersichtskarte zur muslimischen Weltbevölkerung]] {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="4" | Die zehn Länder mit der </br> größten muslimischen Bevölkerung 2025<ref>[https://worldreligiondatabase.org/ World Religion Database, Boston University], abgerufen am 14.10.2025.</ref> |- ! !! Land !! Anzahl in <br /> Millionen !! % an muslimischer </br> Weltbevölkerung |- | 1 || Pakistan || style="text-align:right" | 243 || style="text-align:right" | 11,6 |- | 2 || [[w:Islam in Indonesien|Indonesien]] || style="text-align:right" | 222 || style="text-align:right" | 10,6 |- | 3 || [[w:Islam in Indien|Indien]] || style="text-align:right" | 196 || style="text-align:right" | 9,3 |- | 4 || Bangladesch || style="text-align:right" | 156 || style="text-align:right" | 7,4 |- | 5 || Nigeria || style="text-align:right" | 110 || style="text-align:right" | 5,2 |- | 6 || Ägypten || style="text-align:right" | 107 || style="text-align:right" | 5,1 |- | 7 || Iran || style="text-align:right" | 91 || style="text-align:right" | 4,3 |- | 8 || Türkei || style="text-align:right" | 86 || style="text-align:right" | 4,1 |- | 9 || Sudan || style="text-align:right" | 47 || style="text-align:right" | 2,2 |- | 10 || Algerien || style="text-align:right" | 47 || style="text-align:right" | 2,2 |- ! !! Summe !! style="text-align:right" | 1.305 !! style="text-align:right" | 62,1 |} Thema dieser Vorlesung ist der Islam, eine Religion mit ca. 2,1 Milliarden Anhängern, was einem Viertel der Weltbevölkerung entspricht. Auf einen wichtigen Punkt muss hier gleich am Anfang hingewiesen werden: nur ein Viertel der Muslime lebt heute in der sogenannten [[w:MENA-Region|MENA-Region]] ([[w:Vorderasien|Vorderasien]] und [[w:Nordafrika|Nordafrika]]). Knapp die Hälfte der Muslime (47 %) dagegen lebt in [[w:Südasien|Süd-]] und [[w:Südostasien|Südostasien]]. Der Rest verteilt sich auf das [[w:Subsaharisches Afrika|subsaharische Afrika]] (18 Prozent), [[w:Zentralasien|Zentralasien]] (3,5 %), [[w:Europa|Europa]] mit Russland (2,3 %) und Amerika (0,3 %). Die demographische Verteilung der Muslime in der Welt spiegelt sich auch in der Konzeption dieser Vorlesung wieder: es beschränkt sich keineswegs auf die MENA-Region, sondern widmet auch den anderen Regionen der Islamischen Welt große Aufmerksamkeit. Der Begriff „Islam“ leitet sich von dem arabischen Verb ''aslama'' „übergeben, sich ergeben, sich hingeben“ ab. Dieses Verb kommt an verschiedenen Stellen im Koran vor. So heißt es zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/112 Q 2:112]: „Wer sein Angesicht Gott hingibt (''aslama'') und dabei rechtschaffen ist, dem steht bei seinem Herrn ein Lohn zu“ und in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/34 Q 22:34]: „Euer Gott ist ein einziger Gott. Ihm müsst ihr euch ergeben“. ''Islām'' ist das Verbalnomen (oder der substantivierte Infinitiv) zu ''aslama'': das Sich-Ergeben oder die Hingebung. Schon im Koran selbst wird es als Bezeichnung für eine Religion (''dīn'') verwendet: „Als Religion gilt bei Gott der Islam“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Q 3:19]) und „Ich habe für euch den Islam als Religion erwählt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/3 Q 5:3]). Derjenige, der sich ergibt oder hingibt, also den Islam ausübt, ist ein Muslim. Rein grammatisch betrachtet, ist ''muslim'' das Partizip Aktiv zu dem Verb ''aslama''. Schon im Koran selbst wird eine interessante Unterscheidung getroffen, nämlich zwischen der Annahme des Islams (''islām'') und der Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). So werden zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Q 49:14] die Araber der Wüste aufgefordert, nicht zu sagen, „Wir haben den Glauben angenommen“, sondern „Wir haben den Islam angenommen“, weil der Glaube noch nicht in ihre Herzen eingegangen sei. An derartige Aussagen knüpft sich die Vorstellung, dass derjenige, der den Islam angenommen hat, also ein Muslim ist, nicht unbedingt ein „Gläubiger“, also ein [[w:Mu'min|Mu'min]], sein muss. Die Definition des Islams ist demnach weniger eng als die des Glaubens. Was'' islām'' ursprünglich bedeutete, wenn damit nicht der Glaube gemeint ist, ist nicht eindeutig geklärt. Meïr Bravmann, der den Sprachgebrauch des Wortes in der altarabischen Literatur untersucht hat, meint, dass er in der frühislamischen Gemeinschaft, die stark auf den [[w:Dschihad|Dschihad]] ausgerichtet war, die Bereitschaft zur Selbstaufopferung im Kampf bezeichnete. [[File:Fünf Säulen des Islam.svg|mini|links|Dass der Islam auf „fünf Säulen“ ruht, ist heute meist das Erste, was Kinder in der Schule über den Islam lernen.]] Seit Ende des 7. Jahrhunderts (vgl. dazu unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05#5.3.5. ʿAbdallāh ibn ʿUmar und die fünf Säulen des Islams|5.3.5.]]) ist die Vorstellung nachweisbar, dass der Islam insgesamt auf fünf Säulen ruht: 1. dem Glauben an Gott und seinen Gesandten; 2. den fünf [[w:Salāt|Gebeten]], 3. dem [[w:Ramadan|Ramadān]]-Fasten, 4. der Entrichtung der [[w:Zakāt|Zakāt]], und 5. der [[w:Haddsch|Haddsch]]-Wallfahrt. Auf all diese Dinge wird im weiteren Verlauf der Vorlesung noch weiter eingegangen. Das Konzept von den fünf Säulen des Islams wurde später in Form des sogenannten [[w:Gabriel-Hadith|Gabriel-Hadith]] auf den Propheten zurückgeführt. Er hat Eingang in die wichtigsten islamischen Traditionssammlungen gefunden. Der Islam hatte von Anfang an auch eine politische Dimension, und zwar dadurch, dass Muhammad, der Begründer dieser Religion, in [[w:Medina|Medina]] selbst ein eigenes Staatswesen errichtet hat. Muhammads politische Funktion und sein militärischer Erfolg sind auch Punkte, die ihn von den meisten anderen Religionsstiftern unterscheiden. Der von Muhammad begründete Staat wurde nach seinem Tode durch die sogenannten Kalifen fortgeführt. In der islamischen Völkerrechtslehre wird er als [[w:Dār al-Islām|Dār al-Islām]] („Haus des Islams“) bezeichnet (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 06#Syrien|6.4.1.3.]]). Die politische Dimension des Islams wurde erst im Laufe des 19. Jahrhunderts im Zuge der Begegnung von reformgesinnten Muslimen mit der westlichen Rechts- und Werteordnung in Frage gestellt und abgeschwächt. Im Zuge des Reislamisierungsprozesses des späten 20. Jahrhundert sind allerdings viele Muslime wieder zu der Auffassung zurückgekehrt, dass der Islam auch in Form eines eigenen Staatswesens gelebt werden müsse. Mehrere heute existierende islamische Staaten sehen sich mehr oder weniger in der Nachfolge des Staates von Medina. Die politische Ideologie, die in Fortsetzung klassischer Lehren nach Wiedererrichtung eines islamischen Staates strebt, wird heute allgemein als „Islamismus“ oder „politischer Islam“ bezeichnet. Allerdings ist mittlerweile auf internationaler Ebene an die Stelle des einen islamischen Staates eine ganze Staatenfamilie getreten, nämlich die [[w:Organisation für Islamische Zusammenarbeit|Organisation für Islamische Zusammenarbeit]] (OIC) mit Sitz in [[w:Dschidda|Dschidda]]. In den europäischen Sprachen wurde dem Begriff „Islam“ ab dem 19. Jahrhundert eine sehr weite Bedeutung gegeben, insofern als man damit die Gesamtheit der muslimischen Völker, Länder und Staaten mit der ihnen eigenen Kultur bezeichnet hat. So kommt es auch, dass bis heute die [[w:Encyclopaedia of Islam|Encyclopaedia of Islam]], das wichtigste Nachschlagewerk der Islamwissenschaft, nicht allein die islamische Religion behandelt, sondern die gesamte Zivilisation der Länder mit muslimischer Bevölkerungsmehrheit, mit Schwerpunkt allerdings auf dem Vorderen Orient. Ähnlich weit fassen den Islam übrigens auch viele Islamisten. So erklärte zum Beispiel im Jahre 1939 [[w:Hasan al-Bannā|Hasan al-Bannā]], der Begründer der [[w:Muslimbrüder|Muslimbruderschaft]], dass der Islam „Bekenntnis und Gottesdienst, Heimatland und Nationalität, Religion (''dīn'') und Staat (''daula''), Spiritualität und Arbeit, Koran und Schwert“ sei (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 12#12.1.2. Aufbruch der muslimischen Jugend: die Muslimbruderschaft und die Tablīghī Dschamāʿat|12.1.2.]]). Die Frage, was der Islam ist und was er alles umfasst, wird also zum Teil sehr unterschiedlich beurteilt. In dieser Einführung wird ein Islam-Begriff zugrundelegt, der „Islam“ enger fasst als eine Zivilisation, aber dennoch nicht auf den Bereich der Religion reduziert. Als relevant betrachtet werden zunächst alle Strömungen, Bewegungen, Organisationen und Institutionen, die sich selbst als „islamisch“ bezeichnen, sowie Ideen und Konzepte, die von Muslimen als „islamisch“ deklariert worden sind (explizite Islamizität). Darüber hinaus werden solche Sachverhalte behandelt, die einen erkennbaren direkten oder indirekten Bezug zum Koran, zu Muhammad oder Mekka aufweisen (implizite Islamizität). Dies lässt sich damit begründen, dass der [[w:Koran|Koran]] der zentrale heilige Text, [[w:Mohammed|Muhammad]] die zentrale heilige Person und [[w:Mekka|Mekka]] der zentrale heilige Ort des Islams ist. Schließlich werden auch Ereignisse, Entwicklungen, Gruppen und Personen berücksichtigt, die für die Verbreitungsgeschichte des Islams von großer Bedeutung sind. === 1.2.2. Der historische Zugang === Grundsätzlich bieten sich bei der Darstellung einer Religion zwei verschiedene Herangehensweisen an. Bei der systematischen Herangehensweise werden nacheinander die verschiedenen Teilbereiche und Dimensionen der betreffenden Religion betrachtet, zum Beispiel die Gottesvorstellungen, die Mythologie, die Heiligen Schriften, die Schöpfungsvorstellungen, die Rituale, die Ethik, die rechtlichen und gesellschaftlichen Dimensionen, die politischen Konzepte usw. Eine solche Darstellungsweise hat den Vorteil, dass inhaltlich zusammengehörige Phänomene im Zusammenhang betrachtet werden können und dadurch manchmal größere Anschaulichkeit erhalten. Eine Gefahr bei dieser Darstellungsweise besteht allerdings darin, dass in den Köpfen der Zuhörer und Leser schnell ein [[w:Essentialismus|essentialistisches]] Bild von der betreffenden Religion entsteht, weil sie als unveränderlich und statisch wahrgenommen wird. Als Alternative bietet sich die historisierende Darstellungsweise an, die bei der Beschreibung der einzelnen Sachverhalte jeweils den historischen Zusammenhang berücksichtigt und somit [[w:Anachronismus|anachronistischen]] Vorstellungen entgegenwirkt. Es kann zum Beispiel auf diese Weise gezeigt werden, dass Phänomene, die heute mit der betreffenden Religion untrennbar verbunden scheinen, erst zu einem bestimmten Zeitpunkt in einer speziellen politischen und kulturellen Situation aufgekommen sind. Das Gleiche gilt auch für die verschiedenen islamischen Strömungen, deren Lehren häufig nur vor dem Hintergrund ihres Entstehungszusammenhangs verständlich werden. Die historische Darstellungsweise leitet allgemein zum kritischen Denken an, weil sie die Möglichkeit gibt, Vorstellungen und Normen in ihrer historischen Gewordenheit zu verstehen und damit auch kritisch hinsichtlich ihrer Allgemeingültigkeit zu hinterfragen. Sie zeigt auch auf, wie stark die Diskurse von den jeweils herrschenden Machtverhältnissen bestimmt werden. Ich habe mich deswegen in dieser Einführung in den Islam für die historische Herangehensweise entschieden. Dies hat auch Auswirkungen darauf, wie in ihren ersten Kapiteln der Koran behandelt wird: nicht als überzeitlicher heiliger Text, sondern als historisches Dokument, das die Entwicklung der Vorstellungen des islamischen Religionsstifters und seiner Umgebung widerspiegelt. Bei der Darstellung der Entwicklungen, Ereignisse, Persönlichkeiten und Strömungen früherer Epochen kann schnell der Eindruck aufkommen, dass all diese Dinge nichts mit der Gegenwart zu tun haben. Dieser Eindruck täuscht jedoch, denn zum einen spielt die Erinnerung an die religiös-politischen Geschehnisse der islamischen Vergangenheit eine enorm wichtige Rolle im [[w:Kollektives Gedächtnis|kollektiven Gedächtnis]] der heutigen Muslime, zum anderen wird auch in allen religiös gefärbten Diskussionen, die in der Gegenwart unter Muslimen über Gesellschaft und Politik geführt werden, auf diese vergangenen Geschehnisse Bezug genommen. Die Beschäftigung mit vergangenen Entwicklungen ist also unabdinglich für das Verständnis heutiger islamischer Diskurse. Auch die Rituale, die den religiösen Alltag der heutigen Muslime prägen wie das rituelle Gebet, der [[w:Freitagsgebet|Freitagsgottesdienst]], das Ramadān-Fasten und die Wallfahrt nach Mekka, sind zu einer bestimmten Zeit eingeführt worden und haben im Laufe der Zeit Veränderungen erfahren. Indem in dieser Vorlesung die historischen Umstände, unter denen diese Rituale eingeführt und verändert wurden, in den Blick genommen werden, soll das Bewusstsein für ihre gesellschaftliche und politische Bedeutung, die sich jeweils in einer bestimmten historischen Situation konkretisiert, geweckt werden. Ein Leitgedanke in meiner Darstellung ist, dass sich die Geschichte des Islams in Synthesen vollzieht. Dieser Gedanke knüpft in gewisser Weise an die [[w:Dialektik|dialektische]] Philosophie [[w:Georg Wilhelm Friedrich Hegel|Hegels]] an. Meine These ist, dass sich in jeder Epoche des Islams neue [[w:Widerspruch (Dialektik)|Antagonismen]] ergeben, die dann in Form einer [[w:Dialektische Aufhebung|Dialektischen Aufhebung]] überbrückt werden. Hierbei schreitet die Geschichte voran, und es wird eine höhere Entwicklungsstufe erreicht, in der die einzelnen Vorstellungen und Normen zum Teil auch neue Funktionen erhalten. Auch die Entstehung des Islams selbst lässt sich in dieser Weise als dialektische Aufhebung eines Gegensatzes deuten, desjenigen nämlich zwischen dem einheimischen [[w:Polytheismus|Polytheismus]] und den von außen eindringenden monotheistischen Religionen im spätantiken Arabien. === 1.2.3. Die zeitliche Gliederung === Nicht alle Zeiträume der islamischen Geschichte erhalten in dieser Vorlesung die gleiche Aufmerksamkeit. Schwerpunktmäßig werden die formative Phase sowie die gegenwartsnahe Geschichte des Islams behandelt. Die formative Phase des Islams, die Periode vom frühen 7. Jahrhundert bis zum frühen 10. Jahrhundert verdient deswegen besondere Aufmerksamkeit, weil in ihr fast das gesamte Normen-, Werte- und Ideensystem, das bis heute für den Islam kennzeichnend ist, sowie viele islamische Strömungen, die bis heute existieren, entstanden sind. Die gegenwartsnahe Geschichte des Islams wird aus dem einfachen Grunde eingehender betrachtet, weil sie uns zeitlich näher steht und uns deswegen auch stärker betrifft. Die dazwischen liegenden Perioden, der Zeitraum zwischen 930 und 1813, sollen aber mit ihren wichtigen religionsgeschichtlichen Entwicklungen keineswegs vernachlässigt werden. Ihnen sind in dieser Einführung insgesamt drei Sitzungen gewidmet, was in einer Einführung zum Islam keineswegs selbstverständlich ist. Bei den einzelnen betrachteten Zeiträumen geht es nicht nur darum, das jeweils Neue herauszustellen, sondern auch die Elemente der Kontinuität aufzuzeigen. Wichtig ist mir in dieser Vorlesung, die Autonomie der Geschichte des Islams herauszustellen. Bei der Periodisierung orientiere ich mich nicht an westlichen Epocheneinteilungen, sondern an den die ganze islamische Welt betreffenden Verschiebungen im religiös-politischen Bereich. Wie aber lassen sich solche Verschiebungen erkennen? Mekka ist nicht nur die Stadt, an dem Muhammad seine neue Religion begründete, sondern sie gilt bis heute auch als die wichtigste Heilige Stätte des Islams und bildet das religiöse Zentrum der islamischen Welt. Im Laufe der Zeit hat die Oberherrschaft über diese Stadt immer wieder gewechselt. Da diese Herrschaftswechsel Auswirkungen auf die gesamte islamische Welt hatten und auch die religiös-politische Großwetterlage beeinflussten, habe ich sie in meiner Vorlesung als Mittel für die Epocheneinteilung verwendet. Nur bei der Periodisierung der letzten Jahrzehnte bin ich von diesem Ordnungsprinzip abgewichen, weil die Machtverhältnisse in Mekka während dieses Zeitraums relativ stabil blieben, andere globale Verschiebungen jedoch stark auf das islamische Feld einwirkten. == 1.3. Die Situation im spätantiken Arabien und ihr Einfluss auf den Islam == Mekka, die Stadt, in der Muhammad seine neue Religion begründete, liegt im Westen der arabischen Halbinsel. Im Koran, dem Buch, das gewissermaßen den Gründungstext dieser neuen Religion darstellt, wird an verschiedenen Stellen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]) der Bruch mit den arabischen Bräuchen der vorislamischen Zeit, der sogenannten [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]], betont. Allerdings weist der Islam auch viele Elemente der Kontinuität gegenüber der vorislamischen arabischen Kultur auf. Das Wichtigste davon ist die [[w:arabische Sprache|arabische Sprache]]. Sie hat eine lange Geschichte, die in das erste Jahrtausend vor Christus zurückreicht und in ihrer dialektalen Vielfalt durch Inschriften recht gut dokumentiert ist. Dadurch, dass auch der Koran in arabischer Sprache gehalten ist, hat diese Sprache in der islamischen Kultur eine geradezu heilige Stellung erhalten. In den folgenden Abschnitten werden noch verschiedene andere Vorstellungen und Institutionen des spätantiken Arabiens vorgestellt, an die der Islam angeknüpft hat. === 1.3.1. Die altarabische Stammesgesellschaft === [[File:Map of Arabia 600 AD.svg|mini|Tribale Gruppen auf der arabischen Halbinsel zur Zeit Muhammads]] Die altarabische Gesellschaft war stammesmäßig organisiert, und das Individuum definierte sich primär durch seine tribale Zugehörigkeit. Der Koran erkennt diese gesellschaftliche Realität an, in dem er in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/13 Sure 49:13] an die Menschen gerichtet sagt: „Wir haben euch zu Verbänden und Stämmen gemacht, damit ihr euch untereinander kennt.“ Der einzelne Mensch war also nur durch seine Einordnung in dieses System von Verbänden und Stämmen, die nach innen wiederum in verschiedene Clane und Familien aufgegliedert waren, identifizierbar. Die große Bedeutung, die die alten Araber dieser Form der Identifizierung beimaßen, lässt sich daran erkennen, dass sie bei Nennung von Personen jeweils auch deren verbandsmäßige Zugehörigkeit angaben, und zwar durch die ''nisba'', ein Adjektiv, das mit dem Suffix -ī gebildet wird. So ist zum Beispiel al-Kindī die Nisba zum Stamm [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]], at-Tanūchī die Nisba zum Stamm Tanūch und al-Machzūmī die Nisba zum Clan [[w:Machzūm|Machzūm]]. Eine noch genauere Verortung des Individuums in diesem System erfolgte durch den sogenannten ''nasab'', die Abstammungslinie. Sie setzt den Menschen über eine Filiation zu mythischen Vorfahren in Beziehung, die einer oder mehreren tribalen Gruppen gemeinsam sind. Die einzelnen Glieder auf dieser Kette von Vorfahren werden üblicherweise durch das Wort ''ibn'' „Sohn (des)...“ (abgekürzt b.) aneinandergereiht. Wenn es sich um Frauen handelt, steht ''bint'' „Tochter von“. Der Prophet zum Beispiel hatte den Nasab: Muhammad ibn ʿAbdallāh ibn ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim ibn ʿAbdmanāf ibn Qusaiy ibn Kilāb ibn Murra ibn Kaʿb ibn Lu'aiy ibn Ghālib ibn Fihr ibn Mālik ibn an-Nadr ibn Kināna. Auch die tribalen Verbände selbst wurden in dieser Weise über einen Nasab definiert. Bei ihnen wurde die Abstammung von einem gemeinsamen Vorfahren oder einer gemeinsamen Vorfahrin nicht durch ''ibn'' oder ''bint'', sondern das Wort ''banū'' (Söhne von…) angezeigt. Die meisten arabischen Stämme lebten nomadisch in den wüsten- und steppenartigen Regionen der arabischen Halbinsel und betrieben Kamelzucht. Zur Erzielung von Beute unternahmen sie überfallartige Raubzüge auf andere Stämme und Siedlungen an der Grenze zum Fruchtland. Wichtigstes Ziel bei dieser Raubzugsaktivität, die [[w:Ghazw|Ghazw]] genannt wurde, war der Erwerb von Kamelen und Vieh. Bei vielen Raubzügen wurden aber auch Gefangene gemacht, die dann eine ganze Zeit als Sklaven Dienst leisten mussten. Bei weiblichen Sklaven war es üblich, dass diese ihren Herren auch sexuell zur Verfügung stehen mussten. Sklaverei war im ganzen vorislamischen Arabien weit verbreitet. Dieses Rechtsinstitut ist in den Islam übernommen worden. Auch im Haushalt Muhammads lebte anfangs ein Sklave, [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]], der mit einer freigelassenen Abessinierin verheiratet war und mit dieser ein Kind hatte. Wenn Sklaven freigelassen wurden, verblieben sie weiter in einem Schutzverhältnis (''walāʾ'') zum Stamm oder Clan ihres früheren Besitzers. Als [[w:Mawālī|Mawālī]], also Schutzbefohlene, bildeten sie einen wichtigen Bestandteil der vorislamischen arabischen Gesellschaft. Neben den nomadisch lebenden Stämmen, den sogenannten Beduinen, gab es sesshafte Stämme, die Landwirtschaft oder Handel trieben. So war zum Beispiel die Stadt Yathrib einige hundert Kilometer nördlich von Mekka als eine Agglomeration von Oasen stark landwirtschaftlich ausgerichtet. Landwirtschaft wurde auch im südlichen Mesopotamien getrieben, dem Gebiet, das die Araber ''al-ʿIrāq'' („die fruchtbare Uferzone [von Euphrat und Tigris]“) nannten, woher auch der moderne Ländername Irak stammt. Mekka, die Heimatstadt Muhammads, zeichnete sich dadurch aus, dass sie stark auf den Handel ausgerichtet war. [[File:Yemen Himyarite 330 AD.jpg|mini|Der Staat von [[w:Himyar|Himyar]] im Süden der arabischen Halbinsel]] Unter den arabischen Stämmen gab es ein großes Machtgefälle. Einige waren eher schwach, andere hatten schon lange vor dem Islam eigene Staatswesen gegründet, wie etwa die [[w:Himyar|Himyar]] und Kinda in Südarabien, die [[w:Ghassaniden|Banū Ghassān]] in Südsyrien und die [[w:Lachmiden|Banū Lachm]] im Irak. An dieses Machtgefälle knüpfte sich das Konzept der Ehre (''šaraf''). Angeführt wurde der Stamm durch einen [[w:Sayyid|Saiyid]] („Herr“) oder [[w:Scheich|Scheich]]; einige Stammesoberhäupter führten sogar den Titel eines Königs (''malik''). Diesen Oberhäuptern gegenüber hatten die Angehörigen des Stammes einen Treueid ([[w:baiʿa|Baiʿa]]) zu leisten. Innerhalb des Stammes nahm außerdem der Dichter (''šāʿir'') eine äußerst wichtige Rolle ein. Indem er die Ruhmestaten des eigenen Stammes besang, konnte er das Zusammengehörigkeitsgefühl innerhalb dieses Verbandes stärken. Außerdem konnte er den Stamm beim Kampf durch dichterische Schmähung (''hiǧāʾ'') des Gegners unterstützen. Innerhalb der Stämme kannte man bestimmte Normen des Zusammenlebens. Der Wert dieser Normen wurde auf die Tatsache zurückgeführt, dass sie auf „alter Rechtssetzung“ ([[w:Sunna|Sunna]]) beruhten. Da es keine gesonderten Institutionen gab, die im Falle einer Verletzung der Normen eingeschaltet werden konnten, wachte die Gruppe als ganze bzw. die Gruppen untereinander über deren Einhaltung. Es gab also durchaus auch Sanktionen. Gelang es in einem Streitfall den betroffenen Parteien nicht, eine Einigung zu erzielen, konnten sie einen Schiedsrichter (''ḥakam'') einschalten, der ihrer beiden Vertrauen genoss. Das wichtigste strafrechtliche Prinzip war der [[w:Qisās|Qisās]], nach dem jede Schädigung eine „Wiedervergeltung“ zur Folge haben musste. Bei Mord oder Totschlag implizierte das die [[w:Blutrache|Blutrache]]. Die durch die Rache bedrohte Gruppe konnte allerdings versuchen, diese durch das Angebot einer Wergeldzahlung ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) abzuwenden. Der Qisās galt als ein lebenssicherndes Prinzip (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/179 Sure 2:179]), weil er abschreckend wirkte und dadurch von fortgesetztem Blutvergießen abhielt. Neben der gewöhnlichen Blutsverwandtschaft gab es im alten Arabien noch die Institution der [[w:Milchverwandtschaft|Milchverwandtschaft]]. Hintergrund war der damals sehr verbreitete und später auch durch den Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/233 Q 2:233]) sanktionierte Brauch, das Stillen der Kinder einer anderen Frau als der Mutter zu überlassen. Dieser Brauch kam offensichtlich auch bei Muhammad zur Anwendung, denn es wird berichtet, dass er als kleines Kind einer Amme namens [[w:Halīma bint Abī Dhuʾaib|Halīma]] aus dem nomadischen Stamm der Saʿd ibn Bakr anvertraut wurde, bei der er etwa zwei Jahre blieb. Das durch die Stillbeziehung hergestellte verwandtschaftliche Verhältnis bezog neben der [[w:Amme|Amme]] selbst deren Kinder sowie die Kinder, die von ihrer Brust getrunken hatten, ein und stand in seiner sozialen Bedeutung der Blutsverwandtschaft in nichts nach. Muhammad selbst fühlte sich zum Beispiel zeitlebens dem Stamm Saʿd ibn Bakr verbunden, obwohl dieser zeitweise mit seinen Gegnern paktiert hatte. Milchverwandtschaft schloss auch die Möglichkeit zur Heirat aus, eine Norm, die Eingang in den Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]) gefunden hat und somit auch für das islamische Normensystem bestimmend geworden ist. === 1.3.2. Geschlechterverhältnisse === Eine Besonderheit der spätantiken arabischen Gesellschaft war die Existenz uxorilokaler [[w:Besuchsehe|Besuchsehen]]. Es handelt sich um solche Ehen, bei denen das verheiratete Paar nicht zusammenlebte, sondern nur eine Besuchsbeziehung unterhielt. Über derartige Ehen sind wir durch aus vorislamischer Zeit stammende arabische Gedichte von Liebesaffären informiert. In vielen dieser Gedichte ist davon die Rede, dass der Mann die Frau in der Nacht im Zeltlager ihres Stammes besucht. In einigen Fällen tat er dies heimlich, in anderen ging er bei ihr für längere Zeit ohne Heimlichkeit ein und aus. Frauen, die solche Beziehungen eingingen, hatten auch die Möglichkeit, diese selbst zu beenden. In vielen Fällen unterhielten Frauen derartige Besuchsbeziehungen auch zu mehreren Männern. Berichte über uxorilokale Besuchsehen finden sich auch in den Überlieferungen über Muhammads Vorväter. So wird zum Beispiel über seinen Großvater [[w:ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim|ʿAbd al-Muttalib]] berichtet, dass er das Erzeugnis einer Besuchsehe war, die sein Vater [[w:Hāschim ibn ʿAbd Manāf|Hāschim]] mit einer vornehmen Dame in Yathrib abgeschlossen hatte, als er sich auf einer Geschäftsreise nach Palästina befand. Auch die Verbindung von Muhammads Eltern könnte diesem Ehetyp entsprochen haben. Es wird nämlich berichtet, dass seine Mutter [[w:Āmina bint Wahb|Āmina]] während der Ehe bei ihrem Clan Zuhra wohnen blieb, während ihr Mann [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbdallāh]] sie dort lediglich besuchte. In vielen Fällen war das System der Besuchsehen mit einem [[w:Matrilinearität|matrilinearen]] Verwandtschaftssystem verbunden. Das bedeutet, dass hier die Abstammung von der Mutter die verwandtschaftlichen Verhältnisse definiert, und auch das Erbe in der Mutterlinie weitergegeben wurde. Die arabische Gesellschaft befand sich zur Zeit Muhammads allerdings in einem Umbruchsprozess weg von der matrilinearen und uxorilokalen Heiratsstruktur hin zu einem System, das patrilinear und virilokal ausgerichtet war. Bei diesen neuen Ehen zog die Braut bei der Heirat in das Haus des Mannes um und war dort seiner Autorität unterstellt. Der Ehemann, der mehrere solcher Ehen unterhalten konnte, war in diesem Fall auch der „Herr“ (''baʿl'') seiner Frauen und hatte das alleinige Recht zur Auflösung der Ehen. Wenn der Ehemann starb, ging das Verfügungsrecht über die Frau an dessen Erben über. Die neue islamische Geschlechterordnung entstand in Auseinandersetzung mit diesen beiden unterschiedlichen Eheformen. === 1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka === Unsere Informationen über die religiöse Situation im vorislamischen Arabien stammen im Wesentlichen aus den Werken der arabischen Traditionsliteratur; eines der bekanntesten monographischen Werke zu diesem Thema ist das sogenannte „Götzenbuch“ (''Kitāb al-Aṣnām'') von [[w:Ibn al-Kalbī|Ibn al-Kalbī]] (gest. 821). Diesen Quellen zufolge gab es zur Zeit des Propheten an zahlreichen Orten Arabiens Kultstätten, an denen lokale Gottheiten verehrt wurden. Einige von ihnen waren Astralgottheiten wie etwa Yaghūth, der als „Herr des [[w:Sirius|Hundssterns]]“ galt. Andere wurden als weiblich betrachtet wie zum Beispiel die Göttinnen [[w:al-Lāt|al-Lāt]], [[w:Manāt|Manāt]] und [[w:al-ʿUzzā|al-ʿUzzā]]. Die Gottheiten wurden an den verschiedenen Heiligtümern in Form von Idolen, d.h. heiligen Steinen (''anṣāb'', sg. ''nuṣb'') bzw. Standbildern verehrt. An diesen Heiligtümern wurden bestimmte Kulthandlungen wie die Opferung von Tieren oder Umläufe vollzogen. [[File:Masjid al-Haram 1.jpg|thumb|Die Kaaba im Jahre 1907]] Ein arabisches Heiligtum von überragender Bedeutung war die [[w:Kaaba|Kaaba]] in Mekka, ein würfelförmiges Gebäude (daher der Name ''al-Kaʿba'' = „Kubus“), in dessen Innerem sich ein Standbild des Gottes [[w:Hubal|Hubal]] befand. Dieses hatte divinatorische Funktion: man warf vor ihm Lospfeile, wenn man ein [[w:Orakel|Orakel]] begehrte. Ursprünglicher Gegenstand der Verehrung war ein [[w:Schwarzer Stein (Mekka)|Schwarzer Stein]], der in die östliche Ecke der Kaaba eingelassen war. Am hellen Morgen (''ḍuḥā'') wurde an dem Gebäude ein gemeinsames Gebet (''ṣalāt'') abgehalten, bei dem man eine Prosternation ([[w:Sudschūd|Sudschūd]]) vollzog. Eine Besonderheit dieses Heiligtums war, dass es von einem geheiligten Bezirk umgeben war. In diesem Bezirk, der [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] genannte wurde, galten bestimmte Tabus (Tötungs-, Kampf- und Jagdverbot, auch wilde Pflanzen durften nicht abgeschnitten werden). Die Kaaba war auch Zielpunkt einer Wallfahrt, die [[w:ʿUmra|ʿUmra]] genannt wurde und aus einem siebenmaligen Umlauf ([[w:Tawāf|Tawāf]]) um das Gebäude bestand. Zu bestimmten feierlichen Anlässen wurde die Kaaba mit kostbaren Stoffen bedeckt und parfümiert. Um das Innere des Gebäudes vor den in Mekka häufigen [[w:Sturzfluten in Mekka|Sturzfluten]] zu schützen, wurde sein Boden Anfang des 7. Jahrhunderts auf Kopfhöhe angehoben. Ein Heiligtum von ähnlich großer Bedeutung befand sich in dem südwestarabischen Ort Tabāla zwischen Mekka und dem Jemen. Hier verehrten die Stämme der Daus, [[w:Chathʿam|Chathʿam]] und Badschīla die Gottheit [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Gestalt eines Kultsteins. Aufgrund seiner Beliebtheit als Wallfahrtsziel wurde das Heiligtum auch als die „südliche Kaaba“ (''al-Kaʿba al-yamānīya'') bezeichnet, im Gegensatz zur „nördlichen Kaaba“ (''al-Kaʿba aš-šāmīya'') in Mekka. {| class="wikitable floatleft" |- ! colspan="2" | Die altarabischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Safar|Safar I]] |- | 2 | Safar II |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} {{Anker|Haddsch}} Die Wallfahrten zu den verschiedenen Heiligtümern wurden nach einem [[w:Lunisolarkalender|Lunisolarkalender]] berechnet: Das Jahr begann im Herbst und bestand aus zwölf Mondmonaten, die von [[w:Neumond|Neumond]] zu Neumond gerechnet wurden; alle zwei oder drei Jahre wurde ein dreizehnter Monat angehängt, damit der Anfang des Jahres im Herbst beibehalten werden konnte. Dieses arabische Interkalationssystem wurde ''nasīʾ'', „Verschiebung“, genannt, weil es den ersten Monat des neuen Jahres verschob. Ein besonders wichtiger Termin im altarabischen Kalender war die als [[w:Haddsch|Haddsch]] bezeichnete Wallfahrt in dem nach ihr benannten Monat [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]], der in vorislamischer Zeit im Herbst lag. Höhepunkt des Haddsch-Rituals war die große Pilgerversammlung am 9. Tag des Monats in [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]], einer trockenen Gebirgsebene, die etwa 20 Kilometer östlich der Stadt Mekka liegt, bei der man vom Mittag bis zum Sonnenuntergang in der Ebene verweilte. Nach dieser Verweilzeremonie, die ''wuqūf'' genannt wurde, fand bei Sonnenuntergang die sogenannte ''ifāḍa'', das „Ausströmen“ zu dem etwa zwei Stunden entfernten Heiligtum von [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] statt. Hier wurde die Nacht wachend zugebracht. Bei Sonnenaufgang des 10. Tages wurden schließlich im näher an Mekka gelegenen Tal [[w:Minā|Minā]] Opfer dargebracht. Mit bestimmten Abwandlungen, auf die wir noch näher eingehen werden, ist dieses Ritual in den Islam übernommen worden. [[File:Wuquf.JPG|mini|Heutige muslimische Pilger beim Wuqūf in der Ebene ʿArafāt]] Aufgrund der Zeiten, zu denen der Lauf aus der ʿArafāt-Ebene nach Muzdalifa (Sonnenuntergang) und der Lauf von Muzdalifa nach Minā (Sonnenaufgang) in vorislamischer Zeit stattfanden, wird vermutet, dass dieser vorislamische Haddsch ein Ritual der [[w:Sonnenkult|Sonnenverehrung]] war. Der Haddsch hatte auch große wirtschaftliche Bedeutung, denn ihm gingen drei mehrtägige Märkte an verschiedenen Orten der Umgebung voraus, die gewissermaßen als Teil des Haddsch galten. Der letzte dieser Märkte fand vom 1. bis 8. Dhū l-Hiddscha in [[w:Dhū l-Madschāz|Dhū l-Madschāz]] statt, einem Ort mit kleinem Wasserlauf in der Nähe der Ebene ʿArafāt. Da es in ʿArafāt und in Muzdalifa kein Wasser gibt, nutzten die Pilger den letzten Markttag in Dhū l-Madschāz, um ihre Tiere dort zu tränken und sich selbst mit Wasser einzudecken. Deswegen wird bis heute der 8. Tag des Monat Dhū l-Hiddscha als „Tag der Tränkung“ (''yaum at-tarwiya'') bezeichnet. Vier Monate des altarabischen Kalenders galten aufgrund der beiden genannten Wallfahrten als heilig: der Frühlingsmonat [[w:Radschab|Radschab]] wegen der ʿUmra, die vor allem in diesem Monat stattfand, und der Monat Dhū l-Hiddscha und die beiden Monate davor und danach wegen des Haddsch. Je nachdem, ob an das Jahr ein Schaltmonat angehängt wurde oder nicht, wurde der auf den Haddsch folgende erste Safar geheiligt oder nicht. Die ʿUmra bestand übrigens nicht nur aus der Umkreisung der Kaaba, sondern umfasste noch verschiedene andere Rituale wie den siebenmaligen Lauf (''saʿy'') zwischen den beiden Hügeln Safā und Marwa in der Nähe der Kaaba. In den heiligen Monaten galt eine allgemeine Friedenspflicht. Menschen, die sich auf eine der beiden Wallfahrten begeben wollten, mussten dafür in einen Weihezustand ([[w:Ihrām|Ihrām]]) eintreten, in dem sie ihre Haare nicht schneiden durften und auch das Leben wild lebender Tiere nicht antasten durften. Die Beendigung dieses Weihezustandes wurde zum Abschluss der Wallfahrt durch das Scheren des Haares und das Schlachten von Tieren symbolisiert. Beim Haddsch geschah dies in Minā, bei der ʿUmra im Bereich der Kaaba. === 1.3.4. Magische Bräuche; Opfer- und Reinigungsrituale === Darüber hinaus gibt es eine ganze Anzahl von magischen Bräuchen aus dem spätantiken Arabien, die Eingang in den Islam gefunden haben. Hierzu gehört zum Beispiel der Brauch, dass Personen nicht direkt mit ihrem Namen (''ism''), sondern nur indirekt als „Vater“ (''Abū'') bzw. „Mutter“ (''Umm'') ihres erstgeborenen Sohnes angesprochen wurden. Hintergrund ist wahrscheinlich das bei vielen frühen Völkern verbreitete Namenstabu. An die Stelle des Sohnesnamens konnte auch ein Nomen treten, das ein besonderes Attribut des Namensträgers hervorhob. Diese [[w:Kunya|Kunya]]-Namen sind ein fester Bestandteil islamischer Namensgebung geworden. Ein weiteres markantes Beispiel ist der ''istisqāʾ'', die Regenbitte. Die Zeremonie, die in einer öffentlichen Versammlung stattfand, wurde üblicherweise von einem Stammesführer in Anwesenheit eines heiligen Mannes verrichtet. Die Anwesenden wendeten dabei ihr Obergewand um. Der Brauch wurde auch in den Islam übernommen und ist bis heute als Gebetsritus allgemein akzeptiert. Grundlegend sowohl im paganen als auch im islamischen Ritus ist die Vorstellung, dass das Gebet der Gemeinde durch die Gottesnähe des heiligen Mannes die Kraft besitzt, auf den Willen Gottes einzuwirken. In der islamischen Hagiographie finden sich viele Berichte über heilige Männer, die durch ihr Bittgebet die Regennot beendeten, eine Kraft, die manchmal auch ihren Gräbern zugeschrieben wurde. Ein weiterer Brauch, der aus dem vorislamischen Arabien übernommen wurde, ist die sogenannte [[w:ʿAqīqa|ʿAqīqa]]-Zeremonie wenige Tage nach der Geburt eines Knaben. Hierbei brachte man ein Opfertier dar und spendete dessen Fleisch als Almosen. Der Kopf des Knaben wurde anschließend mit dem Opferblut des Tieres benetzt. Diese Zeremonie hat sich mit dem Islam verbreitet und wird noch heute in vielen islamischen Ländern ausgeführt. Heute ist sie zumeist mit der Namengebung für das Kind verbunden. Darüber hinaus war in der Gedankenwelt der vorislamischen Araber auch der Glaube an geisterhafte Wesen, die [[w:Dschinn|Dschinn]] genannt wurden, tief verwurzelt. Verbreitet war die Vorstellung, dass sich die Dschinn an den Rändern der Himmelssphären aufhalten, um dort Wissen über das Verborgene zu erlauschen, das sie erwählten irdischen Empfängern, vor allem Dichtern weitergeben. Über den Koran, der den Dschinn eine eigene Sure ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/72/vers/1 Q 72]) widmet und sie noch an vielen anderen Stellen erwähnt, hat der Glaube an diese Wesen auch Eingang in den Islam gefunden. Vor allem im Volksglauben spielen die Dschinn bis heute eine bedeutende Rolle. Da sie als Verursacher von Krankheiten und Besessenheit gelten, versuchen viele Muslime, sich mit Amuletten und speziellen Gebets- und Zauberformeln vor ihrer negativen Wirkung zu schützen. Daneben werden in vielen islamischen Ländern exorzistische Praktiken angewandt, um von Dschinn besessene Menschen zu heilen. [[Datei:Miswak2.jpg|mini|[[w:Miswāk|Miswāk]]-Hölzer vom [[w:Zahnbürstenbaum|Arakbaum]]]] In ganz Arabien war schon in vorislamischer Zeit die Beschneidung (''ḫitān'') üblich. Unbeschnitten zu sein galt als große Schmach. Diese Vorstellung wurde im Islam stillschweigend übernommen. Neben der Knabenbeschneidung war auch die Mädchenbeschneidung verbreitet. Nach einer Überlieferung, die in verschiedenen Hadith-Sammlungen überliefert ist, soll Muhammad einer der „Klitorisbeschneiderinnen“ (''muqaṭṭiʿāt al-buẓūr'') sogar ausdrücklich erlaubt haben, ihr Handwerk weiter auszuüben, wenn sie nicht zu tief schneide. Unter Berufung auf diese [[w:Sunna|Sunna]] wird bis heute in einigen islamischen Ländern wie Ägypten, Jemen und Indonesien bei Mädchen eine „leichte Beschneidung“ durchgeführt. Zur Zahnreinigung benutzte man wie in Ostafrika und Indien die Wurzelhölzer vom [[w:Zahnbürstenbaum|Arakbaum]] (''Salvadora persica''), die auf Arabisch als [[w:Miswāk|Miswāk]] bzw. ''siwāk'' bezeichnet werden. Es handelt sich um fluorhaltige Hölzchen, die bei der Benutzung zerfasern und sich insofern sehr gut als Zahnbürsten eignen. Da von Muhammad überliefert ist, dass er diese Hölzer gerne benutzte, halten bis heute auch viele Muslime ihre Benutzung für empfehlenswert. === 1.3.5. Die spätantiken Großreiche und der Stamm der Quraisch === [[File:Justinian Byzanz.png|mini|links|Das Oströmische Reich und das Sassanidenreich im 6. Jahrhundert n.Chr.]] Arabien lag um 600 am Rande bedeutender Reiche. Im Norden stritten das [[w:Byzantinisches Reich|Oströmische Reich]] und das persische [[w:Sassanidenreich|Sassanidenreich]] um Einfluss und Kontrolle. Das Oströmische Reich, auch Byzanz genannt, umfasste die Länder des Östlichen Mittelmeergebiets (Kleinasien, Syrien) einschließlich eines Teils von Nordafrika (v.a. Ägypten), das persische Sasanidenreich dehnte sich von Mesopotamien über Persien bis nach Nordwest-Indien und Zentralasien aus. Die sasanidische Hauptstadt [[w:Seleukia-Ktesiphon|Ktesiphon]] lag allerdings im Irak und war somit nicht weit entfernt. Mehrere arabische Stammesstaaten standen Ende des 6. Jahrhunderts in einem Vasallenverhältnis zu diesen Reichen. Die [[w:Ghassaniden|Banū Ghassān]] in Syrien waren Vasallen von Byzanz. Ihre Residenz war die Zeltstadt [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]] im [[w:Golanhöhen|Golan]]. Die Sasaniden hatten eine ganze Reihe von arabischen Vasallen, denen jeweils vor Ort ein sassanidischer Gouverneur zur Seite stand: im Grenzgebiet zwischen Irak und arabischer Wüste herrschten die [[w:Lachmiden|Lachmiden]] mit Residenz in [[w:al-Hīra|al-Hīra]], in Bahrain (damals Bezeichnung für die gesamte arabische Golfküste) der tamīmitische Stammesfürst al-Mundhir ibn Sāwā, in [[w:Oman|Oman]] König Dschulandā ibn al-Mustakbir aus dem arabischen Stamm [[w:Azd (Stamm)|Azd]], und im Jemen der Marionettenherrscher Saif ibn Dhī Yazan aus dem Stamm der Himyar. Eines der wenigen Gebiete auf der arabischen Halbinsel, die in dieser Zeit ihre politische Eigenständigkeit behaupten konnten, war der westarabische [[w:Hedschas|Hidschāz]] mit den Städten [[w:Mekka|Mekka]], [[w:Medina|Yathrib]] und [[w:Taif|at-Tā'if]]. Über Mekka herrschte der Stamm [[w:Quraisch|Quraisch]], der sich als Zweig des nordarabischen Stammes der [[w:Kināna|Kināna]] betrachtete. Die nordarabischen Stämme führten im Gegensatz zu den südarabischen Stämmen ihren Stammbau auf [[w:Abraham|Abraham]] zurück. Das steht nicht im Gegensatz zu damals verbreiteten Vorstellungen. Schon frühe christliche Kirchenhistoriker nahmen die Abstammung der Araber von Abraham über seinen von der Magd [[w:Hagar|Hagar]] geborenen Sohn [[w:Ismael|Ismael]] als sicher an. Zusammen mit den Kināna und den [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]] bildeten die Quraisch eine auf den Heiligen Bezirk ([[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]]) von Mekka bezogene [[w:Amphiktyonie|Amphiktyonie]]. Ihre Mitglieder wurden als „Geheiligte“ (''ḥums'') bezeichnet und mussten während des Weihezustands bestimmte Tabus einhalten. Ihnen standen die übrigen Araber, die „Profane“ (''ḥilla''), gegenüber, die zwar diese Tabus nicht einzuhalten brauchten, dafür den Umlauf um die Kaaba aber nur nackt vollziehen durften, oder in Kleidern, die sie von den Geheiligten geliehen hatten. [[File:Stammbaum Quraisch.png|mini|350px]] Die Quraisch gliederten sich in verschiedene Clane. Sechs davon, die ʿAbd ad-Dār, die [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]], die Banū Naufal, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], die Banū al-Muttalib und die Banū Asad genossen als Nachfahren von [[w:Qusaiy ibn Kilāb|Qusaiy ibn Kilāb]] besonderes Ansehen. Qusaiy gilt als der eigentliche Gründer von Mekka. Er hatte nach der arabischen Überlieferung fünf Generationen vor Muhammad die Herrschaft über den Ort dem südarabischen Stamm der Chuzāʿa entwunden und den Kult um die Kaaba neu geordnet. So soll er zum Beispiel die Grenzen des Haram genau bestimmt und durch Steinmale markiert haben. Zu den kultischen, politischen und militärischen Ämtern, die Qusaiy nach der Überlieferung in Mekka eingeführt hatte, gehörten das 1. Pförternamt der Kaaba, 2. die Tränkung der Pilger, 3. die Bewirtung der Pilger, 4. der Vorsitz in der Ratsversammlung, 5. das Führen der Standarte, das mit dem Recht, Krieg zu erklären, verbunden war, und 6. der Oberbefehl im Krieg. Für die Ratsversammlung, in der die verschiedenen Clane der Quraisch vertreten waren, soll Qusaiy selbst in Mekka ein Versammlungshaus errichtet haben, das [[w:Dār an-Nadwa|Dār an-Nadwa]] genannt und auch für die Abhaltung von Zeremonien (Eheschließungen, Beschneidungsfeiern usw.) verwendet wurde. Im frühen 7. Jahrhundert befanden sich diese Ämter in der Hand von Qusaiys Nachkommen: Während die ʿAbd ad-Dār das Pförtneramt der Kaaba innehatten und das Dār an-Nadwa erbten, besorgten die Banū Hāschim die Tränkung und Bewirtung der Mekka-Pilger; die ʿAbd Schams schließlich führten die Kriegsstandarte. Nach außen hin verfügten die Quraisch über ein Netzwerk von Bündnissen mit anderen Stämmen auf der arabischen Halbinsel. Mit ihnen zusammen versuchten sie die Handelswege auf der arabischen Halbinsel unter ihre Kontrolle zu bringen. Hierbei gelangten sie manchmal auch in Konflikt mit anderen Stammesbündnissen wie zum Beispiel bei dem sogenannten Fidschār-Krieg (ca. 590). Er wurde deswegen so genannt weil die Kriegshandlungen während der Heiligen Monate (vgl. oben [[#1.3.3._Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) stattfanden, was ein Sakrileg (''fiǧār'') darstellte. Die wichtigsten Handelspartner von Mekka waren Südarabien, das in Mekka als „das Land zur Rechten“ (''Yaman'', daher unser Wort Jemen) bezeichnet wurde, und Syrien, „das Land zur Linken“ (''Šaʾm''). Die islamische Tradition überliefert im Zusammenhang mit der im Koran erwähnten „Reise des Sommers und des Winters“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/106/vers/2 Q 106:2]), dass die Quraisch jeweils im Sommer eine Karawanenreise in den Jemen und im Winter eine nach Syrien durchführten. Die Einführung dieser beiden jährlichen Karawanenreisen wird [[w:Hāschim ibn ʿAbd Manāf|Hāschim]], dem Vater der Banū Hāschim zugeschrieben. Gegen Ende des 6. Jahrhunderts waren die Banū Hāschim allerdings durch einen anderen quraischitischen Clan, die [[w:Machzūm|Machzūm]], im Handel überrundet worden. Die Machzūm, die sich nicht auf Qusaiy zurückführten, erlangten zu dieser Zeit auch die politische Führung (''siyāda'') der Quraisch. === 1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen === Die Kultur der beiden spätantiken Großreiche hat auf verschiedenen Ebenenen auf das arabische Entstehungsmilieu des Islams eingewirkt. Besonders wichtig war hierbei der Bereich der Religion. Das Byzantinische Reich war eindeutig christlich ausgerichtet und betrieb eine aktive Politik zur Ausbreitung dieser Religion. Das Sassanidenreich war dagegen ein multireligiöser Staat. Der [[w:Zoroastrismus|Zoroastrismus]] spielte zwar eine staatstragende Rolle, daneben gab es aber bedeutende andere religiöse Minderheiten, insbesondere Juden, Christen, [[w:Mandäer|Mandäer]] und [[w:Manichäismus|Manichäer]]. Ähnlich groß war wohl auch die religiöse Vielfalt, die im Entstehungsmilieu des Islams herrschte. Dies geht aus einem Koranvers ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/17 Q 22:17]) hervor, der die verschiedenen religiösen Gruppen auflistet, denen die Anhänger der von Muhammad neu begründeten Religion gegenüberstanden: neben den Anhängern des Heidentums werden Juden, [[w:Sabier|Sabier]], Christen und Zoroastrier ([[w:Madschūs|Madschūs]]) erwähnt. Auch das Konzept der Religion ([[w:dīn|Dīn]]) hat der Islam wahrscheinlich aus dem Sassanidenreich entlehnt. Es geht auf das mittelpersische Wort ''dēn'' zurück, mit dem im Sasanidenreich die verschiedenen Religionsgemeinschaften bezeichnet wurden. Was die einzelnen Religionen anlangt, so waren Zoroastrier vor allem in den arabischen Vasallenstaaten des Sasanidenreiches im Irak, Bahrain, Oman und Jemen als Verwalter, Grundherren und Soldaten tätig. Das Judentum war besonders bei den [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] in Südarabien sowie in den Oasen von Yathrib und [[w:Chaibar|Chaibar]] in Westarabien verbreitet. Ehe die beiden nichtjüdischen Stämme der [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]] aus Südarabien nach Yathrib einwanderten, sollen die Juden in dieser Stadt, in die später Muhammad mit seinen Anhängern auswanderte, sogar die Bevölkerungsmehrheit gebildet haben. Das Christentum war bei mehreren Stämmen Zentralarabiens wie den Taiyi' und Hanīfa verbreitet, vor allem aber in Südarabien präsent. [[w:Nadschran|Nadschrān]] im nördlichen Jemen entwickelte sich unter dem Einfluss des christlichen [[w:Aksumitisches Reich|Königreichs von Aksum]] zur heiligen Stadt der christlichen Araber. Etwa um 525 hatte ein aksumitisches Heer im heutigen Äthiopien den Jemen erobert. Der seit ca. 535 im Jemen herrschende aksumitische Vizekönig [[w:Abraha|Abraha]] ließ an mehreren Orten Kirchen errichten, in seiner Hauptstadt [[w:Sanaa|Sanʿā]] erbaute er eine Kathedrale. Offensichtlich empfand er das heidnische Heiligtum von Mekka als Konkurrenz. Das lässt sich daran erkennen, dass er um die Mitte des 6. Jahrhunderts einen Feldzug unternahm, um dieses unter seine Kontrolle zu bekommen. Bei diesem Feldzug, der letztendlich scheiterte, soll er Elefanten mitgeführt haben. Das Ereignis war so bedeutend, dass die Araber nach diesem [[w:Jahr des Elefanten|Jahr des Elefanten]] die Zeit datierten. Auch im Koran wird dieses Geschehen gespiegelt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/105/vers/1 Sure 105]). [[Datei:Kaaba-plan.svg|mini|links|Technische Zeichnung der Kaaba mit dem nach Nordosten, also nach Jerusalem zeigenden Hatīm]] Juden und Christen verbreiteten in dieser Zeit die Kenntnis der jüdisch-christlichen Überlieferung. Der Koran setzt bei seinem Publikum eine solche Kenntnis bereits voraus. So tauchen in ihm zahlreiche Gestalten des Alten Testaments auf wie [[w:Mose|Mose]] (Mūsā), [[w:Noach|Noach]] (Nūh), [[w:David|David]] (Dāwūd), [[w:Salomo|Salomon]] (Sulaimān) und [[w:Jona|Jonas]] (Yūnus). Ihre Geschichten werden oft nur andeutungsweise wiedergegeben, so als ob den Hörern die Einzelheiten bereits bekannt wären. In der Kaaba von Mekka befanden sich nach dem Bericht der arabischen Historiker in vorislamischer Zeit Bilder von Abraham sowie von Jesus und Maria. Möglicherweise gab es an der Kaaba sogar einen christlichen Kult. Hierfür spricht, dass das Gebäude ursprünglich mit einer [[w:Apsis|Apsis]] versehen war, die nach [[w:Jerusalem|Jerusalem]] zeigte. Sie hat sich als ein Mauervorsprung, der als Hatīm bezeichnet wird, bis in die heutige Zeit erhalten. Durch Juden- und Christentum fand in dieser Zeit auch der Monotheismus Eingang in die religiöse Vorstellungswelt der Araber. Der monotheistische Gott wurde in Südarabien unter den Namen ''ilahan'' sowie ''rḥmnan'' (von [[w:Aramäische Sprachen|jüdisch-aramäisch]] ''raḥmānā'') angerufen und in offiziellen Inschriften des Staates Himyar unter beiden Namen genannt. Beide Namen haben als Bezeichnung für den Einen Gott in etwas veränderter Form, ''Allāh'' (von ''al-ilāh'' „der Gott“) und ''ar-Rahmān'', auch Eingang in den Islam gefunden (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.2. Aussagen über Gott|2.2.2.]]). Hier besteht erkennbare Kontinuität zur Staatsreligion Altsüdarabiens. Allāh wurde in vorislamischer Zeit auch schon in Mekka verehrt, allerdings vorwiegend nicht als monotheistischer, sondern als [[w:Henotheismus|henotheistischer]] Gott. Koranverse berichten davon, dass die Menschen in der Umgebung Muhammads die Dschinn auf eine Stufe mit ihm stellten und sie als seine Verwandten ansahen (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/6/vers/100 6:100]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/158 37:158]). Dem Koran ist außerdem zu entnehmen, dass die Gottheiten al-Lāt, Manāt und al-ʿUzzā von den Mekkanern als „Töchter Allāhs“ betrachtet wurden (vgl. Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/19 53:19f]). ''Allāh'' hatte allerdings schon die Bedeutung eines Hochgottes, der die anderen Gottheiten überragt. Wenn die Beduinen nach Mekka zum Gebet kamen, riefen sie drei Mal ''Allāhu akbar'' („Allāh ist größer“) aus und machten damit deutlich, dass sie ihm die größte Macht unter den Gottheiten zumaßen. Diese Prädikationsformel ist in den Islam übernommen worden und wird [[w:Takbīr|Takbīr]] genannt. [[Datei:The four supporters (angels) of the celestial throne Wellcome L0030654.jpg|mini|hochkant|Bildliche Umsetzung von [[w:Umaiya ibn Abī s-Salt|Umaiyas]] Beschreibung der vier Thronträger in einer persischen Handschrift der Kosmographie von [[w:al-Qazwīnī|al-Qazwīnī]] (gest. 1283)]] Im Koran wird gesagt, dass die religiöse Verkündung, dass Gott die Toten wiederauferwecke, bei den Zeitgenossen Erstaunen hervorrief (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/56/vers/47 Q 56:47]). Sie hielten ein jenseitiges Leben für unvorstellbar und sahen den Tod als etwas Endgültiges an ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/45/vers/24 Q 45:24]). Einzelne Personen verkündeten in dieser Zeit allerdings schon die Botschaft von der Auferstehung. So wird berichtet, dass der Prediger Quss ibn Sāʿida einst auf dem Markt von [[w:ʿUkāz|ʿUkāz]] in Anwesenheit des jungen Muhammad folgende Worte an die Menge gerichtet habe: „Ihr Leute, hört und behaltet im Gedächtnis! [...] Gott hat eine Religion, die ihm besser gefällt als diejenige, die ihr pflegt. Wieso sollten die Menschen sterben und nicht wiederkehren?“ Die religiöse Kultur Arabiens befand sich also schon am Vorabend des Islams im Umbruch. Auch in den Städten des Hidschāz gab es vor dem Auftreten Muhammads einzelne Menschen, die, obwohl keine Christen oder Juden, monotheistische Auffassungen vertraten. Sie werden in den arabischen Quellen als [[w:Hanīf|Hanīfen]] bezeichnet. Beispiele für diese Personengruppe sind der Dichter [[w:Umaiya ibn Abī s-Salt|Umaiya ibn Abī s-Salt]] in at-Tā'if und Zaid ibn ʿAmr in Mekka. Von Umaiya wird überliefert, dass er in den Schriften von Juden und Christen las, alkoholische Getränke verbot, und das Auftreten eines Propheten unter den Arabern erwartete. Christlich-jüdischer Einfluss zeigt sich darin, dass er in seiner Dichtung auch [[w:Engel|Engel]] erwähnt. In einem seiner Gedichte beschreibt er vier Träger des Gottesthrons in Form der vier [[w:Evangelistensymbole|Evangelistensymbole]]. Da Muhammad diese Verse für wahr erklärt hat, sind sie Teil der islamischen Kosmologie geworden. Aus den von Zaid überlieferten Gedichten spricht starke Ablehnung gegenüber dem altarabischen Polytheismus. Er betrachtete sich als Anhänger der Religion Abrahams (''dīn Ibrāhīm'') und betete zur Kaaba als der Gebetsrichtung von Abraham und Ismael. An solche Vorstellungen wird auch im Koran angeknüpft, wo es heißt, dass Abraham auf Befehl Gottes das mekkanische Heiligtum für alle, die es umkreisen und dort zum Gebete stehen und niederknien, gereinigt habe ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/56/vers/47 Q 22:26]). == 1.4. Weiterführende Literatur == * Aziz Al-Azmeh: ''The Emergence of Islam in Late Antiquity: Allah and His People.'' Cambridge: Cambridge University Press 2014. * Meir Bravmann: ''The spiritual background of early Islam. Studies in Ancient Arab concepts.'' Leiden 1972. * Patricia Crone: ''Meccan trade and the rise of Islam.'' Princeton 1987. * Toufic Fahd: ''Le Panthéon de l’Arabie centrale à la veille de l’Hégire.'' Paris 1968. * Iwona Gajda: ''Le royaume de Himyar à l’époque monotheiste.'' Paris 2009. * Agnes Imhof: ''Religiöser Wandel und die Genese des Islam. Das Menschenbild altarabischer Panegyriker im 7. Jahrhundert.'' Würzburg: Ergon 2004. * M.J. Kister: „Labbayka, Allāhumma, Labbayka…' On a Monotheistic Aspect of a Jāhiliyya Practice” in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 2 (1980): 33-57. * Tobias Nünlist: ''Dämonenglaube im Islam: eine Untersuchung unter besonderer Berücksichtigung schriftlicher Quellen aus der vormodernen Zeit (600–1500)''. Berlin: De Gruyter 2015. * Otto Procksch: ''Über die Blutrache bei den vorislamischen Arabern und Mohammeds Stellung zu ihr.'' Leipzig: Teubner 1899. [https://archive.org/details/bub_gb_YmItAAAAYAAJ/page/n3/mode/2up Digitalisat] * Uri Rubin: „The Kaʿba: Aspects of its Ritual Functions and Position in Pre-Islamic and Early Islamic Times” in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 13 (1986) 97-131. [https://www.academia.edu/6119022/_The_Kaba_Aspects_of_its_Ritual_Functions_ Digitalisat] * Uri Rubin: „Ḥanīfiyya and Kaʿba: An Inquiry into the Arabian Pre-Islamic Background of dīn Ibrāhīm“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 13 (1990) 85–112. [https://www.academia.edu/6065751/_Hanifiyya_and_Kaba_An_Inquiry_into_the_Arabian_Pre-Islamic_Background_of_Din_Ibrahim_ Digitalisat] * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Reste arabischen Heidentums.'' 2. Aufl. Berlin: Reimer 1897. [https://archive.org/details/restearabischen00wellgoog/page/n7 Digitalisat] == 1.5. Fragen und Aufgaben == 1. Erklären Sie, wie arabische Wörter aufgebaut sind. 2. Geben Sie einen Überblick über die Geschichte des Begriffs „Islam“. 3. Beschreiben Sie, wie die vorislamische arabische Gesellschaft organisiert war. 4. Aus welchen Elementen bestand der Haddsch in vorislamischer Zeit und wann fand er statt? 5. Beschreiben Sie die politische Situation der Stadt Mekka um das Jahr 600. 6. In welcher Weise waren Judentum und Christentum in vorislamischer Zeit auf der Arabischen Halbinsel präsent? 7. Welche Rituale und Vorstellungen waren in vorislamischer Zeit mit der Kaaba von Mekka verbunden? == Einzelnachweise == <references/> {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 237enujvvpescsghtnce56rkvc4nhmp 0 106413 1113630 1107783 2026-08-26T11:51:40Z Bocardodarapti 2041 1113630 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || K[X,Y]/(XY) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealm|}} || (X,Y) || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |maximale Ideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} eine Formel für die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Restklassenringe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/{{idealm}}^n |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9ajf4ekwmndl70cx7w3nc6lb29fpbz 0 106414 1113629 1107784 2026-08-26T11:51:20Z Bocardodarapti 2041 1113629 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || K[X,Y]/(XYZ) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealm|}} || (X,Y,Z) || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |maximale Ideal| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} eine Formel für die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Restklassenringe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/{{idealm}}^n |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \in |\N || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7xquyqz0bh3zr6uezocdobb0f2thrv8 106 142567 1113612 991600 2026-08-26T07:41:15Z Bocardodarapti 2041 1113612 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|23| {{ inputbild |SS-stokes|jpg| 150px {{!}} right {{!}} |Text=[[w:George Gabriel Stokes|George Stokes (1819 -1903)]] |Autor= |Benutzer=Kelson |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Satz von Stokes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Mathematik. Er stiftet eine direkte Beziehung zwischen dem Integral einer Differentialform über dem Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit und dem Integral der äußeren Ableitung dieser Form über der gesamten Mannigfaltigkeit. Damit handelt es sich um eine weitgehende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung, nach dem das bestimmte Integral einer auf einem Intervall definierten Funktion mittels der Stammfunktion allein durch die Werte am Intervallrand ausgedrückt werden kann. {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes-Quaderversion}} Bevor wir den Satz von Stokes allgemein formulieren und beweisen, geben wir die Quaderversion davon, bei der der Definitionsbereich der Differentialform ein Quader ist, dessen Rand aus seinen Seiten besteht. Damit dieses geometrische Objekt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, müssen wir die {{Anführung|Kanten|}} herausnehmen. Allerdings sind die Kanten auf den Seiten jeweils Nullmengen {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Seiten auf dem Gesamtquader| |ISZ=|ESZ=, }} so dass beim Integrieren diese Teilmengen ignoriert werden können. {{ inputfaktbeweis |Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{Zwischenüberschrift|Der Satz von Stokes}} {{:Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Unter dem Träger einer Differentialform versteht man den topologischen Abschluss der Punkte, auf denen die Form {{mathlk|term=\neq 0 |SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }}}} Es gibt viele Möglichkeiten, die Volumenform {{ Relationskette | \tau || dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} des {{math|term= \R^n |SZ=}} als äußere Ableitung einer {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}Form zu realisieren, beispielsweise mit {{ Relationskette | \omega || x_1dx_2 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ=. }} Damit kann man die Berechnung des Volumens eines berandeten Körpers auf die Berechnung eines Integrals über den Rand zurückführen. Im ebenen Fall nennt man diese Aussage auch den {{Stichwort|Satz von Green|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote| }} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbemerkung |Satz von Green/Nicht glatter Rand/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Satz von Stokes/Divergenzsatz/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Der Brouwersche Fixpunktsatz}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste|}} }} kxi7v8j33urojvnrprx7rleb0ph97jl 106 150227 1113575 1009307 2026-08-25T16:39:45Z Bocardodarapti 2041 1113575 wikitext text/x-wiki {{Zwischenüberschrift|Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen {{ Zusatz/Klammer |text=also Schnitte im Kotangentialbündel| |ISZ=|ESZ= }} erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf [[Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{ Relationskette | V || K^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßtheorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel {{ Zusatz/Klammer |text=da keine Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt|Korollar|| }} {{Zwischenüberschrift|Eigenschaften des Dachprodukts}} {{:Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Dimension/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Dachprodukte bei linearen Abbildungen}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} epy072bft725zsmvzfhop6n5v3rr77u 106 151799 1113610 907097 2026-08-26T07:39:59Z Bocardodarapti 2041 1113610 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe|p||| |Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe|p||| |Impliziter Einheitskreis/Krümmung/Aufgabe|p||| |Hausdorffraum/Diagonale ist abgeschlossen/Aufgabe|p||| |Eindimensionale Mannigfaltigkeiten/R, 1-Sphäre, R punktiert/Nicht homöomorph/Aufgabe|p||| |Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Einbettung/Volumenform/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dreiecke/Nicht entartet/Offen/Umfang 1/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p||| |Eingebetteter Torus/Drehung/Isometrie/Aufgabe|p||| |Hyperbolische Fläche/Modell/Aufgabe|p||| |Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Gaußkrümmung/Christoffelsymbole/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechnung/Aufgabe|p||| |Mannigfaltigkeit/Exakte k-Form/Rückzug auf kompakte orientierte Mannigfaltigkeit ohne Rand/n-1-Form/Integral ist 0/Aufgabe|p||| |Mannigfaltigkeit mit Rand/Stokes/Nichtexistenz von Retraktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kategorie=Differentialgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ce8fldoedsjqo1hedzb8ukbopi7yz2t 0 151999 1113606 1033455 2026-08-26T07:39:14Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechung/Aufgabe]] nach [[Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechnung/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1033455 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \omega || ydx+zdy +xdz || || || |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^3 |SZ=}} und die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |\R^2|\R^3 | {{op:Zeilenvektor| u |v}} | {{op:Zeilenvektor|u^2|v^2|uv}} |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Berechne{{n Sie}} die äußere Ableitung von {{math|term= \omega |SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} den Rückzug {{math|term= \varphi^* \omega |SZ=}} von {{math|term= \omega |SZ=}} unter {{math|term= \varphi |SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} die äußere Ableitung von {{math|term= \varphi^* \omega |SZ=}} auf {{math|term= \R^2 |SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} den Rückzug {{math|term= \varphi^* d \omega |SZ=}} von {{math|term= d\omega |SZ=}} unter {{math|term= \varphi |SZ=}} unabhängig von (3). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum |Kategorie2=Theorie des Zurückziehens einer Differentialform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} khmm4qt8ri6l9hil4cd24i2sbndazbu 0 152000 1113607 1088944 2026-08-26T07:39:14Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechung/Aufgabe/Lösung]] nach [[Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechnung/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1088944 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Relationskette/display | d \omega || d {{makl| ydx+zdy +xdz |}} || dy \wedge dx +dz \wedge dy +dx \wedge dz || - dx \wedge dy -dy \wedge dz +dx \wedge dz || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/align | \varphi^* \omega || v^2 d u^2 + uvdv^2+ u^2duv || 2v^2udu +2uv^2 dv + u^2(udv +vdu) || {{makl| 2uv^2 +u^2v |}} du + {{makl| 2uv^2 +u^3 |}} dv || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/align | d {{makl| {{makl| 2uv^2 +u^2v |}} du + {{makl| 2uv^2 +u^3 |}} dv |}} || d {{makl| 2uv^2 +u^2v |}} du + d{{makl| 2uv^2 +u^3 |}} dv || {{makl| 4uv + u^2 |}} dv \wedge du + {{makl| 2v^2 +3u^2 |}} du \wedge dv || {{makl| -4uv + 2v^2 +2u^2 |}} du \wedge dv || |SZ=. }} |Der Rückzug {{math|term= \varphi^* d \omega |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | \varphi^* {{makl| - dx \wedge dy -dy \wedge dz +dx \wedge dz |}} || - d u^2 \wedge dv^2 -d v^2 \wedge duv +d u^2 \wedge duv || -4uv du \wedge dv -2v^2 dv \wedge du + 2 u^2 du \wedge dv || {{makl| -4uv+2v^2 + 2 u^2 |}} du \wedge dv || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5fu94hwyqj598oykyve16ttctb5juwu 106 152719 1113611 923223 2026-08-26T07:40:26Z Bocardodarapti 2041 1113611 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblattgestaltung|11| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |1-Form/R/Berechnung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorräume/Einfache Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorraum/Exakt/Untervektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktierte Ebene/Holomorphe Differentialform/1 durch z^n ab 2/Exakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorraum/Skalarprodukt/Vektorfeld/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Differenzierbare Funktion/Euklidisch/Gradientenfeld/Definition|}} {{ inputaufgabe |1-Form/R/Vektorraum/Skalarprodukt/Vektorfeld/Exakt und Gradientenfeld/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der vorstehenden Aufgabe entspricht eine Stammform einem Potential. {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3/Vereinfache/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^3/(4,-1,2) /wedge (3,5,-6)/Standardbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^3/(-2,5,-4) \wedge (7,-2,4)/Standardbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorraum/Äußere Ableitung/Wohldefiniert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorraum/Geschlossen/Lokale Eigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |(2x-siny)dx-xcosydy/Geschlossen und exakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorfeld/(x,y) nach (-y,x)/Nicht integrabel/Formversion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Formversion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/(x^2-y^3)dx+x^3y^2dy/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/x^2 durch y dx- x durch y^2 dy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorraum/Geschlossen/Untervektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Vektorfeld/Differenzierbar/Integrabilitätsbedingung/Definition|}} {{ inputaufgabe |1-Form/R/Vektorraum/Skalarprodukt/Vektorfeld/Geschlossen und Integrabilitätsbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorräume/Komponentenfunktionen/Exakt und geschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion/Zweifache äußere Ableitung/0/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen von Differentialformen/Eindimensional/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Einschränkung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kettenregel/Verträglichkeit von Ableitung und Zurückziehen von Funktion und Differentialform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Holomorphe Standardform/Rückzug/Logarithmische Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Reell differenzierbare Abbildung/dz/Rückzug/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Zahlen/Reell differenzierbare Abbildung/dz konjugiert/Rückzug/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Rückzug/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |1-Form/R/Berechnung/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/xy^2dx+yzdy+x^3dz/Bestimme/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/K/Vektorraum/Exakt und geschlossen/Rückzug/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 9bwrnyv5x68hl26ihitslyxfgdem98k 106 154331 1113608 932111 2026-08-26T07:39:36Z Bocardodarapti 2041 1113608 wikitext text/x-wiki {{ Klausur14 |Funktionentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe|p||| |Funktionentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/Einfache Rechenbeispiele/1/Aufgabe|p||| |Quadratisches Polynom/C/Ball/Injektiv/Aufgabe|p||| |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bewertungstheorie/Körper mit diskreter Bewertung/Diskreter Bewertungsring/Aufgabe|p||| |Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechnung/Aufgabe|p||| |Komplexes Polynom/Abgeschlossene Kreisscheibe/Maxima/1/Aufgabe|p||| |Polynom/C/Lokaler Exponent/1/Aufgabe|p||| |Wesentliche Singularität/Bildmenge/Casorati-Weierstrass/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |R+ nach R+/Invertierung links und rechts/Logarithmus und Exponentialfunktion/Aufgabe|p||| |Residuum/Sinus/Invers/Aufgabe|p||| |C/Einfach zusammenhängend/Abgeschlossen/Kreisscheibe/Aufgabe|p||| |Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Hinrichtung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kategorie=Funktionentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 90k197q9dbd3l6aplkwf5qbmyrszwi4 0 160692 1113565 1059259 2026-08-25T12:42:53Z Jeb 26942 /* Bibliothek */ link fix 1113565 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Citizen Science-Rückblick 2024'''| Kurzbericht zur Bürger:innenwissenschaft an und mit der SLUB | '''Autor:innen''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], [[Benutzer:MMunke|Martin Munke]], Juliane Flade }} == Forschen mit der SLUB == ; tl;dr [[File:201805 article.png|thumb|Abstract]] Citizen Science an der SLUB ist bis heute vor allem ein ‘organisch’ wachsendes Handlungsfeld, aufbauend insbesondere auf digitalisierten Werken zur sächsischen Geschichte, auf Transkriptionen der Wikisource-Community und in Kooperationen mit Dresdner Forschungsinstitutionen und Vereinen. Dabei entstehen Gemeinschaften. Wir beraten und begleiten solche Citizen Science- und Crowdsourcing-Projekte. Wissenschaftskommunikation profitiert dabei von ‘Linked Data’ – von offenen Metadaten verknüpft mit den bibliografischen Daten der traditionellen Bibliothekssysteme: [[d:Q66771716|Open Citizen Science]]. Bürgerinnen und Bürger, die mit der SLUB recherchieren, forschen und entwickeln, kennen wir<ref>Das sind Juliane Flade, Jens Bemme und Martin Munke als diejenigen Mitarbeitenden der SLUB, die das Themenfeld ‘Citizen Science’ zusammen mit Kay-Michael Würzner im Haus betreuen und voranbringen.</ref> – seit langem. Für das Jahr 2024 möchten wir über Citizen Science berichten – mit ihnen, Bürger:innen, die forschen – erstmals explizit und detailliert, denn Begriffe und Konzepte wie ‘Citizen Science’ und ‘Bürgerwissenschaften’ nutzen wir in der Bibliothek bewusst erst seit ungefähr zehn Jahren. Seinerzeit erschien die [https://opac.k10plus.de/DB=2.299/PPNSET?PPN=894340263 erste Publikation zum Thema], die den Begriff für das deutsche Bibliothekswesen explizit aufgriff und problematisierte. Die Arbeit in der SLUB wurde seitdem in Artikeln, Blogposts und Aufsätzen gelegentlich dokumentiert, ausgehend vom Blogpost “[https://bkw.hypotheses.org/1468 Macht Citizen Science glücklich? Bürgerwissenschaft in wissenschaftlichen Bibliotheken]” im März 2019. Regelmäßige Rückblicke fehlen bisher, sei es für die Dokumentation von Kooperationen, von Veranstaltungen, Projektergebnissen, Entwicklungen und Ideen oder zur Selbstvergewisserung und Reflexion. == Projekte / Initiativen / Kooperationen == 2024 war ein produktives Jahr – vielleicht weniger durch Projektergebnisse, die plan- und berechenbar gewesen wären, sondern mit Blick auf ‘rote Fäden’: Kooperationen, Initiativen, Projekte und Gemeinschaften mit Routinen, die ‘organisch’ wachsen, und weitere Ideen oder Texte, die daraus entstehen. Aktivitäten in der SLUB und drumherum. === 1Lib1ref - Beratungsangebot für Kolleg:innen === Für mehr Referenzen in Wikipedia-Artikeln bot Juliane Flade interne Weiterbildungen, mehrere Kolleg:innen zeigten großes Interesse. Hier wurde neben dem Handwerkszeug (Wie ergänze ich eine Referenz in Wikipedia?) nach mehr Sichtbarkeit von forschenden Frauen in der Wikipedia gefragt. 1Lib1Ref ist ein guter Anlass, Beiträge von Forscherinnen als Referenz in der Wikipedia zu ergänzen. Umfassender wird das Thema “Wikiversum” seit Dezember in einem SLUB-internen Lehr- und Lernkonzept angegangen, in dessen Rahmen sowohl systematisches Grundwissen zu den verschiedenen Portalen vermittelt als auch ‘hands-on’ an Projekten gearbeitet wird. === Gastronomie um 1980 in Dresden === Anlass zum Austausch bieten regelmäßig Angebote der Seniorenakademie. Raila Röhricht, die an der TU Dresden Digital Humanities studiert und an der SLUB ein Praktikum absolvierte, stellte im Herbst ihre Forschungsergebnisse zur gastronomischen Landschaft in Dresden um 1980 bei der Seniorenakademie vor. Ein Ziel war es, für weitere Forschung mögliche Interviewpartner im Kreis der Teilnehmenden zu gewinnen. So fand sich ein ehemaliger Gastronom des "Grünen Heinrichs”, welcher aus erster Hand von Beschaffungsproblemen und dem kreativen Umgang mit Versorgungslücken in der Gastronomie um 1980 berichten konnte. * Blogpost zum Weiterlesen: https://osl.hypotheses.org/13349 * Interaktive Karte: https://bluewollthingy.github.io/GastroProjekt * Datengrundlage und Quellcode der Karte auf GitHub: https://github.com/bluewollthingy/GastroProjekt === Sommerkurs 24/8 === [[Datei:Wikidata 24-8.svg|mini]] Ein vierwöchiger Sommerkurs im August 2024 mit offenen ‘Kulturdaten und Edits für die eigene Forschung’ bot dreimal pro Woche Gelegenheiten über Projekte und Methoden zu fachsimpeln, zu plaudern bzw. diese auch auszuprobieren, wie beim wöchentlichen ‘DatenlaubeJam’: https://saxorum.hypotheses.org/11329. Die Resonanz war gut. Wir trafen dabei Gäste aus Bibliotheken anderer Regionen digital: https://osl.hypotheses.org/12668. An beide Formate werden wir anknüpfen, an DatenlaubeJam und Sommerkurs! Extrem regelmäßige sowie kurzfristige Terminserien für Kooperationen in festen, losen, unverbindlichen sowie verbindlichen offenen Gemeinschaften sind wichtige Elemente für Community Building – für Citizen-Science-Initiativen und -Kooperationen, oder, wie man es auch nennen kann: ‘Zeit für informelle Infrastruktur’, siehe https://saxorum.hypotheses.org/7728. [[Datei:Citizen Science City.png|mini|Citizen Science City]] === Workshop mit UNU-Flores === Um das Thema Citizen Science auch über die SLUB hinaus am Wissenschaftsstandort Dresden voran und die verschiedenen wissenschaftlichen Institutionen über ihre Erfahrungen in Austausch zu bringen, haben wir am 16. September 2024 im Rahmen der Forschungsallianz DRESDEN-concept im Open Science Lab einen Dresden-weiten Citizen-Science-Workshop durchgeführt. Organisiert von UNU-FLORES und der SLUB, trafen sich am Thema Interessierte aus den verschiedenen Forschungseinrichtungen zur Diskussion z. B. strategischer und forschungsethischer Fragen sowie zum Austausch über konkrete Projekte und Studien. Aus Anlass des Workshops haben wir im Saxorum-Blog auch einen Beitrag zu den eigenen Themen veröffentlicht: https://saxorum.hypotheses.org/11554. <gallery> Dresdner_Totengedenkbuch_1914-1918._Digitalisierung_und_Transkription.pdf Open Citizen Science at SLUB.pdf Same procedure as every Tuesday, Miss Sophie.pdf </gallery> === Dresdner Totengedenkbuch === Auch im [https://wiki.genealogy.net/Totengedenkbuch%20Dresden/Projektbeschreibung Crowdsourcing-Projekt zu den Dresdner Gefallenen des Ersten Weltkriegs] ging es voran. Ende 2023 war die erste Projektphase mit der Transkription von ca. 8.000 Karteikarten erfolgreich abgeschlossen worden, Mitte 2024 wurde der restliche Bestand in vergleichbarer Größenordnung bereitgestellt. Zusammen mit dem Verein für Computergenealogie arbeitet die SLUB hier daran, eine wichtige stadt- und sozialhistorische Quelle digital zur Verfügung zu stellen. Ein ausführlicher Bericht erscheint demnächst im CompGen-Blog und bei Saxorum. == Rote Fäden, gebündelt == === DDigitalisat in Bearbeitung === [[Datei:Dresdner Geschichtsblätter Dritter Band.pdf|mini|[[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 3 (1901 bis 1904)]]]] ‘Die Datenlaube’ ist seit 2019 das Citizen Science-Projekt für offene Kulturdaten der Leipziger Illustrierten ‘Die Gartenlaube’: https://scholia.toolforge.org/topic/Q61943025. Anfangs war der ‘DatenlaubeJam’ das wöchentliche Projekttreffen der ‘Laube’. Inzwischen (seit 2022) geht es vor allem um die offenen Daten, Transkriptionen und Inhalte der historischen Publikationen des Dresdner Geschichtsvereins sowie um deren Zusammenhänge in der modernen Stadtgeschichte. Caroline Förster, die Geschäftsführerin des Vereins, und einige Mitglieder und Freunde des Geschichtsvereins veröffentlichen seit drei Jahren die alten ‘Mittheilungen’ und ‘Geschichtsblätter’ mittels Wikisource und Wikidata neu. Und sie berichten darüber: * Bemme, Flade, Förster: ''‚DatenlaubeJam‘ – Hackathon ist immer (dienstags)'', https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-856376, Gemeinschaften in Neuen Medien. Dresden, 06.–07.10.2022 * Caroline Förster: ''Wie fetzig sind Geschichtsvereine? Die Projekte „#FetzigesGeschichtszeugs“ und „Die Datenlaube“ des Dresdner Geschichtsvereins'', DOI: https://doi.org/10.60684/msg.v55i1.40, in: Moderner Stadtgeschichte, Bd. 55 Nr. 1 (2024): Citizen Science. Akademische und bürgerschaftliche Stadtgeschichtsforschung * Caroline Förster: ''Mitteilungen, Blätter, Hefte. Publikationen als wichtiges Bindeglied für (Dresdner) Geschichtsinteressierte'', Sächsische Heimatblätter, Heft 4/2024, https://zkg-dd.de/saechsische-heimatblaetter/ausgaben-beziehen2/product/view/3/157 * ''Striezelfolgenabschätzung'' mit Wikisource-Transkriptionen von [[s:Adolf Hantzsch|Adolf Hantzsch]]' Fußnoten und Quellen in seiner ''[[s:Geschichte des Dresdner Christmarkts|Geschichte des Dresdner Christmarkts]]'', 1888; Übersicht auf der Wikisource-Themenseite ''[[s:Dresdner Striezelmarkt|Dresdner Striezelmarkt]]''. ''Digitalisat in Bearbeitung'' wäre als Arbeitstitel (für einen Bericht, als Motto, für einen Projektnamen oder eine Publikation) potentiell in der engeren Wahl! Bei der Arbeit im und mit dem Geschichtsverein entstehen Seitenprojekte: Transkriptionen anderer Werke über Aspekte der Dresdner Geschichte, persönliche Treffen sonntags am Wikisource-Informationsstand, Detailerschließung z.B. für die [[s:Dresdner Geschichtsblätter|Dresdner Geschichtsblätter]] und [[w:Friedrich von Boetticher (Kunsthistoriker)|Friedrich von Boettichers]] ''[[s:Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts|Malerwerke des 19. Jahrhunderts]]'', https://saxorum.hypotheses.org/9471, und regelmäßig [[DieDatenlaube/Notizen|Notizen]], Hinweise und Links in der Wikiversität. Die [https://pageviews.wmcloud.org/?project=de.wikiversity.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=last-year&pages=DieDatenlaube/Notizen Zugriffszahlen] auf diese Notizen vom ‘DatenlaubeJam’ lassen Interesse erahnen, auch überregional. === Landeskundliche Produktentwicklung === [[Datei:Boblinger (2022) Draußen im LABA Flagship Store.jpg|mini|Innenansicht der Ausstellung »Draußen« mit [https://saxorum.hypotheses.org/8383 Bild-Text-Wanderungen] von Robert Lorenz, LABA Flagship Store in Görlitz, 2022]] Mit Gerhard Zschau und dem Modelabel LABA in Görlitz verbindet uns bürgerwissenschaftlich eine mehrschichtige Zusammenarbeit. Zschaus Recherchen mit dem Ziel, Inspirationen für regionale Produkte mit Wurzeln in der Oberlausitz zu finden, dokumentieren Kultur und Geschichte. Seine Ausstellungen benachbarter Künstler:innen ebenso. Gelegentlich kooperieren wir mit Text, mit Ideen und mit handwerklich erzeugten Getränken der Region: 2024 rund um den Kohlenaufgabewagen mit Walzenbrechwerk aus dem Kraftwerk Hirschfelde, https://saxorum.hypotheses.org/11160. Für 2025 erwarten wir wieder Prototypen aus den Gesprächen übers Wirtschaften in der Oberlausitz mit [https://laba.de LABA]. === Stadtwikis === https://stadtwiki-meissen.de/ ist ein neues Regiowiki ebenda. Wir nutzen das Stadtwiki für Informationen über den ‘[https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Verein_f%C3%BCr_Geschichte_der_Stadt_Mei%C3%9Fen Verein für Geschichte der Stadt Meißen]’ und für das Transkriptionsprojekt ‘[https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Lebensläufe Meißner Künstler]’. https://www.stadtwikidd.de/ versteht sich als Stadtlexikon mit dem Ziel ein möglichst umfassendes Bild über die Stadt Dresden mit all ihren Facetten zu schaffen. === Crowdsourcing und Citizen Science für Baukultur und klimagerechte Architektur === Das Projekt https://colouring.dresden.ioer.info/ begleiten wir seit 2022. Dabei entstehen gelegentlich Metadaten, offene Metadaten in Wikidata und in den Verbundsystemen der Bibliotheken: https://scholia.toolforge.org/project/Q113628309. Ende November 2024 veröffentlichte das Projektteam am Leibniz-Institut für ökologische Raumentwicklung unter dem Motto 'Colouring Dresden To Go' eine neue, smartphone-optimierte Benutzeroberfläche der Plattform zur Erfassung von Gebäudemerkmalen in Dresden. Gemeinsam waren wir Anfang Oktober beim Forum Citizen Science in Hamburg zu Gast. Dabei konnten wir das Projekt in zwei Postersessions Teilnehmenden aus der Citizen Science-Community vorstellen und uns austauschen. Gefragt wurde insbesondere nach Datenschutzprinzipien und -bedenken der Mitwirkenden, Motivationsfaktoren und Methoden der Gewinnung von Aktiven. Thema des Posters der zweiten Session war insbesondere die Weiterentwicklung des Portals mit der neuen ‘Energiekachel’. Das Projekt stieß auf großes Interesse auch wegen seiner möglichen Übertragbarkeit auf andere Städte. === Wissenskommunikation === Für die Wîssens- und Wissenschaftskommunikation über und mit Citizen Science in den Projekten, mit Berichten und mit Teilgeber:rinnen (die eben mehr sind als ‘nur’ Teilnehmer:innen an den verschiedenen Projekten und bei den verschiedenen Veranstaltungen) nutzen wir insbesondere Weblogs, Vorträge und Lehrveranstaltungen, Aufsätze, Social Media-Kanäle wie Mastodon und ‘Linked in’, Veranstaltungen, die Plattform Wikiversity sowie Metadaten in Verbundkatalogen und in Wikidata. Neuveröffentlichungen historischer Quellen – transkribierte gemeinfreie Publikationen in Wikisource – machen bisher in der Außenwirkung einen Großteil der Produkte aus Citizen-Science-Projekten aus. Notizen mit den Themen und Links der wöchentlichen [[DieDatenlaube/Notizen|Onlinetreffen am Dienstagmorgen]] sind offen zugänglich. Für die transkribierten und OCR-korrigierten Editionen entstehen offene Metadaten in Wikidata und zusätzliche Nachweise in der Sächsischen Bibliografie, https://saxorum.hypotheses.org/8956. === Begleitforschung === Die [https://www.slub-dresden.de/mitmachen/slub-nutzerforschung Nutzerforschung der SLUB] erhebt Informationen zur Evaluation von Serviceangeboten, wozu Kenntnisse über Zielgruppen ausschlaggebend sind. Ein Fokus liegt dabei auch auf dem Themenfeld Citizen Science. 2022 waren dem einige Items in der Allgemeinen Servicebefragung (ASB) gewidmet, 2023 folgte eine Umfrage unter Ortschronisten und Heimatforschenden. Beide Umfragen haben wir im vergangenen Jahr sowohl quantitativ als auch qualitativ ausgewertet. Als Ergebnis liegt nun ein Bericht vor, der Anfang 2025 im Open Access auf Qucosa veröffentlicht wurde: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-957548. Eine Kurzfassung gibt es im OSL-Blog unter https://osl.hypotheses.org/16094. == Metadaten == Bibliografische Metadaten prägen unseren Blick auf ‘Citizen Science mit Bibliotheken’. Berührungspunkt sind seit jeher Publikationen zur sächsischen Landesgeschichte aus der Heimatforschung, der Orts- und Regionalgeschichte. Solche Veröffentlichungen sammelt die SLUB als Landesbibliothek ohnehin: Saxonica, Werke über Sachsen und Aspekte der sächsischen Geschichte. Seit wir Projekte in Wikisource und Wikidata begleiten suchen und entwickeln wir Wege, um diese zusätzlichen digitalen Versionen gedruckter Werke, die dort teilweise detaillierter und mit strukturierten Daten offen erschlossen sind, auch [https://saxorum.hypotheses.org/8956 in der Sächsischen Bibliografie] nachzuweisen.<ref> Daniel Fischer (30. März 2023). Citizen Science goes Sächsische Bibliografie: Wikisource-Transkripte bereichern SLUB-Katalog. Saxorum. DOI: [https://doi.org/10.58079/twdx 10.58079/twdx]</ref> So verstärken wir deren Findbarkeit, die Sichtbarkeit und die potentielle Nutzung der korrigierten Volltexte. == Perspektiven == ‘Organisch gewachsen’ bedeutet mit Blick auf die Entwicklung institutioneller Ziele und Meilensteine im Handlungsfeld ‘Citizen Science an und mit der SLUB’: Initiativen beobachten, gelegentlich Ideen aufgreifen, dezentral kooperieren und geduldig dranbeleiben. Kurz: Ausdauer. Citizen Science ist in Sachsen nicht mehr ‘neu’, aber längst kein reifes ‘Marktsegment’ der Wissenschaftspolitik und Forschungsförderung. Nicht zuletzt in lokalen [[BiblioCON 2024/open glam lab|Kooperationen für partizipative Forschung]], in Stadtentwicklungs- und -historisierungsprozessen stecken Potentiale, siehe 'Colouring Dresden' am IÖR und den Dresdner Geschichtsverein mit Wikisource und Wikidata. Eine weitere Möglichkeit, diesem Ansatz im Sinne eines [https://glamlabs.pubpub.org/ Regionalen Open-GLAM-Labors] zu folgen, bietet vielleicht die Kulturhauptstadt Chemnitz 2025. Dass das Thema für GLAM-Einrichtungen im Allgemeinen und für Bibliotheken im Speziellen an Bedeutung gewonnen hat und weiter gewinnt, zeigt nicht zuletzt der aktuelle Call [https://participatorysciences.org/2024/11/07/call-for-abstracts-galleries-libraries-archives-and-museums-perspectives/ "Lessons, Challenges, and Opportunities in Participatory Science from a Galleries, Libraries, Archives, and Museums Perspective"] der internationalen Fachzeitschrift [https://theoryandpractice.citizenscienceassociation.org/ "Citizen Science: Theory & Practice"]. Für uns Anlass und Gelegenheit, das eigene Tun einmal mehr zu reflektieren – auch mit Blick auf die Frage, was ‘Citizen Science’ für eine Kultur- und Gedächniseinrichtung wie die SLUB strategisch bedeutet kann. == Literatur == === Abschlussarbeiten === * Lea Schäfer: ''Marketing und Communitybuilding in Citizen-Science-Projekten : Wie Wissenschaftliche Bibliotheken Bürger/-innenbeteiligung fördern und Gemeinschaften stärken'', 3. Dezember 2024, https://www.b-u-b.de/detail/marketing-und-communitybuilding-in-citizen-science-projekten === Eigene Publikationen === Artikel, Blogposts, Handreichungen * https://www.wikiremembrance.de/, TIB, https://doi.org/10.34657/13796, https://erdi.hypotheses.org/696 * https://saxorum.hypotheses.org/tag/citizen-science * https://osl.hypotheses.org/tag/open-citizen-science * https://nearby.hypotheses.org/ Juliane Flade: ''Citizen Science in der Bibliothek : Hinweise für die praktische Umsetzung von bürgerwissenschaftlichen Projekten anhand von drei konkreten Beispielen'', 18. Januar 2024. https://www.b-u-b.de/detail/citizen-science-in-der-bibliothek Juliane Flade, Jens Bemme: ''Mäanderndes Projekt- und Community- Management – was bewirken, mit echten Menschen im Wikiversum''. In: Fabian Cremer/ Swantje Dogunke/ Anna Maria Neubert/ Thorsten Wübbena (Eds.), Projektmanagement und Digital Humanities (81-110). Bielefeld: transcript Verlag. DOI: [https://doi.org/10.14361/9783839469675-004 10.14361/9783839469675-004] Jens Bemme, Christian Erlinger und Matthias Erfurth: ''2024: Follow the right habit!'', 3. Februar 2025, https://osl.hypotheses.org/15823 == Bibliothek == ; SLUB Dresden https://www.slub-dresden.de/forschen/buergerwissenschaften-citizen-science ; Wikimedia Commons [[c:Category:Citizen Science in Saxony|Category:Citizen Science in Saxony]] <gallery> Logo_des_Dresdner_Geschichtsverein_e.V.jpg|Dresdner Geschichtsverein Open-a-glam-lab-209x300.jpg|https://www.glamlabs.io/publications/open-a-glam-lab </gallery> === Fußnoten === <references/> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Sachsen]] [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Preprint]] 6gw15qoey6rdx19fb3hf0iwwtszhcb8 14 169645 1113584 1072855 2026-08-26T06:29:14Z Paul Sutermeister 37610 1113584 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs]] [[Kategorie:Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E]] f1tmr45qy0umd164cwdzuksv51bgm9i 14 170007 1113587 1110632 2026-08-26T06:36:19Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E]] 1113587 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs]] [[Kategorie:Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E]] f1tmr45qy0umd164cwdzuksv51bgm9i 14 170321 1113588 1079050 2026-08-26T06:37:16Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E]] 1113588 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs]] [[Kategorie:Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)]] [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E]] f1tmr45qy0umd164cwdzuksv51bgm9i 106 172597 1113586 1113553 2026-08-26T06:34:49Z Paul Sutermeister 37610 1113586 wikitext text/x-wiki {{inuse}} '''Einsetzen von Technologien der digitalen Arbeitswelt''' ist '''[[:w:Handlungskompetenzbereich|Handlungskompetenzbereich E]]''' der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']].<ref>[[:w:Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI)|SBFI]]: ''[https://www.becc.admin.ch/becc/public/bvz/beruf/show/68800 Kauffrau/Kaufmann EFZ (ab Lehrbeginn 2023)]</ref> = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ/HKB E| ]] q044obqfo4dj4c23z2v4ie8ysu5d20p 14 172602 1113585 2026-08-26T06:33:33Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1113585 wikitext text/x-wiki Die Kategorie umfasst Module des [[Kurs:Kaufleute EFZ/Einsetzen von Technologien der digitalen Arbeitswelt|Handlungskompetenzbereichs (HKB) E ('''Einsetzen von Technologien der digitalen Arbeitswelt''')]] der [[Kurs:Kaufleute EFZ|Ausbildung ''Kaufleute EFZ'']]. [[Kategorie:Kurs:Kaufleute EFZ]] pcx2wd5nds4neybbadz2f1pa80jjp4w 0 172603 1113627 2026-08-26T11:49:11Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1113627 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Treppenintegralen|Anf=Tr| |Siehe=Treppenintegral |Ziel=/Definition }} rsxwers1rh8antq2io2f9ur2xstunzg 0 172604 1113628 2026-08-26T11:50:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1113628 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=saturiertes multiplikatives System|Anf=Sa| |Siehe= |Ziel=Multiplikatives System/Saturiert/Definition }} py9crze1gigdb5v6c0x8522dcvudzgg